الكائنات ذات الزوايا المجاورة. هندسة نيكيتين. ما هي الزاوية المجاورة

ما هي الزاوية المجاورة

ركنهو شكل هندسي (الشكل 1)، يتكون من شعاعين OA وOB (جوانب الزاوية)، ينبعثان من نقطة واحدة O (رأس الزاوية).

الزوايا المجاورة- زاويتان مجموعهما 180 درجة. وكل واحدة من هذه الزوايا تكمل الأخرى إلى الزاوية الكاملة.

الزوايا المجاورة- (Agles المجاورة) تلك التي لها قمة مشتركة وجانب مشترك. في الغالب، يشير هذا الاسم إلى الزوايا التي يقع ضلعاها المتبقيان في اتجاهين متعاكسين لخط مستقيم واحد مرسوم من خلالها.

تسمى زاويتان متجاورتين إذا كان لهما جانب واحد مشترك، والجوانب الأخرى لهذه الزوايا عبارة عن أنصاف خطوط متكاملة.

أرز. 2

في الشكل 2، الزاويتان a1b وa2b متجاورتان. لديهم جانب مشترك ب، والجوانب a1، a2 عبارة عن أنصاف خطوط إضافية.

أرز. 3

يوضح الشكل 3 الخط المستقيم AB، وتقع النقطة C بين النقطتين A وB. والنقطة D هي نقطة لا تقع على المستقيم AB. اتضح أن الزاويتين BCD وACD متجاورتان. لديهم قرص مضغوط جانبي مشترك، والجانبان CA وCB هما أنصاف خطوط إضافية للخط المستقيم AB، نظرًا لأن النقطتين A وB مفصولتان بنقطة البداية C.

نظرية الزاوية المجاورة

نظرية:مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة

دليل:
الزاويتان a1b وa2b متجاورتان (انظر الشكل 2). يمر الشعاع b بين الجانبين a1 وa2 من الزاوية المفتوحة. ولذلك فإن مجموع الزاويتين a1b و a2b يساوي الزاوية المتقدمة، أي 180 درجة. لقد تم إثبات النظرية.

الزاوية التي قياسها 90 درجة تسمى زاوية قائمة. من نظرية مجموع الزوايا المجاورة، يترتب على ذلك أن الزاوية المجاورة للزاوية القائمة هي أيضًا زاوية قائمة. الزاوية التي يقل قياسها عن 90 درجة تسمى حادة، والزاوية الأكبر من 90 درجة تسمى منفرجة. بما أن مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة، فإن الزاوية المجاورة للزاوية الحادة هي زاوية منفرجة. الزاوية المجاورة لزاوية منفرجة هي زاوية حادة.

الزوايا المجاورة- زاويتان لهما رأس مشترك، أحد أضلاعهما مشترك، وباقي الأضلاع تقع على نفس الخط المستقيم (غير متطابقتين). مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.

التعريف 1.الزاوية هي جزء من المستوى الذي يحده شعاعان لهما أصل مشترك.

التعريف 1.1.الزاوية هي شكل يتكون من نقطة - رأس الزاوية - ونصفين مختلفين ينبعثان من هذه النقطة - جوانب الزاوية.
على سبيل المثال، زاوية BOC في الشكل 1 دعونا نفكر أولاً في خطين متقاطعين. عندما تتقاطع الخطوط المستقيمة فإنها تشكل زوايا. هناك حالات خاصة:

التعريف 2.إذا كانت أضلاع الزاوية عبارة عن أنصاف خطوط إضافية لخط مستقيم واحد، فإن الزاوية تسمى مطورة.

التعريف 3.الزاوية القائمة هي زاوية قياسها 90 درجة.

التعريف 4.الزاوية التي يقل قياسها عن 90 درجة تسمى زاوية حادة.

التعريف 5.الزاوية الأكبر من 90 درجة والأقل من 180 درجة تسمى زاوية منفرجة.
خطوط متقاطعة.

التعريف 6.تسمى الزاويتان المتجاورتان، أحد ضلعيهما مشتركين والضلعين الآخرين على نفس الخط المستقيم.

التعريف 7.تسمى الزوايا التي تستمر أضلاعها بعضها البعض بالزوايا الرأسية.
في الشكل 1:
المجاورة: 1 و 2؛ 2 و 3؛ 3 و 4؛ 4 و 1
عمودي: 1 و 3؛ 2 و 4
النظرية 1.مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.
للإثبات، النظر في الشكل. 4 زوايا متجاورة AOB وBOC. مجموعهم هو الزاوية المتقدمة AOC. ومن ثم، فإن مجموع هذه الزوايا المتجاورة هو 180 درجة.

أرز. 4

العلاقة بين الرياضيات والموسيقى

"بالتفكير في الفن والعلم، وفي الروابط والتناقضات المتبادلة بينهما، توصلت إلى نتيجة مفادها أن الرياضيات والموسيقى هما في أقصى قطبي الروح الإنسانية، وأن كل النشاط الروحي الإبداعي للإنسان محدود ومحدد بهذين النقيضين وأن فكل شيء يقع بينهما ما خلقته البشرية في مجالات العلم والفن".
جي نيوهاوس
يبدو أن الفن مجال مجرد للغاية من الرياضيات. ومع ذلك، فإن العلاقة بين الرياضيات والموسيقى تتحدد تاريخيًا وداخليًا، على الرغم من أن الرياضيات هي أكثر العلوم تجريدًا، والموسيقى هي أكثر أشكال الفن تجريدًا.
يحدد التناغم الصوت اللطيف للوتر
وكان هذا النظام الموسيقي يعتمد على قانونين يحملان اسمي عالمين عظيمين هما فيثاغورس وأرخيتاس. هذه هي القوانين:
1. تحدد سلسلتان صوتيتان التوافق إذا كانت أطوالهما مرتبطة كأعداد صحيحة تشكل رقمًا مثلثيًا 10=1+2+3+4، أي. مثل 1:2، 2:3، 3:4. علاوة على ذلك، كلما كان الرقم n أصغر في النسبة n:(n+1) (n=1,2,3)، كلما كان الفاصل الزمني الناتج أكثر تناسقًا.
2. تردد اهتزاز وتر السبر يتناسب عكسيا مع طوله l.
ث = أ:ل،
حيث a هو المعامل الذي يميز الخصائص الفيزيائية للسلسلة.

سأقدم لك أيضًا محاكاة ساخرة مضحكة حول جدال بين اثنين من علماء الرياضيات =)

الهندسة من حولنا

الهندسة في حياتنا ليست ذات أهمية كبيرة. نظرًا لحقيقة أنه عندما تنظر حولك، لن يكون من الصعب ملاحظة أننا محاطون بأشكال هندسية مختلفة. نواجههم في كل مكان: في الشارع، في الفصل الدراسي، في المنزل، في الحديقة، في صالة الألعاب الرياضية، في كافتيريا المدرسة، وفي الأساس أينما كنا. لكن موضوع درس اليوم هو الفحم المجاور. لذلك دعونا ننظر حولنا ونحاول إيجاد الزوايا في هذه البيئة. إذا نظرت عن كثب إلى النافذة، يمكنك أن ترى أن بعض فروع الأشجار تشكل زوايا مجاورة، وفي الأقسام الموجودة على البوابة، يمكنك رؤية العديد من الزوايا الرأسية. أعط أمثلة خاصة بك على الزوايا المتجاورة التي لاحظتها في بيئتك.

التمرين 1.

1. يوجد كتاب على الطاولة على حامل كتب. ما الزاوية التي تشكلها؟
2. لكن الطالب يعمل على جهاز كمبيوتر محمول. ما الزاوية التي تراها هنا؟
3. ما هي الزاوية التي يشكلها إطار الصورة على الحامل؟
4. هل تعتقد أنه من الممكن أن تكون الزاويتان المتجاورتان متساويتين؟

المهمة 2.

أمامك شكل هندسي. أي نوع من هذا الرقم، سمها؟ الآن قم بتسمية جميع الزوايا المجاورة التي يمكنك رؤيتها في هذا الشكل الهندسي.

المهمة 3.

هنا صورة للرسم والرسم. انظر إليهم بعناية وأخبرني ما هي أنواع الأسماك التي تراها في الصورة، وما الزوايا التي تراها في الصورة.

حل المشاكل

1) بالنظر إلى زاويتين مرتبطتين ببعضهما البعض مثل 1: 2، ومتاخمتين لهما - مثل 7: 5. أنت بحاجة إلى العثور على هذه الزوايا.
2) من المعلوم أن إحدى الزاويتين المتجاورتين أكبر من الأخرى بأربع مرات. ما هي الزوايا المجاورة متساوية؟
3) لا بد من إيجاد الزوايا المتجاورة على أن تكون إحداهما أكبر من الثانية بـ 10 درجات.

الإملاء الرياضي لمراجعة المواد التي تم تعلمها سابقا

1) أكمل الرسم: الخطوط المستقيمة أ أنا ب تتقاطع عند النقطة أ. حدد أصغر الزوايا المشكلة بالرقم 1، والزوايا المتبقية - بالتتابع بالأرقام 2،3،4؛ الأشعة التكميلية للخط أ تمر عبر a1 و a2، والخط b يمر عبر b1 و b2.
2) باستخدام الرسم المكتمل، أدخل المعاني والإيضاحات اللازمة في الفجوات الموجودة في النص:
أ) الزاوية 1 والزاوية .... مجاورة لأن...
ب) الزاوية 1 والزاوية…. عمودي لأن...
ج) إذا كانت الزاوية 1 = 60 درجة، فإن الزاوية 2 = ...، لأن...
د) إذا كانت الزاوية 1 = 60 درجة، فإن الزاوية 3 = ...، لأن...

حل المشاكل:

1. هل يمكن أن يساوي مجموع الزوايا الثلاث الناتجة عن تقاطع خطين مستقيمين 100 درجة؟ 370 درجة؟
2. في الشكل، أوجد جميع أزواج الزوايا المتجاورة. والآن الزوايا العمودية. قم بتسمية هذه الزوايا.

3. تحتاج إلى إيجاد زاوية عندما تكون أكبر بثلاث مرات من الزاوية المجاورة لها.
4. خطان مستقيمان متقاطعان. ونتيجة لهذا التقاطع تشكلت أربع زوايا. تحديد قيمة أي منها، بشرط:

أ) مجموع زاويتين من أصل أربع هو 84 درجة؛
ب) الفرق بين زاويتين منهما هو 45 درجة؛
ج) زاوية واحدة أقل بأربع مرات من الثانية؛
د) مجموع ثلاث من هذه الزوايا هو 290 درجة.

ملخص الدرس

1. ما اسم الزوايا التي تتكون عند تقاطع خطين مستقيمين؟
2. قم بتسمية جميع أزواج الزوايا الممكنة في الشكل وتحديد نوعها.

العمل في المنزل:

1. أوجد النسبة بين قياسات درجات الزوايا المتجاورة عندما تكون إحداهما أكبر من الثانية بمقدار 54 درجة.
2. أوجد الزوايا التي تتكون عند تقاطع خطين مستقيمين، بشرط أن تكون إحدى الزوايا تساوي مجموع الزاويتين الأخريين المجاورتين لها.
3. لا بد من إيجاد الزوايا المتجاورة عندما يشكل منصف إحداهما زاوية مع ضلع الثانية أكبر من الزاوية الثانية بمقدار 60 درجة.
4. الفرق بين زاويتين متجاورتين يساوي ثلث مجموع هاتين الزاويتين. تحديد قيم زاويتين متجاورتين.
5. الفرق ومجموع الزاويتين المتجاورتين يكونان بنسبة 1:5 على التوالي. العثور على الزوايا المجاورة.
6. الفرق بين متجاورين هو 25% من مجموعهما. كيف ترتبط قيم الزاويتين المتجاورتين؟ تحديد قيم زاويتين متجاورتين.

أسئلة:

1. ما هي الزاوية؟
2. ما هي أنواع الزوايا الموجودة؟
3. ما هي خاصية الزوايا المجاورة؟

المواد > الرياضيات > الرياضيات للصف السابع

كل زاوية، حسب حجمها، لها اسمها الخاص:

نوع الزاوية	الحجم بالدرجات	مثال
حار	أقل من 90 درجة
مستقيم	يساوي 90 درجة. في الرسم، يُشار عادةً إلى الزاوية القائمة برمز مرسوم من أحد جانبي الزاوية إلى الجانب الآخر.
صريح	أكثر من 90 درجة ولكن أقل من 180 درجة
موسع	يساوي 180 درجة الزاوية المستقيمة تساوي مجموع زاويتين قائمتين، والزاوية القائمة تساوي نصف زاوية مستقيمة.
محدب	أكثر من 180 درجة ولكن أقل من 360 درجة
ممتلىء	يساوي 360 درجة

تسمى الزاويتان مجاورإذا كان بينهما ضلع واحد مشترك، والضلعان الآخران يشكلان خطاً مستقيماً:

الزوايا ممسحةو بونالمجاورة، منذ شعاع OP- الجانب المشترك، والجانبان الآخران - أومو علىتشكل خطا مستقيما.

يسمى الضلع المشترك للزوايا المتجاورة منحرف إلى مستقيمالتي يقع عليها الجانبان الآخران فقط في حالة عدم تساوي الزوايا المجاورة مع بعضها البعض. إذا كانت الزوايا المتجاورة متساوية، فإن ضلعها المشترك سيكون كذلك عمودي.

مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.

تسمى الزاويتان رَأسِيّإذا كان أضلاع إحدى الزوايا مكملة لأضلاع الزاوية الأخرى إلى خطوط مستقيمة:

الزوايا 1 و 3، وكذلك الزاويتان 2 و 4، عمودية.

الزوايا العمودية متساوية.

لنثبت أن الزوايا الرأسية متساوية:

مجموع ∠1 و ∠2 زاوية مستقيمة. ومجموع ∠3 و∠2 زاوية مستقيمة. إذن هذين المبلغين متساويان:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

في هذه المساواة، هناك مصطلح متطابق على اليسار واليمين - ∠2. لن يتم انتهاك المساواة إذا تم حذف هذا المصطلح الموجود على اليسار واليمين. ثم نحصل عليه.

في عملية دراسة دورة الهندسة، تظهر في كثير من الأحيان مفاهيم "الزاوية"، "الزوايا العمودية"، "الزوايا المجاورة". سيساعدك فهم كل مصطلح من المصطلحات على فهم المشكلة وحلها بشكل صحيح. ما هي الزوايا المتجاورة وكيفية تحديدها؟

الزوايا المجاورة - تعريف المفهوم

يصف مصطلح "الزوايا المتجاورة" زاويتين مكونتين من شعاع مشترك ونصفي خطين إضافيين يقعان على نفس الخط المستقيم. جميع الأشعة الثلاثة تخرج من نفس النقطة. نصف الخط المشترك هو في نفس الوقت جانب من الزاوية الواحدة والزاوية الأخرى.

الزوايا المجاورة - الخصائص الأساسية

1. بناءً على صيغة الزوايا المتجاورة، من السهل ملاحظة أن مجموع هذه الزوايا يشكل دائمًا زاوية عكسية، قياس درجتها هو 180 درجة:

• إذا كانت μ و η زاويتين متجاورتين، فإن μ + η = 180 درجة.
• بمعرفة حجم إحدى الزوايا المجاورة (على سبيل المثال، μ)، ​​يمكنك بسهولة حساب قياس درجة الزاوية الثانية (η) باستخدام التعبير η = 180° – μ.

2. تتيح لنا خاصية الزوايا هذه استخلاص الاستنتاج التالي: الزاوية المجاورة للزاوية القائمة ستكون قائمة أيضًا.

3. بالنظر إلى الدوال المثلثية (sin، cos، tg، ctg)، بناءً على صيغ التخفيض للزوايا المجاورة μ و η، يكون ما يلي صحيحًا:

• الخطيئة η = الخطيئة (180 درجة - μ) = الخطيئةμ،
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

الزوايا المتجاورة - أمثلة

مثال 1

بالنظر إلى مثلث ذو رؤوس M، P، Q – ΔMPQ. أوجد الزوايا المجاورة للزوايا ∠QMP، ∠MPQ، ∠PQM.

• دعونا نمد كل جانب من المثلث بخط مستقيم.
• بمعرفة أن الزوايا المتجاورة تكمل بعضها البعض حتى زاوية معكوسة نجد أن:

المجاورة للزاوية ∠QMP هي ∠LMP،

المجاورة للزاوية ∠MPQ هي ∠SPQ،

المجاورة للزاوية ∠PQM هي ∠HQP.

مثال 2

قيمة الزاوية المجاورة الواحدة هي 35°. ما هو قياس درجة الزاوية المجاورة الثانية؟

• مجموع زاويتين متجاورتين يصل إلى 180 درجة.
• إذا كانت ∠μ = 35°، فإن المجاورة لها ∠η = 180° – 35° = 145°.

مثال 3

تحديد قيم الزوايا المتجاورة إذا علم أن قياس درجة إحداهما أكبر بثلاث مرات من قياس درجة الزاوية الأخرى.

• دعونا نشير إلى حجم زاوية واحدة (أصغر) بـ – ∠μ = lect.
• ومن ثم، وفقًا لشروط المشكلة، ستكون قيمة الزاوية الثانية مساوية لـ ∠η = 3η.
• بناءً على الخاصية الأساسية للزوايا المجاورة، يتبع ذلك μ + η = 180°

ẫ + 3ạ = μ + η = 180°،

 = 180°/4 = 45°.

هذا يعني أن الزاوية الأولى هي ∠μ = lect = 45°، والزاوية الثانية هي ∠η = 3lect = 135°.

ستساعدك القدرة على استخدام المصطلحات، بالإضافة إلى معرفة الخصائص الأساسية للزوايا المجاورة، على حل العديد من المشكلات الهندسية.

تسمى الزاويتان متجاورتين إذا كان لهما جانب واحد مشترك، والجوانب الأخرى لهذه الزوايا هي أشعة مكملة. في الشكل 20، الزاويتان AOB وBOC متجاورتان.

مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة

النظرية 1. مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.

دليل. يمر شعاع OB (انظر الشكل 1) بين جانبي الزاوية المكشوفة. لهذا ∠ AOB + ∠ BOS = 180 درجة.

من النظرية 1 يترتب على ذلك أنه إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية.

الزوايا العمودية متساوية

تسمى الزاويتان رأسيتين إذا كانت جوانب إحدى الزوايا عبارة عن أشعة مكملة لجوانب الأخرى. الزوايا AOB وCOD وBOD وAOC، المتكونة عند تقاطع خطين مستقيمين، تكون عمودية (الشكل 2).

النظرية 2. الزوايا الرأسية متساوية.

دليل. دعونا ننظر في الزوايا الرأسية AOB و COD (انظر الشكل 2). زاوية BOD مجاورة لكل من الزوايا AOB و COD. حسب النظرية 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°، ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

من هذا نستنتج أن ∠ AOB = ∠ COD.

النتيجة الطبيعية 1. الزاوية المجاورة لزاوية قائمة هي زاوية قائمة.

خذ بعين الاعتبار خطين مستقيمين متقاطعين AC و BD (الشكل 3). أنها تشكل أربع زوايا. إذا كانت إحداهما مستقيمة (الزاوية 1 في الشكل 3)، فإن الزوايا المتبقية تكون قائمة أيضًا (الزوايا 1 و2 و1 و4 متجاورة، والزاويتان 1 و3 عموديتان). في هذه الحالة يقولون أن هذه الخطوط تتقاطع بزوايا قائمة وتسمى متعامدة (أو متعامدة بشكل متبادل). تتم الإشارة إلى عمودي الخطوط AC و BD على النحو التالي: AC ⊥ BD.

المنصف العمودي على القطعة هو الخط العمودي على هذه القطعة ويمر بمنتصفها.

AN - عمودي على الخط

ضع في اعتبارك خطًا مستقيمًا أ ونقطة أ لا تقع عليه (الشكل 4). لنقم بتوصيل النقطة A بقطعة إلى النقطة H بخط مستقيم a. يُطلق على القطعة AN عمودًا مرسومًا من النقطة A إلى الخط a إذا كان الخطان AN و a متعامدين. النقطة H تسمى قاعدة العمودي.

ساحة الرسم

النظرية التالية صحيحة.

النظرية 3. من أي نقطة لا تقع على الخط، من الممكن رسم عمودي على هذا الخط، وعلاوة على ذلك، واحد فقط.

لرسم عمودي من نقطة إلى خط مستقيم في الرسم، استخدم مربع الرسم (الشكل 5).

تعليق. تتكون صياغة النظرية عادة من جزأين. جزء واحد يتحدث عن ما يعطى. ويسمى هذا الجزء شرط النظرية. والجزء الآخر يتحدث عما يحتاج إلى إثبات. ويسمى هذا الجزء استنتاج النظرية. على سبيل المثال، شرط النظرية 2 هو أن تكون الزوايا رأسية؛ الاستنتاج - هذه الزوايا متساوية.

ويمكن التعبير عن أي نظرية بالتفصيل بالكلمات بحيث يبدأ شرطها بكلمة "إذا" وختامها بكلمة "ثم". على سبيل المثال، يمكن ذكر النظرية الثانية بالتفصيل على النحو التالي: "إذا كانت الزاويتان عموديتين، فإنهما متساويتان".

مثال 1.إحدى الزوايا المجاورة قياسها 44 درجة. ما هو الآخر يساوي؟

حل. دعونا نشير إلى قياس درجة زاوية أخرى بـ x، ثم وفقًا للنظرية 1.
44° + س = 180°.
وبحل المعادلة الناتجة نجد أن x = 136°. وبالتالي فإن الزاوية الأخرى هي 136 درجة.

مثال 2.دع زاوية COD في الشكل 21 تكون 45 درجة. ما هي الزوايا AOB وAOC؟

حل. الزاويتان COD وAOB عموديتان، وبالتالي، وفقًا للنظرية 1.2، فإنهما متساويتان، أي ∠ AOB = 45°. الزاوية AOC مجاورة للزاوية COD، مما يعني وفقًا للنظرية 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

مثال 3.أوجد الزوايا المتجاورة إذا كانت إحداهما أكبر بثلاث مرات من الأخرى.

حل. دعونا نشير إلى قياس درجة الزاوية الأصغر بـ x. ثم سيكون قياس درجة الزاوية الأكبر 3x. بما أن مجموع الزوايا المتجاورة يساوي 180° (النظرية 1)، إذن x + 3x = 180°، حيث x = 45°.
وهذا يعني أن الزوايا المجاورة هي 45 درجة و135 درجة.

مثال 4.مجموع زاويتين رأسيتين يساوي 100 درجة. أوجد حجم كل زاوية من الزوايا الأربع.

حل. دع شروط المشكلة تتوافق مع الشكل 2. الزوايا الرأسية COD إلى AOB متساوية (النظرية 2)، مما يعني أن قياسات درجاتها متساوية أيضًا. لذلك، ∠ COD = ∠ AOB = 50° (مجموعها حسب الشرط هو 100°). زاوية BOD (أيضًا الزاوية AOC) مجاورة للزاوية COD، وبالتالي، حسب النظرية 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

الفصل الأول.

مفاهيم أساسية.

§أحد عشر. الزوايا المجاورة والعمودية.

1. الزوايا المجاورة.

إذا قمنا بتمديد جانب أي زاوية إلى ما بعد قمة رأسها، نحصل على زاويتين (الشكل 72): / والشمس و / SVD، حيث يكون أحد الجانبين BC مشتركًا، ويشكل الجانبان الآخران A و BD خطًا مستقيمًا.

تسمى الزاويتان اللتان يكون أحدهما مشتركًا والآخران يشكلان خطًا مستقيمًا زاويتين متجاورتين.

يمكن أيضًا الحصول على الزوايا المجاورة بهذه الطريقة: إذا رسمنا شعاعًا من نقطة ما على خط ما (لا يقع على خط معين)، فسنحصل على زوايا مجاورة.
على سبيل المثال، / وحدة التغذية التلقائية للمستندات و / FDВ - الزوايا المجاورة (الشكل 73).

يمكن أن يكون للزوايا المجاورة مجموعة واسعة من المواضع (الشكل 74).

الزوايا المتجاورة تضيف ما يصل إلى زاوية مستقيمة، لذلك أمة الزاويتين المتجاورتين متساوية 2د.

ومن ثم، يمكن تعريف الزاوية القائمة بأنها زاوية تساوي الزاوية المجاورة لها.

وبمعرفة حجم إحدى الزوايا المجاورة، يمكننا إيجاد حجم الزاوية الأخرى المجاورة لها.

على سبيل المثال، إذا كانت إحدى الزوايا المجاورة تساوي 3/5 د، فإن الزاوية الثانية ستكون مساوية لـ:

2د- 3 / 5 د= ل 2 / 5 د.

2. الزوايا العمودية.

إذا مددنا أضلاع الزاوية إلى ما بعد رأسها، فسنحصل على زوايا رأسية. في الرسم 75، تكون الزاويتان EOF وAOC عموديتين؛ الزوايا AOE و COF عمودية أيضًا.

تسمى الزاويتان عموديتين إذا كانت جوانب إحدى الزوايا استمرارًا لجوانب الزاوية الأخرى.

يترك / 1 = 7 / 8 د(الشكل 76). المجاورة لها / 2 سيكون مساوياً لـ 2 د- 7 / 8 د، أي 1 1/8 د.

بنفس الطريقة يمكنك حساب ما يساويهما / 3 و / 4.
/ 3 = 2د - 1 1 / 8 د = 7 / 8 د; / 4 = 2د - 7 / 8 د = 1 1 / 8 د(الرسم البياني 77).

نحن نرى ذلك / 1 = / 3 و / 2 = / 4.

يمكنك حل العديد من المسائل نفسها، وفي كل مرة ستحصل على نفس النتيجة: الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.

ومع ذلك، للتأكد من أن الزوايا الرأسية متساوية دائمًا مع بعضها البعض، لا يكفي النظر في الأمثلة العددية الفردية، لأن الاستنتاجات المستخلصة من أمثلة معينة قد تكون خاطئة في بعض الأحيان.

ومن الضروري التحقق من صحة خصائص الزوايا الرأسية بالاستدلال والبرهان.

يمكن إجراء الإثبات على النحو التالي (الشكل 78):

/ أ+/ ج = 2د;
/ ب+/ ج = 2د;

(لأن مجموع الزوايا المتجاورة هو 2 د).

/ أ+/ ج = / ب+/ ج

(نظرًا لأن الجانب الأيسر من هذه المساواة يساوي أيضًا 2 د، وضلعه الأيمن يساوي 2 أيضًا د).

هذه المساواة تشمل نفس الزاوية مع.

إذا طرحنا كميات متساوية من كميات متساوية، فستبقى كميات متساوية. ستكون النتيجة: / أ = / بأي أن الزوايا الرأسية متساوية مع بعضها البعض.

عند النظر في مسألة الزوايا الرأسية، أوضحنا أولاً ما هي الزوايا التي تسمى عمودية، أي؟ تعريفالزوايا العمودي.

ثم أصدرنا حكماً (بياناً) على تساوي الزوايا الرأسية واقتنعنا بصحة هذا الحكم بالبرهان. وتسمى مثل هذه الأحكام التي يجب إثبات صحتها النظريات. وهكذا قدمنا ​​في هذا القسم تعريفًا للزوايا الرأسية، كما ذكرنا وأثبتنا نظرية حول خصائصها.

في المستقبل، عند دراسة الهندسة، سيكون علينا دائمًا أن نواجه تعريفات وأدلة للنظريات.

3. مجموع الزوايا التي لها رأس مشترك.

على الرسم 79 / 1, / 2, / 3 و / 4 تقع على جانب واحد من الخط ولها قمة مشتركة على هذا الخط. وخلاصة القول أن هذه الزوايا تشكل زاوية مستقيمة، أي.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2د.

على الرسم 80 / 1, / 2, / 3, / 4 و / 5 لها قمة مشتركة. وخلاصة القول، هذه الزوايا تشكل زاوية كاملة، أي. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4د.

تمارين.

1. إحدى الزوايا المجاورة قياسها 0.72 د.احسب الزاوية التي تكونها منصفات هذه الزوايا المتجاورة.

2. أثبت أن منصفات الزاويتين المتجاورتين تشكل زاوية قائمة.

3. أثبت أنه إذا كانت الزاويتان متساويتين، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية أيضًا.

4. ما عدد أزواج الزوايا المتجاورة الموجودة في الرسم 81؟

5. هل يمكن أن يتكون زوج من الزوايا المتجاورة من زاويتين حادتين؟ من زاويتين منفرجتين؟ من الزوايا القائمة والمنفرجة؟ من زاوية قائمة وحادة؟

6. إذا كانت إحدى الزوايا المجاورة قائمة، فماذا يمكن أن يقال عن حجم الزاوية المجاورة لها؟

7. إذا كانت إحدى الزوايا قائمة عند تقاطع خطين مستقيمين، فماذا يمكن أن يقال عن حجم الزوايا الثلاث الأخرى؟