Въведение

В математиката и нейните приложения в науката и технологиите експоненциалните функции се използват широко. Това по-специално се обяснява с факта, че много явления, изучавани в естествените науки, са сред така наречените процеси на органичен растеж, при които скоростите на промяна на участващите в тях функции са пропорционални на стойностите на самите функции .

Ако го обозначим чрез функция и чрез аргумент, тогава диференциалният закон на процеса на органичен растеж може да бъде записан във формата където е определен постоянен коефициент на пропорционалност.

Интегрирането на това уравнение води до общо решениекато експоненциална функция

Ако зададете началното условие на, тогава можете да определите произволна константа и по този начин да намерите конкретно решение, което представлява интегралния закон на разглеждания процес.

Процесите на органичен растеж включват, при определени опростяващи предположения, такива явления като, например, промяна атмосферно наляганев зависимост от височината над земната повърхност, радиоактивен разпад, охлаждане или нагряване на тялото в заобикаляща средапостоянна температура, едномолекулярна химическа реакция(например разтваряне на вещество във вода), при което се изпълнява законът за масовото действие (скоростта на реакцията е пропорционална на наличното количество реагент), размножаването на микроорганизми и много други.

Увеличение на сумата пари поради начисляване върху нея сложна лихва(лихва върху лихва) също е процес на органичен растеж.

Тези примери могат да бъдат продължени.

Наред с отделните експоненциални функции в математиката и нейните приложения се използват различни комбинации. експоненциални функции, сред които особено значение имат някои линейни и дробно-линейни комбинации от функции и така наречените хиперболични функции. Има шест от тези функции, които са въведени за тях:

(хиперболичен синус),

(хиперболичен косинус),

(хиперболичен тангенс),

(хиперболичен котангенс),

(хиперболичен секанс),

(хиперболичен секанс).

Възниква въпросът, защо са дадени точно тези наименования, а тук има хипербола и имената на известни от тригонометрията функции: синус, косинус и т.н.? Оказва се, че отношенията, свързващи тригонометрични функции с координатите на точки от окръжност с единичен радиус, са подобни на отношенията, свързващи хиперболични функции с координатите на точки от равностранна хипербола с единична полуос. Това оправдава наименованието хиперболични функции.

Хиперболични функции

Функциите, дадени от формулите, се наричат ​​съответно хиперболичен косинус и хиперболичен синус.

Тези функции са дефинирани и непрекъснати, и - е четна функция, а - е нечетна функция.

Фигура 1.1 - Функционални графики

От дефиницията на хиперболичните функции следва, че:

По аналогия с тригонометричните функции хиперболичният тангенс и котангенс се определят съответно по формулите

Функцията е дефинирана и непрекъсната върху, а функцията е дефинирана и непрекъсната върху множеството с пунктирана точка; и двете функции са нечетни, техните графики са представени на фигурите по-долу.

Фигура 1.2 - Функционална графика

Фигура 1.3 - Функционална графика

Може да се покаже, че функциите и са строго нарастващи, а функцията е строго намаляваща. Следователно тези функции са обратими. Нека обозначим обратните към тях функции съответно с.

Нека разгледаме функцията, обратна на функцията, т.е. функция. Нека го изразим чрез елементарни. Решавайки относително уравнението, получаваме Тъй като, тогава откъде

Заменяйки с и с, намираме формулата за обратната функция за хиперболичния синус.

, стр. 6

11 Основни функции на комплексна променлива

Нека си припомним дефиницията на комплексен показател – ​​. Тогава

Разширение на серията Maclaurin. Радиусът на сходимост на тази серия е +∞, което означава, че комплексната експоненциална е аналитична в цялата комплексна равнина и

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Първото равенство тук следва, например, от теоремата за член по член диференциране на степенен ред.

11.1 Тригонометрични и хиперболични функции

Синус на комплексна променливанаречена функция

Косинус на комплексна променливаима функция

Хиперболичен синус на комплексна променливасе определя така:

Хиперболичен косинус на комплексна променлива-- това е функция

Нека отбележим някои свойства на нововъведените функции.

А.Ако x∈ ℝ, тогава cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

б.Между тригонометричните и хиперболичните функции съществува следната връзка:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; ш из=исин з.

Б. Основни тригонометрични и хиперболични тъждества:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Доказателство за основното хиперболично тъждество.

Основи тригонометрична идентичностследва от основното хиперболично тъждество, когато се вземе предвид връзката между тригонометрични и хиперболични функции (виж свойство B)

Ж Формули за добавяне:

В частност,

Д.За да се изчислят производните на тригонометрични и хиперболични функции, трябва да се приложи теоремата за член по член диференциране на степенен ред. Получаваме:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

д.Функциите cos z, ch z са четни, а функциите sin z, sin z са нечетни.

J. (Честота)Функцията e z е периодична с период 2π i. Функциите cos z, sin z са периодични с период 2π, а функциите ch z, sin z са периодични с период 2πi. Освен това,

Прилагайки формулите за сбор, получаваме

З. Разширение в реални и въображаеми части:

Ако еднозначна аналитична функция f(z) преобразува биективно област D върху област G, тогава D се нарича едновалентна област.

И.Регион D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доказателство. От съотношението (5) следва, че преобразуването exp:D k → ℂ е инективно. Нека w е всяко ненулево комплексно число. След това, решаване на уравненията e x =|w| и e iy =w/|w| с реални променливи x и y (y се избира от полуинтервала); понякога се взема под внимание... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

Функции, обратни на хиперболични функции (Виж Хиперболични функции) sh x, ch x, th x; те се изразяват с формули (прочетете: площ синус хиперболична, площ косинус хиперболична, площ тангенс... ... Велика съветска енциклопедия

Функции, обратни на хиперболични. функции; изразени с формули... Естествени науки. енциклопедичен речник

Обратните хиперболични функции се дефинират като обратните функции на хиперболичните функции. Тези функции определят площта на сектора на единичната хипербола x2 − y2 = 1 по същия начин, както обратните тригонометрични функции определят дължината... ... Wikipedia

Книги

• Хиперболични функции, Yanpolsky A.R. Книгата очертава свойствата на хиперболичните и обратните хиперболични функции и дава връзки между тях и други елементарни функции. Приложения на хиперболични функции към...

Тангенс, котангенс

Дефиниции на хиперболични функции, техните области на дефиниции и стойности

ш х- хиперболичен синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- хиперболичен косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
Мерси- хиперболичен тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- хиперболичен котангенс
, x ≠ 0 ; г< -1 или y > +1 .

Графики на хиперболични функции

Хиперболична синусова графика y = ш х

Графика на хиперболичен косинус y = ch x

Графика на хиперболичен тангенс y = Мерси

Графика на хиперболичен котангенс y = cth x

Формули с хиперболични функции

Връзка с тригонометричните функции

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i cot z
Тук i е въображаемата единица, i 2 = - 1 .

Прилагайки тези формули към тригонометрични функции, получаваме формули, свързващи хиперболични функции.

Паритет

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

функция ch(x)- дори. Функции sh(x), Мерси), cth(x)- странно.

Разлика на квадратите

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Формули за сбор и разлика на аргументи

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Формули за произведенията на хиперболичен синус и косинус

,
,
,

,
,
.

Формули за сбор и разлика на хиперболични функции

,
,
,
,
.

Връзка на хиперболичен синус и косинус с тангенс и котангенс

, ,
, .

Деривати

,

Интеграли от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разширения на сериите

Обратни функции

Areasinus

При - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При 1 ≤ x< ∞ И 0 ≤ y< ∞ се прилагат следните формули:
,
.

Вторият клон на ареокосинуса се намира на 1 ≤ x< ∞ и - ∞< y ≤ 0 :
.

Повърхностна допирателна

в - 1 < x < 1 и - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

ХИПЕРБОЛИЧНИ ФУНКЦИИ— Хиперболичен синус (sh x) и косинус (сh x) се определят от следните равенства:

Хиперболичният тангенс и котангенс се определят по аналогия с тригонометричен тангенси котангенс:

Хиперболичният секанс и косеканс се дефинират по подобен начин:

Прилагат се следните формули:

Свойствата на хиперболичните функции са в много отношения подобни на тези на (виж). Уравненията x=cos t, y=sin t определят окръжността x²+y² = 1; уравненията x=сh t, y=sh t определят хиперболата x² - y²=1. Точно както тригонометричните функции се определят от окръжност с единичен радиус, така хиперболичните функции се определят от равнобедрена хипербола x² - y²=1. Аргументът t е двойната площ на защрихования криволинеен триъгълник OME (фиг. 48), подобно на това как за кръгови (тригонометрични) функции аргументът t е числено равен на двойната площ на криволинейния триъгълник OKE (фиг. 49):

за кръг

за хипербола

Теоремите за събиране на хиперболични функции са подобни на теоремите за събиране на тригонометрични функции:

Тези аналогии се виждат лесно, ако вземем комплексната променлива r като аргумент x. Хиперболичните функции са свързани с тригонометричните функции чрез следните формули: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, където i е една от стойностите. ​​от корена √-1. Хиперболичните функции sh x, както и ch x: могат да приемат толкова големи стойности, колкото желаете (следователно, естествено, големи единици) за разлика от тригонометричните функции грях x, cos x, които за реални стойности не могат да бъдат по-големи от единица по абсолютна стойност.
Хиперболичните функции играят роля в геометрията на Лобачевски (виж), те се използват при изследване на якостта на материалите, в електротехниката и други клонове на знанието. В литературата има и обозначения за хиперболични функции като sinh x; сosh x; tgh x.