Вписана и неописана окръжност. Визуално ръководство с примери (2019)

Ромбът е успоредник с равни страни. Следователно той наследява всички свойства на успоредник. а именно:

• Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни.
• Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите вътрешни ъгли.

Окръжност може да бъде вписана в четириъгълник тогава и само ако сумите на противоположните страни са равни.
Следователно във всеки ромб може да се впише окръжност. Центърът на вписаната окръжност съвпада с центъра на пресичане на диагоналите на ромба.
Радиусът на вписаната окръжност в ромб може да се изрази по няколко начина

1 начин. Радиус на вписаната окръжност в ромб през височината

Височината на ромба е равна на диаметъра на вписаната окръжност. Това следва от свойството на правоъгълника, който се образува от диаметъра на вписаната окръжност и височината на ромба - срещуположните страни на правоъгълника са равни.

Следователно формулата за радиуса на вписан кръг в ромб по отношение на височината:

Метод 2. Радиус на вписаната окръжност в ромб през диагонали

Площта на ромба може да бъде изразена чрез радиуса на вписания кръг
, Където Р– периметър на ромб. Знаейки, че периметърът е сумата от всички страни на четириъгълника, имаме P= 4×a.Тогава
Но площта на ромба също е равна на половината от произведението на неговите диагонали
Приравнявайки десните части на формулите за площ, получаваме следното равенство
В резултат на това получаваме формула, която ни позволява да изчислим радиуса на вписания кръг в ромб през диагоналите

Пример за изчисляване на радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако диагоналите са известни
Намерете радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако е известно, че дължините на диагоналите са 30 cm и 40 cm
Позволявам ABCD- ромб, тогава A.C.И BDнеговите диагонали. AC= 30 см ,BD=40 см
Нека точката ОТНОСНО- това е центърът на вписания в ромб ABCDкръг, тогава той ще бъде и пресечната точка на неговите диагонали, разделяйки ги наполовина.


тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, тогава триъгълникът AOBправоъгълен. Тогава по Питагоровата теорема
, заменете предварително получените стойности във формулата

AB= 25 см
Прилагайки изведената по-рано формула за радиуса на описаната окръжност в ромб, получаваме

3 начина. Радиус на вписаната окръжност в ромб през отсечки m и n

Точка Е– точката на контакт на кръга със страната на ромба, която го разделя на сегменти А.Ф.И Б.Ф.. Позволявам AF=m, BF=n.
Точка О– центърът на пресичане на диагоналите на ромба и центъра на вписаната в него окръжност.
Триъгълник AOB– правоъгълен, тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл.
, защото е радиусът, начертан към допирателната точка на окръжността. Следователно НА– височина на триъгълника AOBкъм хипотенузата. Тогава А.Ф.И Б.Ф.проекции на краката върху хипотенузата.
Височина в правоъгълен триъгълник, понижено до хипотенузата е средната пропорционална стойност между проекциите на краката върху хипотенузата.

Формулата за радиуса на вписана окръжност в ромб през сегменти е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти, на които точката на допиране на окръжността разделя страната на ромба

Радиусът е линеен сегмент, който свързва всяка точка от окръжност с нейния център. Това е една от най-важните характеристики на тази фигура, тъй като въз основа на нея могат да се изчислят всички останали параметри. Ако знаете как да намерите радиуса на кръг, можете да изчислите неговия диаметър, дължина и площ. В случай, че дадена фигура е вписана или описана около друга, могат да бъдат решени редица други проблеми. Днес ще разгледаме основните формули и характеристиките на тяхното приложение.

Известни количества

Ако знаете как да намерите радиуса на кръг, който обикновено се обозначава с буквата R, тогава той може да бъде изчислен с помощта на една характеристика. Тези стойности включват:

• обиколка (C);
• диаметър (D) - сегмент (или по-скоро акорд), който минава през централната точка;
• площ (S) - пространството, което е ограничено от дадена фигура.

Обиколка

Ако стойността на C е известна в проблема, тогава R = C / (2 * P). Тази формула е производна. Ако знаем каква е обиколката, тогава вече няма нужда да я помним. Да приемем, че в задачата C = 20 m. Как да намерим радиуса на окръжността в този случай? Ние просто заместваме известната стойност в горната формула. Имайте предвид, че в такива задачи винаги се подразбира познаване на числото P. За удобство на изчисленията ще приемем неговата стойност като 3,14. Решението в този случай изглежда така: записваме какви стойности са дадени, извеждаме формулата и извършваме изчисленията. В отговора пишем, че радиусът е 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Важно е да не забравяме какво сме изчислили и да споменем името на мерните единици.

По диаметър

Нека веднага подчертаем, че това е най-простият вид задача, която пита как да се намери радиусът на окръжност. Ако попаднете на такъв пример на тест, можете да сте спокойни. Тук дори нямате нужда от калкулатор! Както вече казахме, диаметърът е сегмент или, по-правилно, хорда, която минава през центъра. В този случай всички точки на окръжността са еднакво отдалечени. Следователно този акорд се състои от две половини. Всеки от тях е радиус, което следва от определението му като отсечка, която свързва точка от окръжност и нейния център. Ако диаметърът е известен в проблема, тогава за да намерите радиуса, просто трябва да разделите тази стойност на две. Формулата е следната: R = D / 2. Например, ако диаметърът в проблема е 10 m, тогава радиусът е 5 метра.

По площ на кръг

Този тип проблеми обикновено се наричат ​​най-трудните. Това се дължи преди всичко на непознаване на формулата. Ако знаете как да намерите радиуса на окръжност в този случай, тогава останалото е въпрос на техника. В калкулатора просто трябва предварително да намерите иконата за изчисление на квадратен корен. Площта на кръга е произведението на числото P и радиуса, умножен по себе си. Формулата е следната: S = P * R 2. Като изолирате радиуса от едната страна на уравнението, можете лесно да решите проблема. То ще бъде равно на корен квадратен от частното на площта, разделено на числото P. Ако S = 10 m, тогава R = 1,78 метра. Както и в предишните задачи, важно е да запомните използваните мерни единици.

Как да намерите радиуса на описаната окръжност

Да приемем, че a, b, c са страните на триъгълника. Ако знаете техните стойности, можете да намерите радиуса на описаната около него окръжност. За да направите това, първо трябва да намерите полупериметъра на триъгълника. За по-лесно разбиране нека го обозначим с малката буква p. Тя ще бъде равна на половината от сбора на страните. Неговата формула: p = (a + b + c) / 2.

Изчисляваме и произведението на дължините на страните. За удобство нека го обозначим с буквата S. Формулата за радиуса на описаната окръжност ще изглежда така: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - ° С)).

Нека да разгледаме примерна задача. Имаме окръжност, описана около триъгълник. Дължините на страните му са 5, 6 и 7 см. Първо изчисляваме полупериметъра. В нашата задача ще бъде равно на 9 сантиметра. Сега нека изчислим произведението на дължините на страните - 210. Заместваме резултатите от междинните изчисления във формулата и откриваме резултата. Радиусът на описаната окръжност е 3,57 сантиметра. Записваме отговора, без да забравяме за мерните единици.

Как да намерим радиуса на вписана окръжност

Да приемем, че a, b, c са дължините на страните на триъгълника. Ако знаете техните стойности, можете да намерите радиуса на вписаната в него окръжност. Първо трябва да намерите неговия полупериметър. За по-лесно разбиране нека го обозначим с малката буква p. Формулата за изчисляването му е следната: p = (a + b + c) / 2. Този тип задача е малко по-проста от предишната, така че не са необходими повече междинни изчисления.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по следната формула: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Нека да разгледаме това конкретен пример. Да предположим, че задачата описва триъгълник със страни 5, 7 и 10 см. В него е вписана окръжност, чийто радиус трябва да се намери. Първо намираме полупериметъра. В нашия проблем ще бъде равно на 11 см. Сега го заместваме в основната формула. Радиусът ще бъде равен на 1,65 сантиметра. Запишете отговора и не забравяйте правилни единициизмервания.

Окръжност и нейните свойства

Всяка геометрична фигура има свои собствени характеристики. Правилността на решаването на проблема зависи от тяхното разбиране. Кръгът също ги има. Те често се използват при решаване на примери с описани или вписани фигури, тъй като дават ясна картина на такава ситуация. Между тях:

• Правата линия може да има нула, една или две точки на пресичане с окръжност. В първия случай не се пресича с него, във втория е допирателна, в третия е секанс.
• Ако вземете три точки, които не лежат на една права, тогава през тях може да се начертае само една окръжност.
• Една права линия може да бъде допирателна към две фигури едновременно. В този случай тя ще премине през точка, която лежи на сегмента, свързващ центровете на кръговете. Дължината му е равна на сбора от радиусите на тези фигури.
• През една или две точки могат да бъдат начертани безкраен брой кръгове.

Тази статия обяснява популярно как да намерите радиуса на окръжност, вписана в квадрат. Теоретичният материал ще ви помогне да разберете всички нюанси, свързани с темата. След като прочетете този текст, ще можете лесно да решавате подобни проблеми в бъдеще.

Основна теория

Преди да преминете директно към намирането на радиуса на окръжност, вписана в квадрат, си струва да се запознаете с някои основни понятия. Те може да изглеждат твърде прости и очевидни, но са необходими за разбиране на проблема.

Квадратът е четириъгълник, всички страни на който са равни една на друга, а градусната мярка на всички ъгли е 90 градуса.

Кръгът е двумерна затворена крива, разположена на определено разстояние от определена точка. Сегмент, чийто един край лежи в центъра на окръжността, а другият на някоя от повърхностите му, се нарича радиус.

Запознахме се с условията, остана само основният въпрос. Трябва да намерим радиуса на окръжност, вписана в квадрат. Но какво означава последната фраза? Тук също няма нищо сложно. Ако всички страни на многоъгълник докосват крива линия, тогава той се счита за вписан в този многоъгълник.

Радиус на окръжност, вписана в квадрат

СЪС теоретичен материалзавършен. Сега трябва да разберем как да го приложим на практика. Нека използваме чертеж за това.

Радиусът очевидно е перпендикулярен на AB. Това означава, че в същото време е успореден на AD и BC. Грубо казано, можете да го "наслагвате" отстрани на квадрата, за да определите допълнително дължината. Както можете да видите, сегмент BK ще съответства на него.

Единият му край r лежи в центъра на окръжността, която е пресечната точка на диагоналите. Последните се разделят наполовина въз основа на едно от техните свойства. С помощта на Питагоровата теорема можем да докажем, че те също разделят страната на фигурата на две равни части.

Като вземем тези аргументи, правим заключение.