Метод на хармонична линеаризация: Указания за лабораторна работа. Метод на хармонична линеаризация: Указания за лабораторна работа Метод на хармонична линеаризация на системи за управление

Когато на входа на линейна система се подаде хармоничен сигнал

На изхода на системата също се установява хармоничен сигнал, но с различна амплитуда и фазово изместване спрямо входа. Ако на входа на нелинеен елемент се подаде синусоидален сигнал, тогава на изхода му се формират периодични трептения, но тяхната форма е значително различна от синусоидалните. Като пример на фиг. Фигура 8.17 показва естеството на промяната в изходната променлива на нелинеен елемент с релейна характеристика (8.14), когато на входа му постъпят синусоидални трептения (8.18).

Разширявайки периодичния сигнал на изхода на нелинеен елемент в серия на Фурие, ние го представяме като сума от постоянен компонент и безкраен брой хармонични компоненти:

, (8.19)

Където – постоянни коефициенти на реда на Фурие; – честота на трептенията на първия хармоник (основна честота), равна на честотата на входните синусоидални трептения; T -периодът на трептене на първия хармоник, равен на периода на входните синусоидални трептения.

Изходният сигнал на нелинейния елемент се подава към входа на линейната част на ACS (виж фиг. 8.1), която като правило има значителна инерция. В този случай високочестотните компоненти на сигнала (8.19) практически не преминават към изхода на системата, т.е. линейната част е филтър по отношение на високочестотните хармонични компоненти. В тази връзка, както и като се има предвид, че амплитудите на хармоничните компоненти в намаляват с увеличаване на хармоничната честота, за приблизителна оценка на изходната стойност на нелинеен елемент, в голям брой случаи е достатъчно да се вземе предвид само първият хармоничен компонент в.

Следователно, при липса на постоянен компонент в изходните трептения, изразът (8.19) може да бъде приблизително написан като:

Изразяване на функцията от формула (8.20) и от производната – функция , преобразуваме израз (8.20), както следва:

. (8.21)

По този начин нелинейната зависимост на изходната величина от входната величина в нелинеен елемент приблизително се заменя с линейна зависимост, описана с израз (8.21).

След като извършихме преобразуването на Лаплас в израз (8.21), получаваме:

Що се отнася до непрекъснатите връзки, ние вземаме под внимание предавателна функция на нелинеен хармонично линеаризиран елемент , като съотношението на изображението на изходното количество към изображението на входното количество:

. (8.22)

Таблица 8.1

Коефициенти на хармонична линеаризация за типични нелинейности

Статична характеристика на нелинеен елемент
Линейна характеристика с мъртва зона
Линейна характеристика с ограничение
Линейна характеристика с мъртва зона и ограничаване
Характеристика на хлабината
Идеална релейна характеристика
Еднозначна релейна характеристика с мъртва зона
Нееднозначна характеристика на реле с мъртва зона
Кубична парабола:
Характерна "хистерезисна верига"

Предавателната функция на нелинейния елемент има значителна разлика от предавателната функция на линейната система, тъй като зависи от амплитудата и честотата на входния сигнал.

Записваме израз (8.22) във формата:

р(А) + р 1 (А), (8.23)

Където q(A),р 1 (А)– коефициенти на хармонична линеаризация, определени като съотношението на коефициентите на реда на Фурие за първия хармоник на изходните трептения към амплитудата на входните трептения:

р(А) = р 1 (А) = . (8.24)

Замяна в израз (8.23) Рна , получаваме израз за комплексен коефициент на предаване на нелинеен елемент :

р(А) +й р 1 (А), (8.25)

което е аналог на AFC за линейна връзка.

Като пример, нека дефинираме израз за комплексния коефициент на предаване на нелинеен елемент с релейна статична характеристика (8.14). Коефициенти на ред на Фурие А 1 И б 1 за посочената нелинейност са равни на:

б 1 .

Очевидно коефициентът б 1 ще бъде равно на нула за всеки нелинеен елемент с нечетно-симетрична статична нелинейност.

Където - предавателна функция на линейната част на системата; - предавателна функция на нелинеен елемент след неговата линеаризация.

Ако , тогава израз (8.26) може да се запише като:

Замяна в израз (8.27) Рна , получаваме сложен израз, в който е необходимо да се разграничат реалните и въображаемите части:

[ р(А) +й р 1 (А) ] . (8.28)

В този случай записваме условието за възникване на периодични трептения в система с честота и амплитуда:

(8.29)

Ако решенията на система (8.29) са комплексни или отрицателни, режимът на автотрептения в системата е невъзможен. Наличието на положителни реални решения за и показва наличието на собствени трептения в системата, които трябва да бъдат проверени за устойчивост.

Като пример ще намерим условията за възникване на собствени трептения в система за автоматично управление, ако предавателната функция на нейната линейна част е равна на:

(8.30)

и нелинеен елемент от типа "хистерезисна верига".

Трансферната функция на хармонично линеаризиран нелинеен елемент (виж таблица 8.1) има формата:

. (8.31)

Заместване на изрази (8.30) и (8.31) в израз (8.26) и заместване Рна намираме израз за:

От тук, в съответствие с израза (8.29), получаваме следните условия за възникване на автоколебания в системата:

Решаването на системата от уравнения (8.29) обикновено е трудно, тъй като коефициентите на хармонична линеаризация имат сложна зависимост от амплитудата на входния сигнал. Освен това, в допълнение към определянето на амплитудата и честотата, е необходимо да се оцени стабилността на собствените трептения в системата.

Условията за възникване на автоколебания в нелинейна система и параметрите на граничните цикли могат да бъдат изследвани с помощта на критерии за стабилност на честотата, например критерия за стабилност на Найкуист. Съгласно този критерий, при наличие на автоколебания, амплитудно-фазовата характеристика на отворена хармонично линеаризирана система е равна на

минава през точката (-1, j0). Следователно за и е валидно следното равенство:

. (8.32)

Решението на уравнение (8.32) относно честотата и амплитудата на собствените трептения може да се получи графично. За да направите това, в комплексната равнина е необходимо чрез промяна на честотата от 0 до да се построи ходограф на AFC на линейната част на системата и чрез промяна на амплитудата Аот 0 до , построете ходограф на обратната характеристика на нелинейната част, взета със знак минус. Ако тези ходографи не се пресичат, тогава режимът на собствено колебание не съществува в изследваната система (фиг. 8.18, b).

Когато ходографите се пресичат (фиг. 8.18, а), в системата възникват собствени колебания, честотата и амплитудата на които се определят от стойностите на и в пресечната точка.

Ако и - се пресичат в няколко точки (фиг. 8.18, а), тогава това показва наличието на няколко гранични цикъла в системата. В този случай колебанията в системата могат да бъдат стабилни и нестабилни.

Стабилността на автоколебателния режим се оценява по следния начин. Режимът на собствено колебание е стабилен, ако точката на ходографа на нелинейната част, съответстваща на амплитуда, по-голяма от стойността в точката на пресичане на ходографите, не е покрита от ходографа на честотната характеристика на линейната част на системата. В противен случай автоколебателният режим е нестабилен.

На фиг. 8.18, а ходографите се пресичат в точки 1 и 2. Точка 1 определя нестабилния режим на автотрептения, тъй като точката на ходографа, съответстваща на увеличената амплитуда, е покрита от ходографа на честотната характеристика на линейната част на системата. Точка 2 съответства на устойчив режим на собствени трептения, чиято амплитуда се определя от ходографа, а честотата - от ходографа.

Като пример, нека оценим стабилността на собствените трептения в две нелинейни системи. Ще приемем, че предавателните функции на линейните части на тези системи съвпадат и са равни:

,

но включените в тях нелинейни елементи са различни. Нека първата система включва нелинеен елемент „идеално реле“, описан със система (8.14), а втората система включва нелинеен елемент със статична характеристика „кубична парабола“. Използвайки данните от таблица 8.1, получаваме:

На фиг. 8.19 показва ходографите на тези системи заедно с ходографа на AFC на линейната част на системата. Въз основа на гореизложеното може да се твърди, че в първата система възникват стабилни автоколебания с честота и амплитуда, а във втората система автоколебанията са нестабилни.

Нека илюстрираме изчисляването на коефициентите на хармонична линеаризация с няколко примера: първо за симетрични вибрации, а след това за асиметрични. Нека първо отбележим, че ако нечетно-симетричната нелинейност F(x) е еднозначна, тогава съгласно (4.11) и (4.10) получаваме

и при изчисляване р(4.11) можем да се ограничим до интегриране за четвърт период, учетворявайки резултата, а именно

За нелинейността на цикъла F(x) (нечетно-симетрична), пълният израз (4.10) ще се запази

и можете да използвате формулите

т.е. удвояване на резултата от интегрирането за половин цикъл.

Пример 1. Нека да проучим кубичната нелинейност (фиг. 4.4, i):

Пристрастяване q(a)показано на фиг. 4.4, b.От фиг. 4.4, Аясно е, че за дадена амплитуда съм прав q(a)xосреднява криволинейната зависимост F(x) по дадена

парцел -а£ х£ . А. Естествено, готино е q(a)наклона на тази осредняваща права линия q(a)xнараства с амплитудата А(за кубична характеристика това увеличение става по квадратичен закон).

Пример 2. Нека да проучим характеристиката на релейната верига (фиг. 4.5, а). На фиг. 4.5,6 е представена подинтегралната функция F(a sin y) за формули (4.21). Превключването на релето се извършва при ½ х½= b , Следователно в момента на превключване стойността y1 се определя от израза sin y1= b /А.Използвайки формули (4.21), получаваме (за а³b)

На фиг. 4.5, b показва графики на q(a) и q"(a).Първият от тях показва промяната в наклона на осредняващата права линия q( А)x sпромяна А(виж фиг. 4.5, а). Естествено, q( а)à0 при аа¥ при, тъй като изходният сигнал остава постоянен (F( х)=c) за всяко неограничено увеличение на входния сигнал Х.От физически съображения също е ясно защо q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q"намалява с увеличаване на амплитудата a, тъй като е ясно, че цикълът ще заема по-малката част от „работния участък“ на характеристиката F( х), толкова по-голяма е амплитудата на колебанията на променливата Х.

Амплитудно-фазовата характеристика на такава нелинейност (фиг. 4.5, а), съгласно (4.13). представени във формата

Освен това амплитудата и фазата на първия хармоник на изхода за нелинейност имат формата, съответно

Където рИ q"дефинирани по-горе (фиг. 4.5, b). Следователно хармоничната линеаризация трансформира нелинейното координатно забавяне (хистерезисната верига) в еквивалентно фазово забавяне, характерно за линейните системи, но със съществена разлика - зависимостта на фазовото изместване от амплитудата на входните трептения, която не присъства в линейните системи .

Пример 3. Изследваме недвусмислени релейни характеристики (фиг. 4.6, а, V).Подобно на предишния, получаваме, съответно

това, което е показано на фиг. 4.6, б, а.

Пример 4. Да разгледаме характеристика с мъртва зона, линеен участък и насищане (фиг. 4.7, а). Тук q"= 0, а коефициентът р(а) има два варианта на стойности в съответствие с фиг. 4.7, b, където F (a sin y) е конструиран за тях:

1) за b1 £ a £ b2, съгласно (4.19), имаме

че като се вземе предвид съотношението а sin y1 = b 1 дава

2) за a ³ b2

което, като се вземе предвид връзката a sin y2 = b2 дава

Резултатът е представен графично на фиг. 4.7, а.

Пример 5. Като специални случаи, съответните коефициенти q(a)за две характеристики (фиг. 4.8, a, b) са равни

което е показано графично на фиг. 4.8, b, d.Освен това за характеристиката с насищане (фиг. 4.8, а) имаме q= kна 0 £ а£ b.

Нека сега покажем примери за изчисляване на коефициентите на хармонична линеаризация за асиметрични вибрациисъс същите нелинейности.

Пример 6. За случая на кубична нелинейност F( х) =kx 3съгласно формула (4.16) имаме

и по формули (4.17)

Пример 7. За характеристика на релейна верига (фиг. 4.5, а)използвайки същите формули, които имаме

Пример 8. За характеристика с мъртва зона (фиг. 4.1:1) ще се прилагат същите изрази F°И р.Техните графики са представени на фиг. 4.9, а, б.При което q"== 0. За идеална релейна характеристика (фиг. 4.10) получаваме

това, което е показано на фиг. 4.10, а и б.

Пример 9. За характеристика с линеен участък q насищане (фиг. 4.11, а) за a ³ b+½ х 0 ½ имаме

Тези зависимости са представени под формата на графики на фиг. 4.11, б, V.

Пример 10. За асиметрична характеристика

(фиг. 4. 12, а) използвайки формула (4.l6) намираме

и по формули (4.17)

Резултатите са показани графично на фиг. 4.12, bИ V.

Изразите и графиките на коефициентите на хармонична линеаризация, получени в тези примери, ще бъдат използвани по-долу при решаване на изследователски задачи

собствени трептения, принудени трептения и процеси на управление.

Въз основа на филтърното свойство на линейната част на системата (лекция 12) търсим периодично решение на нелинейната система (фиг. 4.21) на входа на нелинейния елемент приблизително във формата

х = агрях w T (4.50)

с непознати хора Аи w. Посочва се формата на нелинейността = F( х) и предавателната функция на линейната част

Извършва се хармонична линеаризация на нелинейността

което води до предавателната функция

Амплитудно-фазовата честотна характеристика на системата с отворена верига приема формата

Периодично решение на линеаризираната система (4.50) се получава, ако има двойка чисто въображаеми корени в характеристичното уравнение на затворената система.

И според критерия на Найкуист това отговаря на пасажа У(йц) през точка -1. Следователно периодичното решение (4.50) се определя от равенството

Уравнение (4.51) определя необходимата амплитуда Аи честота w на периодичното решение. Това уравнение може да се реши графично по следния начин. В комплексната равнина (U, V), амплитудно-фазовата честотна характеристика на линейната част Wl( й w) (фиг. 4.22), както и обратната амплитудно-фазова характеристика на нелинейността с обратен знак -1 / Wн( а). Точка INтяхното пресичане (фиг. 4.22) и определя стойностите Аи w и стойността Апреброени по крива -1 / Wн (а) , а стойността на w е по кривата Wл (jw).

Вместо това можем да използваме две скаларни уравнения, които следват от (4.51) и (4.52):

които определят и двете търсени величини Аи w.

По-удобно е да използвате последните две уравнения в логаритмична скала, като използвате логаритмични

честотни характеристики на линейната част. Тогава вместо (4.53) и (4.54) ще имаме следните две уравнения:

На фиг. 4.23 отляво са графики на лявата страна на уравнения (4.55) и (4.56), а отдясно са десните части на тези уравнения. В този случай по абсцисната ос отляво честотата w е нанесена, както обикновено, в логаритмична скала, а отдясно е амплитудата Ав естествен мащаб. Решението на тези уравнения ще бъдат следните стойности Аи w, така че двете равенства (4.55) и (4.56) се спазват едновременно. Това решение е показано на фиг. 4.23 с тънки линии във формата на правоъгълник.

Очевидно няма да е възможно да познаете това решение веднага. Затова се правят опити, показани с пунктирани линии. Последните точки на тези пробни правоъгълници M1 и M2 не попадат върху фазовата характеристика на нелинейността. Но ако те са разположени от двете страни на характеристиката, както на фиг. 4.23, тогава решението се намира чрез интерполация - чрез изчертаване на права линия MM1 .

Намирането на периодично решение е опростено в случай на недвусмислена нелинейност F( х). Тогава q"= 0 и уравнения (4.55) и (4.56) приемат формата

Решението е показано на фиг. 4.24.

Ориз . 4.24.

След определяне на периодично решение е необходимо да се изследва неговата стабилност. Както вече беше споменато, периодично решение възниква в случай, когато амплитудно-фазовата характеристика на отворената верига

минава през точка -1. Нека зададем на амплитудата отклонение D А. Системата ще се върне към периодично решение, ако при D А> 0 трептенията изчезват, а при D А < 0 - расходятся. Следовательно, при DА> 0 характеристика W(jw, А) трябва да се деформира (фиг. 4.25), така че при D А> 0 беше изпълнен критерият за стабилност на Найкуист и за D А < 0 - нарушался.

Така че се изисква при дадена честота да има w

От това следва, че на фиг. 4.22 отчитане на положителна амплитуда Апо кривата -1/Wн ( А) трябва да бъде насочена отвътре навън през кривата Wл (jw) , както е показано със стрелката. В противен случай периодичното решение е нестабилно.

Нека да разгледаме примерите.

Нека в системата за проследяване (фиг. 4.13, а) усилвателят има релейна характеристика(фиг. 4.17, А).Па фиг. 4.17, bграфика на коефициента на хармонична линеаризация q( А) и q’( А) =0. За определяне на периодичното решение с помощта на честотния метод, съгласно фиг. 4.22, трябва да разгледаме израза

От формула (4.24) получаваме за тази нелинейност

Графиката на тази функция е показана на фиг. 4.26.

Предавателната функция на линейната част има формата

Амплитудно-фазовата характеристика за него е показана на фиг. 4.27. Функция -1 / Wн ( А), тъй като в този случай е реален (фиг. 4.26), пасва изцяло на отрицателната част на реалната ос (фиг. 4.27). В този случай в зоната на промяна на амплитудата b £ а£ b амплитудата се измерва отляво отвън в кривата Wл(jw), а в участъка А> б - обърнат. Следователно първата пресечна точка ( А 1) дава нестабилно периодично решение, а второто ( А 2) - стабилни (автотрептения). Това е в съответствие с предишното решение (пример 2 лекция 15, 16).

Нека разгледаме и случая характеристики на контурно реле(Фиг. 4.28, а) в същата система за проследяване (Фиг. 4.13, а). Амплитудно-фазовата честотна характеристика на линейната част е същата (фиг. 4.28, b). Изразът за кривата –1/Wн( А), съгласно (4.52) и (4.23), приема формата

Това е права линия, успоредна на абсцисната ос (фиг. 4.28, b), с отчитане на амплитудата Аот дясно на ляво. Пресичането ще даде стабилно периодично решение (автоколебания). Да се ​​получат графики на амплитудата и честотата

от кл , представени на фиг. 4.20, необходими на фиг. 4.28 построете серия от криви Wл(jw) за всяка стойност к l и намираме в точките им на пресичане с правата –1/Wн( А) съответните стойности Аи w.

Както вече беше отбелязано, в нелинейни и особено релейни ASR, стабилни периодични трептенияпостоянна амплитуда и честота, т.нар собствени трептения. Освен това, автоколебанията могат да продължат дори при значителни промени в параметрите на системата. Практиката показва, че в много случаи трептенията на управляваната величина (фиг. 3) са близки до хармоничните.

Близостта на собствените трептения до хармоничните ни позволява да използваме метода на хармоничната линеаризация, за да определим техните параметри - амплитуда A и честота w 0. Методът се основава на предположението, че линейната част на системата е нискочестотен филтър (филтърна хипотеза). Нека определим условията, при които собствените трептения в системата могат да бъдат близки до хармоничните. Нека се ограничим до системи, които, както на фиг. 3 може да се сведе до последователно свързване на нелинеен елемент и линейна част. Нека приемем, че референтният сигнал е постоянна стойност за простота, ще го приемем равен на нула. И сигналът за грешка (Фигура 3) е хармоничен:

Изходният сигнал на нелинеен елемент, като всеки периодичен сигнал - на фигура 3 това са правоъгълни трептения - може да бъде представен като сума от хармониците на реда на Фурие.

Да приемем, че линейната част на системата е нискочестотен филтър (фиг. 4) и пропуска само първия хармоник с честота w 0. Вторият с честота 2w 0 и по-високи хармоници се филтрират от линейната част. В този случай на линеен изход части ще съществуват практически само първи хармоник , а влиянието на висшите хармоници може да бъде пренебрегнато

Така, ако линейната част на системата е нискочестотен филтър и честотата на собствените трептения w 0 отговаря на условията

, (4)

Извиква се допускането, че линейната част на системата е нискочестотен филтър филтърна хипотеза . Хипотезата за филтъра винаги е изпълнена, ако разликата в степените на полиномите на знаменателя и числителя на предавателната функция на линейната част

поне две

Условието (6) е изпълнено за много реални системи. Пример е апериодична връзка от втори ред и истинско интегриране

При изследване на автоколебания, близки до хармоничните, се взема предвид само първият хармоник на периодичните трептения на изхода на нелинеен елемент, тъй като по-високите хармоници все още практически се филтрират от линейната част. В режим на собствено колебание се извършва хармонична линеаризация нелинеен елемент. Нелинейният елемент се заменя с еквивалентен линеен с сложна печалба (описваща функция) в зависимост от амплитудата на входния хармоничен сигнал:

къде и са реалните и въображаемите части,

– аргумент,

– модул.

В общия случай зависи както от амплитудата и честотата на собствените трептения, така и от постоянната компонента. Физически сложно усилване на нелинеен елемент, по-често наричан коефициент на хармонична линеаризация , Има комплексно усилване на нелинеен елемент при първи хармоник. Модул на хармоничния коефициент на линеаризация

е числено равно на отношението на амплитудата на първия хармоник на изхода на нелинейния елемент към амплитудата на входния хармоничен сигнал.

Аргумент

характеризира фазовото изместване между първия хармоник на изходните трептения и входния хармоничен сигнал. За недвусмислени нелинейности, като например на фиг. 2,а и 2,б, реален израз и

За двусмислени нелинейности, Фиг. 2,в, 2,г, определени по формулата

където S е площта на хистерезисната верига. Площта S се взема със знак плюс, ако хистерезисната верига е заобиколена в положителна посока (фиг. 2, c) и със знак минус в противен случай (фиг. 2, d).

В общия случай и се изчисляват по формулите

където , е нелинейна функция (характеристика на нелинеен елемент).

Като се има предвид горното, при изследване на автотрептения, близки до хармоничните, нелинейният ASR (фиг. 3) се заменя с еквивалентен с хармоничен коефициент на линеаризация вместо нелинеен елемент (фиг. 5). Изходният сигнал на нелинейния елемент от фиг. 5 е обозначен като , това е

Подчертава, че нелинейният елемент само генерира

първият хармоник на трептенията. Формули за коефициенти на хармонична линеаризация за типични нелинейности могат да бъдат намерени в литературата, например в. Таблица Б в допълнение показва характеристиките на изследваните релейни елементи, формули за и техните ходографи. Формули и ходографи за обратния хармоничен линеаризиращ коефициент, определен от израза

къде са както реалната, така и въображаемата част. Ходографите и са построени съответно в координати , и .

Нека сега запишем условията за съществуване на собствени трептения. Системата на фиг. 5 е еквивалентно на линейно. В линейна система съществуват незатихващи трептения, ако тя е на границата на стабилност. Нека използваме условието на границата на устойчивост според критерия на Найкуист: . На фиг. 6,а – две точки на пресичане, което показва наличието на два гранични цикъла.

Въведение

Релейните системи са широко разпространени в практиката на автоматичното управление. Предимството на релейните системи е тяхната простота на дизайн, надеждност, лекота на поддръжка и конфигуриране. Релейните системи представляват специален клас нелинейни системи за автоматично управление.

За разлика от непрекъснатите в релейните системи, регулаторното действие се променя рязко, когато управляващият сигнал на релето (най-често това е грешка в управлението) преминава през някои фиксирани (прагови) стойности, например през нула.

Релейните системи като правило имат висока производителност поради факта, че управляващото действие в тях се променя почти мигновено и задвижващият механизъм е изложен на частично постоянен сигнал с максимална амплитуда. В същото време в релейните системи често възникват собствени колебания, което в много случаи е недостатък. В тази статия се изследва релейна система с четири различни закона за управление.

Структура на изследваната система

Изследваната система (фиг.) 1 включва сравнителен елемент ES, релеен елемент RE, изпълнителен механизъм (идеален интегратор с коефициент на усилване = 1), обект за управление (апериодична връзка с три времеконстанти , , и усилване). Стойностите на системните параметри са дадени в табл. 1 Приложение А.

Статичните характеристики (входно-изходни характеристики) на изследваните релейни елементи са показани на фиг. 2.

На фиг. 2а показва характеристиките на идеално двупозиционно реле, Фиг. 2b характеристика на трипозиционно реле с мъртва зона. На фиг. 2,c и 2,d показват характеристиките на двупозиционно реле съответно с положителен и отрицателен хистерезис.

Изследваният ASR може да бъде моделиран с помощта на добре известни пакети за моделиране, например SIAM или VisSim.

Коментирайте. В някои симулационни пакети изходната стойност

релейният сигнал може да приема само стойности ±1 вместо ±B, където B е произволно число. В такива случаи е необходимо коефициентът на усилване на интегратора да бъде равен на .

Работен ред

За да завърши работата, всеки ученик получава версия на първоначалните данни от учителя (виж раздел 2).

Работата се извършва на два етапа.

Първият етап е изчислително-изследователски (може да се извърши извън лабораторията).

Вторият етап е експериментален (извършва се в лаборатория). На този етап с помощта на един от пакетите се симулират преходните процеси в изследваната система за изчислените на първия етап режими и се проверява точността на теоретичните методи.

Необходимият теоретичен материал е представен в раздел 4; Раздел 5 съдържа тестови въпроси.

3.1. Изчислително-изследователска част

1. Получаване на изрази за амплитудно-честотни и фазово-честотни, реални и имагинерни характеристики на линейната част на системата.

2. Изчислете и начертайте амплитудно-фазовата характеристика на линейната част на системата. За изчисления използвайте програми от пакета TAU. Задължително отпечатайте реални и въображаеми стойности на честотната характеристика(съответстващи 10 – 15 точки трети и вториквадранти).

4. Използвайки графично-аналитичния метод на Goldfarb, определете амплитудата и честотата на собствените трептения и тяхната стабилност за всичките четири релета. Параметрите на собствените трептения могат да се изчислят и аналитично. Качествено изобразете фазовия портрет на системата за всеки случай.

5. За трипозиционно реле определете една стойност на усилването на линейната част, при която няма собствени колебания, и граничната стойност, при която собствените колебания се провалят.

експериментална част

1. Използвайки един от наличните пакети за моделиране, съставете схема за моделиране за ASR, която се изследва. С разрешението на учителя можете да използвате готова диаграма. Конфигурирайте параметрите на веригата в съответствие със задачата.

2. Изследвайте преходния процес в система с идеално реле (отпечатайте го), прилагайки поетапно действие x(t)=40*1(t) към входа. Измерете амплитудата и честотата на собствените трептения, като ги сравните с изчислените стойности. Повторете експеримента, като зададете ненулеви начални условия (например y(0)=10, y(1) (0)=-5).

3. Изследване на преходния процес в система с трипозиционно реле за две различни стойности на амплитудата на входния сигнал x(t)= 40*1(t) и x(t)=15*1(t). Отпечатайте преходни процеси, измерете амплитудата и честотата на собствените трептения (ако съществуват), сравнете ги с изчислените стойности и направете заключения.

4. Изследвайте преходните процеси в система с трипозиционно реле за други стойности на усилването на линейната част (вижте параграф 5, раздел 3.1).

5. Изследване на преходни процеси в система с двупозиционни релета с хистерезис при нулеви и ненулеви начални условия и x(t)=40*1(t). Отпечатайте преходни процеси, измерете амплитудата и честотата на собствените трептения (ако съществуват), сравнете ги с изчислените стойности и направете заключения.

Теоретична част

Широко използван метод за изчисляване на нелинейни системи е методът на хармоничната линеаризация (описващи функции).

Методът позволява да се определят параметрите на собствените колебания (амплитуда и честота), стабилността на собствените колебания и стабилността на равновесното положение на нелинейния ASR. Въз основа на метода на хармоничната линеаризация са разработени методи за конструиране на преходни процеси, анализ и синтез на нелинейни ASR.

Метод на хармонична линеаризация

Както вече беше отбелязано, в нелинейни и особено релейни ASR, стабилни периодични трептенияпостоянна амплитуда и честота, т.нар собствени трептения. Освен това, автоколебанията могат да продължат дори при значителни промени в параметрите на системата. Практиката показва, че в много случаи трептенията на управляваната величина (фиг. 3) са близки до хармоничните.

Близостта на собствените трептения до хармоничните ни позволява да използваме метода на хармоничната линеаризация, за да определим техните параметри - амплитуда A и честота w 0. Методът се основава на предположението, че линейната част на системата е нискочестотен филтър (филтърна хипотеза). Нека определим условията, при които собствените трептения в системата могат да бъдат близки до хармоничните. Нека се ограничим до системи, които, както на фиг. 3 може да се сведе до последователно свързване на нелинеен елемент и линейна част. Нека приемем, че референтният сигнал е постоянна стойност за простота, ще го приемем равен на нула. И сигналът за грешка (Фигура 3) е хармоничен:

(1)

Изходният сигнал на нелинеен елемент, като всеки периодичен сигнал - на фигура 3 това са правоъгълни трептения - може да бъде представен като сума от хармониците на реда на Фурие.

Да приемем, че линейната част на системата е нискочестотен филтър (фиг. 4) и пропуска само първия хармоник с честота w 0. Вторият с честота 2w 0 и по-високи хармоници се филтрират от линейната част. В този случай на линеен изход части ще съществуват практически само първи хармоник , а влиянието на висшите хармоници може да бъде пренебрегнато

Така, ако линейната част на системата е нискочестотен филтър и честотата на собствените трептения w 0 отговаря на условията

, (4)

Извиква се допускането, че линейната част на системата е нискочестотен филтър филтърна хипотеза . Хипотезата за филтъра винаги е изпълнена, ако разликата в степените на полиномите на знаменателя и числителя на предавателната функция на линейната част

(5)

поне две

Условието (6) е изпълнено за много реални системи. Пример е апериодична връзка от втори ред и истинско интегриране

,

. (7)

При изследване на автоколебания, близки до хармоничните, се взема предвид само първият хармоник на периодичните трептения на изхода на нелинеен елемент, тъй като по-високите хармоници все още практически се филтрират от линейната част. В режим на собствено колебание се извършва хармонична линеаризация нелинеен елемент. Нелинейният елемент се заменя с еквивалентен линеен с сложна печалба (описваща функция) в зависимост от амплитудата на входния хармоничен сигнал:

къде и са реалните и въображаемите части,

– аргумент,

– модул.

В общия случай зависи както от амплитудата и честотата на собствените трептения, така и от постоянната компонента. Физически сложно усилване на нелинеен елемент, по-често наричан коефициент на хармонична линеаризация , Има комплексно усилване на нелинеен елемент при първи хармоник. Модул на хармоничния коефициент на линеаризация

(9)

е числено равно на отношението на амплитудата на първия хармоник на изхода на нелинейния елемент към амплитудата на входния хармоничен сигнал.

Аргумент

(10)

характеризира фазовото изместване между първия хармоник на изходните трептения и входния хармоничен сигнал. За недвусмислени нелинейности, като например на фиг. 2,а и 2,б, реален израз и

За двусмислени нелинейности, Фиг. 2,в, 2,г, определени по формулата

където S е площта на хистерезисната верига. Площта S се взема със знак плюс, ако хистерезисната верига е заобиколена в положителна посока (фиг. 2, c) и със знак минус в противен случай (фиг. 2, d).

В общия случай и се изчисляват по формулите

,

, (12)

където , е нелинейна функция (характеристика на нелинеен елемент).

Като се има предвид горното, при изследване на автотрептения, близки до хармоничните, нелинейният ASR (фиг. 3) се заменя с еквивалентен с хармоничен коефициент на линеаризация вместо нелинеен елемент (фиг. 5). Изходният сигнал на нелинейния елемент от фиг. 5 е обозначен като , това е

подчертава, че нелинейният елемент генерира само

първият хармоник на трептенията. Формули за коефициенти на хармонична линеаризация за типични нелинейности могат да бъдат намерени в литературата, например в. Таблица Б в допълнение показва характеристиките на изследваните релейни елементи, формули за и техните ходографи. Формули и ходографи за обратния хармоничен линеаризиращ коефициент, определен от израза

, (13)

къде са както реалната, така и въображаемата част. Ходографите и са построени съответно в координати , и .

Нека сега запишем условията за съществуване на собствени трептения. Системата на фиг. 5 е еквивалентно на линейно. В линейна система съществуват незатихващи трептения, ако тя е на границата на стабилност. Нека използваме условието на границата на устойчивост според критерия на Найкуист:

. (14)

Уравнение (14) Има условие за съществуване на собствени трептения, близо до хармонично. Ако има истински положителен решения A и w 0 на уравнение (14), то в нелинейната ASR има автоколебания, близки до хармоничните. В противен случай собствените трептения липсват или не са хармонични. Уравнение (14) се разделя на две – по отношение на реалната и имагинерната част:

;

;

Разделяйки двете страни на уравнение (14) и вземайки предвид формула (13), получаваме условието за съществуване на автоколебания във формата на L.S. Goldfarb:

. (17)

Уравнение (17) също се разделя на две:

,

(18)

и в някои случаи е по-удобно да се използват за определяне на параметрите на собствените трептения.

Голдфарб предложи графично-аналитичен метод за решаване на система (17) и определяне на стабилността на собствените трептения.

В координати , и , са построени ходографи и (фиг. 6, а). Ако ходографите се пресичат, тогава съществуват собствени трептения. В пресечните точки се определят параметрите на собствените трептения - A и w 0 - честота w 0 по ходографа, амплитуда по ходографа. На фиг. 6,а – две точки на пресичане, което показва наличието на два гранични цикъла.

	б)

За да се определи стабилността на собствените трептения, според Goldfarb, лявата страна на AFC на линейната част е засенчена при движение по AFC в посока на нарастване на честотата (фиг. 6).

Автоколебанията са стабилни, ако в точката на пресичане ходографът на нелинейния елемент преминава от незащрихованата зона към защрихованата зона, когато се движи в посока на нарастваща амплитуда А.

Ако преходът настъпи от засенчена зона към незащрихована област, тогава собствените трептения не са стабилни.

На фиг. Фигура 6b изобразява качествено фазовия портрет, съответстващ на два гранични цикъла на фиг. 6, а. Пресечната точка с параметрите и на фиг. 6а съответства на нестабилния граничен цикъл на фиг. 6b, точка с параметри и и за постигане на прекъсване на собствените трептения, в този случай ходографи и не се пресичат. Същият ефект може да се постигне чрез увеличаване на мъртвата зона d или намаляване на амплитудата на изходния сигнал на реле B. Има определена гранична стойност K l, при която AFC на линейната част се докосва грешка! Комуникационна грешка.при което , а стойността на амплитудата е . Естествено, това води до качествена промяна във фазовия портрет на системата.

Предназначение на метода на хармоничната линеаризация.

Идеята за метода на хармоничната линеаризация е предложена през 1934 г. Н. М. Крилов и Н. Н. Боголюбов. По отношение на системите за автоматично управление този метод е разработен от L. S. Goldfarb и E. P. Popov. Други имена на този метод и неговите модификации са методът на хармоничния баланс, методът за описание на функциите и методът на еквивалентната линеаризация.

Методът на хармоничната линеаризация е метод за изследване на собствените трептения. Тя ви позволява да определите условията на съществуване и параметрите на възможните автоколебания в нелинейни системи.

Познаването на параметрите на автоколебанията ни позволява да представим картина на възможните процеси в системата и по-специално да определим условията на стабилност. Да предположим, например, че в резултат на изследване на автоколебанията в някаква нелинейна система сме получили зависимостта на амплитудата на тези автоколебания Аот коефициента на предаване клинейна част от системата, показана на фиг. 12.1, и знаем, че собствените трептения са стабилни.

От графиката следва, че при голяма стойност на коефициента на предаване к,Кога k > k kr, има собствени трептения в системата. Тяхната амплитуда намалява до нула с намаляване на коефициента на предаване кпреди ккр. На фиг. 12.1 стрелките условно показват естеството на преходните процеси при различни стойности к: при k > k kr преходният процес, причинен от първоначалното отклонение, се свива до автоколебания. От фигурата става ясно, че когато к< k cr, системата се оказва стабилна. По този начин, к kr е критичната стойност на коефициента на предаване според условието за устойчивост. Превишаването му води до факта, че първоначалният режим на системата става нестабилен и в него възникват автоколебания. Следователно познаването на условията за съществуване на автоколебания в системата ни позволява да определим условията на стабилност.

Идеята за хармонична линеаризация.

Нека разгледаме нелинейна система, чиято диаграма е показана на фиг. 12.2, и . Системата се състои от линейна част с предавателна функция W l ( с) и нелинейна връзка NLсъс специфична характеристика . Връзка с коефициент - 1 показва, че обратната връзка в системата е отрицателна. Вярваме, че в системата има собствени трептения, чиято амплитуда и честота искаме да намерим. В разглеждания режим входното количество хнелинейна връзка и изход Yса периодични функции на времето.

Методът на хармоничната линеаризация се основава на предположението, че трептенията на входа на нелинейната връзка са синусоидални, т.е. д. това

, (12.1)

КъдетоА– амплитуда и е честотата на тези собствени трептения, и е възможна постоянна компонента в общия случай, когато автоколебанията са асиметрични.

В действителност автоколебанията в нелинейните системи винаги са несинусоидални поради изкривяването на формата им от нелинейния елемент. Следователно, посоченото първоначално предположение означава, че методът на хармонична линеаризация е фундаментално близкии обхватът на неговото приложение е ограничен до случаите, когато собствените трептения на входа на нелинейна връзка са доста близки до синусоидалните. За да се осъществи това, линейната част на системата не трябва да позволява преминаването на по-високи хармоници на автотрептения, т.е. нискочестотен филтър. Последното е илюстрирано на фиг. 12.2, б . Ако например честотата на собствените трептения е равна на , тогава линейната част, показана на фиг. 12.2, b Честотната характеристика ще играе ролята на нискочестотен филтър за тези трептения, тъй като вторият хармоник, чиято честота е равна на 2, практически няма да премине към входа на нелинейната връзка. Следователно в този случай е приложим методът на хармоничната линеаризация.

Ако честотата на собствените трептения е равна на , линейната част ще премине свободно втория, третия и други хармоници на собствените трептения. В този случай не може да се каже, че трептенията на входа на нелинейната връзка ще бъдат доста близки до синусоидални, т.е. не е изпълнена необходимата предпоставка за прилагане на метода на хармонична линеаризация.

За да се определи дали линейната част на системата е нискочестотен филтър и по този начин да се определи приложимостта на метода на хармоничната линеаризация, е необходимо да се знае честотата на собствените трептения. Въпреки това, той може да бъде известен само с помощта на този метод. По този начин, Приложимостта на метода на хармоничната линеаризация трябва да се определи в края на изследването като тест.

Нека отбележим, че ако в резултат на този тест не се потвърди хипотезата, че линейната част на системата играе ролята на нискочестотен филтър, това не означава, че получените резултати са неверни, въпреки че, разбира се , това ги поставя под съмнение и изисква допълнителна проверка по някакъв друг начин.

И така, ако приемем, че линейната част на системата е нискочестотен филтър, приемаме, че собствените трептения на входа на нелинейната връзка са синусоидални, т.е. имат формата (12.1). Трептенията на изхода на тази връзка вече няма да бъдат синусоидални поради тяхното изкривяване от нелинейност. Като пример на фиг. 12.3, на изхода на нелинейната връзка е начертана крива за определена амплитуда на входния чисто синусоидален сигнал според дадената там характеристика на връзката.

Фиг. 12.3. Преминаване на хармонично трептене през нелинейна връзка.

Въпреки това, тъй като ние вярваме, че линейната част на системата пропуска само основния хармоник на собствените колебания, има смисъл да се интересуваме само от този хармоник на изхода на нелинейната връзка. Следователно ще разширим изходните трептения в серия на Фурие и ще отхвърлим висшите хармоници. В резултат получаваме:

;

; (12.3)

;

.

Нека пренапишем израз (12.2) във форма, по-удобна за последваща употреба, замествайки в него следните изрази за и получени от (12.1):

Замествайки тези изрази в (12.2), ще имаме:

(12.4)

. (12.5)

Тук се въвеждат следните обозначения:

. (12.6)

Диференциалното уравнение (12.5) е валидно за синусоидален входен сигнал (12.1) и определя изходния сигнал на нелинейната връзка, без да се вземат предвид висшите хармоници.

Коефициентите в съответствие с изразите (12.3) за коефициентите на Фурие са функции на постоянния компонент, амплитудата Аи честотата на собствените трептения на входа на нелинейната връзка. На фиксирана Аи уравнение (12.5) е линейно. Така, ако отхвърлим висшите хармоници, тогава за фиксиран хармоничен сигнал оригиналната нелинейна връзка може да бъде заменена с еквивалентна линейна, описана с уравнение (12.5). Тази замяна се нарича хармонична линеаризация .

На фиг. Фигура 12.4 условно показва диаграма на тази връзка, състояща се от две успоредни връзки.

Ориз. 12.4. Еквивалентен линеен елемент, получен в резултат на хармонична линеаризация.

Една връзка () преминава постоянния компонент, а другият - само синусоидалния компонент на собствените трептения.

Коефициентите се наричат коефициенти на хармонична линеаризацияили хармонични коефициенти на пренос: - коефициент на предаване на постоянната компонента, и - два коефициента на предаване на синусоидалната компонента на собствените трептения. Тези коефициенти се определят от нелинейност и стойности и съгласно формули (12.3). Има готови изрази, дефинирани с помощта на тези формули за редица типични нелинейни връзки. За тези и като цяло всички безинерционни нелинейни връзки, количествата не зависят и са функции само на амплитудата АИ .