Как определять координаты точек на луче. Единичный отрезок. II. Изучение нового материала

Тема: «Координатный луч».

Цели:

научить определять координаты точек на числовом луче, ориентироваться на координатном луче, повторить понятие «координатный луч»;

закреплять умение самостоятельно анализировать и решать задачи разного вида;

развивать навыки устных и письменных вычислений, логическое мышление, пространственное представление.

ХОД УРОКА

I. Орг.момент

II. Актуализация знаний

На доске начерчен луч с началом в точке О .

Беседа по вопросам:

Что начерчено на доске? (Луч)

Является ли этот луч координатным лучом? (Нет. )

Почему? ( Не выбран единичный отрезок. )

Как обозначается единичный отрезок? (учащийся выходит к доске и отмечает единичный отрезок )

Почему он так называется?

Как понимать запись: В (3)?

Как называется число 3?

Сколько точек В (3) можно отметить на координатном луче? (Одну. )

Отмечены точки С(7), Е(4), М(8), Т(10). Назовите координаты точек С, Е, М, Т.

В это время 6 учащихся работают по карточкам

Вариант I

Вариант II

1. Напишите координаты точек D , Е , Т и К

А (8), К (12), Р (1), М (9), N (6), S (3).

1. Напишите координаты точек М , N , С и Р , отмеченных на координатном луче.

2. Начертите координатный луч и отметьте на нем точки А (6), В (5), С (3), D (10), Е (2), F (1).

III. Закрепление ЗУН.

Задание 1

Постройте в тетради координатный луч с единичным отрезком 1 клеточка. На своем луче проставьте буквы, соответствующие числам данного ключа, и прочитайте получившееся слово.

21

9

27

3

0

24

15

12

6

18

а

р

а

о

к

т

и

д

о

н

Появляется понятие – «координата».

Задание 2

Какая точка на ОМ имеет координату 5? 7? Какую координату имеет начало луча? Определи остальных точек на рисунке.

Задание 3

Назови координаты точек, в которых расположены: телефон, пункт медицинской помощи, столовая, автозаправочная станция.

б) Пусть одна единица на луче равна 5 км.

Какое от столовой до телефона?

От автозаправочной станции до пункта мед-помощи?

Задание 4

Изобрази на координатном луче точки А (1) и В (7), если: а) е = 2 см; б) е = 5 мм. Найди расстояние между точками А и В в единичных отрезках, сантиметрах, миллиметрах.
Назови три числа, изображения которых на координатном луче находятся:
а) правее точки А (25); б) левее точки В (118); в) правее точки С (2), но левее точки D (15); г) правее точки Е (7), но левее точки F (8).

Задание 5

Муравей прополз по координатному лучу из точки А (9) три единицы вправо. В какой точке он оказался? Затем он прополз 5 единиц влево. Где он находится теперь? На сколько единиц и в каком направлении надо было ползти муравью, чтобы сразу попасть в эту точку?

б) Муравей вышел из точки В (4) координатного луча, сделал два перемещения по лучу и оказался в точке С(7). Какие это могли быть перемещения?

IV. Итог урока

– Учащиеся называют ключевые слова урока, комментируют что нового узнали на уроке.

.– Оценивается работу класса на уроке.

V. Домашнее задание.

Задание 6

Автомобиль проехал из некоторой точки А координатного луча 6 единиц вправо и оказался в точке В(17). Из какой точки он выехал? Как он должен был перемещаться, чтобы попасть из точки А в точку С(8)?

Задание 7

На сколько единиц и в какую сторону надо сместиться, чтобы из точки М (16) попасть в точку с координатой: а) 14; б) 22; в) 12; г) 6; д)21; е) 0; ж)16?

Координата точки – это ее «адрес» на числовом луче, а числовой луч – это «город», в котором живут числа и любое число можно отыскать по адресу.

Больше уроков на сайте

Вспомним, что такое – натуральный ряд. Это – все числа, которые можно использовать для счета предметов, стоящие строго по порядку, друг за другом, то есть, в ряд. Начинается этот ряд чисел с 1 и продолжается до бесконечности с равными промежутками между соседними числами. Прибавим 1 – и получим следующее число, еще 1 – и снова следующее. И, какое бы число из этого ряда мы ни взяли, на 1 справа и на 1 слева от него есть соседние натуральные числа. Исключение составляет только число 1: следующее за ним натуральное число есть, а предыдущего – нет. 1 – самое маленькое натуральное число.

Есть одна геометрическая фигура, которая имеет очень много общего с натуральным рядом. Глядя на тему урока, записанную на доске, нетрудно догадаться, что эта фигура – луч. И в самом деле, начало луч имеет, а вот конца – нет. И можно было бы продолжать и продолжать его, да вот только тетрадь или доска попросту закончатся, и некуда больше продолжать.

Использовав эти сходные свойства, соотнесем вместе натуральный ряд чисел и геометрическую фигуру – луч.

Не случайно в начале луча оставлено пустое место: рядом с натуральными числами должно быть записано и хорошо знакомое тебе число 0. Теперь каждое натуральное число, встречающееся в натуральном ряду, имеет на луче двух соседей – меньшего и большего. Совершив от нуля всего один шаг +1, можно получить число 1, а сделав следующий шаг +1 – число 2 … Шагая так далее, мы можем поочередно получить все натуральные числа. Вот в таком виде луч, представленный на доске, называется координатный луч. Можно сказать и проще – числовым лучом. На нем есть наименьшее число – число 0, которое называется началом отсчета , каждое последующее число отстоит от предыдущего на одинаковое расстояние, а наибольшего числа нет, как нет конца ни у луча, ни у натурального ряда. Подчеркну еще раз, что расстояние между началом отсчета и следующим за ним числом 1 таково же, как и между любыми другими двумя соседними числами числового луча. Это расстояние называется единичным отрезком . Чтобы отметить на таком луче любое число, нужно отложить от начала отсчета ровно столько же единичных отрезков.

Например, чтобы отметить на луче число 5, откладываем от начала отсчета 5 единичных отрезков. Чтобы отметить на луче число 14, откладываем от нуля 14 единичных отрезков.

Как ты можешь видеть в этих примерах, на разных чертежах единичные отрезки могут быть разными(), но на одном луче все единичные отрезки() равны между собой(). (возможно, на картинках будет смена слайдов, подтверждающая паузы)

Как тебе известно, на геометрических чертежах принято давать названия точкам заглавными буквами латинского алфавита. Применим это правило к чертежу на доске. Каждый координатный луч имеет начальную точку, на числовом луче этой точке соответствует число 0, а называть эту точку принято буквой О. Кроме того, отметим несколько точек в местах, соответствующих каким-то числам этого луча. Теперь каждая точка луча имеет свой определенный адрес. А(3), … (5-6 точек на обоих лучах) . Число, соответствующее точке на луче (так называемый адрес точки), называется координатой точки. А сам луч – координатным лучом. Координатный луч, или числовой – смысл от этого не меняется.

Выполним задание – отметим на числовом луче точки по их координатам. Советую тебе выполнять это задание самостоятельно в тетради. М(3), Т(10), У(7).

Для этого сначала построим координатный луч. То есть –луч, начало которого — точка О(0). Теперь нужно выбрать единичный отрезок. Его надо именно выбрать так, чтобы все требуемые точки поместились на чертеже. Наибольшая координата сейчас 10. Если разместить начало луча в 1-2 клетках от левого края страницы, то его можно будет продлить более, чем на 10см. Тогда возьмем единичный отрезок 1см, отметим его на луче, и на 10см от начала луча отстоит число 10. Этому числу соответствует точка Т. (…)

А вот если нужно отметить на координатном луче точку Н (15), потребуется выбрать другой единичный отрезок. Ведь так, как в предыдущем примере, уже не получится, потому что в тетради не поместится луч требуемой видимой длины. Можно выбрать единичный отрезок длиной в 1 клетку, и от нуля до требуемой точки отсчитать 15 клеток.

МАТЕМАТИКА
Уроки для 5 класса

УРОК 12

Тема. Координатный луч

Цель: сформировать у учащихся понятие о координатный луч, его элементы и способ построения заданного числа на координатном луче и определение координаты точки на координатном луче; закрепить знание терминологии («координатный луч», «начало отсчета», «единичный отрезок», «координата точки») и сформировать умение строить точки с заданными координатами на координатном луче и находить координаты точек с числовыми (полными и неполными) рисунками.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Ход урока

И. Актуализация опорных знаний

Устные упражнения

1. Выполните добавление: а) 17 + 15; б) 170 + 150; в) 170 + 15; г) 17 + 150. Между которыми натуральными числами в натуральном ряду находятся числа, что вы получили?

2. На луче Ох (рис. 9) отложили 8 равных отрезков длиной 1 см. Найдите расстояние от т. В к точек А, В, С, F , Н.

3. Деревянную рейку надо разделить на 16 равных частей. Сколько распилов надо сделать?

II . Формирование новых знаний

1. Объяснение содержания нового материала можно вести близко к тексту учебника в виде фронтальной практической работы, выполняя в течение объяснений рисунки и записи на доске (ученики делают такие же записи и рисунки в тетрадях). По окончании объяснений в тетрадях и на доске должны появиться следующие записи (примерно) (рис. 10).

(луч хО - координатный луч, О - начало отсчета, ОЕ - единичный отрезок; точка О изображает число 0, или О(0); точка Е изображает число 1, или Е(1); точка М изображает число 2, или М(2); числа, которые изображены точками - координаты точек)

2. К материала, представленного в учебнике, следует добавить сведения о свойства точек на координатном луче: большему из двух натуральных чисел на координатном луче соответствует точка, лежащая справа, и наоборот. Кроме этого, если число лежит между двумя данными числами на координатном лучи, то оно находится между данными числами в натуральном ряду.

III . Закрепления знаний. Формирование умений

Для закрепления новой терминологии уместно выполнить задание 1.

Задача 1

1) Проведите луч Ох слева направо, отложите на нем отрезок ОВ и под точкой А поставьте ноль, а под точкой В - число 1. Как называется отрезок ОВ?

2) Чтобы обозначить число 4, сколько единичных отрезков надо отложить от начала луча Ох?

3) Если единичный отрезок отложить от начала луча Ох шесть раз, то какое число будет соответствовать концу шестого отрезка?

4) можно Ли на луче Ох отложить единичный отрезок миллион раз? Почему?

5) Пусть в точке М на координатном луче Ох соответствует число 9. Сколько раз отрезок ОВ отложенный от начала луча и как записать это соответствие?

@ После выполнения задания следует еще раз повторить с учениками, что некоторое натуральное число п строится откладыванием п единичных отрезков от начала отсчета, и наоборот - количество единичных отрезков, которые помещаются между началом координатного луча и точкой на нем, является координатой точки.

Задание 2

1) Постройте координатный луч Ох с единичным отрезком 1 см. Отметьте на нем точки: A (2 ); В(4); С(7); В(0). Найдите длину отрезков АВ, ВС, АС.

2) Точка D удалена от точки С(7) на 3 см и лежит справа. Какова координата точки D ?

3) Отложите от точки С(7) влево единичный отрезок СЕ, тогда точке Е соответствует число - ее координата. Запишите координату точки Е. Найдите середину отрезка OD и отметьте на лучи эту точку F . Которая координата точки F ?

Выводы

· Чтобы построить точку, что является изображением определенного числа п на координатном луче, надо: задать единичный отрезок; отложить его п раз от начала луча.

· Чтобы найти число п, что соответствует определенной точке на координатном луче, нужно знать расстояние от начала луча до данной точки в единичных отрезках.

После выполнения и анализа решения задач 1 и 2 можно предложить учащимся № 124, 127 (см. учебник).

Под конец урока (если останется время) решаются упражнения № 140; 142 (обратить внимание на разную количество решений задач в случаях 1 и 2, связанных с ограниченностью, координатного луча).

Для удобного изображения дроби на координатном луче важно правильно выбрать длину единичного отрезка.

Самый удобный вариант отметить на координатном луче дроби — взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Например, если требуется изобразить на координатном луче дроби со знаменателем 5, единичный отрезок лучше взять длиной в 5 клеточек:

В этом случае изображение дробей на координатном луче не вызовет затруднений: 1/5 — одна клеточка, 2/5 — две, 3/5 — три, 4/5 — четыре.

Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеточек в единичном отрезке делилось на все знаменатели. Например, для изображения на координатном луче дробей со знаменателями 8, 4 и 2 удобно взять единичный отрезок длиной в восемь клеточек. Чтобы отметить на координатном луче нужную дробь, единичный отрезок разбиваем на столько частей, каков знаменатель, и берем таких частей столько, каков числитель. Чтобы изобразить дробь 1/8, единичный отрезок разбиваем на 8 частей и берем 7 из них. Чтобы изобразить смешанное число 2 3/4, отсчитываем от начала отсчета два целых единичных отрезка, а третий разбиваем на 4 части и берем три из них:

Еще один пример: координатный луч с дробями, знаменатели которых равны 6, 2 и 3. В этом случае в качестве единичного удобно взять отрезок длиной шесть клеточек:

РАЗДЕЛ 1

СЧЕТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА

§ 3. КООРДИНАТНЫЙ ЛУЧ

Запишем натуральный ряд чисел:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...

Числу 1 поставим в соответствие отрезок любой длины (рис. 41). Будем считать этот отрезок единичным отрезком. Его длина равна 1 ед. Тогда числу 2 соответствует отрезок, в два раза больше единичный отрезок, числу 3 - в три раза больше за единичный отрезок и т. д. Вообще, каждому натуральному числу n будет соответствовать отрезок, который в n раз больше за единичный отрезок.

На луче ОХ от его начала В последовательно отложим единичный отрезок (рис. 42), затем отрезок, что соответствует числу 2, числу 3 и т. д.

Можно ли на луче отложить самый длинный отрезок, который соответствует натуральному числу? Нет.

Разместим натуральный ряд чисел возле точек на луче ОХ так, как показано на рисунке 43. В конце его изображения поставим стрелку. Она, так же, как и три точки в записи натурального ряда, показывает, что в этом направлении натуральные числа возрастают бесконечно. Считают, что стрелка указывает направление отсчета, а В начале луча соответствует число 0.

Посмотрите на рисунок 43. Вы видите, что любые две соседние точки на луче ОХ являются концами отрезка, равной единичному отрезку. Действительно: 2 - 1 = 1 (ед.),..., 7- 6 = 1 (ед.), ... Это означает, что на луче ОХ введена шкала, то есть указано начало отсчета, направление отсчета и деление. Цена деления составляет 1 ед. и равна длине выбранного единичного отрезка. Для удобства концы деления на такой шкале зображатимемо черточками (рис. 44).

Луч, на котором введена шкала, называется координатным лучом.

Координатный луч является примером бесконечной шкалы.

На рисунке 45 точке D соответствует число 5 на координатном луче ОХ. Это число называют координатой точки D.

Кратко записывают: D (5). Читают: «Точка D с координатой 5 ».

Что показывает координата точки D на координатном луче ОХ? Количество единичных отрезков содержит отрезок OD , или, что то же, расстояние от точки D до начала О координатного луча ОХ.

Обратите внимание:

1) каждой точке на координатном луче соответствует единственная координата;

2) чем больше координата точки, тем больше расстояние от нее до начала координатного луча.

Задача. Найдите расстояние между точками А(2) и В (7).

Обратите внимание:

чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно от большей координаты вычесть меньшую координату.

Таким образом нередко действуют на практике. На рисунке 46 вы видите, как находят длину ключа с помощью линейки с отломанными краями.

Линейка с делениями из вашего принадлежностей (рис. 47) является примером конечной шкалы. На ней цена большого деления равна 1 см, а малого - 1 мм.

Вам приходилось встречать и другие шкалы: термометр для измерения температуры воздуха (рис. 48); спидометр, показывающий скорость автомобиля (рис. 49); часы со стрелками (рис. 50).

Есть часы на рисунке 51 примером шкалы? Нет. На нем нет делений.

Узнайте больше

1. Слово «шкала» происходит от итальянского scala , что означает «ступеньки» или «линейка»,

2. Одной из первых шкал считают солнечные часы (рис. 52). Это расположенный на ровной поверхности циферблат, на контуре которого размещается 12 штрихов (по количеству знаков зодиака), а в центре - вертикальный стержень. Вслед за Солнцем, переміщалось небосводу, перемещалась и тень от стержня, показывая время. Основным недостатком солнечных часов было то, что он «работал» только днем и только в солнечное время.

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

50. На рисунке 53 назовите:

1) начало координатного луча;

2) отрезок, что соответствует единичном отрезке;

3) координаты точек В, С, D .

81.По показателям термометра для измерения температуры воздуха на рисунке 54, а-в установите, какой была температура воздуха в течение дня.

82. Назовите координаты трех точек, расположенных на координатном луче правее точки А(5), и координаты трех точек, лежащих левее этой точки.

83. По показателям спидометра на рисунке 55, а-в установите, с какой скоростью двигался автомобиль.

84. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), С(5), D (8), К(9), Е(12). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

85. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N(4), F (6), К(7), L (10), P (11). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

86.Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен трем клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N (3), К(4), L (5).

87. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 1 см. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), C (3), D (5).

88. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 56.

89. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 57.

90. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 58.

91. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 59.

92. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии;

1) 2 ед. от точки А(6); 3) 3 ед. от точки С(2);

2) 4 ед. от точки В(9); 4) 5 ед. от точки N (12).

93. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии:

1) 1 ед. от точки М(7); 2) 8 ед. от точки К(8).

94. Найдите расстояние между точками:

1)А(4) и B (9); 2)С(2) i D 12); 3) М(23) и N (45).

95. Найдите расстояние между точками:

1) A (6) i N (11); 2)В(14) и М(20); 3) С(34) и K (52).

96. Начертите в тетради отрезок длиной 14 см. Над одним его концом поставьте число 0, а над вторым - 14. Разделите отрезок на 7 равных частей и обозначьте их точками. Укажите числа, соответствующие этим точкам.

97. На координатном луче (рис. 60) обозначены числа 1 и а. Перемалюйте рисунок в тетрадь и с помощью циркуля обозначьте на этом луче точки, соответствующие числам а+ 1; а - 1; а + 2; 2а.

98. Кузнечик скачет вдоль координатного луча попеременно: на 6 ед. справа и на 4 ед. слева. Сможет ли он за несколько прыжков из точки с координатой 2 попасть в точку: 1) с координатой 10; 2) с координатой 11? Ответ объясните.

99. Улитка за день поднимается на 4 м вверх, а за ночь спускается на 2 м вниз. За сколько дней она поднимется на вершину дерева, высота которого 10 м?

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

100. Конечные пункты автобусного маршрута - А и Б. Если ехать от А до Б, то остановка «Школа» - четвертая, а если ехать от Б до А, то остановка «Школа» - девятая. Сколько всего остановок на автобусном маршруте?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

102. Вычислите устно:

1)18+17; 2)25 - 12; 3)9∙9; 4)30:2;

16 + 9; 81 - 41; 7∙11; 44:4.

103. Вычислите:

1) 950: 25 + 960: 60; 2) (4528 - 4239) : 17 - 12.

104. Найдите два числа на циферблате часов, если:

1) числа расположены напротив друг друга и их сумма равна 12;

2) числа расположены рядом друг с другом и их сумма равна 9.

105. Составьте задачу по такому выражению: 2 ∙ 150 + 3 ∙ 475.