a در نمودار یک تابع چیست. تابع خطی ویژگی های اساسی یک تابع

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است ما جمع آوری کنیم اطلاعات مختلف، از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما ایمیلو غیره

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

توابع ابتدایی پایه، خصوصیات ذاتی آنها و نمودارهای مربوطه برخی از اصول اولیه هستند دانش ریاضی، از نظر اهمیت مشابه جدول ضرب است. توابع ابتدایی اساس، پشتیبان مطالعه همه مسائل نظری هستند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مقاله زیر مطالب کلیدی را در مورد موضوع توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد. ما اصطلاحات را معرفی می کنیم، آنها را تعاریف می کنیم. بیایید هر نوع توابع ابتدایی را با جزئیات مطالعه کنیم و خواص آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

انواع زیر از توابع ابتدایی اساسی متمایز می شوند:

تعریف 1

• تابع ثابت (ثابت)؛
• ریشه n ام؛
• تابع قدرت؛
• تابع نمایی؛
• تابع لگاریتمی؛
• توابع مثلثاتی;
• توابع مثلثاتی برادرانه

یک تابع ثابت با فرمول: y = C (C یک عدد واقعی معین است) تعریف می شود و همچنین یک نام دارد: ثابت. این تابع مطابقت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر y - مقدار C تعیین می کند.

نمودار یک ثابت خط مستقیمی است که موازی با محور آبسیسا است و از نقطه ای با مختصات (0, C) می گذرد. برای وضوح، نمودارهایی از توابع ثابت y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (به ترتیب با رنگ های سیاه، قرمز و آبی در نقاشی نشان داده شده است) ارائه می دهیم.

تعریف 2

این تابع ابتدایی با فرمول y = x n تعریف می شود (n- عدد طبیعیبزرگتر از یک).

بیایید دو تغییر تابع را در نظر بگیریم.

1. ریشه n ام، n - عدد زوج

برای وضوح، نقاشی را نشان می دهیم که نمودارهایی از این توابع را نشان می دهد: y = x، y = x 4 و y = x8. این ویژگی ها به ترتیب رنگ بندی شده اند: مشکی، قرمز و آبی.

نمودارهای تابع ظاهری مشابه دارند مدرک حتیبرای سایر مقادیر نشانگر

تعریف 3

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد زوج است

• دامنه تعریف - مجموعه همه غیر منفی اعداد واقعی [ 0 , + ∞) ;
• وقتی x = 0، تابع y = x n مقداری برابر با صفر دارد.
• داده شده است تابع-عملکرد نمای کلی(نه زوج است و نه فرد)؛
• محدوده: [ 0 , + ∞) ;
• این تابع y = x n برای نماهای ریشه زوج در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای یک تحدب با جهت رو به بالا در کل دامنه تعریف است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n زوج از نقاط (0; 0) و (1; 1) عبور می کند.

1. ریشه n ام، n - عدد فرد

چنین تابعی بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. برای وضوح، نمودار توابع را در نظر بگیرید y = x 3، y = x 5 و x 9 . در نقاشی آنها با رنگ ها نشان داده شده اند: سیاه، قرمز و آبیو به ترتیب منحنی ها.

سایر مقادیر فرد از توان ریشه تابع y = x n نموداری از نوع مشابه به دست می دهد.

تعریف 4

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد فرد است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد واقعی.
• این تابع فرد است.
• محدوده مقادیر - مجموعه تمام اعداد واقعی؛
• تابع y = x n برای نماهای ریشه فرد در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای تقعر در بازه (-∞ ; 0 ] و تحدب در بازه [0, + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n فرد از نقاط (- 1 ; - 1)، (0 ; 0) و (1 ; 1) عبور می کند.

عملکرد قدرت

تعریف 5

تابع توان با فرمول y = x a تعریف می شود.

ظاهر نمودارها و خصوصیات تابع به مقدار توان بستگی دارد.

• هنگامی که یک تابع توان دارای یک توان عدد صحیح a باشد، نمودار به نظر می رسد تابع قدرتو خصوصیات آن به زوج یا فرد بودن توان و همچنین اینکه نما دارای چه علامتی است بستگی دارد. بیایید همه این موارد خاص را با جزئیات بیشتر در زیر در نظر بگیریم.
• توان می تواند کسری یا غیر منطقی باشد - بسته به این، نوع نمودارها و ویژگی های تابع نیز متفاوت است. ما موارد خاص را با تعیین چندین شرط تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• یک تابع توان می تواند یک توان صفر داشته باشد، ما همچنین این مورد را با جزئیات بیشتری در زیر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت فرد باشد، به عنوان مثال، a = 1، 3، 5...

برای وضوح، نمودارهای این توابع توان را نشان می دهیم: y = x (رنگ گرافیکی سیاه) y = x 3 (رنگ آبی نمودار)، y = x 5 (رنگ قرمز نمودار)، y = x 7 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = 1 باشد، تابع خطی y = x را دریافت می کنیم.

تعریف 6

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد مثبت باشد

• تابع برای x ∈ در حال افزایش است (- ∞ ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است (به استثنای تابع خطی).
• نقطه عطف دارای مختصات (0 ; 0) است (به استثنای تابع خطی).
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت زوج باشد، به عنوان مثال، a = 2، 4، 6...

برای وضوح، نمودارهای این توابع قدرت را نشان می دهیم: y = x 2 (رنگ گرافیکی سیاه)، y = x 4 (رنگ آبی نمودار)، y = x 8 (رنگ قرمز نمودار). وقتی a = 2 باشد، می گیریم تابع درجه دومکه نمودار آن سهمی درجه دوم است.

تعریف 7

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی مثبت باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• کاهش برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تابع دارای تقعر برای x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان را نشان می دهد y = x a وقتی a فرد باشد عدد منفی: y = x - 9 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 5 (رنگ آبی نمودار). y = x - 3 (رنگ قرمز نمودار). y = x - 1 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = - 1 باشد، نسبت معکوس را بدست می آوریم که نمودار آن هذلولی است.

تعریف 8

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد منفی باشد:

وقتی x = 0، ناپیوستگی از نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = - ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 1، - 3، - 5، .... بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• محدوده: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع فرد است زیرا y (- x) = - y (x);
• تابع برای x ∈ - ∞ در حال کاهش است. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0) و تقعر برای x ∈ (0 ; + ∞) است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

k = lim x → ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، زمانی که a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان y = x a را در زمانی که a یک عدد منفی زوج است نشان می دهد: y = x - 8 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 4 (رنگ آبی نمودار). y = x - 2 (رنگ قرمز نمودار).

تعریف 9

ویژگی های یک تابع توان زمانی که توان آن حتی منفی است:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

وقتی x = 0، ناپیوستگی نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = + ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 2، - 4، - 6، …. بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• تابع زوج است زیرا y(-x) = y(x);
• تابع برای x ∈ (- ∞ ; 0) افزایش و برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع در x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0، زیرا:

k = lim x ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 وقتی a = - 2، - 4، - 6، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

از همان ابتدا، به جنبه زیر توجه کنید: در موردی که a یک کسر مثبت با مخرج فرد است، برخی از نویسندگان بازه - ∞ را به عنوان دامنه تعریف این تابع توان در نظر می گیرند. + ∞، با این شرط که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. روشن در حال حاضرنویسندگان بسیاری انتشارات آموزشیدر جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را تعیین نمی کنند، جایی که توان کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان است. علاوه بر این، دقیقاً به این موقعیت پایبند خواهیم بود: مجموعه [ 0 ; + ∞). توصیه به دانش آموزان: برای جلوگیری از اختلاف نظر، نظر معلم را در این مورد بیابید.

بنابراین، اجازه دهید به تابع قدرت نگاه کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی باشد، مشروط بر اینکه 0 باشد< a < 1 .

اجازه دهید توابع قدرت را با نمودارها نشان دهیم y = x a وقتی a = 11 12 (رنگ گرافیکی سیاه). a = 5 7 (رنگ قرمز نمودار)؛ a = 1 3 (رنگ آبی نمودار)؛ a = 2 5 (رنگ سبز نمودار).

سایر مقادیر توان a (0 ارائه شده است< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

تعریف 10

ویژگی های تابع توان در 0< a < 1:

• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ محدب است (0 ; + ∞);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیر منطقی غیر صحیح باشد، مشروط بر اینکه a > 1 باشد.

اجازه دهید تابع توان را با نمودارها نشان دهیم y = x a تحت شرایط داده شده با استفاده از توابع زیر به عنوان مثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (به ترتیب نمودارهای سیاه، قرمز، آبی، سبز).

سایر مقادیر توان a، با داشتن یک > 1، نمودار مشابهی را نشان می دهد.

تعریف 11

ویژگی های تابع توان برای > 1:

• دامنه تعریف: x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ (0 ; + ∞) تقعر دارد (وقتی 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

لطفاً توجه داشته باشید هنگامی که a یک کسر منفی با مخرج فرد است، در آثار برخی از نویسندگان این دیدگاه وجود دارد که دامنه تعریف در این مورد فاصله - ∞ است. 0 ∪ (0 ; + ∞) با این هشدار که توان a یک کسری تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر نویسندگان مواد آموزشیدر جبر و اصول تحلیل، توابع توان با یک توان به صورت کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان تعیین نمی شود. علاوه بر این، ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند هستیم: مجموعه (0 ; + ∞) را به عنوان دامنه تعریف توابع توان با توان های منفی کسری در نظر می گیریم. توصیه برای دانش آموزان: دیدگاه معلم خود را در این مرحله برای جلوگیری از اختلاف نظر روشن کنید.

بیایید موضوع را ادامه دهیم و تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a ارائه شده است: - 1< a < 0 .

اجازه دهید رسم نمودارهای توابع زیر را ارائه کنیم: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (سیاه، قرمز، آبی، سبز رنگ خطوط، به ترتیب).

تعریف 12

ویژگی های تابع توان در - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

رسم زیر نمودارهایی از توابع توان y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (به ترتیب رنگ‌های سیاه، قرمز، آبی، سبز منحنی‌ها) را نشان می‌دهد.

تعریف 13

ویژگی های تابع توان برای a< - 1:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0.
• نقطه عبور تابع: (1; 1) .

وقتی a = 0 و x ≠ 0، تابع y = x 0 = 1 را به دست می آوریم، که خطی را که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود را مشخص می کند (توافق شد که به عبارت 0 0 هیچ معنایی داده نشود. ).

تابع نمایی شکل دارد y = a x، که در آن a > 0 و a ≠ 1، و نمودار این تابع بر اساس مقدار پایه a متفاوت به نظر می رسد. بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم.

ابتدا بیایید به وضعیتی نگاه کنیم که پایه تابع نمایی از صفر تا یک (0) داشته باشد.< a < 1) . یک مثال خوب، نمودارهای توابع برای a = 1 2 (رنگ آبی منحنی) و a = 5 6 (رنگ قرمز منحنی) است.

نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه در شرایط 0 ظاهری مشابه خواهند داشت.< a < 1 .

تعریف 14

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن کمتر از یک است در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به + ∞.

حال حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد (a > 1).

اجازه دهید این مورد خاص را با نموداری از توابع نمایی y = 3 2 x (رنگ آبی منحنی) و y = e x (رنگ قرمز نمودار) نشان دهیم.

سایر مقادیر پایه، واحدهای بزرگتر، ظاهری مشابه به نمودار تابع نمایی می دهد.

تعریف 15

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف - کل مجموعه اعداد واقعی.
• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن بزرگتر از یک است به صورت x ∈ - ∞ افزایش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر در x ∈ - ∞ است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به - ∞.
• نقطه عبور تابع: (0; 1) .

تابع لگاریتمی به شکل y = log a (x)، که در آن a > 0، a ≠ 1 است.

چنین تابعی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود: برای x ∈ 0; + ∞ .

برنامه ریزی کنید تابع لگاریتمیدارد نوع متفاوت، بر اساس مقدار پایه a.

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

سایر مقادیر پایه، نه واحدهای بزرگتر، نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 16

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . همانطور که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به +∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• لگاریتمی
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

حال بیایید به حالت خاصی که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک است نگاه کنیم: a > 1 . رسم زیر نمودارهای توابع لگاریتمی y = log 3 2 x و y = ln x (به ترتیب رنگ های آبی و قرمز نمودارها) را نشان می دهد.

مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 17

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . از آنجایی که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به - ∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ (کل مجموعه اعداد واقعی)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع لگاریتمی برای x ∈ 0 در حال افزایش است. + ∞ ;
• تابع برای x ∈ 0 محدب است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقطه عبور تابع: (1; 0) .

توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. بیایید به ویژگی های هر یک از آنها و گرافیک مربوطه نگاه کنیم.

به طور کلی، تمام توابع مثلثاتی با خاصیت تناوب مشخص می شوند، یعنی. زمانی که مقادیر تابع در تکرار می شوند معانی مختلفآرگومان هایی که با دوره f (x + T) = f (x) (T - دوره) با یکدیگر متفاوت هستند. بنابراین، مورد "کوچکترین دوره مثبت" به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه می شود. علاوه بر این، مقادیر آرگومان را نشان خواهیم داد که در آن تابع مربوطه صفر می شود.

1. تابع سینوس: y = sin(x)

نمودار این تابع را موج سینوسی می نامند.

تعریف 18

ویژگی های تابع سینوس:

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• تابع زمانی که x = π · k ناپدید می شود، جایی که k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• تابع برای x ∈ - π 2 + 2 π · k در حال افزایش است. π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ π 2 + 2 π · k. 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• تابع سینوس دارای ماکزیمم های محلی در نقاط π2 + 2 π · k است. 1 و حداقل های محلی در نقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، k ∈ Z;
• تابع سینوس مقعر است وقتی x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ 2 π · k; π + 2 π k، k ∈ Z;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس: y = cos(x)

نمودار این تابع را موج کسینوس می نامند.

تعریف 19

ویژگی های تابع کسینوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• کوچکترین دوره مثبت: T = 2 π.
• محدوده مقادیر: y ∈ - 1 ; 1 ;
• این تابع زوج است، زیرا y (- x) = y (x);
• تابع برای x ∈ - π + 2 π · k در حال افزایش است. 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ 2 π · k. π + 2 π k، k ∈ Z;
• تابع کسینوس دارای حداکثرهای محلی در نقاط 2 π · k است. 1، k ∈ Z و حداقل های محلی در نقاط π + 2 π · k. - 1، k ∈ z;
• تابع کسینوس مقعر است وقتی x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0، k∈ Z
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس: y = t g (x)

نمودار این تابع نامیده می شود مماس

تعریف 20

ویژگی های تابع مماس:

• دامنه تعریف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• رفتار تابع مماس در مرز دامنه تعریف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ ، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π 2 + π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.
• تابع زمانی که x = π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع با افزایش - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، k ∈ Z;
• تابع مماس برای x ∈ مقعر است [π · k; π 2 + π · k ) ، k ∈ Z و محدب برای x ∈ (- π 2 + π · k ؛ π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط عطف دارای مختصات π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;

1. تابع کوتانژانت: y = c t g (x)

نمودار این تابع کوتانژانتوئید نامیده می شود. .

تعریف 21

ویژگی های تابع کوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ (π · k ؛ π + π · k) ، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).

رفتار تابع کتانژانت در مرز دامنه تعریف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.

• کوچکترین دوره مثبت: T = π.
• تابع زمانی که x = π 2 + π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع برای x ∈ π · k در حال کاهش است. π + π k، k ∈ Z;
• تابع کوتانژانت برای x∈ مقعر است (π · k؛ π 2 + π · k ]، k ∈ Z و محدب برای x ∈ [ - π 2 + π · k ؛ π · k)، k ∈ Z .
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;
• مجانب مایل یا افقی وجود ندارد.

توابع مثلثاتی معکوس عبارتند از: آرکسین، آرکوزین، تانژانت و قوس. اغلب، به دلیل وجود پیشوند "قوس" در نام، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. .

1. تابع سینوس قوس: y = a rc sin (x)

تعریف 22

ویژگی های تابع آرکسین:

• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع آرکسین دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. 1 و تحدب برای x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط عطف دارای مختصات (0; 0) هستند که همچنین صفر تابع است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس قوس: y = a r c cos (x)

تعریف 23

ویژگی های تابع کسینوس قوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - 1 ; 1 ;
• محدوده: y ∈ 0 ; π;
• این تابع یک شکل کلی است (نه زوج و نه فرد).
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کسینوس قوس دارای یک تقعر در x ∈ - 1 است. 0 و تحدب برای x ∈ 0. 1 ;
• نقاط عطف دارای مختصات 0 هستند. π 2;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس قوس: y = a r c t g (x)

تعریف 24

ویژگی های تابع قطبی:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده مقادیر: y ∈ - π 2 ; π 2;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش است.
• تابع متقاطع دارای تقعر برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تحدب برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصاتی است (0; 0) که صفر تابع نیز می باشد.
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = - π 2 به عنوان x → - ∞ و y = π 2 به عنوان x → + ∞ هستند (در شکل، مجانب خطوط سبز هستند).

1. تابع مماس قوس: y = a r c c t g (x)

تعریف 25

ویژگی های تابع آرکوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده: y ∈ (0; π) ;
• این تابع یک شکل کلی است.
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کتانژانت قوس دارای یک تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) و تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطه عطف دارای مختصات 0 است. π 2;
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = π در x → - ∞ (خط سبز در نقاشی) و y = 0 در x → + ∞ هستند.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

دانش توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جداول ضرب نیست. آنها مانند پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله ما تمام توابع ابتدایی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و بدون نتیجه گیری یا اثبات ارائه می دهیم ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار یک تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط ناپیوستگی یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به مقاله تحدب یک تابع، جهت تحدب، نقاط عطف، شرایط تحدب و خمش مراجعه کنید).
• مجانب مایل و افقی؛
• نقاط منفردتوابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه nام، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی با فرمول تعریف می شود که در آن C مقداری واقعی است. یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار C مرتبط می کند. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات (0,C) می گذرد. به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و را نشان خواهیم داد که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از مفردبا .
• یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات می گذرد.

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیریم که با فرمول n داده شده است، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است.

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، در اینجا یک تصویر با تصاویر نمودارهای تابع است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشه n برای زوج n.

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه n با یک توان ریشه فرد n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

برای سایر مقادیر فرد از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع ریشه n برای فرد n.

عملکرد قدرت.

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای نماهای مثبت زوج، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را اولاً برای a از صفر تا یک، ثانیاً برای بزرگتر از یک، ثالثا، برای a از منهای یک به صفر، چهارم، برای کمتر از منهای یک در نظر می گیریم.

در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.

تابع توان با توان مثبت فرد.

بیایید تابع توانی را با نماهای مثبت فرد در نظر بگیریم، یعنی با a = 1،3،5، ....

شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. برای a=1 داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

بیایید یک تابع توان با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a = 2،4،6،....

به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. برای a=2 یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان نگاه کنید، یعنی برای = -1، -3، -5، ....

شکل نمودارهای توابع قدرت را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی حتی.

بیایید به تابع توان برای a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه کن!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی مجموعه را حوزه های تعریف توابع توان با توان های مثبت کسری در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

یک تابع توان با یا منطقی را در نظر بگیرید شاخص غیر منطقییک، و.

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

اجازه دهید یک تابع توان با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه دهیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

>

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص تابع توان در .

تابع توان با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه کن!اگر a یک کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. . مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های تعریف توابع توان با نماهای منفی کسری کسری را به ترتیب یک مجموعه در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

بیایید به تابع قدرت، kgod برویم.

برای داشتن یک ایده خوب از شکل نمودارهای توابع قدرت برای، مثال هایی از نمودار توابع ارائه می دهیم. (به ترتیب منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز).

ویژگی های تابع توان با توان a، .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیر صحیح کمتر از منهای یک.

هنگامی که a = 0، یک تابع داریم - این یک خط مستقیم است که از آن نقطه (0;1) حذف می شود (توافق شد که به عبارت 0 0 اهمیتی داده نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی اصلی تابع نمایی است.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a اشکال متفاوتی دارد. بیایید این را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی مقداری از صفر تا یک بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهایی از تابع نمایی را برای a = 1/2 – خط آبی، a = 5/6 – خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

اجازه دهید به موردی برویم که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد، یعنی .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای سایر مقادیر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

تابع ابتدایی بعدی تابع لگاریتمی است، که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

نمودار یک تابع لگاریتمی بسته به مقدار پایه a شکل های مختلفی دارد.

دانشگاه ملی تحقیقات

گروه زمین شناسی کاربردی

چکیده در مورد ریاضیات عالی

با موضوع: "توابع ابتدایی اساسی،

خواص و نمودارهای آنها"

تکمیل شد:

بررسی شد:

معلم

تعریف. تابع تعریف شده با فرمول y=a x (که در آن a>0، a≠1) فراخوانی می شود تابع نماییبا پایه a.

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع نمایی را فرموله کنیم:

1. دامنه تعریف مجموعه (R) همه اعداد حقیقی است.

2. محدوده - مجموعه (R+) همه اعداد حقیقی مثبت.

3. برای یک > 1، تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد. در 0<а<1 функция убывает.

4. تابع شکل کلی است.

، در بازه xO [-3;3]
، در بازه xO [-3;3]

تابعی به شکل y(x)=xn که n عدد ОR است، تابع توان نامیده می شود. عدد n می تواند مقادیر مختلفی داشته باشد: هم عدد صحیح و هم کسری، هم زوج و هم فرد. بسته به این، تابع قدرت شکل متفاوتی خواهد داشت. بیایید موارد خاصی را که توابع توان هستند در نظر بگیریم و خصوصیات اساسی این نوع منحنی را به ترتیب زیر منعکس کنیم: تابع توان y=x² (تابع با توان زوج - سهمی)، تابع توان y=x³ (تابع با توان فرد). - سهمی مکعبی) و تابع y=√x (x به توان ½) (تابع با توان کسری)، تابع با توان عدد صحیح منفی (هذلولی).

عملکرد قدرت y=x²

1. D(x)=R - تابع بر روی کل محور عددی تعریف شده است.

2. E(y)= و در بازه افزایش می یابد

عملکرد قدرت y=x³

1. نمودار تابع y=x³ سهمی مکعبی نامیده می شود. تابع توان y=x³ دارای ویژگی های زیر است:

2. D(x)=R - تابع بر روی کل محور عددی تعریف شده است.

3. E(y)=(-∞;∞) - تابع تمام مقادیر را در دامنه تعریف خود می گیرد.

4. وقتی x=0 y=0 – تابع از مبدا مختصات O(0;0) عبور می کند.

5. تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

6. تابع فرد است (متقارن نسبت به مبدا).

، در بازه xO [-3;3]

بسته به ضریب عددی مقابل x³، تابع می تواند شیب دار/مسطح و افزایش/کاهش باشد.

تابع توان با توان عدد صحیح منفی:

اگر توان n فرد باشد، نمودار چنین تابع توانی هذلولی نامیده می شود. یک تابع توان با یک توان منفی عدد صحیح دارای ویژگی های زیر است:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) برای هر n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞)، اگر n عدد فرد باشد. E(y)=(0;∞)، اگر n عدد زوج باشد.

3. اگر n یک عدد فرد باشد، تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد. اگر n عدد زوج باشد، تابع در بازه (-∞;0) افزایش می یابد و در بازه (0;∞) کاهش می یابد.

4. اگر n یک عدد فرد باشد، تابع فرد است (متقارن در مورد مبدا). یک تابع حتی اگر n یک عدد زوج باشد.

5. اگر n عدد فرد باشد، تابع از نقاط (1;1) و (-1;-1) و اگر n عدد زوج باشد از نقاط (1;1) و (1;1) عبور می کند.

، در بازه xO [-3;3]

تابع توان با توان کسری

یک تابع توان با توان کسری (تصویر) دارای نمودار تابع نشان داده شده در شکل است. یک تابع توان با یک توان کسری دارای ویژگی های زیر است: (تصویر)

1. D(x) ОR، اگر n عدد فرد باشد و D(x)=
، در بازه xО
، در بازه xO [-3;3]

تابع لگاریتمی y = log a x دارای ویژگی های زیر است:

1. دامنه تعریف D(x)О (0؛ + ∞).

2. محدوده مقادیر E(y) О (- ∞؛ + ∞)

3. تابع نه زوج است و نه فرد (به صورت کلی).

4. تابع در بازه (0؛ + ∞) برای یک > 1 افزایش می یابد، در (0؛ + ∞) برای 0 کاهش می یابد.< а < 1.

نمودار تابع y = log a x را می توان از نمودار تابع y = a x با استفاده از تبدیل تقارن در مورد خط مستقیم y = x بدست آورد. شکل 9 نموداری از تابع لگاریتمی را برای یک > 1 و شکل 10 را برای 0 نشان می دهد.< a < 1.

; در بازه xO
; در بازه xO

توابع y = sin x، y = cos x، y = tan x، y = ctg x توابع مثلثاتی نامیده می شوند.

توابع y = sin x، y = tan x، y = ctg x فرد هستند و تابع y = cos x زوج است.

تابع y = sin(x).

1. دامنه تعریف D(x) ОR.

2. محدوده مقادیر E(y) О [ - 1; 1].

3. تابع دوره ای است. دوره اصلی 2π است.

4. تابع فرد است.

5. تابع در فواصل [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] و در فواصل [π/2 + 2πn کاهش می یابد. 3π/2 + 2πn]، n О Z.

نمودار تابع y = sin (x) در شکل 11 نشان داده شده است.