3 جمله در مورد منظومه شمسی فرموله کنید. تعمیم قوانین کپلر حرکت در میدان گرانشی

سیارات در مدارهای بیضوی کشیده به دور خورشید حرکت می کنند و خورشید در یکی از دو نقطه کانونی بیضی قرار دارد.

یک خط مستقیم که خورشید و یک سیاره را به هم متصل می کند، مناطق مساوی را در بازه های زمانی مساوی قطع می کند.

مربع های دوره های چرخش سیارات به دور خورشید به مکعب های نیمه محورهای اصلی مدار آنها مربوط می شود.

یوهانس کپلر حس زیبایی داشت. او در تمام زندگی بزرگسالی خود سعی کرد ثابت کند که منظومه شمسی نوعی اثر هنری عرفانی است. در ابتدا سعی کرد دستگاه او را به پنج متصل کند چند وجهی منظم هندسه کلاسیک یونان باستان (چند وجهی منتظم یک شکل سه بعدی است که تمام صورت های آن با یکدیگر برابر هستند چند ضلعی های منظم.) در زمان کپلر، شش سیاره شناخته شده بود که اعتقاد بر این بود که بر روی "کره های کریستالی" در حال چرخش قرار گرفته اند. کپلر استدلال کرد که این کره ها به گونه ای چیده شده اند که چند وجهی منظم دقیقاً بین کره های مجاور قرار می گیرد. او بین دو کره بیرونی - زحل و مشتری - مکعبی قرار داد که در کره بیرونی حک شده بود، که به نوبه خود، کره درونی در آن حک شده است. بین کره مشتری و مریخ - یک چهار وجهی (چهار ضلعی منظم)، و غیره.

افسوس، کپلر با مقایسه مدل خود با مدارهای مشاهده شده سیارات، مجبور شد اعتراف کند که رفتار واقعی اجرام آسمانی در چارچوب هماهنگی که او ترسیم کرده است، نمی گنجد. همانطور که زیست‌شناس معاصر بریتانیایی J. B. S. Haldane به درستی اشاره کرد، «ایده جهان به‌عنوان یک اثر هنری از لحاظ هندسی کامل، فرضیه‌ای زیبا بود که توسط حقایق زشت نابود شد». تنها نتیجه انگیزه جوانی کپلر که در طول قرن ها زنده ماند، مدلی از منظومه شمسی بود که توسط خود دانشمند ساخته شد و به عنوان هدیه به حامی خود، دوک فردریک فون وورتمبورگ، ارائه شد. در این مصنوع فلزی که به زیبایی اجرا شده است، تمام کره های مداری سیارات و چند وجهی های منظم حک شده در آنها ظروف توخالی هستند که با یکدیگر ارتباطی ندارند و قرار بود در روزهای تعطیل با نوشیدنی های مختلف برای پذیرایی از مهمانان دوک پر شود.

کپلر تنها پس از نقل مکان به پراگ و تبدیل شدن به دستیار ستاره شناس مشهور دانمارکی تیکو براهه (1546-1601) با ایده هایی روبرو شد که واقعاً نام او را در تاریخچه علم جاودانه کرد. تیکو براهه تمام عمر خود را صرف جمع آوری داده ها کرد. مشاهدات نجومیو اطلاعات زیادی در مورد حرکت سیارات جمع آوری کرد. پس از مرگ او آنها به تصرف کپلر درآمدند. به هر حال، این رکوردها در آن زمان ارزش تجاری زیادی داشتند، زیرا می توان از آنها برای جمع آوری طالع بینی های نجومی تصفیه شده استفاده کرد (امروزه دانشمندان ترجیح می دهند در مورد این بخش از نجوم اولیه سکوت کنند).

در حین پردازش نتایج مشاهدات تیکو براهه، کپلر با مشکلی مواجه شد که حتی با رایانه های مدرن ممکن است برای کسی غیرقابل حل به نظر برسد و کپلر چاره ای جز انجام تمام محاسبات با دست نداشت. البته کپلر نیز مانند بسیاری از ستاره شناسان زمان خود با آن آشنا بود سیستم هلیوسنتریککوپرنیک ( سانتی متراصل کوپرنیک) و می دانستند که زمین به دور خورشید می چرخد، همانطور که مدل منظومه شمسی در بالا توضیح داد. اما زمین و سیارات دیگر دقیقا چگونه می چرخند؟ بیایید مشکل را به صورت زیر تصور کنیم: شما در سیاره ای هستید که اولاً حول محور خود می چرخد ​​و ثانیاً در مداری ناشناخته به دور خورشید می چرخد. با نگاهی به آسمان، سیارات دیگری را می بینیم که در مدارهایی ناشناخته برای ما حرکت می کنند. وظیفه ما این است که بر اساس مشاهدات انجام شده بر روی سیاره ما که به دور محور خود به دور خورشید می چرخد، تعیین کنیم کره زمین، هندسه مدارها و سرعت حرکت سیارات دیگر. این دقیقاً همان کاری است که کپلر در نهایت موفق به انجام آن شد و پس از آن، بر اساس نتایج به دست آمده، سه قانون خود را استخراج کرد!

قانون اولهندسه مسیر مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. شما ممکن است از دوره مدرسههندسه که بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است، مجموع فواصل آن تا دو نقطه ثابت است. ترفندها- برابر با یک ثابت. اگر این برای شما خیلی پیچیده است، تعریف دیگری وجود دارد: قسمتی از سطح جانبی یک مخروط را با یک صفحه در زاویه ای نسبت به پایه آن تصور کنید، نه اینکه از پایه عبور کند - این نیز یک بیضی است. قانون اول کپلر می گوید که مدار سیارات بیضی است و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد. عجیب و غریب(درجه ازدیاد طول) مدارها و فاصله آنها از خورشید در حضیض(نزدیک ترین نقطه به خورشید) و آپاهلیا(دورترین نقطه) همه سیارات متفاوت هستند، اما همه مدارهای بیضوی یک چیز مشترک دارند - خورشید در یکی از دو کانون بیضی قرار دارد. پس از تجزیه و تحلیل داده های رصدی تیکو براهه، کپلر به این نتیجه رسید که مدارهای سیاره ای مجموعه ای از بیضی های تو در تو هستند. قبل از او، این به سادگی به ذهن هیچ ستاره‌شناسی نرسیده بود.

اهمیت تاریخی قانون اول کپلر را نمی توان دست بالا گرفت. قبل از او، ستاره شناسان معتقد بودند که سیارات منحصراً در مدارهای دایره ای حرکت می کنند و اگر این در چارچوب مشاهدات قرار نمی گرفت، حرکت دایره ای اصلی با دایره های کوچکی که سیارات در اطراف نقاط مدار دایره ای اصلی توصیف می کردند تکمیل می شد. من می گویم این اولاً یک موضع فلسفی بود، نوعی واقعیت تغییر ناپذیر که مورد تردید و تأیید قرار نمی گرفت. فیلسوفان معتقد بودند که ساختار آسمانی، بر خلاف ساختار زمینی، در هماهنگی کامل است، و از آنجایی که کامل ترین ساختار اشکال هندسییک دایره و یک کره هستند، به این معنی که سیارات در یک دایره حرکت می کنند (و حتی امروز نیز باید این تصور غلط را بارها و بارها در بین دانش آموزانم برطرف کنم). نکته اصلی این است که یوهانس کپلر با دسترسی به داده های مشاهداتی گسترده تیکو براهه، توانست از این پیش داوری فلسفی گام بردارد، زیرا با واقعیت مطابقت ندارد - همانطور که کوپرنیک جرات کرد زمین را از مرکز خارج کند. جهان، با استدلال‌هایی مواجه شد که با ایده‌های زمین‌مرکزی پایدار، که همچنین شامل «رفتار نامناسب» سیارات در مدار بود، در تضاد بود.

قانون دومتغییر در سرعت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. من قبلاً فرمول آن را به شکل رسمی ارائه کرده ام، اما برای درک بهتر آن معنای فیزیکی، کودکی خود را به یاد آورید احتمالاً این فرصت را داشته اید که در زمین بازی دور یک تیرک بچرخید و آن را با دستان خود بگیرید. در واقع سیارات نیز به روشی مشابه به دور خورشید می چرخند. هر چه مدار بیضی شکل یک سیاره را از خورشید دورتر کند، حرکت آن به خورشید کمتر می شود، سیاره سریعتر حرکت می کند. حالا یک جفت پاره خط را تصور کنید که دو موقعیت سیاره را در مدارش با کانون بیضی که خورشید در آن قرار دارد به هم متصل می کند. آنها همراه با بخش بیضی که بین آنها قرار دارد، یک بخش را تشکیل می دهند که ناحیه آن دقیقاً "ناحیه ای است که توسط یک قطعه خط مستقیم قطع شده است." این دقیقاً همان چیزی است که قانون دوم در مورد آن صحبت می کند. چگونه سیاره نزدیکتربه سمت خورشید، قطعات کوتاه تر هستند. اما در این حالت، برای اینکه این بخش در زمان مساوی مساحت مساوی را بپوشاند، سیاره باید مسافت بیشتری را در مدار خود طی کند، که به این معنی است که سرعت حرکت آن افزایش می‌یابد.

در دو قانون اول ما در مورددر مورد مشخصات مسیرهای مداری یک سیاره منفرد. قانون سومکپلر به شما امکان می دهد مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنید. این می گوید که هر چه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، زمان بیشتری طول می کشد تا هنگام حرکت در مدار، یک چرخش کامل انجام شود و بر این اساس، "سال" در این سیاره بیشتر طول می کشد. امروزه می دانیم که این به دو عامل مربوط می شود. اولاً، هر چه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، محیط مدار آن طولانی تر است. ثانیا، با افزایش فاصله از خورشید، سرعت خطیحرکات سیاره

کپلر در قوانین خود با مطالعه و تعمیم نتایج مشاهدات به سادگی حقایق را بیان کرد. اگر از او می پرسیدید که علت بیضی بودن مدارها یا برابری مساحت بخش ها چیست، پاسخ شما را نمی داد. این به سادگی از تحلیل او ناشی شد. اگر از او در مورد حرکت مداری سیارات در منظومه های ستاره ای دیگر بپرسید، او نیز چیزی برای پاسخ به شما نخواهد داشت. او باید همه چیز را از نو شروع کند - داده های مشاهده ای را جمع آوری کند، سپس آنها را تجزیه و تحلیل کند و سعی کند الگوها را شناسایی کند. یعنی او به سادگی هیچ دلیلی برای این باور ندارد که منظومه سیاره ای دیگر از قوانین مشابه منظومه شمسی پیروی می کند.

یکی از بزرگترین پیروزی ها مکانیک کلاسیکنیوتن دقیقاً در این واقعیت نهفته است که توجیهی اساسی برای قوانین کپلر ارائه می دهد و جهانی بودن آنها را تأیید می کند. به نظر می رسد که قوانین کپلر را می توان از قوانین مکانیک نیوتن، قانون گرانش جهانی نیوتن و قانون بقای تکانه زاویه ای از طریق محاسبات دقیق ریاضی استخراج کرد. و اگر چنین است، می‌توانیم مطمئن باشیم که قوانین کپلر هستند به طور مساویقابل اجرا برای هر سیستم سیاره ای در هر نقطه از کیهان. اخترشناسانی که در جستجوی منظومه‌های سیاره‌ای جدید در فضا هستند (و تعداد کمی از آنها قبلاً کشف شده‌اند) به طور طبیعی، از معادلات کپلر برای محاسبه پارامترهای مدار سیارات دور استفاده می‌کنند، اگرچه نمی‌توانند مستقیماً آنها را رصد کنند. .

قانون سوم کپلر نقش مهمی در کیهان شناسی مدرن ایفا کرده و دارد. اخترفیزیکدانان با مشاهده کهکشان‌های دوردست، سیگنال‌های ضعیفی را که از اتم‌های هیدروژن در مدارهای بسیار دور از مرکز کهکشانی ساطع می‌شوند، تشخیص می‌دهند - بسیار دورتر از ستاره‌ها. دانشمندان با استفاده از اثر داپلر در طیف این تابش، نرخ چرخش محیط هیدروژن دیسک کهکشانی و از روی آنها - سرعت زاویه ای کهکشان ها به عنوان یک کل را تعیین می کنند. سانتی مترهمچنین ماده تاریک). خوشحالم که آثار دانشمندی که ما را محکم در مسیر قرار داد درک صحیحدستگاه‌های منظومه شمسی ما، و امروزه، قرن‌ها پس از مرگ او، نقش مهمی در مطالعه ساختار کیهان وسیع دارند.

بین کره مریخ و زمین یک دوازده وجهی (دوده وجهی) وجود دارد. بین کره زمین و زهره - ایکوساهدر (بیست وجهی)؛ بین کره های زهره و عطارد یک هشت وجهی (هشت وجهی) وجود دارد. طرح به دست آمده توسط کپلر به صورت مقطعی در یک نقشه سه بعدی دقیق (نگاه کنید به شکل) در اولین تک نگاری خود، "رمز کیهان نگاری" (Mysteria Cosmographica، 1596) ارائه شد.- یادداشت مترجم

I. Kepler تمام عمر خود را صرف اثبات این موضوع کرد که منظومه شمسی ما نوعی هنر عرفانی است. او در ابتدا سعی کرد ثابت کند که ساختار سیستم شبیه چند وجهی منظم از هندسه یونان باستان است. در زمان کپلر شش سیاره وجود داشتند. اعتقاد بر این بود که آنها در کره های کریستالی قرار می گیرند. به گفته این دانشمند، این کره ها به گونه ای قرار گرفته اند که چند وجهی دقیقاً بین کره های مجاور قرار می گیرد. فرم صحیح. بین مشتری و زحل یک مکعب قرار داده شد که در محیط خارجی که کره در آن حک شده بود حک شده بود. بین مریخ و مشتری یک چهار وجهی و غیره وجود دارد. پس از سالها مشاهده اجرام آسمانیقوانین کپلر ظاهر شد و او نظریه چندوجهی خود را رد کرد.

قوانین

سیستم زمین مرکزی بطلمیوسی جهان با سیستمی از نوع هلیومرکزی که توسط کوپرنیک ایجاد شد جایگزین شد. هنوز بعدها، کپلر در اطراف خورشید شناسایی شد.

پس از سالها رصد سیارات، سه قانون کپلر پدیدار شد. بیایید در مقاله به آنها نگاه کنیم.

اول

طبق قانون اول کپلر، تمام سیارات منظومه ما در امتداد یک منحنی بسته به نام بیضی حرکت می کنند. چراغ ما در یکی از کانون های بیضی قرار دارد. دو مورد از آنها وجود دارد: اینها دو نقطه در داخل منحنی هستند که مجموع فواصل آنها تا هر نقطه از بیضی ثابت است. پس از مشاهدات طولانی، دانشمند توانست نشان دهد که مدار تمام سیارات منظومه ما تقریباً در یک صفحه قرار دارد. برخی از اجرام آسمانی در مدارهای بیضی شکل نزدیک به یک دایره حرکت می کنند. و فقط پلوتون و مریخ در مدارهای کشیده تر حرکت می کنند. بر این اساس اولین قانون کپلر قانون بیضی نامیده شد.

قانون دوم

مطالعه حرکت اجسام به دانشمند اجازه می دهد تا مشخص کند که در دوره ای که به خورشید نزدیک تر است، بیشتر است، و زمانی که در حداکثر فاصله خود از خورشید قرار دارد (اینها نقاط حضیض و آفلیون هستند) کمتر است.

قانون دوم کپلر موارد زیر را بیان می کند: هر سیاره در صفحه ای حرکت می کند که از مرکز ستاره ما می گذرد. در عین حال، بردار شعاع اتصال خورشید و سیاره مورد مطالعه، مناطق مساوی را توصیف می کند.

بنابراین، واضح است که اجسام به طور غیریکنواخت در اطراف کوتوله زرد حرکت می کنند و دارای حداکثر سرعت در حضیض و حداقل سرعت در aphelion هستند. در عمل، این را می توان در حرکت زمین مشاهده کرد. هر سال در آغاز ژانویه، سیاره ما در طی عبور از حضیض سریعتر حرکت می کند. به همین دلیل، حرکت خورشید در امتداد دایره البروج سریعتر از زمان های دیگر سال رخ می دهد. در اوایل ژوئیه، زمین از طریق آفلیون حرکت می کند و باعث می شود خورشید در امتداد دایره البروج با کندی حرکت کند.

قانون سوم

طبق قانون سوم کپلر، بین دوره چرخش یک سیاره به دور یک ستاره و میانگین فاصله آن از آن ارتباط برقرار می شود. دانشمند این قانون را در تمام سیارات منظومه ما اعمال کرد.

توضیح قوانین

قوانین کپلر تنها پس از کشف قانون گرانش توسط نیوتن قابل توضیح بود. بر اساس آن، اجرام فیزیکی در برهمکنش گرانشی شرکت می کنند. جهان شمولیت جهانی دارد که همه اشیاء از نوع مادی و میدان های فیزیکی تابع آن هستند. به عقیده نیوتن، دو جسم بی حرکت با نیرویی متناسب با حاصلضرب وزن آنها و با مجذور فضاهای بین آنها نسبت معکوس بر یکدیگر اثر می کنند.

جنبش خشمگین

حرکت اجسام در منظومه شمسی ما توسط نیروی گرانشی کوتوله زرد کنترل می شود. اگر اجسام فقط با نیروی خورشید جذب شوند، سیارات دقیقاً مطابق قوانین حرکت کپلر به دور آن حرکت می کنند. این نوعجابجایی ها بدون آشفتگی یا کپلرین نامیده می شوند.

در حقیقت، تمام اجسام در منظومه ما نه تنها توسط ستاره ما، بلکه توسط یکدیگر جذب می شوند. بنابراین، هیچ یک از اجسام نمی توانند دقیقاً در یک بیضی، هذلولی یا دایره حرکت کنند. اگر جسمی در حین حرکت از قوانین کپلر منحرف شود، آن را اغتشاش و خود حرکت را آشفته می نامند. این چیزی است که واقعی تلقی می شود.

مدار اجرام سماوی بیضی ثابت نیستند. در حین جذب توسط اجسام دیگر، بیضی مداری تغییر می کند.

مشارکت I. Newton

اسحاق نیوتن توانست این قانون را از قوانین حرکت سیاره کپلر استخراج کند جاذبه جهانی. نیوتن برای حل مسائل کیهانی-مکانیکی از گرانش جهانی استفاده کرد.

پس از ایزاک، پیشرفت در زمینه مکانیک سماوی شامل توسعه علوم ریاضی بود که برای حل معادلات بیان کننده قوانین نیوتن به کار می رفت. این دانشمند توانست ثابت کند که گرانش یک سیاره با فاصله و جرم آن تعیین می شود، اما شاخص هایی مانند دما و ترکیب هیچ تاثیری ندارند.

در او کار علمینیوتن نشان داد که قانون سوم کپلر کاملاً دقیق نیست. او نشان داد که هنگام انجام محاسبات مهم است که جرم سیاره را در نظر بگیریم، زیرا حرکت و وزن سیارات به هم مرتبط هستند. این ترکیب هارمونیک ارتباط بین قوانین کپلر و قانون گرانش که توسط نیوتن شناسایی شده را نشان می دهد.

نجومی

به کارگیری قوانین نیوتن و کپلر مبنای پیدایش علم نجوم شد. این بخشی از مکانیک آسمانی است که حرکت اجرام کیهانی مصنوعی ایجاد شده را مطالعه می کند، یعنی: ماهواره ها، ایستگاه های بین سیاره ای و کشتی های مختلف.

آسترودینامیک با محاسبات مدارهای فضاپیما سر و کار دارد و همچنین تعیین می کند که چه پارامترهایی باید پرتاب شود، چه مداری باید پرتاب شود، چه مانورهایی باید انجام شود، و برنامه ریزی اثر گرانشی روی کشتی ها. و اینها همه وظایف عملی نیست که برای اختر دینامیکی مطرح می شود. تمام نتایج به دست آمده برای انجام طیف گسترده ای از ماموریت های فضایی استفاده می شود.

مکانیک آسمانی که حرکت اجرام کیهانی طبیعی را تحت تأثیر گرانش مطالعه می کند، ارتباط نزدیکی با اختر دینامیکی دارد.

مدارها

مدار به عنوان مسیر حرکت یک نقطه در یک فضای معین درک می شود. در مکانیک سماوی، به طور کلی پذیرفته شده است که مسیر حرکت جسمی در میدان گرانشی جسم دیگر، جرم بسیار بزرگتری دارد. در یک سیستم مختصات مستطیلی، مسیر می تواند شکل یک مقطع مخروطی داشته باشد، یعنی. با سهمی، بیضی، دایره، هذلولی نشان داده شود. در این حالت، تمرکز با مرکز سیستم منطبق خواهد شد.

برای مدت طولانی اعتقاد بر این بود که مدارها باید دایره ای باشند. برای مدت طولانی، دانشمندان سعی کردند دقیقاً گزینه دایره ای حرکت را انتخاب کنند، اما موفق نشدند. و فقط کپلر توانست توضیح دهد که سیارات در یک مدار دایره ای حرکت نمی کنند، بلکه در مداری کشیده حرکت می کنند. این امکان کشف سه قانون را فراهم کرد که می تواند حرکت اجرام آسمانی را در مدار توصیف کند. کپلر عناصر زیر را در مدار کشف کرد: شکل مدار، تمایل آن، موقعیت صفحه مداری جسم در فضا، اندازه مدار و مرجع زمانی. همه این عناصر مدار را بدون توجه به شکل آن تعیین می کنند. هنگام محاسبه اصلی هواپیمای مختصاتممکن است صفحه دایره البروج، کهکشان، استوای سیاره ای و غیره باشد.

مطالعات متعدد نشان می دهد که با توجه به شکل هندسیمدارها می توانند بیضوی یا دایره ای باشند. تقسیم بندی به بسته و باز وجود دارد. با توجه به زاویه تمایل مدار به صفحه استوای زمین، مدارها می توانند قطبی، مایل و استوایی باشند.

با توجه به دوره چرخش به دور بدن، مدارها می توانند همزمان یا خورشیدی، همزمان- روزانه، شبه همزمان باشند.

همانطور که کپلر گفت، همه اجسام دارای سرعت حرکت معینی هستند، یعنی. سرعت مداری. این می تواند در طول کل چرخش در اطراف بدن ثابت باشد یا تغییر کند.

هر سیاره به شکل بیضی حرکت می کند و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد. این قانون نیز توسط نیوتن در قرن هفدهم کشف شد (مشخص است که بر اساس قوانین کپلر). قانون دوم کپلر معادل قانون بقای تکانه زاویه ای است. برخلاف دو مورد اول، قانون سوم کپلر فقط برای مدارهای بیضوی کاربرد دارد. ستاره شناس آلمانی I. Kepler در اوایل XVIIاو بر اساس منظومه کوپرنیک سه قانون تجربی حرکت سیارات منظومه شمسی را تدوین کرد.

در چارچوب مکانیک کلاسیک، آنها از حل مسئله دو جسم با عبور از حد ← 0، که در آن، به ترتیب جرم سیاره و خورشید هستند، به دست می آیند. معادله یک مقطع مخروطی با خروج از مرکز و مبدأ سیستم مختصات در یکی از کانون ها را به دست آورده ایم. بنابراین، از قانون دوم کپلر چنین استنباط می‌شود که سیاره به طور ناهموار به دور خورشید حرکت می‌کند و در حضیض سرعت خطی بیشتری نسبت به آفلیون دارد.

3.1. حرکت در میدان گرانشی

نیوتن ثابت کرد که جاذبه گرانشی سیاره ای با جرم معین فقط به فاصله آن بستگی دارد و نه به ویژگی های دیگر مانند ترکیب یا دما. فرمول دیگر این قانون: سرعت بخشی سیاره ثابت است. فرمول مدرن قانون اول به شرح زیر تکمیل شده است: در حرکت بدون اغتشاش، مدار جسم متحرک یک منحنی مرتبه دوم است - بیضی، سهمی یا هذلولی.

علیرغم این واقعیت که قوانین کپلر گام بزرگی در درک حرکت سیارات بود، آنها همچنان تنها قوانین تجربی برگرفته از مشاهدات نجومی باقی ماندند.

برای مدارهای دایره ای، قوانین اول و دوم کپلر به طور خودکار برآورده می شوند، و قانون سوم بیان می کند که T2 ~ R3، که در آن T دوره مداری است، R شعاع مداری است. طبق قانون بقای انرژی، انرژی کل جسم در یک میدان گرانشی بدون تغییر باقی می ماند. در E = E1 rmax. در این حالت، جرم آسمانی در یک مدار بیضوی (سیارات منظومه شمسی، دنباله دارها) حرکت می کند.

قوانین کپلر نه تنها در مورد حرکت سیارات و سایر اجرام آسمانی در منظومه شمسی، بلکه در مورد حرکت نیز اعمال می شود. ماهواره های مصنوعیزمین و سفینه های فضایی توسط یوهانس کپلر در آغاز قرن هفدهم به عنوان تعمیم داده های رصدی تیکو براهه ایجاد شد. علاوه بر این، کپلر حرکت مریخ را به دقت مورد مطالعه قرار داد. بیایید قوانین را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

در c=0 و e=0 بیضی به دایره تبدیل می شود. این قانون، مانند دو قانون اول، نه تنها برای حرکت سیارات، بلکه برای حرکت ماهواره های طبیعی و مصنوعی آنها نیز قابل اجرا است. کپلر داده نمی شود، زیرا این کار ضروری نبود. کپلر توسط نیوتن به صورت زیر فرموله شد: مربع های دوره های جانبی سیارات، ضرب در مجموع جرم خورشید و سیاره، به عنوان مکعب های نیمه محورهای اصلی مدار سیارات مرتبط هستند.

قرن هفدهم J. Kepler (1571-1630) بر اساس سالها مشاهدات T. Brahe (1546-1601). قانون مساحت ها.) 3. مربع های دوره های هر دو سیاره به عنوان مکعب فاصله متوسط ​​آنها از خورشید به هم مرتبط است. در نهایت، او فرض کرد که مدار مریخ بیضوی است، و مشاهده کرد که اگر خورشید در یکی از کانون های بیضی قرار گیرد، این منحنی مشاهدات را به خوبی توصیف می کند. سپس کپلر پیشنهاد کرد (اگرچه نتوانست به وضوح آن را ثابت کند) که همه سیارات به صورت بیضی با خورشید در نقطه کانونی حرکت می کنند.

قانون منطقه کپلر. قانون اول: هر سیاره در یک جهت بیضوی حرکت می کند. وقتی سنگی به زمین می افتد، از قانون گرانش پیروی می کند. این نیرو به یکی از اجسام متقابل اعمال می شود و به سمت دیگری هدایت می شود. به طور خاص، آی. نیوتن در پرتاب ذهنی سنگ ها از یک کوه بلند به این نتیجه رسید، بنابراین، خورشید حرکت سیارات را خم می کند و از پراکندگی آنها در همه جهات جلوگیری می کند.

کپلر بر اساس نتایج مشاهدات سخت و طولانی مدت تیکو براهه از سیاره مریخ، توانست شکل مدار آن را مشخص کند. عمل زمین و خورشید بر روی ماه، قوانین کپلر را برای محاسبه مدار آن کاملاً نامناسب می کند.

شکل بیضی و درجه شباهت آن به یک دایره با نسبت مشخص می شود که در آن فاصله از مرکز بیضی تا کانون آن (نصف فاصله بین کانونی) است و نیم محور اصلی است. بنابراین، می توان استدلال کرد که و بنابراین سرعت جارو کردن منطقه متناسب با آن، ثابت است. از خورشید، و و طول نیم محورهای اصلی مدار آنها هستند. این جمله در مورد ماهواره ها نیز صادق است.

بیایید مساحت بیضی که سیاره در امتداد آن حرکت می کند را محاسبه کنیم. در این مورد، تعامل بین اجسام M1 و M2 در نظر گرفته نمی شود. تفاوت فقط در ابعاد خطی مدارها خواهد بود (اگر اجسام با جرم های مختلف باشند). در دنیای اتم ها و ذرات بنیادینیروهای گرانشی در مقایسه با دیگر انواع فعل و انفعالات نیرو بین ذرات ناچیز است.

فصل 3. مبانی مکانیک سماوی

گرانش حرکت سیارات منظومه شمسی را کنترل می کند. بدون آن، سیارات تشکیل دهنده منظومه شمسی در جهات مختلف پراکنده می شوند و در گستره وسیع فضای جهان گم می شوند. از دیدگاه یک ناظر زمینی، سیارات در مسیرهای بسیار پیچیده حرکت می کنند (شکل 1.24.1). سیستم زمین مرکزی بطلمیوس برای بیش از 14 قرن دوام آورد و تنها در اواسط قرن شانزدهم با سیستم هلیومرکزی کوپرنیک جایگزین شد.

در شکل شکل 1.24.2 مدار بیضی شکل سیاره ای را نشان می دهد که جرم آن بسیار کمتر از جرم خورشید است. تقریباً تمام سیارات منظومه شمسی (به جز پلوتون) در مدارهایی نزدیک به دایره حرکت می کنند. مدارهای دایره ای و بیضی شکل.

نیوتن اولین کسی بود که این ایده را بیان کرد که نیروهای گرانشی نه تنها حرکت سیارات منظومه شمسی را تعیین می کنند. آنها بین هر بدنی در جهان عمل می کنند. به طور خاص، قبلاً گفته شد که نیروی گرانش وارد بر اجسام نزدیک به سطح زمین، ماهیت گرانشی دارد. انرژی پتانسیل جسمی به جرم m که در فاصله r از جسم ثابتی به جرم M قرار دارد برابر است با کار نیروهای گرانشی هنگام حرکت جرم m از یک نقطه معین به بی نهایت.

در حد Δri → 0، این مجموع به یک انتگرال می رود. کل انرژی می تواند مثبت یا منفی یا برابر با صفر باشد. امضا کنید انرژی کلماهیت حرکت جرم آسمانی را تعیین می کند (شکل 1.24.6). اگر سرعت فضاپیما برابر با υ1 = 7.9·103 m/s باشد و به موازات سطح زمین هدایت شود، آنگاه کشتی در مداری دایره ای در ارتفاع کم از زمین حرکت می کند.

بنابراین، قانون اول کپلر مستقیماً از قانون گرانش جهانی نیوتن و قانون دوم نیوتن پیروی می کند. 3. در نهایت، کپلر به قانون سوم حرکت سیارات نیز اشاره کرد. خورشید، و و جرم سیارات هستند. در رابطه با منظومه شمسی ما، دو مفهوم با این قانون مرتبط است: حضیض - نقطه نزدیکترین مدار به خورشید، و آفلیون - دورترین نقطه مدار.

قوانین کپلر

در دنیای اتم ها و ذرات بنیادی، نیروهای گرانشی در مقایسه با دیگر انواع برهمکنش نیرو بین ذرات ناچیز است. مشاهده برهمکنش گرانشی بین اجسام مختلف اطراف ما بسیار دشوار است، حتی اگر جرم آنها هزاران کیلوگرم باشد. با این حال، گرانش است که رفتار اجرام "بزرگ" مانند سیارات، دنباله‌دارها و ستاره‌ها را تعیین می‌کند، و این گرانش است که همه ما را روی زمین نگه می‌دارد.

گرانش حرکت سیارات منظومه شمسی را کنترل می کند. بدون آن، سیارات تشکیل دهنده منظومه شمسی در جهات مختلف پراکنده می شوند و در گستره وسیع فضای جهان گم می شوند.

الگوهای حرکت سیارات برای مدت طولانی توجه مردم را به خود جلب کرده است. مطالعه حرکت سیارات و ساختار منظومه شمسی منجر به ایجاد نظریه گرانش - کشف قانون گرانش جهانی شد.

از دیدگاه یک ناظر زمینی، سیارات در مسیرهای بسیار پیچیده حرکت می کنند (شکل 1.24.1). اولین تلاش برای ایجاد مدلی از کیهان انجام شد بطلمیوس(~140 گرم). بطلمیوس در مرکز جهان، زمین را قرار داد که سیارات و ستارگان در دایره های بزرگ و کوچک مانند یک رقص گرد در اطراف آن حرکت می کردند.

سیستم ژئوسنتریک بطلمیوس بیش از 14 قرن دوام آورد و تنها در اواسط قرن 16 جایگزین شد. هلیوسنتریکسیستم کوپرنیک در سیستم کوپرنیک، مسیر سیارات ساده تر بود. ستاره شناس آلمانی I. کپلردر آغاز قرن هفدهم، بر اساس منظومه کوپرنیک، سه قانون تجربی حرکت سیارات منظومه شمسی را تدوین کرد. کپلر از نتایج مشاهدات حرکات سیاره ای ستاره شناس دانمارکی استفاده کرد تی براهه.

قانون اول کپلر (1609):

همه سیارات در مدارهای بیضی شکل حرکت می کنند و خورشید در یک کانون قرار دارد.

در شکل شکل 1.24.2 مدار بیضی شکل سیاره ای را نشان می دهد که جرم آن بسیار کمتر از جرم خورشید است. خورشید در یکی از کانون های بیضی قرار دارد. نزدیکترین نقطه به خورشید پخط سیر نامیده می شود حضیض، نقطه الفدورترین دور از خورشید - آفلیون. فاصله بین آفلیون و حضیض محور اصلی بیضی است.

تقریباً تمام سیارات منظومه شمسی (به جز پلوتون) در مدارهایی نزدیک به دایره حرکت می کنند.

قانون دوم کپلر (1609):

بردار شعاع سیاره مناطق مساوی را در بازه های زمانی مساوی توصیف می کند.

برنج. شکل 1.24.3 قانون دوم کپلر را نشان می دهد.

قانون دوم کپلر معادل است قانون بقای تکانه زاویه ای. در شکل 1.24.3 بردار تکانه بدن و اجزای آن و مساحت بردار شعاع را در زمان کوتاهی نشان می دهد Δ. تی، تقریباً برابر با مساحت یک مثلث با پایه است rΔθ و ارتفاع r:

اینجا - سرعت زاویه ای ( §1.6 را ببینید).

تکانه Lدر مقدار مطلق برابر با حاصل ضرب مدول بردارها و

بنابراین، اگر طبق قانون دوم کپلر، تکانه زاویه ای Lهنگام حرکت بدون تغییر باقی می ماند.

به طور خاص، از آنجایی که سرعت های سیاره در حضیض و اپیلیون عمود بر بردارهای شعاع هستند و از قانون بقای تکانه زاویه ای چنین می شود:

قانون سوم کپلر برای تمام سیارات منظومه شمسی با دقت بیش از 1% صادق است.

در شکل 1.24.4 دو مدار را نشان می دهد که یکی از آنها دایره ای با شعاع است آرو دیگری بیضوی با یک محور نیمه اصلی است الف. قانون سوم می گوید که اگر آر = الف، سپس دوره های انقلاب اجسام در این مدارها یکسان است.

علیرغم این واقعیت که قوانین کپلر گام بزرگی در درک حرکت سیارات بود، آنها همچنان تنها قوانین تجربی برگرفته از مشاهدات نجومی باقی ماندند. قوانین کپلر نیاز به توجیه نظری داشت. گامی تعیین کننده در این راستا برداشته شده است اسحاق نیوتن، که در سال 1682 افتتاح شد قانون گرانش جهانی:

کجا مو متر- توده های خورشید و سیاره، r- فاصله بین آنها جی= 6.67·10 –11 N·m 2 / kg 2 – ثابت گرانشی. نیوتن اولین کسی بود که این ایده را بیان کرد که نیروهای گرانشی نه تنها حرکت سیارات منظومه شمسی را تعیین می کنند. آنها بین هر جسمی در جهان عمل می کنند. به طور خاص، قبلاً گفته شد که نیروی گرانش وارد بر اجسام نزدیک به سطح زمین، ماهیت گرانشی دارد.

برای مدارهای دایره ای، قانون اول و دوم کپلر به طور خودکار برآورده می شود و قانون سوم بیان می کند که تی 2 ~ آر 3، جایی که T دوره گردش است، آر- شعاع مدار از این طریق می توانیم وابستگی نیروی گرانشی به فاصله را بدست آوریم. هنگامی که یک سیاره در امتداد یک مسیر دایره ای حرکت می کند، نیرویی که به دلیل برهمکنش گرانشی سیاره و خورشید ایجاد می شود، بر آن اثر می گذارد:

اگر تی 2 ~ آر 3 سپس

خاصیت محافظه کاری نیروهای گرانشی ( §1.10 را ببینید) به ما اجازه می دهد تا مفهوم را معرفی کنیم انرژی بالقوه . برای نیروهای گرانش جهانی، شمارش انرژی پتانسیل از یک نقطه در بی نهایت راحت است.

انرژی بالقوه جسمی با جرممتر واقع در فاصلهr از یک جسم ثابت جرمم ، برابر است با کار نیروهای گرانشی هنگام حرکت جرممتر از یک نقطه معین تا بی نهایت

روش ریاضی برای محاسبه انرژی پتانسیل یک جسم در یک میدان گرانشی شامل جمع کردن کار روی جابجایی های کوچک است (شکل 1.24.5).

قانون گرانش جهانی نه تنها در مورد توده های تراشیده شده، بلکه در مورد نیز صدق می کند اجسام کروی متقارن. کار انجام شده توسط نیروی گرانش بر روی یک جابجایی کوچک به شرح زیر است:

در حد Δ r من→ 0 این مجموع به انتگرال می رود. در نتیجه محاسبات انرژی پتانسیل، عبارت را بدست می آوریم

طبق قانون بقای انرژی، انرژی کل جسم در یک میدان گرانشی بدون تغییر باقی می ماند.

کل انرژی می تواند مثبت یا منفی یا برابر با صفر باشد. علامت کل انرژی ماهیت حرکت جرم آسمانی را تعیین می کند (شکل 1.24.6).

در E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rحداکثر در این حالت، جرم آسمانی در امتداد حرکت می کند مدار بیضی شکل(سیارات منظومه شمسی، دنباله دارها).

در E = E 2 = 0 بدن می تواند تا بی نهایت دور شود. سرعت بدن در بی نهایت صفر خواهد بود. بدن در امتداد حرکت می کند مسیر سهموی.

در E = Eحرکت 3 > 0 در طول رخ می دهد خط سیر هذلولی. بدن با داشتن ذخیره ای از انرژی جنبشی به سمت بی نهایت حرکت می کند.

قوانین کپلر نه تنها در مورد حرکت سیارات و سایر اجرام آسمانی در منظومه شمسی، بلکه در مورد حرکت ماهواره ها و فضاپیماهای مصنوعی زمین نیز صدق می کند. در این حالت مرکز ثقل زمین است.

اولین سرعت کیهانی سرعتی است که ماهواره در مداری دایره ای نزدیک به سطح زمین حرکت می کند.

از اینجا

سرعت فرار دوم حداقل سرعتی که باید گزارش شود نامیده می شود سفینه فضاییدر نزدیکی سطح زمین، به طوری که با غلبه بر گرانش، به یک ماهواره مصنوعی خورشید (سیاره مصنوعی) تبدیل می شود. در این حالت، کشتی در طول یک مسیر سهموی از زمین دور می شود.

از اینجا

برنج. 1.24.7 سرعت های فرار را نشان می دهد. اگر سرعت فضاپیما برابر با υ 1 = 7.9 10 3 m/s باشد و به موازات سطح زمین هدایت شود، آنگاه کشتی در مداری دایره ای در ارتفاع کم از زمین حرکت می کند. در سرعت های اولیه بیش از υ 1 اما کمتر از υ 2 = 11.2·10 3 m / s، مدار کشتی بیضوی خواهد بود. با سرعت اولیه υ 2، کشتی در امتداد یک سهمی و با سرعت اولیه حتی بالاتر در امتداد یک هذلولی حرکت می کند.

او توانایی های ریاضی خارق العاده ای داشت. در آغاز قرن هفدهم، کپلر در نتیجه سالها رصد حرکات سیارات و همچنین بر اساس تجزیه و تحلیل مشاهدات نجومی تیکو براهه، سه قانون را کشف کرد که بعدها به نام او نامگذاری شدند.

قانون اول کپلر(قانون بیضی ها). هر سیاره به شکل بیضی حرکت می کند و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد.

قانون دوم کپلر(قانون مناطق مساوی). هر سیاره در صفحه‌ای حرکت می‌کند که از مرکز خورشید می‌گذرد و در بازه‌های زمانی مساوی، بردار شعاع خورشید و سیاره را به هم متصل می‌کند.

قانون سوم کپلر(قانون هارمونیک). مربع های دوره های مداری سیارات به دور خورشید با مکعب های نیمه محورهای اصلی مدارهای بیضی شکل آنها متناسب است.

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از قوانین بیندازیم.

قانون اول کپلر (قانون بیضی ها)

هر سیاره در منظومه شمسی به صورت بیضی می چرخد ​​و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد.

قانون اول هندسه مسیرهای مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. قسمتی از سطح جانبی یک مخروط را با صفحه ای در زاویه ای نسبت به قاعده آن تصور کنید، نه اینکه از پایه عبور کند. شکل حاصل بیضی خواهد بود. شکل بیضی و درجه شباهت آن به یک دایره با نسبت e = c / a مشخص می شود، جایی که c فاصله از مرکز بیضی تا کانون آن (فاصله کانونی) است، a نیمه اصلی است. کمیت e را خروج از مرکز بیضی می نامند. در c = 0، و بنابراین e = 0، بیضی به یک دایره تبدیل می شود.

نقطه P نزدیکترین مسیر به خورشید حضیض نامیده می شود. نقطه A، دورترین نقطه از خورشید، آفلیون است. فاصله بین آفلیون و حضیض محور اصلی مدار بیضوی است. فاصله بین آفلیون A و حضیض P محور اصلی مدار بیضوی را تشکیل می دهد. نیمی از طول محور اصلی، محور a، میانگین فاصله سیاره تا خورشید است. میانگین فاصله زمین تا خورشید را واحد نجومی (AU) می نامند و برابر با 150 میلیون کیلومتر است.

قانون دوم کپلر (قانون مساحت ها)

هر سیاره در صفحه‌ای حرکت می‌کند که از مرکز خورشید می‌گذرد و در بازه‌های زمانی مساوی، بردار شعاع خورشید و سیاره را به هم متصل می‌کند.

قانون دوم تغییر در سرعت حرکت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. دو مفهوم با این قانون مرتبط است: حضیض - نزدیکترین نقطه مدار به خورشید، و aphelion - دورترین نقطه مدار. این سیاره به طور ناهموار به دور خورشید حرکت می کند و در حضیض از سرعت خطی بیشتری نسبت به آفلیون برخوردار است. در شکل، مساحت بخش هایی که با رنگ آبی مشخص شده اند برابر است و بر این اساس، مدت زمان عبور سیاره از هر بخش نیز برابر است. زمین در اوایل ژانویه از حضیض و در اوایل ژوئیه از آفلیون عبور می کند. قانون دوم کپلر، قانون مساحت ها، نشان می دهد که نیروی حاکم بر حرکت مداری سیارات به سمت خورشید هدایت می شود.

قانون سوم کپلر (قانون هارمونیک)

مربع های دوره های مداری سیارات به دور خورشید با مکعب های نیمه محورهای اصلی مدارهای بیضی شکل آنها متناسب است. این نه تنها در مورد سیارات، بلکه برای ماهواره های آنها نیز صادق است.

قانون سوم کپلر به ما اجازه می دهد که مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنیم. هرچه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، محیط مدار آن طولانی‌تر است و زمانی که در مدار آن حرکت می‌کند، چرخش کامل آن بیشتر طول می‌کشد. همچنین با افزایش فاصله از خورشید، سرعت خطی حرکت سیاره کاهش می یابد.

که در آن T 1، T 2 دوره های چرخش سیاره 1 و 2 به دور خورشید هستند. a 1 > a 2 طول محورهای نیمه اصلی مدار سیارات 1 و 2 است. نیمه محور میانگین فاصله سیاره تا خورشید است.

نیوتن بعداً کشف کرد که قانون سوم کپلر در واقع کاملاً دقیق نیست، این قانون شامل جرم سیاره نیز می شود.

که در آن M جرم خورشید و m 1 و m 2 جرم سیارات 1 و 2 است.

از آنجایی که حرکت و جرم به هم مرتبط هستند، این ترکیب قانون هارمونیک کپلر و قانون گرانش نیوتن برای تعیین جرم سیارات و ماهواره ها در صورتی که مدارها و دوره های مداری آنها مشخص باشد، استفاده می شود. همچنین با دانستن فاصله سیاره تا خورشید، می توانید طول سال (زمان یک چرخش کامل به دور خورشید) را محاسبه کنید. برعکس، با دانستن طول سال، می توانید فاصله سیاره تا خورشید را محاسبه کنید.

سه قانون حرکت سیاراتکشف شده توسط کپلر توضیح دقیقی برای حرکت ناهموار سیارات ارائه کرد. قانون اول هندسه مسیر مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. قانون دوم تغییر در سرعت حرکت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. قانون سوم کپلر به ما اجازه می دهد که مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنیم. قوانین کشف شده توسط کپلر بعدها به عنوان پایه ای برای نیوتن برای ایجاد نظریه گرانش عمل کرد. نیوتن به طور ریاضی ثابت کرد که همه قوانین کپلر پیامدهای قانون گرانش هستند.