وابستگی خطی بردارها. وابستگی و استقلال خطی بردارها به چه بردارهایی مستقل وابسته خطی می گویند

توسط ما معرفی شد عملیات خطی روی بردارهاایجاد عبارات مختلف برای کمیت های برداریو آنها را با استفاده از ویژگی های تنظیم شده برای این عملیات تبدیل کنید.

بر اساس مجموعه ای از بردارهای a 1، ...، a n، می توانید یک عبارت از شکل ایجاد کنید.

که در آن 1، ...، و n اعداد واقعی دلخواه هستند. این عبارت نامیده می شود ترکیب خطی بردارها a 1، ...، a n. اعداد α i، i = 1، n نشان دهنده هستند ضرایب ترکیب خطی. مجموعه ای از بردارها نیز نامیده می شود سیستم بردارها.

در ارتباط با مفهوم معرفی شده از ترکیب خطی بردارها، مشکل توصیف مجموعه ای از بردارها مطرح می شود که می توان آنها را به صورت ترکیب خطی یک سیستم معین از بردارهای a 1, ..., a n نوشت. علاوه بر این، سؤالات طبیعی در مورد شرایطی وجود دارد که در آن یک بردار در قالب یک ترکیب خطی نمایش داده می شود، و در مورد منحصر به فرد بودن چنین نمایشی.

تعریف 2.1.بردارهای a 1، ...، و n نامیده می شوند وابسته به خط، اگر مجموعه ای از ضرایب α 1 , ... , α n وجود داشته باشد به طوری که

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

و حداقل یکی از این ضرایب غیر صفر است. اگر مجموعه ضرایب مشخص شده وجود نداشته باشد، بردارها فراخوانی می شوند مستقل خطی.

اگر α 1 = ... = α n = 0، پس بدیهی است α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. با در نظر گرفتن این موضوع، می توانیم بگوییم: بردارهای a 1، ...، و اگر از برابری (2.2) نتیجه بگیرد که تمام ضرایب α 1 , ... , α n برابر با صفر هستند n خطی مستقل هستند.

قضیه زیر توضیح می دهد که چرا مفهوم جدید اصطلاح "وابستگی" (یا "استقلال") نامیده می شود، و یک معیار ساده برای وابستگی خطی ارائه می دهد.

قضیه 2.1.برای اینکه بردارهای a 1، ...، و n، n > 1 به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

◄ ضرورت. فرض کنید بردارهای a 1، ...، و n به صورت خطی وابسته هستند. طبق تعریف 2.1 وابستگی خطی، در برابری (2.2) در سمت چپ حداقل یک ضریب غیر صفر وجود دارد، برای مثال α 1. با ترک عبارت اول در سمت چپ برابری، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم و علائم آنها را مطابق معمول تغییر می دهیم. با تقسیم تساوی حاصل بر α 1، به دست می آید

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

آن ها نمایش بردار a 1 به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده a 2, ..., a n.

کفایت. به عنوان مثال، اجازه دهید اولین بردار a 1 را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده نشان داد: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. با انتقال تمام عبارت ها از سمت راست به چپ، یک 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 به دست می آوریم، یعنی. ترکیبی خطی از بردارهای a 1، ...، a n با ضرایب α 1 = 1، α 2 = - β 2، ...، α n = - β n، برابر بردار صفردر این ترکیب خطی، همه ضرایب صفر نیستند. طبق تعریف 2.1، بردارهای a 1، ...، و n به صورت خطی وابسته هستند.

تعریف و معیار وابستگی خطی برای دلالت بر وجود دو یا چند بردار فرموله شده است. با این حال، می توانیم در مورد وابستگی خطی یک بردار نیز صحبت کنیم. برای تحقق این امکان، به جای «بردارها به صورت خطی وابسته هستند»، باید بگویید «سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است». به راحتی می توان فهمید که عبارت "یک سیستم یک بردار به صورت خطی وابسته است" به این معنی است که این بردار واحد صفر است (در یک ترکیب خطی فقط یک ضریب وجود دارد و نباید برابر با صفر باشد).

مفهوم وابستگی خطی تفسیر هندسی ساده ای دارد. سه عبارت زیر این تفسیر را روشن می کند.

قضیه 2.2.دو بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر آنها باشند خطی

◄ اگر بردارهای a و b به صورت خطی وابسته باشند، یکی از آنها، برای مثال a، از طریق دیگری بیان می شود، یعنی. a = λb برای مقداری واقعی λ. طبق تعریف 1.7 کار می کندبردارهای هر عدد، بردارهای a و b هم خطی هستند.

حالا بگذارید بردارهای a و b هم خط باشند. اگر هر دو صفر باشند، واضح است که به صورت خطی وابسته هستند، زیرا هر ترکیب خطی از آنها برابر با بردار صفر است. بگذارید یکی از این بردارها برابر با 0 نباشد، برای مثال بردار b. اجازه دهید نسبت طول بردارها را با λ نشان دهیم: λ = |a|/|b|. بردارهای خطی می توانند باشند یک طرفهیا خلاف جهت گیری شده است. در حالت دوم، علامت λ را تغییر می دهیم. سپس، با بررسی تعریف 1.7، متقاعد شدیم که a = λb. طبق قضیه 2.1، بردارهای a و b به صورت خطی وابسته هستند.

نکته 2.1.در مورد دو بردار، با در نظر گرفتن معیار وابستگی خطی، قضیه اثبات شده را می توان به صورت زیر فرموله کرد: دو بردار هم خط هستند اگر و فقط در صورتی که یکی از آنها به عنوان حاصلضرب دیگری با عددی نمایش داده شود. این یک معیار مناسب برای همخطی بودن دو بردار است.

قضیه 2.3.سه بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر آنها باشند همسطح.

◄ اگر سه بردار a، b، c به صورت خطی وابسته باشند، طبق قضیه 2.1، یکی از آنها، برای مثال a، ترکیبی خطی از بقیه است: a = βb + γc. اجازه دهید مبدا بردارهای b و c را در نقطه A ترکیب کنیم. سپس بردارهای βb، γσ در نقطه A و در امتداد منشاء مشترک خواهند داشت. بر اساس قانون متوازی الاضلاع، مجموع آنها برابر استآن ها بردار a یک بردار با مبدا A و خواهد بود پایان، که راس متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای جزء است. بنابراین، همه بردارها در یک صفحه قرار دارند، یعنی همسطح.

بگذارید بردارهای a، b، c همسطح باشند. اگر یکی از این بردارها صفر باشد، واضح است که ترکیبی خطی از بقیه خواهد بود. کافی است تمام ضرایب یک ترکیب خطی را برابر با صفر بگیرید. بنابراین، می توان فرض کرد که هر سه بردار صفر نیستند. سازگار است آغاز شداز این بردارها در نقطه مشترک O. بگذارید انتهای آنها به ترتیب نقاط A، B، C باشد (شکل 2.1). از طریق نقطه C خطوطی موازی با خطوطی ترسیم می کنیم که از جفت نقاط O، A و O، B می گذرند. با تعیین نقاط تقاطع A" و B، متوازی الاضلاع OA"CB" به دست می آوریم، بنابراین، OC" = OA" + OB". بردار OA" و بردار غیر صفر a = OA خطی هستند، و بنابراین اولین آنها را می توان با ضرب دومی در یک عدد واقعی α:OA" = αOA به دست آورد. به طور مشابه، OB" = βOB، β ∈ R. در نتیجه، به دست می آوریم که OC" = α OA. + βOB، یعنی بردار c ترکیبی خطی از بردارهای a و b است. طبق قضیه 2.1، بردارهای a، b، c به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 2.4.هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

◄ ما اثبات را طبق طرحی مشابه در قضیه 2.3 انجام می دهیم. چهار بردار دلخواه a، b، c و d را در نظر بگیرید. اگر یکی از چهار بردار صفر باشد یا در بین آنها دو بردار خطی وجود داشته باشد یا سه بردار از چهار بردار همسطح باشند، این چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند. به عنوان مثال، اگر بردارهای a و b هم خط باشند، می‌توانیم ترکیب خطی آنها αa + βb = 0 را با ضرایب غیرصفر ایجاد کنیم و سپس دو بردار باقی‌مانده را به این ترکیب اضافه کنیم و صفرها را به عنوان ضرایب در نظر بگیریم. ما یک ترکیب خطی از چهار بردار برابر با 0 بدست می آوریم که در آن ضرایب غیر صفر وجود دارد.

بنابراین، می توانیم فرض کنیم که از بین چهار بردار انتخاب شده، هیچ بردار صفر، هیچ دو بردار خطی و هیچ سه بردار همسطح نیستند. اجازه دهید نقطه O را به عنوان شروع مشترک آنها انتخاب کنیم سپس انتهای بردارهای a، b، c، d چند نقطه A، B، C، D خواهد بود (شکل 2.2). از طریق نقطه D سه صفحه موازی با صفحات OBC، OCA، OAB رسم می کنیم و اجازه دهید A، B، C، نقاط تلاقی این صفحات به ترتیب با خطوط مستقیم OA، OB، OS باشد. یک متوازی الاضلاع بدست می آوریم. OA" C "B" C" B"DA"، و بردارهای a، b، c روی لبه‌های آن قرار دارند که از راس O بیرون می‌آیند. به نوبه خود، قطعه OC" یک مورب است. متوازی الاضلاع OA"C"B، بنابراین OC" = OA" + OB" و OD = OA" + OB" + OC" .

لازم به ذکر است که جفت بردارهای OA ≠ 0 و OA" ، OB ≠ 0 و OB" ، OC ≠ 0 و OC" هم خط هستند و بنابراین، می توان ضرایب α، β، γ را انتخاب کرد تا OA" = αOA، OB" = βOB و OC" = γOC. در نهایت OD = αOA + βOB + γOC را دریافت می کنیم. در نتیجه، بردار OD از طریق سه بردار دیگر بیان می شود و طبق قضیه 2.1، هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

وابستگی خطی و استقلال برداری

تعاریف سیستم های بردار وابسته و مستقل خطی

تعریف 22

اجازه دهید سیستمی از n بردار و مجموعه ای از اعداد داشته باشیم
، سپس

(11)

ترکیب خطی یک سیستم معین از بردارها با مجموعه ای معین از ضرایب نامیده می شود.

تعریف 23

سیستم برداری
در صورت وجود چنین مجموعه ای از ضرایب، وابسته خطی نامیده می شود
، که حداقل یکی از آنها برابر با صفر نیست، به طوری که ترکیب خطی یک سیستم معین از بردارها با این مجموعه از ضرایب برابر با بردار صفر است:

اجازه دهید
، سپس

تعریف 24 (از طریق نمایش یک بردار از سیستم به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای دیگر)

سیستم برداری
در صورتی وابسته خطی نامیده می شود که حداقل یکی از بردارهای این سیستم را بتوان به صورت ترکیب خطی از بردارهای باقیمانده این سیستم نشان داد.

بیانیه 3

تعاریف 23 و 24 معادل هستند.

تعریف 25(از طریق ترکیب خطی صفر)

سیستم برداری
اگر ترکیب خطی صفر از این سیستم فقط برای همه امکان پذیر باشد، مستقل خطی نامیده می شود
برابر با صفر

تعریف 26(به دلیل عدم امکان نمایش یک بردار از سیستم به صورت ترکیب خطی از بردارهای دیگر)

سیستم برداری
اگر یکی از بردارهای این سیستم را نتوان به صورت ترکیبی خطی از سایر بردارهای این سیستم نشان داد، مستقل خطی نامیده می شود.

ویژگی های سیستم های بردار وابسته و مستقل خطی

قضیه 2 (بردار صفر در سیستم بردارها)

اگر سیستمی از بردارها بردار صفر داشته باشد، پس سیستم به صورت خطی وابسته است.

 اجازه دهید
، سپس .

می گیریم
بنابراین، با تعریف یک سیستم وابسته خطی از بردارها از طریق یک ترکیب خطی صفر (12) سیستم به صورت خطی وابسته است. 

قضیه 3 (زیر سیستم وابسته در یک سیستم برداری)

اگر سیستمی از بردارها دارای یک زیرسیستم وابسته خطی باشد، کل سیستم به صورت خطی وابسته است.

 اجازه دهید
- زیرسیستم وابسته به خطی
، که در میان آنها حداقل یک برابر با صفر نیست:

این بدان معناست که طبق تعریف 23، سیستم به صورت خطی وابسته است. 

قضیه 4

هر زیرسیستم یک سیستم مستقل خطی مستقل خطی است.

 از طرف مقابل. اجازه دهید سیستم به صورت خطی مستقل و دارای یک زیرسیستم وابسته به خط باشد. اما پس از آن، طبق قضیه 3، کل سیستم نیز به صورت خطی وابسته خواهد بود. تناقض. در نتیجه، یک سیستم فرعی از یک سیستم مستقل خطی نمی تواند به صورت خطی وابسته باشد. 

معنای هندسی وابستگی و استقلال خطی یک سیستم از بردارها

قضیه 5

دو بردار و اگر و فقط اگر به صورت خطی وابسته هستند
.

 ضرورت.

و - وابسته خطی
که شرط برقرار باشد
. سپس
، یعنی
.

کفایت.

وابسته به خط. 

نتیجه 5.1

بردار صفر با هر بردار هم خط است

نتیجه 5.2

برای اینکه دو بردار مستقل خطی باشند لازم و کافی است که خطی نبود .

قضیه 6

برای اینکه یک سیستم سه بردار به صورت خطی وابسته باشد، لازم و کافی است که این بردارها همسطح باشند. .

 ضرورت.

- به صورت خطی وابسته هستند، بنابراین، یک بردار را می توان به صورت ترکیبی خطی از دو بردار دیگر نشان داد.

, (13)

کجا
و
. طبق قانون متوازی الاضلاع یک مورب متوازی الاضلاع با اضلاع وجود دارد
، اما متوازی الاضلاع یک شکل صاف است
همسطح
- همسطح هستند.

کفایت.

- همسطح بیایید سه بردار را برای نقطه O اعمال کنیم:

سی

B`

– وابسته خطی 

نتیجه 6.1

بردار صفر با هر جفت بردار همسطح است.

نتیجه 6.2

به منظور بردارها
مستقل خطی بودند، لازم و کافی است که همسطح نباشند.

نتیجه 6.3

هر بردار یک صفحه را می توان به صورت ترکیبی خطی از هر دو بردار غیر خطی یک صفحه نمایش داد.

قضیه 7

هر چهار بردار در فضا به صورت خطی وابسته هستند .

 بیایید 4 مورد را در نظر بگیریم:

بیایید یک صفحه از بین بردارها، سپس یک صفحه بین بردارها و یک صفحه از بین بردارها را ترسیم کنیم. سپس صفحاتی را ترسیم می کنیم که از نقطه D موازی با جفت بردارها عبور می کنند. ; به ترتیب. ما در امتداد خطوط تقاطع هواپیماها یک موازی شکل می سازیم 1 O.B. 1 سی 1 D.

ABDC ; به ترتیب. ما در امتداد خطوط تقاطع هواپیماها یک موازی شکل می سازیم 1 O.B. 1 سی 1 در نظر بگیریم
.

OADD 1 را در نظر بگیرید - متوازی الاضلاع (از خاصیت متوازی الاضلاع)
، سپس

EMBED Equation.3.

توسط قضیه 1
طوری که . سپس
و طبق تعریف 24 سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است. 

نتیجه 7.1

مجموع سه بردار غیرهمسطح در فضا، برداری است که منطبق بر مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این سه بردار است که به یک مبدأ مشترک اعمال می شود، و مبدأ بردار مجموع منطبق بر مبدا مشترک این سه بردار است.

نتیجه 7.2

اگر 3 بردار غیرهمسطح در فضا بگیریم، هر بردار این فضا را می توان به ترکیب خطی این سه بردار تجزیه کرد.

بیان فرم تماس گرفت ترکیب خطی بردارها A 1 , A 2 ,...,A nبا شانس λ 1، λ 2،...، λ n.

تعیین وابستگی خطی یک سیستم از بردارها

سیستم برداری A 1 , A 2 ,...,A nتماس گرفت وابسته به خط, اگر مجموعه ای از اعداد غیر صفر وجود داشته باشد λ 1، λ 2،...، λ n, که در آن ترکیب خطی بردارها λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nبرابر با بردار صفر است، یعنی سیستم معادلات: راه حل غیر صفر دارد.
مجموعه اعداد λ 1، λ 2،...، λ n اگر حداقل یکی از اعداد غیر صفر است λ 1، λ 2،...، λ n متفاوت از صفر

تعیین استقلال خطی یک سیستم از بردارها

سیستم برداری A 1 , A 2 ,...,A nتماس گرفت مستقل خطی، اگر ترکیب خطی این بردارها باشد λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nفقط برای یک مجموعه صفر از اعداد برابر با بردار صفر است λ 1، λ 2،...، λ n ، یعنی سیستم معادلات: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θیک راه حل صفر منحصر به فرد دارد.

مثال 29.1

بررسی کنید که آیا سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته است یا خیر

راه حل:

1. ما یک سیستم معادلات می سازیم:

2. با استفاده از روش گاوس آن را حل می کنیم. تبدیل های Jordanano سیستم در جدول 29.1 آورده شده است. هنگام محاسبه، سمت راست سیستم یادداشت نمی شود زیرا برابر با صفر است و در طول تبدیل جردن تغییر نمی کند.

3. از سه ردیف آخر جدول یک سیستم حل شده معادل سیستم اصلی را بنویسیدسیستم:

4. ما راه حل کلی سیستم را بدست می آوریم:

5. با تعیین مقدار متغیر آزاد x 3 = 1 به صلاحدید خود، ما یک راه حل غیر صفر خاص به دست می آوریم X=(-3،2،1).

پاسخ: بنابراین، برای یک مجموعه اعداد غیر صفر (-3،2،1)، ترکیب خطی بردارها برابر با بردار صفر -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ است. از این رو، سیستم برداری به صورت خطی وابسته است.

ویژگی های سیستم های برداری

اموال (1)
اگر سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، حداقل یکی از بردارها برحسب بردارهای دیگر منبسط می شود و بالعکس، اگر حداقل یکی از بردارهای سیستم برحسب بردارهای دیگر منبسط شود، آنگاه سیستم بردارها بسط می یابد. به صورت خطی وابسته است

اموال (2)
اگر هر زیر سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، کل سیستم به صورت خطی وابسته است.

اموال (3)
اگر سیستمی از بردارها مستقل خطی باشد، هر یک از زیرسیستم های آن مستقل خطی است.

اموال (4)
هر سیستم بردار حاوی بردار صفر به صورت خطی وابسته است.

اموال (5)
اگر تعداد بردارها n بیشتر از بعد آنها باشد (n>m) یک سیستم از بردارهای m بعدی همیشه به صورت خطی وابسته است.

اساس سیستم برداری

اساس سیستم برداری A 1 , A 2 ,..., A n چنین زیر سیستمی B 1 , B 2 ,...,B r نامیده می شود(هر یک از بردارهای B 1, B 2,..., B r یکی از بردارهای A 1, A 2,..., A n است) که شرایط زیر را برآورده می کند:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rسیستم بردارهای مستقل خطی؛
2. هر بردار A j سیستم A 1 , A 2 ,..., A n به صورت خطی از طریق بردارهای B 1 , B 2 ,..., B r بیان می شود.

r- تعداد بردارهای موجود در پایه.

قضیه 29.1 بر اساس واحد سیستم بردارها.

اگر سیستمی از بردارهای m بعدی حاوی m بردار واحد مختلف E 1 E 2 ,..., E m باشد، آنگاه آنها اساس سیستم را تشکیل می دهند.

الگوریتم برای یافتن اساس یک سیستم بردار

برای یافتن اساس سیستم بردارهای A 1 ,A 2 ,...,A n لازم است:

• یک سیستم همگن از معادلات مطابق با سیستم بردارها ایجاد کنید A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• این سیستم را بیاورید

در این مقاله به موارد زیر خواهیم پرداخت:

• بردارهای خطی چیست؟
• شرایط همخطی بودن بردارها چیست؟
• چه ویژگی هایی از بردارهای خطی وجود دارد.
• وابستگی خطی بردارهای خطی چیست؟

تعریف 1

بردارهای خطی بردارهایی هستند که موازی یک خط هستند یا روی یک خط قرار می گیرند.

مثال 1

شرایط همخطی بودن بردارها

اگر هر یک از شرایط زیر درست باشد دو بردار هم خط هستند:

• شرط 1 . اگر عدد λ وجود داشته باشد به طوری که a = λ b باشد، بردارهای a و b هم خط هستند.
• شرط 2 . بردارهای a و b با نسبتهای مختصات مساوی هستند:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ؛ b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• شرط 3 . بردارهای a و b هم خط هستند به شرطی که ضرب ضربدری و بردار صفر برابر باشند:

a ∥ b ⇔ a، b = 0

تبصره 1

شرط 2 اگر یکی از مختصات برداری صفر باشد، قابل استفاده نیست.

تبصره 2

شرایط 3 فقط برای آن دسته از بردارهایی که در فضا مشخص شده اند اعمال می شود.

نمونه هایی از مسائل برای مطالعه هم خطی بردارها

مثال 1

ما بردارهای a = (1; 3) و b = (2; 1) را برای همخطی بودن بررسی می کنیم.

چگونه حل کنیم؟

در این حالت لازم است از شرط هم خطی 2 استفاده شود. برای بردارهای داده شده به این صورت است:

برابری نادرست است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که بردارهای a و b غیر خطی هستند.

پاسخ دهید : a | | ب

مثال 2

چه مقدار m از بردار a = (1; 2) و b = (- 1; m) برای هم خطی بودن بردارها لازم است؟

چگونه حل کنیم؟

با استفاده از شرط همخطی دوم، بردارها در صورتی هم خط خواهند بود که مختصات آنها متناسب باشد:

این نشان می دهد که m = - 2.

پاسخ: m = - 2 .

معیارهای وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم های برداری

قضیه

سیستمی از بردارها در فضای برداری فقط در صورتی به صورت خطی وابسته است که یکی از بردارهای سیستم را بتوان بر حسب بردارهای باقیمانده این سیستم بیان کرد.

اثبات

اجازه دهید سیستم e 1 , e 2 , . . . ، e n به صورت خطی وابسته است. اجازه دهید یک ترکیب خطی از این سیستم برابر با بردار صفر بنویسیم:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

که در آن حداقل یکی از ضرایب ترکیبی برابر با صفر نباشد.

بگذارید a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . ، n.

هر دو طرف تساوی را بر یک ضریب غیر صفر تقسیم می کنیم:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

بیایید نشان دهیم:

A k - 1 a m , که در آن m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

در این مورد:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

یا e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

نتیجه این است که یکی از بردارهای سیستم از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان می شود. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

کفایت

بگذارید یکی از بردارها به صورت خطی از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان شود:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

بردار e k را به سمت راست این تساوی منتقل می کنیم:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

از آنجایی که ضریب بردار e k برابر است با - 1 ≠ 0، ما یک نمایش غیر پیش پا افتاده از صفر را توسط سیستمی از بردارهای e 1, e 2, دریافت می کنیم. . . ، e n ، و این به نوبه خود به این معنی است که این سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

نتیجه:

• یک سیستم از بردارها زمانی مستقل خطی است که هیچ یک از بردارهای آن را نتوان بر حسب تمام بردارهای دیگر سیستم بیان کرد.
• سیستمی از بردارها که شامل یک بردار صفر یا دو بردار مساوی است به صورت خطی وابسته است.

ویژگی های بردارهای وابسته به خط

1. برای بردارهای 2 و 3 بعدی، شرط زیر برقرار است: دو بردار وابسته خطی هم خط باشند. دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند.
2. برای بردارهای سه بعدی، شرط زیر برقرار است: سه بردار وابسته خطی همسطح هستند. (3 بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند).
3. برای بردارهای n بعدی، شرط زیر برقرار است: n + 1 بردار همیشه به صورت خطی وابسته هستند.

نمونه هایی از حل مسائل مربوط به وابستگی خطی یا استقلال خطی بردارها

مثال 3

بیایید بردارهای a = 3، 4، 5، b = - 3، 0، 5، c = 4، 4، 4، d = 3، 4، 0 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. بردارها به صورت خطی وابسته هستند زیرا ابعاد بردارها کمتر از تعداد بردارها است.

مثال 4

بیایید بردارهای a = 1، 1، 1، b = 1، 2، 0، c = 0، - 1، 1 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. مقادیر ضرایبی را پیدا می کنیم که در آنها ترکیب خطی برابر با بردار صفر خواهد بود:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

معادله برداری را به صورت خطی می نویسیم:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ما این سیستم را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

از خط 2 ما 1 را کم می کنیم ، از 3 - 1 را کم می کنیم:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

از خط 1، 2 را کم می کنیم، به خط 3، 2 را اضافه می کنیم:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

از راه حل نتیجه می شود که سیستم راه حل های زیادی دارد. این بدان معنی است که ترکیبی غیر صفر از مقادیر چنین اعداد x 1، x 2، x 3 وجود دارد که ترکیب خطی a، b، c برابر با بردار صفر است. بنابراین، بردارهای a، b، c هستند وابسته به خط ​​​​​​​

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

وظیفه 1.دریابید که آیا سیستم بردارها مستقل خطی است یا خیر. سیستم بردارها با ماتریس سیستمی مشخص می شود که ستون های آن از مختصات بردارها تشکیل شده است.

.

راه حل.ترکیب خطی را بگذارید برابر با صفر با نوشتن این برابری در مختصات، سیستم معادلات زیر را به دست می آوریم:

.

به چنین سیستم معادلاتی مثلثی می گویند. او تنها یک راه حل دارد . بنابراین، بردارها مستقل خطی

وظیفه 2.دریابید که آیا سیستم بردارها مستقل خطی است یا خیر.

.

راه حل.بردارها مستقل خطی هستند (مشکل 1 را ببینید). اجازه دهید ثابت کنیم که بردار ترکیبی خطی از بردارها است . ضرایب بسط برداری از سیستم معادلات تعیین می شوند

.

این سیستم مانند یک مثلثی راه حل منحصر به فردی دارد.

بنابراین، سیستم بردارها وابسته به خط

نظر دهید. ماتریس هایی از همان نوع مسئله 1 فراخوانی می شوند مثلثی و در مسئله 2 - مثلثی پلکانی . اگر ماتریس متشکل از مختصات این بردارها پله ای مثلثی باشد، مسئله وابستگی خطی یک سیستم از بردارها به راحتی حل می شود. اگر ماتریس فرم خاصی ندارد، از آن استفاده کنید تبدیل رشته های ابتدایی با حفظ روابط خطی بین ستون‌ها، می‌توان آن را به شکل پلکانی مثلثی کاهش داد.

تبدیل رشته های ابتداییماتریس ها (EPS) به عملیات زیر روی یک ماتریس می گویند:

1) تنظیم مجدد خطوط؛

2) ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر.

3) اضافه کردن یک رشته دیگر به یک رشته، ضرب در یک عدد دلخواه.

وظیفه 3.حداکثر زیرسیستم مستقل خطی را بیابید و رتبه سیستم بردارها را محاسبه کنید

.

راه حل.اجازه دهید ماتریس سیستم را با استفاده از EPS به شکل مثلثی پله ای کاهش دهیم. برای توضیح رویه، خط را با عدد ماتریسی که باید با نماد تبدیل شود نشان می‌دهیم. ستون بعد از فلش، اقدامات روی ردیف های ماتریس در حال تبدیل را نشان می دهد که باید برای به دست آوردن ردیف های ماتریس جدید انجام شود.

.

بدیهی است که دو ستون اول ماتریس به‌طور خطی مستقل هستند، ستون سوم ترکیب خطی آنهاست و ستون چهارم به دو ستون اول بستگی ندارد. بردارها اساسی نامیده می شوند. آنها یک زیرسیستم خطی مستقل از سیستم را تشکیل می دهند ، و رتبه سیستم سه است.

مبنا، مختصات

وظیفه 4.مبنا و مختصات بردارها را در این مبنا بر روی مجموعه بردارهای هندسی که مختصات آنها شرط را برآورده می کند، بیابید. .

راه حل. مجموعه هواپیمایی است که از مبدا می گذرد. یک مبنای دلخواه در یک صفحه از دو بردار غیر خطی تشکیل شده است. مختصات بردارها در مبنای انتخاب شده با حل سیستم معادلات خطی مربوطه تعیین می شود.

راه دیگری برای حل این مشکل وجود دارد، زمانی که می توانید با استفاده از مختصات پایه را پیدا کنید.

مختصات فضاها مختصاتی در صفحه نیستند، زیرا با این رابطه مرتبط هستند یعنی مستقل نیستند. متغیرهای مستقل و (آزاد نامیده می شوند) به طور یکتا بردار را در صفحه تعریف می کنند و بنابراین می توان آنها را به عنوان مختصات در . سپس اساس متشکل از بردارهایی است که در داخل و متناظر با مجموعه ای از متغیرهای آزاد هستند و ، یعنی .

وظیفه 5.مبنا و مختصات بردارها را در این مبنا بر روی مجموعه تمام بردارهای موجود در فضا که مختصات فرد آنها با یکدیگر برابر است بیابید.

راه حل. اجازه دهید مانند مسئله قبلی مختصات در فضا را انتخاب کنیم.

چون ، سپس متغیرهای آزاد به طور یکتا بردار را از و بنابراین مختصات تعیین می کنند. مبنای مربوطه از بردارها تشکیل شده است.

وظیفه 6.مبنا و مختصات بردارها را در این مبنا بر روی مجموعه همه ماتریس های فرم بیابید ، کجا - اعداد دلخواه

راه حل. هر ماتریس از به صورت منحصر به فرد قابل نمایش است به شکل:

این رابطه بسط بردار از نسبت به مبنا است
با مختصات .

وظیفه 7.بعد و اساس بدنه خطی یک سیستم از بردارها را بیابید

.

راه حل.با استفاده از EPS، ماتریس را از مختصات بردارهای سیستم به شکل مثلثی پله ای تبدیل می کنیم.

.

ستون ها آخرین ماتریس ها به صورت خطی مستقل هستند و ستون ها به صورت خطی از طریق آنها بیان می شود. بنابراین، بردارها پایه ای تشکیل دهد ، و .

نظر دهید. پایه در به صورت مبهم انتخاب شده است. به عنوان مثال، بردارها نیز پایه و اساس را تشکیل دهد .