لحظه تعریف تکانه. تکانه تکانه نقطه مادی یک جسم صلب. حل مسئله در قانون حفاظت L¯

تکانه زاویه ای در مکانیک کلاسیک

رابطه بین ضربه و گشتاور

تعریف

تکانه زاویه ای یک ذره نسبت به یک نقطه مرجع مشخص توسط حاصلضرب بردار شعاع و تکانه آن تعیین می شود:

بردار شعاع ذره نسبت به نقطه مرجع انتخاب شده که در یک چارچوب مرجع معین ثابت است و تکانه ذره است، کجاست.

برای چند ذره، تکانه زاویه ای به عنوان مجموع (بردار) عبارت های زیر تعریف می شود:

شعاع بردار و تکانه هر ذره ورودی به سیستم کجاست که تکانه زاویه ای آن مشخص می شود.

(در حد، تعداد ذرات می‌تواند بی نهایت باشد؛ برای مثال، در مورد یک جامد با جرم پیوسته توزیع شده یا یک سیستم توزیع کلی، می‌توان آن را به صورت جایی که تکانه یک عنصر نقطه بینهایت کوچک سیستم است نوشت. ).

از تعریف تکانه زاویه ای چنین استنباط می شود که آن افزودنی است: هم برای سیستمی از ذرات به طور خاص و هم برای یک سیستم متشکل از چندین زیر سیستم، موارد زیر صادق است:

• توجه: در اصل، تکانه زاویه ای را می توان نسبت به هر نقطه مرجع محاسبه کرد (مقادیر مختلف حاصل به روشی واضح مرتبط هستند). با این حال، اغلب (برای راحتی و اطمینان) نسبت به مرکز جرم یا نقطه چرخش ثابت یک جسم صلب و غیره محاسبه می شود.

محاسبه گشتاور

از آنجایی که تکانه زاویه ای توسط ضرب بردار تعیین می شود، یک شبه بردار عمود بر هر دو بردار و. با این حال، در موارد چرخش حول یک محور ثابت، راحت است که تکانه زاویه ای را نه به عنوان یک شبه بردار، بلکه طرح ریزی آن را بر روی محور چرخش به عنوان یک اسکالر در نظر بگیریم که علامت آن به جهت چرخش بستگی دارد. اگر چنین محوری که از مبدأ عبور می کند انتخاب شود، برای محاسبه پیش بینی تکانه زاویه ای بر روی آن، می توانید تعدادی دستور العمل را مطابق با قوانین کلی برای یافتن حاصلضرب برداری دو بردار مشخص کنید.

زاویه بین و کجاست، طوری تعیین می شود که چرخش از به در خلاف جهت عقربه های ساعت از دید ناظری واقع در قسمت مثبت محور چرخش انجام شود. جهت چرخش در محاسبه مهم است، زیرا علامت برآمدگی مورد نظر را تعیین می کند.

اجازه دهید آن را به شکل بنویسیم، جایی که جزء بردار شعاع موازی با بردار تکانه و به طور مشابه، عمود بر آن است. در اصل فاصله از محور چرخش تا بردار است که معمولاً "بازو" نامیده می شود. به طور مشابه، می توانید بردار تکانه را به دو جزء تقسیم کنید: موازی با بردار شعاع و عمود بر آن. حال با استفاده از خطی بودن حاصلضرب بردار و همچنین خاصیتی که بر اساس آن حاصلضرب بردارهای موازی برابر با صفر است، می توانیم دو عبارت دیگر برای .

حفظ تکانه زاویه ای

تقارن در فیزیک
تبدیل	مربوطه تغییر ناپذیری	مربوطه قانون حفاظت
↕ زمان پخش	... انرژی
⊠،، و تقارن	... یکنواختی
↔ فضای پخش	یکنواختی فضا	... تکانه
↺ چرخش فضا	ایزوتروپی فضا	... لحظه تکانه
⇆ گروه لورنتس	نسبیت تغییر ناپذیری لورنتس	… 4 پالس
~ تبدیل سنج	عدم تغییر سنج	... شارژ

بنابراین، شرط بسته بودن سیستم را می توان تا حدی تضعیف کرد که ممان اصلی (کل) نیروهای خارجی برابر با صفر باشد:

ممان یکی از نیروهای اعمال شده به سیستم ذرات کجاست. (البته اگر نیروهای خارجی اصلاً وجود نداشته باشد این شرط نیز برآورده می شود).

از نظر ریاضی، قانون بقای تکانه زاویه ای از همسانگردی فضا، یعنی از تغییر ناپذیری فضا نسبت به چرخش در یک زاویه دلخواه، ناشی می شود. هنگام چرخش در یک زاویه بینهایت کوچک دلخواه، بردار شعاع ذره با عدد تغییر می کند و سرعت - . تابع لاگرانژ سیستم با چنین چرخشی به دلیل همسانگردی فضا تغییر نخواهد کرد. به همین دلیل است

با در نظر گرفتن اینکه تکانه تعمیم یافته ذره کجاست، هر جمله در مجموع آخرین عبارت را می توان به صورت بازنویسی کرد.

اکنون با استفاده از خاصیت یک محصول مخلوط، یک بازآرایی چرخه ای بردارها را انجام می دهیم که در نتیجه آن فاکتور مشترک را خارج می کنیم:

تکانه زاویه ای سیستم کجاست. به دلیل خودسری، از تساوی ناشی می شود.

در مدارها، تکانه زاویه ای بین چرخش خود سیاره و تکانه زاویه ای حرکت مداری آن توزیع می شود:

تکانه زاویه ای در الکترودینامیک

هنگام توصیف حرکت یک ذره باردار در یک میدان الکترومغناطیسی، تکانه متعارف ثابت نیست. در نتیجه، تکانه زاویه ای متعارف نیز ثابت نیست. سپس تکانه واقعی را می گیریم که به آن "تکانه جنبشی" نیز می گویند:

بار الکتریکی کجاست، سرعت نور و پتانسیل برداری است. بنابراین، همیلتونی (نامغیر) یک ذره جرمی باردار در میدان الکترومغناطیسی برابر است با:

پتانسیل اسکالر کجاست قانون لورنتس از این پتانسیل ناشی می شود. تکانه زاویه ای ثابت یا "تکانه زاویه ای جنبشی" به صورت زیر تعریف می شود:

تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی

اپراتور لحظه ای

محاسبه تکانه زاویه ای در مکانیک غیر نسبیتی

اگر یک نقطه جرمی مادی وجود داشته باشد که با سرعت حرکت می کند و در نقطه ای قرار دارد که توسط بردار شعاع توصیف می شود، تکانه زاویه ای با فرمول محاسبه می شود:

علامت حاصلضرب بردار کجاست.

برای محاسبه تکانه زاویه ای یک جسم باید آن را به قطعات بی نهایت کوچک و بردارلحظه های آنها را به عنوان ممان تکانه نقاط مادی جمع کنید، یعنی انتگرال را بگیرید:

ما می توانیم این را از نظر چگالی بازنویسی کنیم:

حاصل ضرب جرم و سرعت آن وجود دارد:

یک آنالوگ تکانه در حرکت دورانی، تکانه زاویه ای است که حاصل ضرب ممان اینرسی یک نقطه مادی و سرعت زاویه ای آن است:

L = Iω، kg m 2 s -1

تکانه زاویه ای کمیت برداری است که جهت آن با جهت بردار سرعت زاویه ای منطبق است.

قانون بقای حرکت زاویه ای

اگر مجموع تمام گشتاورهای نیروهای خارجی صفر باشد، تکانه زاویه ای حفظ می شود.

استفاده واضح از حرکت زاویه ای را می توان در هنگام اجرای اسکیت بازان مشاهده کرد، زمانی که آنها شروع به چرخش با بازوهای خود می کنند، به تدریج بازوهای خود را می بندند، سرعت چرخش خود را افزایش می دهند. بنابراین، گشتاور اینرسی خود را کاهش داده و سرعت زاویه ای خود را افزایش می دهند. بنابراین، با دانستن سرعت زاویه ای اولیه چرخش ω 0 و ممان اینرسی آن با بازوهای جدا I 0 و بازوهای بسته I 1، با استفاده از قانون بقای تکانه زاویه ای، می توانیم سرعت زاویه ای نهایی ω 1 را پیدا کنیم:

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

با اعمال قانون بقای تکانه، می توان به سادگی پارامترهای حرکت مداری سیارات و فضاپیماها را محاسبه کرد.

در صفحه "قانون گرانش جهانی" سرعت خطی حرکت ماه را در مداری با شعاع 392500 کیلومتر (مقدار متوسط) محاسبه کردیم. اما همانطور که می دانید ماه در مداری بیضوی حرکت می کند که در حضیض 356400 کیلومتر و در اوج - 406700 کیلومتر است. با استفاده از دانش به دست آمده، سرعت ماه را در حضیض و اوج محاسبه خواهیم کرد.

داده های اولیه:

• r av =392500 کیلومتر;
• v av =3600 کیلومتر در ساعت;
• r p = 356400 کیلومتر;
• v p -?;
• r a =406700 کیلومتر;
• v a -؟

طبق قانون بقای حرکت، برابری های زیر را داریم:

I avg ω av = I p ω p I avg ω av = I a ω a

از آنجایی که قطر ماه (3476 کیلومتر) در مقایسه با فاصله تا زمین کوچک است، ماه را یک نقطه مادی در نظر می گیریم که محاسبات را به طور قابل توجهی ساده می کند بدون اینکه بر دقت آنها تأثیر قابل توجهی بگذارد.

ممان اینرسی برای یک نقطه مادی برابر خواهد بود با:

I av = mr av 2 I p = mr p 2 I a = mr a 2

سرعت های زاویه ای:

ω av = v av /r av ω p = v p /r p ω a = v a /r a

اجازه دهید جایگزین های مناسب را در فرمول قانون بقای تکانه انجام دهیم:

(mr میانگین 2) (v میانگین / r میانگین) = (mr p 2) (v p /r ap) (mr میانگین 2) (v میانگین /r ap) = (mr a 2) (v a /r a)

پس از انجام تبدیل های جبری ساده، به دست می آوریم:

V p = v میانگین (r avg /r p) v a = v میانگین (r میانگین /r a)

جایگزین مقادیر عددی:

V p = 3600·392500/356400 = 3964 km/h v а = 3600·392500/406700 = 3474 km/h

تکانه

تعریف

تکانه زاویه ای نسبت به یک محور ثابت $z$ یک کمیت اسکالر $L_(z) $ برابر با پیش بینی بردار حرکت زاویه ای بر روی این محور است که نسبت به نقطه دلخواه 0 این محور تعریف شده است.

مقدار تکانه زاویه ای $L_(z) $ به موقعیت نقطه 0 در محور $z$ بستگی ندارد. وقتی یک جسم کاملاً صلب حول یک محور ثابت می‌چرخد، هر نقطه از بدن در امتداد دایره‌ای با شعاع ثابت $r_(i) $ با سرعت معینی $v_(i) $ حرکت می‌کند. سرعت $v_(i) $ و تکانه $m_(i) v_(i) $ بر این شعاع عمود هستند، یعنی. شعاع بازوی بردار $m_(i) v_(i) $ است. بنابراین، می‌توانیم بنویسیم که تکانه زاویه‌ای یک نقطه منفرد نسبت به محور $z$ برابر است با:

تکانه زاویه ای یک جسم صلب نسبت به محور مجموع تکانه زاویه ای نقاط آن است:

با در نظر گرفتن رابطه بین سرعت های خطی و زاویه ای ($v_(i) =\omega r_(i) $)، عبارت زیر را برای تکانه زاویه ای یک جسم نسبت به یک محور ثابت به دست می آوریم:

$L_(z) =\sum _(i=1)^(n)m_(i) r_(i)^(2) \omega =\omega \sum \limits _(i=1)^(n)m_ (i) r_(i)^(2) =J_(z) \omega $, (1)

آن ها تکانه زاویه ای یک جسم صلب نسبت به یک محور برابر است با حاصل ضرب ممان اینرسی جسم نسبت به همان محور و سرعت زاویه ای. با تمایز عبارت (1) با توجه به زمان، به دست می آوریم:

$\frac(dL_(z))(dt) =J_(z) \frac(d\omega)(dt) =M_(z) $ (2)

این شکل دیگری از معادله برای دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب نسبت به یک محور ثابت است: نرخ تغییر تکانه زاویه ای یک جسم نسبت به یک محور ثابت چرخش برابر با گشتاور حاصله نسبت به این است. محور تمام نیروهای خارجی وارد بر بدن.

قانون بقای حرکت

قانون بقای تکانه زاویه ای از معادله اصلی دینامیک حرکت چرخشی جسم ثابت در یک نقطه ثابت پیروی می کند و شامل موارد زیر است: اگر گشتاور حاصل از نیروهای خارجی نسبت به یک نقطه ثابت به طور یکسان برابر باشد با صفر است، سپس تکانه زاویه ای بدن نسبت به این نقطه در طول زمان تغییر نمی کند.

معتبر است اگر:

$M=0$، سپس $\frac(dL)(dt) =0$،

از کجا: $\overline(L)=const$. (3)

به عبارت دیگر، تکانه زاویه ای یک سیستم بسته در طول زمان تغییر نمی کند.

از قانون اساسی دینامیک جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​$z$ (معادله 2)، قانون بقای تکانه زاویه ای جسم نسبت به محور به شرح زیر است: اگر گشتاور نیروهای خارجی نسبت به محور ثابت باشد. چرخش بدن به طور یکسان برابر با صفر است، سپس تکانه زاویه ای بدن نسبت به این محور در روند حرکت تغییر نمی کند، یعنی. اگر $M_(z) =0$، پس $\frac(dL_(z) )(dt) =0$، از آنجا $\overline(L)_(z) =const،$ یا $J_(z) \omega =const$.(4)

قانون بقای تکانه زاویه ای یک قانون اساسی طبیعت است. اعتبار این قانون با خاصیت تقارن فضا - همسانگردی آن، یعنی. با تغییر ناپذیری قوانین فیزیکی در مورد انتخاب جهت محورهای مختصات سیستم مرجع.

عبارات زیر معتبر هستند:

• ممان اینرسی یک جسم نسبت به محور چرخش یک کمیت فیزیکی است که برابر با مجموع حاصلضرب جرم‌های n نقطه مادی بدن به مجذور فواصل آنها تا محور مورد نظر است:
\
• ممان اینرسی یک جسم $J_(z) $ نسبت به هر محور چرخش برابر است با ممان اینرسی آن $J_(c) $ نسبت به یک محور موازی که از مرکز جرم C جسم می گذرد، اضافه شده است. به حاصل ضرب جرم m جسم با مجذور فاصله a بین محورها: $J_( z) =J_(c) +ma^(2) $;
• وقتی یک جسم کاملاً صلب حول یک محور ثابت $z$ می‌چرخد، انرژی جنبشی آن برابر است با نصف حاصلضرب ممان اینرسی نسبت به محور چرخش و مجذور سرعت زاویه‌ای:
\
• از مقایسه فرمول های $E_(k_(2@) ) =\frac(J_(z) \omega ^(2) )(2) $ و $E_(k) =\frac(mv^(2)) (2) $ نتیجه می شود که ممان اینرسی معیاری از اینرسی یک جسم در طول حرکت چرخشی است.
• معادله دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب نسبت به یک محور ثابت z (معادل قانون دوم نیوتن) به شکل زیر است: $M_(z) =J_(z) \varepsilon =\frac(dL_(z) ) )(dt) $.

مثال

باری به وزن 0.8 کیلوگرم بر روی یک نخ نازک بدون وزن در ارتفاع 3 متری از کف معلق است. نخ روی یک محور استوانه ای همگن جامد به شعاع 30 سانتی متر با ممان اینرسی 0.15 کیلوگرم * متر مربع پیچیده می شود. چرخش، شفت بار را به کف پایین می آورد. تعیین: زمان پایین آوردن بار به کف، نیروی کشش نخ، انرژی جنبشی بار در لحظه تماس بار با کف.

$r$= 15cm=0.15m

$J_(x) $= 0.18 کیلوگرم * متر مربع

پیدا کنید: $t,N,E_(k) $-؟

بنابراین، نیروی کشش رزوه: $N=\frac(J_(x) \varepsilon )(r) =\frac(0.18\cdot 4)(0.15) =4.8H$.

انرژی جنبشی بار در لحظه برخورد با کف:

پاسخ: $t=3.2A$، $N=4.8H$، $E_(k) =0.9J.$

بگذارید یک جسم خاص، تحت تأثیر نیروی F اعمال شده در نقطه A، به دور محور OO بچرخد» (شکل 1.14).

نیرو در صفحه ای عمود بر محور عمل می کند. عمود p که از نقطه O (روی محور قرار دارد) به جهت نیرو کاهش می یابد نامیده می شود. شانه قدرت. حاصل ضرب نیروی بازو، مدول گشتاور نیرو را نسبت به نقطه O تعیین می کند:

M = Fp=Frsinα.

لحظه نیروبرداری است که توسط حاصلضرب بردار بردار شعاع نقطه اعمال نیرو و بردار نیرو تعیین می شود:

(3.1)
واحد گشتاور نیرو نیوتن متر (Nm) است.

جهت M را می توان با استفاده از قانون پیچ درست پیدا کرد.

لحظه تکانه ذره حاصل ضرب بردار شعاع ذره و تکانه آن است:

یا به شکل اسکالر L = rPsinα

این کمیت بردار است و در جهت با بردارهای ω منطبق است.

§ 3.2 لحظه اینرسی. قضیه اشتاینر

اندازه گیری اینرسی اجسام در حین حرکت انتقالی جرم است. اینرسی اجسام در طول حرکت چرخشی نه تنها به جرم، بلکه به توزیع آن در فضا نسبت به محور چرخش نیز بستگی دارد. اندازه گیری اینرسی در حین حرکت چرخشی کمیتی نامیده می شود لحظه اینرسی بدننسبت به محور چرخش

ممان اینرسی یک نقطه مادینسبت به محور چرخش، حاصل ضرب جرم این نقطه و مجذور فاصله آن از محور را می گویند:

من i =m i r i 2 (3.2)

ممان اینرسی بدن نسبت به محور چرخشمجموع گشتاورهای اینرسی نقاط مادی را که این جسم را تشکیل می‌دهند، صدا بزنید:

(3.3)

ممان اینرسی یک جسم به این بستگی دارد که به چه محوری بچرخد و جرم جسم چگونه در کل حجم توزیع شود.

ممان اینرسی اجسامی که دارای شکل هندسی منظم و توزیع یکنواخت جرم بر روی حجم هستند به آسانی تعیین می شود.

· ممان اینرسی یک میله همگننسبت به محوری که از مرکز اینرسی و عمود بر میله عبور می کند

(3.6)

· ممان اینرسی یک استوانه همگننسبت به محوری عمود بر قاعده آن و عبور از مرکز اینرسی،

(3.7)

· ممان اینرسی یک استوانه جدار نازکیا حلقه نسبت به محوری عمود بر صفحه قاعده آن و عبور از مرکز آن،

(3.8)

· ممان اینرسی توپ نسبت به قطر

(3.9)

شکل 3.2

فرمول های داده شده برای ممان اینرسی اجسام در شرایطی ارائه می شود که محور چرخش از مرکز اینرسی بگذرد. برای تعیین ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه، باید استفاده کنید قضیه اشتاینر ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور چرخش دلخواه برابر است با مجموع ممان اینرسی جسم نسبت به محوری موازی با محور داده شده و از مرکز جرم جسم می گذرد و حاصل ضرب جرم بدن بر مجذور فاصله بین محورها:

(3.11)

واحد گشتاور اینرسی کیلوگرم متر مربع (کیلوگرم متر مربع) است.

بنابراین، ممان اینرسی یک میله همگن نسبت به محوری که از انتهای آن می گذرد، طبق قضیه اشتاینر، برابر است با

(3.12)

§ 3.3 معادله دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب

اجازه دهید ابتدا یک نقطه مادی A با جرم m را در نظر بگیریم که در دایره ای به شعاع r حرکت می کند (شکل 1.16). اجازه دهید نیروی ثابت F که مماس بر دایره است، بر آن اثر بگذارد. طبق قانون دوم نیوتن، این نیرو باعث شتاب مماسی می شود یا F = m الف τ .

با استفاده از رابطه الفτ = βr، F = m βr را بدست می آوریم.

بیایید هر دو طرف معادله بالا را در r ضرب کنیم.

Fr = m βr 2 . (3.13)

سمت چپ بیان (3.13) لحظه نیرو است: M = Fr. سمت راست حاصل ضرب شتاب زاویه ای β و ممان اینرسی نقطه مادی A است: J= m r 2.

شتاب زاویه ای یک نقطه هنگام چرخش حول یک محور ثابت با گشتاور متناسب و با ممان اینرسی نسبت عکس دارد. (معادله اساسی برای دینامیک حرکت چرخشی یک نقطه مادی):

M = β J یا (3.14)

در یک گشتاور ثابت، شتاب زاویه ای یک مقدار ثابت خواهد بود و می تواند از طریق تفاوت در سرعت های زاویه ای بیان شود:

(3.15)

سپس معادله اصلی برای دینامیک حرکت دورانی را می توان به شکل نوشت

یا (3.16)

[ - لحظه ضربه (یا تکانه زاویه ای)، МΔt - ضربه لحظه نیروها (یا ضربه گشتاور)].

معادله اصلی برای دینامیک حرکت دورانی را می توان به صورت زیر نوشت

(3.17)

§ 3.4 قانون بقای تکانه زاویه ای

اجازه دهید مورد مکرر حرکت چرخشی را در نظر بگیریم، زمانی که کل گشتاور نیروهای خارجی صفر است. در طول حرکت چرخشی یک جسم، هر یک از ذرات آن با سرعت خطی υ = ωr، حرکت می کند.

تکانه زاویه ای یک جسم در حال چرخش برابر است با مجموع گشتاورها

تکانه های ذرات منفرد آن:

(3.18)

تغییر در تکانه زاویه ای برابر است با ضربه گشتاور:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

اگر مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم بدن نسبت به یک محور ثابت دلخواه برابر با صفر باشد، یعنی. M=0 و سپس dL و مجموع برداری تکانه زاویه ای اجسام سیستم در طول زمان تغییر نمی کند.

مجموع تکانه زاویه ای تمام اجسام در یک سیستم جدا شده بدون تغییر باقی می ماند ( قانون بقای تکانه زاویه ای):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

با توجه به قانون بقای تکانه زاویه ای می توانیم بنویسیم

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

که در آن J 1 و ω 1 لحظه اینرسی و سرعت زاویه ای در لحظه اولیه زمان و هر دو J 2 و ω 2 - در لحظه زمان t هستند.

از قانون بقای تکانه زاویه ای چنین استنباط می شود که وقتی M = 0، در حین چرخش سیستم حول یک محور، هر تغییری در فاصله اجسام تا محور چرخش باید با تغییر در سرعت آنها همراه باشد. چرخش حول این محور با افزایش فاصله، سرعت چرخش با کاهش فاصله کاهش می یابد. به عنوان مثال، یک ژیمناستیک که برای اینکه زمان زیادی برای انجام چندین چرخش در هوا داشته باشد، در حین پرش، یک توپ را اجرا می کند. یک بالرین یا اسکیت باز که در یک پیروت می چرخد، اگر بخواهد سرعت چرخش را کاهش دهد، بازوهای خود را باز می کند و برعکس، زمانی که می خواهد در سریع ترین زمان ممکن بچرخد، آنها را به بدن خود فشار می دهد.

§ 3.5 انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش

اجازه دهید انرژی جنبشی یک جسم صلب را که حول یک محور ثابت می چرخد، تعیین کنیم. بیایید این بدن را به n نقطه مادی تقسیم کنیم. هر نقطه با سرعت خطی υ =ωr i و سپس انرژی جنبشی نقطه حرکت می کند

یا

کل انرژی جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش برابر است با مجموع انرژی جنبشی تمام نقاط مادی آن:

(3.22)

(J لحظه اینرسی بدن نسبت به محور چرخش است)

اگر مسیر همه نقاط در صفحات موازی قرار گیرد (مانند استوانه ای که از صفحه شیبدار به سمت پایین می غلتد، هر نقطه در صفحه مخصوص به خود حرکت می کند شکل)، حرکت صاف. طبق اصل اویلر، حرکت صفحه همیشه می تواند به روش های بی شماری به حرکت انتقالی و چرخشی تجزیه شود. اگر توپی در امتداد یک صفحه شیبدار بیفتد یا بلغزد، فقط به صورت انتقالی حرکت می کند. وقتی توپ می چرخد، آن نیز می چرخد.

اگر جسمی حرکت انتقالی و چرخشی را همزمان انجام دهد، انرژی جنبشی کل آن برابر است با

(3.23)

از مقایسه فرمول های انرژی جنبشی برای حرکات انتقالی و چرخشی، مشخص می شود که اندازه گیری اینرسی در حین حرکت چرخشی، ممان اینرسی جسم است.

§ 3.6 کاری که توسط نیروهای خارجی در حین چرخش یک جسم صلب انجام می شود

هنگامی که یک جسم صلب می چرخد، انرژی پتانسیل آن تغییر نمی کند، بنابراین کار اولیه نیروهای خارجی برابر است با افزایش انرژی جنبشی بدن:

ΔA = ΔE یا

با در نظر گرفتن Jβ = M، ωdr = dφ، داریم

ΔA =MΔφ (3.24)

کار انجام شده توسط نیروهای خارجی هنگام چرخش جسم صلب از طریق یک زاویه محدود φ برابر است با

هنگامی که یک جسم صلب حول یک محور ثابت می چرخد، کار نیروهای خارجی با عمل گشتاور این نیروها نسبت به این محور مشخص می شود. اگر ممان نیروها نسبت به محور صفر باشد، این نیروها کار تولید نمی کنند.

اجازه دهید به اشتقاق قانون حفاظت بپردازیم که ظهور آن با همسانگردی فضا همراه است.

این همسانگردی به این معنی است که خواص مکانیکی یک سیستم بسته با هیچ چرخشی از کل سیستم در فضا تغییر نمی کند. مطابق با این، ما یک چرخش بینهایت کوچک سیستم را در نظر می گیریم و نیاز داریم که تابع لاگرانژ آن تغییر نکند.

اجازه دهید بردار چرخش بی نهایت کوچکی را معرفی کنیم که قدر مطلق آن برابر با زاویه چرخش است و جهت آن با محور چرخش منطبق است (و به گونه ای که جهت چرخش مطابق با قانون پیچ با با احترام به جهت).

ابتدا بیایید دریابیم که افزایش بردار شعاع ترسیم شده از مبدأ مشترک مختصات (واقع در محور چرخش) به هر یک از نقاط مادی سیستم چرخشی در طول چنین چرخشی چقدر است.

حرکت خطی انتهای بردار شعاع با رابطه با زاویه مرتبط است

(شکل 5). جهت بردار عمود بر صفحه ای است که از آن می گذرد بنابراین واضح است که

هنگامی که سیستم می چرخد، جهت نه تنها بردارهای شعاع تغییر می کند، بلکه سرعت همه ذرات نیز تغییر می کند و همه بردارها طبق قانون یکسان تغییر می کنند. بنابراین، افزایش سرعت نسبت به سیستم مختصات ثابت

جایگزینی این عبارات به شرطی که تابع لاگرانژ در طول چرخش تغییر نکند

جایگزین مشتقات

یا انجام یک بازآرایی چرخه ای عوامل و خارج کردن مجموع از علامت:

با توجه به خودسری آن چنین است

یعنی به این نتیجه می رسیم که وقتی یک سیستم بسته حرکت می کند، کمیت برداری حفظ می شود

تکانه زاویه ای (یا به سادگی تکانه زاویه ای) سیستم نامیده می شود.

افزودنی بودن این کمیت آشکار است و مانند تکانه، به وجود یا عدم وجود برهمکنش بین ذرات بستگی ندارد.

این انتگرال های افزایشی حرکت را از بین می برد. بنابراین، هر سیستم بسته تنها هفت انتگرال دارد: انرژی و سه جزء بردار حرکت و گشتاور.

از آنجایی که تعریف لحظه شامل بردارهای شعاع ذرات است، مقدار آن، به طور کلی، به انتخاب مبدا مختصات بستگی دارد. بردارهای شعاع و ta همان نقطه با توجه به مبدا مختصات، که با بردار a جابه‌جا شده‌اند، با رابطه a مرتبط هستند. بنابراین ما داریم:

از این فرمول مشخص می شود که فقط در حالتی که سیستم به عنوان یک کل در حالت سکون است (یعنی لحظه آن به انتخاب مبدأ مختصات بستگی ندارد. این عدم قطعیت در مقدار آن، البته، بر روی آن تأثیر نمی گذارد. قانون بقای لحظه، از آنجایی که یک سیستم بسته دارای تکانه است نیز ذخیره می شود.

ما همچنین فرمولی را استخراج خواهیم کرد که مقادیر تکانه زاویه ای را در دو سیستم مرجع اینرسی متفاوت K و K به هم متصل می کند، که دومی نسبت به اولی با سرعت V حرکت می کند. فرض می کنیم که مبدا مختصات در سیستم های K و K در یک زمان معین منطبق می شوند سپس بردارهای شعاع ذرات در هر دو سیستم یکسان هستند، اما سرعت ها با .

مجموع اول در سمت راست تساوی، ممان M در سیستم است، با وارد کردن بردار شعاع مرکز اینرسی به جمع دوم مطابق با (8.3)، به دست می آوریم:

این فرمول قانون تبدیل تکانه زاویه ای را هنگام حرکت از یک سیستم مرجع به سیستم دیگر تعیین می کند، همانطور که برای تکانه و انرژی قوانین مشابهی با فرمول های (8.1) و (8.5) ارائه شده است.

اگر قاب مرجع K همانی است که یک سیستم مکانیکی معین به طور کلی در حالت سکون است، V سرعت مرکز اینرسی دومی است و کل ضربه آن P (نسبت به K) است.

به عبارت دیگر، تکانه زاویه ای M یک سیستم مکانیکی متشکل از «لمان مناسب» آن نسبت به چارچوب مرجعی است که در آن در حال سکون است، و گشتاور مرتبط با حرکت آن به عنوان یک کل.

اگرچه قانون بقای هر سه مولفه لحظه (نسبت به یک مبدأ دلخواه) فقط برای یک سیستم بسته اتفاق می افتد، به شکل محدودتر این قانون می تواند برای سیستم هایی که در یک میدان خارجی قرار دارند نیز وجود داشته باشد. از نتیجه گیری فوق واضح است که پرتاب گشتاور بر روی محوری که میدان داده شده با آن متقارن است همیشه حفظ می شود و بنابراین خواص مکانیکی سیستم با هیچ چرخشی حول این محور تغییر نمی کند. در این مورد، البته، لحظه باید نسبت به نقطه ای (مبدع) که روی همان محور قرار دارد تعیین شود.

مهمترین مورد از این نوع میدانی با تقارن مرکزی است، یعنی میدانی که در آن انرژی پتانسیل تنها به فاصله تا یک نقطه (مرکز) معین در فضا بستگی دارد. بدیهی است که هنگام حرکت در چنین میدانی، پرتاب لحظه به هر محوری که از مرکز می گذرد حفظ می شود. به عبارت دیگر، بردار M لحظه حفظ می شود، اما نه نسبت به یک نقطه دلخواه در فضا، بلکه نسبت به مرکز میدان تعریف می شود.

مثال دیگر: یک میدان یکنواخت در امتداد محور z، که در آن پیش بینی لحظه حفظ می شود و منشاء مختصات را می توان خودسرانه انتخاب کرد.

توجه داشته باشید که با تفکیک تابع لاگرانژ بر اساس فرمول، می‌توان پرتاب لحظه بر روی هر محوری را پیدا کرد.

که در آن مختصات زاویه چرخش حول محور z است. این در حال حاضر از ماهیت اشتقاق بالا از قانون بقای تکانه روشن است، اما همان را می توان با محاسبه مستقیم تأیید کرد. در مختصات استوانه ای داریم (جایگزین

از طرفی تابع لاگرانژ در این متغیرها دارای فرم است

و جایگزینی آن در (9.7) منجر به همان عبارت (9.8) می شود.

وظایف

1. عباراتی را برای مولفه های دکارتی و قدر مطلق تکانه زاویه ای ذره در مختصات استوانه ای بیابید.