مشتق e به توان. ویژگی شگفت انگیز مشتق e به توان x. مشتقات مرتبه بالاتر e به توان x

بسیاری از اعداد بزرگی و معنای خرافی خود را در دوران باستان به دست آوردند. امروزه اسطوره های جدیدی به آنها اضافه می شود. افسانه های زیادی در مورد عدد پی وجود دارد. اما شاید شگفت‌انگیزترین چیز عدد e باشد، که بدون آن نمی تواند انجام دهد ریاضیات مدرن، فیزیک و حتی اقتصاد.

مقدار حسابی e تقریباً 2.718 است. چرا دقیقا نه، اما تقریبا؟ چون این عدد غیرمنطقی و ماورایی است، نمی توان آن را به صورت کسری با اعداد صحیح طبیعی یا چند جمله ای با ضرایب گویا بیان کرد. برای اکثر محاسبات، دقت مشخص شده 2.718 کافی است، اگرچه سطح مدرن فناوری محاسبات اجازه می دهد تا مقدار آن با دقت بیش از یک تریلیون رقم اعشار تعیین شود.

ویژگی اصلی عدد e این است که مشتق تابع نمایی آن f (x) = e x برابر مقدار خود تابع e x است. هیچ رابطه ریاضی دیگری چنین خاصیت غیرعادی ندارد. بیایید در این مورد با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

حد چیست

ابتدا بیایید مفهوم حد را درک کنیم. برخی از عبارت های ریاضی را در نظر بگیرید، به عنوان مثال، i = 1/n. می توانید ببینید که با افزایش "n""، مقدار "i" کاهش می یابد، و همانطور که "n" به بی نهایت میل می کند (که با علامت ∞ نشان داده می شود)، "i" به سمت مقدار حدی (که اغلب به سادگی حد نامیده می شود) برابر با صفر است. عبارت حد (که با lim مشخص می شود) برای مورد مورد بررسی را می توان به صورت lim n →∞ (1/n) = 0 نوشت.

محدودیت های مختلفی برای عبارات مختلف وجود دارد. یکی از این محدودیت ها که در کتاب های درسی شوروی و روسیه به عنوان دومین حد قابل توجه گنجانده شده است عبارت lim n →∞ (1+1/n) n است. قبلاً در قرون وسطی مشخص شد که حد این عبارت عدد e است.

اولین حد قابل توجه شامل عبارت lim n →∞ (Sin n / n) = 1 است..

نحوه پیدا کردن مشتق e x - در این ویدیو.

مشتق تابع چیست؟

برای توضیح مفهوم مشتق، باید به یاد بیاوریم که تابع در ریاضیات چیست. برای اینکه متن را با تعاریف پیچیده شلوغ نکنیم، بر مفهوم شهودی ریاضی یک تابع تمرکز خواهیم کرد، که شامل این واقعیت است که در آن یک یا چند کمیت اگر با هم مرتبط باشند، مقدار کمیت دیگر را کاملاً تعیین می کنند. به عنوان مثال، در فرمول S = π ∙ r 2 مساحت یک دایره، مقدار شعاع r به طور کامل و منحصر به فرد مساحت دایره S را تعیین می کند.

بسته به نوع، توابع می توانند جبری، مثلثاتی، لگاریتمی و غیره باشند. آنها می توانند دو، سه یا چند آرگومان به هم پیوسته داشته باشند. به عنوان مثال، مسافت طی شده S، که یک جسم با سرعت شتاب یکنواخت طی می کند، با تابع S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t توصیف می شود، جایی که "t" زمان حرکت است، آرگومان "a" ” شتاب است (می تواند مثبت یا منفی باشد) و V سرعت اولیه حرکت است. بنابراین، مسافت طی شده به مقادیر سه آرگومان بستگی دارد که دو تای آنها ("a" و "V") ثابت هستند.

اجازه دهید از این مثال برای نشان دادن مفهوم ابتدایی مشتق یک تابع استفاده کنیم. نرخ تغییر تابع را در یک نقطه مشخص مشخص می کند. در مثال ما، این سرعت حرکت جسم در یک لحظه خاص از زمان خواهد بود. با ثابت "a" و "V" فقط به زمان "t" بستگی دارد، یعنی به زبان علمی، باید مشتق تابع S را با توجه به زمان "t" بگیرید.

این فرآیند تمایز نامیده می شود و با محاسبه حد نسبت رشد یک تابع به رشد آرگومان آن به مقدار ناچیز انجام می شود. حل چنین مسائلی برای عملکردهای فردی اغلب دشوار است و در اینجا مورد بحث قرار نمی گیرد. همچنین شایان ذکر است که برخی از توابع در نقاط خاص اصلاً چنین محدودیتی ندارند.

در مثال ما، مشتق Sبا گذشت زمان "t" شکل S" = ds/dt = a ∙ t + V را به خود می گیرد، که از آن می توان دید که سرعت S" بسته به "t" به صورت خطی تغییر می کند.

مشتق توان

تابع نمایی یک تابع نمایی نامیده می شود که پایه آن عدد e است و معمولاً به شکل F (x) = e x نمایش داده می شود که در آن توان x یک کمیت متغیر است. این تابع در کل محدوده اعداد حقیقی دارای تمایز کامل است. با رشد x، دائماً افزایش می یابد و همیشه بزرگتر از صفر است. تابع معکوس آن لگاریتم است.

تیلور ریاضیدان معروف موفق شد این تابع را به مجموعه ای به نام او e x = 1 + x/1 گسترش دهد! + x 2/2! + x 3/3! + … در محدوده x از - ∞ تا + ∞.

قانون مبتنی بر این عملکرد، نمایی نامیده می شود. او شرح می دهد:

• افزایش نرخ سود مرکب بانکی؛
• افزایش جمعیت حیوانات و جمعیت جهانی؛
• rigor mortis time و خیلی بیشتر.

اجازه دهید یک بار دیگر ویژگی قابل توجه این وابستگی را تکرار کنیم - مقدار مشتق آن در هر نقطه همیشه برابر با مقدار تابع در این نقطه است، یعنی (e x)" = e x.

اجازه دهید مشتقات را برای کلی ترین موارد نمایی ارائه کنیم:

• (e ax)" = a ∙ e ax ;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

با استفاده از این وابستگی ها، یافتن مشتقات برای انواع خاص دیگر این تابع آسان است.

چند واقعیت جالب در مورد عدد e

نام دانشمندانی مانند Napier، Oughtred، Huygens، Bernoulli، Leibniz، Newton، Euler و دیگران با این عدد همراه است. دومی در واقع نماد e را برای این عدد معرفی کرد و همچنین با استفاده از سری e = 1 + 1/1 که برای محاسبه کشف کرد، 18 علامت اول را پیدا کرد! + 2/2! + 3/3! ...

عدد e در غیرمنتظره ترین مکان ها ظاهر می شود. به عنوان مثال، در معادله کاتنری گنجانده شده است، که افت طناب تحت وزن خود را هنگامی که انتهای آن به تکیه گاه ها ثابت می شود، توصیف می کند.

ویدئو

موضوع درس تصویری مشتق تابع نمایی است.

اثبات و مشتق فرمول های مشتق نمایی (e به توان x) و تابع نمایی (a به توان x). نمونه هایی از محاسبه مشتقات e^2x، e^3x و e^nx. فرمول های مشتقات مرتبه بالاتر.

محتوا

همچنین ببینید: تابع نمایی - خواص، فرمول ها، نمودار
توان، e به توان x - خواص، فرمول ها، نمودار

فرمول های پایه

مشتق یک توان برابر با خود توان است (مشتق e به توان x برابر است با e به توان x):
(1) (e x)′ = e x.

مشتق تابع نمایی با پایه a برابر است با خود تابع ضرب در لگاریتم طبیعی a:
(2) .

نمایی تابع نمایی است که پایه آن برابر با عدد e است که حد زیر است:
.
در اینجا می تواند یک عدد طبیعی یا یک عدد واقعی باشد. سپس فرمول (1) را برای مشتق نمایی استخراج می کنیم.

استخراج فرمول مشتق نمایی

نمایی، e را به توان x در نظر بگیرید:
y = e x.
این تابع برای همه تعریف شده است.
(3) .

بیایید مشتق آن را با توجه به متغیر x پیدا کنیم.
طبق تعریف، مشتق حد زیر است:بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای انجام این کار به حقایق زیر نیاز داریم:
(4) ;
الف)ویژگی توان:
(5) ;
ب)ویژگی لگاریتم:
(6) .
IN)
پیوستگی لگاریتم و خاصیت حدود برای یک تابع پیوسته:معنای حد قابل توجه دوم:
(7) .

بیایید این حقایق را تا حد خود اعمال کنیم (3). ما از اموال (4) استفاده می کنیم:
;
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم.
سپس؛ .
.
با توجه به تداوم نمایی،
.

بنابراین، زمانی که، .
.

در نتیجه دریافت می کنیم:
بیایید یک تعویض انجام دهیم.
.

سپس . در , . و داریم:
.
بیایید خاصیت لگاریتم (5) را اعمال کنیم:
.

.

سپس

بیایید ویژگی (6) را اعمال کنیم. از آنجایی که یک حد مثبت وجود دارد و لگاریتم پیوسته است، پس:
(8)
در اینجا از دومین حد قابل توجه (7) نیز استفاده کردیم. سپس

بنابراین، ما فرمول (1) را برای مشتق نمایی به دست آوردیم.
;
.
استخراج فرمول مشتق تابع نمایی
.

اکنون فرمول (2) را برای مشتق تابع نمایی با پایه درجه a استخراج می کنیم.

ما معتقدیم که و .
(14) .
(1) .

سپس تابع نمایی
;
.

برای همه تعریف شده است.
.

فرمول (8) را تبدیل می کنیم. برای این کار از ویژگی های تابع نمایی و لگاریتم استفاده می کنیم.

بنابراین، فرمول (8) را به شکل زیر تبدیل کردیم:
.
مشتقات مرتبه بالاتر e به توان x
(15) .

حالا بیایید مشتقات مرتبه های بالاتر را پیدا کنیم. بیایید ابتدا به توان نگاه کنیم:
;
.

می بینیم که مشتق تابع (14) با خود تابع (14) برابر است. با تمایز (1)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
.

این نشان می دهد که مشتق مرتبه n با تابع اصلی نیز برابر است:

مشتقات مرتبه های بالاتر تابع نمایی

حالا یک تابع نمایی با پایه درجه a در نظر بگیرید:مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم: با تمایز (15)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم: می بینیم که هر تمایز منجر به ضرب تابع اصلی در می شود.	بنابراین، مشتق مرتبه n به شکل زیر است:همچنین ببینید: برای راحتی و وضوح در هنگام مطالعه موضوع، یک جدول خلاصه ارائه می دهیم. ثابتy = Cتابع توان y = x p (x p) " = p x p - 1 تابع نمایی
y = تبر (a x) " = a x ln a ثابتy = Cتابع توان y = x p به ویژه، زمانی که a = e	ما داریم y = e x
(e x) " = e x تابع لگاریتمی	(log a x) " = 1 x ln a y = ورود x

(ln x) " = 1 x

توابع مثلثاتی

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

برای استخراج این فرمول، تعریف مشتق یک تابع در یک نقطه را مبنا قرار می دهیم. ما از x 0 = x، که در آن استفاده می کنیم xمقدار هر عدد واقعی را می گیرد، یا به عبارت دیگر، xهر عددی از دامنه تابع f (x) = C است. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان را به صورت ∆ x → 0 بنویسیم:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

لطفاً توجه داشته باشید که عبارت 0 ∆ x تحت علامت حد قرار می گیرد. این عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر» نیست، زیرا شمارش حاوی یک مقدار بی نهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بنابراین، مشتق تابع ثابت f (x) = C در کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مثال 1

توابع ثابت داده شده است:

f 1 (x) = 3، f 2 (x) = a، a ∈ R، f 3 (x) = 4. 13 7 22، f 4 (x) = 0، f 5 (x) = - 8 7

راه حل

اجازه دهید شرایط داده شده را شرح دهیم. در تابع اول مشتق عدد طبیعی 3 را می بینیم. در مثال زیر باید مشتق از را بگیرید الف، کجا الف- هر عدد واقعی مثال سوم مشتق عدد غیر منطقی 4 را به ما می دهد. 13 7 22، چهارم مشتق صفر است (صفر یک عدد صحیح است). در نهایت، در مورد پنجم، مشتق کسر گویا - 8 7 را داریم.

پاسخ:مشتقات توابع داده شده برای هر واقعی صفر هستند x(در کل منطقه تعریف)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0، f 5" (x) = - 8 7" = 0

مشتق تابع توان

بیایید به تابع توان و فرمول مشتق آن برویم که به شکل: (x p) " = p x p - 1 است، جایی که توان صهر عدد واقعی است

شواهد 2

در اینجا اثبات فرمول زمانی است که توان یک عدد طبیعی است: p = 1، 2، 3، …

ما دوباره بر تعریف مشتق تکیه می کنیم. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

برای ساده کردن عبارت در عدد، از فرمول دو جمله ای نیوتن استفاده می کنیم:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

بدین ترتیب:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

بنابراین، ما فرمول مشتق یک تابع توان را زمانی که توان یک عدد طبیعی باشد، ثابت کرده‌ایم.

شواهد 3

برای ارائه دلیل برای مورد زمانی که p-هر عدد واقعی غیر از صفر، از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم (در اینجا باید تفاوت را با مشتق یک تابع لگاریتمی درک کنیم). برای درک کامل تر، توصیه می شود مشتق یک تابع لگاریتمی را مطالعه کنید و علاوه بر آن مشتق یک تابع ضمنی و مشتق یک تابع مختلط را درک کنید.

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم: چه زمانی xمثبت و چه زمانی xمنفی

بنابراین x> 0. سپس: x p > 0 . اجازه دهید برابری y = x p را بر مبنای e لگاریتم کنیم و خاصیت لگاریتم را اعمال کنیم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

در این مرحله، یک تابع به طور ضمنی مشخص شده به دست آورده ایم. بیایید مشتق آن را تعریف کنیم:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

حال ما این مورد را در نظر می گیریم که x –عدد منفی

اگر نشانگر صیک عدد زوج است، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

سپس x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

اگر صیک عدد فرد است، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

آخرین انتقال به این دلیل امکان پذیر است که اگر صپس یک عدد فرد است p - 1یا یک عدد زوج یا صفر (برای p = 1)، بنابراین برای منفی xبرابری (- x) p - 1 = x p - 1 درست است.

بنابراین، ما فرمول مشتق تابع توان را برای هر p واقعی ثابت کرده‌ایم.

مثال 2

توابع داده شده:

f 1 (x) = 1 x 2 3، f 2 (x) = x 2 - 1 4، f 3 (x) = 1 x log 7 12

مشتقات آنها را تعیین کنید.

راه حل

برخی از توابع داده شده را بر اساس ویژگی های درجه به شکل جدولی y = x p تبدیل می کنیم و سپس از فرمول استفاده می کنیم:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

مشتق تابع نمایی

اثبات 4

بیایید فرمول مشتق را با استفاده از تعریف به عنوان پایه استخراج کنیم:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

دچار بلاتکلیفی شدیم. برای گسترش آن، اجازه دهید یک متغیر جدید z = a ∆ x - 1 بنویسیم (z → 0 به عنوان ∆ x → 0). در این مورد، ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . برای آخرین انتقال، از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید استفاده شد.

اجازه دهید حد اصلی را جایگزین کنیم:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

اجازه دهید حد قابل توجه دوم را به خاطر بسپاریم و سپس فرمول مشتق تابع نمایی را به دست آوریم:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

مثال 3

توابع نمایی داده شده است:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

باید مشتقات آنها را پیدا کرد.

راه حل

ما از فرمول برای مشتق تابع نمایی و خواص لگاریتم استفاده می کنیم:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

مشتق تابع لگاریتمی

شواهد 5

اجازه دهید اثباتی از فرمول برای مشتق تابع لگاریتمی برای هر کدام ارائه کنیم xدر حوزه تعریف و هر مقدار مجاز پایه a لگاریتم. بر اساس تعریف مشتق، به دست می آوریم:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

از زنجیره برابری های نشان داده شده مشخص است که تبدیل ها بر اساس ویژگی لگاریتم بوده اند. مرز تساوی ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e مطابق با حد قابل توجه دوم صادق است.

مثال 4

توابع لگاریتمی داده شده است:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

محاسبه مشتقات آنها ضروری است.

راه حل

بیایید فرمول مشتق شده را اعمال کنیم:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

بنابراین، مشتق لگاریتم طبیعی یک تقسیم بر است x.

مشتقات توابع مثلثاتی

اثبات 6

بیایید از چند فرمول مثلثاتی و اولین حد فوق العاده برای استخراج فرمول مشتق یک تابع مثلثاتی استفاده کنیم.

با توجه به تعریف مشتق تابع سینوس، به دست می آوریم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

فرمول تفاوت سینوس ها به ما امکان می دهد اقدامات زیر را انجام دهیم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

در نهایت، از اولین محدودیت فوق العاده استفاده می کنیم:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

بنابراین، مشتق تابع گناه xخواهد شد cos x.

ما همچنین فرمول مشتق کسینوس را ثابت خواهیم کرد:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

آن ها مشتق تابع cos x خواهد بود - گناه x.

ما فرمول های مشتقات مماس و کتانژانت را بر اساس قوانین تمایز استخراج می کنیم:

t g " x = گناه x cos x " = گناه " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- گناه x) cos 2 x = گناه 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

مشتقات توابع مثلثاتی معکوس

بخش مشتق توابع معکوس اطلاعات جامعی در مورد اثبات فرمول های مشتقات آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت ارائه می دهد، بنابراین ما در اینجا مطالب را تکرار نمی کنیم.

مشتقات توابع هذلولی

شواهد 7

با استفاده از قانون تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی می‌توانیم فرمول‌های مشتقات سینوس هذلولی، کسینوس، مماس و کوتانژانت را استخراج کنیم:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h x s h x h

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مفاهیم اساسی

قبل از بررسی مسئله مشتق نمایی به توان $x$، اجازه دهید تعاریف را یادآوری کنیم.

1. توابع؛
2. محدودیت توالی؛
3. مشتق
4. غرفه داران

این برای درک روشنی از مشتق نمایی به توان x$ ضروری است.

تعریف 1

تابع یک رابطه بین دو متغیر است.

بیایید $y=f(x)$ را در نظر بگیریم، جایی که $x$ و $y$ متغیر هستند. در اینجا $x$ آرگومان نامیده می شود و $y$ تابع است. آرگومان می تواند مقادیر دلخواه بگیرد. به نوبه خود، متغیر $y$ بر اساس یک قانون خاص بسته به آرگومان تغییر می کند. یعنی آرگومان $x$ متغیر مستقل و تابع $y$ متغیر وابسته است. برای هر مقدار $x$ یک مقدار منحصر به فرد $y$ وجود دارد.

اگر به موجب قانون، هر عدد طبیعی $n=1، 2، 3، ...$ با یک عدد $x_n$ مرتبط باشد، می گوییم دنباله اعداد $x_1،x_2،... x_n$ تعریف شده است. در غیر این صورت، چنین دنباله ای به صورت $\(x_n\)$ نوشته می شود. همه اعداد $x_n$ عضو یا عناصر دنباله نامیده می شوند.

تعریف 2

حد یک دنباله، نقطه متناهی یا بینهایت دور خط اعداد است. محدودیت به صورت زیر نوشته می شود: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. این نماد به این معنی است که متغیر $x_n$ به $a$ $x_n\ به a$ تمایل دارد.

مشتق تابع $f$ در نقطه $x_0$ حد زیر نامیده می شود:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. با $f"(x_0)$ نشان داده می شود.

عدد $e$ برابر با حد زیر است:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

در این حد، $n$ یک عدد طبیعی یا واقعی است.

با تسلط بر مفاهیم حد، مشتق و توان، می توانیم شروع به اثبات فرمول $(e^x)"=e^x$ کنیم.

اشتقاق مشتق نمایی به توان $x$

ما $e^x$ داریم که $x: -\infty است

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

با خاصیت توان $e^(a+bx)=e^a*e^b$ می‌توانیم شماره‌گذار حد را تبدیل کنیم:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

یعنی $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ به 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

اجازه دهید $t=e^(\Delta x)-1$ را نشان دهیم. ما $e^(\Delta x)=t+1$ را دریافت می کنیم و با خاصیت لگاریتم معلوم می شود که $\Delta x = ln(t+1)$.

از آنجایی که نمایی پیوسته است، $\lim\limits_(\Delta x\to 0) داریم e^(\Delta x)=e^0=1.$ بنابراین، اگر $\Delta x\to 0$، آنگاه $ t \ به 0 $.

در نتیجه، تبدیل را نشان می دهیم:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

اجازه دهید $n=\frac (1)(t)$، سپس $t=\frac(1)(n)$ را نشان دهیم. به نظر می رسد که اگر $t\to 0$ باشد، سپس $n\to\infty$.

بیایید حد خود را تغییر دهیم:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

با خاصیت لگاریتم $b\cdot ln c=ln c^b$ داریم

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

حد به صورت زیر تبدیل می شود:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

با توجه به خاصیت پیوستگی لگاریتم و خاصیت حد برای یک تابع پیوسته: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$، جایی که $f(x)$ دارای حد مثبت $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ است. بنابراین، با توجه به اینکه لگاریتم پیوسته است و یک حد مثبت $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ وجود دارد، می‌توان نتیجه گرفت:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

اجازه دهید از مقدار دومین حد قابل توجه $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ استفاده کنیم. دریافت می کنیم:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

بنابراین، ما فرمول مشتق نمایی را استخراج کرده ایم و می توانیم ادعا کنیم که مشتق نمایی به توان x$ معادل مشتق نمایی به توان x$ است:

همچنین راه های دیگری برای استخراج این فرمول با استفاده از فرمول ها و قوانین دیگر وجود دارد.

مثال 1

بیایید به مثالی از یافتن مشتق یک تابع نگاه کنیم.

وضعیت: مشتق تابع $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ را بیابید.

راه حل: برای عبارت‌های $2^x، 3^x$ و $10^x$، فرمول $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ را اعمال می‌کنیم. طبق فرمول مشتق شده $(e^x)" =e^x$ عبارت چهارم $e^x$ تغییر نمی کند.

پاسخ دهید: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

بنابراین، ضمن ارائه تعاریف برای مفاهیم اساسی، فرمول $(e^x)"=e^x$ را استخراج کرده و نمونه ای از یافتن مشتق تابع با توان به عنوان یکی از اصطلاحات را تحلیل کردیم.

هنگام استخراج اولین فرمول جدول، از تعریف تابع مشتق در یک نقطه استفاده می کنیم. بریم کجا x- هر عدد واقعی، یعنی x- هر عددی از دامنه تعریف تابع. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را در زیر بنویسیم:

لازم به ذکر است که در زیر علامت حد عبارتی به دست می آید که عدم قطعیت صفر تقسیم بر صفر نیست، زیرا عدد شامل یک مقدار بینهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بنابراین، مشتق تابع ثابتدر کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مشتق تابع توان.

فرمول مشتق تابع توان دارای شکل است ، جایی که توان ص- هر عدد واقعی

اجازه دهید ابتدا فرمول توان طبیعی، یعنی برای را اثبات کنیم p = 1، 2، 3، …

ما از تعریف مشتق استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

برای ساده کردن عبارت در عدد، به فرمول دو جمله ای نیوتن می پردازیم:

از این رو،

این فرمول مشتق تابع توان را برای یک توان طبیعی ثابت می کند.

مشتق تابع نمایی.

ما مشتق فرمول مشتق را بر اساس تعریف ارائه می کنیم:

به بلاتکلیفی رسیده ایم. برای گسترش آن، یک متغیر جدید معرفی می کنیم و در . سپس . در آخرین انتقال، از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید استفاده کردیم.

بیایید حد اصلی را جایگزین کنیم:

اگر حد قابل توجه دوم را به خاطر بیاوریم، به فرمول مشتق تابع نمایی می رسیم:

مشتق تابع لگاریتمی

اجازه دهید فرمول مشتق تابع لگاریتمی را برای همه ثابت کنیم xاز دامنه تعریف و تمام مقادیر معتبر پایه الفلگاریتم با تعریف مشتق داریم:

همانطور که متوجه شدید، در طول اثبات، تبدیل ها با استفاده از خواص لگاریتم انجام شد. برابری به دلیل محدودیت قابل توجه دوم درست است.

مشتقات توابع مثلثاتی.

برای استخراج فرمول های مشتقات توابع مثلثاتی، باید برخی از فرمول های مثلثاتی و همچنین اولین حد قابل توجه را به یاد آوریم.

با تعریف مشتق تابع سینوسی که داریم .

بیایید از فرمول تفاوت سینوس ها استفاده کنیم:

باقی مانده است که به اولین محدودیت قابل توجه بپردازیم:

بنابراین، مشتق تابع گناه xوجود دارد cos x.

فرمول مشتق کسینوس دقیقاً به همین صورت ثابت می شود.

بنابراین، مشتق تابع cos xوجود دارد – sin x.

ما با استفاده از قوانین اثبات شده تمایز (مشتق کسری) فرمول های جدول مشتقات مماس و کوتانژانت را استخراج خواهیم کرد.

مشتقات توابع هذلولی.

قوانین تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی از جدول مشتقات به ما اجازه می دهد تا فرمول هایی را برای مشتقات سینوس هایپربولیک، کسینوس، مماس و کوتانژانت استخراج کنیم.

مشتق تابع معکوس.

برای جلوگیری از سردرگمی در حین ارائه، بیایید آرگومان تابعی را که توسط آن تمایز انجام می‌شود، به صورت زیرنویس مشخص کنیم، یعنی مشتق تابع است. f(x)توسط x.

حالا بیایید فرمول بندی کنیم قانون برای یافتن مشتق تابع معکوس

اجازه دهید توابع y = f(x)و x = g(y)متقابلاً معکوس، بر اساس فواصل و به ترتیب تعریف شده است. اگر در نقطه ای یک مشتق غیر صفر متناهی از تابع وجود داشته باشد f(x)، سپس در نقطه یک مشتق محدود از تابع معکوس وجود دارد g(y)، و . در پستی دیگر .

این قانون برای هر کسی قابل تنظیم مجدد است xاز بازه، سپس دریافت می کنیم .

بیایید اعتبار این فرمول ها را بررسی کنیم.

بیایید تابع معکوس لگاریتم طبیعی را پیدا کنیم (اینجا yیک تابع است و x- استدلال). با حل این معادله برای x، دریافت می کنیم (اینجا xیک تابع است و y- استدلال او). یعنی و توابع معکوس متقابل.

از جدول مشتقات می بینیم که و .

بیایید مطمئن شویم که فرمول های یافتن مشتقات تابع معکوس ما را به نتایج یکسانی می رساند: