محاسبه مخروط کوتاه شده ماشین حساب آنلاین. حجم مخروط، محاسبه آن

هندسه به عنوان یک علم در مصر باستان شکل گرفت و به آن رسید سطح بالاتوسعه فیلسوف معروف افلاطون آکادمی را تأسیس کرد، جایی که توجه زیادی به نظام‌بندی دانش موجود معطوف شد. مخروط به عنوان یکی از اشکال هندسی اولین بار در رساله معروف اقلیدس «عناصر» ذکر شد. اقلیدس با آثار افلاطون آشنا بود. امروزه، تعداد کمی از مردم می دانند که کلمه "مخروط" از آن ترجمه شده است زبان یونانیبه معنی "مخروط کاج". ریاضیدان یونانی اقلیدس، که در اسکندریه زندگی می کرد، به حق بنیانگذار آن در نظر گرفته می شود جبر هندسی. یونانیان باستان نه تنها جانشین دانش مصریان شدند، بلکه به طور قابل توجهی این نظریه را گسترش دادند.

تاریخچه تعریف مخروط

هندسه به عنوان یک علم از الزامات عملی ساخت و ساز و مشاهدات طبیعت پدید آمده است. به تدریج دانش تجربی تعمیم یافت و خواص برخی اجسام از طریق برخی دیگر به اثبات رسید. یونانیان باستان مفهوم بدیهیات و برهان را معرفی کردند. بدیهیات گزاره ای است که از راه های عملی به دست می آید و نیازی به اثبات ندارد.

اقلیدس در کتاب خود تعریفی از مخروط به عنوان شکلی ارائه داد که با چرخاندن مثلث قائم الزاویه به دور یکی از پایه های آن به دست می آید. او همچنین صاحب قضیه اصلی است که حجم مخروط را تعیین می کند. این قضیه توسط ریاضیدان یونان باستان Eudoxus of Cnidus اثبات شد.

یک ریاضیدان دیگر یونان باستان، آپولونیوس پرگا که شاگرد اقلیدس بود، نظریه سطوح مخروطی را در کتاب های خود توسعه داد و توضیح داد. او صاحب تعریف یک سطح مخروطی و یک سکانس به آن است. دانش آموزان امروزی هندسه اقلیدسی را مطالعه می کنند که قضایای اساسی و تعاریف را از دوران باستان حفظ کرده است.

تعاریف اساسی

یک مخروط دایره ای راست با چرخش مثلث قائم الزاویه به دور یک پا تشکیل می شود. همانطور که می بینید، مفهوم مخروط از زمان اقلیدس تغییر نکرده است.

هیپوتنوز AS مثلث قائم الزاویه AOS وقتی به دور سیستم عامل ساق می چرخد ​​تشکیل می شود سطح جانبیمخروط، بنابراین ژنراتور نامیده می شود. سیستم عامل پایه مثلث به طور همزمان به ارتفاع مخروط و محور آن تبدیل می شود. نقطه S تبدیل به راس مخروط می شود. پا AO با توصیف یک دایره (پایه) به شعاع یک مخروط تبدیل شد.

اگر صفحه ای را از بالا از میان راس و محور مخروط رسم کنیم، می بینیم که بخش محوری حاصله مثلث متساوی الساقین، که در آن محور ارتفاع مثلث است.

کجا سی- محیط پایه، ل- طول ژنراتیکس مخروط، آر- شعاع پایه

فرمول محاسبه حجم مخروط

برای محاسبه حجم مخروط از فرمول زیر استفاده کنید:

که در آن S مساحت قاعده مخروط است. از آنجایی که پایه دایره است، مساحت آن به صورت زیر محاسبه می شود:

از این نتیجه می شود:

که در آن V حجم مخروط است.

n عددی برابر با 3.14 است.

R شعاع پایه مربوط به قطعه AO در شکل 1 است.

H ارتفاع برابر با بخش OS است.

مخروط کوتاه، حجم

یک مخروط دایره ای مستقیم وجود دارد. اگر قسمت بالایی را با یک صفحه عمود بر ارتفاع قطع کنید، یک مخروط کوتاه به دست می آید. دو پایه آن به شکل دایره با شعاع R1 و R2 است.

اگر با چرخش یک مثلث قائم الزاویه یک مخروط راست تشکیل شود، با چرخاندن یک ذوزنقه مستطیلی به دور یک ضلع مستقیم، یک مخروط ناقص تشکیل می‌شود.

حجم مخروط کوتاه شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

V=n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H/3.

مخروط و بخش آن با هواپیما

ریاضیدان یونان باستان آپولونیوس پرگا کار نظری "قطعات مخروطی" را نوشت. به لطف کار او در هندسه، تعاریف منحنی ظاهر شد: سهمی، بیضی، هذلولی. بیایید ببینیم که مخروط چه ربطی به آن دارد.

بیایید یک مخروط دایره ای مستقیم بگیریم. اگر صفحه آن را عمود بر محور قطع کند، یک دایره در مقطع تشکیل می شود. هنگامی که یک سکنت مخروطی را با زاویه ای نسبت به محور قطع می کند، یک بیضی در مقطع به دست می آید.

یک صفحه برش عمود بر قاعده و موازی با محور مخروط، هذلولی را روی سطح تشکیل می دهد. صفحه ای که مخروط را با زاویه به قاعده و موازی با مماس بر مخروط برش می دهد منحنی روی سطح ایجاد می کند که به آن سهمی می گویند.

راه حل مشکل

حتی کار سادهنحوه ساخت یک سطل با حجم معین نیاز به دانش دارد. مثلاً باید ابعاد یک سطل را طوری محاسبه کنید که حجم آن 10 لیتر باشد.

V=10 l=10 dm 3 ;

توسعه مخروط شکلی دارد که به صورت شماتیک در شکل 3 نشان داده شده است.

L ژنراتیکس مخروط است.

برای پیدا کردن سطح سطل که با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

S=n*(R 1 +R 2)*L،

محاسبه ژنراتور ضروری است. آن را از مقدار حجم V=n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2)*H/3 پیدا می کنیم.

از این رو H=3V/n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2).

یک مخروط کوتاه با چرخش تشکیل می شود ذوزنقه مستطیلی، که در آن ضلع جانبی ژنراتیکس مخروط است.

L 2 = (R 2- R 1 ) 2 + H 2.

اکنون ما تمام داده ها را برای ساختن نقشه یک سطل در اختیار داریم.

چرا سطل های آتش نشانی مخروطی هستند؟

چه کسی تا به حال فکر کرده است که چرا سطل های آتش نشانی شکل مخروطی به ظاهر عجیبی دارند؟ و این فقط اینطور نیست. به نظر می رسد که یک سطل مخروطی هنگام خاموش کردن آتش دارای مزایای زیادی نسبت به یک سطل معمولی است که به شکل مخروط کوتاه است.

اولاً همانطور که مشخص است سطل آتش نشانی سریعتر از آب پر می شود و هنگام حمل نمی ریزد. یک مخروط با حجم بیشتر از یک سطل معمولی به شما امکان می دهد آب بیشتری را در یک زمان انتقال دهید.

ثانیا، آب از آن را می توان در فاصله بیشتری نسبت به یک سطل معمولی پرتاب کرد.

ثالثاً اگر سطل مخروطی از دست شما بیفتد و در آتش بیفتد، تمام آب روی منبع آتش ریخته می شود.

همه این عوامل باعث صرفه جویی در زمان می شود - عامل اصلی هنگام خاموش کردن آتش.

کاربرد عملی

دانش‌آموزان معمولاً سؤالاتی در مورد اینکه چرا باید نحوه محاسبه حجم اجسام هندسی مختلف، از جمله مخروط را بیاموزند، دارند.

و مهندسان طراح دائماً با نیاز به محاسبه حجم قطعات مخروطی قطعات ماشین روبرو هستند. اینها نوک مته، قطعات ماشین تراش و فرز هستند. شکل مخروطی به مته ها اجازه می دهد تا به راحتی بدون نیاز به علامت گذاری اولیه با ابزار خاصی وارد مواد شوند.

حجم یک مخروط، توده ای از ماسه یا خاک است که روی زمین ریخته می شود. در صورت لزوم با اندازه گیری های ساده می توانید حجم آن را محاسبه کنید. برخی ممکن است با این سوال که چگونه شعاع و ارتفاع یک توده ماسه را بفهمند گیج شوند. با استفاده از یک متر، محیط تپه C را اندازه می‌گیریم. با استفاده از فرمول R=C/2n شعاع را می‌یابیم. با پرتاب یک طناب (نوار) ​​روی راس، طول ژنراتیکس را پیدا می کنیم. و محاسبه ارتفاع با استفاده از قضیه فیثاغورث و حجم کار سختی نیست. البته، این محاسبه تقریبی است، اما به شما اجازه می دهد تا مشخص کنید که آیا با آوردن یک تن شن به جای یک مکعب، فریب خورده اید یا خیر.

برخی از ساختمان ها به شکل یک مخروط کوتاه است. به عنوان مثال، برج تلویزیون Ostankino به شکل یک مخروط نزدیک می شود. می توان آن را متشکل از دو مخروط که روی هم قرار گرفته اند تصور کرد. گنبدهای قلعه ها و کلیساهای باستانی نمایانگر مخروطی هستند که معماران باستانی حجم آن را با دقت شگفت انگیزی محاسبه کرده اند.

اگر از نزدیک به اجسام اطراف نگاه کنید، بسیاری از آنها مخروط هستند:

• قیف برای ریختن مایعات؛
• بوق-بلندگو؛
• مخروط پارکینگ؛
• آباژور برای لامپ کف؛
• درخت کریسمس معمولی؛
• آلات موسیقی بادی

همانطور که از مثال های ارائه شده مشخص است، امکان محاسبه حجم مخروط و مساحت سطح آن به صورت حرفه ای و حرفه ای ضروری است. زندگی روزمره. امیدواریم مقاله به کمک شما بیاید.

• 22.09.2014

  اصل عملیات هنگامی که دکمه اولین رقم کد SA1 را فشار می دهید، ماشه DD1.1 تغییر می کند و یک ولتاژ سطح بالا در ورودی D ماشه DD1.2 ظاهر می شود. بنابراین، هنگامی که دکمه کد SA2 بعدی را فشار می دهید، تریگر DD1.2 حالت خود را تغییر می دهد و ماشه بعدی را برای تعویض آماده می کند. در صورت شماره گیری صحیح بیشتر، ماشه DD2.2 آخرین بار فعال می شود و...

• 03.10.2014

  دستگاه پیشنهادی ولتاژ را تا 24 ولت و جریان را تا 2 آمپر با حفاظت از اتصال کوتاه تثبیت می کند. در صورت راه اندازی ناپایدار تثبیت کننده، باید از همگام سازی از یک مولد پالس مستقل استفاده شود (شکل 2). 2. مدار تثبیت کننده در شکل 1 نشان داده شده است. یک ماشه اشمیت روی VT1 VT2 مونتاژ شده است که ترانزیستور تنظیم کننده قدرتمند VT3 را کنترل می کند. جزئیات: VT3 مجهز به هیت سینک ...

• 20.09.2014

  تقویت کننده (عکس را ببینید) طبق یک مدار سنتی با لوله های بایاس خودکار ساخته شده است: خروجی - AL5، درایورها - 6G7، kenotron - AZ1. نمودار یکی از دو کانال تقویت کننده استریو در شکل 1 نشان داده شده است. از کنترل صدا سیگنال به شبکه لامپ 6G7 تقویت شده و از آند این لامپ از طریق خازن ایزوله C4 به ...

• 15.11.2017

  NE555 یک تایمر جهانی است - دستگاهی برای تشکیل (تولید) پالس های تک و تکراری با ویژگی های زمانی پایدار. این یک ماشه RS ناهمزمان با آستانه های ورودی خاص، مقایسه کننده های آنالوگ دقیقاً تعریف شده و یک تقسیم کننده ولتاژ داخلی است (ماشه اشمیت دقیق با ماشه RS). برای ساخت ژنراتورهای مختلف، مدولاتورها، رله‌های زمان، دستگاه‌های آستانه و غیره استفاده می‌شود.

در هندسه مخروط بریده به جسمی گفته می شود که از چرخاندن ذوزنقه ای مستطیل شکل به دور آن ضلع آن که عمود بر قاعده است به وجود می آید. نحوه محاسبه حجم یک مخروط کوتاه، همه می دانند از دوره مدرسههندسه، و در عمل این دانش اغلب توسط طراحان ماشین‌ها و مکانیزم‌های مختلف، توسعه‌دهندگان برخی از کالاهای مصرفی و همچنین معماران استفاده می‌شود.

محاسبه حجم مخروط کوتاه شده

حجم مخروط کوتاه شده با فرمول محاسبه می شود:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

ساعت- ارتفاع مخروط

r- شعاع پایه بالایی

آر- شعاع پایه پایین

V- حجم یک مخروط کوتاه

π - 3,14

با اجسام هندسی مانند مخروط های کوتاه شده، در زندگی روزمره همه اگر نه دائماً اغلب با هم برخورد می کنند. آنها در طیف گسترده ای از ظروف شکل می گیرند که به طور گسترده در زندگی روزمره استفاده می شود: سطل، لیوان، چند فنجان. ناگفته نماند که طراحانی که آنها را توسعه داده اند احتمالاً از فرمولی استفاده کرده اند که با آن محاسبه شده است حجم یک مخروط کوتاه، از آنجایی که این مقدار در این مورد بسیار است ارزش عالی، زیرا این است که مشخصه مهمی مانند ظرفیت محصول را تعیین می کند.

سازه های مهندسی که نشان دهنده مخروط های کوتاه شده، اغلب در شرکت های بزرگ صنعتی و همچنین حرارتی و نیروگاه های هسته ای. این دقیقاً شکل برج‌های خنک‌کننده است - دستگاه‌هایی که برای خنک کردن حجم زیادی از آب با فشار دادن جریان مخالف طراحی شده‌اند. هوای جوی. اغلب، این طرح ها در مواردی که لازم است استفاده می شود مدت کوتاهبه طور قابل توجهی دما را کاهش می دهد مقدار زیادیمایعات توسعه دهندگان این ساختارها باید تعیین کنند حجم یک مخروط کوتاهفرمول محاسبه که برای همه کسانی که زمانی در دبیرستان به خوبی درس می خواندند بسیار ساده و شناخته شده است.

قطعات دارای این شکل هندسی، اغلب در طراحی دستگاه های فنی مختلف یافت می شوند. به عنوان مثال، درایوهای چرخ دنده مورد استفاده در سیستم هایی که نیاز به تغییر جهت انتقال جنبشی است، اغلب با استفاده از چرخ دنده های مخروطی اجرا می شوند. این قطعات جزء لاینفک طیف وسیعی از گیربکس ها و همچنین گیربکس های اتوماتیک و دستی مورد استفاده در خودروهای مدرن هستند.

برخی از ابزارهای برشی که به طور گسترده در تولید استفاده می شوند، مانند فرز، شکل مخروطی بریده ای دارند. با کمک آنها می توانید سطوح شیب دار را در یک زاویه خاص پردازش کنید. برای تیز کردن برش های تجهیزات فلزکاری و نجاری، اغلب از چرخ های ساینده که مخروط های کوتاه نیز هستند استفاده می شود. علاوه بر این، حجم یک مخروط کوتاهتعیین طراحان ماشین‌های تراشکاری و فرز که شامل بستن ابزارهای برش مجهز به ساقه‌های مخروطی (دریل، ریمر و غیره) است، الزامی است.

مخروط کوتاه شده
قطعه نامیده می شود
مخروط کامل
منعقد شده بین
پایه و مقطع
مسطح،
موازی
اساس حلقه ها،
دراز کشیده در
موازی
هواپیماها،
نامیده می شوند
دلایل
مخروط کوتاه شده

تکوینی
مخروط کوتاه شده
قطعه نامیده می شود
ژنراتیکس
مخروط کامل
منعقد شده بین
دلایل
ارتفاع کوتاه شده
مخروط نامیده می شود
فاصله بین
دلایل

?
بگذارید در یک مخروط باشد
که قدش
شناخته شده است
یک بخش انجام شد
واقع در
سه فاصله از
تاپ ها چرا
ژنراتور برابر است
حاصل
مخروط کوتاه شده
اگر شناخته شود
ژنراتیکس
مخروط کامل؟
8

مخروط کوتاه شده
می تواند
در نظر گرفتن به عنوان
بدن دریافت کرد
هنگام چرخش
مستطیل شکل
ذوزنقه های اطراف
طرف،
عمود بر
اساس

مستقیم،
اتصال
مراکز پایه،
محور نامیده می شود
مخروط کوتاه شده
گذراندن بخش
از طریق محور،
محوری نامیده می شود.
بخش محوری
است
متساوی الساقین
ذوزنقه ای

فرمول حجم یک مخروط کوتاه.

حجم مخروط کوتاه شده
برابر مجموع جلدهای سه
مخروط داشتن
همون ارتفاع
یک مخروط کوتاه، و
دلایل: یک –
پایه پایینی این
مخروط، دیگری بالاست و
سوم - دایره، شعاع
که یک میانگین وجود دارد
هندسی بین
شعاع های بالا و
1 2 2
پایه های پایین تر
V
اچ
آر
r
Rr
3

اثبات:

آن را در بالا قرار دهید
پایه کوتاه شده
مخروط مخروط کوچک،
تکمیل آن به
کامل و در نظر بگیرید
حجمش مثل
تفاوت در حجم دو
مخروط ها
1
2 1
2
V
V
V
آر
x
r
ساعت
کوتاه کردن
.
باهم
کامل
اضافی
3 3

اثبات:
بیایید ارتفاع مخروط کامل را از روی شباهت محاسبه کنیم
مثلث ها
SO1 B~AKB
x
اچ
آر آر آر
آر
xH
آر آر

10.

اثبات:
SOA ~ SO1 B
h r
xR
12
rh 2
2
3
V
rh r r r
اضافی 3
2 2 3
1 2 R
V
x
آر
آر
آر
کامل
آر
x
3
حجم مخروط های کامل و اضافی
به صورت مکعبی از شعاع پایه ها مرتبط هستند.

11.

اثبات:
حجم را از حجم مخروط بزرگ کم کنید
3
مخروط کوچک
r
V
V
V
V
V
کوتاه کردن
کامل
اضافی
کامل
3po
آر
3
1 2 r
آر
x
1
3
3R
2
3
3
1R
منابع انسانی
آر
r
3
3R
r
آر
2
2
1
آر
r
آر
Rr
r
اچ
3
آر
r
1 2
2
آر
اچ
Rr
r
3

12.

?
حجم را پیدا کنید
کوتاه شده
مخروط اگر
برای او شناخته شده است
ارتفاع و شعاع
زمینه ها
149π

13. استوانه ها و مخروط های مشابه.

سیلندرهای مشابه
یا مخروط می توانید
در نظر گرفتن به عنوان
اجساد دریافت شده از
چرخش مشابه
مستطیل ها
یا مستطیل شکل
مثلث ها

14.

بخش، به موازات پایهمخروط،
مخروط کوچکی شبیه آن را از آن جدا می کند
بزرگ
rh l
R H L
3
3
V
r
ساعت
اضافی
.
3 3
V
آر اچ
کامل
.
2
2
اس
2
rlr h
سمت
.
اضافی
2
2
اس
2
R.L.
RH
سمت
.
کامل

15.

مناطق جانبی
سطوح
مشابه
سیلندر و
مخروط ها شامل
مانند مربع
شعاع یا ارتفاع،
و حجم ها مانند مکعب هستند
شعاع ها یا ارتفاعات
2
2
اس آر
ساعت
2 2
اس آر اچ
3
3
v r h
3 3
وی آر اچ

16.

?
در یک مخروط، ارتفاع
که شناخته شده است
یک بخش انجام شد
موازی
اساس شناخته شده است
همچنین نسبت
حجم های کوچک و
مخروط های بزرگ روشن
از چه فاصله ای
بنیاد واقع شده است
بخش؟
2

17.

شعاع پایه ها
مخروط کوتاه شده
نسبت 2:3 است.
ارتفاع مخروط
به سه تقسیم شده است
قسمت های مساوی و
از طریق نقاط
تقسیم بندی انجام می شود
هواپیماها،
موازی
دلایل
پیدا کنید در کدام
احترام گذاشتن
حجم تقسیم شده
مخروط کوتاه شده
وظیفه

18.

راه حل:
دانستن اینکه شعاع پایه های مخروط
دو به سه مربوط می شوند، اجازه دهید شعاع ها را نشان دهیم
به صورت 2a و 3a و بخش محوری را در نظر بگیرید
مخروط

19.

راه حل:
1) با استفاده از تشابه، شعاع ها را پیدا می کنیم
بخش های انجام شده
CH
3
الف
2
الف
الف
4
1
الف
ن
در CH
2 2
4
3
3
2
2
الف
ن
در
CH
33
4
3
3
a7
آر
2
الف
الف
1
33
2
a8
آر
2
الف
الف
2
3 3

20.

راه حل:
2) پس از تکمیل مخروط کوتاه شده به یک مخروط کامل،
بیایید پیدا کنیم کدام قسمت از مخروط کامل
مخروط های کوچکتر را تشکیل دهید
V - حجم بزرگترین مخروط
3
3
3
V
2
الف
2 6
بنابراین
3 3 3
V
39
3
الف
1
3
7
الف
3
V
7
3
بنابراین
3
3
V
3a 9
3
8
الف
3
V
8
3
بنابراین
3
3
V
3a 9
2
3

21.

راه حل:
3) اجازه دهید تعیین کنیم چه بخشی از حجم کل
مخروط ها از مخروط های کوتاه تشکیل شده اند،
بین بخش های مجاور قرار دارد
و نسبت حجم این مخروط ها را پیدا کنید.
3 3
7
6 12
V
V
V
V
V
1
بنابراین
بنابراین
3
3
9 9
3 3
8
7 16
V
V
V
V
V
2
بنابراین
بنابراین
3
3
9 9
3 3
9
8 21
V
V
V
3 ولت
V
3
بنابراین
3
9
9
پاسخ:
V1: V2: V3 = 127: 168: 217
2
3