تابع قدرت چیست؟ توابع ابتدایی پایه: خواص و نمودارهای آنها ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد زوج است

آیا با توابع آشنا هستید y=x، y=x 2، y=x 3، y=1/xو غیره همه این توابع موارد خاصی از تابع توان، یعنی تابع هستند y=xp، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است.
ویژگی ها و نمودار یک تابع توان به طور قابل توجهی به ویژگی های یک توان با توان واقعی و به ویژه به مقادیری بستگی دارد که xو صدرجه منطقی است x ص. اجازه دهید با توجه به موارد مختلف، به بررسی مشابهی ادامه دهیم
توان ص

1. شاخص p=2nیک عدد طبیعی زوج

y=x2n، کجا n- یک عدد طبیعی، دارای موارد زیر است

خواص:

• دامنه تعریف - همه اعداد واقعی، یعنی مجموعه R.
• مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y بزرگتر یا مساوی 0 است.
• تابع y=x2nحتی، زیرا x 2n=(- x) 2n
• تابع در بازه زمانی کاهش می یابد x<0 و در بازه افزایش می یابد x>0.

نمودار یک تابع y=x2nشکلی مشابه به عنوان مثال نمودار یک تابع دارد y=x 4.

2. نشانگر p=2n-1- عدد طبیعی فرد
در این مورد تابع قدرت y=x2n-1، جایی که یک عدد طبیعی است، دارای ویژگی های زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R;
• مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
• تابع y=x2n-1عجیب است، زیرا (- x) 2n-1=x2n-1;
• تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.

نمودار یک تابع y=x 2n-1 مانند نمودار تابع است y=x 3 .

3. اندیکاتور p=-2n، کجا n-عدد طبیعی

در این مورد، تابع قدرت y=x -2n =1/x 2nدارای خواص زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R، به جز x=0;
• مجموعه مقادیر - اعداد مثبت y>0؛
• تابع y =1/x2nحتی، زیرا 1/(-x)2n=1/x 2n;
• تابع در بازه x در حال افزایش است<0 и убывающей на промежутке x>0.

نمودار تابع y =1/x2nشکلی مشابه با نمودار تابع y دارد =1/x 2.

یک تابع توان، تابعی به شکل y=x n نامیده می شود (که y برابر با x به توان n خوانده می شود)، که در آن n مقداری داده شده است. موارد خاص توابع توان، توابعی به شکل y=x، y=x 2، y=x 3، y=1/x و بسیاری دیگر هستند. بیایید در مورد هر یک از آنها بیشتر به شما بگوییم.

تابع خطی y=x 1 (y=x)

نمودار یک خط مستقیم است که از نقطه (0;0) با زاویه 45 درجه نسبت به جهت مثبت محور Ox می گذرد.

نمودار در زیر ارائه شده است.

ویژگی های اصلی یک تابع خطی:

• تابع در حال افزایش است و در کل خط اعداد تعریف می شود.
• هیچ مقدار حداکثر یا حداقلی ندارد.

تابع درجه دوم y=x 2

نمودار تابع درجه دوم سهمی است.

ویژگی های اصلی یک تابع درجه دوم:

• 1. در x=0، y=0، و y>0 در x0
• 2. تابع درجه دوم در راس خود به حداقل مقدار خود می رسد. Ymin در x=0; همچنین باید توجه داشت که تابع دارای حداکثر مقدار نیست.
• 3. تابع در بازه (-∞;0] کاهش می یابد و در بازه و تحدب در بازه [0, + ∞) افزایش می یابد.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n فرد از نقاط (- 1 ; - 1)، (0 ; 0) و (1 ; 1) عبور می کند.

عملکرد قدرت

تعریف 5

تابع توان با فرمول y = x a تعریف می شود.

ظاهر نمودارها و خصوصیات تابع به مقدار توان بستگی دارد.

• وقتی یک تابع توان دارای یک توان صحیح a است، آنگاه نوع نمودار تابع توان و خصوصیات آن به زوج یا فرد بودن توان و همچنین نشانی که نما دارد بستگی دارد. بیایید همه این موارد خاص را با جزئیات بیشتر در زیر در نظر بگیریم.
• توان می تواند کسری یا غیر منطقی باشد - بسته به این، نوع نمودارها و ویژگی های تابع نیز متفاوت است. ما موارد خاص را با تعیین چندین شرط تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• یک تابع توان می تواند یک توان صفر داشته باشد، ما همچنین این مورد را با جزئیات بیشتری در زیر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت فرد باشد، به عنوان مثال، a = 1، 3، 5...

برای وضوح، نمودارهای این توابع توان را نشان می دهیم: y = x (رنگ گرافیکی سیاه) y = x 3 ( آبیگرافیک)، y = x 5 (رنگ قرمز نمودار)، y = x 7 (رنگ گرافیکی سبز). هنگامی که a = 1، دریافت می کنیم تابع خطی y = x.

تعریف 6

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد مثبت باشد

• تابع برای x ∈ در حال افزایش است (- ∞ ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است (به استثنای تابع خطی).
• نقطه عطف دارای مختصات (0 ; 0) است (به استثنای تابع خطی).
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت زوج باشد، به عنوان مثال، a = 2، 4، 6...

برای وضوح، نمودارهای این توابع قدرت را نشان می دهیم: y = x 2 (رنگ گرافیکی سیاه)، y = x 4 (رنگ آبی نمودار)، y = x 8 (رنگ قرمز نمودار). وقتی a = 2 باشد، یک تابع درجه دوم به دست می آوریم که نمودار آن یک سهمی درجه دوم است.

تعریف 7

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی مثبت باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• کاهش برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تابع دارای تقعر برای x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان را نشان می دهد y = x a وقتی a فرد باشد عدد منفی: y = x - 9 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 5 (رنگ آبی نمودار). y = x - 3 (رنگ قرمز نمودار). y = x - 1 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = - 1 باشد، نسبت معکوس را بدست می آوریم که نمودار آن هذلولی است.

تعریف 8

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد منفی باشد:

وقتی x = 0، ناپیوستگی از نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = - ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 1، - 3، - 5، .... بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• محدوده: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع فرد است زیرا y (- x) = - y (x);
• تابع برای x ∈ - ∞ در حال کاهش است. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0) و تقعر برای x ∈ (0 ; + ∞) است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

k = lim x → ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، زمانی که a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان y = x a را در زمانی که a یک عدد منفی زوج است نشان می دهد: y = x - 8 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 4 (رنگ آبی نمودار). y = x - 2 (رنگ قرمز نمودار).

تعریف 9

ویژگی های یک تابع توان زمانی که توان آن حتی منفی است:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

وقتی x = 0، ناپیوستگی نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = + ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 2، - 4، - 6، …. بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• تابع زوج است زیرا y(-x) = y(x);
• تابع برای x ∈ (- ∞ ; 0) افزایش و برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع در x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0، زیرا:

k = lim x ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 وقتی a = - 2، - 4، - 6، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

از همان ابتدا، به جنبه زیر توجه کنید: در موردی که a یک کسر مثبت با مخرج فرد است، برخی از نویسندگان بازه - ∞ را به عنوان دامنه تعریف این تابع توان در نظر می گیرند. + ∞، با این شرط که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. روشن در حال حاضرنویسندگان بسیاری انتشارات آموزشیدر جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را تعیین نمی کنند، جایی که توان کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان است. علاوه بر این، دقیقاً به این موقعیت پایبند خواهیم بود: مجموعه [ 0 ; + ∞). توصیه به دانش آموزان: برای جلوگیری از اختلاف نظر، نظر معلم را در این مورد بیابید.

بنابراین، اجازه دهید به تابع قدرت نگاه کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی باشد، مشروط بر اینکه 0 باشد< a < 1 .

اجازه دهید توابع قدرت را با نمودارها نشان دهیم y = x a وقتی a = 11 12 (رنگ گرافیکی سیاه). a = 5 7 (رنگ قرمز نمودار)؛ a = 1 3 (رنگ آبی نمودار)؛ a = 2 5 (رنگ سبز نمودار).

سایر مقادیر توان a (0 ارائه شده است< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

تعریف 10

ویژگی های تابع توان در 0< a < 1:

• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ محدب است (0 ; + ∞);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی غیر صحیح باشد، مشروط بر اینکه a > 1 باشد.

اجازه دهید تابع توان را با نمودارها نشان دهیم y = x a تحت شرایط داده شده با استفاده از توابع زیر به عنوان مثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (به ترتیب نمودارهای سیاه، قرمز، آبی، سبز).

سایر مقادیر توان a، با یک > 1، نمودار مشابهی را نشان می دهد.

تعریف 11

ویژگی های تابع توان برای > 1:

• دامنه تعریف: x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• این تابع- عملکرد نمای کلی(نه فرد است و نه زوج)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ (0 ; + ∞) تقعر دارد (وقتی 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

لطفاً توجه داشته باشید هنگامی که a یک کسر منفی با مخرج فرد است، در آثار برخی از نویسندگان این دیدگاه وجود دارد که دامنه تعریف در این مورد فاصله - ∞ است. 0 ∪ (0 ; + ∞) با این هشدار که توان a یک کسری تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر نویسندگان مواد آموزشیدر جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به صورت کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان تعیین نکنید. علاوه بر این، ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند هستیم: مجموعه (0؛ + ∞) را به عنوان دامنه تعریف توابع توان با توان های منفی کسری در نظر می گیریم. توصیه برای دانش آموزان: دیدگاه معلم خود را در این مرحله برای جلوگیری از اختلاف نظر روشن کنید.

بیایید موضوع را ادامه دهیم و تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a ارائه شده است: - 1< a < 0 .

اجازه دهید رسم نمودارهای توابع زیر را ارائه دهیم: y = x - 5 6، y = x - 2 3، y = x - 1 2 2، y = x - 1 7 (سیاه، قرمز، آبی، رنگ سبز از خطوط، به ترتیب).

تعریف 12

ویژگی های تابع توان در - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

رسم زیر نمودارهایی از توابع توان y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (به ترتیب رنگ‌های سیاه، قرمز، آبی، سبز منحنی‌ها) را نشان می‌دهد.

تعریف 13

ویژگی های تابع توان برای a< - 1:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع برای x ∈ 0 تقعر دارد. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0.
• نقطه عبور تابع: (1; 1) .

وقتی a = 0 و x ≠ 0، تابع y = x 0 = 1 را به دست می آوریم، که خطی را که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود را مشخص می کند (توافق شد که به عبارت 0 0 هیچ معنایی داده نشود. ).

تابع نمایی شکل دارد y = a x، که در آن a > 0 و a ≠ 1، و نمودار این تابع بر اساس مقدار پایه a متفاوت به نظر می رسد. بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم.

اول، بیایید به وضعیت زمانی که پایگاه نگاه کنیم تابع نماییدارای مقدار از صفر تا یک (0< a < 1) . یک مثال خوب، نمودارهای توابع برای a = 1 2 (رنگ آبی منحنی) و a = 5 6 (رنگ قرمز منحنی) است.

نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه در شرایط 0 ظاهری مشابه خواهند داشت.< a < 1 .

تعریف 14

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن کمتر از یک است در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به + ∞.

حال حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد (a > 1).

اجازه دهید این مورد خاص را با نموداری از توابع نمایی y = 3 2 x (رنگ آبی منحنی) و y = e x (رنگ قرمز نمودار) نشان دهیم.

سایر مقادیر پایه، واحدهای بزرگتر، ظاهری مشابه به نمودار تابع نمایی می دهد.

تعریف 15

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف - کل مجموعه اعداد واقعی;
• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن بزرگتر از یک است به صورت x ∈ - ∞ افزایش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر در x ∈ - ∞ است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به - ∞.
• نقطه عبور تابع: (0; 1) .

تابع لگاریتمی به شکل y = log a (x)، که در آن a > 0، a ≠ 1 است.

چنین تابعی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود: برای x ∈ 0; + ∞ .

برنامه ریزی کنید تابع لگاریتمیدارد نوع متفاوت، بر اساس مقدار پایه a.

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

سایر مقادیر پایه، نه واحدهای بزرگتر، نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 16

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . همانطور که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به +∞ تمایل دارند.
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• لگاریتمی
• تابع برای x ∈ 0 تقعر دارد. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

حال بیایید به حالت خاصی که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک است نگاه کنیم: a > 1 . رسم زیر نمودارهای توابع لگاریتمی y = log 3 2 x و y = ln x (به ترتیب رنگ های آبی و قرمز نمودارها) را نشان می دهد.

مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 17

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . از آنجایی که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به - ∞ تمایل دارند.
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞ (کل مجموعه اعداد واقعی)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع لگاریتمی برای x ∈ 0 در حال افزایش است. + ∞ ;
• تابع برای x ∈ 0 محدب است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقطه عبور تابع: (1; 0) .

توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. بیایید به ویژگی های هر یک از آنها و گرافیک مربوطه نگاه کنیم.

به طور کلی، تمام توابع مثلثاتی با خاصیت تناوب مشخص می شوند، یعنی. زمانی که مقادیر تابع در تکرار می شوند معانی مختلفآرگومان هایی که با دوره f (x + T) = f (x) (T - دوره) با یکدیگر متفاوت هستند. بنابراین، مورد "کوچکترین دوره مثبت" به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه می شود. علاوه بر این، مقادیر آرگومان را نشان خواهیم داد که در آن تابع مربوطه صفر می شود.

1. تابع سینوس: y = sin(x)

نمودار این تابع را موج سینوسی می نامند.

تعریف 18

ویژگی های تابع سینوس:

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• تابع زمانی که x = π · k ناپدید می شود، جایی که k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• تابع برای x ∈ - π 2 + 2 π · k در حال افزایش است. π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ π 2 + 2 π · k. 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• تابع سینوس دارای ماکزیمم های محلی در نقاط π2 + 2 π · k است. 1 و حداقل های محلی در نقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، k ∈ Z;
• تابع سینوس مقعر است وقتی x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ 2 π · k; π + 2 π k، k ∈ Z;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس: y = cos(x)

نمودار این تابع را موج کسینوس می نامند.

تعریف 19

ویژگی های تابع کسینوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• کوچکترین دوره مثبت: T = 2 π.
• محدوده مقادیر: y ∈ - 1 ; 1 ;
• این تابع زوج است، زیرا y (- x) = y (x);
• تابع برای x ∈ - π + 2 π · k در حال افزایش است. 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ 2 π · k. π + 2 π k، k ∈ Z;
• تابع کسینوس دارای حداکثرهای محلی در نقاط 2 π · k است. 1، k ∈ Z و حداقل های محلی در نقاط π + 2 π · k. - 1، k ∈ z;
• تابع کسینوس مقعر است وقتی x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z و محدب وقتی x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0، k∈ Z
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس: y = t g (x)

نمودار این تابع نامیده می شود مماس

تعریف 20

ویژگی های تابع مماس:

• دامنه تعریف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• رفتار تابع مماس در مرز دامنه تعریف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ ، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π 2 + π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.
• تابع زمانی که x = π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع با افزایش - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، k ∈ Z;
• تابع مماس برای x ∈ مقعر است [π · k; π 2 + π · k ) ، k ∈ Z و محدب برای x ∈ (- π 2 + π · k ؛ π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط عطف دارای مختصات π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;

1. تابع کوتانژانت: y = c t g (x)

نمودار این تابع کوتانژانتوئید نامیده می شود. .

تعریف 21

ویژگی های تابع کوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ (π · k ؛ π + π · k) ، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).

رفتار تابع کتانژانت در مرز دامنه تعریف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.

• کوچکترین دوره مثبت: T = π.
• تابع زمانی که x = π 2 + π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع برای x ∈ π · k در حال کاهش است. π + π k، k ∈ Z;
• تابع کوتانژانت برای x∈ مقعر است (π · k؛ π 2 + π · k ]، k ∈ Z و محدب برای x ∈ [ - π 2 + π · k ؛ π · k)، k ∈ Z .
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;
• مجانب مایل یا افقی وجود ندارد.

معکوس توابع مثلثاتی- اینها آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت هستند. اغلب، به دلیل وجود پیشوند "قوس" در نام، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. .

1. تابع سینوس قوس: y = a rc sin (x)

تعریف 22

ویژگی های تابع آرکسین:

• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع آرکسین دارای یک تقعر در x ∈ 0 است. 1 و تحدب برای x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط عطف دارای مختصات (0; 0) هستند که همچنین صفر تابع است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس قوس: y = a r c cos (x)

تعریف 23

ویژگی های تابع کسینوس قوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - 1 ; 1 ;
• محدوده: y ∈ 0 ; π;
• این تابع یک شکل کلی است (نه زوج و نه فرد).
• تابع در کل دامنه تعریف در حال کاهش است.
• تابع کسینوس قوس دارای یک تقعر در x ∈ - 1 است. 0 و تحدب برای x ∈ 0. 1 ;
• نقاط عطف دارای مختصات 0 هستند. π 2;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع قطبی: y = a r c t g (x)

تعریف 24

ویژگی های تابع قطبی:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده مقادیر: y ∈ - π 2 ; π 2;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش است.
• تابع متقاطع دارای تقعر برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تحدب برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است که همچنین صفر تابع است.
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = - π 2 به عنوان x → - ∞ و y = π 2 به عنوان x → + ∞ هستند (در شکل، مجانب خطوط سبز هستند).

1. تابع مماس قوس: y = a r c c t g (x)

تعریف 25

ویژگی های تابع آرکوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده: y ∈ (0; π) ;
• این تابع یک شکل کلی است.
• تابع در کل دامنه تعریف در حال کاهش است.
• تابع کتانژانت قوس دارای یک تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) و تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطه عطف دارای مختصات 0 است. π 2;
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = π در x → - ∞ (خط سبز در نقاشی) و y = 0 در x → + ∞ هستند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

توابع y = ax، y = ax 2، y = a/x انواع خاصی از تابع توان در n = 1, n = 2, n = -1 .

در صورت nعدد کسری ص/ qبا مخرج زوج qو عدد فرد r، سپس مقدار ممکن است دو علامت داشته باشد و نمودار قسمت دیگری در پایین محور x دارد X، و به قسمت بالایی متقارن است.

نمودار تابع دو مقداری y = ± 2x 1/2 را می بینیم، یعنی. با یک سهمی با محور افقی نشان داده شده است.

نمودارهای تابع y = xnدر n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . این نمودارها از نقطه (1؛ 1) عبور می کنند.

چه زمانی n = -1 دریافت می کنیم هایپربولی. در n < - 1 نمودار تابع توان ابتدا در بالای هذلولی قرار دارد، یعنی. بین x = 0و x = 1، و سپس پایین بیاورید (در x > 1). اگر n> -1 نمودار برعکس می شود. ارزش های منفی Xو مقادیر کسری nمشابه برای مثبت n.

همه نمودارها به طور نامحدود به محور x تقریب دارند X،و به محور ترتیب دربدون دست زدن به آنها به دلیل شباهت آنها به هذلولی، این نمودارها هذلولی نامیده می شوند n هفتمسفارش دهید.