مقدمه

در ریاضیات و کاربردهای آن در علم و فناوری، توابع نمایی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند. این به ویژه با این واقعیت توضیح داده می شود که بسیاری از پدیده های مورد مطالعه در علوم طبیعی جزو فرآیندهای به اصطلاح رشد ارگانیک هستند که در آن نرخ تغییر عملکردهای درگیر در آنها با مقادیر خود عملکردها متناسب است. .

اگر آن را از طریق یک تابع و از طریق یک آرگومان نشان دهیم، آنگاه قانون دیفرانسیل فرآیند رشد آلی را می توان به شکلی نوشت که ضریب تناسب ثابت معینی است.

ادغام این معادله منجر به تصمیم کلیبه عنوان یک تابع نمایی

اگر شرط اولیه را روی آن تنظیم کنید، می توانید یک ثابت دلخواه را تعیین کنید و بنابراین، راه حل خاصی را پیدا کنید که قانون انتگرال فرآیند مورد بررسی را نشان می دهد.

فرآیندهای رشد ارگانیک، تحت مفروضات ساده‌سازی خاصی، شامل پدیده‌هایی مانند تغییر می‌شوند. فشار اتمسفربسته به ارتفاع بالای سطح زمین، واپاشی رادیواکتیو، سرد شدن یا گرم شدن بدن در داخل محیط زیستدمای ثابت، تک مولکولی واکنش شیمیایی(به عنوان مثال، انحلال یک ماده در آب)، که در آن قانون عمل جرم اتفاق می افتد (سرعت واکنش متناسب با مقدار موجود واکنش دهنده است)، تکثیر میکروارگانیسم ها و بسیاری دیگر.

افزایش در مقدار پول به دلیل تعهدی روی آن بهره مرکب(بهره بر بهره) نیز فرآیند رشد ارگانیک است.

این نمونه ها را می شد ادامه داد.

همراه با توابع نمایی مجزا، از ترکیبات مختلفی در ریاضیات و کاربردهای آن استفاده می شود. توابع نماییکه در این میان برخی ترکیبات خطی و کسری-خطی توابع و به اصطلاح توابع هذلولی از اهمیت خاصی برخوردار است. شش مورد از این توابع وجود دارد که نام ها و عناوین ویژه زیر برای آنها معرفی شده است:

(سینوس هایپربولیک)،

(کسینوس هایپربولیک)،

(تانژانت هذلولی)،

(کتانژانت هیپربولیک)،

(قطع هذلولی)،

(سکانت هذلولی).

این سوال پیش می آید که چرا دقیقاً این نام ها داده شده است و در اینجا یک هذلولی و نام توابع شناخته شده از مثلثات وجود دارد: سینوس، کسینوس و غیره؟ معلوم می شود که روابط اتصال توابع مثلثاتی با مختصات نقاط روی دایره ای با شعاع واحد مشابه روابطی است که توابع هذلولی را با مختصات نقاط یک هذلولی متساوی الاضلاع با یک واحد نیمه محور متصل می کند. این نام توابع هذلولی را توجیه می کند.

توابع هذلولی

توابع ارائه شده توسط فرمول ها به ترتیب کسینوس هایپربولیک و سینوس هایپربولیک نامیده می شوند.

این توابع تعریف شده و پیوسته هستند و - یک تابع زوج است و - یک تابع فرد است.

شکل 1.1 - نمودارهای تابع

از تعریف توابع هذلولی چنین است که:

بر اساس قیاس با توابع مثلثاتی، مماس هذلولی و کوتانژانت به ترتیب با فرمول تعیین می شوند.

تابع تعریف شده و پیوسته روشن است و تابع در مجموعه با نقطه سوراخ شده تعریف شده و پیوسته است. هر دو تابع فرد هستند، نمودارهای آنها در شکل های زیر ارائه شده است.

شکل 1.2 - نمودار تابع

شکل 1.3 - نمودار تابع

می توان نشان داد که توابع و به شدت در حال افزایش هستند و تابع به شدت در حال کاهش است. بنابراین، این توابع معکوس هستند. اجازه دهید توابع را به ترتیب معکوس به آنها نشان دهیم.

بیایید تابع را معکوس تابع در نظر بگیریم، i.e. تابع بیایید آن را از طریق موارد ابتدایی بیان کنیم. با حل معادله به طور نسبی، از Where، پس از آن، به دست می آوریم

با جایگزینی و با، فرمول تابع معکوس سینوس هایپربولیک را پیدا می کنیم.

، صفحه 6

11 توابع اساسی یک متغیر مختلط

بیایید تعریف یک توان پیچیده را به یاد بیاوریم - . سپس

گسترش سری Maclaurin. شعاع همگرایی این سری +∞ است، به این معنی که نمایی مختلط در کل صفحه مختلط تحلیلی است و

(exp z)"=exp z؛ exp 0=1. (2)

تساوی اول در اینجا، برای مثال، از قضیه تمایز ترم به ترم سری توانی ناشی می شود.

11.1 توابع مثلثاتی و هذلولی

سینوس یک متغیر مختلطتابع نامیده می شود

کسینوس یک متغیر مختلطیک تابع وجود دارد

سینوس هایپربولیک یک متغیر مختلطبه این صورت تعریف می شود:

کسینوس هایپربولیک یک متغیر مختلط-- این یک تابع است

اجازه دهید برخی از ویژگی های توابع جدید معرفی شده را یادداشت کنیم.

الفاگر x∈ ℝ، پس cos x، sin x، cosh x، sh x∈ ℝ.

ب.ارتباط زیر بین توابع مثلثاتی و هذلولی وجود دارد:

cos iz=ch z; sin iz=ish z، ch iz=cos z; sh iz=isin z.

ب- هویت های مثلثاتی و هذلولی اساسی:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

اثبات هویت هذلولی اصلی.

مبانی هویت مثلثاتیهنگام در نظر گرفتن ارتباط بین توابع مثلثاتی و هذلولی از هویت اصلی هذلولی ناشی می شود (ویژگی B را ببینید)

جی فرمول های اضافه:

به طور خاص،

D.برای محاسبه مشتقات توابع مثلثاتی و هذلولی، باید قضیه تمایز ترم به ترم سری توانی را اعمال کرد. دریافت می کنیم:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (چ ز)"=ش ز؛ (ش ز)"=چ ز.

E.توابع cos z، ch z زوج هستند و توابع sin z، sin z فرد هستند.

J. (فرکانس)تابع e z تناوبی با دوره 2π i است. توابع cos z، sin z تناوبی با دوره 2π و توابع ch z، sin z تناوبی با دوره 2πi هستند. علاوه بر این،

با اعمال فرمول های جمع، به دست می آوریم

ز. گسترش به بخش های واقعی و خیالی:

اگر یک تابع تحلیلی تک مقداری f(z) یک دامنه D را به صورت دوگانه روی یک دامنه G نگاشت کند، D دامنه یک ظرفیتی نامیده می شود.

و.منطقه D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

اثبات از رابطه (5) نتیجه می شود که نگاشت exp:D k → ℂ تزریقی است. فرض کنید w هر عدد مختلط غیر صفر باشد. سپس معادلات e x =|w| ​​را حل کنید و e iy =w/|w| با متغیرهای واقعی x و y (y از نیمه بازه انتخاب می شود). گاهی در نظر گرفته می شود... ... فرهنگ لغت دایره المعارف F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

توابع معکوس به توابع هذلولی (به توابع هیپربولیک مراجعه کنید) sh x, ch x, th x; آنها با فرمول هایی بیان می شوند (بخوانید: مساحت هذلولی سینوسی، مساحت کسینوس هذلولی، ناحیه مماس... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

توابع معکوس به هذلولی. توابع؛ بیان شده توسط فرمول ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

توابع هذلولی معکوس به عنوان توابع معکوس توابع هذلولی تعریف می شوند. این توابع مساحت بخش هذلولی واحد x2 − y2 = 1 را به همان روشی که توابع مثلثاتی معکوس طول را تعیین می کنند...

کتاب ها

• توابع هذلولی، Yanpolsky A.R. این کتاب خصوصیات توابع هذلولی و معکوس هذلولی را تشریح می کند و روابط بین آنها و سایر توابع ابتدایی را بیان می کند. کاربرد توابع هذلولی در ...

مماس، کتانژانت

تعاریف توابع هذلولی، حوزه تعاریف و مقادیر آنها

sh x- سینوس هایپربولیک
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- کسینوس هذلولی
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
امین x- مماس هذلولی
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- کوتانژانت هذلولی
، x ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .

نمودارهای توابع هذلولی

نمودار سینوسی هایپربولیک y = sh x

نمودار کسینوس هذلولی y = ch x

نمودار مماس هذلولی y = امین x

نمودار کوتانژانت هذلولی y = cth x

فرمول هایی با توابع هذلولی

ارتباط با توابع مثلثاتی

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = من گناه z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
در اینجا i واحد خیالی است، i 2 = - 1 .

با اعمال این فرمول ها برای توابع مثلثاتی، فرمول های مربوط به توابع هذلولی را به دست می آوریم.

برابری

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

تابع ch(x)- حتی توابع sh(x), th (x), cth(x)- عجیب و غریب

تفاوت مربع ها

ch 2 x - sh 2 x = 1.

فرمول های مجموع و تفاوت آرگومان ها

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

فرمول های محصولات سینوس و کسینوس هایپربولیک

,
,
,

,
,
.

فرمول های مجموع و تفاضل توابع هذلولی

,
,
,
,
.

رابطه بین سینوس و کسینوس هذلولی و مماس و کوتانژانت

, ,
, .

مشتقات

,

انتگرال های sh x، ch x، th x، cth x

,
,
.

گسترش سری

توابع معکوس

آراسینوس

در - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

آراکوزین

در 1 ≤ x< ∞ و 0 ≤ y< ∞ فرمول های زیر اعمال می شود:
,
.

شاخه دوم ناحیه کوسینی در واقع شده است 1 ≤ x< ∞ و - ∞< y ≤ 0 :
.

منطقه مماس

در - 1 < x < 1 و - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

توابع هایپربولیکسینوس هذلولی (sh x) و کسینوس (сh x) با برابری های زیر تعریف می شوند:

مماس هایپربولیک و کوتانژانت با قیاس با تعریف می شوند مماس مثلثاتیو کوتانژانت:

سکانت هایپربولیک و کوسکانت به طور مشابه تعریف می شوند:

فرمول های زیر اعمال می شود:

خواص توابع هذلولی از بسیاری جهات شبیه به (نگاه کنید به) است. معادلات x=cos t، y=sin t دایره x²+y² = 1 را تعریف می کند. معادلات x=сh t، y=sh t هذلولی x² را تعریف می کند - y²=1. همانطور که توابع مثلثاتی از دایره ای با شعاع واحد تعیین می شوند، توابع هذلولی نیز از هذلولی متساوی الساقین x2 - y²=1 تعیین می شوند. آرگومان t مساحت دوتایی مثلث منحنی سایه دار OME است (شکل 48)، به طور مشابه برای توابع دایره ای (مثلثاتی)، آرگومان t از نظر عددی برابر با مساحت دوگانه مثلث منحنی OKE است (شکل 1). 49):

برای یک دایره

برای هذلولی

قضایای جمع برای توابع هذلولی مشابه قضایای جمع برای توابع مثلثاتی:

اگر متغیر مختلط r را به عنوان آرگومان x در نظر بگیریم به راحتی قابل مشاهده است. از ریشه √-1. توابع هذلولی sh x، و همچنین ch x: می توانند مقادیر زیادی را به دلخواه بگیرند (بنابراین، به طور طبیعی، واحدهای بزرگ) در مقابل توابع مثلثاتی توابع گناه x، cos x، که برای مقادیر واقعی نمی تواند بزرگتر از یک در مقدار مطلق باشد.
توابع هذلولی در هندسه لوباچفسکی نقش دارند (نگاه کنید به)، آنها در مطالعه استحکام مواد، در مهندسی برق و سایر شاخه های دانش استفاده می شوند. همچنین نمادهایی برای توابع هذلولی در ادبیات وجود دارد مانند sinh x. cosh x; tgh x.