وابستگی خطی بردارها. ترکیب خطی بردارها خطی بودن بردارها. همسطح بودن بردارها ترکیبات خطی طول یک ترکیب خطی معین از بردارها را بیابید

ترکیب خطی بردارها بیانی از شکل زیر است: ، جایی که اعداد حقیقی به نام ضرایب ترکیب خطی هستند.

تعیین استقلال خطی بردارها

اگر ترکیب خطی این بردارها λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An فقط برای مجموعه صفر برابر بردار صفر باشد، سیستمی از بردارهای A 1 , A 2 ,...A n مستقل خطی نامیده می شود. اعداد λ1، λ2،...، λn، یعنی سیستم معادلات: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ یک جواب صفر منحصر به فرد دارد.

تعیین وابستگی خطی بردارها

دو بردار صفحه به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر هم خط باشند.
دو بردار اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند، خطی نامیده می شوند

قضیه وابستگی خطی بردارها

قضیه نمایش یک رشته به صورت ترکیب خطی از رشته های مستقل

هر ردیف از ماتریس A را می توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف های مستقل ماتریس A نشان داد.

بگذارید ماتریس A دارای رتبه r باشد، سپس یک مینور از مرتبه r متفاوت از 0 وجود دارد، ردیف i و ستون j را به این مینور اضافه کنید.

یک 11	یک 12	…	یک 1r	a 1j
یک 21	یک 22	…	یک 2r	یک 2j
…	…	…	…	…
یک 41	یک 42	…	یک 4r	یک 4j
یک i1	یک i2	…	یک IR	یک ij

M r =
M r+1 =0; چون رتبه A=r (به عنوان مینور با مرتبه بالاتر از r این مینور را می توان در امتداد آخرین ستون گسترش داد).

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

همه چیز را بر M r تقسیم کنید و A ij را معرفی کنید /((-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j + λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j، که j=r+1 این برابری برای j=1 m نیز معتبر است.

81. قضیه نشان دادن ستون به صورت ترکیب خطی مستقل ستون ها

قضیه رابطه بین رتبه یک ماتریس و تعداد سطر/ستون مستقل

رتبه ماتریس A برابر است با تعداد سطرها/ستون های مستقل آن. اجازه دهید ماتریس A (m*n) دارای رتبه r باشد

یک 11	یک 12	…	یک 1r
یک 21	یک 22	…	یک 2r
…	…	…	…
یک 21	یک 22	…	یک 2r

یک مینور از مرتبه r = 0 وجود دارد. (e 1….. e r) - مستقل خطی

اجازه دهید عکس آن وجود داشته باشد: e r = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

بیایید تحولات الکتریکی را انجام دهیم. بدون تغییر تعیین کننده این جزئی (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 - λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

بنابراین، ما آخرین ردیف متشکل از 0 را دریافت می کنیم، اما پس از آن M r = 0، فرض ما اشتباه است!

عوامل تعیین کننده

خواص عوامل تعیین کننده شماره 01. (انتقال)

تعیین کننده ماتریس جابجا شده با تعیین کننده ماتریس اصلی برابر است: .

اثبات. طبق تعریف،

هنگام انتقال یک ماتریس الففقط یک بازآرایی از شرایط در این مجموع رخ می دهد.

خواص عوامل تعیین کننده شماره 02. (بازآرایی سطرها یا ستون ها).

اگر هر دو سطر یا دو ستون در دترمینان دوباره مرتب شوند، دترمینان علامت خود را به عکس تغییر می دهد.

اثبات. طبق قضیه 1، هر جابجایی، برابری جایگشت را تغییر می دهد. در نتیجه، هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (ستون)، هر جمله از مجموع علامت خود را به علامت مقابل تغییر می دهد.

در این مقاله به موارد زیر خواهیم پرداخت:

• بردارهای خطی چیست؟
• شرایط همخطی بودن بردارها چیست؟
• چه ویژگی هایی از بردارهای خطی وجود دارد.
• وابستگی خطی بردارهای خطی چیست؟

تعریف 1

بردارهای خطی بردارهایی هستند که موازی یک خط هستند یا روی یک خط قرار می گیرند.

مثال 1

شرایط همخطی بودن بردارها

اگر هر یک از شرایط زیر درست باشد دو بردار هم خط هستند:

• شرط 1 . اگر عدد λ وجود داشته باشد به طوری که a = λ b باشد، بردارهای a و b هم خط هستند.
• شرط 2 . بردارهای a و b با نسبتهای مختصات مساوی هستند:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ؛ b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• شرط 3 . بردارهای a و b هم خط هستند به شرطی که ضرب ضربدری و بردار صفر برابر باشند:

a ∥ b ⇔ a، b = 0

تبصره 1

شرط 2 اگر یکی از مختصات برداری صفر باشد، قابل استفاده نیست.

تبصره 2

شرایط 3 فقط برای آن دسته از بردارهایی که در فضا مشخص شده اند اعمال می شود.

نمونه هایی از مسائل برای مطالعه هم خطی بردارها

مثال 1

ما بردارهای a = (1; 3) و b = (2; 1) را برای همخطی بودن بررسی می کنیم.

چگونه حل کنیم؟

در این حالت لازم است از شرط هم خطی 2 استفاده شود. برای بردارهای داده شده به این صورت است:

برابری نادرست است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که بردارهای a و b غیر خطی هستند.

پاسخ دهید : a | | ب

مثال 2

چه مقدار m از بردار a = (1; 2) و b = (- 1; m) برای هم خطی بودن بردارها لازم است؟

چگونه حل کنیم؟

با استفاده از شرط همخطی دوم، بردارها در صورتی هم خط خواهند بود که مختصات آنها متناسب باشد:

این نشان می دهد که m = - 2.

پاسخ: m = - 2 .

معیارهای وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم های برداری

قضیه

سیستمی از بردارها در فضای برداری فقط در صورتی به صورت خطی وابسته است که یکی از بردارهای سیستم را بتوان بر حسب بردارهای باقیمانده این سیستم بیان کرد.

اثبات

اجازه دهید سیستم e 1 , e 2 , . . . ، e n به صورت خطی وابسته است. اجازه دهید یک ترکیب خطی از این سیستم برابر با بردار صفر بنویسیم:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

که در آن حداقل یکی از ضرایب ترکیبی برابر با صفر نباشد.

بگذارید a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . ، n.

هر دو طرف تساوی را بر یک ضریب غیر صفر تقسیم می کنیم:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

بیایید نشان دهیم:

A k - 1 a m , که در آن m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

در این مورد:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

یا e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

نتیجه این است که یکی از بردارهای سیستم از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان می شود. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

کفایت

بگذارید یکی از بردارها به صورت خطی از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان شود:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

بردار e k را به سمت راست این تساوی منتقل می کنیم:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

از آنجایی که ضریب بردار e k برابر است با - 1 ≠ 0، ما یک نمایش غیر پیش پا افتاده از صفر را توسط سیستمی از بردارهای e 1, e 2, دریافت می کنیم. . . ، e n ، و این به نوبه خود به این معنی است که این سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

نتیجه:

• یک سیستم از بردارها زمانی مستقل خطی است که هیچ یک از بردارهای آن را نتوان بر حسب تمام بردارهای دیگر سیستم بیان کرد.
• سیستمی از بردارها که شامل یک بردار صفر یا دو بردار مساوی است به صورت خطی وابسته است.

ویژگی های بردارهای وابسته به خط

1. برای بردارهای 2 و 3 بعدی، شرط زیر برقرار است: دو بردار وابسته خطی هم خط باشند. دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند.
2. برای بردارهای سه بعدی، شرط زیر برقرار است: سه بردار وابسته خطی همسطح هستند. (3 بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند).
3. برای بردارهای n بعدی، شرط زیر برقرار است: n + 1 بردار همیشه به صورت خطی وابسته هستند.

نمونه هایی از حل مسائل مربوط به وابستگی خطی یا استقلال خطی بردارها

مثال 3

بیایید بردارهای a = 3، 4، 5، b = - 3، 0، 5، c = 4، 4، 4، d = 3، 4، 0 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. بردارها به صورت خطی وابسته هستند زیرا ابعاد بردارها کمتر از تعداد بردارها است.

مثال 4

بیایید بردارهای a = 1، 1، 1، b = 1، 2، 0، c = 0، - 1، 1 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. مقادیر ضرایبی را پیدا می کنیم که در آنها ترکیب خطی برابر با بردار صفر خواهد بود:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

معادله برداری را به صورت خطی می نویسیم:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ما این سیستم را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

از خط 2 ما 1 را کم می کنیم ، از 3 - 1 را کم می کنیم:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

از خط 1، 2 را کم می کنیم، به خط 3، 2 را اضافه می کنیم:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

از راه حل نتیجه می شود که سیستم راه حل های زیادی دارد. این بدان معنی است که ترکیبی غیر صفر از مقادیر چنین اعداد x 1، x 2، x 3 وجود دارد که ترکیب خطی a، b، c برابر با بردار صفر است. بنابراین، بردارهای a، b، c هستند وابسته به خط ​​​​​​​

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مطابق با این معیار مبادله، یک ترکیب خطی از حداقل و حداکثر سود برای هر راه حل تعیین می شود.  

گزینه دوم شامل تمرکز بر یک معیار است. می‌توان آن را به عنوان یکی از شاخص‌های استانداردی انتخاب کرد که تفسیر اقتصادی کاملاً قابل فهمی دارد (مثلاً یکی از نسبت‌های نقدینگی، نسبت پوشش بهره و غیره) یا این معیار در قالب برخی از شاخص‌های مصنوعی که تعمیم می‌دهد، ایجاد شود. معیارهای خاص برای این معیار تعمیم یافته، یک مقدار آستانه تعیین می شود که با آن مقدار واقعی معیار محاسبه شده برای وام گیرنده بالقوه مقایسه می شود. مشکل اصلی در اجرای این رویکرد در نحوه ساخت شاخص خلاصه نهفته است. اغلب، این ترکیبی خطی از معیارهای خاص است که هر یک از آنها در یک شاخص کلی با ضریب وزنی مشخصی گنجانده شده است. این رویکرد بود که توسط E. Altman هنگام توسعه معیار Z برای پیش‌بینی ورشکستگی استفاده شد.  

سطر e به ترکیب خطی سطرهای e, e-..., em از ماتریس گفته می شود اگر  

مفهوم ترکیب خطی، وابستگی خطی و استقلال بردارهای e، e2. f em مشابه مفاهیم مربوط به سطرهای ماتریس e, e2,..., em (11.5) هستند.  

همانطور که در نشان داده شده است، برای مجموعه های مجاز محدود و محدب (2.14)، بردار x% 0 که محدودیت A xk bk را برآورده می کند، می تواند به عنوان یک ترکیب خطی محدب از مجموعه محدودی از نقاط انتهایی نشان داده شود.  

روش بهینه سازی برای محاسبه مقادیر محدود عناصر a و ترکیبات خطی آنها تا حد زیادی فاقد این معایب است.  

بدیهی است که نقطه (X1, d) که از ترکیب خطی (A/, d) و (L.", d") به دست می آید نیز راه حلی برای سیستم (4.43) ، (4.44) است.  

در این بخش قوانین محاسبه انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی چند متغیره که ترکیبی خطی از متغیرهای تصادفی همبسته است را در نظر خواهیم گرفت.  

در نتیجه، برای یک ترکیب خطی از تعداد دلخواه از متغیرهای تصادفی به دست می‌آوریم  

بیایید موردی را در نظر بگیریم که سرمایه گذاری در چندین دارایی (پرتفوی) انجام می شود. پورتفولیو ترکیبی خطی از دارایی ها است که هر کدام بازده مورد انتظار و پراکندگی بازده خود را دارند.  

بر خلاف ترکیب خطی دلخواه متغیرهای تصادفی، وزن دارایی تابع یک قانون عادی سازی است  

پاراگراف قبلی نشان داد که وقتی ضریب همبستگی بین دارایی ها کمتر از 1 باشد، تنوع پرتفوی می تواند رابطه بین بازده مورد انتظار و ریسک مورد انتظار را بهبود بخشد. این به این دلیل است که بازده مورد انتظار پرتفوی ترکیبی خطی از بازده مورد انتظار دارایی های موجود در پرتفوی است و واریانس پرتفوی تابع درجه دوم r.s است. در سبد دارایی ها گنجانده شده است.  

ساده ترین دستگاه تشخیص الگوی متعلق به کلاس شبکه های مورد بررسی، یک نورون واحد است که بردار ویژگی ورودی را بسته به ترکیب خطی متغیرهای ورودی به یک پاسخ اسکالر تبدیل می کند.  

از آنجایی که تابع تفکیک کننده تنها به ترکیب خطی ورودی ها بستگی دارد، نورون یک تشخیص دهنده خطی است. در برخی از ساده‌ترین موقعیت‌ها، یک تشخیص‌دهنده خطی بهترین حالت ممکن است، یعنی در موردی که احتمال بردارهای ورودی متعلق به کلاس k توسط توزیع‌های گاوسی داده می‌شود.  

به‌طور دقیق‌تر، خروجی‌های شبکه Oya ترکیب‌های خطی اولین مولفه‌های اصلی Ш هستند. برای به دست آوردن دقیقاً خود مؤلفه‌های اصلی، کافی است که جمع کل خروجی‌ها را در قاعده Oya جایگزین کنید.  

بردارهای b علاوه بر این، به اصطلاح پایه حداقل را تشکیل می دهند. یعنی، این حداقل تعداد بردارهایی است که با استفاده از یک ترکیب خطی می توان تمام بردارهای حفظ شده را نشان داد.  

روش سیستماتیک زیر قادر است به طور مکرر مهمترین ویژگی ها را شناسایی کند، که ترکیب خطی متغیرهای ورودی X = W X هستند (زیر مجموعه ورودی ها حالت خاصی از یک ترکیب خطی هستند، به عنوان مثال، به طور رسمی، راه حل بهتری نسبت به آنچه وجود دارد پیدا می شود. با انتخاب مهم ترین ترکیب ورودی ها در دسترس است).  

این روش امکان شناسایی آموزنده ترین عوامل (ترکیب خطی ویژگی های اولیه Xi - به اصطلاح اجزای اصلی Zi) را فراهم می کند و با حذف عوامل بی اهمیت، ارتباط بین آنها را در قالب مدل های ساده برقرار می کند. این مدل‌ها و همچنین ویژگی‌های آماری، تفسیر وابستگی‌های Xi و درجه آن‌ها را تا برخی شاخص‌ها، به عنوان مثال، بهره‌وری، قابلیت اطمینان و غیره تسهیل می‌کنند و همچنین امکان تحلیل و پیش‌بینی وضعیت تأسیسات صنعتی مورد مطالعه را فراهم می‌کنند.  

در طول تجزیه و تحلیل، موارد زیر برای توصیف جنبه های مختلف وضعیت مالی استفاده می شود. شاخص های مطلق و نسبت های مالی که شاخص های نسبی وضعیت مالی هستند. دومی در قالب نسبت های شاخص های مطلق وضعیت مالی یا ترکیب خطی آنها محاسبه می شود. طبق طبقه بندی یکی از بنیانگذاران علم ترازنامه، N.A. Blatov، شاخص های نسبی وضعیت مالی به ضرایب توزیع تقسیم می شوند و در مواردی استفاده می شود که لازم است تعیین شود کدام قسمت از این یا آن مورد استفاده قرار می گیرد.

3.3. استقلال خطی بردارها اساس.

خطی ترکیبی سیستم های برداری

بردار نامیده می شود

که در آن 1، a 2، ...، a n - اعداد دلخواه

اگر همه یک i = 0، سپس ترکیب خطی فراخوانی می شود ناچیز . در این مورد، بدیهی است

تعریف 5.

اگر برای سیستمی از بردارها یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود دارد (حداقل یکی ai¹ 0) برابر بردار صفر: سپس سیستم بردارها نامیده می شود خطی وابسته. در صورتی که برابری (1) فقط در صورتی امکان پذیر است که همه یک من =0، سپس سیستم بردارها نامیده می شود خطی مستقل .

قضیه 2 (شرایط وابستگی خطی).

تعریف 6.

از قضیه 3 نتیجه این است که اگر مبنایی در فضا داده شود، با افزودن یک بردار دلخواه به آن، یک سیستم وابسته خطی از بردارها به دست می آوریم. با توجه بهقضیه 2 (1) ، یکی از آنها (می توان نشان داد که بردار) را می توان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد:

.

تعریف 7.

اعداد نامیده می شوند مختصات بردارها در پایه (نشان داده شد

اگر بردارها در صفحه در نظر گرفته شوند، اساس یک جفت مرتب شده از بردارهای غیر خطی خواهد بود.

و مختصات بردار در این مبنا یک جفت عدد است:

تبصره 3. می توان نشان داد که برای یک مبنای معین، مختصات بردار به طور منحصر به فرد تعیین می شود . از این، به ویژه، نتیجه می شود که اگر بردارها مساوی باشند، مختصات متناظر آنها برابر است و بالعکس .

بنابراین، اگر یک مبنا در یک فاصله داده شود، آنگاه هر بردار فاصله با یک سه گانه مرتب از اعداد (مختصات بردار در این مبنا) مطابقت دارد و بالعکس: هر سه اعداد مربوط به یک بردار است.

در صفحه، مطابقت مشابهی بین بردارها و جفت اعداد برقرار می شود.

قضیه 4 (عملیات خطی از طریق مختصات برداری).

اگر در برخی از پایه و الف یک عدد دلخواه است، پس بر این اساس

به عبارت دیگر:

وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود ;

هنگام اضافه کردن بردارها، مختصات مربوط به آنها اضافه می شود .

مثال 1 . بر اساس برخی بردارهامختصات دارند

نشان دهید که بردارها یک مبنا را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

اگر بردارها غیرهمسطح باشند، مبنایی را تشکیل می دهند، بنابراین (مطابق باتوسط قضیه 3(2) ) به صورت خطی مستقل هستند.

طبق تعریف 5 این به این معنی است که برابری

فقط در صورتی امکان پذیر استx = y = z = 0.

سخنرانی 6.

بردارهای ...، به صورت وابسته خطی نامیده می شوند که اعداد , , ... وجود داشته باشند که در بین آنها حداقل یک برابر با صفر نباشد، به طوری که

مجموع حاصل ضرب اعداد و بردارها، یعنی. بردار

ترکیب خطی بردارها نامیده می شود.

اگر یک بردار به صورت ترکیبی خطی از بردارها نشان داده شود، آنگاه بردار نیز به بردارها تجزیه می شود.

تعریف فوق از وابستگی خطی بردارها معادل این است: بردارها به صورت خطی وابسته هستند اگر بتوان یکی از آنها را به صورت ترکیبی خطی از بردارها نشان داد (یا بر بقیه بسط داد).

قضیه 1.برای اینکه دو بردار به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که آنها هم خط باشند.

اثباتلازم است. داده شده: بردارها و به صورت خطی وابسته هستند. ما باید ثابت کنیم که آنها خطی هستند. از آنجایی که بردارها و به صورت خطی وابسته هستند، اعدادی وجود دارند که در آن واحد برابر با صفر نیستند و به این ترتیب که

اجازه دهید، برای مثال، ; سپس

نتیجه می شود که بردارها و خطی هستند.

داده شده: بردار و خطی. اثبات وابستگی خطی آنها الزامی است.

اگر، پس تساوی برقرار است، به این معنی که بردارها و به صورت خطی وابسته هستند.

اگر، پس، با فرض، پیدا کنیم، یا; این بدان معنی است که بردارها و به صورت خطی وابسته هستند.

سه بردار همسطح نامیده می شوند اگر از یک نقطه رسم شوند و در یک صفحه قرار بگیرند.

قضیه 2.برای اینکه سه بردار، , به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که همسطح باشند.

داده شده: بردارها، , به صورت خطی وابسته هستند. باید ثابت کنیم که همسطح هستند.

از آنجایی که بردارهای , , به صورت خطی وابسته هستند اعداد , , , وجود دارند که حداقل یکی از آنها وجود دارد. به گونه ای که

اجازه دهید، برای مثال، ; سپس

بردارها و هم خط با بردارها و ; بنابراین، مجموع چنین بردارهایی، یعنی. بردار با بردارها و .

اثبات کفایت.با توجه به: بردارهای , , همسطح هستند. لازم است ثابت شود که این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

اگر بردارها خطی باشند، پس به صورت خطی وابسته هستند (قضیه 1 این بخش)، یعنی. اعداد و اعدادی وجود دارد که حداقل یکی از آنها برابر با صفر نیست و به گونه ای که , اما سپس و , i.e. بردارها، , به صورت خطی وابسته هستند .

بگذارید بردارها غیر خطی باشند. اجازه دهید بردارها را رسم کنیم، و از همان نقطه در مورد:

از آنجایی که بردارهای , , همسطح هستند پس نقاط در مورد، در همان هواپیما دراز بکشید. بیایید یک نقطه را روی خطی موازی با خط طرح کنیم. اجازه دهید آر- این فرافکنی سپس و از آن زمان

سپس با فرض

یعنی بردارهای , , به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 3.هر چهار بردار , , , در فضا به صورت خطی وابسته هستند.

اثباتاجازه دهید پیشنهاد کنیم که بردارهای , , غیر همسطح باشند. اجازه دهید تمام بردارها،،،، را از یک نقطه رسم کنیم در مورد:

اجازه دهید آر- طرح ریزی یک نقطه بر روی صفحه موازی با یک خط مستقیم و - طرح ریزی یک نقطه آربه یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم. سپس .

بردارها به ترتیب با بردارها هم خط هستند و . باور داشتن؛ ; می گیریم؛ ;

و بنابراین:

آن ها بردارها , , , به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 4.برای اینکه دو بردار غیر صفر هم خط باشند لازم و کافی است که مختصات آنها متناسب باشد.

اجازه دهید قضیه را برای حالتی ثابت کنیم که بردارها با مختصاتشان نسبت به سیستم مختصات دکارتی کلی در فضا مشخص شده باشند.

اثبات ضرورت.داده شده: بردارها ; و خطی. لازم است ثابت شود که مختصات آنها متناسب است.

از آنجا که، پس، با فرض، به دست می آوریم، i.e.

اثبات کفایت.داده شده: مختصات برداری

متناسب باید ثابت کنیم که این بردارها خطی هستند.

اجازه دهید؛ یعنی، یا، و، بنابراین، بردارها و خطی هستند.

قضیه 5.به منظور دو بردار و مشخص شده توسط مختصات آنها نسبت به سیستم مختصات دکارتی عمومی در صفحه

یا نسبت به سیستم مختصات دکارتی عمومی در فضا

خطی بودند، لازم و کافی است

(در مورد هواپیما)

(در مورد فضا).

اجازه دهید قضیه را برای حالتی ثابت کنیم که بردارها و با مختصات آنها نسبت به سیستم مختصات دکارتی کلی در فضا مشخص می شوند.

اثبات ضرورت.داده شده: بردار و خطی. لازم است ثابت شود که روابط برقرار است

اگر بردارها هم غیرصفر و هم خطی باشند، مختصات آنها متناسب است و بنابراین این برابری ها برآورده می شوند (تعیینی که در آن دو ردیف متناسب هستند برابر با صفر است). اگر یا (یا ==0)، پس این برابری آشکار است.

اثبات کفایت.داده می شود که این روابط راضی است. لازم است ثابت شود که بردارها و هم خطی هستند.

اگر (یعنی = 0)، بردارها و خطی هستند (زیرا بردار صفر با هر بردار هم خط است). مثلاً حداقل یکی از اعداد برابر با صفر نباشد. بگذاریم؛ سپس از رابطه یا (بسط تعیین کننده)، در می یابیم که، با مختصات آنها نسبت به سیستم مختصات دکارتی کلی در فضا، به همان خط مستقیم تعلق دارند اگر و فقط در صورتی که روابط ارضا شوند.

نتیجه 3.نقاط , , , , داده شده توسط مختصات آنها نسبت به سیستم مختصات دکارتی عمومی در فضا , متعلق به همان صفحه هستند اگر و فقط اگر بردارها ; ; همسطح، یعنی اگر و فقط اگر .