مفهوم ریشه n ام یک عدد واقعی. درس "مفهوم ریشه n ام یک عدد واقعی. جذر، جذر حسابی

تبریک می گوییم: امروز به ریشه ها نگاه خواهیم کرد - یکی از جالب ترین موضوعات در کلاس هشتم :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (چه چیزی در آن پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین جنگلی تعریف می شوند که فقط نویسندگان کتاب های درسی خودشان می توانند این نوشته را درک کنند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب :)

بنابراین، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و سپس توضیح خواهم داد: چرا همه اینها مورد نیاز است و چگونه می توان آن را در عمل اعمال کرد.

اما ابتدا یکی را به خاطر بسپارید نکته مهم، که بسیاری از گردآورندگان کتاب های درسی به دلایلی در مورد آن "فراموش می کنند":

ریشه هایی وجود دارد مدرک حتی($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین انواع $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (همه انواع $\sqrt(a)$, $ \sqrt(a) $ و غیره). و تعریف ریشه یک درجه فرد تا حدودی با یک درجه زوج متفاوت است.

احتمالاً 95٪ از تمام خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" پنهان شده است. پس بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفیعدد $b$ طوری است که $((b)^(n))=a$. و ریشه فرد همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:

\(الف)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$ ما "مورد دلخواه" خود را دریافت می کنیم ریشه مربع(به هر حال، این یک ریشه درجه زوج است) و برای $n=3$ مکعب (درجه فرد) است که اغلب در مسائل و معادلات نیز یافت می شود.

نمونه ها نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است، زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - نیازی به ترس از آنها نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "مثال عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر تفاوت بین درجه زوج و فرد را متوجه نشدید، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهم است!

در این بین یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به همین دلیل نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلاً چرا ریشه نیاز است؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: «ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری می‌کشیدند؟» و واقعاً: اصلاً چرا این همه ریشه لازم است؟

برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید لحظه ای به عقب برگردیم به کلاس های ابتدایی. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور، زمانی که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی شبیه "پنج در پنج - بیست و پنج"، این همه است. اما شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین برای نوشتن ضرب ده پنج به این صورت مشکل داشتند:

به همین دلیل به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ چیزی شبیه این:

خیلی راحته! همه محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، و لازم نیست یک دسته کاغذ پوستی و دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5183 هدر دهید. به این رکورد می گفتند یک عدد از خواص.

پس از یک مهمانی بزرگ نوشیدنی، که فقط برای "کشف" درجه ها برگزار شد، یک ریاضیدان سرسخت ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد ناشناخته باشد، چه؟" اکنون، در واقع، اگر بدانیم که یک عدد معین $b$، مثلاً، به توان 5 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ با چه چیزی برابر است؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر قدرت های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3)) = 50$؟ معلوم می شود که باید عدد خاصی را پیدا کنیم که وقتی در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما بدهد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است، زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما شما نمی‌دانید که برابر با چه چیزی است.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان به $n$th ریشه رسیدند. دقیقاً به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای تعیین همان عدد $b$، که به میزان مشخص شده مقداری از قبل شناخته شده را به ما می دهد

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی محاسبه می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر کنید و سپس سعی کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، با مشکل وحشتناکی روبرو خواهید شد.

چه چیزی وجود دارد! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را در یک ماشین حساب وارد کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. به عنوان مثال:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، کاملاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن باید در نمایه Unified State Examination بررسی شود).

بنابراین، در ریاضیات جدی شما نمی توانید بدون ریشه انجام دهید - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، درست مانند کسری ها و اعداد صحیح که مدت ها برای ما آشنا بودند.

ناتوانی در نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که ریشه داده شدهعدد گویا نیست چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم ها، توان ها، حدود و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً -1.2599... \\ \پایان (تراز کردن)\]

به طور طبیعی، با توجه به ظاهرریشه تقریباً غیرممکن است که حدس بزنید کدام اعداد بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین نوشتن پاسخ ها به شکل $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

دقیقا به همین دلیل اختراع شدند. برای ضبط راحت پاسخ ها.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، در به عنوان آخرین راه حلاز ابتدا اما ریشه های مکعب را می توان با آرامش از هر عددی - مثبت یا منفی - استخراج کرد.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

برنامه ریزی کنید تابع درجه دومدو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ روی نمودار رسم می شود (با رنگ قرمز مشخص شده است) که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ مثل اینکه چهار به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین پست هایی نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟

این مشکل است، اگر هیچ کدام را اعمال نکنید شرایط اضافی، سپس چهارگانه دو ریشه مربع خواهد داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی را نمی پذیرد.

مشکل مشابهی برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه حتی $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که در تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح شده است که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ نگاه کنیم:

سهمی مکعبی می تواند هر مقداری را بگیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار می توان دو نتیجه گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، بر خلاف یک سهمی معمولی، در هر دو جهت - بالا و پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین هر ارتفاعی که خط افقی بکشیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. در نتیجه، ریشه مکعب را می توان از هر عددی مطلقاً گرفت.
2. علاوه بر این، چنین تقاطعی همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین نیازی نیست به این فکر کنید که کدام عدد ریشه "درست" در نظر گرفته می شود و کدام یک را نادیده بگیرید. به همین دلیل است که تعیین ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک درجه زوج است (نیازی برای غیر منفی بودن وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: شما همچنین باید بدانید که ریشه حسابی چیست. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز همچنین در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن همه افکار در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه کردم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت، به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

تنها کاری که باید انجام دهید این است که تفاوت بین نشانگرهای زوج و فرد را درک کنید. بنابراین، بیایید یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری کنیم:

1. ریشه یک درجه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی، چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که سرپوش اشاره می کند، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. روشن است؟ بله، کاملا واضح است! پس حالا کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - در ادامه بیشتر در مورد آن صحبت خواهیم کرد درس جداگانه. بنابراین ، اکنون ما فقط مهمترین "ترفند" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با شاخص زوج اعمال می شود. بیایید این ویژگی را به صورت فرمول بنویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان توان را از آن بگیریم، نه عدد اصلی، بلکه مدول آن را بدست می آوریم. این یک قضیه ساده است که به راحتی قابل اثبات است (کافی است $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس منفی را جداگانه در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر آموزش داده می شود کتاب درسی مدرسه. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی یک علامت رادیکال) دانش آموزان به اتفاق آرا این فرمول را فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد را مستقیماً محاسبه کنیم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

این خیلی مثال های ساده. اکثر مردم مثال اول را حل می کنند، اما بسیاری از مردم در مورد دوم گیر می کنند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید دریافت خواهید کرد که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه چهارم را استخراج کرد. آن ها هیچ "کاهش" ریشه ها و قدرت ها اتفاق نمی افتد - این اقدامات متوالی هستند.

بیایید به اولین عبارت نگاه کنیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که باید آن را در خود 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی های محصول 4 است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای برای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج می کنیم:

در اصل، این خط نمی‌توانست نوشته شود، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، معایب را «سوزاند»، و از این نظر، نتیجه از یک ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه دارای یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به رویه

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که همیشه یک عدد غیر منفی زیر علامت ریشه وجود دارد، زیرا $((a)^(2))\ge 0$ در هر صورت.
2. اما علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، برعکس، به این معنی است که ابتدا ریشه یک عدد معین $a$ را می گیریم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ به هیچ وجه نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف گنجانده شده است.

بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد، در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر ریشه یک عدد منفی داشته باشد و نمایش زوج باشد، یکسری مشکل به دست می آید.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً با زوج وجود ندارد. یعنی:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه های درجات فرد حذف کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام معایب را "بیرون بیندازید":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه پنهان بود، اما درجه در ریشه یکنواخت بود، چه؟ فقط کافی است تمام منفی های خارج از ریشه را "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد، و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به سمت آن سوق دهد. یک خطا

و در اینجا تعریف دیگری به صحنه می آید - همان تعریفی که در بیشتر مدارس مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن بحث ما ناقص خواهد بود. ملاقات کنید!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که در زیر علامت ریشه فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر وجود دارد. بیایید شاخص های زوج/فرد را فراموش کنیم، بیایید تمام تعاریف ارائه شده در بالا را فراموش کنیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. اونوقت چی؟

و سپس یک ریشه حسابی دریافت خواهیم کرد - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما همپوشانی دارد، اما هنوز با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینیم، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعبی که قبلاً با آنها آشنا هستیم نگاهی بیندازید:

منطقه جستجو ریشه حسابی - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این به بعد ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مند هستیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا حق داریم یک عدد منفی را زیر ریشه قرار دهیم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا به چنین تعریف خنثی شده ای نیاز داریم؟" یا: «چرا نمی‌توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شد کنار بیاییم؟»

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا نمونه هایی وجود دارد:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \پایان (تراز کردن)\]

پس مشکل بزرگ چیست؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. بیایید یک عبارت ساده را در نظر بگیریم: $\sqrt(-2)$ - این عدد در درک کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال حذف کردیم (حق داریم، زیرا توان فرد است)، و در حالت دوم از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به ایجاد بدعت کامل می کند.

برای رهایی از چنین ابهامی بود که ریشه های حسابی اختراع شد. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن تمام خواص آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین ما اکنون روی آنها تمرکز نمی کنیم - درس قبلاً خیلی طولانی شده است.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

مدت ها فکر کردم که آیا این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه قرار دهم یا خیر. در نهایت تصمیم گرفتم آن را اینجا بگذارم. این موادبرای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - دیگر نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به سطح المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه $n$th یک عدد و تقسیم مربوط به آن به توانای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به هیچ وجه به برابری و سایر ظرافت ها بستگی ندارد. به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$th هر $a$ مجموعه تمام اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ عنوان مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین ما فقط یک خط تیره در بالای صفحه قرار می دهیم:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه تنها در سه نوع موجود است:

1. مجموعه خالی زمانی اتفاق می‌افتد که باید از یک عدد منفی یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کنید.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. تمام ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در تابع درجه دوم نمودار بر این اساس، چنین ترتیبی فقط هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. عبارات را ارزیابی کنید:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. با عبارت اول همه چیز ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا توان ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

دریافت کرد مجموعه خالی. چون هیچکدام وجود ندارد عدد واقعی، که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) افزایش یابد، عدد منفی -16 را به ما می دهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا بیشتر است اعداد مختلط- محاسبه $\sqrt(-16)$ و بسیاری چیزهای عجیب دیگر کاملاً امکان پذیر است.

با این حال، در مدرن دوره مدرسهدر ریاضیات تقریباً هرگز با اعداد مختلط مواجه نمی‌شویم. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند، زیرا مقامات ما این موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی به تمام خصوصیات کلیدی ریشه ها می پردازیم و در نهایت یاد می گیریم که چگونه عبارات غیرمنطقی را ساده کنیم.

بیایید به صورت گرافیکی معادله را حل کنیم (x به توان ششم برابر است با یک)، برای این کار نمودارهای زیر را از توابع در یک سیستم مختصات می سازیم: (y برابر است با x توان ششم)

همانطور که می بینیم، آنها در دو نقطه A و C تلاقی می کنند، جایی که ابسیساهای نقاط تقاطع ریشه های معادله هستند، یعنی. .(شکل 2)

از حل دو معادله می بینیم که هر کدام دو ریشه دارند و این اعداد متقابل یکدیگر هستند.

در این دو معادله، ریشه ها به راحتی پیدا می شوند.

معادله 7 را در نظر بگیرید (x به توان ششم برابر با هفت است) ( شکل 3)

ما نمودارهای تابع و y=7 را در یک سیستم مختصات می سازیم

نقشه نشان می دهد که معادله دارای دو ریشه x یک و x دو است، اما مقادیر دقیق آنها را نمی توان نشان داد، فقط مقادیر تقریبی: آنها در محور x قرار دارند، یک ریشه کمی به سمت چپ نقطه -1 است، و دومی کمی در سمت راست نقطه 1 قرار دارد.

به منظور حل و فصل شرایط مشابه، ریاضیدانان معرفی کردند نماد جدید، ریشه ششم. و با کمک این نماد ریشه ها معادله داده شدهرا می توان به صورت زیر نوشت: (x one برابر است با ریشه ششم هفت و x two برابر است با منهای ریشه ششم هفت).

اجازه دهید حل معادلات را با درجه فرد در نظر بگیریم

و (شکل 4)

همانطور که از نقشه ها مشخص است، هر یک از معادلات دارای یک ریشه هستند، اما در معادله اول ریشه عدد صحیح دو است و در رابطه دوم نمی توان به طور دقیق مقدار را نشان داد، بنابراین برای آن یک نماد معرفی می کنیم. (ریشه پنجم از شش).

با توجه به مثال های در نظر گرفته شده، نتیجه گیری می کنیم و تعریف می کنیم:

1. معادله (x به توان en برابر با a است)، که در آن n(en) هر عدد زوج طبیعی است و دارای دو ریشه است:

(ریشه n ام a و منهای ریشه n ام a)

2. معادله (x تا توان یکم برابر با a است)، که در آن n(en) هر عدد فرد طبیعی است، و (a بزرگتر از صفر است) یک ریشه دارد: (ریشه n عدد a)

3. معادله (x به توان en برابر با صفر است) دارای یک ریشه واحد x = 0 (x برابر با صفر است).

تعریف: ریشه n ام (n) یک عدد غیر منفی a (n=2،3،34،5...) عددی غیر منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد مخفف است (ریشه n ام عدد a). عدد a را عدد رادیکال می نامند و عدد n (en) شاخص ریشه است.

(شما یک مورد خاص را در جبر کلاس هشتم مطالعه کردید، زمانی که n=2: می نویسند (ریشه دوم a)).

لازم به یادآوری است که اگر

(اگر a یک عدد غیر منفی است، n - عدد طبیعی، بزرگتر از یک، آنگاه ریشه nام عدد a یک عدد غیر منفی است و اگر ریشه nام عدد a به توان n افزایش یابد، عدد a یعنی یک عدد رادیکال به دست می آید. .

به عبارت دیگر، این تعریف را می توان به صورت زیر بیان کرد:

(ریشه توان n یک عدد، عدد be است که توان n ام آن برابر با a است).

تحت اصطلاح استخراج ریشهفهمیدن ریشه یک عدد غیر منفی به عبارت دیگر، شما باید انجام دهید عمل معکوسبه درجه مناسب ارتقا یابد. بیایید به جدول نگاه کنیم:

دقت کنید با توجه به تعریف ریشه توان n در جدول فقط اعداد مثبت در نظر گرفته شده است.

مثال 1 را در نظر بگیرید: محاسبه کنید

الف) (ریشه ششم شصت و چهار برابر دو است، زیرا دو عدد مثبت و دو به توان ششم برابر با شصت و چهار است).

(ریشه سوم نقطه صفر دویست و شانزده هزارم برابر با صفر نقطه شش است، زیرا عدد یافت شده مثبت است و به توان سوم یک عدد رادیکال می دهد)

از آنجایی که =

د) با توجه به تعریف ریشه درجه n دو برابر می نویسیم: و

بنابراین باید عددی را پیدا کنیم که به توان چهارم 55 باشد اما دو به توان چهارم برابر با شانزده باشد که کمتر از 55 است.

و سه به توان چهارم برابر با هشتاد و یک است که بزرگتر از 55 است. این بدان معنی است که نمی توان مقدار دقیق را نشان داد، بنابراین از علامت تساوی تقریبی با دقت صدم استفاده خواهیم کرد.

برای استخراج ریشه یک عدد منفی، از تعریف دوم استفاده کنید:

تعریف: ریشه فرد n عدد منفی a (n=3،5،7،...) عدد منفی m است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

عدد a را عدد رادیکال می نامند و عدد n (en) شاخص ریشه است.

برای ریشه درجه فرد، دو ویژگی صادق است:

(اگر یک - عدد منفی، nیک عدد فرد طبیعی بزرگتر از یک است، آنگاه ریشه nام عدد a یک عدد منفی است و اگر ریشه nام عدد a به توان n افزایش یابد، عدد a یعنی رادیکال را بدست می آوریم. شماره).

پس از تجزیه و تحلیل تعاریف و ویژگی های ریشه n یک عدد، نتیجه می گیریم:

ریشه زوج فقط برای یک عبارت رادیکال غیر منفی معنی دارد (یعنی تعریف شده است).

ریشه عجیب و غریب برای هر عبارت رادیکالی منطقی است

موضوع:«ریشه ها و درجات. مفهوم ریشه n امتوان از یک عدد واقعی."

اهداف درس:

آموزشی: مطالعه مفهوم ریشه حسابی درجه طبیعی، از جمله درجه فرد. محاسبه اصلی ریشه های حسابی.

آموزشی: تشدید کار دانش آموزان در درس، پرورش علاقه به موضوع.

رشدی: توسعه توانایی های فکری، توانایی انتقال دانش به موقعیت های جدید.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

روش:توضیحی و گویا

تجهیزات:کامپیوتر، تخته سفید تعاملی، ارائه.

پیشرفت درس

1. بخش سازمانی

با سلام. آمادگی کلاس برای درس. بررسی تکالیف

2. انگیزه فعالیت های آموزشی، ارتباط با موضوع و تعیین هدف درس.

امروز موضوع "ریشه ها و قدرت ها" را مطالعه خواهیم کرد. مفهوم ریشه درجه نهماز یک عدد واقعی." توجه شما را به کلمات جلب می کنم آناتول فرانس (1844-1924) ، که خلاصه درس ما خواهد بود. ما با عبارات حاوی ریشه کار خواهیم کرد. دانش خود را در مورد ریشه ها گسترش خواهید داد. در پایان درس، ما یک کار مستقل کوچک انجام می دهیم تا بررسی کنیم که چگونه می توانید به طور مستقل دانش را در مورد این موضوع اعمال کنید.

"تنها راه برای یادگیری، لذت بردن است...

برای هضم دانش، باید آن را با اشتها جذب کرد.»

توضیح مطالب جدید

تعریف 1.ریشهnتوان یک عدد غیر منفی a(n=2,3,4,5...) عددی غیر منفی است که با افزایش توان n عدد a به دست می آید.

تعیین: – ریشه درجه n.

عدد n را توان ریشه حسابی می گویند.

اگر n=2 باشد، درجه ریشه نشان داده نمی شود و نوشته می شود

ریشه درجه دوم را معمولاً جذر و ریشه درجه سوم را ریشه مکعب می نامند.

توان و استخراج ریشه همان وابستگی هستند:

خواص اساسی ریشه ها

تلفیق مطالب مورد مطالعه:

شماره 1063 شفاهی،

№ 1067 – 1069,

شماره 1070 - 1071 (a, b)

شماره 1072 -1073 (a, b)

شماره 1076 (الف، ب)

شماره 1078 (الف، ب)

شماره 1079 (الف، ج)

کار مستقل:

گزینه 1

شماره 1070 -1071 (ج)

شماره 1072 -1073 (g)

گزینه 2

شماره 1070 -1071 (g)

شماره 1072 -1073 (ج)

مشق شب: شماره 1076 (د)، شماره 1078 (ج)، شماره 1079 (ب)

جمع بندی درس:

امروز در کلاس مفهوم ریشه حسابی درجه n را مطالعه کردیم و با حل مثال ها آن را تقویت کردیم.

نمره دادن به درس

ادبیات

1.A.G. موردکوویچ. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. پایه های 10-11. ساعت 2 کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی(سطح پایه - M: Mnemosyne، 2012).

2. الکساندروا L.A. جبر و آغاز تحلیل. کلاس یازدهم کار مستقل: راهنمای موسسات آموزشی / زیر. ویرایش موردکوویچ A.G.–M.: Mnemosyne، 2014.

3. تی.آی. کوپرووا جبر و آغاز تحلیل. کلاس یازدهم: برنامه های درسیبر اساس کتاب درسی موردکوویچ A.G - ولگوگراد: معلم، 2008.

4. Rurukin A. N. تحولات درس در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کلاس یازدهم. - م.: واکو، 2014.

5. Nechaev M.P. درس های درس "جبر - 11". - M.: 5 برای دانش، 2007

اسلاید 1

لیسه موسسه آموزشی شهری شماره 10 شهر سووتسک منطقه کالینینگرادمعلم ریاضیات تاتیانا نیکولاونا رازیگرایوا مفهوم ریشه n ام یک عدد واقعی.

اسلاید 2

نمودار تابع y = x² کدام منحنی است؟ نمودار تابع y = x4 کدام منحنی است؟ معادله x4 = 1 را در نظر بگیرید. بیایید توابع y = x4 و y = 1 را رسم کنیم. پاسخ: x = 1، x = -1. به طور مشابه: x4 = 16. پاسخ: x = 2، x = -2. به طور مشابه: x4 = 5. y = 5 پاسخ:

اسلاید 3

معادله x5 = 1 را در نظر بگیرید. بیایید توابع y = x5 و y = 1 را رسم کنیم. به طور مشابه: x5 = 7. پاسخ: x = 1. پاسخ: معادله را در نظر بگیرید: a > 0, n N, n >1. اگر n زوج باشد، معادله دو ریشه دارد: اگر n فرد باشد، یک ریشه:

اسلاید 4

تعریف 1: ریشه n ام یک عدد غیر منفی a (n = 2،3،4،5،...) یک عدد غیر منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید. این عدد را با n نشان می دهند - عبارت رادیکال - توان ریشه عملیات یافتن ریشه یک عدد غیر منفی را استخراج ریشه می گویند. اگر 0، n = 2،3،4،5،…، آنگاه

اسلاید 5

عملیات استخراج ریشه برعکس بالا بردن به توان مربوطه است. 5² = 25 10³ = 1000 0.34 = 0.0081 25 = 5 3 4 گاهی اوقات عبارت a را رادیکال می نامند کلمه لاتین radix - "ریشه". n نماد یک حرف تلطیف شده r است. توان استخراج ریشه

اسلاید 6

مثال 1: محاسبه کنید: a) 49; ب) 0.125; ج) 0؛ د) 17 3 7 4 راه حل: الف) 49 = 7، زیرا 7 > 0 و 7² = 49; 3 ب) 0.125 = 0.5، زیرا 0.5 > 0 و 0.5³ = 0.125; ج) 0؛ د) 17 ≈ 2.03 4 تعریف 2: ریشه یک توان فرد n از یک عدد منفی a (n = 3.5،...) عددی منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

اسلاید 7

بنابراین نتیجه: ریشه یک درجه زوج فقط برای یک عبارت رادیکال غیر منفی معنا دارد (یعنی تعریف شده است). یک ریشه عجیب و غریب برای هر عبارت رادیکال منطقی است. مثال 2: معادلات را حل کنید: اگر a< 0, n = 3,5,7,…, то

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خواص فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در زیر علائم ریشه فرموله شده و ثابت می شود.

قضیه 1. ریشه نهم (n=2، 3، 4،...) حاصل ضرب دو تراشه غیر منفی برابر با محصول ریشه های نهمقدرت این اعداد:

نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس برابری درست است

مختصرفرمول (البته نادرست) که در عمل راحت تر است: ریشه یک کسر برابر با کسری از ریشه است.

قضیه 1 به ما اجازه می دهد که t را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با شاخص مشابه.

قضیه 3.اگر ,k یک عدد طبیعی و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس تساوی صحیح است

به عبارت دیگر، برای ایجاد ریشه در درجه طبیعی، کافی است بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، به عنوان مثال، برای k = 3 به دست می آوریم: ما می توانیم دقیقاً به همان روش در مورد هر مقدار طبیعی دیگری از توان k استدلال کنیم.

قضیه 4.اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 هستند، پس تساوی درست است

به عبارت دیگر برای استخراج ریشه از ریشه کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنیم.
به عنوان مثال،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، به جای نوشتن Really، اما واضح است که

قضیه 5.اگر شاخص های ریشه و بیان رادیکال در همان عدد طبیعی ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.محاسبه کنید

راه حل.با استفاده از اولین ویژگی ریشه ها (قضیه 1)، به دست می آوریم:

مثال 2.محاسبه کنید
راه حل.بیایید معکوس کنیم عدد مختلطبه کسری نامناسب
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 ، دریافت می کنیم:

مثال 3.محاسبه کنید:

راه حل.همانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آنها را در شکل نشان داد و برعکس، می توان آنها را با عبارت جایگزین کرد. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این، بیایید محاسبات را انجام دهیم.