نمونه هایی از حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریسی. سیستم های معادلات خطی: مفاهیم اساسی سیستم های معادلات جبری خطی مفاهیم اساسی

سیستم های معادلات خطی. سخنرانی 6.

سیستم های معادلات خطی.

مفاهیم اساسی

مشاهده سیستم

تماس گرفت سیستم - معادلات خطی با مجهولات.

اعداد ، ، نامیده می شوند ضرایب سیستم.

اعداد نامیده می شوند اعضای رایگان سیستم, – متغیرهای سیستم. ماتریس

تماس گرفت ماتریس اصلی سیستم، و ماتریس

– سیستم ماتریس توسعه یافته. ماتریس ها - ستون ها

و - بر این اساس ماتریس اصطلاحات آزاد و مجهولات سیستم. سپس به صورت ماتریسی می توان سیستم معادلات را به صورت . راه حل سیستمبه مقادیر متغیرهایی گفته می شود که با جایگزینی آنها، تمام معادلات سیستم به برابری های عددی صحیح تبدیل می شوند. هر راه حلی برای سیستم می تواند به عنوان یک ماتریس-ستون نمایش داده شود. سپس برابری ماتریس درست است.

سیستم معادلات نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترکاگر راه حلی وجود ندارد

حل یک سیستم معادلات خطی به معنای سازگاری آن و یافتن جواب کلی آن است.

سیستم نامیده می شود همگناگر تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد. یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا یک راه حل دارد

قضیه کرونکر-کاپلی.

پاسخ به سوال وجود راه حل برای سیستم های خطی و منحصر به فرد بودن آنها به ما اجازه می دهد تا نتیجه زیر را بدست آوریم که می تواند در قالب گزاره های زیر در مورد سیستم معادلات خطی با مجهولات فرموله شود.

(1)

قضیه 2. سیستم معادلات خطی (1) اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد.

قضیه 3. اگر رتبه ماتریس اصلی یک سیستم معادلات خطی همزمان با تعداد مجهولات برابر باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

قضیه 4. اگر رتبه ماتریس اصلی یک سیستم مشترک کمتر از تعداد مجهولات باشد، سیستم دارای تعداد بی نهایت جواب است.

قوانین حل سیستم ها

3. بیان متغیرهای اصلی را بر حسب آزاد پیدا کنید و جواب کلی سیستم را بدست آورید.

4. با اختصاص مقادیر دلخواه به متغیرهای آزاد، تمام مقادیر متغیرهای اصلی به دست می آید.

روش های حل سیستم معادلات خطی.

روش ماتریس معکوس

و، یعنی سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. بیایید سیستم را به صورت ماتریسی بنویسیم

کجا , , .

بیایید هر دو طرف معادله ماتریس سمت چپ را در ماتریس ضرب کنیم

از آنجا که، ما به دست می آوریم، که از آن برابری برای یافتن مجهولات به دست می آوریم

مثال 27.یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش ماتریس معکوس حل کنید

راه حل. اجازه دهید با ماتریس اصلی سیستم نشان دهیم

.

اجازه دهید، سپس با استفاده از فرمول راه حل را پیدا می کنیم.

بیایید محاسبه کنیم.

از آن زمان، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. بیایید همه متمم های جبری را پیدا کنیم

, ,

, ,

, ,

, ,

بنابراین

.

بیایید بررسی کنیم

.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد. از اینجا با استفاده از فرمول، ماتریس متغیرها را پیدا می کنیم.

.

با مقایسه مقادیر ماتریس ها به جواب می رسیم: .

روش کرامر

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی با مجهولات داده شود

و، یعنی سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اجازه دهید حل سیستم را به صورت ماتریسی یا بنویسیم

بیایید نشان دهیم

. . . . . . . . . . . . . . ,

بنابراین، فرمول هایی برای یافتن مقادیر مجهولات به دست می آوریم که نامیده می شوند فرمول های کرامر.

مثال 28.سیستم معادلات خطی زیر را با استفاده از روش کرامر حل کنید .

راه حل. بیایید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم

.

از آن زمان، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد.

بیایید تعیین کننده های باقی مانده برای فرمول های کرامر را پیدا کنیم

,

,

.

با استفاده از فرمول های کرامر مقادیر متغیرها را پیدا می کنیم

روش گاوس

روش شامل حذف متوالی متغیرها است.

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی با مجهولات داده شود.

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است:

در مرحله اول، ماتریس توسعه یافته سیستم با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل گام به گام کاهش می یابد.

,

جایی که سیستم با آن مطابقت دارد

بعد از این متغیرها آزاد در نظر گرفته می شوند و در هر معادله به سمت راست منتقل می شوند.

در مرحله دوم، متغیر از آخرین معادله بیان می شود و مقدار حاصل به معادله جایگزین می شود. از این معادله

متغیر بیان می شود. این روند تا معادله اول ادامه دارد. نتیجه بیانی از متغیرهای اصلی از طریق متغیرهای آزاد است .

مثال 29.سیستم زیر را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و آن را به صورت گام به گام در آوریم

.

چون بیشتر از تعداد مجهولات است، پس سیستم سازگار است و تعداد بی نهایت راه حل دارد. بیایید سیستم ماتریس گام را بنویسیم

تعیین کننده ماتریس توسعه یافته این سیستم که از سه ستون اول تشکیل شده است برابر با صفر نیست، بنابراین آن را پایه در نظر می گیریم. متغیرها

آنها پایه خواهند بود و متغیر رایگان خواهد بود. بیایید آن را در تمام معادلات به سمت چپ حرکت دهیم

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم

با جایگزینی این مقدار در معادله دوم ماقبل آخر، دریافت می کنیم

کجا . با جایگزینی مقادیر متغیرها و در معادله اول، متوجه می شویم . جواب را به شکل زیر بنویسیم

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در بخش اقتصادی برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر است که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل یک معادله با رسم آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیر (x، y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا اینکه مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا هیچ راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت مساوی دارای مقدار باشد یا با تابعی بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل این گونه سیستم ها وجود ندارد. درس ریاضی مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش های گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوسی را شرح می دهد.

وظیفه اصلی هنگام آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم راه حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول استفاده از یک روش خاص است.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی در برنامه درسی آموزش عمومی پایه هفتم بسیار ساده و با جزئیات کامل توضیح داده شده است. در هر کتاب ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس و کرامر در سال‌های اول تحصیلات عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها با استفاده از روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید برای مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس 7 با استفاده از روش جایگزینی راه حلی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . حل این مثال آسان است و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر به دست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر بسیار دشوار خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با استفاده از روش جمع، معادلات عبارت به ترم اضافه می شوند و در اعداد مختلف ضرب می شوند. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای در یک متغیر است.

استفاده از این روش مستلزم تمرین و مشاهده است. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع زمانی که 3 یا بیشتر متغیر وجود دارد آسان نیست. هنگامی که معادلات حاوی کسری و اعشاری هستند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم حل:

1. دو طرف معادله را در عدد معینی ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی، یکی از ضرایب متغیر باید برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای حداکثر دو معادله داشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید برای مجهول معرفی شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c که D ممیز مورد نظر است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای 3 سیستم معادله. این روش شامل ساخت نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید به چند نمونه از حل سیستم معادلات خطی به صورت تصویری نگاه کنیم.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر مستلزم یافتن یک جواب گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی است: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا یک سیستم راه حل دارد یا نه، همیشه لازم است یک نمودار ساخته شود.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و ردیف ها برابر باشد. ماتریس-بردار ماتریسی از یک ستون با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد هویت نامیده می شود.

یک ماتریس معکوس یک ماتریس است که وقتی در آن ماتریس اصلی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

در رابطه با سیستم های معادلات، ضرایب و عبارات آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریسی نوشته می شوند.

اگر حداقل یکی از عناصر سطر صفر نباشد، به یک ردیف ماتریسی غیرصفر گفته می شود. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس است و |K| تعیین کننده ماتریس است. |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو به دو محاسبه می شود، فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در کار تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به شما امکان می دهد هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات، ورودی های دست و پا گیر را کاهش دهید.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها با استفاده از روش گاوسی

در ریاضیات عالی، روش گاوسی همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به جواب های جایگزین و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه، حل به روش گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش کاهش سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با استفاده از تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول، در حالی که 3 و 4 به ترتیب دارای 3 و 4 متغیر هستند.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس هفتم، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای پرورش نبوغ کودکانی است که در برنامه‌های یادگیری پیشرفته در کلاس‌های ریاضی و فیزیک ثبت‌نام می‌کنند.

برای سهولت در ضبط، محاسبات معمولاً به شرح زیر انجام می شود:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که باید با آن کار کنید، یادداشت کنید، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها را بنویسید. ماتریس حاصل بعد از علامت فلش نوشته می شود و عملیات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

نتیجه باید ماتریسی باشد که در آن یکی از مورب ها برابر با 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک فرم واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که محاسبات را با اعداد در دو طرف معادله انجام دهیم.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به مراقبت و کمی تجربه دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از روش‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.

در دوران مدرسه، هر یک از ما معادلات و به احتمال زیاد سیستم های معادلات را مطالعه می کردیم. اما بسیاری از مردم نمی دانند که راه های مختلفی برای حل آنها وجود دارد. امروز ما به طور مفصل تمام روش های حل یک سیستم معادلات جبری خطی را که از بیش از دو برابر تشکیل شده است، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

داستان

امروزه مشخص شده است که هنر حل معادلات و سیستم های آنها در بابل باستان و مصر سرچشمه گرفته است. با این حال، برابری ها به شکل آشنای خود پس از ظهور علامت مساوی "="، که در سال 1556 توسط ریاضیدان انگلیسی رکورد معرفی شد، ظاهر شد. به هر حال، این علامت به دلیلی انتخاب شده است: به معنای دو بخش مساوی موازی است. در واقع، هیچ نمونه ای بهتر از برابری وجود ندارد.

بنیانگذار نامگذاری حروف مدرن برای مجهولات و نشانه های درجات، یک ریاضیدان فرانسوی است. به عنوان مثال، او یک مربع از یک عدد مجهول را با حرف Q (lat. "quadratus") و یک مکعب را با حرف C (lat. "cubus") نشان داد. این نماد اکنون ناخوشایند به نظر می رسد، اما در آن زمان قابل درک ترین راه برای نوشتن سیستم های معادلات جبری خطی بود.

با این حال، یک اشکال در روش های حل آن زمان این بود که ریاضیدانان فقط ریشه های مثبت را در نظر می گرفتند. این ممکن است به این دلیل باشد که مقادیر منفی کاربرد عملی نداشتند. به هر حال، این ریاضیدانان ایتالیایی، نیکولو تارتالیا، جرولامو کاردانو و رافائل بومبلی بودند که اولین کسانی بودند که در قرن شانزدهم ریشه های منفی را شمارش کردند. و شکل مدرن، روش حل اصلی (از طریق تشخیص) تنها در قرن هفدهم به لطف کار دکارت و نیوتن ایجاد شد.

در اواسط قرن هجدهم، ریاضیدان سوئیسی، گابریل کرامر، راه جدیدی برای آسان کردن حل سیستم معادلات خطی پیدا کرد. این روش بعدها به نام او نامگذاری شد و ما هنوز از آن استفاده می کنیم. اما کمی بعد در مورد روش کرامر صحبت خواهیم کرد، اما در حال حاضر اجازه دهید معادلات خطی و روش های حل آنها را جدا از سیستم مورد بحث قرار دهیم.

معادلات خطی

معادلات خطی ساده ترین معادلات با متغیر (متغیرها) هستند. آنها به عنوان جبری طبقه بندی می شوند. به شکل کلی به صورت زیر نوشته می شود: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. هنگام کامپایل سیستم ها و ماتریس ها بعداً باید آنها را به این شکل نشان دهیم.

سیستم های معادلات جبری خطی

تعریف این اصطلاح عبارت است از: مجموعه ای از معادلات که دارای مقادیر مجهول مشترک و جواب مشترک هستند. به عنوان یک قاعده، در مدرسه همه سیستم ها را با دو یا حتی سه معادله حل می کردند. اما سیستم هایی با چهار جزء یا بیشتر وجود دارد. بیایید ابتدا نحوه نوشتن آنها را دریابیم تا در آینده حل آنها راحت باشد. اولاً، اگر همه متغیرها به صورت x با زیرنویس مناسب نوشته شوند: 1،2،3 و غیره، سیستم های معادلات جبری خطی بهتر به نظر می رسند. ثانیا، تمام معادلات باید به شکل متعارف در آیند: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

پس از تمام این مراحل، می توانیم در مورد چگونگی یافتن راه حل برای سیستم های معادلات خطی صحبت کنیم. ماتریس ها برای این کار بسیار مفید خواهند بود.

ماتریس ها

ماتریس جدولی است که از سطرها و ستون ها تشکیل شده و در محل تقاطع آنها عناصر آن قرار دارد. اینها می توانند مقادیر یا متغیرهای خاص باشند. اغلب، برای نشان دادن عناصر، زیرنویس ها در زیر آنها قرار می گیرند (به عنوان مثال، یک 11 یا یک 23). شاخص اول به معنای شماره ردیف و دومی - شماره ستون است. عملیات مختلفی را می توان روی ماتریس ها انجام داد، مانند هر عنصر ریاضی دیگری. بنابراین، شما می توانید:

2) یک ماتریس را در هر عدد یا بردار ضرب کنید.

3) Transpose: ردیف های ماتریس را به ستون و ستون ها را به ردیف تبدیل کنید.

4) اگر تعداد سطرهای یکی از آنها با تعداد ستون های دیگری برابر باشد، ماتریس ها را ضرب کنید.

بیایید همه این تکنیک ها را با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار دهیم، زیرا آنها در آینده برای ما مفید خواهند بود. تفریق و جمع ماتریس ها بسیار ساده است. از آنجایی که ماتریس هایی با اندازه یکسان می گیریم، هر عنصر یک جدول با هر عنصر دیگری همبستگی دارد. بنابراین، ما این دو عنصر را اضافه می کنیم (تفریق می کنیم) (مهم است که آنها در یک مکان در ماتریس خود قرار گیرند). وقتی یک ماتریس را در یک عدد یا بردار ضرب می کنید، به سادگی هر عنصر ماتریس را در آن عدد (یا بردار) ضرب می کنید. جابجایی فرآیند بسیار جالبی است. دیدن آن در زندگی واقعی، به عنوان مثال، هنگام تغییر جهت تبلت یا تلفن، بسیار جالب است. آیکون های روی دسکتاپ نشان دهنده یک ماتریس هستند و هنگامی که موقعیت تغییر می کند، جابجا می شود و گسترده تر می شود، اما ارتفاع آن کاهش می یابد.

بیایید به فرآیند دیگری نگاه کنیم مانند: اگرچه ما به آن نیاز نخواهیم داشت، اما دانستن آن همچنان مفید خواهد بود. تنها در صورتی می توانید دو ماتریس را ضرب کنید که تعداد ستون های یک جدول با تعداد ردیف های جدول دیگر برابر باشد. حالا بیایید عناصر یک ردیف از یک ماتریس و عناصر ستون مربوط به ماتریس دیگر را در نظر بگیریم. بیایید آنها را در یکدیگر ضرب کنیم و سپس آنها را جمع کنیم (یعنی مثلاً حاصل ضرب عناصر a 11 و a 12 در b 12 و b 22 برابر خواهد بود با: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . بنابراین، یک عنصر از جدول به دست می آید و با استفاده از روشی مشابه، آن را تکمیل می کند.

اکنون می‌توانیم شروع کنیم به بررسی چگونگی حل یک سیستم معادلات خطی.

روش گاوس

این موضوع در مدرسه شروع می شود. ما مفهوم "سیستم دو معادله خطی" را به خوبی می دانیم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم. اما اگر تعداد معادلات بیش از دو باشد چه؟ این به ما کمک خواهد کرد

البته اگر از سیستم ماتریس بسازید، استفاده از این روش راحت است. اما لازم نیست آن را تغییر دهید و به شکل خالص آن حل کنید.

بنابراین، این روش چگونه سیستم معادلات گاوسی خطی را حل می کند؟ به هر حال، اگرچه این روش به نام او نامگذاری شده است، اما در دوران باستان کشف شده است. گاوس موارد زیر را پیشنهاد می کند: انجام عملیات با معادلات به منظور کاهش در نهایت کل مجموعه به شکل گام به گام. یعنی لازم است که از بالا به پایین (در صورت چیدمان صحیح) از معادله اول تا آخرین مجهول کاهش یابد. به عبارت دیگر، ما باید مطمئن شویم که مثلاً سه معادله به دست می آوریم: در اولی سه مجهول وجود دارد، در دومی دو تا، در سومی یکی وجود دارد. سپس از آخرین معادله، مجهول اول را پیدا می کنیم، مقدار آن را با معادله دوم یا اول جایگزین می کنیم و سپس دو متغیر باقی مانده را پیدا می کنیم.

روش کرامر

برای تسلط بر این روش، داشتن مهارت های جمع و تفریق ماتریس ها حیاتی است و همچنین باید بتوانید عوامل تعیین کننده را پیدا کنید. بنابراین، اگر همه اینها را ضعیف انجام دهید یا اصلاً نمی دانید چگونه، باید یاد بگیرید و تمرین کنید.

ماهیت این روش چیست و چگونه می توان آن را طوری ساخت که یک سیستم معادلات خطی کرامر به دست آید؟ خیلی ساده است. ما باید ماتریسی از ضرایب عددی (تقریباً همیشه) یک سیستم معادلات جبری خطی بسازیم. برای این کار فقط اعداد را جلوی مجهولات می گیریم و به ترتیبی که در سیستم نوشته شده اند در جدولی مرتب می کنیم. اگر جلوی عدد علامت "-" وجود داشته باشد، یک ضریب منفی را یادداشت می کنیم. بنابراین، ما اولین ماتریس ضرایب را برای مجهولات، بدون احتساب اعداد بعد از علائم مساوی، جمع آوری کرده ایم (به طور طبیعی، معادله باید به شکل متعارف کاهش یابد، زمانی که فقط عدد در سمت راست باشد، و همه مجهولات دارای ضرایب هستند. در سمت چپ). سپس باید چندین ماتریس دیگر ایجاد کنید - یکی برای هر متغیر. برای این کار، هر ستون را با ضرایب در ماتریس اول به نوبه خود با ستونی از اعداد بعد از علامت مساوی جایگزین می کنیم. بنابراین، ما چندین ماتریس را به دست می آوریم و سپس عوامل تعیین کننده آنها را پیدا می کنیم.

بعد از اینکه ما عوامل تعیین کننده را پیدا کردیم، موضوع کوچکی است. ما یک ماتریس اولیه داریم و ماتریس های متعددی وجود دارد که با متغیرهای مختلف مطابقت دارند. برای به دست آوردن راه حل های سیستم، تعیین کننده جدول حاصل را بر تعیین کننده جدول اولیه تقسیم می کنیم. عدد حاصل مقدار یکی از متغیرها است. به همین ترتیب، ما همه مجهولات را پیدا می کنیم.

روش های دیگر

چندین روش دیگر برای به دست آوردن جواب سیستم های معادلات خطی وجود دارد. به عنوان مثال، روش گاوس-جردن نامیده می شود که برای یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات درجه دوم استفاده می شود و همچنین با استفاده از ماتریس ها همراه است. همچنین روش ژاکوبی برای حل سیستم معادلات جبری خطی وجود دارد. این ساده ترین روش برای انطباق با رایانه است و در محاسبات استفاده می شود.

موارد پیچیده

پیچیدگی معمولا زمانی به وجود می آید که تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد. سپس می توان با اطمینان گفت که یا سیستم ناسازگار است (یعنی ریشه ندارد) یا تعداد راه حل های آن به بی نهایت میل می کند. اگر حالت دوم را داشته باشیم، باید جواب کلی سیستم معادلات خطی را بنویسیم. حداقل شامل یک متغیر خواهد بود.

نتیجه گیری

در اینجا به پایان می رسیم. بیایید خلاصه کنیم: ما متوجه شدیم که یک سیستم و یک ماتریس چیست و یاد گرفتیم که چگونه یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنیم. علاوه بر این، گزینه های دیگری را در نظر گرفتیم. ما متوجه شدیم که چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم: روش گاوسی و در مورد موارد پیچیده و راه های دیگر یافتن راه حل صحبت کردیم.

در واقع این مبحث بسیار گسترده تر است و اگر می خواهید آن را بهتر درک کنید، خواندن ادبیات تخصصی تری را توصیه می کنیم.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات جبری خطی - استخراج فرمول.

اجازه دهید برای ماتریس الفسفارش دهید nدر nیک ماتریس معکوس وجود دارد. بیایید هر دو طرف معادله ماتریس سمت چپ را در (ترتیب های ماتریس ها) ضرب کنیم A⋅Xو دربه شما امکان می دهد چنین عملیاتی را انجام دهید، به عملیات مقاله در مورد ماتریس ها، ویژگی های عملیات مراجعه کنید). ما داریم . از آنجایی که عملیات ضرب ماتریس های مرتبه های مناسب با خاصیت انجمنی مشخص می شود، آخرین برابری را می توان به صورت بازنویسی کرد. و با تعریف ماتریس معکوس ( E- ماتریس ترتیب واحد nدر n)، به همین دلیل است

بنابراین، حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس با فرمول تعیین می شود. به عبارت دیگر، راه حل SLAE با استفاده از ماتریس معکوس پیدا می شود.

ما می دانیم که یک ماتریس مربع الفسفارش دهید nدر nفقط در صورتی ماتریس معکوس دارد که تعیین کننده آن صفر نباشد. بنابراین، سیستم nمعادلات جبری خطی با nناشناخته ها را فقط زمانی می توان با روش ماتریس حل کرد که عامل تعیین کننده ماتریس اساسی سیستم با صفر متفاوت باشد.

بالای صفحه

نمونه هایی از حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریسی.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش ماتریسی نگاه کنیم. در برخی از مثال‌ها، در صورت لزوم، فرآیند محاسبه تعیین‌کننده‌های ماتریس را به تفصیل شرح نمی‌دهیم.

مثال.

با استفاده از ماتریس معکوس، جواب سیستم معادلات خطی را پیدا کنید .

راه حل.

به صورت ماتریسی، سیستم اصلی به صورت , Where نوشته می شود . بیایید تعیین کننده ماتریس اصلی را محاسبه کنیم و مطمئن شویم که با صفر متفاوت است. در غیر این صورت با استفاده از روش ماتریسی نمی توانیم سیستم را حل کنیم. ما داریم بنابراین، برای ماتریس الفماتریس معکوس را می توان یافت. بنابراین، اگر ماتریس معکوس را پیدا کنیم، جواب مورد نیاز SLAE را به صورت تعریف می کنیم. بنابراین، کار به ساخت ماتریس معکوس کاهش یافته است. بیا پیداش کنیم

ما این را برای ماتریس می دانیم ماتریس معکوس را می توان به صورت پیدا کرد ، مکمل های جبری عناصر کجا هستند.

در مورد ما

سپس

بیایید راه حل حاصل را بررسی کنیم ، جایگزین کردن آن به شکل ماتریسی سیستم اصلی معادلات. این برابری باید تبدیل به هویت شود وگرنه در جایی اشتباه شده است.

بنابراین راه حل درست پیدا شد.

پاسخ:

یا در پست دیگری .

مثال.

SLAE را با استفاده از روش ماتریس حل کنید.

راه حل.

معادله اول سیستم حاوی متغیر مجهول نیست x 2، دوم - x 1، سوم - x 3. یعنی ضرایب این متغیرهای مجهول برابر با صفر است. بیایید سیستم معادلات را بازنویسی کنیم . از این نوع انتقال به فرم ماتریسی ضبط SLAE آسانتر است . اجازه دهید مطمئن شویم که این سیستم معادلات را می توان با استفاده از ماتریس معکوس حل کرد. به عبارت دیگر نشان خواهیم داد که:

بیایید ماتریس معکوس را با استفاده از ماتریس اضافات جبری بسازیم:

سپس،

باقی مانده است که راه حلی برای SLAE پیدا کنیم:

پاسخ:

.

هنگام انتقال از شکل معمول یک سیستم معادلات جبری خطی به شکل ماتریسی آن، باید مراقب ترتیب متغیرهای مجهول در معادلات سیستم باشید. به عنوان مثال، SLAU نمی توان به عنوان نوشت . ابتدا باید تمام متغیرهای مجهول را در تمام معادلات سیستم مرتب کنید و سپس به نماد ماتریسی بروید:

یا

در عوض در تعیین متغیرهای ناشناخته نیز مراقب باشید x 1، x 2، …، x nمی تواند هر حرف دیگری باشد. به عنوان مثال، SLAU به صورت ماتریسی به صورت نوشته خواهد شد .

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

با استفاده از ماتریس معکوس

راه حل.

با مرتب کردن متغیرهای مجهول در معادلات سیستم، آن را به صورت ریاضی می نویسیم
. بیایید تعیین کننده ماتریس اصلی را محاسبه کنیم:

غیر صفر است، بنابراین جواب سیستم معادلات را می توان با استفاده از ماتریس معکوس به عنوان یافت . بیایید با استفاده از فرمول ماتریس معکوس را پیدا کنیم :

ما راه حل مورد نظر را دریافت می کنیم:

پاسخ:

x = 0، y = -2، z = 3.

مثال.

برای یک سیستم معادلات جبری خطی راه حل پیدا کنید روش ماتریسی

راه حل.

تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم صفر است

بنابراین، ما نمی توانیم روش ماتریس را اعمال کنیم.

یافتن راه حل برای چنین سیستم هایی در بخش حل سیستم های معادلات جبری خطی توضیح داده شده است.

مثال.

SLAE را حل کنید روش ماتریسی، - مقداری عدد واقعی.

راه حل.

سیستم معادلات به صورت ماتریسی دارای فرم است . بیایید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم و مطمئن شویم که با صفر متفاوت است:

مثلث مربع برای هیچ مقدار واقعی ناپدید نمی شود، زیرا ممیز آن منفی است، بنابراین تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برای هیچ مقدار واقعی برابر با صفر نیست. با روش ماتریسی که داریم . بیایید ماتریس معکوس را با استفاده از فرمول بسازیم :

سپس

پاسخ:

بازگشت به بالا

بیایید خلاصه کنیم.

روش ماتریسی برای حل SLAEهایی مناسب است که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر متفاوت است. اگر سیستم دارای بیش از سه معادله باشد، یافتن ماتریس معکوس نیاز به تلاش محاسباتی قابل توجهی دارد، بنابراین، در این مورد، استفاده از روش گاوسی برای حل توصیه می شود.

سیستم معادلات جبری خطی. اصطلاحات اساسی فرم ضبط ماتریسی

تعریف سیستم معادلات جبری خطی. راه حل سیستم طبقه بندی سیستم ها

زیر سیستم معادلات جبری خطی(SLAE) دلالت بر یک سیستم دارد

پارامترهای aij نامیده می شوند ضرایب، و دو - اعضای رایگان SLAU. گاهی اوقات، برای تأکید بر تعداد معادلات و مجهولات، می گویند "m×n سیستم معادلات خطی"، بنابراین نشان می دهد که SLAE حاوی m معادله و n مجهول است.

اگر تمام عبارات آزاد bi=0 باشد، SLAE فراخوانی می شود همگن. اگر در بین اعضای آزاد حداقل یک عضو غیر صفر وجود داشته باشد، SLAE فراخوانی می شود ناهمگن.

با حل SLAU(1) هر مجموعه مرتب شده ای از اعداد (α1، α2،...، αn) را فراخوانی کنید، اگر عناصر این مجموعه، به ترتیبی معین با مجهولات x1،x2،...،xn جایگزین شوند، هر معادله SLAE را تبدیل به یک هویت

هر SLAE همگن حداقل یک راه حل دارد: صفر(در اصطلاحات دیگر - بی اهمیت)، یعنی. x1=x2=…=xn=0.

اگر SLAE (1) حداقل یک راه حل داشته باشد، نامیده می شود مفصل، اگر راه حلی وجود ندارد - غیر مشترک. اگر یک SLAE مفصل دقیقاً یک راه حل داشته باشد، نامیده می شود معین، اگر مجموعه ای نامتناهی از راه حل ها وجود داشته باشد - نامشخص.

شکل ماتریسی سیستم های نوشتاری معادلات جبری خطی.

چندین ماتریس را می توان با هر SLAE مرتبط کرد. علاوه بر این، خود SLAE را می توان در قالب یک معادله ماتریسی نوشت. برای SLAE (1)، ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

ماتریس A نامیده می شود ماتریس سیستم. عناصر این ماتریس نشان دهنده ضرایب یک SLAE معین است.

ماتریس A˜ نامیده می شود سیستم ماتریس توسعه یافته. با افزودن ستونی حاوی عبارات آزاد b1,b2,...,bm به ماتریس سیستم به دست می آید. معمولاً این ستون برای وضوح با یک خط عمودی از هم جدا می شود.

ماتریس ستون B نامیده می شود ماتریس اعضای آزاد، و ماتریس ستون X است ماتریس مجهولات.

با استفاده از نماد معرفی شده در بالا، SLAE (1) را می توان به شکل یک معادله ماتریسی نوشت: A⋅X=B.

توجه داشته باشید

ماتریس های مرتبط با سیستم را می توان به روش های مختلفی نوشت: همه چیز به ترتیب متغیرها و معادلات SLAE مورد بررسی بستگی دارد. اما در هر صورت، ترتیب مجهولات در هر معادله یک SLAE معین باید یکسان باشد

قضیه کرونکر-کاپلی. مطالعه سیستم های معادلات خطی برای ثبات.

قضیه کرونکر-کاپلی

سیستم معادلات جبری خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم برابر باشد، یعنی. rangA=rangA˜.

به یک سیستم گفته می شود که حداقل یک راه حل داشته باشد. قضیه کرونکر-کاپلی این را می گوید: اگر rangA=rangA˜، پس راه حلی وجود دارد. اگر rangA≠rangA˜، پس این SLAE هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار). پاسخ به سؤال در مورد تعداد این راه حل ها با نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی ارائه می شود. در فرمول بندی نتیجه از حرف n استفاده شده است که برابر با تعداد متغیرهای SLAE داده شده است.

نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی

اگر rangA≠rangA˜، آنگاه SLAE ناسازگار است (راه حلی ندارد).

اگر rangA=rangA˜

اگر rangA=rangA˜=n، SLAE قطعی است (دقیقا یک راه حل دارد).

لطفاً توجه داشته باشید که قضیه فرموله شده و نتیجه آن نحوه یافتن راه حل برای SLAE را نشان نمی دهد. با کمک آنها، شما فقط می توانید بفهمید که آیا این راه حل ها وجود دارند یا نه، و اگر آنها وجود دارند، پس از آن چند.

روش های حل SLAE

روش کرامر

روش کرامر برای حل آن دسته از سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است که در آنها تعیین کننده ماتریس سیستم با صفر متفاوت است. به طور طبیعی، فرض می شود که ماتریس سیستم مربع است (مفهوم تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد). ماهیت روش کرامر را می توان در سه نکته بیان کرد:

تعیین کننده ماتریس سیستم را بنویسید (به آن تعیین کننده سیستم نیز گفته می شود) و مطمئن شوید که برابر با صفر نیست، یعنی. Δ≠0.

برای هر متغیر xi، لازم است که یک تعیین‌کننده Δ Xi ساخته شود، که از تعیین‌کننده Δ با جایگزینی ستون i با ستونی از عبارت‌های آزاد SLAE داده شده به دست می‌آید.

مقادیر مجهولات را با استفاده از فرمول xi= Δ X i /Δ بیابید

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از ماتریس معکوس.

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) با استفاده از یک ماتریس معکوس (گاهی اوقات به این روش روش ماتریس یا روش ماتریس معکوس نیز گفته می شود) نیاز به آشنایی اولیه با مفهوم شکل ماتریسی علامت گذاری SLAE دارد. روش ماتریس معکوس برای حل آن دسته از سیستم های معادلات جبری خطی در نظر گرفته شده است که در آنها تعیین کننده ماتریس سیستم با صفر متفاوت است. به طور طبیعی، فرض می شود که ماتریس سیستم مربع است (مفهوم تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد). ماهیت روش ماتریس معکوس را می توان در سه نکته بیان کرد:

سه ماتریس را بنویسید: ماتریس سیستم A، ماتریس مجهولات X، ماتریس عبارات آزاد B.

ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید.

با استفاده از برابری X=A -1 ⋅B، راه حلی برای SLAE داده شده به دست آورید.

روش گاوس نمونه هایی از حل سیستم های معادلات جبری خطی با استفاده از روش گاوس.

روش گاوس یکی از بصری ترین و ساده ترین راه ها برای حل است سیستم های معادلات جبری خطی(SLAU): هم همگن و هم ناهمگن. به طور خلاصه، ماهیت این روش حذف متوالی مجهولات است.

تبدیل های مجاز در روش گاوس:

تغییر مکان دو خط.

ضرب تمام عناصر یک رشته در عددی که برابر با صفر نباشد.

افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر، ضرب در هر عامل.

خط زدن یک ردیف که همه عناصر آن صفر هستند.

عبور از خطوط تکراری

با توجه به دو نکته آخر: خطوط تکراری را می توان در هر مرحله از راه حل با استفاده از روش گاوس خط زد - طبیعتاً یکی از آنها باقی می ماند. به عنوان مثال اگر خطوط شماره 2، شماره 5، شماره 6 تکرار شوند، می توانید یکی از آنها را به عنوان مثال خط شماره 5 را رها کنید. در این صورت خطوط شماره 2 و 6 حذف می شوند.

ردیف های صفر از ماتریس سیستم توسعه یافته همانطور که ظاهر می شوند حذف می شوند.