اگر راه حلی نداشته باشد به آن لجن می گویند. نحوه یافتن راه حل های کلی و جزئی برای یک سیستم معادلات خطی روش حل با معرفی یک متغیر جدید

در دوران مدرسه، هر یک از ما معادلات و به احتمال زیاد سیستم های معادلات را مطالعه می کردیم. اما بسیاری از مردم نمی دانند که راه های مختلفی برای حل آنها وجود دارد. امروز ما به طور مفصل تمام روش های حل یک سیستم معادلات جبری خطی را که از بیش از دو برابر تشکیل شده است، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

داستان

امروزه مشخص شده است که هنر حل معادلات و سیستم های آنها در بابل باستان و مصر سرچشمه گرفته است. با این حال، برابری ها به شکل آشنای خود پس از ظهور علامت مساوی "="، که در سال 1556 توسط ریاضیدان انگلیسی رکورد معرفی شد، ظاهر شد. به هر حال، این علامت به دلیلی انتخاب شده است: به معنای دو بخش مساوی موازی است. در واقع، هیچ نمونه ای بهتر از برابری وجود ندارد.

بنیانگذار مدرن تعیین حروفمجهولات و نشانه های درجات یک ریاضیدان فرانسوی است. به عنوان مثال، او یک مربع از یک عدد مجهول را با حرف Q (lat. "quadratus") و یک مکعب را با حرف C (lat. "cubus") نشان داد. این نماد اکنون ناخوشایند به نظر می رسد، اما در آن زمان قابل درک ترین راه برای نوشتن سیستم های معادلات جبری خطی بود.

با این حال، یک نقص در روش های حل آن زمان این بود که ریاضیدانان فقط ریشه های مثبت را در نظر می گرفتند. این ممکن است به این دلیل باشد که مقادیر منفی وجود ندارد کاربرد عملی. به هر شکلی، این ریاضیدانان ایتالیایی، نیکولو تارتالیا، جرولامو کاردانو و رافائل بومبلی بودند که اولین کسانی بودند که در قرن شانزدهم ریشه های منفی را شمارش کردند. الف ظاهر مدرنروش حل اصلی (از طریق تفکیک کننده) تنها در قرن هفدهم به لطف کار دکارت و نیوتن ایجاد شد.

در اواسط قرن 18، ریاضیدان سوئیسی، گابریل کرامر، پیدا کرد راه جدیدبه منظور آسان کردن حل سیستم های معادلات خطی. این روش بعدها به نام او نامگذاری شد و ما هنوز از آن استفاده می کنیم. اما کمی بعد در مورد روش کرامر صحبت خواهیم کرد، اما در حال حاضر اجازه دهید معادلات خطی و روش های حل آنها را جدا از سیستم مورد بحث قرار دهیم.

معادلات خطی

معادلات خطی ساده ترین معادلات با متغیر (متغیرها) هستند. آنها به عنوان جبری طبقه بندی می شوند. به شکل کلی به صورت زیر نوشته می شود: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. هنگام کامپایل سیستم ها و ماتریس ها بعداً باید آنها را به این شکل نشان دهیم.

سیستم های معادلات جبری خطی

تعریف این اصطلاح این است: مجموعه ای از معادلات است که دارای مقادیر مجهول مشترک و راه حل کلی. به عنوان یک قاعده، در مدرسه همه سیستم ها را با دو یا حتی سه معادله حل می کردند. اما سیستم هایی با چهار جزء یا بیشتر وجود دارد. بیایید ابتدا نحوه نوشتن آنها را دریابیم تا در آینده حل آنها راحت باشد. اولاً، اگر همه متغیرها به صورت x با زیرنویس مناسب نوشته شوند: 1،2،3 و غیره، سیستم های معادلات جبری خطی بهتر به نظر می رسند. در مرحله دوم، تمام معادلات باید به شکل متعارف در آیند: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

پس از تمام این مراحل، می توانیم در مورد چگونگی یافتن راه حل برای سیستم های معادلات خطی صحبت کنیم. ماتریس ها برای این کار بسیار مفید خواهند بود.

ماتریس ها

ماتریس جدولی است که از سطرها و ستون ها تشکیل شده و در محل تقاطع آنها عناصر آن قرار دارد. اینها می توانند مقادیر یا متغیرهای خاص باشند. اغلب، برای نشان دادن عناصر، زیرنویس ها در زیر آنها قرار می گیرند (به عنوان مثال، یک 11 یا یک 23). شاخص اول به معنای شماره ردیف و دومی - شماره ستون است. عملیات مختلفی را می توان روی ماتریس ها انجام داد، مانند هر عنصر ریاضی دیگری. بنابراین، شما می توانید:

2) یک ماتریس را در هر عدد یا بردار ضرب کنید.

3) Transpose: ردیف های ماتریس را به ستون و ستون ها را به ردیف تبدیل کنید.

4) اگر تعداد سطرهای یکی از آنها با تعداد ستون های دیگری برابر باشد، ماتریس ها را ضرب کنید.

بیایید همه این تکنیک ها را با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار دهیم، زیرا آنها در آینده برای ما مفید خواهند بود. تفریق و جمع ماتریس ها بسیار ساده است. از آنجایی که ماتریس هایی با اندازه یکسان می گیریم، هر عنصر یک جدول با هر عنصر دیگری همبستگی دارد. بنابراین، ما این دو عنصر را اضافه می کنیم (تفریق می کنیم) (مهم است که آنها در یک مکان در ماتریس خود قرار گیرند). وقتی یک ماتریس را در یک عدد یا بردار ضرب می کنید، به سادگی هر عنصر ماتریس را در آن عدد (یا بردار) ضرب می کنید. جابجایی فرآیند بسیار جالبی است. دیدن او گاهی اوقات بسیار جالب است زندگی واقعیبه عنوان مثال، هنگام تغییر جهت تبلت یا تلفن. آیکون های روی دسکتاپ نشان دهنده یک ماتریس هستند و هنگامی که موقعیت تغییر می کند، جابجا می شود و گسترده تر می شود، اما ارتفاع آن کاهش می یابد.

بیایید به فرآیند دیگری نگاه کنیم مانند: اگرچه ما به آن نیاز نخواهیم داشت، اما دانستن آن همچنان مفید خواهد بود. تنها در صورتی می توانید دو ماتریس را ضرب کنید که تعداد ستون های یک جدول با تعداد ردیف های جدول دیگر برابر باشد. حالا بیایید عناصر یک ردیف از یک ماتریس و عناصر ستون مربوط به ماتریس دیگر را در نظر بگیریم. بیایید آنها را در یکدیگر ضرب کنیم و سپس آنها را جمع کنیم (یعنی مثلاً حاصل ضرب عناصر a 11 و a 12 در b 12 و b 22 برابر خواهد بود با: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . بنابراین، یک عنصر از جدول به دست می آید و با استفاده از روشی مشابه، آن را تکمیل می کند.

اکنون می‌توانیم شروع کنیم به بررسی چگونگی حل یک سیستم معادلات خطی.

روش گاوس

این موضوع در مدرسه شروع می شود. ما مفهوم "سیستم دو معادله خطی" را به خوبی می دانیم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم. اما اگر تعداد معادلات بیش از دو باشد چه؟ این به ما کمک خواهد کرد

البته اگر از سیستم ماتریس بسازید، استفاده از این روش راحت است. اما لازم نیست آن را تغییر دهید و به شکل خالص آن حل کنید.

بنابراین، این روش چگونه سیستم معادلات گاوسی خطی را حل می کند؟ به هر حال، اگرچه این روش به نام او نامگذاری شده است، اما در زمان های قدیم کشف شده است. گاوس موارد زیر را پیشنهاد می کند: انجام عملیات با معادلات به منظور کاهش در نهایت کل مجموعه به شکل گام به گام. یعنی لازم است که از بالا به پایین (در صورت چیدمان صحیح) از معادله اول تا آخرین مجهول کاهش یابد. به عبارت دیگر، ما باید مطمئن شویم که مثلاً سه معادله به دست می آوریم: در اولی سه مجهول وجود دارد، در دومی دو تا، در سومی یکی وجود دارد. سپس از آخرین معادله، مجهول اول را پیدا می کنیم، مقدار آن را با معادله دوم یا اول جایگزین می کنیم و سپس دو متغیر باقی مانده را پیدا می کنیم.

روش کرامر

برای تسلط بر این روش، داشتن مهارت های جمع و تفریق ماتریس ها حیاتی است و همچنین باید بتوانید عوامل تعیین کننده را پیدا کنید. بنابراین، اگر همه اینها را ضعیف انجام دهید یا اصلاً نمی دانید چگونه، باید یاد بگیرید و تمرین کنید.

ماهیت این روش چیست و چگونه می توان آن را طوری ساخت که یک سیستم معادلات خطی کرامر به دست آید؟ خیلی ساده است. ما باید ماتریسی از ضرایب عددی (تقریباً همیشه) یک سیستم معادلات جبری خطی بسازیم. برای این کار فقط اعداد را جلوی مجهولات می گیریم و به ترتیبی که در سیستم نوشته شده اند در جدولی مرتب می کنیم. اگر جلوی عدد علامت "-" وجود داشته باشد، یک ضریب منفی را یادداشت می کنیم. بنابراین، ما اولین ماتریس ضرایب را برای مجهولات، بدون احتساب اعداد بعد از علائم مساوی، جمع آوری کرده ایم (به طور طبیعی، معادله باید به شکل متعارف کاهش یابد، زمانی که فقط عدد در سمت راست باشد، و همه مجهولات دارای ضرایب روی سمت چپ). سپس باید چندین ماتریس دیگر ایجاد کنید - یکی برای هر متغیر. برای انجام این کار، هر ستون را با ضرایب در ماتریس اول به نوبه خود با ستونی از اعداد بعد از علامت مساوی جایگزین می کنیم. بنابراین، ما چندین ماتریس را به دست می آوریم و سپس عوامل تعیین کننده آنها را پیدا می کنیم.

بعد از اینکه ما عوامل تعیین کننده را پیدا کردیم، موضوع کوچکی است. ما یک ماتریس اولیه داریم و ماتریس های متعددی وجود دارد که با متغیرهای مختلف مطابقت دارند. برای به دست آوردن راه حل های سیستم، تعیین کننده جدول حاصل را بر تعیین کننده جدول اولیه تقسیم می کنیم. عدد حاصل مقدار یکی از متغیرها است. به همین ترتیب، ما همه مجهولات را پیدا می کنیم.

روش های دیگر

چندین روش دیگر برای بدست آوردن جواب سیستم معادلات خطی وجود دارد. به عنوان مثال، به اصطلاح روش گاوس-جردن، که برای یافتن راه حل های سیستم استفاده می شود معادلات درجه دومو همچنین با استفاده از ماتریس همراه است. همچنین روش ژاکوبی برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی وجود دارد. این ساده ترین روش برای انطباق با رایانه است و در محاسبات استفاده می شود.

موارد پیچیده

پیچیدگی معمولا زمانی به وجود می آید که تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد. سپس می توان با اطمینان گفت که یا سیستم ناسازگار است (یعنی ریشه ندارد) یا تعداد راه حل های آن به بی نهایت میل می کند. اگر حالت دوم را داشته باشیم، باید جواب کلی سیستم معادلات خطی را بنویسیم. حداقل شامل یک متغیر خواهد بود.

نتیجه گیری

در اینجا به پایان می رسیم. بیایید خلاصه کنیم: ما متوجه شدیم که یک سیستم و یک ماتریس چیست و یاد گرفتیم که چگونه یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنیم. علاوه بر این، گزینه های دیگری را در نظر گرفتیم. ما متوجه شدیم که چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم: روش گاوس و در مورد موارد پیچیده و راه های دیگر یافتن راه حل صحبت کردیم.

در واقع این مبحث بسیار گسترده تر است و اگر می خواهید آن را بهتر درک کنید، خواندن ادبیات تخصصی تری را توصیه می کنیم.

سیستم معادلات جبری خطی. اصطلاحات اساسی فرم ضبط ماتریسی

تعریف سیستم معادلات جبری خطی. راه حل سیستم طبقه بندی سیستم ها

زیر سیستم معادلات جبری خطی(SLAE) دلالت بر یک سیستم دارد

پارامترهای aij نامیده می شوند ضرایب، و دو - اعضای رایگان SLAU. گاهی اوقات، برای تأکید بر تعداد معادلات و مجهولات، می گویند "m×n سیستم معادلات خطی"، بنابراین نشان می دهد که SLAE حاوی m معادله و n مجهول است.

اگر تمام عبارات آزاد bi=0 باشد، SLAE فراخوانی می شود همگن. اگر در بین اعضای آزاد حداقل یک عضو غیر صفر وجود داشته باشد، SLAE فراخوانی می شود ناهمگن.

با حل SLAU(1) هر مجموعه مرتب شده ای از اعداد (α1، α2،...، αn) را فراخوانی کنید، اگر عناصر این مجموعه، به ترتیبی معین با مجهولات x1،x2،...،xn جایگزین شوند، هر معادله SLAE را تبدیل به یک هویت

هر SLAE همگن حداقل یک راه حل دارد: صفر(در اصطلاحات دیگر - بی اهمیت)، یعنی. x1=x2=…=xn=0.

اگر SLAE (1) حداقل یک راه حل داشته باشد، نامیده می شود مفصل، اگر راه حلی وجود ندارد - غیر مشترک. اگر یک SLAE مفصل دقیقاً یک راه حل داشته باشد، نامیده می شود معین، اگر مجموعه ای نامتناهی از راه حل ها وجود داشته باشد - نامشخص.

شکل ماتریسی سیستم های نوشتاری معادلات جبری خطی.

چندین ماتریس را می توان با هر SLAE مرتبط کرد. علاوه بر این، SLAE خود را می توان در قالب یک معادله ماتریسی نوشت. برای SLAE (1)، ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

ماتریس A نامیده می شود ماتریس سیستم. عناصر این ماتریس نشان دهنده ضرایب یک SLAE معین است.

ماتریس A˜ نامیده می شود سیستم ماتریس توسعه یافته. با اضافه کردن ستونی حاوی عبارات آزاد b1,b2,...,bm به ماتریس سیستم به دست می آید. معمولاً این ستون برای وضوح با یک خط عمودی از هم جدا می شود.

ماتریس ستون B نامیده می شود ماتریس اعضای آزاد، و ماتریس ستون X است ماتریس مجهولات.

با استفاده از نماد معرفی شده در بالا، SLAE (1) را می توان به شکل یک معادله ماتریسی نوشت: A⋅X=B.

توجه داشته باشید

ماتریس های مرتبط با سیستم را می توان به روش های مختلفی نوشت: همه چیز به ترتیب متغیرها و معادلات SLAE مورد بررسی بستگی دارد. اما در هر صورت، ترتیب مجهولات در هر معادله یک SLAE معین باید یکسان باشد

قضیه کرونکر-کاپلی. مطالعه سیستم های معادلات خطی برای ثبات.

قضیه کرونکر-کاپلی

سیستم معادلات جبری خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم برابر باشد، یعنی. rangA=rangA˜.

به یک سیستم گفته می شود که حداقل یک راه حل داشته باشد. قضیه کرونکر-کاپلی این را می گوید: اگر rangA=rangA˜، پس راه حلی وجود دارد. اگر rangA≠rangA˜، پس این SLAE هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار). پاسخ به سؤال در مورد تعداد این راه حل ها با نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی ارائه می شود. در فرمول بندی نتیجه از حرف n استفاده شده است که برابر با تعداد متغیرهای SLAE داده شده است.

نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی

اگر rangA≠rangA˜، آنگاه SLAE ناسازگار است (هیچ راه حلی ندارد).

اگر rangA=rangA˜

اگر rangA=rangA˜=n، SLAE قطعی است (دقیقا یک راه حل دارد).

لطفاً توجه داشته باشید که قضیه فرموله شده و نتیجه آن نحوه یافتن راه حل برای SLAE را نشان نمی دهد. با کمک آنها فقط می توانید بفهمید که آیا این راه حل ها وجود دارند یا خیر و اگر آنها وجود دارند، پس از آن چند تا هستند.

روش های حل SLAE

روش کرامر

روش کرامر برای حل آن دسته از سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است که در آنها تعیین کننده ماتریس سیستم با صفر متفاوت است. طبیعتاً فرض بر این است که ماتریس سیستم مربع است (مفهوم تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد). ماهیت روش کرامر را می توان در سه نکته بیان کرد:

تعیین کننده ماتریس سیستم را بنویسید (به آن تعیین کننده سیستم نیز گفته می شود) و مطمئن شوید که برابر با صفر نیست، یعنی. Δ≠0.

برای هر متغیر xi، لازم است که یک تعیین‌کننده Δ Xi ساخته شود، که از تعیین‌کننده Δ با جایگزینی ستون i با ستونی از عبارت‌های آزاد SLAE داده شده به دست می‌آید.

مقادیر مجهولات را با استفاده از فرمول xi= Δ X i /Δ بیابید

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از ماتریس معکوس.

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) با استفاده از یک ماتریس معکوس (گاهی اوقات به این روش روش ماتریس یا روش ماتریس معکوس نیز گفته می شود) نیاز به آشنایی اولیه با مفهوم شکل ماتریسی علامت گذاری SLAE دارد. روش ماتریس معکوس برای حل آن دسته از سیستم های معادلات جبری خطی در نظر گرفته شده است که در آنها تعیین کننده ماتریس سیستم با صفر متفاوت است. طبیعتاً فرض بر این است که ماتریس سیستم مربع است (مفهوم تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد). ماهیت روش ماتریس معکوس را می توان در سه نکته بیان کرد:

سه ماتریس را بنویسید: ماتریس سیستم A، ماتریس مجهولات X، ماتریس عبارات آزاد B.

ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید.

با استفاده از برابری X=A -1 ⋅B، راه حلی برای SLAE داده شده به دست آورید.

روش گاوس نمونه هایی از حل سیستم های معادلات جبری خطی با استفاده از روش گاوس.

روش گاوس یکی از بصری ترین و ساده ترین راه ها برای حل است سیستم های معادلات جبری خطی(SLAU): هم همگن و هم ناهمگن. به طور خلاصه، ماهیت این روش حذف متوالی مجهولات است.

تبدیل های مجاز در روش گاوس:

تغییر مکان دو خط.

ضرب تمام عناصر یک رشته در عددی که برابر با صفر نباشد.

افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر، ضرب در هر عامل.

خط زدن یک ردیف که همه عناصر آن صفر هستند.

عبور از خطوط تکراری

با توجه به دو نکته آخر: خطوط تکراری را می توان در هر مرحله از راه حل با استفاده از روش گاوس خط زد - طبیعتاً یکی از آنها باقی می ماند. به عنوان مثال اگر خطوط شماره 2، شماره 5، شماره 6 تکرار شوند، می توانید یکی از آنها را به عنوان مثال خط شماره 5 رها کنید. در این صورت خطوط شماره 2 و 6 حذف می شوند.

ردیف های صفر از ماتریس سیستم توسعه یافته همانطور که ظاهر می شوند حذف می شوند.

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) بدون شک مهمترین مبحث در درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مسائل از همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی منتهی می شود. این عوامل دلیل این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های دقیق برای مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در ادامه روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. اولاً روی روش کرامر تمرکز می‌کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم‌هایی از معادلات نشان می‌دهیم و ثالثاً روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تجزیه و تحلیل می‌کنیم. برای تثبیت نظریه، قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از این به حل سیستم های معادلات جبری خطی به شکل کلی می رویم که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نباشد یا ماتریس اصلی سیستم منفرد باشد. اجازه دهید قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله کنیم، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها را (در صورت سازگاری) با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

ما قطعاً به ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی یک SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در پایان، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که می‌توان آنها را به خطی تقلیل داد، و همچنین مشکلات مختلفی را که در حل آنها SLAE ایجاد می‌شود، در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p می تواند برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اصطلاحات آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از ثبت SLAE نامیده می شود هماهنگ کردن.

در فرم ماتریسینوشتن این سیستم معادلات به شکل زیر است:
کجا - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس ستونی از متغیرهای مجهول، - ماتریس ستونی از عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می نامند غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود معین; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نامشخص.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگن.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات یک سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها نامیده می شوند. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند و در مورد یک سیستم همگن، همه متغیرهای مجهول برابر با صفر هستند.

ما مطالعه این گونه SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها با جزئیات صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

فرض کنید باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و - تعیین کننده های ماتریس هایی که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با این نماد، متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این صورت است که راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش کرامر پیدا کرد.

بیایید تعیین کننده های لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را با جایگزینی ستون دوم با ستونی از عبارت های آزاد و با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را به دست می آوریم) :

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که پس ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو طرف تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن یک ماتریس-ستون از متغیرهای مجهول به دست می آید. به این صورت است که با استفاده از روش ماتریسی، جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی به دست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

چون

سپس SLAE را می توان با استفاده از روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از یک ماتریس از مکمل های جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

باقی مانده است که ماتریس متغیرهای مجهول را با ضرب ماتریس معکوس محاسبه کنیم به یک ماتریس-ستون از اعضای آزاد (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی هنگام یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی که با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای مجهول می شود: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از همه معادلات حذف می شود، از سومین شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول x n باشد. در آخرین معادله باقی می ماند. این فرآیند تبدیل معادلات یک سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود با استفاده از روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر، x n-1 محاسبه می شود و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با مبادله معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده از x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو طرف معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب اضافه می کنیم:

اکنون x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم، با اضافه کردن سمت چپ و راست معادله دوم به سمت چپ و راست آن، ضرب در:

این حرکت رو به جلو روش گاوس را کامل می کند.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقیمانده را پیدا می کنیم و در نتیجه معکوس روش گاوس را تکمیل می کنیم.

پاسخ:

X 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

به طور کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و مفرد است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر-کاپلی:
برای اینکه یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد. , Rank(A)=Rank(T).

اجازه دهید، به عنوان مثال، کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. بیایید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به مینورهای مرتبه سوم همسایه آن نگاه کنیم:

از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی برابر با دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با سه است، زیرا جزئی درجه سوم است

متفاوت از صفر

بنابراین، Rang(A)، بنابراین، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری یک سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما اگر سازگاری SLAE ثابت شود، چگونه می توان راه حلی برای SLAE پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم پایه ماتریس و یک قضیه در مورد رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A، متفاوت از صفر، نامیده می شود اساسی.

از تعریف پایه مینور به دست می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیر صفر A می تواند چندین مینور پایه وجود داشته باشد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n برابر با r باشد، آنگاه تمام عناصر سطر (و ستون) ماتریس که مینور پایه انتخابی را تشکیل نمی دهند، به صورت خطی بر حسب عناصر تشکیل دهنده ردیف (و ستون) مربوطه بیان می شوند. پایه جزئی

قضیه رتبه ماتریس به ما چه می گوید؟

اگر طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، آنگاه هر پایه مینور از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم. پایه انتخابی جزئی را تشکیل نمی دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا مینور مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها مرتبه سوم جزئی صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کنیم، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2.

ما به عنوان پایه جزئی در نظر می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل مبنا مینور شرکت نمی کند، بنابراین آن را بر اساس قضیه رتبه ماتریس از سیستم حذف می کنیم:


به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آوردیم. بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 = 1، x 2 = 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل از تعداد متغیرهای مجهول n کمتر باشد، در سمت چپ معادلات، عبارت‌هایی را که پایه اصلی را تشکیل می‌دهند، رها می‌کنیم و عبارت‌های باقی‌مانده را به سمت راست معادله منتقل می‌کنیم. معادلات سیستم با علامت مخالف

متغیرهای مجهول (r از آنها) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r قطعه وجود دارد) که در سمت راست قرار دارند فراخوانی می شوند رایگان.

اکنون ما معتقدیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r از طریق متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم به روش مرزبندی خردسالان. بیایید 1 1 = 1 را به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور غیر صفر درجه دوم در حاشیه این مینور کنیم:


به این ترتیب ما یک مینور غیر صفر درجه دوم را پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم را به عنوان پایه یک در نظر می گیریم.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات مربوط به مبنا مینور را در سمت چپ معادلات سیستم رها می کنیم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


بیایید به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه بدهیم، یعنی قبول می کنیم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این صورت، SLAE شکل خواهد گرفت


اجازه دهید سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


از این رو، .

در پاسخ خود فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

بیایید خلاصه کنیم.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی عمومی، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی تعیین می کنیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، یک پایه مینور را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب پایه مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را به آن می دهیم. متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

روش گاوس را می توان برای حل سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوعی بدون آزمایش قبلی برای سازگاری استفاده کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از دیدگاه محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

شرح مفصل و نمونه های تحلیل شده آن را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی عمومی ببینید.

نوشتن یک جواب کلی برای سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش در مورد سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی که تعداد بی نهایت جواب دارند صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم بنیادی راه حل هاسیستم همگن p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n – r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2), ..., X (n-r) ستونی نشان دهیم. ماتریس هایی با ابعاد n در 1)، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r) نشان داده می شود، که است، .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (oroslau) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن SLAE اصلی را مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r)، با استفاده از فرمولی که ما خواهیم کرد. یکی از محلول های SLAE همگن اصلی را بدست آورید.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان تعریف کنیم.

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور پایه سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,...,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با استفاده از روش کرامر محاسبه کنیم. این منجر به X (1) می شود - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر مقادیر 0.0،…،0.1 را به متغیرهای مجهول آزاد نسبت دهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) را به دست می آوریم. به این ترتیب، یک سیستم اساسی از راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشتار کرد.

برای سیستم‌های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به شکل نشان داده می‌شود، جایی که جواب کلی سیستم همگن مربوطه است، و حل خاص SLAE ناهمگن اصلی است که با دادن مقادیر مجهولات آزاد به دست می‌آییم. 0,0,…,0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. بیایید رتبه ماتریس اصلی را با استفاده از روش مرزبندی مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر درجه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. بیایید مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، پیدا شده است. بیایید در جست‌وجوی یک غیر صفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. بگیریم. برای وضوح، اجازه دهید به عناصر سیستمی که آن را تشکیل می دهند توجه کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب پایه مینور آن برابر با دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 1، x 4 = 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات می یابیم.
.

بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:

بنابراین، .

حالا بیایید X (2) را بسازیم. برای انجام این کار، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 0، x 4 = 1 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات خطی پیدا می کنیم.
.

بیایید دوباره از روش کرامر استفاده کنیم:

می گیریم.

بنابراین ما دو بردار از سیستم اصلی راه حل ها را به دست آوردیم و اکنون می توانیم جواب کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بنویسیم:

، که در آن C 1 و C 2 اعداد دلخواه هستند.، برابر با صفر هستند. ما همچنین مینور را به عنوان یک پایه در نظر می گیریم، معادله سوم را از سیستم حذف می کنیم و عبارت های مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم منتقل می کنیم:

برای پیدا کردن، اجازه دهید به متغیرهای مجهول مجهول مقادیر x 2 = 0 و x 4 = 0 را بدهیم، سپس سیستم معادلات شکل خواهد گرفت. ، از جایی که متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر پیدا می کنیم:

ما داریم از این رو،

که در آن C 1 و C 2 اعداد دلخواه هستند.

لازم به ذکر است که راه حل های یک سیستم همگن نامعین از معادلات جبری خطی تولید می کنند. فضای خطی

راه حل.

معادله متعارف یک بیضی در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل دارد . وظیفه ما تعیین پارامترهای a، b و c است. از آنجایی که بیضی از نقاط A، B و C عبور می کند، پس هنگام جایگزینی مختصات آنها در معادله متعارف بیضی، باید به یک هویت تبدیل شود. بنابراین ما یک سیستم از سه معادله بدست می آوریم:

بیایید نشان دهیم ، سپس سیستم به سیستم معادلات جبری خطی تبدیل می شود .

اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم:

از آنجایی که غیر صفر است، می توانیم با استفاده از روش کرامر راه حل را پیدا کنیم:
). بدیهی است که x = 0 و x = 1 ریشه های این چند جمله ای هستند. ضریب از تقسیم در است . بنابراین، ما یک بسط داریم و عبارت اصلی شکل می گیرد .

از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم.

با معادل سازی ضرایب متناظر اعداد، به سیستمی از معادلات جبری خطی می رسیم. . حل آن ضرایب نامحدود مورد نظر A، B، C و D را به ما می دهد.

بیایید سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم:

با استفاده از معکوس روش گاوسی، D = 0، C = -2، B = 1، A = 1 را پیدا می کنیم.

می گیریم

پاسخ:

.