قضیه اوستروگراد گاوس برای بردار القایی الکتریکی. قضیه گاوس. کاربرد قضیه گاوس

اصلی ترین وظیفه کاربردی الکترواستاتیک محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده در دستگاه ها و دستگاه های مختلف است. به طور کلی این مشکل با استفاده از قانون کولن و اصل برهم نهی حل می شود. با این حال، این کار با در نظر گرفتن تعداد زیادی شارژ نقطه ای یا فضایی بسیار پیچیده می شود. هنگامی که دی الکتریک ها یا هادی ها در فضا وجود دارند، زمانی که تحت تأثیر میدان خارجی E 0 توزیع مجدد بارهای میکروسکوپی رخ می دهد، مشکلات بیشتری ایجاد می شود و میدان اضافی E خود را ایجاد می کند. بنابراین، برای حل عملی این مشکلات، روش ها و تکنیک های کمکی هستند. استفاده می شود که از دستگاه پیچیده ریاضی استفاده می کند. ما ساده ترین روش را بر اساس استفاده از قضیه اوستروگرادسکی-گاوس در نظر خواهیم گرفت. برای فرمول بندی این قضیه چندین مفهوم جدید را معرفی می کنیم:

الف) چگالی بار

اگر جسم باردار بزرگ است، پس باید از توزیع بارها در داخل بدن مطلع شوید.

تراکم بار حجمی- اندازه گیری شده توسط شارژ در واحد حجم:

چگالی بار سطحی- با بار در واحد سطح بدن اندازه گیری می شود (زمانی که بار روی سطح توزیع می شود):

چگالی بار خطی(توزیع بار در طول هادی):

ب) بردار القای الکترواستاتیک

بردار القای الکترواستاتیک (بردار جابجایی الکتریکی) یک کمیت برداری است که میدان الکتریکی را مشخص می کند.

بردار برابر حاصلضرب بردار روی ثابت دی الکتریک مطلق محیط در یک نقطه معین:

بیایید ابعاد را بررسی کنیم Dدر واحدهای SI:

، زیرا
,

سپس ابعاد D و E با هم مطابقت ندارند و مقادیر عددی آنها نیز متفاوت است.

از تعریف نتیجه می شود که برای فیلد برداری همان اصل برهم نهی برای میدان اعمال می شود :

میدان به صورت گرافیکی با خطوط القایی، درست مانند میدان نمایش داده می شود . خطوط القایی طوری ترسیم می شوند که مماس در هر نقطه با جهت منطبق باشد ، و تعداد خطوط برابر با مقدار عددی D در یک مکان معین است.

برای درک معنای مقدمه بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

	ε> 1	در مرز حفره با دی الکتریک، بارهای منفی مرتبط متمرکز و میدان با ضریب  کاهش می یابد و چگالی به طور ناگهانی کاهش می یابد.
برای یک مورد: D = Eεε 0	، سپس: خطوط به طور مداوم ادامه دهید خطوط شروع با هزینه های رایگان (در در هر محدود یا آزاد)، و در مرز دی الکتریک چگالی آنها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین- تداوم خطوط القایی محاسبه را بسیار تسهیل می کند ، و دانستن ارتباط با می توانید وکتور را پیدا کنید .

V) شار بردار القایی الکترواستاتیک

سطح S را در میدان الکتریکی در نظر بگیرید و جهت نرمال را انتخاب کنید

1. اگر میدان یکنواخت است، تعداد خطوط میدان از سطح S:

2. اگر میدان غیر یکنواخت باشد، سطح به عناصر بینهایت کوچک dS تقسیم می شود که مسطح در نظر گرفته می شوند و میدان اطراف آنها یکنواخت است. بنابراین، شار از طریق عنصر سطح: dN = D n dS،

و مجموع جریان از هر سطحی برابر است با:

(6)

شار القایی N یک کمیت اسکالر است. بسته به  می تواند > 0 یا باشد< 0, или = 0.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه مقدار بردار E در رابط بین دو رسانه، به عنوان مثال، هوا (ε 1) و آب (ε = 81) تغییر می کند. شدت میدان در آب به طور ناگهانی به میزان 81 کاهش می یابد. این رفتار برداری Eهنگام محاسبه فیلدها در محیط های مختلف، ناراحتی های خاصی ایجاد می کند. برای جلوگیری از این ناراحتی، یک بردار جدید معرفی شده است D– بردار القاء یا جابجایی الکتریکی میدان. اتصال برداری Dو Eبه نظر می رسد

D = ε ε 0 E.

بدیهی است که برای میدان بار نقطه ای جابجایی الکتریکی برابر خواهد بود

به راحتی می توان دید که جابجایی الکتریکی بر حسب C/m2 اندازه گیری می شود، به ویژگی ها بستگی ندارد و به صورت گرافیکی با خطوطی مشابه خطوط کششی نشان داده می شود.

جهت خطوط میدان جهت میدان را در فضا مشخص می کند (البته خطوط میدان وجود ندارد، آنها برای راحتی تصویر معرفی شده اند) یا جهت بردار قدرت میدان. با استفاده از خطوط کشش، می توانید نه تنها جهت، بلکه میزان قدرت میدان را نیز مشخص کنید. برای انجام این کار، موافقت شد که آنها را با چگالی مشخصی اجرا کنیم، به طوری که تعداد خطوط کششی که یک سطح واحد عمود بر خطوط کشش را سوراخ می کنند، متناسب با مدول بردار باشد. E(شکل 78). سپس تعداد خطوطی که در ناحیه ابتدایی dS نفوذ می کنند، که نرمال آن است nیک زاویه α با بردار تشکیل می دهد E، برابر است با E dScos α = E n dS،

که در آن E n جزء برداری است Eدر جهت عادی n. مقدار dФ E = E n dS = Eد استماس گرفت جریان بردار تنش از طریق سایتد اس(د اس= dS n).

برای یک سطح بسته دلخواه S جریان برداری Eاز طریق این سطح برابر است

یک عبارت مشابه جریان بردار جابجایی الکتریکی Ф D را دارد

.

قضیه Ostrogradsky-Gauss

این قضیه به ما اجازه می دهد تا جریان بردارهای E و D را از هر تعداد بار تعیین کنیم. بیایید یک بار نقطه ای Q را بگیریم و شار بردار را تعریف کنیم Eاز طریق یک سطح کروی به شعاع r که در مرکز آن قرار دارد.

برای یک سطح کروی α = 0، cos α = 1، E n = E، S = 4 πr 2 و

Ф E = E · 4 πr 2 .

با جایگزینی عبارت E دریافت می کنیم

بنابراین، از هر بار نقطه ای یک بردار F E خارج می شود Eبرابر Q/ ε 0 . با تعمیم این نتیجه‌گیری به حالت کلی تعداد دلخواه بارهای نقطه‌ای، فرمول قضیه را می‌دهیم: جریان کل بردار. Eاز طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه از نظر عددی برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی موجود در این سطح، تقسیم بر ε 0، یعنی.

برای شار برداری جابجایی الکتریکی Dمی توانید فرمول مشابهی دریافت کنید

شار بردار القایی از طریق یک سطح بسته برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی پوشیده شده توسط این سطح.

اگر سطح بسته ای را بگیریم که باری را در بر نمی گیرد، هر خط Eو Dدو بار از این سطح عبور می کند - در ورودی و خروجی، بنابراین شار کل صفر می شود. در اینجا باید مجموع جبری خطوط ورودی و خروجی را در نظر گرفت.

استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss برای محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده توسط صفحات، کره ها و استوانه ها

یک سطح کروی با شعاع R حامل بار Q است که به طور یکنواخت روی سطح با چگالی سطحی σ توزیع شده است.

بیایید نقطه A را در خارج از کره در فاصله r از مرکز در نظر بگیریم و به صورت ذهنی کره ای به شعاع r با بار متقارن رسم کنیم (شکل 79). مساحت آن S = 4 πr 2 است. شار بردار E برابر خواهد بود

طبق قضیه اوستروگرادسکی-گاوس
از این رو،
با در نظر گرفتن Q = σ 4 πr 2 ، به دست می آوریم

برای نقاط واقع در سطح یک کره (R = r)

D برای نقاطی که در داخل یک کره توخالی قرار دارند (در داخل کره باری وجود ندارد)، E = 0.

2 . سطح استوانه ای توخالی با شعاع R و طول لبا چگالی بار سطحی ثابت شارژ می شود
(شکل 80). اجازه دهید یک سطح استوانه ای هم محور به شعاع r > R رسم کنیم.

بردار جریان Eاز طریق این سطح

با قضیه گاوس

با برابر کردن ضلع های سمت راست تساوی های فوق، به دست می آوریم

.

اگر چگالی بار خطی سیلندر (یا نخ نازک) داده شود
که

3. میدان صفحات بی نهایت با چگالی بار سطحی σ (شکل 81).

بیایید میدان ایجاد شده توسط یک صفحه بی نهایت را در نظر بگیریم. از ملاحظات تقارن به دست می آید که شدت در هر نقطه از میدان دارای جهت عمود بر صفحه است.

در نقاط متقارن E از نظر قدر یکسان و در جهت مخالف خواهد بود.

اجازه دهید سطح یک استوانه را به صورت ذهنی با پایه ΔS بسازیم. سپس یک جریان از هر یک از پایه های سیلندر خارج می شود

F E = E ΔS، و کل جریان از طریق سطح استوانه ای برابر با F E = 2E ΔS خواهد بود.

در داخل سطح یک بار Q = σ · ΔS وجود دارد. طبق قضیه گاوس باید درست باشد

کجا

نتیجه به دست آمده به ارتفاع سیلندر انتخاب شده بستگی ندارد. بنابراین، شدت میدان E در هر فاصله ای از نظر قدر یکسان است.

برای دو صفحه با بار متفاوت با چگالی بار سطحی یکسان σ، طبق اصل برهم نهی، در خارج از فضای بین صفحات قدرت میدان صفر E = 0 و در فضای بین صفحات است.
(شکل 82 الف). اگر هواپیماها با بارهای مشابه با چگالی بار سطحی یکسان شارژ شوند، تصویر مخالف مشاهده می شود (شکل 82 ب). در فضای بین صفحات E = 0 و در فضای خارج از صفحات
.

اجازه دهید مفهوم جریان بردار القایی الکتریکی را معرفی کنیم. بیایید یک منطقه بینهایت کوچک را در نظر بگیریم. در بیشتر موارد، نه تنها اندازه سایت، بلکه جهت گیری آن در فضا نیز ضروری است. اجازه دهید مفهوم منطقه برداری را معرفی کنیم. اجازه دهید قبول کنیم که منظور از بردار مساحت، بردار عمود بر مساحت و از نظر عددی برابر با اندازه مساحت است.

شکل 1 - به سمت تعریف بردار - سایت

بیایید جریان برداری را نام ببریم از طریق پلت فرم
حاصل ضرب نقطه ای بردارها و
. بنابراین،

بردار جریان از طریق یک سطح دلخواه با ادغام تمام جریان های ابتدایی پیدا می شود

(4)

اگر میدان یکنواخت و سطح صاف باشد عمود بر میدان واقع شده است، سپس:

. (5)

عبارت داده شده تعداد خطوط نیرویی که سایت را سوراخ می کند را تعیین می کند در واحد زمان

قضیه Ostrogradsky-Gauss. واگرایی قدرت میدان الکتریکی

جریان بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر با مجموع جبری بارهای الکتریکی آزاد است ، توسط این سطح پوشیده شده است

(6)

عبارت (6) قضیه O-G را به صورت انتگرال نشان می دهد. قضیه 0-Г با اثر انتگرال (کل) عمل می کند، یعنی. اگر
معلوم نیست که آیا این به معنای عدم وجود بار در تمام نقاط قسمت مورد مطالعه فضا است یا مجموع بارهای مثبت و منفی واقع در نقاط مختلف این فضا برابر با صفر است.

برای یافتن بارهای واقع شده و مقدار آنها در یک میدان معین، به رابطه ای نیاز است که بردار القای الکتریکی را مرتبط کند. در یک نقطه مشخص با شارژ در همان نقطه.

فرض کنید باید وجود بار را در یک نقطه مشخص کنیم الف(شکل 2)

شکل 2 - برای محاسبه واگرایی برداری

بیایید قضیه O-G را اعمال کنیم. جریان بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح دلخواه که حجمی را که نقطه در آن قرار دارد محدود می کند. الف، برابر است

مجموع جبری بارها در یک جلد را می توان به صورت انتگرال حجمی نوشت

(7)

کجا - شارژ در واحد حجم ;

- عنصر حجم

برای به دست آوردن ارتباط بین میدان و شارژ در یک نقطه الفبا انقباض سطح تا یک نقطه حجم را کاهش می دهیم الف. در این حالت هر دو طرف برابری خود را بر مقدار تقسیم می کنیم . با حرکت به سمت حد، دریافت می کنیم:

.

سمت راست عبارت حاصل، طبق تعریف، چگالی بار حجمی در نقطه در نظر گرفته شده در فضا است. سمت چپ نشان دهنده حد نسبت شار بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح بسته به حجم محدود شده توسط این سطح است، زمانی که حجم به سمت صفر می رود. این کمیت اسکالر مشخصه مهم میدان الکتریکی است و نامیده می شود واگرایی برداری .

بدین ترتیب:

,

از این رو

, (8)

کجا - چگالی بار حجمی

با استفاده از این رابطه، مشکل معکوس الکترواستاتیک به سادگی حل می شود، یعنی. یافتن هزینه های توزیع شده در یک میدان شناخته شده

اگر بردار داده می شود، به این معنی که پیش بینی های آن مشخص است
,
,
بر روی محورهای مختصات به عنوان تابعی از مختصات و برای محاسبه چگالی توزیع شده بارهایی که یک میدان معین را ایجاد کرده اند، معلوم می شود که کافی است مجموع سه مشتق جزئی این پیش بینی ها را با توجه به متغیرهای مربوطه پیدا کنیم. در آن نقاطی که برای آن
بدون هزینه در نقاطی که
مثبت، یک بار مثبت با چگالی حجمی برابر است
، و در آن نقاطی که
یک مقدار منفی خواهد داشت، یک بار منفی وجود دارد که چگالی آن نیز با مقدار واگرایی تعیین می شود.

عبارت (8) قضیه 0-Г را به شکل دیفرانسیل نشان می دهد. در این شکل قضیه نشان می دهد که که منابع میدان الکتریکی بارهای الکتریکی آزاد هستند.خطوط میدان بردار القای الکتریکی به ترتیب با بارهای مثبت و منفی شروع و به پایان می رسند.

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی)

برای یک میدان در یک محیط دی الکتریک، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به روش دیگری (به روشی جایگزین) - از طریق جریان بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی) نوشت. در این مورد، فرمول قضیه به این صورت است: جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

به شکل دیفرانسیل:

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

یا به شکل دیفرانسیل

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی (به طور کامل) است. گرداب.

قضیه گاوس برای گرانش نیوتنی

برای قدرت میدان گرانش نیوتنی (شتاب گرانشی)، قضیه گاوس عملاً با آن در الکترواستاتیک منطبق است، به استثنای تنها ثابت ها (اما، همچنان به انتخاب دلخواه سیستم واحدها بستگی دارد) و مهمتر از همه، علامت:

کجا g- قدرت میدان گرانشی، م- بار گرانشی (یعنی جرم) در داخل سطح اس, ρ - چگالی جرمی، جی- ثابت نیوتنی

رساناها در میدان الکتریکی میدان در داخل هادی و روی سطح آن.

رساناها اجسامی هستند که بارهای الکتریکی می توانند از طریق آنها از یک جسم باردار به یک جسم بدون بار عبور کنند.توانایی هادی ها برای عبور بارهای الکتریکی از طریق خود با وجود حامل های بار آزاد در آنها توضیح داده می شود. هادی ها - اجسام فلزی در حالت جامد و مایع، محلول های مایع الکترولیت ها. بارهای آزاد یک هادی وارد شده به میدان الکتریکی تحت تأثیر آن شروع به حرکت می کنند. توزیع مجدد بارها باعث تغییر در میدان الکتریکی می شود. هنگامی که قدرت میدان الکتریکی در یک رسانا صفر شود، الکترون ها از حرکت باز می ایستند. پدیده جدایی بارهای غیرمشابه در رسانایی که در میدان الکتریکی قرار می گیرد، القای الکترواستاتیکی نامیده می شود. هیچ میدان الکتریکی در داخل هادی وجود ندارد. این برای حفاظت الکترواستاتیک استفاده می شود - حفاظت با استفاده از هادی های فلزی از میدان الکتریکی. سطح جسم رسانا به هر شکلی در میدان الکتریکی یک سطح هم پتانسیل است.

خازن ها

برای به دست آوردن وسایلی که با پتانسیل پایین نسبت به محیط، بارهای قابل توجهی را روی خود انباشته (متراکم) می کنند، از این واقعیت استفاده می کنند که ظرفیت الکتریکی یک هادی با نزدیک شدن اجسام دیگر به آن افزایش می یابد. در واقع، تحت تأثیر میدان ایجاد شده توسط هادی های باردار، بارهای القایی (روی هادی) یا مرتبط (روی دی الکتریک) روی جسمی که به آن وارد شده است ظاهر می شود (شکل 15.5). بارهای مخالف با علامت بار هادی q نسبت به بارهای همنام q نزدیکتر به هادی قرار دارند و بنابراین تأثیر زیادی بر پتانسیل آن دارند.

بنابراین، هنگامی که هر جسمی به یک هادی باردار نزدیک می شود، قدرت میدان کاهش می یابد و در نتیجه پتانسیل هادی کاهش می یابد. با توجه به معادله، این به معنای افزایش ظرفیت هادی است.

خازن از دو هادی (صفحات) تشکیل شده است (شکل 15.6) که توسط یک لایه دی الکتریک از هم جدا شده اند. هنگامی که یک اختلاف پتانسیل معین به یک هادی اعمال می شود، صفحات آن با بارهای مساوی با علامت مخالف شارژ می شوند. ظرفیت الکتریکی یک خازن به عنوان یک کمیت فیزیکی متناسب با بار q و نسبت معکوس با اختلاف پتانسیل بین صفحات درک می شود.

بیایید ظرفیت یک خازن تخت را تعیین کنیم.

اگر مساحت صفحه S و بار روی آن q باشد، پس قدرت میدان بین صفحات

از سوی دیگر، اختلاف پتانسیل بین صفحات ناشی از

انرژی یک سیستم از بارهای نقطه ای، یک هادی باردار و یک خازن.

هر سیستم باردار دارای مقداری انرژی برهمکنش بالقوه است که برابر با کار صرف شده برای ایجاد این سیستم است. انرژی یک سیستم بارهای نقطه ای q 1 , q 2 , q 3 ,… q نبه صورت زیر تعریف می شود:

کجا φ 1- پتانسیل میدان الکتریکی ایجاد شده توسط همه بارها به جز q 1 در نقطه ای که شارژ قرار دارد q 1 و غیره اگر پیکربندی سیستم بارها تغییر کند، انرژی سیستم نیز تغییر می کند. برای تغییر پیکربندی سیستم، باید کار انجام شود.

انرژی پتانسیل یک سیستم بارهای نقطه ای را می توان به روش دیگری محاسبه کرد. انرژی بالقوه بارهای دو نقطه ای q 1 , q 2 در فاصله از یکدیگر برابر است. اگر چندین بار وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل این سیستم از بارها را می توان به عنوان مجموع انرژی های بالقوه همه جفت بارهایی که می توان برای این سیستم تشکیل داد، تعریف کرد. بنابراین، برای یک سیستم سه بار مثبت، انرژی سیستم برابر است با

میدان الکتریکی یک بار نقطه ای q 0 در فاصله ای از آن در محیطی با ثابت دی الکتریک ε (شکل 3.1.3 را ببینید). شکل 3.1.3	; پتانسیل یک اسکالر است، علامت آن به علامت بار ایجاد کننده میدان بستگی دارد.
شکل 3.1.4. میدان الکتریکی یک کره باردار یکنواخت با شعاع در نقطه C در فاصله ای از سطح آن (شکل 3.1.4). میدان الکتریکی یک کره شبیه میدان بار نقطه ای برابر با بار کره است q sf و در مرکز آن متمرکز شده است. فاصله تا نقطه ای که کشش تعیین می شود (+آر)	الف ; خارج از محدوده: , پتانسیل درون کره ثابت و برابر است
و کشش داخل کره صفر است σ میدان الکتریکی یک صفحه بی نهایت باردار یکنواخت با چگالی سطح (شکل 3.1.5 را ببینید).	شکل 3.1.5. میدانی که قدرت آن در تمام نقاط یکسان باشد نامیده می شود. همگن σ تراکم سطح
- شارژ در واحد سطح (به ترتیب بار و مساحت هواپیما کجا هستند). ابعاد چگالی بار سطحی. میدان الکتریکی یک خازن مسطح با بارهای روی صفحات با قدر مساوی اما با علامت مخالف (نگاه کنید به شکل 3.1.6).	شکل 3.1.6 E=0. کشش بین صفحات یک خازن صفحه موازی، خارج از خازن تفاوت پتانسیلتو بین صفحات (صفحات) خازن: ، که در آند - فاصله بین صفحات، - ثابت دی الکتریک دی الکتریک که بین صفحات خازن قرار می گیرد.

چگالی بار سطحی روی صفحات خازن برابر است با نسبت مقدار بار روی آن به مساحت صفحه:.

انرژی یک هادی و خازن منفرد باردار اگر هادی ایزوله دارای بار q باشد، میدان الکتریکی در اطراف آن وجود دارد که پتانسیل آن در سطح رسانا برابر است و ظرفیت آن C است. اجازه دهید بار را به مقدار dq افزایش دهیم. هنگام انتقال شارژ dq از بی نهایت، کار باید برابر با

. اما پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی معین در بی نهایت صفر است. سپس

هنگام انتقال بار dq از یک هادی به بی نهایت، همان کار توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود. در نتیجه، وقتی بار رسانا به مقدار dq افزایش می یابد، انرژی پتانسیل میدان افزایش می یابد، به عنوان مثال.

با ادغام این عبارت، انرژی پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی باردار را با افزایش بار آن از صفر به q پیدا می کنیم:

با اعمال رابطه، می توانیم عبارات زیر را برای انرژی پتانسیل W بدست آوریم:

فرمول کلی: جریان بردار شدت میدان الکتریکی از طریق هر سطح بسته ای که به طور دلخواه انتخاب شده باشد، متناسب با بار الکتریکی موجود در داخل این سطح است.

در سیستم SGSE:

در سیستم SI:

جریان بردار شدت میدان الکتریکی از یک سطح بسته است.

- بار کل موجود در حجمی که سطح را محدود می کند.

- ثابت الکتریکی

این عبارت بیانگر قضیه گاوس به صورت انتگرال است.

در شکل دیفرانسیل، قضیه گاوس مطابق با یکی از معادلات ماکسول است و به صورت زیر بیان می شود.

در سیستم SI:

,

در سیستم SGSE:

در اینجا چگالی بار حجمی است (در صورت وجود یک محیط، چگالی کل بارهای آزاد و محدود)، و عملگر نابلاست.

برای قضیه گاوس، اصل برهم نهی معتبر است، یعنی جریان بردار شدت از طریق سطح به توزیع بار در داخل سطح بستگی ندارد.

مبنای فیزیکی قضیه گاوس قانون کولن است یا به عبارت دیگر قضیه گاوس فرمول لاینفک قانون کولن است.

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی).

برای یک میدان در ماده، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به طور متفاوت نوشت - از طریق جریان بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی). در این مورد، فرمول قضیه به این صورت است: جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

اگر قضیه قدرت میدان را در یک ماده در نظر بگیریم، به عنوان بار Q، باید مجموع بار آزاد واقع در داخل سطح و بار قطبی (القایی، محدود) دی الکتریک را در نظر بگیریم:

,

کجا ,
بردار پلاریزاسیون دی الکتریک است.

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

.

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی گردابی است.

کاربرد قضیه گاوس

برای محاسبه میدان های الکترومغناطیسی از مقادیر زیر استفاده می شود:

چگالی بار حجمی (به بالا مراجعه کنید).

چگالی بار سطحی

که در آن dS یک سطح بی نهایت کوچک است.

چگالی بار خطی

که در آن dl طول یک قطعه بینهایت کوچک است.

بیایید میدان ایجاد شده توسط یک صفحه باردار یکنواخت بی نهایت را در نظر بگیریم. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه یکسان و برابر با σ باشد. اجازه دهید استوانه‌ای را با ژنراتیس‌های عمود بر صفحه و پایه ΔS که به طور متقارن نسبت به صفحه واقع شده است تصور کنیم. به دلیل تقارن. شار بردار کشش برابر است با . با استفاده از قضیه گاوس، به دست می آوریم:

,

که از آن

در سیستم SSSE

ذکر این نکته حائز اهمیت است که قضیه گاوس علیرغم کلیت و کلی بودنش، به دلیل عدم استفاده از محاسبه انتگرال، کاربرد نسبتاً محدودی دارد. با این حال، در مورد یک مسئله متقارن، حل آن بسیار ساده تر از استفاده از اصل برهم نهی می شود.