فرمول حرکت نوسانی فیزیک ارتعاشات مکانیکی تبدیل انرژی در سیستم های نوسانی

4.2. مفاهیم و تعاریف بخش نوسانات و امواج

معادله ارتعاشات هارمونیکو راه حل او:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

الف- دامنه نوسانات؛

α – فاز اولیه نوسانات.

دوره نوسان نقطه مادینوسان تحت اثر نیروی الاستیک:

کجا متر- جرم یک نقطه مادی؛

ک– ضریب سختی

دوره نوسان یک آونگ ریاضی:

کجا ل- طول آونگ؛

g= 9.8 متر بر ثانیه 2 - شتاب سقوط آزاد.

دامنه ارتعاشات به دست آمده از افزودن دو ارتعاش هارمونیک با جهت مساوی:

کجا الف 1 و الف 2 - دامنه اجزای ارتعاش.

φ 1 و φ 2 فازهای اولیه اجزای نوسانات هستند.

فاز اولیه نوسانات با افزودن دو نوسان هارمونیک مساوی به دست می آید:

.

معادله نوسانات میرا شدهو راه حل او:

, ,

- فرکانس نوسانات میرا،

در اینجا ω 0 فرکانس طبیعی نوسانات است.

کاهش میرایی لگاریتمی:

که در آن β ضریب تضعیف است.

- دوره نوسانات میرا شده.

فاکتور کیفیت سیستم نوسانی:

که در آن θ کاهش میرایی لگاریتمی است

معادله نوسانات اجباری و حل حالت پایدار آن:

, x=A cos (ω t-φ ),

کجا اف 0 - مقدار دامنه نیرو.

- دامنه نوسانات میرا؛

φ= - فاز اولیه

فرکانس تشدیدنوسانات:

,

که در آن ω 0 - فرکانس چرخه ای طبیعی نوسانات.

β ضریب تضعیف است.

نوسانات الکترومغناطیسی میرایی در مداری متشکل از یک خازنسی، اندوکتانسLو مقاومتآر:

,

کجا q- شارژ خازن؛

q m- مقدار دامنه بار روی خازن؛

β = آر/2L- ضریب تضعیف

اینجا آر- مقاومت مدار؛

L- اندوکتانس سیم پیچ؛

- فرکانس چرخه ای نوسانات؛

در اینجا ω 0 - فرکانس طبیعی نوسانات.

α – فاز اولیه نوسانات.

دوره نوسانات الکترومغناطیسی:

,

کجا با- ظرفیت خازن؛

L- اندوکتانس سیم پیچ؛

آر- مقاومت مدار

اگر مقاومت مدار کوچک باشد، چه ( آر/2L) 2 <<1/L.C.، سپس دوره نوسان:

طول موج:

کجا v –سرعت انتشار موج؛

تی- دوره نوسان.

معادله موج صفحه:

ξ = A cos (ω t-kx)،

کجا الف- دامنه؛

ω - فرکانس چرخه ای؛

- عدد موج

معادله موج کروی:

,

کجا الف- دامنه؛

ω - فرکانس چرخه ای؛

ک- عدد موج؛

r– فاصله از مرکز موج تا نقطه در نظر گرفته شده در محیط.

? نوسانات هارمونیک آزاد در مدار

مدار ایده آل یک مدار الکتریکی است که از یک خازن به صورت سری با یک خازن متصل است باو سلف ها L.طبق قانون هارمونیک، ولتاژ روی صفحات خازن و جریان در سلف تغییر می کند.

? نوسان ساز هارمونیک. بهار، آونگ های فیزیکی و ریاضی، دوره های نوسان آنها

نوسان ساز هارمونیک هر سیستم فیزیکی است که نوسان می کند. نوسانگرهای کلاسیک - فنر، آونگ های فیزیکی و ریاضی. آونگ بهار - جرم توده متر، روی یک فنر کاملاً الاستیک معلق است و تحت تأثیر نیروی کشسانی نوسانات هارمونیک انجام می دهد. تی= آونگ فیزیکی بدنه ای صلب با شکل دلخواه است که تحت تأثیر گرانش حول محور افقی که از مرکز ثقل آن عبور نمی کند در نوسان است. تی= آونگ ریاضی یک سیستم جدا شده از یک نقطه مادی با جرم است متر، بر روی یک نخ بی وزن به طول آویزان شده است L، و تحت تأثیر گرانش نوسان می کند. تی= .

? ارتعاشات مکانیکی بدون میرایی (معادله، سرعت، شتاب، انرژی). نمایش گرافیکی ارتعاشات هارمونیک.

نوسانات را آزاد می نامند اگر به دلیل انرژی ارسال شده اولیه در غیاب بعدی تأثیرات خارجی در سیستم نوسانی رخ دهند. مقدار با توجه به قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. ، اس- جابجایی از موقعیت تعادل، الف– دامنه، w 0 – فرکانس چرخه ای، – فاز اولیه نوسانات. سرعت، شتاب. انرژی کامل - E= به صورت گرافیکی - با استفاده از موج سینوسی یا کسینوس.

? مفهوم فرآیندهای نوسانی. نوسانات هارمونیک و ویژگی های آنها دوره، دامنه، فرکانس و فاز نوسانات. نمایش گرافیکی ارتعاشات هارمونیک.

فرآیندهای دوره ای که در طول زمان تکرار می شوند، نوسانی نامیده می شوند. نوسانات تناوبی که در آنها مختصات یک جسم در طول زمان بر اساس قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند، هارمونیک نامیده می شود. پریود زمان یک نوسان است. دامنه حداکثر جابجایی یک نقطه از موقعیت تعادل آن است. فرکانس تعداد نوسانات کامل در واحد زمان است. فاز کمیت زیر علامت سینوس یا کسینوس است. معادله: ، اینجا اس- کمیتی که وضعیت یک سیستم نوسانی را مشخص می کند - فرکانس چرخه ای. به صورت گرافیکی - با استفاده از موج سینوسی یا کسینوس.

? نوسانات میرا شده. معادله دیفرانسیل این نوسانات. کاهش میرایی لگاریتمی، زمان استراحت، فاکتور کیفیت.

نوساناتی که دامنه آنها به مرور زمان کاهش می یابد، مثلاً در اثر اصطکاک. معادله: ، اینجا اس- کمیتی که وضعیت یک سیستم نوسانی را مشخص می کند - فرکانس چرخه ای - ضریب میرایی. کاهش میرایی لگاریتمی، که در آن ن- تعداد نوسانات تکمیل شده در طول دامنه کاهش می یابد نیک بار زمان آرامش t - که در طی آن دامنه e بار کاهش می یابد. فاکتور کیفیت Q= .

? نوسانات اجباری میرا نشده. معادله دیفرانسیل این نوسانات. رزونانس چیست؟ دامنه و فاز نوسانات اجباری.

اگر از دست دادن انرژی نوسانی که منجر به میرایی آنها می شود، به طور کامل جبران شود، نوسانات بدون میرا ایجاد می شوند. معادله: . در اینجا سمت راست تأثیر خارجی است که مطابق قانون هارمونیک تغییر می کند. اگر فرکانس طبیعی نوسانات سیستم با نوسانات خارجی مطابقت داشته باشد، رزونانس رخ می دهد - افزایش شدید دامنه سیستم. دامنه , .

? افزودن ارتعاشات هم جهت و یک فرکانس، ارتعاشات متقابل عمود را توصیف کنید. بیت ها چیست؟

دامنه نوسان حاصل از اضافه شدن دو نوسان هارمونیک هم جهت و یک فرکانس در اینجا است. الف– دامنه ها، j – فازهای اولیه. مرحله اولیه نوسان حاصل . نوسانات متقابل عمود بر هم - معادله مسیر ، اینجا الفو دردامنه نوسانات اضافه شده، اختلاف فاز j.

? نوسانات آرامش را شرح دهید. خود نوسانات

آرامش - خود نوسانات، به شدت متفاوت از شکل هارمونیک، به دلیل اتلاف انرژی قابل توجه در سیستم های خود نوسان (اصطکاک در سیستم های مکانیکی). خود نوسانی نوسانات بدون میرا پذیری هستند که توسط منابع انرژی خارجی در غیاب نیروی متغیر خارجی پشتیبانی می شوند. تفاوت با اجباری در این است که فرکانس و دامنه خود نوسانات توسط ویژگی های خود سیستم نوسانی تعیین می شود. آنها با نوسانات آزاد متفاوت هستند - آنها در استقلال دامنه از زمان و از تأثیر کوتاه مدت اولیه که فرآیند نوسان را تحریک می کند، متفاوت هستند. نمونه ای از سیستم های خود نوسانی ساعت است.

? امواج (مفاهیم اساسی). امواج طولی و عرضی. موج ایستاده. طول موج، رابطه آن با دوره و فرکانس.

فرآیند انتشار ارتعاشات در فضا را موج می گویند. جهتی که موج در آن انرژی ارتعاشی را منتقل می کند، جهتی است که موج در آن حرکت می کند. طولی - ارتعاش ذرات متوسط ​​در جهت انتشار موج رخ می دهد. عرضی - ارتعاشات ذرات محیط عمود بر جهت انتشار موج رخ می دهد. یک موج ایستاده از برهم نهی دو موج سیار که به سمت یکدیگر با فرکانس ها و دامنه های یکسان منتشر می شوند و در مورد امواج عرضی، قطبش یکسان تشکیل می شود. طول موج مسافتی است که یک موج در یک دوره طی می کند. (طول موج، v- سرعت موج، تی- دوره نوسان)

? اصل برهم نهی (پوشش) امواج. سرعت گروهی و رابطه آن با سرعت فاز.

اصل برهم نهی - هنگامی که چندین موج در یک محیط خطی منتشر می شوند، هر یک به گونه ای منتشر می شود که گویی امواج دیگری وجود ندارد و جابجایی حاصل از یک ذره از محیط در هر زمان برابر است با مجموع هندسی جابجایی های ذرات. دریافت در حین شرکت در هر یک از فرآیندهای موجی تشکیل دهنده. سرعت گروهی سرعت حرکت گروهی از امواج است که در هر لحظه از زمان یک بسته موج موضعی را در فضا تشکیل می دهند. سرعت حرکت فاز موج، سرعت فاز است. در یک محیط غیر پراکنده آنها منطبق هستند.

? موج الکترومغناطیسی و خواص آن انرژی امواج الکترومغناطیسی

موج الکترومغناطیسی یک نوسان الکترومغناطیسی است که در فضا منتشر می شود. به طور آزمایشی توسط هرتز در سال 1880 به دست آمد. خواص - می تواند در محیط و خلاء، در خلاء برابر با c، در رسانه کمتر، عرضی، انتشار یابد. E و ب متقابل عمود و عمود بر جهت انتشار. شدت با افزایش شتاب ذره باردار تابشی در شرایط خاص افزایش می یابد، خواص موج معمولی - پراش، و غیره .

اپتیک

فرمول های اولیه اپتیک

سرعت نور در محیط:

کجا ج- سرعت نور در خلاء

n- ضریب شکست محیط

طول مسیر موج نور نوری:

L = ns

کجا س– طول مسیر هندسی یک موج نور در محیطی با ضریب شکست n

تفاوت مسیر نوری بین دو موج نوری:

∆ = L 1 – L 2 .

وابستگی اختلاف فاز به اختلاف نوری در مسیر امواج نور:

که در آن λ طول موج نور است.

شرایط برای حداکثر تقویت نور در هنگام تداخل:

∆ = کλ (= 0، 1، 2، …) .

شرایط برای حداکثر تضعیف نور:

تفاوت نوری در مسیر امواج نور که هنگام بازتاب نور تک رنگ از یک لایه نازک رخ می دهد:

∆ = 2د ,

کجا د- ضخامت فیلم؛

n- ضریب شکست فیلم؛

من من– زاویه شکست نور در فیلم.

شعاع نور حلقه های نیوتن در نور بازتابی:

r k = ، (k = 1، 2، 3، ...)،

کجا ک- شماره حلقه؛

آر- شعاع انحنا

شعاع حلقه های تاریک نیوتن در نور بازتابی:

r k = .

زاویه φ انحراف پرتوها، مربوط به حداکثر (باند نور) در حین پراش توسط یک شکاف، از شرایط تعیین می شود.

الف sinφ = (k = 0، 1، 2، 3، …),

کجا الف- عرض شکاف؛

ک- شماره سریال حداکثر.

گوشهانحراف پرتوها، مربوط به حداکثر (باند نور) در طول پراش نور در یک شبکه پراش، از شرایط تعیین می شود.

د sinφ = (ک = 0, 1, 2, 3, …),

کجا د- دوره توری پراش.

وضوح توری پراش:

آر= = kN,

که در آن Δλ کوچکترین اختلاف در طول موج دو خط طیفی مجاور (λ و λ+∆λ) است، که در آن این خطوط را می توان به طور جداگانه در طیف به دست آمده توسط این توری مشاهده کرد.

ن- تعداد کل شکاف های توری.

فرمول ولف-براگ:

2dگناه θ = κ λ,

که در آن θ زاویه چرا است (زاویه بین جهت پرتو پرتو ایکس موازی که روی بلور و صفحه اتمی در کریستال فرود می‌آید).

دفاصله بین صفحات اتمی کریستال است.

قانون بروستر:

tan ε B=n 21 ,

جایی که ε ب- زاویه تابش که در آن پرتو منعکس شده از دی الکتریک کاملاً قطبی می شود.

n 21 – ضریب شکست نسبی محیط دوم نسبت به اولی.

قانون مالوس:

من = من 0 cos 2 α ,

کجا من 0 - شدت تابش نور پلاریزه صفحه روی آنالایزر.

من- شدت این نور بعد از آنالایزر.

α زاویه بین جهت نوسانات بردار الکتریکی تابیده شده بر روی آنالایزر و صفحه عبور آنالایزر است (اگر نوسانات بردار الکتریکی نور فرودی با این صفحه منطبق باشد، آنالایزر این نور را بدون تضعیف).

زاویه چرخش صفحه قطبش نور تک رنگ هنگام عبور از یک ماده فعال نوری:

الف) φ = αd(در جامدات)،

کجا α - ثابت چرخش؛

د- طول مسیری که نور در یک ماده فعال نوری طی می کند.

ب) φ = [α] pd(در راه حل ها)،

کجا [α] - چرخش خاص؛

ص- غلظت جرمی یک ماده فعال نوری در محلول.

فشار سبک در حالت عادی روی سطح:

,

کجا او- روشنایی انرژی (تابش)؛

ω – چگالی انرژی تابش حجمی؛

ρ – ضریب بازتاب.

4.2. مفاهیم و تعاریف بخش "اپتیک".

? تداخل امواج. انسجام. حداکثر و حداقل شرایط.

تداخل عبارت است از تقویت یا تضعیف متقابل امواج همدوس هنگام روی هم قرار گرفتن آنها (همدوس - داشتن طول یکسان و اختلاف فاز ثابت در نقطه برهم نهی آنها).

حداکثر؛

حداقل .

در اینجا D اختلاف مسیر نوری است، l طول موج است.

? اصل هویگنز-فرنل پدیده پراش. پراش شکاف، توری پراش.

اصل هویگنز-فرنل - هر نقطه در فضا که یک موج منتشر کننده در یک لحظه معین از زمان به آن رسیده است، منبع امواج منسجم اولیه می شود. پراش خم شدن امواج به دور موانع است، اگر اندازه مانع با طول موج قابل مقایسه باشد، انحراف نور از انتشار مستقیم است. پراش شکاف در پرتوهای موازی است. یک موج صفحه روی یک مانع می افتد، الگوی پراش روی صفحه ای که در صفحه کانونی یک عدسی جمع کننده نصب شده در مسیر عبور نور از مانع مشاهده می شود. صفحه نمایش یک "تصویر پراش" از یک منبع نور دور تولید می کند. توری پراش سیستمی از شکاف های موازی با عرض مساوی است که در یک صفحه قرار دارند و با فضاهای مات با عرض مساوی از هم جدا شده اند. برای تقسیم نور به یک طیف و اندازه گیری طول موج استفاده می شود.

? پراکندگی نور (عادی و غیر طبیعی). قانون بوگر معنی ضریب جذب.

پراکندگی نور - وابستگی ضریب شکست مطلق یک ماده nدر فرکانس ν (یا طول موج λ) نوری که به ماده برخورد می کند (). سرعت نور در خلاء به فرکانس بستگی ندارد، بنابراین در خلاء پراکندگی وجود ندارد. پراکندگی طبیعی نور - اگر ضریب شکست به طور یکنواخت با افزایش فرکانس افزایش یابد (با افزایش طول موج کاهش می یابد). پراکندگی غیرعادی - اگر ضریب شکست با افزایش فرکانس به طور یکنواخت کاهش یابد (با افزایش طول موج افزایش می یابد). پیامد پراکندگی، تجزیه نور سفید به یک طیف در هنگام شکست در یک ماده است. جذب نور در یک ماده توسط قانون بوگر توصیف می شود

من 0 و من- شدت موج نوری تک رنگ صاف در ورودی و خروجی لایه ای از ماده جاذب با ضخامت X a ضریب جذب است، بستگی به طول موج دارد و برای مواد مختلف متفاوت است.

? پلاریزاسیون موج چیست؟ به دست آوردن امواج پلاریزه قانون مالوس

قطبش شامل به دست آوردن جهت گیری ترجیحی جهت نوسانات در امواج عرضی است. نظم در جهت گیری بردارهای شدت میدان الکتریکی و مغناطیسی یک موج الکترومغناطیسی در صفحه ای عمود بر جهت انتشار پرتو نور. E , ب - عمود بر. نور طبیعی را می توان با استفاده از پلاریزه به نور پلاریزه تبدیل کرد. قانون مالوس ( من 0 - از آنالیزور عبور کرد، من- از یک پلاریزه عبور کرد).

? دوگانگی موج-ذره فرضیه دی بروگلی.

از نظر تاریخی، دو نظریه در مورد نور ارائه شده است: جسم نورانی - اجسام نورانی ذرات جسمی ساطع می کنند (شواهد - تابش جسم سیاه، اثر فوتوالکتریک) و موج - جسم درخشان باعث ایجاد ارتعاشات کشسان در محیط می شود و مانند امواج صوتی در هوا منتشر می شود (شواهد. - پدیده تداخل، پراش، قطبش نور). فرضیه بروگلی - خواص موج ذرات نه تنها برای فوتون ها، بلکه برای ذراتی که دارای جرم استراحت هستند - الکترون ها، پروتون ها، نوترون ها، اتم ها، مولکول ها نیز ذاتی هستند. ? افکت عکس. معادله انیشتین

اثر فوتوالکتریک پدیده برهمکنش نور با ماده است که در نتیجه انرژی فوتون ها به الکترون های ماده منتقل می شود. معادله: (انرژی فوتون صرف عملکرد الکترون و انتقال انرژی جنبشی به الکترون می شود)

هر ارتعاشی نشان دهنده حرکت با شتاب متغیر است. انحراف، سرعت و شتاب در این حالت تابع زمان هستند. هر نوسانی با تناوب مشخص می شود، به عنوان مثال. حرکت پس از گذشت زمان تکرار می شود تی، مدت یا دوره نوسان نامیده می شود. نوسانات زمانی رخ می دهند که انرژی به سیستمی که قادر به نوسان است، داده می شود.
لازم است تشخیص داده شود:

نوسانات بدون میراگر

نوسانات بدون میرا با دامنه ثابت رخ می دهد Ym. فرض بر این است که در این حالت انرژی عرضه شده حفظ می شود. تقریباً چنین شرایطی در تلفات انرژی کم و زمان مشاهده کوتاه رخ می دهد. برای به دست آوردن نوسانات بدون میرا، لازم است به طور منظم انرژی از دست رفته را دوباره پر کنید.

نوسانات میرا شده

نوسانات میرایی به تدریج دامنه خود را کاهش می دهند Ym. بدون تجدید انرژی، هر ارتعاشی از بین می رود.

ویژگی های مهم ارتعاش

نوسانات هارمونیک طبق قانون رخ می دهد:

x = الف cos(ω تی + φ 0),

کجا x- جابجایی ذره از موقعیت تعادل، الف- دامنه نوسانات، ω - فرکانس دایره ای، φ 0 - فاز اولیه، تی- زمان

دوره نوسان تی = .

سرعت ذره در حال نوسان:

υ = = – الفω sin(ω تی + φ 0),

شتاب الف = = –الفω 2 cos (ω تی + φ 0).

انرژی جنبشی ذره ای که در حال حرکت نوسانی است: E k = =
گناه 2 (ω تی+ φ 0).

انرژی بالقوه:

E n=
cos 2 (ω تی + φ 0).

دوره های نوسانات آونگ

- بهار تی =
,

کجا متر- انبوه محموله، ک- ضریب سختی فنر،

- ریاضی تی = ,

کجا ل- طول تعلیق، g- شتاب سقوط آزاد،

- فیزیکی تی =
,

کجا من- ممان اینرسی آونگ نسبت به محور عبوری از نقطه تعلیق، متر- جرم آونگ، ل- فاصله از نقطه تعلیق تا مرکز جرم.

طول کاهش یافته یک آونگ فیزیکی از شرایط زیر بدست می آید: ل np = ,

نامگذاری ها مانند آونگ فیزیکی است.

هنگامی که دو نوسان هارمونیک با فرکانس یکسان و یک جهت اضافه می شود، یک نوسان هارمونیک با همان فرکانس با دامنه به دست می آید:

الف = الف 1 2 + الف 2 2 + 2الف 1 الف 2 cos (φ 2 - φ 1)

و فاز اولیه: φ = آرکتان
.

کجا الف 1 , الف 2 - دامنه، φ 1، φ 2 - فازهای اولیه نوسانات چین خورده.

مسیر حرکت حاصل هنگام اضافه کردن نوسانات متقابل عمود بر یک فرکانس:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = گناه 2 (φ 2 - φ 1).

نوسانات میرایی طبق قانون رخ می دهد:

x = الف 0 ه - β تی cos(ω تی + φ 0),

در جایی که β ضریب میرایی است، معنای پارامترهای باقیمانده مانند نوسانات هارمونیک است. الف 0 - دامنه اولیه. در یک لحظه از زمان تیدامنه ارتعاش:

الف = الف 0 ه - β تی .

کاهش میرایی لگاریتمی نامیده می شود:

λ = ورود
= β تی,

کجا تی- دوره نوسان: تی = .

ضریب کیفیت یک سیستم نوسانی نامیده می شود:

معادله یک موج در حال حرکت هواپیما به شکل زیر است:

y = y 0 cos ω( تی ± ),

کجا در- جابجایی کمیت نوسانی از موقعیت تعادل، در 0 - دامنه، ω - فرکانس زاویه ای، تی- زمان، X- مختصاتی که موج در امتداد آن منتشر می شود، υ - سرعت انتشار موج

علامت "+" مربوط به موجی است که بر خلاف محور منتشر می شود X، علامت "-" مربوط به موجی است که در امتداد محور منتشر می شود X.

طول موج را دوره فضایی آن می نامند:

λ = υ تی,

کجا υ - سرعت انتشار موج تی- دوره انتشار نوسانات.

معادله موج را می توان نوشت:

y = y 0 cos 2π (+).

یک موج ایستاده با معادله توصیف می شود:

y = (2y 0cos ) cos ω تی

دامنه موج ایستاده در داخل پرانتز قرار دارد. نقاطی با حداکثر دامنه، پادگره نامیده می شوند.

x n = n ,

نقاط با دامنه صفر - گره ها،

x y = ( n + ) .

نمونه هایی از حل مسئله

مسئله 20

دامنه ارتعاشات هارمونیک 50 میلی متر، دوره 4 ثانیه و فاز اولیه است. . الف) معادله این نوسان را بنویسید. ب) جابجایی نقطه نوسان را از موقعیت تعادل در پیدا کنید تی= 0 و در تی= 1.5 ثانیه؛ ج) نمودار این حرکت را رسم کنید.

راه حل

معادله نوسان به صورت نوشته شده است x = الف cos( تی+  0).

با توجه به شرایط، دوره نوسان مشخص است. از طریق آن می توانیم فرکانس دایره ای  = را بیان کنیم . پارامترهای باقی مانده شناخته شده است:

الف) x= 0.05cos( تی + ).

ب) افست xدر تی= 0.

x 1 = 0.05 cos = 0.05 = 0.0355 متر.

در تی= 1.5 ثانیه

x 2 = 0.05 cos( 1,5 + )= 0.05 cos  = - 0.05 متر.

V ) نمودار یک تابع x= 0.05cos ( تی + ) به این شکل است:

بیایید موقعیت چند نقطه را تعیین کنیم. شناخته شده است X 1 (0) و X 2 (1.5)، و همچنین دوره نوسان. بنابراین، از طریق  تی= مقدار 4 ثانیه Xتکرار می شود و بعد از  تی = 2 s علامت را تغییر می دهد. بین حداکثر و حداقل در وسط 0 است.

مسئله 21

نقطه یک نوسان هارمونیک انجام می دهد. دوره نوسان 2 ثانیه، دامنه 50 میلی متر، فاز اولیه صفر است. سرعت نقطه را در لحظه ای که جابجایی آن از وضعیت تعادل 25 میلی متر است را بیابید.

راه حل

1 راه. معادله نوسان نقطه را می نویسیم:

x= 0.05 cos تی, زیرا  = =.

یافتن سرعت در لحظه زمان تی:

υ = = – 0,05 cos تی

ما لحظه ای را در زمان پیدا می کنیم که جابجایی 0.025 متر است:

0.025 = 0.05 cos تی 1 ,

از این رو cos  تی 1 = ,  تی 1 = . این مقدار را با عبارت speed جایگزین می کنیم:

υ = – 0.05  گناه = – 0.05  = 0.136 متر بر ثانیه.

روش 2. انرژی کل حرکت نوسانی:

E =
,

کجا الف- دامنه،  - فرکانس دایره ای، متر – جرم ذرات

در هر لحظه از زمان از انرژی پتانسیل و جنبشی نقطه تشکیل شده است

E k = , E n = ، اما ک = متر 2 یعنی E n =
.

بیایید قانون بقای انرژی را بنویسیم:

= +
,

از اینجا دریافت می کنیم: الف 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 متر بر ثانیه.

مسئله 22

دامنه نوسانات هارمونیک یک نقطه مادی الف= 2 سانتی متر، انرژی کل E= 3∙10 -7 J. در چه جابجایی از موقعیت تعادل نیرو بر روی نقطه نوسان اثر می کند. اف = 2.25∙10 -5 نیوتن؟

راه حل

انرژی کل نقطه ای که نوسانات هارمونیک انجام می دهد برابر است با: E =
. (13)

مدول نیروی الاستیک از طریق جابجایی نقاط از موقعیت تعادل بیان می شود xبه شرح زیر:

اف = k x (14)

فرمول (13) شامل جرم است مترو فرکانس دایره ای  و در (14) - ضریب سختی ک. اما فرکانس دایره ای مربوط به مترو ک:

 2 = ,

از اینجا ک = متر 2 و F = متر 2 x. بیان کرده است متر 2 از رابطه (13) به دست می آید: متر 2 = , اف = x.

از جایی که عبارت جابجایی را می گیریم x: x = .

جایگزینی مقادیر عددی به دست می آید:

x =
= 1.5∙10 -2 متر = 1.5 سانتی متر.

مسئله 23

نقطه در دو نوسان با دوره ها و فازهای اولیه یکسان شرکت می کند. دامنه های نوسان الف 1 = 3 سانتی متر و A 2 = 4 سانتی متر دامنه ارتعاش حاصل را بیابید اگر: 1) ارتعاشات در یک جهت رخ دهد. 2) نوسانات متقابل عمود هستند.

راه حل

اگر نوسانات در یک جهت رخ دهد، دامنه نوسان حاصل به صورت زیر تعیین می شود:

کجا الف 1 و الف 2 - دامنه نوسانات اضافه،  1 و  2 - فازهای اولیه. طبق شرط، فازهای اولیه یکسان هستند، یعنی  2 –  1 = 0 و cos 0 = 1.

از این رو:

الف =
=
= الف 1 +الف 2 = 7 سانتی متر

اگر نوسانات متقابل عمود باشند، معادله حرکت حاصل به صورت زیر خواهد بود:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

از آنجایی که با شرط  2 –  1 = 0، cos 0 = 1، sin 0 = 0، معادله به صورت زیر نوشته می شود:
=0,

یا
=0,

یا
.

رابطه حاصل بین xو دررا می توان بر روی نمودار نشان داد. نمودار نشان می دهد که نتیجه نوسان یک نقطه در یک خط مستقیم خواهد بود MN. دامنه این نوسان به صورت زیر تعیین می شود: =
الف

= 5 سانتی متر

مسئله 24 تی= 4 ثانیه، کاهش میرایی لگاریتمی  = 1.6، فاز اولیه صفر است. جابجایی نقطه در تی = برابر با 4.5 سانتی متر 1) معادله این ارتعاش را بنویسید. 2) نمودار این حرکت را برای دو دوره بسازید.

راه حل

معادله نوسانات میرا شده با فاز اولیه صفر به شکل زیر است:

x = الف 0 ه -  تی cos2 .

مقادیر دامنه اولیه کافی برای جایگزینی مقادیر عددی وجود ندارد الف 0 و ضریب تضعیف .

ضریب تضعیف را می توان از رابطه کاهش میرایی لگاریتمی تعیین کرد:

 = تی.

بنابراین  = = = 0.4 s -1.

دامنه اولیه را می توان با جایگزینی شرط دوم تعیین کرد:

4.5 سانتی متر = الف 0
cos 2 = A 0
cos = الف 0
.

از اینجا در می یابیم:

الف 0 = 4,5∙

(سانتی متر) = 7.75 سانتی متر.

معادله نهایی حرکت این است:

x = 0,0775
هزینه

مسئله 25

کاهش میرایی لگاریتمی یک آونگ ریاضی چقدر است، اگر برای تی = 1 دقیقه دامنه نوسانات به نصف کاهش یافته است؟ طول آونگ ل = 1 متر

راه حل

کاهش میرایی لگاریتمی را می توان از رابطه: =  پیدا کرد تی,

که در آن  ضریب تضعیف است، تی- دوره نوسان. فرکانس دایره ای طبیعی یک آونگ ریاضی:

 0 =
= 3.13 s -1.

ضریب میرایی نوسان را می توان از شرایط زیر تعیین کرد: الف 0 = الف 0 ه -  تی ,

تی= ln2 = 0.693،

 =
= 0.0116c -1.

از آنجایی که <<  0 , то в формуле  =
را می توان در مقایسه با  0 نادیده گرفت و دوره نوسان را می توان با فرمول تعیین کرد: تی = = 2c.

 و را جایگزین می کنیم تیدر بیان کاهش میرایی لگاریتمی و دریافت می کنیم:

 = تی= 0.0116 s -1 ∙ 2 s = 0.0232.

مسئله 26

معادله نوسانات بدون میرا به شکل داده شده است x= 4 sin600  تیسانتی متر

جابجایی را از موقعیت تعادل نقطه ای که در دوردست قرار دارد را بیابید ل= 75 سانتی متر از منبع ارتعاش، از طریق تی= 0.01 ثانیه پس از شروع نوسان. سرعت انتشار نوسان υ = 300 متر بر ثانیه

راه حل

اجازه دهید معادله یک موج منتشر شده از منبع داده شده را بنویسیم: x= 0.04 sin 600 ( تی– ).

فاز موج را در یک زمان معین در یک مکان معین پیدا می کنیم:

تی– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5،

sin 4.5 = گناه = 1.

بنابراین، جابجایی نقطه x= 0.04 متر، یعنی در فاصله ل = 75 سانتی متر از منبع در زمان تی= حداکثر جابجایی نقطه 0.01 ثانیه.

مراجع

Volkenshtein V.S.. مجموعه مسائل درس عمومی فیزیک. – سنت پترزبورگ: SpetsLit، 2001.

ساولیف I.V.. مجموعه سوالات و مسائل فیزیک عمومی. - M.: Nauka، 1998.

نوسانات هارمونیک نوساناتی هستند که طبق قوانین سینوس و کسینوس انجام می شوند. در شکل زیر نموداری از تغییرات مختصات یک نقطه در طول زمان بر اساس قانون کسینوس نشان داده شده است.

تصویر

دامنه نوسان

دامنه ارتعاش هارمونیک بزرگترین مقدار جابجایی یک جسم از موقعیت تعادل آن است. دامنه می تواند مقادیر مختلفی به خود بگیرد. این بستگی به این دارد که چقدر بدن را در لحظه اولیه زمان از وضعیت تعادل جابجا کنیم.

دامنه توسط شرایط اولیه تعیین می شود، یعنی انرژی داده شده به بدن در لحظه اولیه زمان. از آنجایی که سینوس و کسینوس می توانند مقادیری در محدوده 1- تا 1 داشته باشند، معادله باید حاوی یک عامل Xm باشد که دامنه نوسانات را بیان می کند. معادله حرکت برای ارتعاشات هارمونیک:

x = Xm*cos(ω0*t).

دوره نوسان

دوره نوسان زمانی است که برای تکمیل یک نوسان کامل طول می کشد. دوره نوسان با حرف T مشخص می شود. واحدهای اندازه گیری دوره با واحدهای زمان مطابقت دارند. یعنی در SI اینها ثانیه هستند.

فرکانس نوسان تعداد نوسانات انجام شده در واحد زمان است. فرکانس نوسان با حرف ν مشخص می شود. فرکانس نوسان را می توان بر حسب دوره نوسان بیان کرد.

ν = 1/T.

واحدهای فرکانس بر حسب SI 1/sc هستند. این واحد اندازه گیری هرتز نامیده می شود. تعداد نوسانات در زمان 2*pi ثانیه برابر با:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

فرکانس نوسان

این کمیت فرکانس چرخه ای نوسانات نامیده می شود. در برخی ادبیات نام فرکانس دایره ای ظاهر می شود. فرکانس طبیعی یک سیستم نوسانی فرکانس نوسانات آزاد است.

فرکانس نوسانات طبیعی با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

فرکانس ارتعاشات طبیعی به خواص مواد و جرم بار بستگی دارد. هرچه سفتی فنر بیشتر باشد، فرکانس ارتعاشات خود آن بیشتر است. هر چه جرم بار بیشتر باشد، فرکانس نوسانات طبیعی کمتر است.

این دو نتیجه بدیهی است. هر چه فنر سفت‌تر باشد، شتاب بیشتری به بدنه می‌دهد که سیستم از تعادل خارج شود. هر چه جرم یک جسم بیشتر باشد سرعت این جسم کندتر تغییر می کند.

دوره نوسان آزاد:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

قابل توجه است که در زوایای انحراف کوچک دوره نوسان بدنه روی فنر و دوره نوسان آونگ به دامنه نوسانات بستگی نخواهد داشت.

بیایید فرمول های دوره و فرکانس نوسانات آزاد را برای یک آونگ ریاضی بنویسیم.

سپس دوره برابر خواهد شد

T = 2*pi*√(l/g).

این فرمول فقط برای زوایای انحراف کوچک معتبر خواهد بود. از فرمول می بینیم که دوره نوسان با افزایش طول نخ آونگ افزایش می یابد. هر چه طول بیشتر باشد، بدن آهسته تر می لرزد.

دوره نوسان اصلاً به جرم بار بستگی ندارد. اما بستگی به شتاب سقوط آزاد دارد. با کاهش g، دوره نوسان افزایش می یابد. این ویژگی به طور گسترده در عمل استفاده می شود. به عنوان مثال، برای اندازه گیری مقدار دقیق شتاب آزاد.