چگونه یک مثلث درجه دوم را به فاکتورهای خطی تبدیل کنیم. نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها براکت کردن عامل مشترک

8 مثال از فاکتورسازی چندجمله ای ها آورده شده است. آنها شامل مثال هایی از حل معادلات درجه دوم و دوگانه، مثال هایی از چندجمله ای های متقابل و مثال هایی از یافتن ریشه های اعداد صحیح چند جمله ای های درجه سوم و چهارم هستند.

محتوا

همچنین ببینید: روش های فاکتورگیری چند جمله ای ها
ریشه های یک معادله درجه دوم
حل معادلات مکعبی

1. مثال هایی با حل معادله درجه دوم

مثال 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

x را بیرون می آوریم 2 خارج از پرانتز:
.
2 + x - 6 = 0:
.
ریشه های معادله:
, .

.

مثال 1.2

عامل چند جمله ای درجه سوم:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

بیایید x را از پرانتز خارج کنیم:
.
حل معادله درجه دوم x 2 + 6 x + 9 = 0:
ممیز آن: .
از آنجایی که ممیز صفر است، ریشه های معادله مضرب هستند: ;
.

از اینجا فاکتورسازی چند جمله ای را بدست می آوریم:
.

مثال 1.3

فاکتور چند جمله ای درجه پنجم:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

x را بیرون می آوریم 3 خارج از پرانتز:
.
حل معادله درجه دوم x 2 - 2 x + 10 = 0.
ممیز آن: .
از آنجایی که تفکیک کننده کمتر از صفر است، ریشه های معادله مختلط هستند: ;
, .

فاکتورسازی چند جمله ای به شکل زیر است:
.

اگر علاقه مند به فاکتورسازی با ضرایب واقعی هستیم، پس:
.

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با استفاده از فرمول ها

مثال هایی با چند جمله ای های دو درجه ای

مثال 2.1

عامل چند جمله ای دو درجه ای:
x 4 + 2 - 20.

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
الف 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
الف 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

مثال 2.2

چند جمله ای را که به یک دو درجه ای تقلیل می دهد، فاکتور بگیرید:
x 8 + × 4 + 1.

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
الف 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
الف 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

مثال 2.3 با چند جمله ای بازگشتی

عامل چند جمله ای متقابل:
.

یک چند جمله ای متقابل درجه فرد دارد. بنابراین ریشه x = - دارد 1 . چند جمله ای را بر x تقسیم کنید -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

در نتیجه دریافت می کنیم:

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با ریشه های عدد صحیح
.

مثال 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
عامل چند جمله ای:;
بیایید فرض کنیم که معادله;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
بنابراین، ما سه ریشه پیدا کردیم:
.

، x

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با ریشه های عدد صحیح
.

مثال 3.1

حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
-2, -1, 1, 2 .
این مقادیر را یکی یکی جایگزین می کنیم:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

بنابراین، ما یک ریشه پیدا کردیم:
x 1 = -1 .
چند جمله ای را بر x - x تقسیم کنید 1 = x - (-1) = x + 1:


سپس،
.

حال باید معادله درجه سوم را حل کنیم:
.
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x دیگر پیدا کرده ایم 2 = -1 .
.

ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:

برای فاکتورسازی باید عبارات را ساده کرد. این امر ضروری است تا بتوان آن را بیشتر کاهش داد. بسط یک چند جمله ای زمانی معنا پیدا می کند که درجه آن کمتر از دو نباشد. چند جمله ای با درجه اول خطی نامیده می شود. این مقاله تمام مفاهیم تجزیه را پوشش می دهد،مبانی نظری

و روشهای فاکتورگیری چند جمله ای

نظریه

قضیه 1

هنگامی که هر چند جمله ای با درجه n، دارای شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + است. . . + a 1 x + a 0، به عنوان یک محصول با یک عامل ثابت با بالاترین درجه a n و n عامل خطی (x - x i)، i = 1، 2، ...، n، سپس Pn (x) نشان داده می شود. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) ، که در آن x i، i = 1، 2، ...، n ریشه های چند جمله ای هستند.

این قضیه برای ریشه های مختلط نوع x i، i = 1، 2، ...، n و برای ضرایب مختلط a k، k = 0، 1، 2، ...، n در نظر گرفته شده است. این اساس هر تجزیه است. وقتی ضرایب به شکل a k، k = 0، 1، 2، …، n هستنداعداد واقعی

، سپس ریشه های پیچیده ای که به صورت جفت مزدوج رخ خواهند داد. به عنوان مثال، ریشه های x 1 و x 2 مربوط به یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 مزدوج مختلط در نظر گرفته می شوند، سپس ریشه های دیگر واقعی هستند، که از آنها به دست می آوریم که چند جمله ای به شکل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q، که در آن x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

نظر دهید

ریشه های یک چند جمله ای را می توان تکرار کرد. بیایید اثبات قضیه جبر را نتیجه قضیه بزوت در نظر بگیریم.

قضیه اساسی جبر

قضیه 2

هر چند جمله ای با درجه n حداقل یک ریشه دارد.

پس از تقسیم یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s)، سپس باقیمانده را می گیریم که برابر با چند جمله ای در نقطه s است، سپس به دست می آوریم

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) ، که در آن Q n - 1 (x) چند جمله ای با درجه n - 1 است.

نتیجه قضیه بزوت

وقتی ریشه چند جمله ای P n (x) s در نظر گرفته شود، آنگاه P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . این نتیجه زمانی که برای توصیف راه حل استفاده می شود کافی است.

فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم

یک مثلث مربع به شکل a x 2 + b x + c را می توان به فاکتورهای خطی تبدیل کرد. سپس دریافت می کنیم که a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) ، که در آن x 1 و x 2 ریشه (مختلط یا واقعی) هستند.

از اینجا مشخص است که خود انبساط به محلول کاهش می یابد معادله درجه دوممتعاقبا

مثال 1

عامل سه جمله ای درجه دوم.

راه حل

لازم است ریشه های معادله 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید مقدار متمایز کننده را با استفاده از فرمول پیدا کنید، سپس D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 را دریافت می کنیم. از اینجا ما آن را داریم

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

از این نتیجه می گیریم که 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

برای انجام بررسی، باید پرانتز را باز کنید. سپس یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

پس از بررسی، به عبارت اصلی می رسیم. یعنی می توانیم نتیجه بگیریم که تجزیه به درستی انجام شده است.

مثال 2

عامل سه جمله ای درجه دوم شکل 3 x 2 - 7 x - 11 .

راه حل

دریافتیم که لازم است معادله درجه دوم حاصل از فرم 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 را محاسبه کنیم.

برای یافتن ریشه ها، باید ارزش تمایز را تعیین کنید. ما آن را دریافت می کنیم

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

از این نتیجه می گیریم که 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

مثال 3

چند جمله ای 2 x 2 + 1 را عامل کنید.

راه حل

حال باید معادله درجه دوم 2 x 2 + 1 = 0 را حل کرده و ریشه های آن را پیدا کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

این ریشه ها مزدوج پیچیده نامیده می شوند، به این معنی که خود بسط را می توان به صورت 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i نشان داد.

مثال 4

سه جمله درجه دوم x 2 + 1 3 x + 1 را تجزیه کنید.

راه حل

ابتدا باید یک معادله درجه دوم به شکل x 2 + 1 3 x + 1 = 0 حل کنید و ریشه های آن را پیدا کنید.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

با به دست آوردن ریشه ها، می نویسیم

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

، سپس ریشه های پیچیده ای که به صورت جفت مزدوج رخ خواهند داد. به عنوان مثال، ریشه های x 1 و x 2 مربوط به یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 مزدوج مختلط در نظر گرفته می شوند، سپس ریشه های دیگر واقعی هستند، که از آنها به دست می آوریم که چند جمله ای به شکل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q، که در آن x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

اگر مقدار تفکیک منفی باشد، چند جمله ای ها چند جمله ای های مرتبه دوم باقی می مانند. از این نتیجه می شود که ما آنها را به عوامل خطی گسترش نمی دهیم.

روش های فاکتورگیری چند جمله ای با درجه بالاتر از دو

هنگام تجزیه، یک روش جهانی در نظر گرفته می شود. اکثر موارد بر اساس نتیجه ای از قضیه بزوت است. برای این کار باید مقدار ریشه x 1 را انتخاب کنید و با تقسیم بر یک چند جمله ای بر 1 با تقسیم بر (x - x 1) درجه آن را کاهش دهید. چند جمله ای حاصل باید ریشه x 2 را پیدا کند و فرآیند جستجو چرخه ای است تا زمانی که یک بسط کامل به دست آوریم.

اگر ریشه پیدا نشد، از روش های دیگر فاکتورسازی استفاده می شود: گروه بندی، اصطلاحات اضافی. این موضوعیک راه حل برای معادلات با درجات بالاترو ضرایب صحیح

خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

حالتی را در نظر بگیرید که جمله آزاد برابر با صفر باشد، آنگاه شکل چندجمله ای تبدیل به P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + می شود. . . + a 1 x .

می توان دید که ریشه چنین چند جمله ای برابر با x 1 = 0 خواهد بود، سپس چند جمله ای را می توان به عنوان عبارت P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + نشان داد. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

این روش به عنوان خارج کردن عامل مشترک از براکت در نظر گرفته می شود.

مثال 5

فاکتور چند جمله ای درجه سوم 4 x 3 + 8 x 2 - x.

راه حل

می بینیم که x 1 = 0 ریشه چند جمله ای داده شده است، سپس می توانیم x را از براکت های کل عبارت حذف کنیم. دریافت می کنیم:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

بیایید به یافتن ریشه های مربع مثلثی 4 x 2 + 8 x - 1 برویم. بیایید تمایز و ریشه را پیدا کنیم:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

سپس به دنبال آن است

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

برای شروع، اجازه دهید یک روش تجزیه شامل ضرایب صحیح به شکل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + را در نظر بگیریم. . . + a 1 x + a 0 که ضریب بالاترین درجه 1 است.

هنگامی که یک چند جمله ای دارای ریشه های اعداد صحیح باشد، آنها مقسوم علیه عبارت آزاد در نظر گرفته می شوند.

مثال 6

عبارت f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 را بسط دهید.

راه حل

بیایید در نظر بگیریم که آیا ریشه های کامل وجود دارد یا خیر. لازم است تقسیم کننده های عدد - 18 را یادداشت کنید. ما آن را 1±، 2±، 3±، 6±، 9±، 18 ± می گیریم. نتیجه این است که این چند جمله ای دارای ریشه های عدد صحیح است. می توانید با استفاده از طرح هورنر بررسی کنید. این بسیار راحت است و به شما امکان می دهد به سرعت ضرایب انبساط یک چند جمله ای را بدست آورید:

نتیجه می شود که x = 2 و x = - 3 ریشه های چند جمله ای اصلی هستند که می تواند به عنوان حاصلضرب شکل نشان داده شود:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ما به گسترش یک مثلث درجه دوم به شکل x 2 + 2 x + 3 ادامه می دهیم.

از آنجایی که ممیز منفی است یعنی ریشه های واقعیخیر

پاسخ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

، سپس ریشه های پیچیده ای که به صورت جفت مزدوج رخ خواهند داد. به عنوان مثال، ریشه های x 1 و x 2 مربوط به یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 مزدوج مختلط در نظر گرفته می شوند، سپس ریشه های دیگر واقعی هستند، که از آنها به دست می آوریم که چند جمله ای به شکل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q، که در آن x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

استفاده از انتخاب ریشه و تقسیم یک چند جمله ای به چند جمله ای به جای طرح هورنر مجاز است. بیایید به در نظر گرفتن بسط یک چند جمله ای حاوی ضرایب صحیح به شکل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ادامه دهیم. . . + a 1 x + a 0 که بالاترین آن برابر با یک است.

این مورد برای کسرهای گویا رخ می دهد.

مثال 7

فاکتورسازی f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

راه حل

لازم است که متغیر y = 2 x را جایگزین کنید، باید به یک چند جمله ای با ضرایب برابر با 1 در بالاترین درجه بروید. باید با ضرب عبارت در 4 شروع کنید. ما آن را دریافت می کنیم

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

وقتی تابع حاصل از شکل g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 دارای ریشه های صحیح باشد، مکان آنها در میان مقسوم علیه های جمله آزاد است. ورودی به شکل زیر خواهد بود:

1±، 2±، 3±، 4±، 5±، 6±، 10±، 12±، 15±، 20±، 30±، 60±.

بیایید به محاسبه تابع g (y) در این نقاط برویم تا در نتیجه به صفر برسیم. ما آن را دریافت می کنیم

گرم (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 گرم (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 گرم (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 گرم (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 گرم (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 گرم (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 گرم (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 گرم (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 گرم (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 گرم (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

دریافتیم که y = - 5 ریشه معادله ای به شکل y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 است که به این معنی است که x = y 2 = - 5 2 ریشه تابع اصلی است.

مثال 8

لازم است با ستون 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 بر x + 5 2 تقسیم شود.

راه حل

بیایید آن را بنویسیم و دریافت کنیم:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

بررسی مقسوم‌کننده‌ها زمان زیادی می‌برد، بنابراین فاکتورسازی سه‌جمله‌ای درجه دوم حاصل از شکل x 2 + 7 x + 3 سود بیشتری دارد. با معادل سازی صفر، تفکیک کننده را پیدا می کنیم.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

به دنبال آن است

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

تکنیک های مصنوعی برای فاکتورگیری چند جمله ای

ریشه های گویا در همه چند جمله ای ها ذاتی نیستند. برای این کار باید از روش های خاصی برای یافتن فاکتورها استفاده کنید. اما همه چند جمله ای ها را نمی توان گسترش داد یا به عنوان یک محصول نشان داد.

روش گروه بندی

مواردی وجود دارد که می توانید عبارات یک چند جمله ای را گروه بندی کنید تا یک عامل مشترک پیدا کنید و آن را خارج از پرانتز قرار دهید.

مثال 9

چند جمله ای x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 را عامل کنید.

راه حل

از آنجایی که ضرایب اعداد صحیح هستند، احتمالاً ریشه ها نیز می توانند اعداد صحیح باشند. برای بررسی، مقادیر 1، - 1، 2 و - 2 را بگیرید تا مقدار چند جمله ای را در این نقاط محاسبه کنید. ما آن را دریافت می کنیم

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

این نشان می دهد که هیچ ریشه ای وجود ندارد، باید از روش دیگری برای گسترش و راه حل استفاده کرد.

گروه بندی لازم است:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

پس از گروه بندی چند جمله ای اصلی، باید آن را به صورت حاصل ضرب دو مثلث مربع نشان دهید. برای این کار باید فاکتورسازی کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

، سپس ریشه های پیچیده ای که به صورت جفت مزدوج رخ خواهند داد. به عنوان مثال، ریشه های x 1 و x 2 مربوط به یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 مزدوج مختلط در نظر گرفته می شوند، سپس ریشه های دیگر واقعی هستند، که از آنها به دست می آوریم که چند جمله ای به شکل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q، که در آن x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

سادگی گروه بندی به این معنی نیست که انتخاب اصطلاحات به اندازه کافی آسان است. روش حل خاصی وجود ندارد، بنابراین باید از قضایا و قواعد خاصی استفاده کرد.

مثال 10

چند جمله ای x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 را عامل کنید.

راه حل

چند جمله ای داده شده هیچ ریشه صحیحی ندارد. اصطلاحات باید گروه بندی شوند. ما آن را دریافت می کنیم

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

پس از فاکتورسازی به آن می رسیم

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

استفاده از فرمول های ضرب اختصاری و دوجمله ای نیوتن برای عامل یک چند جمله ای

ظاهر اغلب همیشه روشن نمی کند که کدام روش باید در هنگام تجزیه استفاده شود. پس از انجام تبدیل ها، می توانید خطی متشکل از مثلث پاسکال بسازید، در غیر این صورت آنها را دو جمله ای نیوتن می نامند.

مثال 11

چند جمله ای x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 را عامل کنید.

راه حل

تبدیل عبارت به فرم ضروری است

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

دنباله ضرایب مجموع داخل پرانتز با عبارت x + 1 4 نشان داده می شود.

این بدان معناست که ما x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 داریم.

پس از اعمال اختلاف مربع ها به دست می آوریم

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

عبارتی را که در پرانتز دوم است در نظر بگیرید. واضح است که در آنجا هیچ شوالیه ای وجود ندارد، بنابراین باید دوباره فرمول اختلاف مربع ها را اعمال کنیم. ما یک بیان از فرم را دریافت می کنیم

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

مثال 12

فاکتوریزه کردن x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

راه حل

بیایید شروع به تبدیل بیان کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

لازم است فرمول ضرب اختصاری اختلاف مکعب ها را اعمال کنید. دریافت می کنیم:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

روشی برای جایگزینی یک متغیر هنگام فاکتورگیری چند جمله ای

هنگام جایگزینی یک متغیر، درجه کاهش می یابد و چند جمله ای فاکتور می شود.

مثال 13

چند جمله ای شکل x 6 + 5 x 3 + 6 را عامل کنید.

راه حل

با توجه به شرط، مشخص است که باید جایگزینی y = x 3 انجام شود. دریافت می کنیم:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

ریشه های معادله درجه دوم حاصل y = - 2 و y = - 3 است، سپس

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

لازم است از فرمول ضرب اختصاری مجموع مکعب ها استفاده شود. ما عباراتی از فرم را دریافت می کنیم:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

یعنی تجزیه مورد نظر را به دست آوردیم.

مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت به در نظر گرفتن و فاکتورگیری یک چند جمله ای به روش های مختلف کمک می کند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در این درس می آموزیم که چگونه سه جمله های درجه دوم را به فاکتورهای خطی تبدیل کنیم. برای انجام این کار، باید قضیه ویتا و عکس آن را به خاطر بسپاریم. این مهارت به ما کمک می کند تا سه جمله های درجه دوم را به سرعت و به راحتی به عوامل خطی گسترش دهیم و همچنین کاهش کسرهای متشکل از عبارات را ساده می کند.

پس بیایید به معادله درجه دوم برگردیم، جایی که .

آنچه در سمت چپ داریم، سه جمله ای درجه دوم نامیده می شود.

قضیه درست است:اگر ریشه های یک مثلث درجه دوم باشد، پس هویت پابرجاست

ضریب پیشرو کجاست، ریشه های معادله هستند.

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم داریم - یک مثلث درجه دوم، که در آن به ریشه های معادله درجه دوم، ریشه های سه جمله ای درجه دوم نیز گفته می شود. بنابراین، اگر ریشه های یک مثلث مربع را داشته باشیم، این سه جمله ای را می توان به عوامل خطی تجزیه کرد.

اثبات:

اثبات این واقعیت با استفاده از قضیه Vieta انجام می شود که در درس های قبلی در مورد آن بحث کردیم.

بیایید آنچه را که قضیه ویتا به ما می گوید به یاد بیاوریم:

اگر ریشه های یک مثلث درجه دوم برای آن هستند، پس .

گزاره زیر از این قضیه به دست می آید:

می بینیم که طبق قضیه ویتا، یعنی با جایگزین کردن این مقادیر در فرمول بالا، عبارت زیر را به دست می آوریم.

Q.E.D.

به یاد بیاورید که ما این قضیه را ثابت کردیم که اگر ریشه های یک مثلث مربع باشد، پس بسط معتبر است.

حال بیایید مثالی از یک معادله درجه دوم را به یاد بیاوریم که با استفاده از قضیه ویتا ریشه های آن را انتخاب کردیم. از این واقعیت می توانیم به لطف قضیه اثبات شده برابری زیر را به دست آوریم:

حال بیایید صحت این واقعیت را با باز کردن پرانتزها بررسی کنیم:

می بینیم که به درستی فاکتور گرفتیم و هر سه جمله ای اگر ریشه داشته باشد، می توان با توجه به این قضیه به عوامل خطی طبق فرمول تبدیل کرد.

با این حال، بیایید بررسی کنیم که آیا چنین فاکتورگیری برای هر معادله ای امکان پذیر است یا خیر:

به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید. ابتدا علامت تشخیص را بررسی می کنیم

و به یاد می آوریم که برای تحقق قضیه ای که یاد گرفتیم، D باید بزرگتر از 0 باشد، بنابراین در این حالت، فاکتورگیری بر اساس قضیه ای که یاد گرفتیم غیرممکن است.

بنابراین، ما یک قضیه جدید را فرموله می کنیم: اگر یک مثلث مربع بدون ریشه باشد، نمی توان آن را به عوامل خطی تجزیه کرد.

بنابراین، ما به قضیه ویتا، یعنی امکان تجزیه یک مثلث درجه دوم به عوامل خطی نگاه کردیم و اکنون چندین مسئله را حل خواهیم کرد.

وظیفه شماره 1

در این گروه در واقع مسئله را برعکس آنچه مطرح شده حل خواهیم کرد. ما یک معادله داشتیم و با فاکتورگیری ریشه های آن را پیدا کردیم. در اینجا ما برعکس عمل خواهیم کرد. فرض کنید ریشه های یک معادله درجه دوم را داریم

مشکل معکوس این است: یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید.

2 راه برای حل این مشکل وجود دارد.

از آنجایی که ریشه های معادله هستند، پس معادله درجه دومی است که به ریشه های آن اعداد داده می شود. حالا بیایید براکت ها را باز کنیم و بررسی کنیم:

این اولین راهی بود که در آن یک معادله درجه دوم با ریشه های داده شده ایجاد کردیم که هیچ ریشه دیگری ندارد، زیرا هر معادله درجه دوم حداکثر دو ریشه دارد.

این روش شامل استفاده از قضیه مکالمهویتا

اگر ریشه های معادله باشند، آنگاه شرطی را برآورده می کنند که .

برای معادله درجه دوم کاهش یافته ، یعنی در این مورد و .

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم ایجاد کرده ایم که ریشه های داده شده را دارد.

وظیفه شماره 2

کاهش کسری ضروری است.

ما یک مثلثی در صورت و یک مثلثی در مخرج داریم و سه جمله ها را می توان فاکتور گرفت یا نه. اگر هم صورت و هم مخرج فاکتور شوند، ممکن است در بین آنها عوامل مساوی وجود داشته باشد که بتوان آنها را کاهش داد.

اول از همه، شما باید عدد را فاکتور بگیرید.

ابتدا باید بررسی کنید که آیا این معادله قابل فاکتورسازی است یا خیر، بیایید تفکیک کننده را پیدا کنیم. از آنجایی که علامت به محصول بستگی دارد (باید کمتر از 0 باشد)، در این مثال، i.e. معادله داده شدهریشه دارد

برای حل، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

در این صورت، از آنجایی که ما با ریشه ها سروکار داریم، انتخاب ساده ریشه ها بسیار دشوار خواهد بود. اما می بینیم که ضرایب متعادل هستند، یعنی اگر این را فرض کنیم و این مقدار را در معادله جایگزین کنیم، سیستم زیر به دست می آید: یعنی 5-5=0. بنابراین یکی از ریشه های این معادله درجه دوم را انتخاب کرده ایم.

ما با جایگزین کردن آنچه قبلاً شناخته شده است در سیستم معادلات به دنبال ریشه دوم خواهیم بود، به عنوان مثال، i.e. .

بنابراین، ما هر دو ریشه معادله درجه دوم را پیدا کرده‌ایم و می‌توانیم مقادیر آنها را با معادله اصلی جایگزین کنیم تا آن را فاکتور کنیم:

بیایید مشکل اصلی را به خاطر بسپاریم، ما باید کسر را کاهش دهیم.

بیایید سعی کنیم با جایگزین کردن مشکل را حل کنیم.

لازم به ذکر است که در این حالت مخرج نمی تواند برابر با 0 باشد، یعنی .

اگر این شرایط رعایت شود، کسر اصلی را به شکل کاهش می دهیم.

مشکل شماره 3 (کار با یک پارامتر)

مجموع ریشه های معادله درجه دوم در چه مقادیری از پارامتر است

اگر ریشه ها معادله داده شدهوجود داشته باشد، پس ، سوال: چه زمانی.

مربع است و از سه جمله () تشکیل شده است. بنابراین به نظر می رسد - یک مثلث مربع.

نمونه ها نهسه جمله ای مربع:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - چهار جمله ای مکعبی
\(2x+1\) - دو جمله ای خطی

جذر مثلثی:

مثال:
مثلث \(x^2-2x+1\) ریشه \(1\) دارد، زیرا \(1^2-2 1+1=0\)
سه جمله ای \(x^2+2x-3\) دارای ریشه های \(1\) و \(-3\) است، زیرا \(1^2+2-3=0\) و \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

به عنوان مثال:اگر نیاز به یافتن ریشه برای مثلث درجه دوم \(x^2-2x+1\) دارید، آن را با صفر برابر می کنیم و معادله \(x^2-2x+1=0\) را حل می کنیم.

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

آماده است. ریشه \(1\) است.

تجزیه یک مثلث درجه دوم به:

مثلث مربع \(ax^2+bx+c\) را می توان به صورت \(a(x-x_1)(x-x_2)\) بسط داد اگر معادلات \(ax^2+bx+c=0\) باشد بزرگتر از صفر \ (x_1\) و \(x_2\) ریشه های یک معادله هستند.

به عنوان مثال، سه جمله ای \(3x^2+13x-10\) را در نظر بگیرید.
معادله درجه دوم \(3x^2+13x-10=0\) دارای ممیز برابر با 289 (بزرگتر از صفر) و ریشه برابر با \(-5\) و \(\frac(2)(3)\) است. . بنابراین \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). به راحتی می توان صحت این عبارت را تأیید کرد - اگر ما، سه جمله اصلی را به دست خواهیم آورد.

اگر ممیز معادله \(ax^2+bx+c=0\) به صورت \(a(x-x_1)^2\) نشان داده شود. صفر

به عنوان مثال، سه جمله ای \(x^2+6x+9\) را در نظر بگیرید.
معادله درجه دوم \(x^2+6x+9=0\) دارای یک ممیز برابر با \(0\) و یک ریشه منحصر به فرد برابر با \(-3\) است. این یعنی \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (در اینجا ضریب \(a=1\) است، بنابراین قبل از براکت نوشته نشده است - نیازی نیست). لطفا توجه داشته باشید که همان تبدیل را می توان توسط .

اگر ممیز معادله \(ax^2+bx+c=0\) کمتر از صفر باشد، مثلث مربع \(ax^2+bx+c\) فاکتور نمی شود.

به عنوان مثال، سه جمله های \(x^2+x+4\) و \(-5x^2+2x-1\) دارای ممیز کمتر از صفر هستند. بنابراین، فاکتورگیری آنها غیرممکن است.

مثال . فاکتور \(2x^2-11x+12\).
راه حل :
بیایید ریشه های معادله درجه دوم \(2x^2-11x+12=0\) را پیدا کنیم.

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

بنابراین، \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
پاسخ دهید : \(2(x-1.5)(x-4)\)

پاسخ حاصل ممکن است متفاوت نوشته شود: \((2x-3)(x-4)\).

مثال . (تکالیف از OGE)مثلث مربع \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\) فاکتور می شود. \(a\) را پیدا کنید.
راه حل:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
پاسخ دهید : \(-1,6\)