برای اینکه یک صفحه منفرد از هر سه نقطه در فضا کشیده شود، لازم است که این نقاط روی یک خط مستقیم قرار نگیرند.

نقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) را در سیستم مختصات دکارتی عمومی در نظر بگیرید.

برای اینکه یک نقطه دلخواه M(x, y, z) در یک صفحه با نقاط M 1, M 2, M 3 قرار گیرد، لازم است که بردارها همسطح باشند.

(
) = 0

بنابراین،

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند:

معادله صفحه ای که دو نقطه و یک بردار هم خط به صفحه داده شده است.

بگذارید نقاط M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) و بردار داده شوند
.

بیایید یک معادله برای صفحه ای که از نقاط داده شده M 1 و M 2 می گذرد و یک نقطه دلخواه M (x, y, z) موازی با بردار ایجاد کنیم. .

بردارها
و بردار
باید همسطح باشد، یعنی

(
) = 0

معادله صفحه:

معادله یک صفحه با استفاده از یک نقطه و دو بردار،

هم خط به هواپیما

بگذارید دو بردار داده شود
و
، صفحات هم خط. سپس برای یک نقطه دلخواه M(x، y، z) متعلق به صفحه، بردارها
باید همسطح باشد

معادله صفحه:

معادله صفحه به نقطه و بردار نرمال .

قضیه. اگر نقطه M در فضا داده شود 0 (X 0 ، y 0 , z 0 ) سپس معادله صفحه ای که از نقطه M می گذرد 0 عمود بر بردار معمولی (الف, ب, سی) دارای شکل:

الف(x – x 0 ) + ب(y – y 0 ) + سی(z – z 0 ) = 0.

اثبات برای یک نقطه دلخواه M(x، y، z) متعلق به صفحه، یک بردار می سازیم. چون بردار بردار نرمال است، سپس عمود بر صفحه است، و بنابراین، عمود بر بردار
. سپس محصول اسکالر

= 0

بنابراین، معادله هواپیما را به دست می آوریم

قضیه ثابت شده است.

معادله یک صفحه در قطعات.

اگر در معادله کلی Ax + Bi + Cz + D = 0 هر دو طرف را بر (-D) تقسیم کنیم.

,

جایگزین کردن
، معادله صفحه را به صورت قطعه به دست می آوریم:

اعداد a، b، c به ترتیب نقاط تلاقی صفحه با محورهای x، y، z هستند.

معادله یک صفحه به شکل برداری.

کجا

- بردار شعاع نقطه فعلی M(x، y، z)،

بردار واحدی که جهت عمود بر صفحه ای از مبدأ افتاده است.

،  و  زوایایی هستند که توسط این بردار با محورهای x، y، z تشکیل می‌شوند.

p طول این عمود است.

در مختصات، این معادله به صورت زیر است:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما.

فاصله از نقطه دلخواه M 0 (x 0, y 0, z 0) تا صفحه Ax+By+Cz+D=0 برابر است با:

مثال.معادله صفحه را بیابید، با دانستن اینکه نقطه P(4; -3; 12) قاعده عمودی است که از مبدأ به این صفحه کاهش یافته است.

بنابراین A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13، از فرمول استفاده می کنیم:

A(x - x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

مثال.معادله صفحه ای که از دو نقطه عبور می کند را پیدا کنید P(2; 0; -1) و

Q(1; -1; 3) عمود بر صفحه 3x + 2y – z + 5 = 0.

بردار نرمال به صفحه 3x + 2y – z + 5 = 0
به موازات صفحه مورد نظر

دریافت می کنیم:

مثال.معادله صفحه ای که از نقاط A(2, -1, 4) می گذرد را بیابید

B(3، 2، -1) عمود بر صفحه X + در + 2z – 3 = 0.

معادله مورد نیاز هواپیما به شکل زیر است: الف x+B y+C z+ D = 0، بردار عادی به این صفحه (الف، ب، ج). بردار
(1، 3، -5) متعلق به هواپیما است. صفحه ای که به ما داده می شود، عمود بر صفحه مورد نظر، یک بردار معمولی دارد (1، 1، 2). چون نقاط A و B به هر دو صفحه تعلق دارند و صفحات بر هم عمود هستند

بنابراین بردار معمولی (11، -7، -2). چون نقطه A متعلق به صفحه مورد نظر است، سپس مختصات آن باید معادله این صفحه را برآورده کند، یعنی. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

در مجموع معادله هواپیما را بدست می آوریم: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

مثال.معادله صفحه را بیابید، با دانستن اینکه نقطه P(4، -3، 12) قاعده عمودی است که از مبدأ به این صفحه کاهش یافته است.

یافتن مختصات بردار نرمال
= (4، -3، 12). معادله مورد نیاز هواپیما به شکل زیر است: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. برای یافتن ضریب D، مختصات نقطه P را در معادله جایگزین می کنیم:

16 + 9 + 144 + D = 0

در مجموع معادله مورد نیاز را بدست می آوریم: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

مثال.مختصات رئوس هرم داده شده است: A 1 (1; 0; 3)، A 2 (2; -1; 3)، A 3 (2; 1; 1)،

طول یال A 1 A 2 را پیدا کنید.

زاویه بین لبه های A 1 A 2 و A 1 A 4 را پیدا کنید.

زاویه بین لبه A 1 A 4 و وجه A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

ابتدا بردار معمولی وجه A 1 A 2 A 3 را پیدا می کنیم چگونه محصول برداریبردارها
و
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

بیایید زاویه بین بردار معمولی و بردار را پیدا کنیم
.

-4 – 4 = -8.

زاویه مورد نظر  بین بردار و صفحه برابر با  = 90 0 -  خواهد بود.

ناحیه صورت A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

حجم هرم را پیدا کنید.

معادله صفحه A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

بیایید از فرمول معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند استفاده کنیم.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

هنگام استفاده از نسخه کامپیوتری " دوره عالی ریاضیمی توانید برنامه ای را اجرا کنید که مثال بالا را برای هر مختصاتی از رئوس هرم حل کند.

برای شروع برنامه، روی نماد دوبار کلیک کنید:

در پنجره برنامه باز شده مختصات رئوس هرم را وارد کرده و Enter را فشار دهید. به این ترتیب می توان تمام نقاط تصمیم گیری را یک به یک به دست آورد.

توجه: برای اجرای برنامه، برنامه Maple ( Waterloo Maple Inc.) از هر نسخه ای که با MapleV Release 4 شروع می شود، باید بر روی رایانه شما نصب باشد.

این مقاله ایده ای از نحوه نوشتن معادله هواپیمای عبوری را ارائه می دهد این نقطهفضای سه بعدی عمود بر یک خط معین. اجازه دهید الگوریتم داده شده را با استفاده از مثال حل مسائل معمولی تجزیه و تحلیل کنیم.

پیدا کردن معادله صفحه ای که از نقطه معینی در فضای عمود بر یک خط معین عبور می کند

بگذارید یک فضای سه بعدی و یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z در آن داده شود. نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1)، خط a و صفحه α که از نقطه M 1 عمود بر خط a عبور می کند نیز آورده شده است. باید معادله صفحه α را یادداشت کرد.

قبل از شروع حل این مسئله، اجازه دهید قضیه هندسه را از برنامه درسی کلاس های 10-11 به یاد بیاوریم که می گوید:

تعریف 1

از طریق نقطه داده شدهفضای سه بعدی یک صفحه منفرد عمود بر یک خط معین وجود دارد.

حال بیایید ببینیم چگونه معادله این صفحه منفرد را که از نقطه شروع و عمود بر خط داده شده عبور می کند، پیدا کنیم.

می توان معادله کلی یک صفحه را در صورتی یادداشت کرد که مختصات یک نقطه متعلق به این صفحه و همچنین مختصات بردار نرمال صفحه مشخص باشد.

شرایط مسئله مختصات x 1, y 1, z 1 نقطه M 1 را که صفحه α از آن عبور می کند به ما می دهد. اگر مختصات بردار نرمال صفحه α را تعیین کنیم، می توانیم معادله مورد نیاز را یادداشت کنیم.

بردار نرمال صفحه α، چون غیر صفر است و روی خط a قرار دارد، عمود بر صفحهα هر بردار جهت خط مستقیم a خواهد بود. بنابراین، مسئله یافتن مختصات بردار نرمال صفحه α به مسئله تعیین مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a تبدیل می شود.

تعیین مختصات بردار جهت خط مستقیم a را می توان با استفاده از روش های مختلفی انجام داد: این بستگی به گزینه تعیین خط مستقیم a در شرایط اولیه دارد. به عنوان مثال، اگر خط مستقیم a در بیان مسئله با معادلات متعارف شکل داده شود

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

یا معادلات پارامتریکنوع:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

سپس بردار جهت خط مستقیم دارای مختصات x، y و z خواهد بود. در صورتی که خط مستقیم a با دو نقطه M 2 (x 2, y 2, z 2) و M 3 (x 3, y 3, z 3) نشان داده شود، مختصات بردار جهت به صورت ( x3 – x2، y3 – y2، z3 – z2).

تعریف 2

الگوریتم یافتن معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک خط معین عبور می کند:

مختصات بردار جهت خط مستقیم a را تعیین می کنیم: a → = (a x، a y، a z) ;

مختصات بردار نرمال صفحه α را به صورت مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a تعریف می کنیم:

n → = (A، B، C)، که در آن A = a x، B = a y، C = a z;

معادله صفحه ای را می نویسیم که از نقطه M 1 می گذرد (x 1, y 1, z 1) و دارای بردار نرمال است. n → = (A، B، C) به شکل A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. این معادله مورد نیاز صفحه ای خواهد بود که از نقطه معینی در فضا می گذرد و بر یک خط معین عمود است.

معادله کلی هواپیما به صورت زیر است: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 به دست آوردن معادله صفحه در پاره ها یا معادله نرمال صفحه را ممکن می سازد.

بیایید چندین مثال را با استفاده از الگوریتم به دست آمده در بالا حل کنیم.

مثال 1

نقطه M 1 (3, - 4, 5) داده می شود که صفحه از آن عبور می کند و این صفحه عمود بر خط مختصات O z است.

راه حل

بردار جهت خط مختصات O z بردار مختصات k ⇀ = (0, 0, 1) خواهد بود. بنابراین، بردار نرمال هواپیما دارای مختصات (0، 0، 1) است. اجازه دهید معادله صفحه ای را بنویسیم که از یک نقطه معین M 1 می گذرد (3، - 4، 5)، که بردار نرمال آن دارای مختصات (0، 0، 1) است:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

پاسخ: z – 5 = 0 .

بیایید راه دیگری برای حل این مشکل در نظر بگیریم:

مثال 2

صفحه ای که بر خط O z عمود است با یک معادله صفحه کلی ناقص به شکل C z + D = 0، C ≠ 0 به دست می آید. اجازه دهید مقادیر C و D را تعیین کنیم: آنهایی که هواپیما از یک نقطه معین عبور می کند. اجازه دهید مختصات این نقطه را در معادله C z + D = 0 جایگزین کنیم، به دست می آید: C · 5 + D = 0. آن ها اعداد، C و D با رابطه - D C = 5 مرتبط هستند. با گرفتن C = 1، D = - 5 را دریافت می کنیم.

بیایید این مقادیر را در معادله C z + D = 0 جایگزین کنیم و معادله مورد نیاز یک صفحه عمود بر خط مستقیم O z و عبور از نقطه M 1 را بدست آوریم (3، - 4، 5).

به نظر می رسد: z – 5 = 0.

پاسخ: z – 5 = 0 .

مثال 3

معادله ای را برای صفحه ای بنویسید که از مبدأ و عمود بر خط x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 می گذرد.

راه حل

بر اساس شرایط مسئله، می توان استدلال کرد که بردار جهت یک خط مستقیم داده شده را می توان به عنوان بردار نرمال n → یک صفحه معین در نظر گرفت. بنابراین: n → = (- 3 , - 7 , 2) . اجازه دهید معادله صفحه ای را بنویسیم که از نقطه O (0, 0, 0) می گذرد و دارای بردار نرمال n → = (- 3, - 7, 2) است:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

ما معادله مورد نیاز صفحه ای را که از مبدا مختصات عمود بر یک خط معین عبور می کند، به دست آورده ایم.

پاسخ:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

مثال 4

یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z داده شده است فضای سه بعدی، شامل دو نقطه A (2، - 1، - 2) و B (3، - 2، 4) است. صفحه α از نقطه A عمود بر خط A B می گذرد. ​​لازم است معادله ای برای صفحه α در پاره ها ایجاد شود.

راه حل

صفحه α عمود بر خط A B است، سپس بردار A B → بردار نرمال صفحه α خواهد بود. مختصات این بردار به عنوان تفاوت بین مختصات متناظر نقاط B (3، - 2، 4) و A (2، - 1، - 2) تعریف می شود:

A B → = (3 - 2، - 2 - (- 1)، 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1، - 1، 6)

معادله کلیهواپیما به شکل زیر نوشته می شود:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

حال بیایید معادله مورد نیاز هواپیما را به صورت قطعه بسازیم:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

پاسخ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

همچنین باید توجه داشت که مسائلی وجود دارد که لازمه آنها نوشتن معادله صفحه ای است که از یک نقطه معین و عمود بر دو صفحه معین می گذرد. به طور کلی، راه حل این مسئله، ساختن معادله برای صفحه ای است که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد، زیرا دو صفحه متقاطع یک خط مستقیم را مشخص می کنند.

مثال 5

یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z داده شده است، در آن یک نقطه M 1 (2، 0، - 5) وجود دارد. معادلات دو صفحه 3 x + 2 y + 1 = 0 و x + 2 z – 1 = 0 که در امتداد خط مستقیم a قطع می شوند نیز آورده شده است. لازم است برای صفحه ای که از نقطه M 1 عمود بر خط مستقیم a عبور می کند معادله ای ایجاد شود.

راه حل

بیایید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a را تعیین کنیم. هم بر بردار نرمال n 1 → (3، 2، 0) از صفحه n → (1، 0، 2) و بردار نرمال 3 x + 2 y + 1 = 0 از x + 2 z - عمود است - 1 = 0 هواپیما.

سپس، به عنوان بردار هدایت α → خط a، حاصل ضرب برداری بردارهای n 1 → و n 2 → را می گیریم:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

بنابراین، بردار n → = (4، - 6، - 2) بردار نرمال صفحه عمود بر خط a خواهد بود. اجازه دهید معادله مورد نیاز هواپیما را بنویسیم:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

برای به دست آوردن معادله کلی یک صفحه، اجازه دهید صفحه ای را که از یک نقطه می گذرد، تجزیه و تحلیل کنیم.

بگذارید سه محور مختصات از قبل برای ما در فضا شناخته شده باشد - گاو نر, اوهو اوز. ورق کاغذ را طوری نگه دارید که صاف بماند. هواپیما خود ورق و ادامه آن در همه جهات خواهد بود.

اجازه دهید پهواپیمای دلخواه در فضا هر بردار عمود بر آن نامیده می شود بردار معمولی به این هواپیما به طور طبیعی، ما در مورد یک بردار غیر صفر صحبت می کنیم.

اگر نقطه ای از هواپیما مشخص باشد پو مقداری بردار نرمال به آن، سپس با این دو شرط صفحه در فضا کاملاً مشخص می شود(از طریق یک نقطه داده شده می توانید یک صفحه عمود بر بردار داده شده رسم کنید). معادله کلی هواپیما به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، شرایطی که معادله هواپیما را تعریف می کند عبارتند از. برای بدست آوردن خودت معادله هواپیمابا داشتن فرم فوق سوار هواپیما شوید پدلخواه نقطه م با مختصات متغیر x, y, z. این نقطه فقط به هواپیما تعلق دارد اگر بردار عمود بر بردار(شکل 1). برای این کار، با توجه به شرط عمود بردارها، لازم و کافی است که حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر با صفر باشد، یعنی

بردار با شرط مشخص می شود. با استفاده از فرمول مختصات بردار را پیدا می کنیم :

.

حال با استفاده از فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها ، حاصل ضرب اسکالر را به صورت مختصات بیان می کنیم:

از آنجا که نقطه M(x; y; z)به طور دلخواه در صفحه انتخاب می شود، سپس آخرین معادله با مختصات هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد برآورده می شود. پ. برای یک امتیاز ندر یک هواپیمای معین دراز نکشید، یعنی. برابری (1) نقض شده است.

مثال 1.برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار می گذرد معادله بنویسید.

راه حل. بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم و دوباره به آن نگاه کنیم:

در این فرمول اعداد الف , بو سیمختصات برداری و اعداد x0 , y0 و z0 - مختصات نقطه

محاسبات بسیار ساده است: ما این اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و بدست می آوریم

هر چیزی که باید ضرب شود را ضرب می کنیم و فقط اعداد (که حروف ندارند) را اضافه می کنیم. نتیجه:

.

معادله مورد نیاز هواپیما در این مثال مشخص شد که با یک معادله کلی درجه اول با توجه به مختصات متغیر بیان می شود. x، y، zنقطه دلخواه هواپیما

بنابراین، یک معادله از فرم

تماس گرفت معادله صفحه عمومی .

مثال 2.در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی صفحه ای بسازید که با معادله به دست می آید .

راه حل. برای ساختن یک صفحه، دانستن هر سه نقطه از آن که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، لازم و کافی است، مثلاً نقاط تلاقی صفحه با محورهای مختصات.

چگونه این نقاط را پیدا کنیم؟ برای یافتن نقطه تقاطع با محور اوز، باید صفرها را به جای X و Y در معادله داده شده در بیان مسئله جایگزین کنید: x = y= 0. بنابراین ما دریافت می کنیم z= 6. بنابراین، صفحه داده شده محور را قطع می کند اوزدر نقطه الف(0; 0; 6) .

به همین ترتیب نقطه تلاقی صفحه با محور را پیدا می کنیم اوه. در x = z= 0 دریافت می کنیم y= -3، یعنی نقطه ب(0; −3; 0) .

و در نهایت نقطه تلاقی هواپیمای خود را با محور پیدا می کنیم گاو نر. در y = z= 0 دریافت می کنیم x= 2، یعنی یک نقطه سی(2; 0; 0). بر اساس سه نقطه به دست آمده در راه حل ما الف(0; 0; 6) , ب(0؛ -3؛ 0) و سی(2; 0; 0) صفحه داده شده را بسازید.

حال بیایید در نظر بگیریم موارد خاص معادله صفحه عمومی. اینها مواردی است که ضرایب معینی از معادله (2) صفر می شود.

1. وقتی D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از مبدا عبور می کند، زیرا مختصات نقطه است 0 (0; 0; 0) این معادله را برآورده می کند.

2. وقتی A=معادله 0 صفحه موازی با محور را تعریف می کند گاو نر، از آنجایی که بردار نرمال این صفحه بر محور عمود است گاو نر(برآمدگی آن بر روی محور گاو نربرابر با صفر). به طور مشابه، زمانی که B= 0 هواپیما موازی با محور اوه، و چه زمانی C= 0 هواپیما موازی با محور اوز.

3. چه زمانی A=D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از محور عبور می کند گاو نر، از آنجایی که با محور موازی است گاو نر (A=D= 0). به طور مشابه، هواپیما از محور عبور می کند اوهو هواپیما از محور اوز.

4. چه زمانی A=B=معادله 0 یک صفحه موازی را تعریف می کند هواپیمای مختصات xOy، از آنجایی که با محورها موازی است گاو نر (الف= 0) و اوه (ب= 0). به طور مشابه، هواپیما موازی با هواپیما است yOz، و هواپیما همان هواپیما است xOz.

5. چه زمانی A=B=D=معادله 0 (یا z = 0) صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که موازی با هواپیما است xOy (A=B= 0) و از مبدا می گذرد ( D= 0). به همین ترتیب، معادله y = 0 در فضا صفحه مختصات را مشخص می کند xOz، و معادله x = 0 - هواپیمای مختصات yOz.

مثال 3.معادله ای از هواپیما ایجاد کنید پ، از محور عبور می کند اوهو دوره

راه حل. بنابراین هواپیما از محور عبور می کند اوه. بنابراین، در معادله او y= 0 و این معادله به شکل . برای تعیین ضرایب الفو سیبیایید از این واقعیت استفاده کنیم که نقطه متعلق به هواپیما است پ .

بنابراین، در میان مختصات آن مواردی وجود دارد که می توان آنها را به معادله صفحه ای که قبلاً استخراج کردیم () جایگزین کرد. بیایید دوباره به مختصات نقطه نگاه کنیم:

م0 (2; −4; 3) .

در میان آنها x = 2 , z= 3. آنها را در معادله جایگزین کنید نمای کلیو معادله مورد خاص خود را بدست می آوریم:

2الف + 3سی = 0 .

ترک 2 الفدر سمت چپ معادله، 3 را حرکت دهید سی V سمت راستو دریافت می کنیم

الف = −1,5سی .

جایگزینی مقدار یافت شده الفبه معادله می رسیم

یا .

این معادله مورد نیاز در شرایط مثال است.

مسئله معادله هواپیما را خودتان حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

مثال 4.یک صفحه (یا صفحات، اگر بیش از یک) را با توجه به محورهای مختصات یا صفحات مختصات در صورتی که صفحه(ها) با معادله داده شده است، تعریف کنید.

راه حل برای مشکلات معمولی که در تست ها- در کتابچه راهنمای "مسائل صفحه: موازی، عمود، تقاطع سه صفحه در یک نقطه."

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

همانطور که گفته شد، شرط لازم و کافی برای ساختن یک صفحه، علاوه بر یک نقطه و بردار معمولی، سه نقطه نیز هستند که روی یک خط قرار ندارند.

اجازه دهید سه نقطه مختلف، و، نه دروغ گفتن در یک خط، داده می شود. از آنجایی که سه نقطه نشان داده شده روی یک خط قرار ندارند، بردارها هم خط نیستند و بنابراین هر نقطه از صفحه در یک صفحه با نقاط قرار دارد، و اگر و فقط اگر بردارها، و همسطح، یعنی آن وقت و تنها زمانی که حاصلضرب مخلوط این بردارهابرابر با صفر است.

با استفاده از عبارت محصول مخلوطدر مختصات، معادله هواپیما را به دست می آوریم

(3)

پس از آشکار شدن دترمینان، این معادله تبدیل به معادله ای از شکل (2) می شود، یعنی. معادله کلی هواپیما

مثال 5.معادله صفحه ای را بنویسید که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند:

و یک مورد خاص از معادله عمومی یک خط را در صورت وجود تعیین کنید.

راه حل. طبق فرمول (3) داریم:

معادله صفحه نرمال فاصله از نقطه به هواپیما

معادله عادی یک هواپیما معادله آن است که به شکل نوشته شده است

معادله یک هواپیما. چگونه معادله یک هواپیما را بنویسیم؟
چیدمان متقابل هواپیماها. وظایف

هندسه فضایی خیلی پیچیده تر از هندسه "مسطح" نیست و پروازهای ما در فضا با این مقاله آغاز می شود. برای تسلط بر موضوع، باید درک خوبی از آن داشته باشید بردارها، علاوه بر این، توصیه می شود با هندسه هواپیما آشنا باشید - شباهت های زیادی وجود خواهد داشت، تشابهات زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین اطلاعات بسیار بهتر هضم می شود. در یک سری از درس های من، دنیای دوبعدی با یک مقاله باز می شود معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. اما اکنون بتمن صفحه تخت تلویزیون را ترک کرده و از کیهان بایکونور پرتاب می شود.

بیایید با نقاشی ها و نمادها شروع کنیم. از نظر شماتیک، صفحه را می توان به شکل متوازی الاضلاع ترسیم کرد که تصوری از فضا ایجاد می کند:

هواپیما بی نهایت است، اما ما این فرصت را داریم که فقط یک تکه از آن را به تصویر بکشیم. در عمل علاوه بر متوازی الاضلاع، یک بیضی یا حتی یک ابر نیز ترسیم می شود. برام مهم نیست دلایل فنیراحت تر است که هواپیما را دقیقاً به این شکل و دقیقاً در این موقعیت به تصویر بکشید. هواپیماهای واقعی که در آنها در نظر خواهیم گرفت نمونه های عملی، می تواند به هر شکلی قرار گیرد - به طور ذهنی نقاشی را در دستان خود بگیرید و آن را در فضا بچرخانید و به هواپیما هر شیب و هر زاویه ای بدهید.

تعیین ها: هواپیماها را معمولاً با حروف کوچک یونانی نشان می دهند، ظاهراً برای اینکه آنها را با خط مستقیم در هواپیمایا با خط مستقیم در فضا. من به استفاده از حرف عادت دارم. در نقاشی حرف "سیگما" است و اصلاً سوراخ نیست. اگرچه، هواپیمای سوراخ مطمئناً بسیار خنده دار است.

در برخی موارد، استفاده از نمادهای مشابه برای تعیین هواپیما راحت است. حروف یونانیبرای مثال با زیرنویس ها، .

واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف که روی یک خط قرار ندارند، تعریف می شود. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با توجه به نقاط متعلق به آنها و غیره. اغلب حروف در پرانتز قرار می گیرند: ، تا هواپیما را با یک شکل هندسی دیگر اشتباه نگیرید.

برای خوانندگان با تجربه خواهم داد منوی دسترسی سریع:

• چگونه با استفاده از یک نقطه و دو بردار معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟
• چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

و ما در انتظارهای طولانی سست نخواهیم شد:

معادله صفحه عمومی

معادله کلی هواپیما به شکلی است که در آن ضرایب در آن واحد برابر با صفر نیستند.

تعدادی از محاسبات نظری و مسائل عملی هم برای مبنای متعارف معمولی و هم برای پایه فضایی معتبر هستند (اگر روغن روغن است، به درس برگردید. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). برای سادگی، فرض می کنیم که همه رویدادها بر اساس یک سیستم متعامد و یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی رخ می دهند.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم تخیل فضایی. اگر مال شما بد باشد اشکالی ندارد، اکنون آن را کمی توسعه می دهیم. حتی بازی روی اعصاب هم نیاز به تمرین دارد.

در کلی ترین حالت، زمانی که اعداد برابر با صفر نیستند، صفحه هر سه محور مختصات را قطع می کند. به عنوان مثال، مانند این:

یک بار دیگر تکرار می کنم که هواپیما به طور نامحدود در همه جهات ادامه دارد و ما این فرصت را داریم که تنها بخشی از آن را به تصویر بکشیم.

بیایید ساده ترین معادلات هواپیماها را در نظر بگیریم:

چگونه این معادله را بفهمیم؟ در مورد آن فکر کنید: "Z" برای هر مقدار "X" و "Y" همیشه برابر با صفر است. این معادله صفحه مختصات "بومی" است. در واقع، به طور رسمی معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: ، از جایی که به وضوح می توانید ببینید که ما اهمیتی نمی دهیم که "x" و "y" چه مقادیری می گیرند، مهم است که "z" برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه مختصات؛
- معادله صفحه مختصات.

بیایید مشکل را کمی پیچیده کنیم، یک صفحه در نظر بگیریم (در اینجا و در ادامه پاراگراف فرض می کنیم که ضرایب عددی برابر با صفر نیستند). بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: . چگونه آن را درک کنیم؟ "X" همیشه برای هر مقدار "Y" و "Z" برابر با یک عدد مشخص است. این صفحه موازی با صفحه مختصات است. مثلاً صفحه ای موازی با صفحه است و از نقطه ای می گذرد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.

بیایید اعضا را اضافه کنیم: . معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: یعنی "zet" می تواند هر چیزی باشد. یعنی چی؟ "X" و "Y" توسط رابطه ای به هم متصل می شوند که یک خط مستقیم مشخص را در صفحه ترسیم می کند (شما متوجه خواهید شد معادله یک خط در یک صفحه؟). از آنجایی که "z" می تواند هر کدام باشد، این خط مستقیم در هر ارتفاعی "تکثیر" می شود. بنابراین، معادله یک صفحه موازی با محور مختصات را تعریف می کند

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.

اگر عبارات آزاد صفر باشند، هواپیماها مستقیماً از محورهای مربوطه عبور می کنند. به عنوان مثال، کلاسیک "نسبت مستقیم": . یک خط مستقیم در صفحه بکشید و به صورت ذهنی آن را به بالا و پایین ضرب کنید (زیرا Z هر کدام است). نتیجه گیری: هواپیما، توسط معادله داده شده است، از محور مختصات عبور می کند.

ما بررسی را کامل می کنیم: معادله هواپیما از مبدأ عبور می کند. خوب، در اینجا کاملاً واضح است که نقطه این معادله را برآورده می کند.

و در نهایت موردی که در نقاشی نشان داده شده است: - هواپیما با همه دوست است محورهای مختصات، در حالی که همیشه مثلث را که می تواند در هر یک از هشت اکتان قرار گیرد "قطع" می کند.

نابرابری های خطی در فضا

برای درک اطلاعات باید خوب مطالعه کنید نابرابری های خطی در صفحه، زیرا بسیاری از چیزها مشابه خواهند بود. این پاراگراف ماهیت مختصری با چندین مثال دارد، زیرا مطالب در عمل بسیار نادر است.

اگر معادله یک صفحه را تعریف می کند، نابرابری ها
بپرسید نیم فاصله ها. اگر نابرابری دقیق نباشد (دو مورد آخر در لیست)، راه حل نابرابری، علاوه بر نیم فاصله، شامل خود صفحه نیز می شود.

مثال 5

بردار نرمال واحد هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. بیایید نشان دهیم بردار داده شدهاز طریق . کاملاً واضح است که بردارها هم خط هستند:

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم: .

چگونه بردار واحد را پیدا کنیم؟ برای پیدا کردن بردار واحد، شما نیاز دارید هرمختصات بردار را بر طول بردار تقسیم کنید.

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ دهید:

تأیید: آنچه لازم بود تأیید شود.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را با دقت مطالعه کردند احتمالاً متوجه این موضوع شده اند مختصات بردار واحد دقیقاً کسینوس های جهت بردار هستند:

بیایید کمی از مشکل موجود فاصله بگیریم: وقتی به شما یک بردار غیر صفر دلخواه داده می شودو با توجه به شرط باید کسینوس های جهت آن را پیدا کرد (به آخرین مسائل درس مراجعه کنید حاصل ضرب نقطه ای بردارها، در واقع یک بردار واحد هم خط با این بردار پیدا می کنید. در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما فهمیدیم که چگونه یک بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون اجازه دهید به سوال مخالف پاسخ دهیم:

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

این ساختار سفت و سخت از یک بردار معمولی و یک نقطه به خوبی برای تخته دارت شناخته شده است. لطفاً دست خود را به سمت جلو دراز کنید و به طور ذهنی یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنید، به عنوان مثال، یک گربه کوچک در بوفه. بدیهی است که از این نقطه می توانید یک صفحه عمود بر دست خود بکشید.

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار عبور می کند با فرمول بیان می شود: