فرمول ها و هویت های مثلثاتی اساسی sin، cos، tg، ctg. فرمول های مثلثاتی فرمول cos2x چیست؟

فرمول های مثلثات پایه فرمول هایی هستند که بین توابع مثلثاتی پایه ارتباط برقرار می کنند. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توسط بسیاری از روابط به هم مرتبط هستند. در زیر اصلی هستند فرمول های مثلثاتی، و برای راحتی کار آنها را بر اساس هدف گروه بندی می کنیم. با استفاده از این فرمول ها می توانید تقریباً هر مشکلی را از یک درس استاندارد مثلثات حل کنید. بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که در زیر فقط خود فرمول ها هستند و نه نتیجه گیری آنها که در مقالات جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هویت های اساسی مثلثات

هویت‌های مثلثاتی رابطه‌ای بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ایجاد می‌کنند و اجازه می‌دهند یک تابع بر حسب دیگری بیان شود.

هویت های مثلثاتی

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

این هویت ها مستقیماً از تعاریف دایره واحد، سینوس (سین)، کسینوس (cos)، مماس (tg) و کوتانژانت (ctg) ناشی می شوند.

فرمول های کاهش

فرمول های کاهش به شما این امکان را می دهند که از کار با زوایای دلخواه و خودسرانه بزرگ به کار با زوایای 0 تا 90 درجه بروید.

فرمول های کاهش

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = گناه α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

فرمول های کاهش نتیجه تناوب هستند توابع مثلثاتی.

فرمول های جمع مثلثاتی

فرمول های جمع در مثلثات به شما این امکان را می دهد که تابع مثلثاتی مجموع یا اختلاف زاویه ها را بر حسب توابع مثلثاتی این زوایا بیان کنید.

فرمول های جمع مثلثاتی

sin α ± β = گناه α · cos β ± cos α · گناه β cos α + β = cos α · cos β - گناه α · گناه β cos α - β = cos α · cos β + گناه α · گناه β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

بر اساس فرمول های جمع، فرمول های مثلثاتی برای چندین زاویه به دست می آید.

فرمول برای چندین زاویه: دوتایی، سه گانه، و غیره.

فرمول های دو و سه زاویه

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α با t g 2 α = با t g 2 α - 1 2 · با t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

فرمول های نیم زاویه

فرمول‌های نیم‌زاویه در مثلثات، پیامد فرمول‌های دو زاویه هستند و رابطه بین توابع اصلی یک نیم‌زاویه و کسینوس یک زاویه کامل را بیان می‌کنند.

فرمول های نیم زاویه

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

هنگام انجام محاسبات، اغلب کار با قدرت های دست و پا گیر ناخوشایند است. فرمول های کاهش درجه به شما امکان می دهند درجه یک تابع مثلثاتی را از بزرگ دلخواه به اول کاهش دهید. در اینجا دیدگاه کلی آنها است:

نمای کلی فرمول های کاهش مدرک

برای حتی n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

برای n فرد

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

مجموع و تفاضل توابع مثلثاتی

تفاضل و مجموع توابع مثلثاتی را می توان به صورت حاصلضرب نشان داد. فاکتورگیری تفاوت های سینوس ها و کسینوس ها هنگام حل معادلات مثلثاتی و ساده سازی عبارات بسیار راحت است.

مجموع و تفاضل توابع مثلثاتی

گناه α + گناه β = 2 گناه α + β 2 cos α - β 2 گناه α - گناه β = 2 گناه α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 ، cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

محصول توابع مثلثاتی

اگر فرمول های مجموع و تفاوت توابع به فرد اجازه می دهد تا به حاصل ضرب آنها برود، فرمول های حاصلضرب توابع مثلثاتی انتقال معکوس را انجام می دهند - از حاصل ضرب به جمع. فرمول های حاصل ضرب سینوس، کسینوس و سینوس به کسینوس در نظر گرفته شده است.

فرمول های حاصل ضرب توابع مثلثاتی

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

جایگزینی مثلثاتی جهانی

همه توابع مثلثاتی اصلی - سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت - را می توان بر حسب مماس نیم زاویه بیان کرد.

جایگزینی مثلثاتی جهانی

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 تن گرم α2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

فرمول های اصلی مثلثات درس شماره 1

تعداد فرمول های مورد استفاده در مثلثات بسیار زیاد است (منظور از "فرمول ها" تعاریف نیست (به عنوان مثال، tgx=sinx/cosx)، بلکه برابری های یکسان مانند sin2x=2sinxcosx). برای سهولت در پیمایش در این انبوه فرمول ها و خسته نشدن دانش آموزان با انباشته کردن بی معنی، ضروری است که مهمترین آنها را در میان آنها برجسته کنیم. تعداد کمی از آنها وجود دارد - فقط سه. بقیه از این سه فرمول پیروی می کنند. این هویت مثلثاتی و فرمول های سینوس و کسینوس مجموع و تفاوت است:

Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

از این سه فرمول کاملاً تمام خصوصیات سینوس و کسینوس (تناوبی، مقدار دوره، مقدار سینوس 30 0 = π/6=1/2 و غیره) تبعیت می‌کنند. از این دیدگاه، در برنامه درسی مدرسهبسیاری از اطلاعات رسمی غیر ضروری و زائد استفاده می شود. بنابراین، فرمول های "1-3" حاکمان پادشاهی مثلثاتی هستند. بیایید به فرمول های نتیجه ای برویم:

1) سینوس ها و کسینوس های زوایای متعدد

اگر مقدار x=y را با (2) و (3) جایگزین کنیم، به دست می آید:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

ما نتیجه گرفتیم که sin0=0; cos0=1، بدون توسل به تفسیر هندسی سینوس و کسینوس. به طور مشابه، با دو بار اعمال فرمول های "2-3"، می توانیم عباراتی را برای sin3x استخراج کنیم. cos3x; sin4x; cos4x و غیره

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

وظیفه دانش آموزان: عبارات مشابه را برای cos3x استخراج کنید. sin4x; cos4x

2) فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

مشکل معکوس را با بیان توان های سینوس و کسینوس بر حسب کسینوس و سینوس چندین زاویه حل کنید.

به عنوان مثال: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1، از این رو: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x، از این رو: sin 2 x=1/2-cos2x/2

این فرمول ها اغلب استفاده می شوند. برای درک بهتر آنها، به شما توصیه می کنم که نمودارهای سمت چپ و راست آنها را ترسیم کنید. نمودارهای مربع های کسینوس و سینوس به دور نمودار خط مستقیم "y=1/2" می پیچند (این مقدار میانگین cos 2 x و sin 2 x در بسیاری از دوره ها است). در این حالت فرکانس نوسان نسبت به حالت اولیه دو برابر می شود (دوره توابع cos 2 x sin 2 x برابر است با 2π /2 = π) و دامنه نوسانات نصف می شود (ضریب 1/2 قبل از cos2x) .

مشکل: بیان گناه 3 x; cos 3 x; گناه 4 x ; cos 4 x از طریق کسینوس و سینوس چندین زاویه.

3) فرمول های کاهش

آنها از تناوب توابع مثلثاتی استفاده می کنند و اجازه می دهند مقادیر آنها در هر چهارم دایره مثلثاتی از مقادیر سه ماهه اول محاسبه شود. فرمول های کاهشی موارد بسیار ویژه ای از فرمول های "اصلی" هستند (2-3) برای مثال: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx.

بنابراین Cos(x+ π/2) =sinx

وظیفه: استخراج فرمول های کاهش برای sin(x+ π/2). cos(x+ 3 π/2)

4) فرمول هایی که مجموع یا تفاضل کسینوس و سینوس را به یک محصول تبدیل می کنند و بالعکس.

بیایید فرمول سینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بنویسیم:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

بیایید سمت چپ و راست این برابری ها را اضافه کنیم:

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

شرایط مشابه لغو می شود، بنابراین:

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

الف) هنگام خواندن (*) از راست به چپ، دریافت می کنیم:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

حاصل ضرب سینوس های دو زاویه برابر است با نصف مجموع سینوس های مجموع و تفاضل این زوایا.

ب) هنگام خواندن (*) از چپ به راست، نشان دادن راحت است:

x-y = c. از اینجا پیدا خواهیم کرد Xو دراز طریق rو بابا جمع و تفریق سمت چپ و راست این دو تساوی:

x = (p+c)/2، y = (p-c)/2، جایگزینی (*) به جای (x+y) و (x-y) متغیرهای جدید مشتق شده rو با، بیایید مجموع سینوس ها را در حاصل ضرب تصور کنیم:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

بنابراین، نتیجه مستقیم فرمول اصلی برای سینوس مجموع و اختلاف زاویه ها دو رابطه جدید (4) و (5) است.

ج) اکنون به جای اینکه دو طرف چپ و راست مساوات (1) و (2) را جمع کنیم، آنها را از یکدیگر کم می کنیم:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

خواندن این هویت از راست به چپ منجر به فرمولی شبیه به (4) می شود که جالب نیست، زیرا ما قبلاً می دانیم که چگونه محصولات سینوس و کسینوس را به مجموع سینوس ها تجزیه کنیم (نگاه کنید به (4)). خواندن (6) از چپ به راست فرمولی به دست می دهد که اختلاف سینوس ها را در یک محصول جمع می کند:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

بنابراین، از یک هویت اساسی sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx، سه هویت جدید (4)، (5)، (7) به دست آوردیم.

کار مشابه انجام شده با هویت بنیادی دیگری cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny در حال حاضر به چهار مورد جدید منجر شده است:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

وظیفه: تبدیل مجموع سینوس و کسینوس به یک حاصل:

سینکس + دنج = ? راه حل: اگر سعی کنید فرمول را استخراج نکنید، اما بلافاصله به پاسخ در برخی از جدول های مثلثاتی نگاه کنید، ممکن است نتیجه آماده ای پیدا نکنید. دانش آموزان باید بدانند که نیازی به حفظ کردن نیست و فرمول دیگری را برای sinx+cosy = ... وارد جدول می کنند، زیرا هر کسینوس را می توان به صورت یک سینوس و برعکس با استفاده از فرمول های کاهش، به عنوان مثال: sinx = cos ( π/2 – x)، دنج = گناه (π/2 – y). بنابراین: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.