حل عبارات منطقی اطلاعات اولیه در مورد عبارات منطقی و تبدیل آنها. تعریف و مثال‌هایی از کسرهای گویا

تبدیل عبارات منطقی

در این درس با عبارات منطقی کار خواهیم کرد. روشن نمونه های خاصبیایید روش هایی را برای حل مسائل مربوط به تبدیل عبارات عقلانی و اثبات هویت های مرتبط با آنها در نظر بگیریم.

بیان عقلانی - بیان جبری، مرکب از اعداد، متغیرهای حروف الفبا، عملیات حسابی، افزایش به توان طبیعی و نشانه های توالی این اعمال (پرانتز). همراه با عبارت "بیان منطقی" در جبر، گاهی اوقات از اصطلاحات "عدد صحیح" یا "کسری" استفاده می شود.

به عنوان مثال، عبارات

هم عقلانی و هم کل هستند.

عبارات

هم عقلی و هم کسری هستند، زیرا مخرج شامل یک عبارت با یک متغیر است.

نباید فراموش کنیم که اگر مخرج صفر شود، کسری معنای خود را از دست می دهد.

هدف اصلی درس کسب تجربه در حل مسائل ساده سازی عبارات منطقی خواهد بود.

ساده‌سازی عبارات عقلانی استفاده از دگرگونی‌های هویتی به منظور ساده‌نویسی یک عبارت (کوتاه‌تر و راحت‌تر کردن آن برای کار بیشتر) است.

برای تبدیل عبارات منطقی، ما به قوانینی برای جمع (تفریق)، ضرب، تقسیم و توان کسری های جبری نیاز داریم.

و همچنین فرمول های ضرب اختصاری:

هنگام حل مثال‌هایی از تبدیل عبارات منطقی، ترتیب اعمال زیر باید دنبال شود: ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می‌شوند، سپس حاصل ضرب/تقسیم (یا توان) و سپس اعمال جمع/تفریق.

بنابراین بیایید به مثال 1 نگاه کنیم:

لازم است بیان را ساده کنیم

ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام می دهیم.

ارائه می کنیم کسرهای جبریبه یک مخرج مشترک و کسری با مخرج یکسان را طبق قوانینی که در بالا نوشته شده است اضافه کنید (کسر کنید).

با استفاده از فرمول مختصر (یعنی مربع تفاوت)، عبارت حاصل به شکل زیر در می آید:

ثانیاً ، طبق قوانین ضرب کسرهای جبری ، صورت و مخرج را جداگانه ضرب می کنیم:

و سپس عبارت حاصل را کاهش می دهیم:

در نتیجه تبدیل های انجام شده، یک عبارت ساده به دست می آوریم

بیایید یک مثال پیچیده تر 2 از تبدیل عبارات عقلانی را در نظر بگیریم: اثبات هویت ضروری است:

برای اثبات هویت به این معناست که برای تمام مقادیر مجاز متغیرها، سمت چپ و راست آن برابر است.

اثبات:

برای اثبات این هویت، باید عبارت سمت چپ را تبدیل کرد. برای انجام این کار، باید ترتیب اقدامات ذکر شده در بالا را دنبال کنید: اول از همه، اقدامات داخل پرانتز انجام می شود، سپس ضرب، و سپس جمع.

بنابراین، اقدام 1:

جمع/ تفریق یک عبارت داخل پرانتز را انجام دهید.

برای این کار عبارات را در مخرج کسرها فاکتور کنید و این کسرها را به یک مخرج مشترک برسانید.

بنابراین در مخرج کسر اول 3 را از پرانتز قرار می دهیم، در مخرج دوم علامت منفی را بیرون می آوریم و با استفاده از فرمول ضرب اختصاری آن را در دو عامل و در مخرج کسر سوم قرار می دهیم. x را خارج از پرانتز قرار می دهیم.

مخرج مشترک این سه کسر عبارت است

اقدام 2:

کسری را ضرب کن

برای این کار ابتدا باید عدد کسر اول را فاکتور بگیرید و این کسر را به توان 2 برسانید.

و هنگام ضرب کسرها، کاهش مربوطه را انجام دهید.

اقدام 3:

کسر اول عبارت اصلی و کسر حاصل را جمع می کنیم

برای این کار ابتدا صورت و مخرج کسر اول را فاکتور می کنیم و کاهش می دهیم:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که کسرهای جبری حاصل را با مخرج های مختلف اضافه کنیم:

بدین ترتیب در نتیجه 3 عمل و ساده سازی سمت چپ هویت، از سمت راست آن عبارتی به دست آوردیم و بنابراین این هویت را ثابت کردیم. با این حال، به یاد داشته باشید که هویت فقط برای مقادیر مجاز متغیر x معتبر است. در این مثال، اینها هر مقدار از x هستند، به جز آنهایی که مخرج کسرها را صفر می کند. این بدان معنی است که هر مقدار از x قابل قبول است، به جز مواردی که حداقل یکی از برابری ها برای آنها برآورده شده است:

مقادیر زیر نامعتبر خواهد بود:

بنابراین، با استفاده از مثال‌های خاص، به حل مسائل مربوط به تبدیل عبارات عقلانی و اثبات هویت‌های مرتبط با آنها نگاه کردیم.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. موردکوویچ A.G. "جبر" پایه هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1 کتاب درسی عمومی موسسات آموزشی/ A.G. موردکوویچ. – ویرایش نهم، بازبینی شده. - M.: Mnemosyne, 2007. - 215 p.: ill.
2. موردکوویچ A.G. "جبر" پایه هشتم. ساعت 14 قسمت 2 کتاب مشکل برای موسسات آموزشی/ A.G. موردکوویچ، T.N. میشوستینا، ای.ای. تولچینسکایا.. – ویرایش هشتم، – M.: Mnemosyne، 2006 – 239 p.
3. جبر. کلاس هشتم. تست هابرای دانش آموزان موسسات آموزشی در L.A. الکساندروف، ویرایش. A.G. موردکوویچ ویرایش دوم، پاک شده است. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 p.
4. جبر. کلاس هشتم. کار مستقلبرای دانش آموزان مؤسسات آموزشی: به کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ، L.A. الکساندروف، ویرایش. A.G. موردکوویچ. چاپ نهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 p.

آخرین عملیات حسابی که هنگام محاسبه مقدار یک عبارت انجام می شود، عملیات "master" است.

یعنی اگر تعدادی (هر) عددی را به جای حروف جایگزین کنید و سعی کنید مقدار عبارت را محاسبه کنید، اگر آخرین عمل ضرب باشد، یک محصول داریم (عبارت فاکتوریزه می شود).

اگر آخرین عمل جمع یا تفریق باشد، به این معنی است که عبارت فاکتوربندی نشده است (و بنابراین نمی توان آن را کاهش داد).

برای تقویت این موضوع، چند مثال را خودتان حل کنید:

مثال ها:

راه حل ها:

1. امیدوارم بلافاصله برای برش عجله نکرده باشید و؟ هنوز "کاهش" واحدهایی مانند این کافی نبود:

اولین قدم باید فاکتورسازی باشد:

4. جمع و تفریق کسرها. تقلیل کسرها به مخرج مشترک.

جمع و تفریق کسرهای معمولی یک عملیات آشنا است: ما به دنبال مخرج مشترک می گردیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع/ تفریق می کنیم.

یادمان باشد:

پاسخ ها:

1. مخرج و نسبتا اول هستند یعنی ندارند عوامل مشترک. بنابراین LCM این اعداد برابر است با حاصلضرب آنها. این مخرج مشترک خواهد بود:

2. در اینجا مخرج مشترک این است:

3. اولین چیز در اینجا کسرهای مخلوطما آنها را به موارد نادرست تبدیل می کنیم و سپس از الگوی معمول پیروی می کنیم:

اگر کسرها دارای حروف باشند، برای مثال:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم:

الف) مخرج ها حروف ندارند

اینجا همه چیز مثل معمولی است کسرهای عددی: مخرج مشترک را بیابید، هر کسر را در ضریب گمشده ضرب کنید و اعداد را جمع یا تفریق کنید:

حالا در صورت حساب می توانید موارد مشابه را در صورت وجود بیاورید و آنها را فاکتور بگیرید:

خودتان امتحان کنید:

پاسخ ها:

ب) مخرج شامل حروف است

بیایید اصل یافتن مخرج مشترک بدون حروف را به خاطر بسپاریم:

· اول از همه، ما عوامل مشترک را تعیین می کنیم.

· سپس همه عوامل مشترک را یکی یکی می نویسیم.

· و آنها را در تمام عوامل غیر مشترک دیگر ضرب کنید.

برای تعیین فاکتورهای مشترک مخرج ها، ابتدا آنها را به عوامل اول تبدیل می کنیم:

بیایید بر عوامل مشترک تأکید کنیم:

حال بیایید عوامل مشترک را یکی یکی بنویسیم و همه عوامل غیرمعمول (بدون زیرخط) را به آنها اضافه کنیم:

این وجه مشترک است.

برگردیم به نامه ها. مخرج ها دقیقاً به همین صورت آورده می شوند:

· مخرج ها را فاکتور بگیرید.

· تعیین عوامل مشترک (یکسان).

· یکبار همه عوامل مشترک را بنویسید.

· آنها را در تمام عوامل غیر مشترک دیگر ضرب کنید.

بنابراین، به ترتیب:

1) مخرج ها را فاکتور بگیرید:

2) عوامل مشترک (یکسان) را تعیین کنید:

3) همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید و آنها را در همه عوامل دیگر (بدون خط کشی) ضرب کنید:

بنابراین یک مخرج مشترک در اینجا وجود دارد. کسر اول باید در ضرب شود، کسر دوم در:

به هر حال، یک ترفند وجود دارد:

به عنوان مثال: .

ما عوامل یکسانی را در مخرج ها می بینیم، فقط همه با شاخص های متفاوت. مخرج مشترک خواهد بود:

تا یک درجه

تا یک درجه

تا یک درجه

تا یک درجه

بیایید کار را پیچیده کنیم:

چگونه می توان کسرها را مخرج یکسانی ساخت؟

بیایید ویژگی اصلی کسری را به خاطر بسپاریم:

هیچ جا نمی گوید که همان عدد را می توان از صورت و مخرج کسری کم کرد (یا اضافه کرد). چون درست نیست!

خودتان ببینید: مثلاً هر کسری را بردارید و به صورت و مخرج عددی اضافه کنید، برای مثال، . چی یاد گرفتی؟

بنابراین، یک قانون تزلزل ناپذیر دیگر:

وقتی کسرها را به مخرج مشترک کاهش می دهید، فقط از عملیات ضرب استفاده کنید!

اما برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنید؟

پس ضرب کنید و ضرب در:

عباراتی را که نمی‌توان آنها را فاکتورسازی کرد، «عوامل ابتدایی» می‌نامیم.

به عنوان مثال، - این یک عامل ابتدایی است. - همینطور اما نه: می توان آن را فاکتورسازی کرد.

در مورد بیان چطور؟ ابتدایی است؟

خیر، زیرا می توان آن را فاکتور گرفت:

(شما قبلاً در مورد فاکتورسازی در مبحث "" خوانده اید).

بنابراین، عوامل اولیه ای که یک عبارت را با حروف تجزیه می کنید، مشابه عوامل ساده ای هستند که اعداد را به آنها تجزیه می کنید. و به همین ترتیب با آنها برخورد خواهیم کرد.

می بینیم که هر دو مخرج یک ضریب دارند. تا درجه به مخرج مشترک خواهد رفت (یادت هست چرا؟).

عامل ابتدایی است و آنها یک عامل مشترک ندارند، به این معنی که کسر اول به سادگی باید در آن ضرب شود:

مثال دیگر:

راه حل:

قبل از اینکه این مخرج ها را با وحشت ضرب کنید، باید به این فکر کنید که چگونه آنها را فاکتور بگیرید؟ هر دو نشان دهنده:

عالیه سپس:

مثال دیگر:

راه حل:

طبق معمول، مخرج ها را فاکتورسازی کنیم. در مخرج اول به سادگی آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم. در دوم - تفاوت مربع ها:

به نظر می رسد که هیچ عامل مشترکی وجود ندارد. اما اگر دقت کنید، شبیه هم هستند... و درست است:

پس بیایید بنویسیم:

یعنی اینطور شد: در داخل براکت ما اصطلاحات را عوض کردیم و در همان زمان علامت جلوی کسری به عکس تغییر کرد. توجه داشته باشید، باید این کار را اغلب انجام دهید.

حال بیایید آن را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

متوجه شدید؟ اکنون آن را بررسی کنیم.

وظایف برای راه حل مستقل:

پاسخ ها:

در اینجا باید یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم - تفاوت مکعب ها:

لطفا توجه داشته باشید که مخرج کسر دوم شامل فرمول "مربع مجموع" نیست! مجذور مجموع به شکل زیر خواهد بود: .

A به اصطلاح مجذور ناقص مجموع است: جمله دوم در آن حاصل ضرب اول و آخر است و نه حاصل ضرب دوگانه آنها. مجذور جزئی مجموع یکی از عوامل بسط اختلاف مکعب ها است:

اگر قبلاً سه کسر وجود دارد چه باید کرد؟

بله همینطوره! اول از همه، بیایید مطمئن شویم که حداکثر مقدارعوامل در مخرج یکسان بودند:

لطفا توجه داشته باشید: اگر علائم داخل یک براکت را تغییر دهید، علامت جلوی کسری به عکس تغییر می کند. وقتی علامت های براکت دوم را تغییر می دهیم، علامت جلوی کسر دوباره به سمت مخالف تغییر می کند. در نتیجه آن (علامت جلوی کسر) تغییر نکرده است.

کل مخرج اول را در مخرج مشترک می نویسیم و سپس تمام عواملی را که هنوز نوشته نشده اند، از دومی و سپس از سومی (و به همین ترتیب، اگر کسرهای بیشتری وجود دارد) به آن اضافه می کنیم. یعنی اینطور معلوم میشه:

هوم... واضح است که با کسرها چه باید کرد. اما در مورد این دو چطور؟

ساده است: شما می دانید چگونه کسرها را اضافه کنید، درست است؟ بنابراین، ما باید دو را تبدیل به کسری کنیم! بیایید به یاد داشته باشیم: کسری یک عملیات تقسیم است (اگر فراموش کرده اید، صورت بر مخرج تقسیم می شود). و هیچ چیز ساده تر از تقسیم یک عدد بر آن نیست. در این مورد، خود عدد تغییر نمی کند، بلکه به کسری تبدیل می شود:

فقط آنچه شما نیاز دارید!

5. ضرب و تقسیم کسرها.

خب، سخت ترین بخش اکنون تمام شده است. و پیش روی ما ساده ترین، اما در عین حال مهم ترین است:

رویه

روش محاسبه یک عبارت عددی چگونه است؟ با محاسبه معنی این عبارت به خاطر بسپارید:

حساب کردی؟

باید کار کند.

بنابراین، اجازه دهید به شما یادآوری کنم.

اولین قدم محاسبه مدرک است.

دوم ضرب و تقسیم است. اگر چندین ضرب و تقسیم همزمان وجود داشته باشد، می توان آنها را به هر ترتیبی انجام داد.

و در نهایت جمع و تفریق را انجام می دهیم. باز هم به هر ترتیبی.

اما: عبارت داخل پرانتز خارج از نوبت ارزیابی می شود!

اگر چند براکت در یکدیگر ضرب یا تقسیم شوند، ابتدا عبارت هر یک از پرانتزها را محاسبه کرده و سپس آنها را ضرب یا تقسیم می کنیم.

اگر براکت های بیشتری در داخل براکت ها وجود داشته باشد چه؟ خوب، بیایید فکر کنیم: مقداری عبارت در داخل پرانتز نوشته شده است. هنگام محاسبه یک عبارت، ابتدا چه کاری باید انجام دهید؟ درست است، براکت ها را محاسبه کنید. خوب، ما متوجه شدیم: ابتدا براکت های داخلی را محاسبه می کنیم، سپس همه چیز را.

بنابراین، روال عبارت بالا به شرح زیر است (عمل فعلی با رنگ قرمز مشخص شده است، یعنی عملی که من در حال حاضر انجام می دهم):

خوب، همه چیز ساده است.

اما این همان عبارت با حروف نیست؟

نه همینطوره! فقط به جای عملیات حسابی، باید عملیات جبری انجام دهید، یعنی اقداماتی که در بخش قبل توضیح داده شد: آوردن مشابه، جمع کسرها، کسر کسرها و غیره. تنها تفاوت در عمل فاکتورگیری چندجمله ای ها خواهد بود (ما اغلب از این هنگام کار با کسرها استفاده می کنیم). اغلب، برای فاکتورسازی، باید از I استفاده کنید یا به سادگی فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید.

معمولاً هدف ما نمایش عبارت به عنوان یک محصول یا ضریب است.

به عنوان مثال:

بیایید بیان را ساده کنیم.

1) ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنیم. در آنجا ما اختلاف کسری داریم و هدف ما این است که آن را به عنوان یک محصول یا ضریب ارائه کنیم. بنابراین، کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و اضافه می کنیم:

غیرممکن است که این عبارت را بیشتر از این ساده کنیم.

2) دریافت می کنیم:

ضرب کسرها: چه چیزی می تواند ساده تر باشد.

3) اکنون می توانید کوتاه کنید:

خوب، این همه است. هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

مثال دیگر:

بیان را ساده کنید.

ابتدا سعی کنید خودتان آن را حل کنید و تنها پس از آن به راه حل نگاه کنید.

راه حل:

اول از همه، بیایید ترتیب اقدامات را مشخص کنیم.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را جمع می کنیم، بنابراین به جای دو کسر، یکی را می گیریم.

سپس تقسیم کسرها را انجام خواهیم داد. خوب، بیایید نتیجه را با کسر آخر جمع کنیم.

من مراحل را به صورت شماتیک شماره گذاری می کنم:

حالا من روند را به شما نشان می دهم و عمل فعلی را قرمز می کنید:

1. در صورت وجود موارد مشابه باید فوراً آورده شوند. در هر نقطه ای که موارد مشابه در کشور ما ایجاد می شود، توصیه می شود بلافاصله آنها را مطرح کنید.

2. در مورد کسر کسر نیز همینطور است: به محض اینکه فرصت تقلیل پیدا شد باید از آن بهره برد. استثنا برای کسرهایی است که اضافه یا تفریق می کنید: اگر اکنون مخرج های یکسانی دارند، پس کاهش باید برای بعد باقی بماند.

در اینجا چند کار وجود دارد که می توانید آن را به تنهایی حل کنید:

و آنچه در همان ابتدا وعده داده شد:

پاسخ ها:

راه حل ها (مختصر):

اگر حداقل با سه مثال اول کنار آمدید، در نظر بگیرید که به موضوع تسلط دارید.

حالا به سراغ یادگیری بروید!

تبدیل عبارات. خلاصه و فرمول های اساسی

عملیات ساده سازی اساسی:

• آوردن مشابه: برای افزودن (کاهش) عبارات مشابه، باید ضرایب آنها را اضافه کرده و قسمت حرف را اختصاص دهید.
• فاکتورسازی:خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، اعمال آن و غیره.
• کاهش کسری: صورت و مخرج کسر را می توان در همان عدد غیر صفر ضرب یا تقسیم کرد که مقدار کسر را تغییر نمی دهد.
  1) صورت و مخرج فاکتوریزه کردن
  2) اگر صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی داشته باشند، می توان آنها را خط زد.

  مهم: فقط ضریب ها را می توان کاهش داد!

• جمع و تفریق کسرها:
  ;
• ضرب و تقسیم کسرها:
  ;

هر عبارت کسری (بند 48) را می توان به شکل نوشت، که در آن P و Q عبارات گویا هستند و Q لزوماً دارای متغیرهایی است. به چنین کسری کسر گویا می گویند.

نمونه ها کسرهای گویا:

ویژگی اصلی یک کسری با هویتی بیان می شود که در شرایط اینجا منصفانه است - یک بیان عقلانی کامل. این بدان معنی است که صورت و مخرج یک کسر گویا را می توان در همان عدد غیر صفر، تک جمله ای یا چند جمله ای ضرب یا تقسیم کرد.

برای مثال می توان از خاصیت کسری برای تغییر علائم اعضای یک کسر استفاده کرد. اگر صورت و مخرج کسری در -1 ضرب شوند، به دست می‌آییم بنابراین، اگر علامت‌های صورت و مخرج همزمان تغییر کنند، مقدار کسر تغییر نخواهد کرد. اگر علامت فقط صورت یا فقط مخرج را تغییر دهید، کسر علامت خود را تغییر می دهد:

به عنوان مثال،

60. تقلیل کسرهای گویا.

کاهش کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج کسر بر یک عامل مشترک است. امکان چنین کاهشی به دلیل ویژگی اساسی کسر است.

برای کاهش یک کسر گویا، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید. اگر معلوم شد که صورت و مخرج دارای فاکتورهای مشترک هستند، می توان کسر را کاهش داد. اگر عوامل مشترکی وجود نداشته باشد، تبدیل کسری از طریق کاهش غیرممکن است.

مثال. کسری را کاهش دهید

راه حل. ما داریم

کاهش یک کسری تحت شرایط انجام می شود.

61. تقلیل کسرهای گویا به مخرج مشترک.

مخرج مشترک چند کسر گویا یک عبارت عقلی کامل است که بر مخرج هر کسری تقسیم می شود (به بند 54 مراجعه کنید).

به عنوان مثال، مخرج مشترک کسرها یک چند جمله ای است زیرا بر هر دو و بر و چند جمله ای و چند جمله ای و چند جمله ای و غیره قابل تقسیم است. این ساده ترین مخرج گاهی اوقات پایین ترین مخرج مشترک نامیده می شود.

در مثالی که در بالا بحث شد، مخرج مشترک We have است

تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک با ضرب صورت و مخرج کسر اول در 2 حاصل می شود و صورت و مخرج کسر دوم توسط چندجمله ای به ترتیب برای کسر اول و دوم عامل اضافی نامیده می شوند. ضریب اضافی برای یک کسر معین برابر است با ضریب تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسر داده شده.

برای کاهش چند کسر گویا به یک مخرج مشترک، شما نیاز دارید:

1) مخرج هر کسری را فاکتور بگیرید.

2) ایجاد یک مخرج مشترک با گنجاندن عوامل به دست آمده در مرحله 1) از بسط. اگر یک عامل معین در چندین بسط وجود داشته باشد، آنگاه با توانی برابر با بزرگترین موجود در دسترس گرفته می شود.

3) عوامل اضافی را برای هر یک از کسرها بیابید (برای این، مخرج مشترک بر مخرج کسری تقسیم می شود).

4) با ضرب صورت و مخرج هر کسر در یک عامل اضافی، کسر را به یک مخرج مشترک برسانید.

مثال. کسری را به مخرج مشترک کاهش دهید

راه حل. بیایید مخرج ها را فاکتورسازی کنیم:

عوامل زیر باید در مخرج مشترک گنجانده شوند: و کمترین مضرب مشترک اعداد 12، 18، 24، یعنی. این بدان معنی است که مخرج مشترک دارای شکل است

فاکتورهای اضافی: برای کسر اول برای کسری دوم برای سومین نتیجه می گیریم:

62. جمع و تفریق کسرهای گویا.

مجموع دو کسر گویا (و به طور کلی هر عدد متناهی) با مخرج یکسان برابر است با کسری با مخرج یکسان و با عددی برابر با مجموع اعداد کسرهای اضافه شده:

در مورد تفریق کسری با مخرج مشابه وضعیت مشابه است:

مثال 1: یک عبارت را ساده کنید

راه حل.

برای جمع یا تفریق کسرهای گویا با مخرج های مختلف، ابتدا باید کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید و سپس بر روی کسرهای به دست آمده با مخرج های یکسان عمل کنید.

مثال 2: یک عبارت را ساده کنید

راه حل. ما داریم

63. ضرب و تقسیم کسرهای گویا.

حاصلضرب دو کسر گویا (و به طور کلی هر عدد متناهی) به طور یکسان برابر با کسری است که صورت آن برابر با محصولاعداد و مخرج - حاصلضرب مخرج کسرهای ضرب شده:

ضریب تقسیم دو کسر گویا برابر است با کسری که صورتش برابر حاصلضرب کسر اول و مخرج کسر دوم است و مخرج حاصل ضرب کسر اول و کسر اول است. شمارنده کسر دوم:

قوانین ضرب و تقسیم در مورد ضرب یا تقسیم با چند جمله ای نیز صدق می کند: کافی است این چند جمله ای را به صورت کسری با مخرج 1 بنویسیم.

با توجه به امکان کاهش کسر گویا که در نتیجه ضرب یا تقسیم کسرهای گویا به دست می‌آید، معمولاً سعی می‌کنند قبل از انجام این عملیات، صورت‌ها و مخرج‌های کسرهای اصلی را فاکتورسازی کنند.

مثال 1: ضرب را انجام دهید

راه حل. ما داریم

با استفاده از قانون ضرب کسری، به دست می آوریم:

مثال 2: تقسیم را انجام دهید

راه حل. ما داریم

با استفاده از قانون تقسیم می‌گیریم:

64. بالا بردن کسر عقلی به توان کل.

برای افزایش یک کسر گویا به توان طبیعی، باید صورت و مخرج کسر را جداگانه به این توان افزایش دهید. عبارت اول صورتگر است و عبارت دوم مخرج نتیجه است:

مثال 1: تبدیل به کسری از توان 3.

راه حل راه حل.

هنگام افزایش یک کسری به توان عدد صحیح منفی، هویتی استفاده می شود که برای همه مقادیر متغیرهایی که برای آنها معتبر است، معتبر است.

مثال 2: یک عبارت را به کسری تبدیل کنید

65. دگرگونی عبارات عقلی.

تبدیل هر عبارت منطقی به جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرهای گویا و همچنین افزایش کسری به توان طبیعی منجر می شود. هر عبارت منطقی را می توان به کسری تبدیل کرد که صورت و مخرج آن عبارت های عقلی کامل هستند. این، به عنوان یک قاعده، هدف تحولات یکسان عبارات عقلانی است.

مثال. یک عبارت را ساده کنید

66. ساده ترین تبدیل ریشه های حسابی (رادیکال).

هنگام تبدیل کوریاهای حسابی، از خصوصیات آنها استفاده می شود (به بند 35 مراجعه کنید).

بیایید به چند نمونه از استفاده از خواص نگاه کنیم ریشه های حسابیبرای ساده ترین تبدیل رادیکال ها. در این حالت، همه متغیرها را فقط مقادیر غیر منفی در نظر می گیریم.

مثال 1. ریشه یک محصول را استخراج کنید

راه حل. با اعمال خاصیت 1°، دریافت می کنیم:

مثال 2. ضریب را از زیر علامت ریشه بردارید

راه حل.

این تبدیل را حذف عامل از زیر علامت ریشه می گویند. هدف از تبدیل ساده کردن بیان رادیکال است.

مثال 3: ساده کردن.

راه حل. با خاصیت 3 درجه ما معمولاً سعی می کنند بیان رادیکال را ساده کنند که برای آن عوامل را از علامت کوریوم خارج می کنند. ما داریم

مثال 4: ساده کردن

راه حل. بیایید عبارت را با وارد کردن یک عامل زیر علامت ریشه تبدیل کنیم: با خاصیت 4 درجه داریم

مثال 5: ساده کردن

راه حل. با خاصیت 5 درجه، ما این حق را داریم که توان ریشه و توان عبارت رادیکال را به یک چیز تقسیم کنیم. عدد طبیعی. اگر در مثال مورد بررسی، شاخص های نشان داده شده را بر 3 تقسیم کنیم، به دست می آید.

مثال 6. عبارات را ساده کنید:

راه حل، الف) با خاصیت 1 درجه در می یابیم که برای ضرب ریشه های یک درجه کافی است عبارات رادیکال را ضرب کنیم و ریشه همان درجه را از نتیجه به دست آمده استخراج کنیم. به معنی،

ب) اول از همه، باید رادیکال ها را به یک شاخص کاهش دهیم. با توجه به خاصیت 5 درجه، می توانیم توان ریشه و توان بیان رادیکال را در همان عدد طبیعی ضرب کنیم. بنابراین، اکنون در نتیجه حاصل از تقسیم نماهای ریشه و درجه بیان رادیکال بر 3، به دست می آوریم.

عبارات و کسرهای گویا سنگ بنای کل درس جبر هستند. کسانی که یاد می گیرند با چنین عباراتی کار کنند، آنها را ساده کرده و آنها را فاکتورسازی کنند، اساساً قادر به حل هر مشکلی خواهند بود، زیرا تبدیل عبارات بخشی جدایی ناپذیر از هر معادله جدی، نابرابری یا حتی مشکل کلمه است.

در این آموزش ویدیویی نحوه استفاده صحیح از فرمول های ضرب اختصاری برای ساده سازی عبارات و کسرهای منطقی را بررسی خواهیم کرد. بیایید یاد بگیریم که این فرمول ها را در جایی که در نگاه اول چیزی وجود ندارد ببینیم. در همان زمان، ما یک تکنیک ساده مانند فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم از طریق یک ممیز را تکرار خواهیم کرد.

همانطور که احتمالاً قبلاً از فرمول های پشت سر من حدس زده اید، امروز ما فرمول های ضرب اختصاری یا، به طور دقیق تر، نه خود فرمول ها، بلکه استفاده از آنها را برای ساده سازی و کاهش عبارات پیچیده منطقی مطالعه خواهیم کرد. اما، قبل از رفتن به حل مثال‌ها، اجازه دهید نگاهی دقیق‌تر به این فرمول‌ها بیندازیم یا آنها را به خاطر بسپاریم:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ - تفاوت مربع ها.
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ مربع مجموع است.
3. $((\left(a-b \راست))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — مجذور اختلاف;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ مجموع مکعب ها است.
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ تفاوت مکعب ها است.

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که ما سیستم مدرسهساختار آموزش به گونه ای است که با مطالعه این موضوع، یعنی. عبارات منطقی، و همچنین ریشه ها، ماژول ها، همه دانش آموزان همین مشکل را دارند که اکنون توضیح خواهم داد.

واقعیت این است که در همان ابتدای مطالعه فرمول های ضرب اختصاری و بر این اساس، اقدامات برای کاهش کسری (این جایی در کلاس هشتم است)، معلمان چیزی شبیه به زیر می گویند: "اگر چیزی برای شما روشن نیست، پس انجام ندهید" نگران نباشید، ما به شما کمک خواهیم کرد. بعداً این موضوع را بررسی خواهیم کرد." خوب، پس در نوبت کلاس های 9-10، همان معلمان به همان دانش آموزانی که هنوز نمی دانند چگونه کسرهای منطقی را حل کنند توضیح می دهند، چیزی شبیه به این: "دو سال قبل کجا بودید؟ این در جبر در کلاس هشتم مطالعه شد! چه چیزی می تواند در اینجا نامشخص باشد؟ خیلی واضح است!»

با این حال، چنین توضیحاتی کار را برای دانش‌آموزان عادی آسان نمی‌کند: آنها هنوز در سرشان به هم ریخته بودند، بنابراین در حال حاضر دو مورد را تحلیل خواهیم کرد. مثال های ساده، بر اساس آن خواهیم دید که چگونه این عبارات را در مسائل واقعی جدا کنیم، که ما را به فرمول های ضرب اختصاری هدایت می کند و چگونه آن را برای تبدیل عبارات پیچیده منطقی اعمال کنیم.

کاهش کسرهای گویا ساده

وظیفه شماره 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

اولین چیزی که باید یاد بگیریم این است که مربع های دقیق و بیشتر را در عبارات اصلی انتخاب کنیم درجات بالا، بر اساس آن می توانیم فرمول ها را اعمال کنیم. بیایید ببینیم:

بیایید بیان خود را با در نظر گرفتن این حقایق بازنویسی کنیم:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))((\چپ(3((y)^(2)) \راست))^(2))-((\چپ(4x \راست))^(2))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \راست)\چپ(3 ((y)^(2))+4x \راست))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

پاسخ: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

مشکل شماره 2

بریم سراغ کار دوم:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

در اینجا چیزی برای ساده کردن وجود ندارد، زیرا شمارش حاوی یک ثابت است، اما من این مسئله را دقیقاً پیشنهاد کردم تا یاد بگیرید چگونه چند جمله ای های حاوی دو متغیر را فاکتور بگیرید. اگر به جای آن چند جمله ای زیر را داشته باشیم، چگونه آن را بسط می دهیم؟

\[((x)^(2))+5x-6=\چپ(x-... \راست)\چپ(x-... \راست)\]

بیایید معادله را حل کنیم و x$ را که می‌توانیم به جای نقطه‌ها قرار دهیم، پیدا کنیم:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

سه جمله ای را می توانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\چپ(x-1 \راست)\چپ(x+6 \راست)\]

ما یاد گرفتیم که چگونه با یک مثلث درجه دوم کار کنیم - به همین دلیل لازم بود این درس ویدیویی را ضبط کنیم. اما اگر علاوه بر $x$ و یک ثابت، $y$ نیز وجود داشته باشد، چه؟ بیایید آنها را به عنوان یکی دیگر از عناصر ضرایب در نظر بگیریم، i.e. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

اجازه دهید بسط ساخت مربع خود را بنویسیم:

\[\چپ(x-y \راست)\چپ(x+6y \راست)\]

بنابراین، اگر به عبارت اصلی برگردیم و با در نظر گرفتن تغییرات آن را بازنویسی کنیم، به شکل زیر می‌رسیم:

\[\frac(8)(\left(x-y \راست)\left(x+6y \راست))\]

چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ هیچ، چون قابل کاهش نیست، در هیچ چیز ضرب و تقسیم نمی شود. با این حال، به محض اینکه این کسری معلوم شود بخش جدایی ناپذیربیان پیچیده تر، چنین بسطی مفید خواهد بود. بنابراین، به محض مشاهده یک مثلث درجه دوم (مهم نیست که آیا بار پارامترهای اضافی است یا نه)، همیشه سعی کنید آن را فاکتور بگیرید.

تفاوت های ظریف راه حل

قوانین اساسی برای تبدیل عبارات منطقی را به خاطر بسپارید:

• تمام مخرج ها و اعداد باید یا از طریق فرمول های ضرب اختصاری یا از طریق یک ممیز فاکتور شوند.
• شما باید طبق الگوریتم زیر کار کنید: وقتی ما نگاه می کنیم و سعی می کنیم فرمول ضرب اختصاری را جدا کنیم، اول از همه سعی می کنیم همه چیز را به بالاترین درجه ممکن تبدیل کنیم. پس از این، درجه کلی را از براکت خارج می کنیم.
• اغلب اوقات با عباراتی با یک پارامتر روبرو می شوید: متغیرهای دیگر به عنوان ضرایب ظاهر می شوند. ما آنها را با استفاده از فرمول بسط درجه دوم پیدا می کنیم.

بنابراین، هنگامی که کسرهای گویا را می بینید، اولین کاری که باید انجام دهید این است که با استفاده از ضرب اختصاری یا فرمول های متمایز، صورت و مخرج را در عبارات خطی قرار دهید.

بیایید به چند مورد از این عبارات عقلانی نگاه کنیم و سعی کنیم آنها را فاکتور بگیریم.

حل مثال های پیچیده تر

وظیفه شماره 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

ما بازنویسی می کنیم و سعی می کنیم هر عبارت را تجزیه کنیم:

بیایید کل بیان عقلانی خود را با در نظر گرفتن این حقایق بازنویسی کنیم:

\[\frac(((\left(2x \راست))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \راست))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \راست))^(2))-((\left(2x \راست))^(2)))((\left(2x \راست))^(3))+ ((\left(3y \راست))^(3))=\]

\[=\frac(((\left(2x \راست))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \راست))^(2))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \راست)\left(3y+2x \راست))(\left(2x+3y \راست)\left((\left(2x \راست))^(2)- 2x\cdot 3y+((\left(3y \راست))^(2)) \راست))=-1\]

پاسخ: -1 دلار.

مشکل شماره 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

بیایید به همه کسری ها نگاه کنیم.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\چپ(x-2 \راست))^(2))\]

بیایید کل ساختار را با در نظر گرفتن تغییرات بازنویسی کنیم:

\[\frac(3\left(1-2x \راست))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \راست))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \راست))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \راست))(\چپ(2x-1 \راست)\چپ(2x+1 \راست))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \ چپ (x-2 \راست))\]

پاسخ: $\frac(3)(2\left(x-2 \راست))$.

تفاوت های ظریف راه حل

بنابراین چیزی که ما تازه یاد گرفتیم:

• هر مثلث مربعی را نمی توان به طور خاص فاکتور گرفت.
• ثابت ها، یعنی اعداد معمولی که دارای متغیر نیستند نیز می توانند به عنوان عناصر فعال در فرآیند بسط عمل کنند. اولاً می توان آنها را از براکت خارج کرد و ثانیاً خود ثابت ها را می توان در قالب توان نشان داد.
• اغلب اوقات، پس از فاکتورگیری همه عناصر، ساختارهای متضاد ایجاد می شود. این کسرها باید با دقت بسیار کم شوند، زیرا هنگام عبور از آنها در بالا یا پایین، یک عامل اضافی $-1$ ظاهر می شود - این دقیقاً نتیجه این واقعیت است که آنها متضاد هستند.

حل مسائل پیچیده

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((ب)^(2))+4b+4)\]

بیایید هر اصطلاح را جداگانه در نظر بگیریم.

کسر اول:

\[((\left(3a \راست))^(3))-((\left(4b \راست))^(3))=\left(3a-4b \راست)\چپ(((\چپ (3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\چپ(4b \راست))^(2)) \راست)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\چپ(b-2 \راست)\چپ(b+2 \راست)\]

می‌توانیم کل کسر کسر دوم را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

\[((\left(3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \راست))^(2))\]

حال بیایید مخرج را بررسی کنیم:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\چپ(b+2 \راست ))^(2))\]

بیایید کل عبارت منطقی را با در نظر گرفتن حقایق فوق بازنویسی کنیم:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \راست))^(2 ( ((\left(3a \راست))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \راست))^(2)))=\]

\[=\frac(\چپ(3a-4b \راست)\چپ(b+2 \راست))(\چپ(b-2 \راست))\]

پاسخ: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

تفاوت های ظریف راه حل

همانطور که یک بار دیگر دیدیم، مربع های ناقص مجموع یا مربع های ناقص تفاوت، که اغلب در عبارات منطقی واقعی یافت می شوند، از آنها نترسید، زیرا پس از تبدیل هر عنصر تقریباً همیشه لغو می شوند. علاوه بر این، به هیچ وجه نباید در پاسخ نهایی از ساخت و سازهای بزرگ ترسید - کاملاً ممکن است که این اشتباه شما نباشد (مخصوصاً اگر همه چیز فاکتورگیری شود) اما نویسنده چنین پاسخی را در نظر گرفته است.

در پایان، من می خواهم یک مورد دیگر را مورد بحث قرار دهم مثال پیچیده، که دیگر مستقیماً به کسرهای گویا مربوط نمی شود، اما شامل همه چیزهایی است که در آزمون ها و امتحانات واقعی در انتظار شماست، یعنی: فاکتورسازی، کاهش به مخرج مشترک، کاهش اصطلاحات مشابه. این دقیقاً همان کاری است که ما اکنون انجام خواهیم داد.

حل یک مشکل پیچیده ساده سازی و تبدیل عبارات منطقی

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \راست)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \راست)\]

ابتدا به براکت اول نگاه کرده و باز می کنیم: در آن سه کسر مجزا با مخرج های مختلف می بینیم، بنابراین اولین کاری که باید انجام دهیم این است که هر سه کسر را به یک مخرج مشترک برسانیم و برای انجام این کار، هر یک از آنها باید فاکتور گرفته شود:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\چپ(x-2 \راست)\چپ(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \راست)\]

بیایید کل ساخت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\چپ(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \راست))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\چپ(x-2 \راست)+((x)^(3))+8-\چپ(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \راست))(\چپ(x-2 \راست)\چپ(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \راست))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\چپ(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \راست))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ چپ(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \راست))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \راست))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \راست))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

این نتیجه محاسبات براکت اول است.

بیایید به براکت دوم بپردازیم:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\چپ(x-2 \راست)\چپ(x+2 \ درست)\]

بیایید براکت دوم را با در نظر گرفتن تغییرات بازنویسی کنیم:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\چپ(x+2 \راست))(\چپ(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\چپ(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))\]

حالا بیایید کل ساختار اصلی را بنویسیم:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \راست)\چپ(x+2 \راست))=\frac(1)(x+2)\]

پاسخ: $\frac(1)(x+2)$.

تفاوت های ظریف راه حل

همانطور که می بینید، پاسخ کاملاً منطقی بود. با این حال، لطفاً توجه داشته باشید: اغلب در چنین محاسباتی در مقیاس بزرگ، زمانی که تنها متغیر فقط در مخرج ظاهر می شود، دانش آموزان فراموش می کنند که این مخرج است و باید در پایین کسر باشد و این عبارت را در صورت می نویسند - این یک اشتباه فاحش است

علاوه بر این، توجه ویژه شما را به نحوه رسمی شدن چنین وظایفی جلب می کنم. در هر محاسبات پیچیده، تمام مراحل یک به یک انجام می شود: ابتدا براکت اول را جداگانه می شماریم، سپس دومی را جداگانه می شماریم و فقط در انتها همه قسمت ها را با هم ترکیب می کنیم و نتیجه را محاسبه می کنیم. به این ترتیب، ما خود را در برابر اشتباهات احمقانه بیمه می کنیم، تمام محاسبات را با دقت ثبت می کنیم و در عین حال، همانطور که در نگاه اول به نظر می رسد، وقت اضافی را تلف نمی کنیم.

کارهای تمام شده

مدرک کار می کند

خیلی گذشته است و اکنون فارغ التحصیل شده اید، البته اگر پایان نامه خود را به موقع بنویسید. اما زندگی چیزی است که فقط اکنون برای شما روشن می شود که پس از پایان تحصیل، تمام شادی های دانشجویی را از دست خواهید داد، بسیاری از آنها را هرگز امتحان نکرده اید، همه چیز را به تعویق می اندازید و آن را به بعد موکول می کنید. و حالا، به جای اینکه عقب بیفتید، روی پایان نامه خود کار می کنید؟ یک راه حل عالی وجود دارد: پایان نامه مورد نیاز خود را از وب سایت ما دانلود کنید - و بلافاصله زمان آزاد زیادی خواهید داشت!
پایان نامه ها با موفقیت در دانشگاه های برجسته جمهوری قزاقستان دفاع شده اند.
هزینه کار از 20000 تنگه

دوره کار می کند

پروژه درسی اولین کار عملی جدی است. با نوشتن درس است که آماده سازی برای توسعه آغاز می شود. پروژه های فارغ التحصیلی. اگر دانش آموزی بیاموزد که محتوای یک موضوع را به درستی در یک پروژه درسی ارائه کند و آن را به درستی قالب بندی کند، در آینده نه در نوشتن گزارش و نه در تدوین مشکلی نخواهد داشت. پایان نامه هاو نه با اجرای دیگران وظایف عملی. برای کمک به دانش آموزان در نوشتن این نوع کار دانش آموزی و روشن شدن سوالاتی که در حین تهیه آن ایجاد می شود، در واقع این بخش اطلاعات ایجاد شد.
هزینه کار از 2500 تنگه

پایان نامه های کارشناسی ارشد

در حال حاضر در بالاتر موسسات آموزشیدر قزاقستان و کشورهای مستقل مشترک المنافع، سطح آموزش عالی بسیار رایج است آموزش حرفه ای، که به دنبال مدرک لیسانس - فوق لیسانس می باشد. در مقطع فوق لیسانس دانشجویان با هدف اخذ مدرک فوق لیسانس تحصیل می کنند که در اکثر کشورهای دنیا بیش از لیسانس به رسمیت شناخته شده و مورد تایید کارفرمایان خارجی نیز می باشد. نتیجه کارشناسی ارشد دفاع است پایان نامه کارشناسی ارشد.
ما مطالب تحلیلی و متنی به روز را در اختیار شما قرار می دهیم که قیمت شامل 2 عدد می باشد مقالات علمیو انتزاعی
هزینه کار از 35000 تنگه

گزارش های تمرینی

پس از اتمام هر نوع کارآموزی دانشجویی (آموزشی، صنعتی، پیش از فارغ التحصیلی) ارائه گزارش الزامی است. این سند تاییدیه خواهد بود کار عملیدانش آموز و مبنای تشکیل ارزشیابی برای تمرین. معمولاً برای تهیه گزارشی از دوره کارآموزی، باید اطلاعات مربوط به شرکت را جمع آوری و تجزیه و تحلیل کنید، ساختار و روال کاری سازمانی که در آن دوره کارآموزی در آن انجام می شود را در نظر بگیرید، یک برنامه تقویم تنظیم کنید و خود را شرح دهید. فعالیت های عملی.
ما به شما کمک می کنیم تا با در نظر گرفتن ویژگی های فعالیت های یک شرکت خاص، گزارشی در مورد کارآموزی خود بنویسید.