معادله صفحه نرمال

1.

4.

صفحه مماس و سطح نرمال

اجازه دهید مقداری سطح داده شود، A نقطه ثابت سطح و B است نقطه متغیرسطوح،

(شکل 1).

بردار غیر صفر

→

n

تماس گرفت بردار معمولی به سطح در نقطه A، اگر

لیم B → A j = π 2 .

نقطه سطحی F (x, y, z) = 0 اگر در این نقطه باشد معمولی نامیده می شود

1. مشتقات جزئی F " x , F " y , F " z پیوسته هستند.
2. (F "x)2 + (F "y)2 + (F" z)2 ≠ 0.

اگر حداقل یکی از این شرایط نقض شود، نقطه سطح نامیده می شود نقطه خاص سطح .

قضیه 1.اگر M(x 0 , y 0 , z 0 ) یک نقطه معمولی از سطح است F (x, y, z) = 0 و سپس بردار

→ n = درجه F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → من + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → ک

(1)

در نقطه M برای این سطح نرمال است (x 0 , y 0 , z 0 ) .

اثباتارائه شده در کتاب توسط I.M. پتروشکو، L.A. کوزنتسوا، V.I. پروخورنکو، V.F. سافونوا "دوره ریاضیات عالی: حساب انتگرال". توابع چندین متغیر معادلات دیفرانسیل. م.: انتشارات MPEI، 2002 (ص 128).

نرمال به سطحدر نقطه ای یک خط مستقیم وجود دارد که بردار جهت آن در این نقطه با سطح نرمال است و از این نقطه می گذرد.

متعارف معادلات عادیرا می توان در فرم نشان داد

x − x 0 F "x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

هواپیمای مماسبه سطح در یک نقطه خاص صفحه ای است که از این نقطه عمود بر حالت عادی به سطح در این نقطه عبور می کند.

از این تعریف چنین بر می آید که معادله صفحه مماسدارای فرم:

(3)

اگر نقطه ای روی یک سطح منفرد باشد، در آن نقطه ممکن است بردار نرمال به سطح وجود نداشته باشد، و بنابراین، سطح ممکن است صفحه نرمال و مماس نداشته باشد.

معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر

اجازه دهید تابع z = f (x, y) در نقطه a (x 0, y 0) قابل تفکیک باشد. نمودار آن سطح است

f (x، y) - z = 0.

بگذارید z 0 = f (x 0 , y 0 ) قرار دهیم. سپس نقطه A (x 0 , y 0 , z 0 ) به سطح تعلق دارد.

مشتقات جزئی تابع F (x, y, z) = f (x, y) - z هستند

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

و در نقطه A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. آنها پیوسته هستند.
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f" 2 y + 1 ≠ 0.

در نتیجه، A یک نقطه معمولی از سطح F (x، y، z) است و در این نقطه یک صفحه مماس به سطح وجود دارد. مطابق (3)، معادله صفحه مماس به شکل زیر است:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f” y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

جابجایی عمودی یک نقطه در صفحه مماس هنگام حرکت از نقطه a (x 0, y 0) به نقطه دلخواه p (x, y) B Q است (شکل 2). افزایش متناظر درخواست ها می باشد

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f" y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

اینجا در سمت راست یک دیفرانسیل وجود دارد دتابع z z = f (x, y) در نقطه a (x 0, x 0). از این رو،
د f (x 0 , y 0 ). افزایش کاربرد یک نقطه صفحه مماس بر نمودار تابع f (x, y) در نقطه (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) است.

از تعریف دیفرانسیل به دست می آید که فاصله بین نقطه P در نمودار یک تابع و نقطه Q در صفحه مماس بی نهایت بیشتر است. نظم بالااز فاصله نقطه p تا a.

نمودار یک تابع از 2 متغیر z = f(x,y) سطحی است که بر روی صفحه XOY در دامنه تعریف تابع D پیش بینی می شود.
سطح را در نظر بگیرید σ , توسط معادله داده شده است z = f(x,y)، که در آن f(x,y) یک تابع قابل تمایز است و اجازه دهید M 0 (x 0,y 0,z 0) یک نقطه ثابت در سطح σ باشد، یعنی. z 0 = f (x 0 ,y 0). هدف. ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است معادلات نرمال صفحه مماس و سطح. راه حل با فرمت Word طراحی شده است. اگر باید معادله مماس بر یک منحنی (y = f(x)) را پیدا کنید، باید از این سرویس استفاده کنید.

قوانین برای وارد کردن توابع:

قوانین برای وارد کردن توابع:

1. همه متغیرها از طریق x,y,z بیان می شوند

صفحه مماس به سطح σ در نقطه او م 0 صفحه ای است که مماس بر تمام منحنی های رسم شده روی سطح در آن قرار دارد σ از طریق نقطه م 0 .
معادله صفحه مماس به سطح تعریف شده با معادله z = f(x,y) در نقطه M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) به شکل زیر است:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

بردار را بردار نرمال سطحی می نامند σ در نقطه M 0. بردار نرمال عمود بر صفحه مماس است.
نرمال به سطح σ در نقطه م 0 خطی است که از این نقطه می گذرد و جهت بردار N را دارد.
معادلات متعارف نرمال به سطح که با معادله z = f(x,y) در نقطه M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) تعریف شده است، که در آن z 0 = f(x 0 ,y 0) دارای فرم:

مثال شماره 1. سطح با معادله x 3 +5y به دست می آید. معادله صفحه مماس بر سطح را در نقطه M 0 (0;1) بیابید.
راه حل. اجازه دهید معادلات مماس را در آن بنویسیم نمای کلی: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
با توجه به شرایط مسئله، x 0 = 0، y 0 = 1، سپس z 0 = 5
بیایید مشتقات جزئی تابع z = x^3+5*y را پیدا کنیم:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
در نقطه M 0 (0،1) مقادیر مشتقات جزئی عبارتند از:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
با استفاده از فرمول، معادله صفحه مماس به سطح را در نقطه M 0 بدست می آوریم: z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) یا -5 y+z = 0

مثال شماره 2. سطح به طور ضمنی y 2 -1/2 * x 3 -8z تعریف شده است. معادله صفحه مماس به سطح را در نقطه M 0 (1;0;1) بیابید.
راه حل. یافتن مشتقات جزئی یک تابع. از آنجایی که تابع به طور ضمنی مشخص شده است، با استفاده از فرمول به دنبال مشتقات می گردیم:

برای عملکرد ما:

سپس:

در نقطه M 0 (1،0،1) مقادیر مشتقات جزئی:
f" x (1;0;1) = -3/16
f" y (1;0;1) = 0
با استفاده از فرمول، معادله صفحه مماس به سطح را در نقطه M 0 به دست می آوریم: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) یا 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

مثال. سطح σ توسط معادله داده شده است z= y/x + xy – 5x 3. معادله صفحه مماس و نرمال به سطح را پیدا کنید σ در نقطه م 0 (x 0 ,y 0 ,z 0)، متعلق به او، اگر x 0 = –1, y 0 = 2.
بیایید مشتقات جزئی تابع را پیدا کنیم z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x'( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' x = - y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3) y = 1/x + x.
نقطه م 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) متعلق به سطح است σ تا بتوانیم محاسبه کنیم z 0، جایگزین داده شده x 0 = -1 و y 0 = 2 در معادله سطح:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
در نقطه ممقادیر مشتق جزئی 0 (–1، 2، 1):
f x'( م 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y'( م 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
با استفاده از فرمول (5) معادله صفحه مماس به سطح را بدست می آوریم σ در نقطه م 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
با استفاده از فرمول (6) معادلات متعارف نرمال به سطح را بدست می آوریم σ در نقطه م 0: .
پاسخ ها: معادله صفحه مماس: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; معادلات عادی: .

مثال شماره 1. تابع z=f(x,y) و دو نقطه A(x 0, y 0) و B(x 1, y 1) داده می شود. مورد نیاز: 1) محاسبه مقدار z 1 تابع در نقطه B. 2) مقدار تقریبی z 1 تابع در نقطه B را بر اساس مقدار z 0 تابع در نقطه A محاسبه کنید و افزایش تابع را هنگام حرکت از نقطه A به نقطه B با دیفرانسیل جایگزین کنید. 3) یک معادله برای صفحه مماس به سطح z = f(x,y) در نقطه C (x 0 ,y 0 ,z 0) ایجاد کنید.
راه حل.
اجازه دهید معادلات مماس را به صورت کلی بنویسیم:
z - z 0 = f" x (x 0 , y 0 , z 0) (x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
با توجه به شرایط مسئله، x 0 = 1، y 0 = 2، سپس z 0 = 25
بیایید مشتقات جزئی تابع z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 را پیدا کنیم:
f" x (x,y) = (x2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
در نقطه M 0 (1،2) مقادیر مشتقات جزئی عبارتند از:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
با استفاده از فرمول، معادله صفحه مماس به سطح در نقطه M 0 را به دست می آوریم:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
یا
-26 x-36 y+z+73 = 0

مثال شماره 2. معادلات صفحه مماس و نرمال به پارابولوئید بیضوی z = 2x 2 + y 2 را در نقطه (1;-1;3) بنویسید.

صفحات مماس نقش زیادی در هندسه دارند. ساخت هواپیماهای مماس از نظر عملی دارد مهم است، از آنجایی که وجود آنها به ما امکان می دهد جهت نرمال به سطح را در نقطه تماس تعیین کنیم. این مشکل به طور گسترده در عمل مهندسی استفاده می شود. از صفحات مماس نیز برای ساخت اسکیس استفاده می شود. اشکال هندسی، توسط سطوح بسته محدود شده است. در به صورت تئوریصفحات مماس بر یک سطح در هندسه دیفرانسیل برای مطالعه خواص یک سطح در منطقه نقطه تماس استفاده می شود.

مفاهیم و تعاریف اساسی

صفحه مماس به سطح را باید به عنوان موقعیت محدود صفحه سکانس در نظر گرفت (بر اساس قیاس با خط مماس بر منحنی که به عنوان موقعیت محدود کننده نیز تعریف می شود).

یک صفحه مماس بر یک سطح در یک نقطه داده شده روی سطح مجموعه ای از تمام خطوط مستقیم است - مماس هایی که از طریق سطح به سطح کشیده می شوند. این نقطه.

در هندسه دیفرانسیل ثابت شده است که تمام مماس های یک سطح رسم شده در یک نقطه معمولی همسطح هستند (متعلق به یک صفحه).

بیایید دریابیم که چگونه یک خط مستقیم مماس بر سطح رسم کنیم. مماس t بر سطح β در یک نقطه M مشخص شده روی سطح (شکل 203) نشان دهنده موقعیت محدود سکونت l j است که سطح را در دو نقطه (MM 1، MM 2، ...، MM n) قطع می کند. نقاط تقاطع منطبق هستند (M ≡ M n، l n ≡ l M). بدیهی است (M 1، M 2، ...، M n) ∈ g، زیرا g ⊂ β. از موارد فوق تعریف زیر به دست می آید: مماس به سطح یک خط مستقیم مماس بر هر منحنی متعلق به سطح است.

از آنجایی که یک صفحه با دو خط مستقیم متقاطع تعریف می شود، برای تعریف صفحه مماس بر سطح در نقطه داده شدهکافی است دو خط دلخواه متعلق به سطح (ترجیحاً ساده شکل) را از این نقطه رسم کرده و در محل تلاقی این خطوط بر هر کدام مماس بسازیم. مماس های ساخته شده به طور منحصر به فرد صفحه مماس را تعیین می کنند. یک نمایش بصری از رسم صفحه α مماس بر سطح β در نقطه معین M در شکل نشان داده شده است. 204. این شکل همچنین n نرمال را به β سطح نشان می دهد.

نرمال به سطح در یک نقطه معین، خط مستقیمی است که عمود بر صفحه مماس است و از نقطه مماس می گذرد.

خط تقاطع سطح با صفحه ای که از حالت عادی عبور می کند، مقطع نرمال سطح نامیده می شود. بسته به نوع سطح، صفحه مماس می تواند یک یا چند نقطه (خط) با سطح داشته باشد. خط مماس می تواند در همان زمان خط تقاطع سطح با صفحه باشد.

همچنین مواردی وجود دارد که نقاطی روی سطح وجود دارد که در آن کشیدن مماس بر سطح غیرممکن است. چنین نقاطی را مفرد می گویند. به عنوان نمونه نقاط منفرداگر نصف النهار و محور با زاویه قائمه همدیگر را نداشته باشند، می توان به نقاط مربوط به لبه برگشتی سطح نیم تنه یا نقطه تلاقی نصف النهار سطح چرخش با محور آن اشاره کرد.

انواع لمس به ماهیت انحنای سطح بستگی دارد.

انحنای سطح

مسائل مربوط به انحنای سطح توسط ریاضیدان فرانسوی F. Dupin (1784-1873) مورد مطالعه قرار گرفت که روشی بصری برای به تصویر کشیدن تغییرات در انحنای بخشهای عادی یک سطح پیشنهاد کرد.

برای انجام این کار، در صفحه مماس به سطح مورد نظر در نقطه M (شکل 205، 206)، قطعاتی برابر با ریشه های مربع مقادیر شعاع انحنای متناظر این مقاطع بر روی مماس ها قرار می گیرند. بخش های معمولی در دو طرف این نقطه. مجموعه ای از نقاط - انتهای بخش ها منحنی نامیده می شود اندیکاتور دوپین. الگوریتم ساخت نشانگر دوپین (شکل 205) را می توان نوشت:

1. M ∈ α، M ∈ β ∧ α β.

2. = √(R l 1)، = √(R l 2)،...، = √(R l n)

که در آن R شعاع انحنا است.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) شاخص دوپین است.

اگر شاخص دوپین یک سطح بیضی باشد، نقطه M را بیضوی و سطح را سطحی با نقاط بیضی می گویند.(شکل 206). در این حالت صفحه مماس تنها یک نقطه مشترک با سطح دارد و تمام خطوط متعلق به سطح و متقاطع در نقطه مورد نظر در یک طرف صفحه مماس قرار دارند. نمونه هایی از سطوح با نقاط بیضوی عبارتند از: یک پارابولوئید چرخش، یک بیضی چرخش، یک کره (در این مورد، شاخص دوپین یک دایره و غیره است).

هنگام رسم یک صفحه مماس به سطح بالاتنه، صفحه این سطح را در امتداد یک ژنراتیکس مستقیم لمس می کند. نقاط این خط نامیده می شوند سهمی، و سطح یک سطح با نقاط سهموی است. شاخص دوپین در این مورد دو خط موازی است (شکل 207*).

در شکل 208 سطحی متشکل از نقاطی را نشان می دهد که در آن

* منحنی مرتبه دوم - سهمی - در شرایط خاصمی تواند به دو خط موازی واقعی، دو خط موازی خیالی، دو خط متقابل تقسیم شود. در شکل 207 ما با دو خط موازی واقعی روبرو هستیم.

هر صفحه مماس سطح را قطع می کند. چنین سطحی نامیده می شود هذلولی، و نقاط متعلق به آن است نقاط هذلولی شاخص دوپین در این مورد یک هذلولی است.

سطحی که تمام نقاط آن هذلولی است، شکل زینی دارد (صفحه مایل، هایپربولوئید تک ورق، سطوح مقعر چرخشی و غیره).

یک سطح ممکن است نقاطی داشته باشد انواع مختلفبه عنوان مثال، در نزدیکی سطح بالاتنه (شکل 209) نقطه M بیضوی است. نقطه N سهمی است. نقطه K هذلولی است.

در دوره هندسه دیفرانسیل ثابت شده است که مقاطع معمولی که در آن مقادیر انحنای Kj = 1 / R j (که در آن Rj شعاع انحنای مقطع مورد نظر است) دارای مقادیر شدید در دو قسمت قرار دارند. صفحات متقابل عمود بر هم

چنین انحناهایی K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min مقادیر اصلی نامیده می شوند و مقادیر H = (K 1 + K 2)/2 و K = K 1 K 2 به ترتیب میانگین انحنای سطح و کل ( گاوسی) انحنای سطح در نقطه مورد نظر. برای نقاط بیضی K> 0، نقاط هذلولی K

تعیین صفحه مماس بر یک سطح در نمودار Monge

در زیر، با استفاده از مثال‌های خاص، ساخت صفحه مماس بر یک سطح را با نقاط بیضوی (مثال 1)، سهموی (مثال 2) و هذلولی (مثال 3) نشان خواهیم داد.

مثال 1. صفحه ای مماس α مماس بر سطح چرخش β با نقاط بیضی بسازید. بیایید دو گزینه برای حل این مشکل در نظر بگیریم: الف) نقطه M ∈ β و ب) نقطه M ∉ β

گزینه a (شکل 210).

صفحه مماس توسط دو مماس t 1 و t 2 که در نقطه M به موازات و نصف النهار سطح β کشیده شده اند تعیین می شود.

پیش بینی مماس t 1 به موازی h سطح β t" 1 ⊥ (S"M") و t" 1 || محور x برآمدگی افقی مماس t"2 به نصف النهار d سطح β که از نقطه M می گذرد با برجستگی افقی نصف النهار منطبق خواهد شد. برای یافتن برجستگی جلویی مماس t"2، صفحه نصف النهار γ(γ) ∋ M) با چرخش حول محور سطح β 1 به موقعیت γ منتقل می شود، موازی با هواپیماπ 2. در این مورد، نقطه M → M 1 (M" 1، M" 1 طرح ریزی مماس t" 2 rarr؛ t" 2 1 با (M" 1 S" تعیین می شود). اگر اکنون صفحه γ 1 را به موقعیت اصلی خود برگردانیم، آنگاه نقطه S" در جای خود باقی خواهد ماند (به عنوان متعلق به محور چرخش) و M" 1 → M" و برآمدگی جلویی مماس t" 2 خواهد بود. تعیین شود (M"S")

دو مماس t 1 و t 2 که در یک نقطه M ∈ β تلاقی می کنند، صفحه α مماس بر سطح β را مشخص می کنند.

گزینه b (شکل 211)

برای ساختن صفحه ای مماس بر سطحی که از نقطه ای می گذرد که متعلق به سطح نیست، باید از ملاحظات زیر پیروی کرد: از طریق نقطه ای خارج از سطح متشکل از نقاط بیضی، می توان بسیاری از صفحات مماس بر سطح را ترسیم کرد. پوشش این سطوح مقداری سطح مخروطی خواهد بود. بنابراین، اگر دستورالعمل اضافی وجود نداشته باشد، آنگاه مشکل راه‌حل‌های زیادی دارد و در این حالت به رسم یک سطح مخروطی γ مماس بر سطح معین β کاهش می‌یابد.

در شکل شکل 211 ساخت سطح مخروطی γ مماس بر کره β را نشان می دهد. هر صفحه α مماس بر سطح مخروطی γ مماس بر سطح β خواهد بود.

برای ساختن پیش بینی های سطح γ از نقاط M" و M" مماس ها را به دایره های h" و f" ترسیم می کنیم - پیش بینی های کره. نقاط لمسی 1 (1 و 1 اینچ)، 2 (2 و 2 اینچ)، 3 (3 و 3 اینچ) و 4 (4 و 4 اینچ) را علامت گذاری کنید. برآمدگی افقی یک دایره - خط مماس سطح مخروطی و کره در [1"2"] پیش بینی می شود برای یافتن نقاط بیضی که این دایره در آن بر روی صفحه جلویی برجستگی ها قرار می گیرد، از استفاده می کنیم. موازی های کره

در شکل 211 به این ترتیب برآمدگی های جلویی نقاط E و F (E" و F") تعیین می شود. با داشتن سطح مخروطی γ، صفحه مماس α بر آن می سازیم. ماهیت و توالی گرافیک

ساخت و سازهایی که برای این کار باید انجام شود در مثال زیر آورده شده است.

مثال 2 صفحه α مماس بر سطح β با نقاط سهموی بسازید

مانند مثال 1، دو راه حل را در نظر می گیریم: الف) نقطه N ∈ β. ب) نقطه N ∉ β

گزینه a (شکل 212).

سطح مخروطی به سطوحی با نقاط سهموی اشاره دارد (شکل 207 را ببینید).

1) از طریق یک نقطه داده شده N یک ژنراتور SN رسم کنید (S"N" و S"N").

2) نقطه تقاطع ژنراتیکس (SN) را با راهنمای d مشخص کنید: (SN) ∩ d = A.

3) همچنین به مماس t بر d در نقطه A می دمد.

ژنراتیکس (SA) و مماس t که آن را قطع می کند، صفحه مماس α مماس بر سطح مخروطی β را در یک نقطه N* مشخص می کند.

برای رسم صفحه α، مماس بر سطح مخروطی β و عبور از نقطه N، متعلق به

* از آنجایی که سطح β از نقاط سهموی تشکیل شده است (به جز راس S)، صفحه مماس α بر آن نه یک نقطه N، بلکه یک خط مستقیم (SN) مشترک خواهد داشت.

با فشار دادن یک سطح مشخص، لازم است:

1) از طریق یک نقطه داده شده N و راس S سطح مخروطی β یک خط مستقیم a (a" و a") بکشید.

2) رد افقی این خط مستقیم H a را تعیین کنید.

3) از طریق H a مماس های t" 1 و t" 2 منحنی h 0β را ترسیم کنید - رد افقی سطح مخروطی.

4) نقاط مماس A (A" و A") و B (B" و B") را به راس سطح مخروطی S (S" و S") متصل کنید.

خطوط متقاطع t 1، (AS) و t2، (BS) صفحات مماس مورد نظر α 1 و α 2 را تعیین می کنند.

مثال 3. یک صفحه مماس α بر سطح β با نقاط هذلولی بسازید.

نقطه K (شکل 214) روی سطح گلوبوئید (سطح داخلی حلقه) قرار دارد.

برای تعیین موقعیت صفحه مماس α لازم است:

1) یک موازی با سطح β h(h، h") از طریق نقطه K رسم کنید.

2) از طریق نقطه K" یک مماس t" 1 رسم کنید (t" 1 ≡ h").

3) برای تعیین جهات برآمدگی مماس بر بخش نصف النهار، لازم است صفحه γ را از نقطه K و محور سطح رسم کنید، برآمدگی افقی t" 2 با h 0γ منطبق خواهد شد؛ برای ساخت برآمدگی جلویی مماس t" 2، ابتدا صفحه γ را با چرخاندن آن حول محور سطح چرخش به موقعیت γ 1 || ترجمه می کنیم. π 2. در این حالت، بخش نصف النهاری بر اساس صفحه γ با قوس طرح سمت چپ برجستگی پیشانی - نیم دایره g هم تراز خواهد شد.

نقطه K (K"، K")، متعلق به منحنی مقطع نصف النهار، به موقعیت K1 (K" 1، K" 1) حرکت می کند. از طریق K" 1 یک برآمدگی جلویی از مماس t" 2 1 ترسیم می کنیم که با صفحه γ 1 || موقعیت π 2 و نقطه تقاطع آن را با برجستگی جلویی محور چرخش S" 1 علامت گذاری کنید. صفحه γ 1 را به موقعیت اصلی خود، نقطه K" 1 → K" (نقطه S" 1 ≡ S") برمی گردانیم. برآمدگی جلویی مماس t" 2 توسط نقاط K" و S" تعیین می شود.

مماس های t 1 و t 2 صفحه مماس مورد نظر α را تعریف می کنند که سطح β را در امتداد منحنی l قطع می کند.

مثال 4. یک صفحه مماس α مماس بر سطح β در نقطه K بسازید. نقطه K بر روی سطح یک هیپربولوئید چرخشی یک صفحه قرار دارد (شکل 215).

این مشکل را می توان با رعایت الگوریتم استفاده شده در مثال قبل حل کرد، اما با در نظر گرفتن این که سطح هیپربولوئید چرخشی یک ورقی، سطحی است که دارای دو خانواده ژنراتورهای مستقیم و هر یک از مولدهای یک خانواده تمام مولدهای خانواده دیگر را قطع می کند (نگاه کنید به § 32، شکل. 138). از طریق هر نقطه از این سطح، دو خط مستقیم متقاطع را می توان ترسیم کرد - ژنراتورها، که به طور همزمان بر سطح یک هیپربولوئید یک ورق چرخش مماس خواهند بود.

این مماس ها صفحه مماس را مشخص می کنند، یعنی صفحه مماس بر سطح یک هیپربولوئید یک صفحه ای با چرخش این سطح را در امتداد دو خط مستقیم g 1 و g 2 قطع می کند. برای ساخت طرح ریزی از این خطوط، کافی است طرح افقینقاط K، مماس های t" 1 و t" 2 را به سمت افقی رسم کنید

برآمدگی دایره d" 2 - گلوی سطح یک هیپربولوئید چرخشی تک ورقه ای؛ نقاط 1" و 2 را تعیین کنید که در آنها t" 1 و t" 2 یک و سطوح هدایت کننده d 1 را قطع می کنند. از 1" و 2" ما 1" و 2" را پیدا می کنیم، که همراه با K" برآمدگی های جلویی خطوط مورد نیاز را تعیین می کنند.

در نقطه ای و دارای مشتقات جزئی پیوسته در آن است که حداقل یکی از آنها ناپدید نمی شود، سپس در همسایگی این نقطه، سطح تعریف شده توسط رابطه (1) خواهد بود. سطح مناسب.

علاوه بر موارد فوق روش ضمنی مشخص کردنسطح قابل تعریف است بدیهی است، اگر یکی از متغیرها، برای مثال z، را بتوان بر حسب متغیرهای دیگر بیان کرد:

نیز وجود دارد پارامتریکنحوه واگذاری در این مورد، سطح توسط سیستم معادلات تعیین می شود:

مفهوم سطح ساده

دقیق تر، سطح ساده تصویر یک نگاشت همومورفیک (یعنی نگاشت یک به یک و متقابلاً پیوسته) از داخل یک مربع واحد است. این تعریف را می توان بیانی تحلیلی داد.

اجازه دهید یک مربع در صفحه ای با سیستم مختصات مستطیلی u و v داده شود که مختصات نقاط داخلی آن نابرابری های 0 را برآورده کند.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

مثال سطح سادهیک نیمکره است کل حوزه نیست سطح ساده. این امر مستلزم تعمیم بیشتر مفهوم سطح است.

زیرمجموعه ای از فضا که هر نقطه از آن دارای یک همسایگی است سطح ساده، تماس گرفت سطح مناسب .

سطح در هندسه دیفرانسیل

هلیکوئید

کاتنوئید

متریک به طور منحصر به فرد شکل سطح را تعیین نمی کند. به عنوان مثال، متریک یک هلیکوئید و یک کاتنوئید، که بر این اساس پارامتر شده است، منطبق است، یعنی تناظری بین مناطق آنها وجود دارد که تمام طول ها را حفظ می کند (ایزومتی). خواصی که تحت تبدیل های ایزومتریک حفظ می شوند نامیده می شوند هندسه داخلیسطوح هندسه داخلی به موقعیت سطح در فضا بستگی ندارد و هنگامی که بدون کشش یا فشار خم می شود (مثلاً هنگامی که یک استوانه به صورت مخروط خم می شود) تغییر نمی کند.

ضرایب متریک نه تنها طول همه منحنی ها، بلکه به طور کلی نتایج تمام اندازه گیری های داخل سطح (زوایا، مساحت ها، انحنا و غیره) را تعیین می کند. بنابراین، هر چیزی که فقط به متریک بستگی دارد به هندسه داخلی اشاره دارد.

بخش معمولی و معمولی

بردارهای عادی در نقاط سطحی

یکی از ویژگی های اصلی یک سطح آن است عادی- بردار واحد عمود بر صفحه مماس در یک نقطه معین:

.

علامت نرمال به انتخاب مختصات بستگی دارد.

قسمتی از سطح توسط صفحه ای که دارای حالت نرمال (در یک نقطه معین) است، منحنی خاصی را روی سطح تشکیل می دهد که به آن می گویند. بخش عادیسطوح نرمال اصلی برای یک بخش معمولی با نرمال به سطح (تا علامت) منطبق است.

اگر منحنی روی سطح یک مقطع عادی نباشد، نرمال اصلی آن یک زاویه θ مشخص با نرمال سطح تشکیل می دهد. سپس انحنا کمنحنی مربوط به انحنا ک nبرش عادی (با مماس یکسان) با فرمول مونیر:

مختصات بردار واحد نرمال برای روش های مختلف تعریف سطح در جدول آورده شده است:

	مختصات عادی در یک نقطه سطحی
تخصیص ضمنی
تکلیف صریح
مشخصات پارامتریک

انحنا

برای جهت های مختلفدر یک نقطه معین از سطح، انحناهای متفاوتی از مقطع نرمال به دست می آید که به آن می گویند انحنای معمولی; اگر نرمال اصلی منحنی در همان جهت نرمال به سطح حرکت کند، یک علامت مثبت و اگر جهت های نرمال ها مخالف باشد، یک علامت منفی نسبت داده می شود.

به طور کلی، در هر نقطه از یک سطح دو جهت عمود بر هم وجود دارد ه 1 و ه 2، که در آن انحنای نرمال مقادیر حداقل و حداکثر را می گیرد. این جهت ها نامیده می شوند اصلی. استثنا در موردی است که انحنای نرمال در همه جهات یکسان باشد (مثلاً در نزدیکی یک کره یا در انتهای یک بیضی چرخش)، پس همه جهات در یک نقطه اصلی هستند.

سطوح با انحنای منفی (چپ)، صفر (مرکز) و مثبت (راست).

انحنای معمولی در جهات اصلی نامیده می شود انحناهای اصلی; بیایید آنها را κ 1 و κ 2 نشان دهیم. اندازه:

ک= κ 1 κ 2

تماس گرفت انحنای گاوسی, انحنای کاملیا فقط انحناسطوح این اصطلاح نیز وجود دارد اسکالر انحنا، که حاکی از نتیجه پیچیدگی تانسور انحنای است. در این حالت، اسکالر انحنای دو برابر انحنای گاوسی است.

انحنای گاوسی را می توان از طریق یک متریک محاسبه کرد و بنابراین موضوعی از هندسه ذاتی سطوح است (توجه داشته باشید که انحناهای اصلی به هندسه ذاتی تعلق ندارند). می توانید نقاط سطح را بر اساس علامت انحنا طبقه بندی کنید (شکل را ببینید). انحنای هواپیما صفر است. انحنای یک کره با شعاع R در همه جا برابر است. همچنین سطحی با انحنای منفی ثابت وجود دارد - شبه کره.

خطوط ژئودزیکی، انحنای ژئودزیکی

منحنی روی سطح نامیده می شود خط ژئودتیک، یا فقط ژئودتیک، اگر در تمام نقاطش نرمال اصلی به منحنی با نرمال به سطح منطبق باشد. به عنوان مثال: در یک صفحه، ژئودزیک ها خطوط مستقیم و بخش هایی از خطوط مستقیم خواهند بود، در یک کره - دایره های بزرگ و بخش های آنها.

تعریف معادل: برای یک خط ژئودزیکی، پیش بینی نرمال اصلی آن بر روی صفحه نوسانی بردار صفر است. اگر منحنی ژئودزیکی نباشد، طرح مشخص شده غیرصفر است. طول آن نامیده می شود انحنای ژئودزیکی ک gمنحنی روی سطح یک رابطه وجود دارد:

,

کجا ک- انحنای این منحنی، ک n- انحنای مقطع عادی آن با مماس یکسان.

خطوط ژئودزیک به هندسه داخلی اشاره دارد. اجازه دهید خواص اصلی آنها را فهرست کنیم.

• از یک نقطه سطح معین در یک جهت معین یک و تنها یک ژئودزیک عبور می کند.
• در یک منطقه به اندازه کافی کوچک از سطح، دو نقطه همیشه می توانند توسط یک ژئودزیک و علاوه بر این، تنها توسط یک متصل شوند. توضیح: در یک کره، قطب های مخالف با تعداد بی نهایت نصف النهار به هم متصل می شوند و دو نقطه نزدیک را می توان نه تنها با یک قطعه از یک دایره بزرگ، بلکه با افزودن آن به یک دایره کامل به هم متصل کرد، به طوری که منحصر به فرد بودن فقط حفظ می شود. در کوچک
• ژئودزیک کوتاه ترین مسیر است. دقیق تر: در یک قطعه کوچک از سطح، کوتاه ترین مسیر بین نقاط داده شده در امتداد یک ژئودزیک قرار دارد.

مربع

یکی دیگر از ویژگی های مهم سطح آن است مربع، که با فرمول محاسبه می شود:

یعنی در مورد آنچه در عنوان می بینید. در اصل، این یک "آنالوگ فضایی" است مشکلات یافتن مماسو عادیبه نمودار یک تابع از یک متغیر، و بنابراین هیچ مشکلی نباید ایجاد شود.

بیایید با سؤالات اساسی شروع کنیم: صفحه مماس چیست و نرمال چیست؟ بسیاری از مردم این مفاهیم را در سطح شهود درک می کنند. بیشترین مدل سادهچیزی که به ذهن می رسد توپی است که روی آن یک مقوای صاف و نازک قرار دارد. مقوا تا حد امکان نزدیک به کره قرار دارد و آن را در یک نقطه لمس می کند. علاوه بر این، در نقطه تماس، با یک سوزن که مستقیماً به سمت بالا می چسبد، محکم می شود.

در تئوری، یک تعریف مبتکرانه از صفحه مماس وجود دارد. مجانی را تصور کنید سطحو نقطه متعلق به آن بدیهی است که چیزهای زیادی از این نقطه عبور می کند خطوط فضایی، که متعلق به این سطح هستند. چه کسی چه انجمن هایی دارد؟ =) ... شخصاً یک هشت پا را تصور کردم. اجازه دهید فرض کنیم که هر یک از این خطوط دارای چنین خطی هستند مماس فضاییدر نقطه .

تعریف 1: صفحه مماسبه سطح در یک نقطه - این است هواپیما، شامل مماس بر تمام منحنی هایی است که به یک سطح معین تعلق دارند و از نقطه عبور می کنند.

تعریف 2: عادیبه سطح در یک نقطه - این است مستقیم، از نقطه ای عمود بر صفحه مماس عبور می کند.

ساده و شیک. به هر حال، برای اینکه از سادگی مطالب از کسالت نکشید، کمی بعد یک راز ظریف را با شما به اشتراک می گذارم که به شما امکان می دهد یک بار و برای همیشه انباشته کردن تعاریف مختلف را فراموش کنید.

ما مستقیماً با فرمول های کاری و الگوریتم حل آشنا می شویم مثال خاص. در اکثریت قریب به اتفاق مسائل، لازم است هم معادله صفحه مماس و هم معادله نرمال ساخته شود:

مثال 1

راه حل:اگر سطح با معادله داده شود (یعنی به طور ضمنی)، سپس معادله صفحه مماس بر یک سطح معین در یک نقطه را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

من توجه ویژه ای به مشتقات جزئی غیر معمول - آنها دارم نباید اشتباه گرفته شودبا مشتقات جزئی یک تابع به طور ضمنی مشخص شده (اگرچه سطح به طور ضمنی مشخص شده است). هنگام یافتن این مشتقات، شخص باید توسط آن راهنمایی شود قوانینی برای افتراق یک تابع از سه متغیر، یعنی هنگام تمایز با هر متغیری، دو حرف دیگر ثابت در نظر گرفته می شوند:

بدون خروج از صندوق، مشتق جزئی را در نقطه زیر می یابیم:

به همین ترتیب:

این ناخوشایندترین لحظه تصمیم بود که در آن خطا، اگر مجاز نباشد، دائماً ظاهر می شود. با این حال، وجود دارد تکنیک موثربررسی کنید که در کلاس در مورد آن صحبت کردم مشتق جهت و گرادیان.

همه "مواد تشکیل دهنده" پیدا شده اند و اکنون موضوع جایگزینی دقیق با ساده سازی های بیشتر است:

– معادله کلیصفحه مماس مورد نظر

من به شدت توصیه می کنم این مرحله از راه حل را نیز بررسی کنید. ابتدا باید مطمئن شوید که مختصات نقطه مماس واقعا معادله یافت شده را برآورده می کند:

- برابری واقعی

اکنون ضرایب را "حذف" می کنیم معادله کلیصفحات و مطابقت یا تناسب آنها با مقادیر مربوطه را بررسی کنید. در این مورد آنها متناسب هستند. همانطور که به یاد دارید از درس هندسه تحلیلی، - این بردار معمولیصفحه مماس، و او نیز هست بردار راهنماخط مستقیم معمولی بیایید آهنگسازی کنیم معادلات متعارفنرمال ها بر اساس نقطه و جهت بردار:

اصولاً مخرج ها را می توان به دو تقلیل داد، اما نیاز خاصی به این کار وجود ندارد

پاسخ دهید:

تعیین معادلات با حروف ممنوع نیست، اما باز هم چرا؟ در اینجا کاملاً واضح است که چیست.

دو مثال زیر برای تصمیم مستقل. یک "پیچان زبان ریاضی" کوچک:

مثال 2

معادلات صفحه مماس و نرمال به سطح را در نقطه پیدا کنید.

و یک کار جالب از نظر فنی:

مثال 3

معادلات صفحه مماس و نرمال با سطح را در یک نقطه بنویسید

در نقطه.

هر شانسی وجود دارد که نه تنها گیج شوید، بلکه در هنگام ضبط با مشکلاتی نیز مواجه شوید معادلات متعارف خط. و معادلات نرمال همانطور که احتمالا متوجه شدید معمولا به این شکل نوشته می شوند. اگرچه به دلیل فراموشی یا نادیده گرفتن برخی نکات ظریف، فرم پارامتریک بیش از حد قابل قبول است.

نمونه های تقریبی اجرای نهایی راه حل ها در پایان درس.

آیا در هر نقطه ای از سطح صفحه مماس وجود دارد؟ به طور کلی، البته نه. نمونه کلاسیک- این سطح مخروطی و نقطه - مماس ها در این نقطه مستقیماً یک سطح مخروطی شکل می دهند و البته در یک صفحه قرار نمی گیرند. به راحتی می توان تأیید کرد که چیزی از نظر تحلیلی اشتباه است: .

منبع دیگر مشکلات این واقعیت است عدم وجودهر مشتق جزئی در یک نقطه با این حال، این بدان معنا نیست که در یک نقطه مشخص، صفحه مماس واحدی وجود ندارد.

اما این به جای اطلاعات عملی مهم، علم عامه پسند بود، و ما به مسائل مبرم باز می گردیم:

نحوه نوشتن معادلات برای صفحه مماس و نرمال در یک نقطه،
اگر سطح با یک تابع صریح مشخص شده باشد?

بیایید به طور ضمنی بازنویسی کنیم:

و با استفاده از همان اصول مشتقات جزئی را پیدا می کنیم:

بنابراین، فرمول صفحه مماس به معادله زیر تبدیل می شود:

و بر این اساس، معادلات عادی متعارف:

همانطور که ممکن است حدس بزنید، - اینها قبلاً "واقعی" هستند مشتقات جزئی یک تابع از دو متغیردر نقطه ای که قبلا آن را با حرف z نشان می دادیم و 100500 بار پیدا شد.

لطفاً توجه داشته باشید که در این مقاله کافی است اولین فرمول را به خاطر بسپارید که در صورت لزوم می توان همه چیزهای دیگر را از آن استخراج کرد. (البته داشتن سطح پایهآماده سازی). این دقیقاً همان رویکردی است که باید هنگام مطالعه علوم دقیق استفاده شود. از حداقل اطلاعات، ما باید تلاش کنیم تا حداکثر نتیجه‌گیری و پیامدها را به دست آوریم. "ملاحظه" و دانش موجود کمک خواهد کرد! این اصل همچنین مفید است زیرا به احتمال زیاد شما را در آن نجات خواهد داد وضعیت بحرانیوقتی خیلی کم میدونی

بیایید فرمول های "تغییر یافته" را با چند مثال کار کنیم:

مثال 4

معادلات صفحه مماس و نرمال به سطح را بنویسید در نقطه .

در اینجا یک همپوشانی جزئی با نمادها وجود دارد - اکنون این حرف یک نقطه در هواپیما را نشان می دهد، اما چه کاری می توانید انجام دهید - چنین حرف محبوب ...

راه حلبیایید با استفاده از فرمول معادله صفحه مماس مورد نظر را بسازیم:

بیایید مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنیم:

بیایید محاسبه کنیم مشتقات جزئی مرتبه 1در این مرحله:

بدین ترتیب:

با دقت، عجله نکنید:

اجازه دهید معادلات متعارف عادی را در نقطه زیر بنویسیم:

پاسخ دهید:

و یک مثال آخر برای راه حل خودتان:

مثال 5

معادلات صفحه مماس و نرمال به سطح را در نقطه بنویسید.

نهایی - چون من تقریباً تمام نکات فنی را توضیح داده ام و چیز خاصی برای اضافه کردن وجود ندارد. حتی خود توابع ارائه شده در این کار کسل کننده و یکنواخت هستند - در عمل تقریباً تضمین شده است که با یک "چند جمله ای" روبرو شوید، و از این نظر، مثال شماره 2 با یک توان شبیه یک "گوسفند سیاه" است. به هر حال، احتمال برخورد با سطحی که با یک معادله تعریف شده است بسیار بیشتر است و این دلیل دیگری است که تابع به عنوان شماره دو در مقاله گنجانده شده است.

و در نهایت، راز موعود: پس چگونه از تعاریف انبوه جلوگیری کنیم؟ (البته منظورم شرایطی نیست که دانش آموزی با تب چیزی را قبل از امتحان جمع کند)

تعریف هر مفهوم/پدیده/شیء اول از همه به این سوال پاسخ می دهد: آن چیست؟ (چه کسی / چنین / چنین / هستند). آگاهانههنگام پاسخ به این سوال، باید سعی کنید تامل کنید قابل توجه استنشانه ها، قطعاشناسایی یک مفهوم / پدیده / شی خاص بله، در ابتدا معلوم می شود که تا حدودی زبان بسته، نادرست و زائد است (معلم شما را تصحیح می کند =))، اما با گذشت زمان، گفتار علمی کاملاً مناسبی توسعه می یابد.

روی انتزاعی ترین اشیا تمرین کنید، به عنوان مثال، به این سوال پاسخ دهید: چبوراشکا کیست؟ به این سادگی نیست ;-) این " شخصیت افسانه ایبا گوش های بزرگ، چشم ها و خز قهوه ای"؟ دور و بسیار دور از تعریف - هرگز نمی دانید شخصیت هایی با چنین ویژگی هایی وجود دارند ... اما این به تعریف بسیار نزدیکتر است: "چبوراشکا شخصیتی است که توسط نویسنده ادوارد اوسپنسکی در سال 1966 اختراع شد که ... (فهرست اصلی ویژگی های متمایز)» . توجه کنید که چقدر خوب شروع شد