محاسبه ساده ترین انتگرال های نامعین. ادغام حاصل ضرب توابع توان sin x و cos x انتگرال تابع توان پیچیده

سلام مجدد دوستان

همانطور که قول داده بودم، با این درس شروع به کشف وسعت های بی پایان خواهیم کرد دنیای شاعرانهانتگرال ها و شروع به حل نمونه های بسیار متنوع (گاهی بسیار زیبا) کنید. :)

برای پیمایش شایسته در همه تنوع یکپارچه و گم نشدن، فقط به چهار چیز نیاز داریم:

1) جدول انتگرال ها. تمام جزئیات در مورد او - . این دقیقاً نحوه کار با او است.

2) خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین (انتگرال مجموع/تفاوت و حاصلضرب ثابت).

3) جدول مشتقات و قواعد تمایز.

بله، بله، تعجب نکنید! بدون توانایی شمارش مشتقات، مطلقاً چیزی برای ادغام وجود ندارد. موافقم، برای مثال، یادگیری تقسیم بدون دانستن نحوه ضرب کردن، معنی ندارد. :) و خیلی زود خواهید دید که بدون مهارت های تمایز دقیق نمی توانید یک انتگرال را محاسبه کنید که فراتر از جدول های ابتدایی باشد.

4) روش های یکپارچه سازی.

تعداد آنها بسیار بسیار زیاد است. برای یک کلاس خاص از توابع - خود شما. اما در میان همه تنوع غنی آنها، سه مورد اساسی برجسته است:

– ,

– ,

– .

هر یک از آنها در درس های جداگانه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

و اکنون، در نهایت، بیایید به حل نمونه های مورد انتظار بپردازیم. برای اینکه از قسمتی به بخش دیگر نپرم، یک بار دیگر کل مجموعه جنتلمن را کپی می کنم که برای کار بعدی ما مفید خواهد بود. بگذارید همه ابزارها در دسترس باشند.)

اول از همه، این جدول انتگرال ها:

علاوه بر این، ما به ویژگی های اصلی انتگرال نامعین (ویژگی های خطی) نیاز خواهیم داشت:

خوب، تجهیزات لازم آماده شده است. وقت رفتن است! :)

کاربرد مستقیم جدول

این پاراگراف ساده ترین و بی ضررترین نمونه ها را در نظر می گیرد. الگوریتم در اینجا بسیار ساده است:

1) به جدول نگاه کنید و به دنبال فرمول(های) مورد نیاز باشید.

2) اعمال خصوصیات خطی (در صورت لزوم)؛

3) تبدیل را با استفاده از فرمول های جدولی انجام می دهیم و در انتها یک ثابت اضافه می کنیم با (فراموش نکن!) ;

4) پاسخ را یادداشت کنید.

پس بیا بریم.)

مثال 1

چنین عملکردی در جدول ما وجود ندارد. اما یک انتگرال از وجود دارد تابع قدرتبه طور کلی (گروه دوم). در مورد ما n=5. بنابراین ما پنج را جایگزین n می کنیم و نتیجه را با دقت محاسبه می کنیم:

آماده است. :)

البته این مثال کاملا ابتدایی است. صرفاً برای آشنایی.) اما توانایی ادغام قدرت ها محاسبه انتگرال هر چند جمله ای و سایر ساختارهای توان را آسان می کند.

مثال 2

زیر انتگرال مجموع است. اوه خوب ما ویژگی های خطی را برای این مورد داریم. :) انتگرال خود را به سه عدد مجزا تقسیم می کنیم، تمام ثابت ها را از علائم انتگرال ها خارج می کنیم و هر کدام را مطابق جدول می شماریم (گروه 1-2):

لطفا توجه داشته باشید: ثابت بادقیقا در لحظه ای ظاهر می شود که همه علائم انتگرال ناپدید می شوند! البته بعد از آن باید مدام آن را با خود حمل کنید. چه باید کرد...

البته معمولاً نیازی به توضیح با این جزئیات نیست. این کار صرفاً برای درک انجام می شود. برای دریافت نکته.)

به عنوان مثال، خیلی زود، بدون فکر زیاد، ذهنی به هیولاهایی مانند:

چند جمله ای ها آزادترین توابع در انتگرال ها هستند.) و در دیفیوزها، فیزیک، استحکام مواد و سایر رشته های جدی، باید دائماً چند جمله ای ها را ادغام کنید. عادت کن.)

مثال بعدی کمی سردتر خواهد بود.

مثال 3

امیدوارم همه بفهمند که انتگرال ما را می توان اینگونه نوشت:

تابع انتگرال جدا است و ضریب dx (آیکون دیفرانسیل)- جداگانه

نظر:در این درس ضریب dx در فرآیند ادغام خداحافظبه هیچ وجه شرکت نمی کند و ما در حال حاضر از نظر ذهنی او را "فراموش" می کنیم. :) ما فقط با تابع انتگرال. اما او را فراموش نکنیم. خیلی زود، به معنای واقعی کلمه در درس بعدی که به آن اختصاص داده شده است، در مورد آن به یاد خواهیم آورد. و ما اهمیت و قدرت این نماد را با قدرت کامل احساس خواهیم کرد!)

در این بین نگاه ما به تابع انتگرال کشیده می شود

خیلی شبیه عملکرد برق نیست، اما همین است. :) اگر ویژگی های مدرسه ریشه ها و قدرت ها را به خاطر بسپاریم، آنگاه کاملاً ممکن است که عملکرد ما را تغییر دهیم:

و x به توان منهای دو سوم در حال حاضر است تابع جدول! گروه دوم n=-2/3. و ثابت 1/2 مانعی برای ما نیست. ما آن را خارج از علامت انتگرال می گیریم و مستقیماً با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

در این مثال، ویژگی های ابتدایی درجه ها به ما کمک کردند. و این باید در بیشتر موارد زمانی که ریشه های منفرد یا کسری در زیر انتگرال وجود دارد انجام شود. بنابراین یک زن و شوهر توصیه عملیهنگام ادغام سازه های قدرت:

ما کسرها را با توان های با توان های منفی جایگزین می کنیم.

ریشه ها را با توان های کسری جایگزین می کنیم.

اما در پاسخ نهایی، گذار از قدرت ها به کسری و ریشه یک امر سلیقه ای است. شخصاً به عقب برمی‌گردم - از نظر زیبایی‌شناختی دلپذیرتر است یا چیزی شبیه به آن.

و لطفاً همه کسرها را با دقت بشمارید! ما به دقت علائم و آنچه را که به کجا می رود - آنچه در صورت و مخرج است نظارت می کنیم.

چی؟ از عملکردهای قدرت خسته کننده خسته شده اید؟ باشه! بیا از شاخ گاو نر بگیریم!

مثال 4

اگر اکنون همه چیز را تحت انتگرال به یک مخرج مشترک بیاوریم، می توانیم به طور جدی و برای مدت طولانی روی این مثال گیر کنیم.) اما با نگاهی دقیق تر به انتگرال، می بینیم که تفاوت ما شامل دو تابع جدولی است. . پس بیایید منحرف نشویم، بلکه انتگرال خود را به دو قسمت تجزیه کنیم:

انتگرال اول یک تابع توان معمولی است، (گروه دوم، n = -1): 1/x = x -1 .

فرمول سنتی ما برای ضد مشتق تابع توان

اینجا کار نمی کند، اما برای ما n = -1یک جایگزین ارزشمند وجود دارد - فرمولی با لگاریتم طبیعی. این یکی:

سپس طبق این فرمول، کسر اول به صورت زیر ادغام می شود:

و کسر دوم است همچنین یک تابع جدول!متوجه شدید؟ بله! این هفتمفرمول با لگاریتم "بالا":

ثابت "a" در این فرمول برابر با دو است: a=2.

نکته مهم: لطفا به ثابت توجه کنیدبا با ادغام متوسط ​​I هیچ جامن آن را نسبت نمی دهم!چرا؟ زیرا او به سمت پاسخ نهایی خواهد رفت نمونه کاملاین کاملاً کافی است.) به طور دقیق، ثابت باید بعد از هر ادغام جداگانه نوشته شود - خواه متوسط ​​باشد یا نهایی: این چیزی است که انتگرال نامعین به آن نیاز دارد ...)

به عنوان مثال، پس از اولین ادغام باید بنویسم:

پس از ادغام دوم:

اما ترفند این است که مجموع/تفاوت ثابت های دلخواه است همچنین مقداری ثابت!در مورد ما، برای پاسخ نهایی به انتگرال اول نیاز داریم کم کردندوم سپس ما می توانیم آن را انجام دهیم تفاوتدو ثابت میانی:

C 1 - C 2

و ما کاملاً حق داریم که این تفاوت را در ثابت ها جایگزین کنیم یک ثابت!و به سادگی آن را با حرف "C" که برای ما آشناست دوباره طراحی کنید. مثل این:

C 1 - C 2 = C

بنابراین ما همین ثابت را نسبت می دهیم بابه نتیجه نهایی میرسیم و جواب میگیریم:

بله، بله، آنها کسری هستند! لگاریتم های چندطبقه زمانی که یکپارچه می شوند رایج ترین چیز هستند. ما هم داریم عادت می کنیم.)

به یاد داشته باشید:

در طول ادغام میانی چند عبارت، ثابت بابعد از هر یک از آنها لازم نیست بنویسید. کافی است آن را در پاسخ نهایی کل مثال وارد کنید. در نهایت.

مثال بعدی نیز با کسری است. برای گرم کردن.)

مثال 5

جدول البته چنین عملکردی ندارد. اما وجود دارد مشابهتابع:

این آخرین مورد است هشتمفرمول با آرکتانژانت. :)

این یکی:

و خود خدا دستور داد انتگرال خود را با این فرمول تنظیم کنیم! اما یک مشکل وجود دارد: در فرمول جدول قبل x 2ضریب وجود ندارد، اما ما 9 داریم. ما هنوز نمی توانیم مستقیماً از فرمول استفاده کنیم. اما در مورد ما مشکل کاملا قابل حل است. بیایید ابتدا این نه را از پرانتز خارج کنیم، و سپس آن را به طور کلی از کسر خود خارج کنیم.)

و کسر جدید تابع جدولی است که قبلاً به آن نیاز داریم، شماره 8! اینجا و 2 = 4/9. یا a=2/3.

همه 1/9 از علامت انتگرال را برداشته و از فرمول هشتم استفاده می کنیم:

این پاسخ است. این مثال با ضریب جلو x 2، من آن را از عمد اینگونه انتخاب کردم. تا مشخص شود در چنین مواردی چه باید کرد. :) اگر قبلا x 2هیچ ضریبی وجود ندارد، پس چنین کسری نیز در ذهن ادغام می شود.

به عنوان مثال:

اینجا a 2 = 5، بنابراین "a" خود "ریشه پنج" خواهد بود. به طور کلی، شما درک می کنید.)

حالا اجازه دهید کمی تابع خود را تغییر دهیم: مخرج را زیر ریشه می نویسیم.) اکنون این انتگرال را می گیریم:

مثال 6

مخرج اکنون ریشه دارد. به طور طبیعی، فرمول مربوط به ادغام نیز تغییر کرده است، بله.) دوباره وارد جدول می شویم و به دنبال یک فرمول مناسب می گردیم. ریشه در فرمول های گروه 5 و 6 داریم. اما در گروه ششم فقط زیر ریشه تفاوت وجود دارد. و ما مقدار آن را داریم. بنابراین، ما در حال کار بر روی آن هستیم فرمول پنجم، با یک لگاریتم "طولانی":

شماره الف ما پنج تا داریم جایگزین فرمول کنید و دریافت کنید:

و این همه است. این پاسخ است. بله، بله، به همین سادگی است!)

اگر شک و تردید وجود دارد، همیشه می توانید (و باید) نتیجه را با تمایز معکوس بررسی کنید. بررسی کنیم؟ اگر نوعی خرابکاری باشد چه؟

ما متمایز می کنیم (به ماژول توجه نمی کنیم و آن را به عنوان براکت های معمولی درک می کنیم):

همه چیز منصفانه است. :)

به هر حال، اگر در انتگرال زیر ریشه علامت مثبت را به منفی تغییر دهید، فرمول ادغام یکسان باقی می ماند. تصادفی نیست که در جدول زیر ریشه وجود دارد مثبت/منفی :)

به عنوان مثال:

مهم!در صورت منهای، روشن است اولمحل زیر ریشه باید دقیقا باشد x 2، و در دوم – شماره. اگر در زیر ریشه برعکس باشد، فرمول جدولی مربوطه باریکتر خواهد بود دیگری!

مثال 7

زیر ریشه دوباره منهای، اما x 2با پنج موردی که جای خود را عوض کردیم. این شبیه است، اما یک چیز نیست... برای این مورد، جدول ما نیز یک فرمول دارد.) فرمول شماره شش، ما هنوز با آن کار نکرده ایم:

اما اکنون - با دقت. در مثال قبلی از پنج به عنوان عدد استفاده کردیم الف . در اینجا پنج به عنوان یک عدد عمل خواهند کرد یک 2!

بنابراین، برای اعمال صحیح فرمول، فراموش نکنید که ریشه پنج را استخراج کنید:

و اکنون مثال در یک عمل حل می شود. :)

همینطوری! فقط اصطلاحات زیر ریشه عوض شدند و نتیجه ادغام به طور قابل توجهی تغییر کرد! لگاریتم و آرکسین... پس لطفا این دو فرمول را با هم اشتباه نگیرید!اگرچه توابع انتگرال بسیار مشابه هستند ...

پاداش:

در فرمول های جدولی 7-8 ضرایبی قبل از لگاریتم و قوس الکتریکی وجود دارد 1/(2a)و 1/aبه ترتیب. و در شرایط جنگی هشداردهنده، هنگام نوشتن این فرمول ها، حتی افراد مزخرف با مطالعات خود اغلب گیج می شوند، کجا ساده است 1/a، و کجا 1/(2a). در اینجا یک ترفند ساده برای یادآوری وجود دارد.

در فرمول شماره 7

مخرج انتگرال شامل تفاوت مربع ها x 2 – a 2. که طبق فرمول مدرسه ترسناک، به عنوان شکسته می شود (x-a)(x+a). روشن دوچند برابر کننده کلمه کلیدی – دو. و اینها دوهنگام ادغام، براکت ها به لگاریتم می روند: با منهای بالا، با مثبت - پایین.) و ضریب جلوی لگاریتم نیز 1/( 2 الف).

اما در فرمول شماره 8

مخرج کسری شامل مجموع مربع هااما مجموع مربع ها x 2 +a 2را نمی توان به عوامل ساده تر تجزیه کرد. بنابراین، هر چه می توان گفت، مخرج آن باقی می ماند یکیعامل و ضریب جلوی قوس نیز 1/a خواهد بود.

اکنون بیایید برخی از مثلثات را برای تغییر ادغام کنیم.)

مثال 8

مثال ساده است. آنقدر ساده که مردم بدون اینکه حتی به جدول نگاه کنند بلافاصله جواب را با خوشحالی می نویسند و ... رسیدیم. :)

بیایید دنبال نشانه ها باشیم! این رایج‌ترین اشتباه هنگام ادغام سینوس/کسینوس است. با مشتقات اشتباه نگیرید!

بله، (گناه x)" = cos xو (cos x)’ = - گناه x.

اما!

از آنجایی که مردم معمولاً مشتقات را حداقل به خاطر می آورند، برای اینکه در علائم اشتباه نشوند، تکنیک به خاطر سپردن انتگرال ها بسیار ساده است:

انتگرال سینوس/کسینوس =منهای مشتق از همان سینوس/کسینوس.

به عنوان مثال، از مدرسه می دانیم که مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

(گناه x)" = cos x.

سپس برای انتگرال از همان نقطه درست خواهد بود:

همین.) کسینوس هم همینطور.

حال بیایید مثال خود را اصلاح کنیم:

تحولات ابتدایی اولیه انتگرال

تا این مرحله ساده ترین نمونه ها وجود داشت. برای اینکه بفهمید جدول چگونه کار می کند و در انتخاب فرمول اشتباه نکنید.)

البته، ما چند تغییر ساده انجام دادیم - عوامل را بیرون آوردیم و آنها را به اصطلاح تقسیم کردیم. اما پاسخ به هر شکلی هنوز در سطح وجود داشت.) با این حال... اگر محاسبه انتگرال ها فقط به کاربرد مستقیم جدول محدود می شد، آن وقت چیزهای رایگان زیادی در اطراف وجود داشت و زندگی خسته کننده می شد.)

حالا بیایید به نمونه های تاثیرگذارتر نگاه کنیم. نوعی که به نظر می رسد هیچ چیز مستقیماً تصمیم گیری نمی شود. اما ارزش آن را دارد که فقط چند فرمول یا دگرگونی مدرسه ابتدایی را به خاطر بسپارید و راه رسیدن به پاسخ ساده و روشن می شود. :)

کاربرد فرمول های مثلثاتی

بیایید به سرگرمی با مثلثات ادامه دهیم.

مثال 9

چنین عملکردی در جدول حتی نزدیک وجود ندارد. اما در مثلثات مدرسه چنین هویت ناشناخته ای وجود دارد:

حالا مماس مربعی مورد نیاز خود را از آن بیان می کنیم و آن را در زیر انتگرال قرار می دهیم:

چرا این کار انجام شد؟ و سپس، پس از چنین تبدیلی، انتگرال ما به دو جدول کاهش می یابد و در نظر گرفته می شود!

ببینید:

حال بیایید اقدامات خود را تجزیه و تحلیل کنیم. در نگاه اول همه چیز ساده تر از همیشه به نظر می رسد. اما بیایید به این موضوع فکر کنیم. اگر با تکلیفی روبرو بودیم متمایز کردنهمان تابع، سپس ما دقیقادقیقا می دانست چه کاری باید انجام دهد - درخواست دهید فرمول مشتق تابع پیچیده :

همین. تکنولوژی ساده و بدون دردسر. همیشه کار می کند و تضمین شده است که منجر به موفقیت می شود.

در مورد انتگرال چطور؟ اما در اینجا مجبور شدیم مثلثات را زیر و رو کنیم، فرمول مبهمی را به امید اینکه به نحوی به ما کمک کند از آن خارج شویم و انتگرال را به یک جدول کاهش دهیم، بکاوشیم. و این یک واقعیت نیست که به ما کمک کند، اصلاً یک واقعیت نیست... به همین دلیل است که یکپارچگی فرآیندی خلاقانه تر از تمایز است. حتی می توانم بگویم هنر. :) و این بهترین نیست مثال پیچیده. وگرنه بیشتر خواهد بود!

مثال 10

چه چیزی را القا می کند؟ جدول انتگرال ها هنوز ناتوان است، بله. اما اگر دوباره به خزانه ما نگاه کنید فرمول های مثلثاتی، سپس شما می توانید حفاری تا بسیار بسیار مفید است فرمول کسینوس دو زاویه:

بنابراین ما این فرمول را برای تابع انتگرال خود اعمال می کنیم. در نقش "آلفا" x/2 داریم.

دریافت می کنیم:

اثر شگفت انگیز است، اینطور نیست؟

این دو مثال به وضوح نشان می دهد که قبل از تبدیل یک تابع قبل از ادغاماین کاملاً قابل قبول است و گاهی اوقات زندگی را بسیار آسان می کند! و در ادغام این رویه (تبدیل انتگرال) یک مرتبه بزرگتر از تمایز است. بعداً همه چیز را خواهید دید.)

بیایید به چند تغییر معمولی دیگر نگاه کنیم.

فرمول های ضرب اختصاری، باز کردن پرانتز، آوردن موارد مشابه و روش تقسیم ترم به ترم.

دگرگونی های معمول مدرسه. اما گاهی اوقات آنها تنها کسانی هستند که پس انداز می کنند، بله.)

مثال 11

اگر مشتق را محاسبه می کردیم، مشکلی وجود نداشت: فرمول مشتق یک محصول و - ادامه دهید. اما فرمول استاندارد برای انتگرالاز کار وجود ندارد. و تنها راه خروجدر اینجا - تمام براکت ها را باز کنید تا در زیر انتگرال یک چند جمله ای به دست آورید. و چند جمله‌ای را به نحوی ادغام می‌کنیم.) اما پرانتزها را نیز هوشمندانه باز می‌کنیم: فرمول‌های ضرب اختصاری چیزهای قدرتمندی هستند!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

حالا حساب می کنیم:

و این همه است.)

مثال 12

دوباره، فرمول استاندارد برای انتگرال کسریوجود ندارد. با این حال، مخرج انتگرال شامل تنها x.این وضعیت را به طور اساسی تغییر می دهد.) بیایید صورت را بر مخرج ترم تقسیم کنیم و کسر وحشتناک خود را به مجموع بی ضرر توابع توان جدولی تقلیل دهیم:

من به طور خاص در مورد روش ادغام مدارک اظهار نظر نمی کنم: آنها دیگر کوچک نیستند.)

بیایید مجموع توابع توان را ادغام کنیم. با توجه به علامت.)

این همه است.) به هر حال، اگر مخرج X نبود، اما، بگویید x+1، مانند این:

این ترفند با تقسیم ترم به ترم به این راحتی کار نمی کرد. دقیقاً به دلیل وجود یک ریشه در صورت و یک واحد در مخرج است. من باید از شر ریشه خلاص شوم. اما چنین انتگرال هایی بسیار پیچیده تر هستند. درباره آنها - در دروس دیگر.

ببینید! فقط باید عملکرد را کمی تغییر داد - رویکرد ادغام آن بلافاصله تغییر می کند. گاهی اوقات به طور چشمگیری!) هیچ طرح استاندارد مشخصی وجود ندارد. هر تابع رویکرد خاص خود را دارد. گاهی اوقات حتی منحصر به فرد.)

در برخی موارد، تبدیل به کسری حتی دشوارتر است.

مثال 13

و در اینجا، چگونه می توانید انتگرال را به مجموعه ای از جدولی کاهش دهید؟ در اینجا می توانید هوشمندانه با جمع و تفریق عبارت طفره بروید x 2در صورت شمار کسر و به دنبال آن تقسیم ترم به ترم. یک ترفند بسیار هوشمندانه در انتگرال ها! کلاس استاد را تماشا کنید! :)

و اکنون، اگر کسر اصلی را با اختلاف دو کسر جایگزین کنیم، آنگاه انتگرال ما به دو عدد جدولی تقسیم می شود - تابع توانی که از قبل برای ما آشناست و تانژانت (فرمول 8):

خب چی بگیم عجب!

این ترفند جمع/ تفریق عبارت در صورت حساب در ادغام کسرهای گویا بسیار محبوب است. خیلی! توصیه می کنم توجه داشته باشید.

مثال 14

اینجا هم همین تکنولوژی حاکم است. برای استخراج عبارت مخرج از صورت، فقط باید یکی را اضافه یا کم کنید:

به طور کلی، کسرهای گویا(با چند جمله ای در صورت و مخرج) موضوعی مجزا و بسیار گسترده است. نکته این است که کسرهای گویا یکی از معدود کلاس های توابع هستند که یک روش جهانی انتگرال گیری برای آنها وجود دارد. روش تجزیه به کسرهای ساده، همراه با . اما این روش بسیار کار بر است و معمولاً به عنوان توپخانه سنگین استفاده می شود. بیش از یک درس به او اختصاص داده خواهد شد. در عین حال، ما در حال آموزش هستیم و در عملکردهای ساده بهتر می شویم.

بیایید درس امروز را خلاصه کنیم.

امروز دقیقاً نحوه استفاده از جدول را با تمام تفاوت های ظریف بررسی کردیم ، نمونه های زیادی (و نه بی اهمیت ترین آنها) را تجزیه و تحلیل کردیم و با ساده ترین روش های کاهش انتگرال ها به جدولی آشنا شدیم. و اکنون این کار را انجام خواهیم داد همیشه. هر کارکرد وحشتناکی که ممکن است در زیر انتگرال باشد، با کمک طیف وسیعی از تبدیل‌ها، مطمئن می‌شویم که دیر یا زود، انتگرال ما، به هر شکلی، به مجموعه‌ای از موارد جدولی کاهش می‌یابد.

چند نکته کاربردی

1) اگر انتگرال کسری باشد که صورت آن مجموع توان ها (ریشه ها) و مخرج آن است. تنها ایکس قدرت، سپس از تقسیم ترم به ترم صورت بر مخرج استفاده می کنیم. ریشه ها را با توان های c جایگزین کنید شاخص های کسری و کار بر اساس فرمول های 1-2.

2) در سازه های مثلثاتی، ابتدا فرمول های اصلی مثلثات را امتحان می کنیم - زاویه دو/سه گانه،

شاید خیلی خوش شانس باشید یا شاید هم نه...

3) در صورت لزوم (مخصوصاً در چند جمله ای ها و کسرها) استفاده می کنیمفرمول ضرب اختصاری:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a 2 -b 2

4) هنگام ادغام کسرها با چندجمله ای ها، سعی می کنیم به طور مصنوعی عبارت(های) مخرج را در صورت جدا کنیم. غالباً کسر ساده شده و انتگرال به ترکیبی از موارد جدولی کاهش می یابد.

خب دوستان؟ من می بینم که شما شروع به دوست داشتن انتگرال ها کرده اید. :) سپس خودمان در حل مثال‌ها بهتر می‌شویم.) مطالب امروزی برای مقابله با موفقیت با آنها کافی است.

چی؟ نمی دانم؟ بله! ما هنوز این مورد را طی نکرده ایم.) اما نیازی به ادغام مستقیم آنها در اینجا نیست. و ممکن است دوره مدرسه به شما کمک کند!)

پاسخ ها (به هم ریخته):

برای نتایج بهتر، من به شدت توصیه می کنم مجموعه ای از مشکلات را بر اساس G.N. برمن. چیزهای باحال!

این تمام چیزی است که برای امروز دارم. موفق باشید!

نشان داده شده است که انتگرال حاصلضرب توابع توان sin x و cos x را می توان به انتگرال یک دوجمله ای دیفرانسیل کاهش داد. برای مقادیر صحیح نماها، این انتگرال ها به راحتی توسط قطعات یا با استفاده از فرمول های کاهش محاسبه می شوند. اشتقاق فرمول های کاهش داده شده است. مثالی از محاسبه چنین انتگرالی آورده شده است.

محتوا

همچنین ببینید:
جدول انتگرال های نامعین

کاهش به انتگرال دوجمله ای دیفرانسیل

بیایید انتگرال های فرم را در نظر بگیریم:

چنین انتگرال هایی به انتگرال دوجمله ای دیفرانسیل یکی از جانشینی ها کاهش می یابد گناه xیا t = cos x.

بیایید این را با انجام تعویض نشان دهیم
t = گناه x.
سپس
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;

اگر m و n اعداد گویا هستند، باید از روش های یکپارچه سازی دوجمله ای دیفرانسیل استفاده کرد.

ادغام با اعداد صحیح m و n

در مرحله بعد، زمانی که m و n اعداد صحیح هستند (نه لزوما مثبت) را در نظر بگیرید. در این مورد، انتگرال تابعی منطقی از است گناه xو cos x.

بنابراین، می توانید قوانین ارائه شده در بخش "یکپارچه سازی توابع گویا مثلثاتی" را اعمال کنید.

با این حال، با در نظر گرفتن ویژگی های خاص، استفاده از فرمول های کاهش آسان تر است، که به راحتی با ادغام توسط قطعات به دست می آیند.

فرمول های کاهش

فرمول های کاهش برای انتگرال

;
;
;
.

دارای فرم:

نیازی به به خاطر سپردن آنها نیست، زیرا با ادغام قطعات به راحتی به دست می آیند.

فرمول های اثبات کاهش


بیایید با قطعات ادغام کنیم.

با ضرب در m + n فرمول اول بدست می آید:

ما به طور مشابه فرمول دوم را بدست می آوریم.


بیایید با قطعات ادغام کنیم.

با ضرب در m + n فرمول دوم را بدست می آوریم:

ما به طور مشابه فرمول دوم را بدست می آوریم.


فرمول سوم + 1 ضرب در n

، فرمول سوم را بدست می آوریم:

ما به طور مشابه فرمول دوم را بدست می آوریم.


به همین ترتیب، برای فرمول چهارم. + 1 ضرب در m

، فرمول چهارم را بدست می آوریم:

مثال

بیایید انتگرال را محاسبه کنیم:

بیایید تبدیل کنیم: اینجا m.

= 10، n = - 4

ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم: اینجا m:

ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم: زمانی که م:

= 10، n = - 4

ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم: = 8، n = - 2:

ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم: = 6، n = - 0:

ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم: = 4، n = - 0:

= 2، n = - 0

ما انتگرال باقی مانده را محاسبه می کنیم:

ما نتایج میانی را در یک فرمول جمع آوری می کنیم.
ادبیات مورد استفاده:

N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

همچنین ببینید:

انتگرال های اصلی که هر دانش آموز باید بداند انتگرال های فهرست شده اساس، اساس مبانی هستند. این فرمول ها را حتما باید به خاطر بسپارید. هنگام محاسبه بیشترانتگرال های پیچیده

باید دائما از آنها استفاده کنید.

به فرمول های (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17) و (19) توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام ادغام یک ثابت دلخواه C به پاسخ خود اضافه کنید!

انتگرال یک ثابت

∫ A d x = A x + C (1)

ادغام یک تابع قدرت

در واقع، می‌توانیم خود را به فرمول‌های (5) و (7) محدود کنیم، اما بقیه انتگرال‌های این گروه به قدری اتفاق می‌افتند که ارزش کمی توجه به آنها را دارد.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

البته فرمول (8) (شاید راحت ترین برای حفظ) را می توان به عنوان یک مورد خاص از فرمول (9) در نظر گرفت. فرمول های (10) و (11) برای انتگرال های سینوس هایپربولیکو کسینوس هایپربولیک به راحتی از فرمول (8) به دست می آیند، اما بهتر است این روابط را به سادگی به خاطر بسپارید.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

انتگرال های اساسی توابع مثلثاتی

اشتباهی که دانش آموزان اغلب مرتکب می شوند این است که علائم فرمول (12) و (13) را با هم اشتباه می گیرند. به یاد داشته باشید که مشتق سینوس برابر با کسینوس است، به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند که انتگرال تابع sinx برابر با cosx است. این درست نیست! انتگرال سینوس برابر با "منهای کسینوس" است، اما انتگرال cosx برابر با "فقط سینوس" است:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = گناه x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

انتگرال هایی که به توابع مثلثاتی معکوس تقلیل می یابند

فرمول (16)، منتهی به آرکتتانژانت، طبیعتاً یک مورد خاص از فرمول (17) برای a=1 است. به طور مشابه، (18) یک مورد خاص از (19) است.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

انتگرال های پیچیده تر

همچنین توصیه می شود این فرمول ها را به خاطر بسپارید. آنها همچنین اغلب استفاده می شوند و خروجی آنها بسیار خسته کننده است.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)قوانین کلی ادغام

1) انتگرال مجموع دو تابع برابر است با مجموع انتگرال های مربوطه: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) انتگرال تفاوت دو تابع

4) انتگرال یک تابع مختلط اگر تابع درونی خطی باشد: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

در اینجا F(x) یک پاد مشتق برای تابع f(x) است. لطفا توجه داشته باشید: این فرمول فقط زمانی کار می کند که تابع داخلی Ax + B باشد.

مهم: وجود ندارد فرمول جهانیبرای انتگرال حاصلضرب دو تابع و همچنین برای انتگرال کسری:

∫ f (x) g (x) d x = ?

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

البته این بدان معنا نیست که یک کسری یا محصول را نمی توان یکپارچه کرد. فقط این است که هر بار که انتگرالی مانند (30) را می بینید، باید راهی برای "مبارزه کردن" با آن اختراع کنید. در برخی موارد، ادغام با قطعات به شما کمک می کند، در برخی دیگر باید متغیر را تغییر دهید، و گاهی اوقات حتی فرمول های جبر «مدرسه ای» یا مثلثات می تواند کمک کند.

یک مثال ساده از محاسبه انتگرال نامعین

مثال 1. انتگرال را بیابید: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

اجازه دهید از فرمول های (25) و (26) استفاده کنیم (انتگرال مجموع یا تفاوت توابع برابر است با مجموع یا تفاضل انتگرال های مربوطه. ما به دست می آوریم: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

به یاد داشته باشیم که ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (فرمول (27)). عبارت به فرم تبدیل می شود

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

حالا بیایید فقط از جدول انتگرال های پایه استفاده کنیم. ما باید فرمول های (3)، (12)، (8) و (1) را اعمال کنیم. بیایید تابع توان، سینوسی، نمایی و ثابت 1 را ادغام کنیم. فراموش نکنید که یک ثابت دلخواه C را در پایان اضافه کنید:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

پس از تبدیل های ابتدایی به پاسخ نهایی می رسیم:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

خود را با تمایز آزمایش کنید: مشتق تابع حاصل را بگیرید و مطمئن شوید که با انتگرال اصلی برابر است.

جدول خلاصه انتگرال ها

🔻 A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = گناه x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 گناه 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

جدول انتگرال ها (قسمت دوم) را از این لینک دانلود کنید

اگر در دانشگاه تحصیل می کنید، اگر در ریاضیات بالاتر مشکل دارید (

تجزیه و تحلیل ریاضی

، جبر خطی، نظریه احتمال، آمار)، در صورت نیاز به خدمات معلم واجد شرایط، به صفحه معلم خصوصی ریاضی بالاتر بروید. ما با هم مشکلات شما را حل خواهیم کرد!

شما همچنین ممکن است علاقه مند باشید

در این صفحه خواهید یافت:

1. در واقع، جدول ضد مشتقات - می توان آن را در قالب PDF دانلود و چاپ کرد. 2. ویدئو در مورد نحوه استفاده از این جدول. 3. دسته ای از مثال های محاسبه ضد مشتق از کتاب های درسی و تست های مختلف.

در خود ویدیو، ما بسیاری از مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در آن شما باید ضد مشتقات توابع را محاسبه کنید، اغلب بسیار پیچیده هستند، اما مهمتر از همه، آنها توابع قدرت نیستند. تمام توابع خلاصه شده در جدول پیشنهادی در بالا، مانند مشتقات، باید به طور خلاصه شناخته شوند. بدون آنها، مطالعه بیشتر انتگرال ها و کاربرد آنها برای حل مسائل عملی غیرممکن است. امروز ما به مطالعه ضد مشتقات ادامه می دهیم و به کمی بیشتر می رویمو سعی می کنیم مشتق آن را پیدا کنیم، سپس با احتمال بسیار زیاد موفق خواهیم شد، اما ضد مشتق تقریباً هرگز در این مورد محاسبه نمی شود. اما یک خبر خوب وجود دارد: دسته نسبتاً بزرگی از توابع به نام توابع ابتدایی وجود دارد که محاسبه ضد مشتقات آن بسیار آسان است. و تمام ساختارهای پیچیده‌تر دیگری که در انواع تست‌ها، تست‌ها و امتحانات مستقل داده می‌شوند، در واقع از این توابع ابتدایی از طریق جمع، تفریق و سایر اقدامات ساده تشکیل شده‌اند. نمونه های اولیه چنین توابعی مدت هاست که محاسبه و در جداول ویژه جمع آوری شده اند. این توابع و جداول هستند که امروز با آنها کار خواهیم کرد.

اما ما مثل همیشه با یک تکرار شروع می کنیم: بیایید به یاد بیاوریم که ضد مشتق چیست، چرا تعداد بی نهایت آنها وجود دارد و چگونه آنها را تعریف کنیم. نمای کلی. برای انجام این کار، من دو مشکل ساده را انتخاب کردم.

حل مثال های آسان

مثال شماره 1

اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ و به طور کلی وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ بلافاصله به ما اشاره می کند که ضد مشتق مورد نیاز تابع مربوط به مثلثات است. و در واقع، اگر به جدول نگاه کنیم، متوجه خواهیم شد که $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ چیزی بیش از $\text(arctg)x$ نیست. پس بیایید آن را بنویسیم:

برای پیدا کردن، باید موارد زیر را یادداشت کنید:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

مثال شماره 2

اینجا هم ما در مورد O توابع مثلثاتی. اگر به جدول نگاه کنیم، در واقع، این چیزی است که اتفاق می افتد:

ما باید در بین کل مجموعه ضد مشتقات موردی را پیدا کنیم که از نقطه مشخص شده عبور می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

در نهایت آن را بنویسیم:

به همین سادگی است. تنها مشکل این است که به منظور شمارش ضد مشتقات توابع ساده، باید جدول آنتی مشتق ها را یاد بگیرید. با این حال، پس از مطالعه جدول مشتق برای شما، فکر می کنم این مشکلی نخواهد داشت.

حل مسائل حاوی تابع نمایی

برای شروع، بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((e)^(x))\به ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

بیایید ببینیم که این همه در عمل چگونه کار می کند.

مثال شماره 1

اگر به محتویات براکت ها نگاه کنیم، متوجه می شویم که در جدول آنتی مشتق ها چنین عبارتی وجود ندارد که $((e)^(x))$ در یک مربع باشد، بنابراین این مربع باید گسترش یابد. برای این کار از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می کنیم:

بیایید پاد مشتق را برای هر یک از اصطلاحات پیدا کنیم:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

حالا بیایید تمام اصطلاحات را در یک عبارت جمع کنیم و آنتی مشتق کلی را بدست آوریم:

مثال شماره 2

این بار درجه بزرگتر است، بنابراین فرمول ضرب اختصاری بسیار پیچیده خواهد بود. پس بیایید پرانتزها را باز کنیم:

حالا بیایید سعی کنیم ضد مشتق فرمول خود را از این ساختار بگیریم:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در ضد مشتقات تابع نمایی وجود ندارد. همه آنها از طریق جداول محاسبه می شوند، اما دانش آموزان با دقت احتمالا متوجه خواهند شد که ضد مشتق $((e)^(2x))$ بسیار نزدیکتر به $((e)^(x))$ است تا $((a) )^(x))$. بنابراین شاید مقدار بیشتری وجود داشته باشد قانون خاص، که اجازه می دهد با دانستن ضد مشتق $((e)^(x))$، $((e)^(2x))$ را پیدا کنید؟ بله، چنین قانونی وجود دارد. و علاوه بر این، بخشی جدایی ناپذیر از کار با جدول ضد مشتقات است. اکنون با استفاده از همان عباراتی که به عنوان مثال با آنها کار کردیم، آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قوانین کار با جدول ضد مشتقات

بیایید دوباره تابع خود را بنویسیم:

در مورد قبلی از فرمول زیر برای حل استفاده کردیم:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

اما اکنون اجازه دهید این کار را کمی متفاوت انجام دهیم: به یاد بیاوریم که بر چه مبنایی $((e)^(x))\ به ((e)^(x))$. همانطور که قبلاً گفتم، چون مشتق $((e)^(x))$ چیزی بیش از $((e)^(x))$ نیست، بنابراین ضد مشتق آن برابر با همان $((e) ^ خواهد بود. (x)) دلار. اما مشکل این است که ما $((e)^(2x))$ و $((e)^(-2x))$ داریم. حالا بیایید سعی کنیم مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \راست))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

بیایید دوباره ساختمان را بازنویسی کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac((((e)^(2x)))(2) \راست))^(\prime ))\]

این بدان معنی است که وقتی ما ضد مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا می کنیم، به شکل زیر می رسیم:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

همانطور که می بینید، ما همان نتیجه قبلی را گرفتیم، اما از فرمول برای پیدا کردن $((a)^(x))$ استفاده نکردیم. اکنون ممکن است احمقانه به نظر برسد: چرا وقتی یک فرمول استاندارد وجود دارد محاسبات را پیچیده کنیم؟ با این حال، در عبارات کمی پیچیده تر خواهید دید که این تکنیک بسیار موثر است، به عنوان مثال. استفاده از مشتقات برای یافتن ضد مشتقات.

به عنوان گرم کردن، بیایید ضد مشتق $((e)^(2x))$ را به روشی مشابه پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(-2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \راست)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \راست))^(\prime ))\]

هنگام محاسبه، ساخت ما به صورت زیر نوشته می شود:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ما دقیقاً همان نتیجه را گرفتیم، اما مسیر دیگری را در پیش گرفتیم. این مسیر است که اکنون برای ما کمی پیچیده تر به نظر می رسد که در آینده برای محاسبه آنتی مشتق های پیچیده تر و استفاده از جداول موثرتر خواهد بود.

توجه کن! این خیلی نکته مهم: ضد مشتقات را می توان مانند مشتقات یک مجموعه در نظر گرفت به طرق مختلف. اما اگر همه محاسبات و محاسبات برابر باشند، پاسخ یکسان خواهد بود. ما به تازگی این را با مثال $((e)^(-2x))$ مشاهده کردیم - از یک طرف، ما این ضد مشتق را "راست از طریق" محاسبه کردیم، با استفاده از تعریف و محاسبه آن با استفاده از تبدیل، از سوی دیگر، ما به یاد آوردیم که $ ((e)^(-2x))$ را می توان به صورت $((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))$ نشان داد و فقط پس از آن استفاده کردیم ضد مشتق برای تابع $( (a)^(x))$. با این حال، پس از همه تحولات، نتیجه همان بود که انتظار می رفت.

و اکنون که همه اینها را فهمیدیم، وقت آن است که به چیز مهمتری برویم. اکنون ما دو ساختار ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، اما تکنیکی که هنگام حل آنها استفاده می شود، ابزار قدرتمندتر و مفیدتر از "اجرا کردن" بین پاد مشتق های همسایه از جدول است.

حل مسئله: یافتن پاد مشتق یک تابع

مثال شماره 1

بیایید مقدار موجود در اعداد را به سه کسر جداگانه تقسیم کنیم:

این یک انتقال نسبتاً طبیعی و قابل درک است - اکثر دانش آموزان با آن مشکلی ندارند. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

حالا بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

در مورد ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

برای خلاص شدن از شر همه این کسرهای سه طبقه، پیشنهاد می کنم موارد زیر را انجام دهید:

مثال شماره 2

بر خلاف کسر قبلی، مخرج یک حاصل ضرب نیست، بلکه یک جمع است. در این حالت، دیگر نمی‌توانیم کسر خود را به مجموع چند کسر ساده تقسیم کنیم، اما باید به نحوی تلاش کنیم که صورت‌گر تقریباً همان عبارت مخرج را داشته باشد. در این مورد، انجام آن بسیار ساده است:

این نماد، که در زبان ریاضی «جمع صفر» نامیده می‌شود، به ما امکان می‌دهد دوباره کسر را به دو قسمت تقسیم کنیم:

حالا بیایید آنچه را که دنبالش بودیم پیدا کنیم:

تمام محاسبات همین است. علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر نسبت به مشکل قبلی، مقدار محاسبات حتی کمتر بود.

تفاوت های ظریف راه حل

و اینجاست که مشکل اصلی کار با ضد مشتقات جدولی نهفته است، این به ویژه در کار دوم قابل توجه است. واقعیت این است که برای انتخاب برخی از عناصر که به راحتی از طریق جدول محاسبه می شوند، باید بدانیم دقیقاً به دنبال چه چیزی هستیم و در جستجوی این عناصر است که کل محاسبه ضد مشتقات را تشکیل می دهد.

به عبارت دیگر، فقط به خاطر سپردن جدول ضد مشتقات کافی نیست - شما باید بتوانید چیزی را ببینید که هنوز وجود ندارد، اما منظور نویسنده و گردآورنده این مشکل چیست. به همین دلیل است که بسیاری از ریاضیدانان، معلمان و استادان دائماً استدلال می کنند: "مصرف ضد مشتقات یا ادغام چیست - آیا این فقط یک ابزار است یا یک هنر واقعی است؟" در واقع، به نظر شخصی من، یکپارچگی اصلاً یک هنر نیست - هیچ چیز عالی در آن وجود ندارد، فقط تمرین است و تمرین بیشتر. و برای تمرین، بیایید سه مثال جدی دیگر را حل کنیم.

ما در عمل یکپارچه سازی را آموزش می دهیم

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

بیایید موارد زیر را بنویسیم:

مشکل شماره 2

بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

کل ضد مشتق برابر خواهد بود با:

مشکل شماره 3

مشکل این کار این است که بر خلاف توابع قبلی در بالا، هیچ متغیر $x$ اصلا وجود ندارد، i.e. برای ما روشن نیست که چه چیزی را اضافه یا کم کنیم تا حداقل چیزی شبیه آنچه در زیر آمده است به دست آوریم. با این حال، در واقع، این عبارت حتی ساده تر از هر عبارتی از ساخت های قبلی در نظر گرفته می شود، زیرا این تابعرا می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اکنون ممکن است بپرسید: چرا این توابع برابر هستند؟ بیایید بررسی کنیم:

بیایید دوباره آن را بنویسیم:

بیایید بیان خود را کمی تغییر دهیم:

و وقتی همه اینها را برای شاگردانم توضیح می‌دهم، تقریباً همیشه همین مشکل پیش می‌آید: با تابع اول همه چیز کم و بیش روشن است، با عملکرد دوم نیز می‌توانید با شانس یا تمرین آن را بفهمید، اما چه نوع آگاهی جایگزینی دارید. برای حل مثال سوم باید داشته باشید؟ در واقع، نترسید. تکنیکی که ما هنگام محاسبه آخرین ضد مشتق استفاده کردیم "تجزیه یک تابع به ساده ترین آن" نامیده می شود و این یک تکنیک بسیار جدی است و یک درس ویدیویی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

در همین حال، من پیشنهاد می کنم به آنچه که اخیراً مطالعه کردیم، یعنی به توابع نمایی برگردیم و مشکلات محتوای آنها را تا حدودی پیچیده کنیم.

مسائل پیچیده تر برای حل توابع نمایی ضد مشتق

وظیفه شماره 1

به موارد زیر توجه کنیم:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \راست))^(x))=((10)^(x) )\]

برای یافتن ضد مشتق این عبارت، به سادگی از فرمول استاندارد - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ استفاده کنید.

در مورد ما، ضد مشتق به این صورت خواهد بود:

البته، در مقایسه با طرحی که به تازگی حل کرده ایم، این طرح ساده تر به نظر می رسد.

مشکل شماره 2

باز هم، به راحتی می توان فهمید که این تابع را می توان به راحتی به دو عبارت جداگانه تقسیم کرد - دو کسر جداگانه. بیایید بازنویسی کنیم:

باقی مانده است که ضد مشتق هر یک از این اصطلاحات را با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا پیدا کنیم:

با وجود پیچیدگی زیاد ظاهری توابع نماییدر مقایسه با توان، حجم کلی محاسبات و محاسبات بسیار ساده تر بود.

البته، برای دانش‌آموزان آگاه، آنچه که اخیراً مورد بحث قرار گرفتیم (مخصوصاً در پس زمینه آنچه قبلاً بحث کردیم) ممکن است عباراتی ابتدایی به نظر برسد. با این حال، هنگام انتخاب این دو مشکل برای درس ویدیویی امروز، هدفم این نبود که تکنیک پیچیده و پیچیده دیگری را به شما بگویم - تنها چیزی که می‌خواستم به شما نشان دهم این است که از استفاده از تکنیک‌های جبر استاندارد برای تبدیل توابع اصلی نترسید. .

استفاده از تکنیک "مخفی"

در پایان ، می خواهم به تکنیک جالب دیگری نگاه کنم ، که از یک طرف فراتر از آنچه امروز عمدتاً مورد بحث قرار گرفتیم است ، اما از طرف دیگر ، اولاً اصلاً پیچیده نیست ، یعنی. حتی دانش‌آموزان مبتدی نیز می‌توانند به آن تسلط پیدا کنند، و ثانیاً، اغلب در انواع تست‌ها و تست‌ها یافت می‌شود. کار مستقل، یعنی آگاهی از آن علاوه بر آگاهی از جدول آنتی مشتقات بسیار مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1

بدیهی است که ما چیزی بسیار شبیه به تابع قدرت داریم. در این صورت باید چکار کنیم؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم: $x-5$ تفاوت زیادی با $x$ ندارد - آنها فقط $-5$ را اضافه کردند. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \راست))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

بیایید سعی کنیم مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((\left(x-5 \راست))^(5)) \راست))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست))^(4))\]

از این نتیجه می شود:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ راست))^(\prime ))\]

چنین مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین ما اکنون خودمان این فرمول را با استفاده از فرمول استاندارد ضد مشتق برای تابع توان استخراج کرده ایم. جواب را اینگونه بنویسیم:

مشکل شماره 2

بسیاری از دانش آموزانی که به راه حل اول نگاه می کنند ممکن است فکر کنند که همه چیز بسیار ساده است: فقط $x$ را در تابع power با یک عبارت خطی جایگزین کنید، و همه چیز در جای خود قرار می گیرد. متأسفانه همه چیز به این سادگی نیست و اکنون این را خواهیم دید.

با قیاس با عبارت اول، موارد زیر را می نویسیم:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\cdot ((\چپ(4-3x \راست))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \راست))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\]

با بازگشت به مشتق خود، می توانیم بنویسیم:

\[((\left(((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \راست) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \راست))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \راست))^(10)))(-30) \راست))^(\prime ))\]

این بلافاصله به شرح زیر است:

تفاوت های ظریف راه حل

لطفاً توجه داشته باشید: اگر بار گذشته اساساً چیزی تغییر نکرد ، در حالت دوم به جای -10 دلار ، -30 دلار ظاهر شد. تفاوت بین -10 دلار و -30 دلار چیست؟ بدیهی است که با ضریب 3- دلار. سوال: از کجا آمده است؟ اگر دقت کنید، می بینید که در نتیجه محاسبه مشتق یک تابع مختلط گرفته شده است - ضریبی که برابر با $x$ بود در ضد مشتق زیر ظاهر می شود. این خیلی قانون مهم، که در ابتدا قصد نداشتم در آموزش ویدیویی امروز به آن بپردازم، اما بدون آن ارائه آنتی مشتقات جدولی ناقص خواهد بود.

پس بیایید دوباره این کار را انجام دهیم. اجازه دهید تابع قدرت اصلی ما وجود داشته باشد:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

حال به جای $x$، عبارت $kx+b$ را جایگزین می کنیم. آن وقت چه خواهد شد؟ باید موارد زیر را پیدا کنیم:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k)\]

بر چه اساسی این ادعا را داریم؟ خیلی ساده بیایید مشتق ساختار نوشته شده در بالا را پیدا کنیم:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \راست))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k) \راست))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \راست))^ (n))\cdot k=((\چپ(kx+b \راست))^(n))\]

این همان عبارتی است که در ابتدا وجود داشت. بنابراین، این فرمول نیز صحیح است و می توان از آن برای تکمیل جدول ضد مشتقات استفاده کرد یا بهتر است به سادگی کل جدول را حفظ کرد.

نتیجه گیری از تکنیک "راز:

• هر دو تابعی که اکنون به آنها نگاه کردیم، در واقع می‌توانند با گسترش درجه‌ها به پاد مشتق‌های نشان‌داده‌شده در جدول تقلیل یابند، اما اگر بتوانیم کم و بیش به نحوی با درجه چهارم کنار بیاییم، آنگاه حتی درجه نهم را هم در نظر نمی‌گیرم. جرات کرد فاش کرد
• اگر بخواهیم اختیارات را گسترش دهیم، حجم محاسباتی به دست می آید که کار سادهبه طور ناکافی از ما وام می گرفت تعداد زیادیزمان
• به همین دلیل است که چنین وظایفی وجود دارد عبارات خطی، نیازی به حل آن نیست. به محض اینکه با یک پاد مشتق روبرو شدید که فقط با وجود عبارت $kx+b$ در داخل آن با نمونه موجود در جدول متفاوت است، فوراً فرمول نوشته شده در بالا را به خاطر بسپارید، آن را با آنتی مشتق جدول خود جایگزین کنید، و همه چیز بسیار خوب خواهد شد. سریع تر و راحت تر

طبیعتاً به دلیل پیچیدگی و جدی بودن این تکنیک، بارها در درس‌های ویدیویی آینده به بررسی آن برمی‌گردیم، اما این همه برای امروز است. امیدوارم این درس واقعا به آن دسته از دانش‌آموزانی که می‌خواهند آنتی‌مشتق‌ها و ادغام را درک کنند، کمک کند.