ساخت مثلث با استفاده از سه عنصر ساخت مثلث با استفاده از سه عنصر ساخت مثلث با استفاده از سه ضلع

کلاس: 7

اهداف درس:

• مطالب مورد مطالعه را تا حد امکان به دانش آموزان منتقل کنید.
• توسعه تفکر، حافظه و توانایی استفاده آزادانه از قطب نما؛
• سعی کنید فعالیت و استقلال دانش آموزان را هنگام انجام وظایف افزایش دهید.

تجهیزات:

• قطب نمای مدرسه
• نقاله،
• حاکم،
• کارت برای کار مستقل

پیشرفت درس

موضوع درس: "مشکلات ساخت و ساز".

امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه با استفاده از سه عنصر داده شده با استفاده از قطب نما و خط کش، مثلث بسازیم.

برای ساختن یک مثلث، ابتدا باید بتوانید یک پاره مساوی با یک معین و یک زاویه برابر با یک معین بسازید. البته، می توانید این کار را با استفاده از یک خط کش با تقسیم و یک نقاله انجام دهید، اما در ریاضیات نیز باید بتوانید ساخت و سازهایی را با استفاده از قطب نما و خط کش بدون تقسیم انجام دهید.

هر کار ساخت و ساز شامل چهار مرحله اصلی است:

• تحلیل؛
• ساخت و ساز;
• اثبات؛
• مطالعه کنید

تجزیه و تحلیل و تحقیق در مورد مسئله به اندازه خود ساخت و ساز ضروری است. باید دید مشکل در چه مواردی راه حل دارد و در کدام موارد راه حلی وجود ندارد.

1. ساخت قطعه ای برابر با یک معین.

2. با استفاده از قطب نما و خط کش زاویه ای برابر با زاویه داده شده بسازید.

حالا بیایید به ساخت مثلث با استفاده از سه عنصر برویم.

3. ساخت مثلث با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها.

طرح شماره 3.

داده شده است	برای ساخت مورد نیاز است	ساخت و ساز
1. زاویه A را برابر با زاویه داده شده بسازید. 2. در یک طرف زاویه، نقطه C را علامت بزنید تا پاره AC برابر با قطعه b باشد. 3. در سمت دیگر زاویه، نقطه B را علامت بزنید تا پاره AB برابر با قطعه c باشد. 4. نقاط B و C را با استفاده از خط کش به هم وصل کنید. یک مثلث ACB با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها ساخته می شود.

کار مستقل برای نمودار 3.

گزینه 1.

یک مثلث ВСН بسازید، اگر ВС = 3 سانتی متر، СН = 4 سانتی متر، С = 35є.

گزینه 2.

یک مثلث SDE بسازید که برای آن DS = 4 سانتی متر، DE = 5 سانتی متر، D = 110 درجه است.

سرنخ قبل از ساخت مثلث، لازم است یک نقاشی با دست آزاد از مثلث انجام شود که تمام عناصر مشخص شده را نشان می دهد.

4. ساخت مثلث با استفاده از ضلع و زوایای مجاور آن.

داده شده است	برای ساخت مورد نیاز است	ساخت و ساز
1. به طور خودسرانه یک قطعه AB برابر با قطعه داده شده c رسم کنید. 2. زاویه A را برابر با داده شده بسازید. 3. زاویه B را برابر با داده شده بسازید. نقطه تلاقی دو ضلع زوایای A و B رأس مثلث C است. ما یک مثلث ACB با استفاده از یک ضلع و دو زاویه داده شده ساختیم.

کار مستقل برای نمودار 4.

گزینه 1

اگر KO = 6 سانتی متر، K = 130 درجه، O = 20 درجه، یک مثلث KMO بسازید.

گزینه 2

یک مثلث HRV بسازید اگر C = 15º، D = 50º، SD = 3 سانتی متر.

5. ساخت مثلث با استفاده از سه ضلع.

داده شده است پس از ساختن هر مثلث، به طور مستقل ثابت کنید که مثلث به دست آمده همان مثلثی است که به دنبال آن هستید و در صورت امکان تحقیق کنید.

تصویر 3 از ارائه "مثلث 2"برای درس هندسه با موضوع "مثلث"

ابعاد: 720 x 540 پیکسل، فرمت: jpg.

برای دانلود رایگان تصویر درس هندسه، روی تصویر کلیک راست کرده و روی "ذخیره تصویر به عنوان..." کلیک کنید.

برای نمایش تصاویر در درس، می توانید کل ارائه "Triangle 2.ppt" را به همراه تمام تصاویر در یک آرشیو فشرده به صورت رایگان دانلود کنید. حجم آرشیو 16 کیلوبایت است.

دانلود ارائه

مثلث

"بردارها در فضا" - بردارهای هم جهت. k (a+b) = ka + kb - قانون توزیع 1. a+b=b+a (قانون تعویض). ضرب بردار در عدد. بردار یک قطعه جهت دار است. بردارها در فضا بردارهای هم جهت بردارهایی هستند که جهت یکسانی دارند. اگر بردارها هم جهت و طول آنها مساوی باشد، به این بردارها مساوی می گویند.

"زاویه بین بردارها" - مختصات بردارها. بردار جهت مستقیم است. تحلیل تصویری مسائل از کتاب درسی. معرفی سیستم مختصات بیایید راهنماهای خطوط مستقیم D1B و CB1 را در نظر بگیریم. چگونه فاصله بین نقاط را پیدا می کنید؟ زاویه بین خطوط ВD و CD1 را پیدا کنید. زاویه بین خطوط مستقیم AB و CD. زاویه بین بردارها چگونه مختصات نقطه میانی یک پاره را پیدا کنید؟ "ریاضیدانان بزرگ" - سیستم مختصات پیشنهاد شده توسط دکارت نام او را دریافت کرد. دکارت قانون بقای تکانه را بیان کرد و مفهوم تکانه نیرو را بیان کرد. "روش" (یا "Ephod") و "هفت ضلعی منظم". لایب نیتس گوتفرید ویلهلم. کلدیش مستیسلاو وسوولودویچ. اسحاق نیوتن. فیثاغورث ساموسی. گاوس دکترای خود را در سال 1799 از دانشگاه هلمشتد دریافت کرد."ریاضیات به عنوان یک علم" - مسابقه "ریاضیات و تاریخ" دو حوزه جدایی ناپذیر از دانش هستند استان نیژنی نووگورود. لیوباچفسکی - استاد دانشگاه مسکو و امپریال

دانشکده فنی . پازل. لئونارد اویلر. شمارنده. والدین الکساندروف معلمان مدرسه بودند."علائم برابری مثلث ها" - هر مثلثی دارای سه وسط است. متساوی الاضلاع و شکل تخت. مثلث. ارتفاع مثلث. نشانه های تساوی مثلث ها. مطالعه مثلث باعث پیدایش علم مثلثات شد. هر مثلثی سه ارتفاع دارد. عمودی که از راس مثلث به یک خط مستقیم کشیده شده است.

"تابع سینوسی" - نمودار غروب آفتاب. تاریخ. روند غروب آفتاب شرح داده شده است تابع مثلثاتیسینوسی متوسط ​​زمان غروب آفتاب 18:00 است. با استفاده از یک تقویم پارگی، به راحتی می توان لحظه غروب خورشید را علامت گذاری کرد. هدف. نتیجه گیری زمان. غروب آفتاب چهره های مختلف مثلثات.

در مجموع 42 ارائه در این موضوع وجود دارد

ما یک آموزش تصویری با موضوع "ساخت مثلث با استفاده از سه عنصر" به شما ارائه می دهیم. شما قادر خواهید بود چندین مثال از کلاس مسائل ساختمانی را حل کنید. معلم مشکل ساخت مثلث را با استفاده از سه عنصر به تفصیل تجزیه و تحلیل می کند و همچنین قضیه تساوی مثلث ها را به یاد می آورد.

این موضوعگسترده ای دارد کاربرد عملی، بنابراین بیایید به برخی از انواع حل مسئله نگاه کنیم. یادآوری می کنیم که هرگونه ساخت و ساز منحصراً با کمک قطب نما و خط کش انجام می شود.

مثال 1:

با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها یک مثلث بسازید.

داده شده: فرض کنید مثلث تحلیل شده به این شکل باشد

برنج. 1.1. مثلث تحلیل شده 1

اجازه دهید بخش های داده شده c و a خواهد بود و زاویه داده شده خواهد بود

برنج. 1.2. عناصر داده شده برای مثال 1

ساخت و ساز:

ابتدا باید گوشه 1 را کنار بگذارید

برنج. 1.3. زاویه معوق 1 برای مثال 1

سپس در اضلاع یک زاویه داده شده، دو ضلع داده شده را با قطب نما ترسیم می کنیم: طول ضلع را با قطب نما اندازه گیری کنید. الفو نوک قطب نما را در راس زاویه 1 قرار داده و با قسمت دیگر یک بریدگی در ضلع زاویه 1 ایجاد می کنیم. مشابه این کار را با ضلع انجام می دهیم. با

برنج. 1.4. کناره ها را کنار بگذارید الفو بابه عنوان مثال 1

سپس بریدگی های حاصل را به هم وصل می کنیم و مثلث مورد نظر ABC را به دست می آوریم

برنج. 1.5. مثلث ساخته شده ABC برای مثال 1

آیا این مثلث با مثلث مورد انتظار برابر خواهد بود؟ این خواهد شد، زیرا عناصر مثلث حاصل (دو ضلع و زاویه بین آنها) به ترتیب برابر با دو ضلع و زاویه بین آنها در شرط است. بنابراین، با اولین ویژگی برابری مثلث ها - - مورد نظر.

ساخت و ساز به پایان رسیده است.

توجه:

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه زاویه ای برابر با یک داده را رسم کنیم.

مثال 2

یک زاویه از یک پرتوی داده شده با یک زاویه داده شده کم کنید. زاویه A و پرتو OM داده شده است. ساخت.

ساخت و ساز:

برنج. 2.1. شرایط برای مثال 2

1. یک دایره Okr(A, r = AB) بسازید. نقاط B و C نقاط تقاطع با اضلاع زاویه A هستند

برنج. 2.2. راه حل برای مثال 2

1. یک دایره Okr(D, r = CB) بسازید. نقاط E و M نقاط تقاطع با اضلاع زاویه A هستند

برنج. 2.3. راه حل برای مثال 2

1. زاویه MOE مورد نظر است، زیرا .

ساخت و ساز به پایان رسیده است.

مثال 3

مثلث ABC را با استفاده از یک ضلع شناخته شده و دو زاویه مجاور بسازید.

بگذارید مثلث تحلیل شده به شکل زیر باشد:

برنج. 3.1. شرایط برای مثال 3

سپس بخش های داده شده به این شکل هستند

برنج. 3.2. شرایط برای مثال 3

ساخت و ساز:

بیایید زاویه را در صفحه رسم کنیم

برنج. 3.3. راه حل برای مثال 3

در ضلع یک زاویه داده شده طول ضلع را رسم می کنیم الف

برنج. 3.4. راه حل برای مثال 3

سپس یک زاویه از راس C کنار می گذاریم. اضلاع غیر مشترک زوایای γ و α در نقطه A قطع می شوند

برنج. 3.5. راه حل برای مثال 3

آیا مثلث ساخته شده مورد نظر است؟ از آنجایی که ضلع و دو زاویه مجاور مثلث ساخته شده به ترتیب برابر با ضلع و زاویه بین آنها در شرط است.

با معیار دوم برای تساوی مثلث ها جستجو شد

ساخت و ساز به پایان رسید

مثال 4

یک مثلث روی 2 پایه بسازید

بگذارید مثلث تحلیل شده به این شکل باشد

برنج. 4.1. شرایط برای مثال 4

عناصر شناخته شده - پاها

برنج. 4.2. شرایط برای مثال 4

این کار با موارد قبلی متفاوت است زیرا می توان زاویه بین دو طرف را به طور پیش فرض تعیین کرد - 90 0

ساخت و ساز:

بیایید زاویه ای برابر با 90 0 را کنار بگذاریم. ما این کار را دقیقاً به همان روشی که در مثال 2 نشان داده شده است انجام خواهیم داد

برنج. 4.3. راه حل برای مثال 4

سپس در اضلاع این زاویه طول اضلاع را رسم می کنیم الفو ب، در شرایط داده شده است

برنج. 4.4. راه حل برای مثال 4

در نتیجه، مثلث به دست آمده، مطلوب است، زیرا دو ضلع آن و زاویه بین آنها به ترتیب برابر با دو ضلع و زاویه بین آنها در شرایط ذکر شده است.

توجه داشته باشید که با ایجاد دو خط عمود بر هم می توانید زاویه 90 0 را کنار بگذارید. ما چگونگی انجام این کار را در آن بررسی خواهیم کرد مثال اضافی

مثال اضافی

عمود بر خط p را که از نقطه A می گذرد بازیابی کنید،

خط p و نقطه A روی این خط قرار دارد

برنج. 5.1. شرط برای مثال اضافی

ساخت و ساز:

ابتدا یک دایره با شعاع دلخواه با مرکز در نقطه A می سازیم

برنج. 5.2. راه حل مثال اضافی

این دایره یک خط را قطع می کند rدر نقاط K و E. سپس دو دایره Okr(K، R = KE)، Okr(E، R = KE) می سازیم. این دایره ها در نقاط C و B قطع می شوند.

برنج. 5.3. پاسخ به مثال اضافی

1. مجموعه واحد دیجیتال منابع آموزشی ().
2. معلم خصوصی ریاضی ().

1. شماره 285، 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. ویرایش شده توسط Tikhonov A. N. هندسه کلاس های 7-9. م.: روشنگری. 2010
2. یک مثلث متساوی الساقین را با استفاده از ضلع و زاویه مقابل قاعده بسازید.
3. ساخت مثلث قائم الزاویهتوسط هیپوتانوز و زاویه حاد
4. با استفاده از زاویه، ارتفاع و نیمساز که از راس زاویه داده شده ترسیم شده است، یک مثلث بسازید.

ماهیت آنها این است که هر شی هندسی را با توجه به مجموعه ای از شرایط اولیه کافی بسازند و فقط یک قطب نما و یک خط کش در دست داشته باشند. بیایید یک طرح کلی برای انجام چنین وظایفی در نظر بگیریم:

تجزیه و تحلیل وظایف

این قسمت شامل ایجاد ارتباط بین عناصری است که باید ساخته شوند و شرایط اولیه مشکل. پس از تکمیل این نکته باید برنامه ای برای حل مشکل خود داشته باشیم.

ساخت و ساز.

در اینجا ما طبق نقشه ای که در بالا ترسیم کردیم ساخت و ساز را انجام می دهیم.

اثبات

در اینجا ثابت می کنیم که شکلی که ساختیم در واقع شرایط اولیه مسئله را برآورده می کند.

مطالعه کنید.

در اینجا متوجه می‌شویم که مشکل تحت کدام داده یک راه‌حل دارد، که در آن چندین راه‌حل وجود دارد، و تحت کدام داده‌ها هیچ‌یک وجود ندارد.

در ادامه، مشکلات ساخت مثلث با استفاده از سه عنصر مختلف را در نظر خواهیم گرفت. در اینجا ساختارهای ابتدایی مانند قطعه، زاویه و غیره را در نظر نخواهیم گرفت. تا به حال باید این مهارت ها را داشته باشید.

ساخت مثلث با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها

مثال 1

اگر دو ضلع و زاویه بین این ضلع ها به ما داده شود مثلث بسازید.

تجزیه و تحلیل.

اجازه دهید بخش های $AB$ و $AC$ و زاویه $α$ به ما داده شود. ما باید یک مثلث $ABC$ با زاویه $C$ برابر با $α بسازیم.

بیایید یک نقشه ساخت و ساز ترسیم کنیم:

1. با در نظر گرفتن $AB$ به عنوان یکی از اضلاع زاویه، زاویه $BAM$ را برابر با زاویه $α$ از آن جدا می کنیم.
2. روی خط مستقیم $AM$ قطعه $AC$ را رسم می کنیم.
3. بیایید نقاط $B$ و $C$ را به هم وصل کنیم.

ساخت و ساز.

بیایید یک نقشه بر اساس نقشه ترسیم شده در بالا بسازیم (شکل 1).

اثبات

مطالعه کنید.

از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث 180$^\circ$ است. این به این معنی است که اگر زاویه α بزرگتر یا مساوی 180^\circ$ باشد، مشکل هیچ راه حلی نخواهد داشت.

در غیر این صورت راه حلی وجود دارد. از آنجایی که خط $a$ یک خط دلخواه است، تعداد بی نهایت از این مثلث ها وجود خواهد داشت. اما از آنجایی که همه آنها طبق علامت اول با یکدیگر برابر هستند، فرض می کنیم که راه حل این مشکل منحصر به فرد است.

ساخت مثلث با سه ضلع

مثال 2

اگر سه ضلع به ما داده شود مثلث بسازید.

تجزیه و تحلیل.

اجازه دهید بخش های $AB$ و $AC$ و $BC$ به ما داده شود. ما باید مثلث $ABC$ را بسازیم.

بیایید یک نقشه ساخت و ساز ترسیم کنیم:

1. بیایید یک خط مستقیم $a$ رسم کنیم و یک بخش $AB$ روی آن بسازیم.
2. بیایید دایره‌های $2$ بسازیم: اولی با مرکز $A$ و شعاع $AC$، و دومی با مرکز $B$ و شعاع $BC$.
3. بیایید یکی از نقاط تقاطع دایره ها (که نقطه $C$ خواهد بود) را با نقاط $A$ و $B$ وصل کنیم.

ساخت و ساز.

بیایید یک نقشه بر اساس نقشه ترسیم شده در بالا بسازیم (شکل 2).

اثبات

از ساخت و ساز مشخص است که تمام شرایط اولیه برآورده شده است.

مطالعه کنید.

از نابرابری مثلث می دانیم که هر ضلعی باید از مجموع دو ضلع دیگر کوچکتر باشد. در نتیجه، وقتی چنین نابرابری برای سه بخش اصلی برآورده نشود، مشکل راه حلی نخواهد داشت.

از آنجایی که دایره های ساختار دارای دو نقطه تقاطع هستند، می توانیم دو مثلث از این قبیل بسازیم. اما از آنجایی که طبق معیار سوم با یکدیگر برابر هستند، راه حل این مشکل را منحصر به فرد فرض می کنیم.

ساخت مثلث با استفاده از یک ضلع و دو زاویه مجاور

مثال 3

اگر یک ضلع به ما داده شود و زوایای $α$ و $β$ در مجاورت آن قرار گیرند، یک مثلث بسازید.

تجزیه و تحلیل.

اجازه دهید یک بخش $BC$ و زاویه $α$ و $β$ به ما داده شود. ما باید یک مثلث $ABC$ بسازیم که در آن $∠B=α$ و $∠C=β$.

بیایید یک نقشه ساخت و ساز ترسیم کنیم:

1. بیایید یک خط مستقیم $a$ رسم کنیم و یک بخش $BC$ روی آن بسازیم.
2. اجازه دهید یک زاویه $∠ K=α$ در راس $B$ به سمت $BC$ بسازیم.
3. اجازه دهید یک زاویه $∠ M=β$ در راس $C$ به سمت $BC$ بسازیم.
4. اجازه دهید نقطه تقاطع پرتوهای $∠ K$ و $∠ M$ (این نقطه $A$ خواهد بود) را با نقاط $C$ و $B$ وصل کنیم،

ساخت و ساز.

بیایید یک نقشه بر اساس نقشه ترسیم شده در بالا بسازیم (شکل 3).

اثبات

از ساخت و ساز مشخص است که تمام شرایط اولیه برآورده شده است.

مطالعه کنید.

از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث برابر با $180^\circ$ است، پس اگر $α+β≥180^\circ$، مشکل هیچ راه حلی نخواهد داشت.

در غیر این صورت راه حلی وجود دارد. از آنجایی که می توانیم از هر دو طرف زاویه بسازیم، می توانیم دو مثلث از این قبیل بسازیم. اما از آنجایی که طبق معیار دوم با یکدیگر برابر هستند، راه حل این مشکل را منحصر به فرد فرض می کنیم.