حد یک دنباله و حد تابع کوشی. تعیین حد محدود یک دنباله نحوه محاسبه حد یک دنباله اعداد مثالهایی

فرمول بندی قضایای اصلی و ویژگی های دنباله های عددی که دارای حد هستند آورده شده است. شامل تعریفی از دنباله و حد آن است. عملیات حسابی با دنباله ها، خواص مربوط به نامساوی ها، معیارهای همگرایی، خواص دنباله های بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ در نظر گرفته شده است.

محتوا

خواص محدودیت های محدود دنباله ها

خواص اساسی

نقطه a حدی از یک دنباله است اگر و فقط اگر خارج از همسایگی این نقطه باشد تعداد محدودی از عناصردنباله ها یا مجموعه خالی

اگر عدد a حد دنباله نباشد، همسایگی نقطه a وجود دارد که فراتر از آن وجود دارد. عدد بی نهایتعناصر توالی.

قضیه یگانگی برای حد یک دنباله اعداد. اگر یک دنباله محدودیتی داشته باشد، پس منحصر به فرد است.

اگر دنباله ای حد محدودی داشته باشد، آن وقت است محدود است.

اگر هر عنصر دنباله برابر با همان عددج:، پس این دنباله یک محدودیت دارد، برابر عددسی.

اگر دنباله اولین عناصر m را اضافه، دور بیندازید یا تغییر دهید، پس این بر همگرایی آن تأثیری نخواهد گذاشت.

اثبات خواص اساسیدر صفحه آورده شده است
ویژگی های اساسی محدودیت های محدود دنباله ها >>>.

عملیات حسابی با حد

اجازه دهید محدودیت های محدودی برای هر دو دنباله و .
;
;
;
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
، اگر .

در مورد ضریب، فرض می شود که برای همه n.

اگر، پس. اثبات در صفحه آورده شده است
خواص حسابی

خواص حسابی حدود محدود دنباله ها >>>.

ویژگی های مربوط به نابرابری ها

اگر عناصر یک دنباله، که از عدد معینی شروع می شوند، نابرابری را برآورده کنند، حد a این دنباله نیز نابرابری را برآورده می کند.

اگر عناصر دنباله که از عدد معینی شروع می شوند به یک بازه بسته (قطعه) تعلق داشته باشند، حد a نیز به این بازه تعلق دارد: .

اگر و و عناصر دنباله ها، که از یک عدد معین شروع می شوند، نابرابری را برآورده می کنند، پس .
به طور خاص، اگر، با شروع از برخی از شماره،، سپس
اگر، پس؛
اگر , پس .

اگر و، پس.

بگذار باشد. < b اگر الف ، پس چیزی شبیه به این وجود داردعدد طبیعی N، که برای همه n> ن

نابرابری برقرار استدر صفحه آورده شده است
اثبات خواص مربوط به نابرابری ها

ویژگی های محدودیت های دنباله مرتبط با نابرابری ها >>>.

دنباله های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

دنباله بی نهایت کوچک
.

دنباله بی نهایت کوچک دنباله ای است که حد آن صفر است:جمع و تفاوت

تعداد محدودی از دنباله های بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است. کار کنید توالی محدود

به بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است.حاصل ضرب عدد محدود

دنباله های بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است.

برای اینکه یک دنباله حد a داشته باشد، کافی و لازم است که در کجا یک دنباله بی نهایت کوچک باشد.در صفحه آورده شده است
اثبات خواص دنباله های بی نهایت کوچک

دنباله های بی نهایت کوچک - تعریف و ویژگی ها >>>.

دنباله بی نهایت بزرگ
.
دنباله بی نهایت بزرگ دنباله ای است که حد بی نهایت بزرگی دارد. یعنی اگر برای هر عدد مثبت یک عدد طبیعی N وجود داشته باشد، بسته به عدد، به طوری که برای همه اعداد طبیعی نابرابری برقرار است
.
در این مورد می نویسند
یا در .

می گویند به بی نهایت گرایش دارد.
.
اگر از مقداری N شروع کنیم، پس
.

اگر آن وقت

اگر دنباله بی نهایت بزرگ باشد، با شروع از مقداری N، دنباله ای تعریف می شود که بی نهایت کوچک است. اگر دنباله ای بی نهایت کوچک با عناصر غیر صفر باشد، آنگاه دنباله بی نهایت بزرگ است.
.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ و دنباله محدود است، پس
.

اگر مقادیر مطلق عناصر دنباله از پایین با یک عدد مثبت () محدود شود و یک عدد بینهایت کوچک با عناصر نامساوی با صفر باشد، جزئیات بیشترتعریف یک دنباله بی نهایت بزرگ با مثال
در صفحه داده شده است
تعریف یک دنباله بی نهایت بزرگ >>>.در صفحه آورده شده است
اثبات خواص توالی های بی نهایت بزرگ

ویژگی های دنباله های بی نهایت بزرگ >>> .

معیارهای همگرایی دنباله ای

سکانس های یکنواخت
.

نابرابری های مشابه دیگر توالی های یکنواخت را تعریف می کنند.

دنباله به شدت نزولی:
.
توالی بدون کاهش:
.
توالی غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک توالی به شدت افزایشی نیز کاهش نمی یابد. یک توالی به شدت کاهشی نیز غیرافزاینده است.

دنباله یکنواخت یک دنباله بدون کاهش یا غیر افزایشی است.

یک دنباله یکنواخت حداقل در یک طرف توسط مقدار محدود می شود.

یک دنباله بدون کاهش در زیر محدود می شود: .یک دنباله بدون افزایش از بالا محدود می شود: .

قضیه وایرشتراس

. برای اینکه یک دنباله غیر کاهشی (غیر افزایشی) حد محدودی داشته باشد، لازم و کافی است که از بالا (از پایین) محدود شود. در اینجا M مقداری است.

از آنجایی که هر دنباله غیر کاهشی (غیر افزایشی) از پایین (از بالا) محدود می شود، قضیه وایرشتراس را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:برای اینکه یک دنباله یکنواخت حد محدودی داشته باشد لازم و کافی است که محدود شود: .

دنباله نامحدود یکنواختدارای حد بی نهایت، برابر برای یک دنباله غیر کاهشی و غیر افزایشی.
اثبات قضیه وایرشتراس

در صفحه داده شده است

قضیه وایرشتراس در حد یک دنباله یکنواخت >>>.
معیار کوشی برای همگرایی توالی حالت کوشیسازگاری راضی می کند
.

حالت کوشی ، اگر برای هر یک عدد طبیعی وجود داشته باشد به طوری که برای همه اعداد طبیعی n و m که شرط را برآورده می کنند، نابرابری برقرار است.

یک دنباله اساسی دنباله ای است که ارضا می کندحالت کوشی

معیار کوشی برای همگرایی توالیدارای حد بی نهایت، برابر برای یک دنباله غیر کاهشی و غیر افزایشی.
. برای اینکه یک دنباله حد محدودی داشته باشد، لازم و کافی است که شرط کوشی را برآورده کند.

اثبات معیار همگرایی کوشی

معیار کوشی برای همگرایی دنباله >>>.دنباله ها

قضیه بولزانو وایرشتراسدارای حد بی نهایت، برابر برای یک دنباله غیر کاهشی و غیر افزایشی.
. از هر دنباله محدود می توان یک دنباله فرعی همگرا استخراج کرد. و از هر دنباله نامحدود - دنباله ای بی نهایت بزرگ که به یا به همگرا می شود.

اثبات قضیه بولزانو وایرشتراس
قضیه بولزانو – وایرشتراس >>> .

تعاریف، قضایا و خواص دنباله های فرعی و حدود جزئی در صفحه مورد بحث قرار گرفته است
CM. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
V.A. زوریخ. تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت 1. مسکو، 1997.
V.A. ایلین، ای.جی. پوزنیاک. مبانی آنالیز ریاضی. قسمت 1. مسکو، 2005.

همچنین ببینید:

ریاضیات علمی است که جهان را می سازد. هم دانشمندان و هم مردم عادی - هیچ کس نمی تواند بدون آن کار کند. ابتدا به کودکان خردسال شمارش، سپس جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به آنها آموزش داده می شود دبیرستانوارد بازی شوید تعیین حروف، و در سنین بالاتر نمی توانید بدون آنها کار کنید.

اما امروز ما در مورد آنچه در کل صحبت خواهیم کرد ریاضیات معروف. درباره جامعه ای از اعداد به نام "محدودیت های توالی".

دنباله ها چیست و حد آنها کجاست؟

تفسیر معنای کلمه "توالی" دشوار نیست. این ترتیب چیزهایی است که در آن شخص یا چیزی در یک نظم یا صف مشخص قرار دارد. به عنوان مثال، صف بلیط باغ وحش یک سکانس است. و فقط یکی می تواند وجود داشته باشد! برای مثال، اگر به صف فروشگاه نگاه کنید، این یک دنباله است. و اگر یک نفر از این صف ناگهان خارج شود، این یک صف متفاوت است، یک نظم متفاوت.

کلمه "حد" نیز به راحتی تفسیر می شود - این پایان چیزی است. با این حال، در ریاضیات، حدود دنباله ها آن مقادیری هستند که در خط اعداد دنباله ای از اعداد به آن تمایل دارند. چرا تلاش می کند و به پایان نمی رسد؟ ساده است، خط اعداد پایانی ندارد و بیشتر دنباله‌ها، مانند پرتوها، فقط یک آغاز دارند و به این شکل هستند:

x 1، x 2، x 3،...x n...

از این رو تعریف دنباله تابعی از استدلال طبیعی است. بیشتر به زبان سادهمجموعه ای از اعضای یک مجموعه خاص است.

دنباله اعداد چگونه ساخته می شود؟

یک مثال ساده از یک دنباله اعداد ممکن است به این صورت باشد: 1، 2، 3، 4، …n…

در بیشتر موارد، برای اهداف عملی، دنباله ها از اعداد ساخته می شوند و هر عضو بعدی سری، بیایید آن را X نشان دهیم، نام خاص خود را دارد. به عنوان مثال:

x 1 اولین عضو دنباله است.

x 2 جمله دوم دنباله است.

x 3 عبارت سوم است.

x n nامین جمله است.

در روش های عملی، توالی با یک فرمول کلی ارائه می شود که در آن یک متغیر مشخص وجود دارد. به عنوان مثال:

X n = 3n، سپس خود سری اعداد به شکل زیر خواهد بود:

شایان ذکر است که هنگام ضبط سکانس ها به طور کلی، می توانید از هر کدام استفاده کنید حروف لاتینو نه فقط X. به عنوان مثال: y، z، k، و غیره.

پیشروی حسابی به عنوان بخشی از دنباله ها

قبل از جست‌وجوی محدودیت‌های دنباله‌ها، بهتر است عمیق‌تر در مفهوم مشابه غوطه‌ور شوید. سری اعداد، که همه در دوران راهنمایی با آن مواجه شدند. پیشروی حسابی مجموعه ای از اعداد است که در آنها تفاوت بین عبارت های مجاور ثابت است.

مشکل: "1 = 15 و مرحله پیشرفت سری اعداد d = 4 را بگذارید. ساخت 4 ترم اول این مجموعه"

راه حل: a 1 = 15 (بر اساس شرط) اولین جمله پیشرفت (سری اعداد) است.

و 2 = 15+4=19 ترم دوم پیشرفت است.

و 3 =19+4=23 ترم سوم است.

و 4 =23+4=27 جمله چهارم است.

با این حال، با استفاده از این روش رسیدن به مقادیر بزرگ، به عنوان مثال تا 125 دشوار است. به خصوص برای چنین مواردی، یک فرمول مناسب برای تمرین مشتق شد: a n =a 1 +d(n-1). در این مورد، 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

انواع دنباله ها

بیشتر سکانس ها بی پایان هستند، ارزش دارد تا آخر عمر به خاطر بسپارید. دو نوع جالب سری اعداد وجود دارد. اولین مورد با فرمول a n =(-1) n داده می شود. ریاضیدانان اغلب این دنباله را فلاشر می نامند. چرا؟ سری اعداد آن را بررسی کنیم.

1، 1، -1، 1، -1، 1 و غیره. با مثالی مانند این، مشخص می شود که اعداد در دنباله ها به راحتی قابل تکرار هستند.

دنباله فاکتوریل حدس زدن آسان است - فرمول تعیین کننده دنباله شامل یک فاکتوریل است. به عنوان مثال: a n = (n+1)!

سپس دنباله به صورت زیر خواهد بود:

a 2 = 1x2x3 = 6;

و 3 = 1x2x3x4 = 24 و غیره.

دنباله داده شده پیشرفت حسابی، در صورتی که نابرابری -1 برای تمام عبارات آن رعایت شود، بی نهایت نزولی نامیده می شود

و 3 = - 1/8 و غیره

حتی یک دنباله متشکل از همان عدد وجود دارد. بنابراین، n = 6 از تعداد بی نهایت شش تشکیل شده است.

تعیین حد توالی

محدودیت های دنباله ای از دیرباز در ریاضیات وجود داشته است. البته آنها لایق طراحی شایسته خود هستند. بنابراین، وقت آن است که تعریف محدودیت های دنباله را یاد بگیریم. ابتدا اجازه دهید محدودیت یک تابع خطی را با جزئیات بررسی کنیم:

1. همه محدودیت ها به اختصار lim می باشند.
2. نماد یک حد شامل علامت اختصاری lim، هر متغیری که به یک عدد معین، صفر یا بینهایت تمایل دارد و همچنین خود تابع است.

به راحتی می توان فهمید که تعریف حد یک دنباله را می توان به صورت زیر فرموله کرد: این عدد معینی است که همه اعضای دنباله بی نهایت به آن نزدیک می شوند. یک مثال ساده: a x = 4x+1. سپس خود دنباله به این شکل خواهد بود.

5، 9، 13، 17، 21…x…

بنابراین، این دنباله به طور نامحدود افزایش می یابد، یعنی حد آن برابر با بی نهایت به صورت x→∞ است، و باید به این صورت نوشته شود:

اگر دنباله ای مشابه بگیریم، اما x به 1 تمایل داشته باشد، به دست می آوریم:

و سری اعداد به این صورت خواهد بود: 1.4، 1.8، 4.6، 4.944، و غیره. از این سری مشخص است که حد تابع پنج است.

از این بخش لازم است به یاد بیاوریم که حد یک دنباله عددی چیست، تعریف و روش حل مسائل ساده.

تعیین کلی برای حد توالی

با بررسی حد یک دنباله اعداد، تعریف و مثال های آن، می توانید به موضوع پیچیده تری بروید. مطلقاً تمام محدودیت های دنباله ها را می توان با یک فرمول تنظیم کرد که معمولاً در ترم اول تجزیه و تحلیل می شود.

بنابراین، این مجموعه حروف، ماژول ها و علائم نابرابری به چه معناست؟

∀ یک کمیت جهانی است که جایگزین عبارات "برای همه"، "برای همه چیز" و غیره می شود.

∃ یک کمیت وجودی است، در این مورد به این معنی است که مقداری N متعلق به مجموعه اعداد طبیعی است.

یک چوب بلند عمودی به دنبال N به این معنی است که مجموعه داده شده N "چنین است". در عمل می تواند به معنای "چنین آن"، "چنین آن" و غیره باشد.

برای تقویت مطالب، فرمول را با صدای بلند بخوانید.

عدم قطعیت و قطعیت حد

روش یافتن حد توالی ها، که در بالا مورد بحث قرار گرفت، اگرچه استفاده از آن ساده است، اما در عمل چندان منطقی نیست. سعی کنید محدودیت این تابع را پیدا کنید:

اگر مقادیر مختلف "x" را جایگزین کنیم (هر بار افزایش می یابد: 10، 100، 1000، و غیره)، سپس ∞ را در صورت، و همچنین ∞ را در مخرج می گیریم. این منجر به یک کسر نسبتاً عجیب می شود:

اما آیا واقعا اینطور است؟ محاسبه حد یک دنباله اعداد در این مورد بسیار آسان به نظر می رسد. می توان همه چیز را به حال خود رها کرد، زیرا پاسخ آماده است و در شرایط معقول دریافت شده است، اما به طور خاص برای چنین مواردی راه دیگری وجود دارد.

ابتدا، بیایید بالاترین درجه را در صورت‌دهنده کسر پیدا کنیم - این 1 است، زیرا x را می‌توان به صورت x 1 نشان داد.

حالا بیایید بالاترین درجه را در مخرج پیدا کنیم. همچنین 1.

بیایید هم صورت و هم مخرج را بر متغیر به بالاترین درجه تقسیم کنیم. در این حالت کسر را بر x 1 تقسیم کنید.

در مرحله بعد، خواهیم یافت که هر عبارت حاوی یک متغیر به چه مقداری تمایل دارد. در این حالت کسری در نظر گرفته می شود. به عنوان x→∞، مقدار هر کسری به صفر میل می کند. هنگام ارسال کتبی اثر خود، باید پاورقی های زیر را ذکر کنید:

این منجر به عبارت زیر می شود:

البته کسرهای حاوی x صفر نشدند! اما ارزش آنها به قدری ناچیز است که در محاسبات در نظر نگرفتن آن کاملاً جایز است. در واقع x در این حالت هرگز برابر با 0 نخواهد بود، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

محله چیست؟

فرض کنید پروفسور یک دنباله پیچیده را در اختیار دارد که آشکارا با فرمولی به همان اندازه پیچیده ارائه شده است. استاد جواب را پیدا کرده است، اما آیا درست است؟ بالاخره همه مردم اشتباه می کنند.

آگوست کوشی یک بار راهی عالی برای اثبات محدودیت‌های سکانس‌ها ارائه کرد. روش او دستکاری محله نام داشت.

فرض کنید نقطه خاصی a وجود دارد، همسایگی آن در هر دو جهت روی خط عددی برابر با ε ("اپسیلون") است. از آنجایی که آخرین متغیر فاصله است، مقدار آن همیشه مثبت است.

حالا بیایید مقداری دنباله x n تعریف کنیم و فرض کنیم که دهمین جمله دنباله (x 10) در همسایگی a گنجانده شده است. چگونه می توانیم این واقعیت را به زبان ریاضی بنویسیم؟

فرض کنید x 10 در سمت راست نقطه a است، سپس فاصله x 10 -a است<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

اکنون زمان آن است که فرمول مورد بحث در بالا را در عمل توضیح دهیم. منصفانه است که عدد معینی را نقطه پایان یک دنباله بنامیم اگر برای هر یک از حدهای آن نابرابری ε>0 برقرار باشد و کل همسایگی عدد طبیعی خود را N داشته باشد، به طوری که همه اعضای دنباله با اعداد بالاتر داخل دنباله |x n - a| خواهد بود< ε.

با چنین دانشی می توان به راحتی محدودیت های توالی را حل کرد، پاسخ آماده را اثبات یا رد کرد.

قضایا

قضایای حدود دنباله ها جزء مهمی از نظریه هستند که بدون آنها عمل غیرممکن است. تنها چهار قضیه اصلی وجود دارد که به خاطر سپردن آنها می تواند فرآیند حل یا اثبات را بسیار ساده کند:

1. منحصر به فرد بودن حد یک دنباله. هر دنباله ای می تواند فقط یک حد داشته باشد یا اصلاً هیچ محدودیتی نداشته باشد. همان مثال با یک صف که فقط می تواند یک انتها داشته باشد.
2. اگر یک سری از اعداد دارای محدودیت باشند، توالی این اعداد محدود است.
3. حد مجموع (تفاوت، حاصلضرب) دنباله ها برابر است با مجموع (تفاوت، حاصلضرب) حدود آنها.
4. حد نصاب تقسیم دو دنباله برابر است با نصاب حدها اگر و فقط اگر مخرج از بین نرود.

اثبات دنباله ها

گاهی اوقات برای اثبات حد معینی از یک دنباله عددی نیاز به حل یک مسئله معکوس دارید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

ثابت کنید که حد دنباله ای که با فرمول داده می شود صفر است.

طبق قاعده مورد بحث در بالا، برای هر دنباله نابرابری |xn - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

اجازه دهید n را از طریق "epsilon" بیان کنیم تا وجود یک عدد معین را نشان دهیم و وجود حدی از دنباله را ثابت کنیم.

در این مرحله، مهم است که به یاد داشته باشید که "epsilon" و "en" اعداد مثبت هستند و برابر با صفر نیستند. اکنون می توان با استفاده از دانش در مورد نابرابری های به دست آمده در دبیرستان به تحولات بیشتر ادامه داد.

چگونه معلوم می شود که n > -3 + 1/ε. از آنجایی که لازم به یادآوری است که ما در مورد اعداد طبیعی صحبت می کنیم، می توان نتیجه را با قرار دادن آن در پرانتز گرد کرد. بنابراین، ثابت شد که برای هر مقدار از همسایگی "epsilon" نقطه a = 0، مقداری به گونه ای پیدا شد که نابرابری اولیه برآورده شود. از اینجا به راحتی می توان گفت که عدد a حد یک دنباله معین است. Q.E.D.

این روش راحت را می توان برای اثبات حد یک دنباله عددی، صرف نظر از اینکه در نگاه اول پیچیده باشد، استفاده کرد. نکته اصلی این است که وقتی کار را می بینید وحشت نکنید.

یا شاید او آنجا نیست؟

وجود حد سازگاری در عمل ضروری نیست. به راحتی می توانید با سری اعدادی روبرو شوید که واقعاً پایانی ندارند. به عنوان مثال، همان "چراغ چشمک زن" x n = (-1) n. واضح است که دنباله ای متشکل از تنها دو رقم که به صورت چرخه ای تکرار می شود، نمی تواند محدودیتی داشته باشد.

همین داستان با دنباله هایی متشکل از یک عدد، کسری، با عدم قطعیت از هر ترتیب در طول محاسبات تکرار می شود (0/0، ∞/∞، ∞/0، و غیره). با این حال، باید به خاطر داشت که محاسبات نادرست نیز رخ می دهد. گاهی اوقات بررسی مجدد راه حل خود به شما کمک می کند محدودیت توالی را پیدا کنید.

دنباله یکنواخت

چندین نمونه از توالی ها و روش های حل آنها در بالا مورد بحث قرار گرفت، و اکنون بیایید سعی کنیم یک مورد خاص تر را در نظر بگیریم و آن را "توالی یکنواخت" بنامیم.

تعریف: هر دنباله ای را به درستی می توان افزایش یکنواخت نامید اگر نابرابری شدید x n برای آن برقرار باشد.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

در کنار این دو شرط، نابرابری های غیر دقیق مشابهی نیز وجود دارد. بر این اساس، x n ≤ x n +1 (توالی غیر کاهشی) و x n ≥ x n +1 (توالی غیر افزایشی).

اما درک این موضوع با مثال‌ها آسان‌تر است.

دنباله ای که با فرمول x n = 2 + n ارائه می شود، سری اعداد زیر را تشکیل می دهد: 4، 5، 6، و غیره. این یک دنباله یکنواخت در حال افزایش است.

و اگر x n =1/n را بگیریم، سری به دست می آید: 1/3، ¼، 1/5، و غیره. این یک دنباله یکنواخت در حال کاهش است.

حد یک دنباله همگرا و محدود

دنباله محدود دنباله ای است که حدی دارد. دنباله همگرا مجموعه ای از اعداد است که حد بینهایت کوچک دارند.

بنابراین، حد یک دنباله محدود، هر عدد واقعی یا مختلط است. به یاد داشته باشید که فقط یک محدودیت می تواند وجود داشته باشد.

حد یک دنباله همگرا یک کمیت بینهایت کوچک (واقعی یا مختلط) است. اگر نمودار دنباله ای را ترسیم کنید، در یک نقطه خاص به نظر می رسد که همگرا می شود، تمایل به تبدیل شدن به مقدار خاصی دارد. از این رو نام - دنباله همگرا.

حد یک دنباله یکنواخت

ممکن است محدودیتی برای چنین توالی وجود داشته باشد یا نباشد. ابتدا، فهمیدن اینکه چه زمانی وجود دارد، می توانید هنگام اثبات عدم وجود محدودیت شروع کنید.

در بین دنباله های یکنواخت، همگرا و واگرا متمایز می شوند. همگرا دنباله ای است که از مجموعه x تشکیل می شود و در این مجموعه حد واقعی یا مختلط دارد. واگرا دنباله ای است که در مجموعه خود محدودیتی ندارد (نه واقعی و نه پیچیده).

علاوه بر این، اگر در یک نمایش هندسی، حد بالایی و پایینی آن همگرا شوند، دنباله همگرا می شود.

حد یک دنباله همگرا در بسیاری از موارد می تواند صفر باشد، زیرا هر دنباله بینهایت کوچک یک حد شناخته شده (صفر) دارد.

هر دنباله همگرا را که بگیرید، همه آنها محدود هستند، اما همه دنباله های کران همگرا نمی شوند.

مجموع، تفاوت، حاصل ضرب دو دنباله همگرا نیز یک دنباله همگرا است. با این حال، ضریب هم می تواند همگرا باشد اگر تعریف شود!

اقدامات مختلف با محدودیت

محدودیت های دنباله به اندازه ارقام و اعداد (در بیشتر موارد) مهم هستند: 1، 2، 15، 24، 362، و غیره. معلوم می شود که برخی از عملیات را می توان با محدودیت انجام داد.

ابتدا، مانند ارقام و اعداد، حدود هر دنباله ای را می توان اضافه و کم کرد. بر اساس قضیه سوم در مورد حدود دنباله ها، تساوی زیر برقرار است: حد مجموع دنباله ها برابر است با مجموع حدود آنها.

ثانیاً، بر اساس قضیه چهارم در مورد حدود دنباله ها، تساوی زیر صادق است: حد حاصل ضرب nامین تعداد دنباله ها برابر است با حاصل ضرب حدود آنها. در مورد تقسیم هم همینطور است: حد نصاب دو دنباله برابر است با نصاب حدود آنها، مشروط بر اینکه حد صفر نباشد. از این گذشته ، اگر حد دنباله ها برابر با صفر باشد ، تقسیم بر صفر حاصل می شود که غیرممکن است.

خواص کمیت های دنباله ای

به نظر می رسد که محدودیت دنباله عددی قبلاً با جزئیات مورد بحث قرار گرفته است ، اما عباراتی مانند اعداد "بی نهایت کوچک" و "بی نهایت بزرگ" بیش از یک بار ذکر شده است. بدیهی است که اگر دنباله ای 1/x وجود داشته باشد، جایی که x→∞ وجود داشته باشد، چنین کسری بی نهایت کوچک است، و اگر همان دنباله باشد، اما حد به صفر (x→0) تمایل دارد، آن کسری به یک مقدار بی نهایت بزرگ تبدیل می شود. و چنین مقادیری ویژگی های خاص خود را دارند. خواص حد یک دنباله با مقادیر کوچک یا بزرگ به شرح زیر است:

1. مجموع هر تعداد از هر تعداد کمیت نیز مقدار کمی خواهد بود.
2. مجموع هر تعداد کمیت بزرگ یک مقدار بی نهایت بزرگ خواهد بود.
3. حاصل ضرب مقادیر کوچک دلخواه بی نهایت کوچک است.
4. حاصل ضرب هر تعداد اعداد بزرگ بی نهایت بزرگ است.
5. اگر دنباله اصلی به یک عدد بی نهایت بزرگ تمایل داشته باشد، معکوس آن بینهایت کوچک و به سمت صفر خواهد بود.

در واقع، اگر یک الگوریتم ساده بلد باشید، محاسبه حد یک دنباله کار دشواری نیست. اما حدود سازگاری موضوعی است که حداکثر توجه و پشتکار را می طلبد. البته کافی است به سادگی به اصل راه حل چنین عباراتی پی ببریم. با شروع کوچک، می توانید در طول زمان به ارتفاعات عالی برسید.

تعریف حدود توالی و تابع، خواص حدود، اول و دوم حدود قابل توجه، مثال.

عدد ثابت الفتماس گرفت محدود کردن دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک ε > 0 عدد N وجود داشته باشد به طوری که همه مقادیر x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n → a.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n، با شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε , a+ε) قرار می گیرد، یعنی. در هر همسایگی ε کوچک نقطه قرار می گیرند الف.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید الف - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از الف. نقطه الفممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود محدود کردن توابع f(x) در x→ a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به الف، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود تعیین حد یک تابع با توجه به هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود محدود کردن توابع f(x) در x → a، اگر یک عدد مثبت دلخواه و دلخواه کوچک ε داده شود، می توان چنین δ > 0 (بسته به ε) را پیدا کرد که برای همه x، در همسایگی ε عدد قرار دارد الف، یعنی برای x، ارضای نابرابری
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ"

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x → a داشته باشد محدود کردن، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) xتا حد شما الف، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر با بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر محدودیتی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

نظر دهید. عبارات شکل 0/0، ∞/∞، ∞-∞ 0*∞ نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو کمیت بینهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع "افشای عدم قطعیت" نامیده می شود.

قضیه 2.

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه،

قضیه 3.

(6.11)

کجا ه» 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) حد قابل توجه اول و حد قابل توجه دوم نامیده می شوند.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، آنگاه x →a + 0 را بنویسید. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به همین ترتیب، اگر x→a و در همان زمان x و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ توابع f(x) در نقطه الف. برای اینکه حدی از تابع f(x) به صورت x← a وجود داشته باشد، لازم و کافی است . تابع f(x) فراخوانی می شود مستمر در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

(6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = xo تابع f(x) دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه xoمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در نقطه پیوسته باشد xoمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد +∞ یا -∞ باشد یا وجود نداشته باشد، می گویند که در نقطه xo تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x به عنوان x → +0 دارای حدی برابر با +∞ است، به این معنی که در نقطه x=0 دارای ناپیوستگی از نوع دوم است. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از x) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مستمر V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف می توان به: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره اشاره کرد.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب شماره همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده بیاوریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 انکار تبدیل به چه می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها 100 × 1.5 = 150 و پس از شش ماه دیگر - 150 × 1.5 = 225 (دانشگاه واحد) رشد خواهد کرد. اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها تبدیل به 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (دن. واحد). ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (دانه واحد)،

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (دانه واحد)،

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1.

با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.راه حل.< ε

باید ثابت کنیم که صرف نظر از اینکه ε > 0 را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n > N نابرابری |x n -1|<ε. Отсюда n>هر ε > 0 را بگیرید. چون x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، پس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.

1/ε و بنابراین، N را می توان قسمت صحیح 1/ε N = E(1/ε) در نظر گرفت. ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .مثال 3.2. .

حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید x nراه حل. بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. به عنوان n ∞ ∞، صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و نمی توانیم مستقیماً قضیه حد ضریب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم ، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2 n، و دوم در

. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:. مثال 3.3

با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4. پیدا کردن ( ).

راه حل. استفاده از قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل ∞-∞ داریم. بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

مثال 3.5. تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = گناه (ص n) = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

Xn عناصر یا اعضای یک دنباله هستند، n عضوی از یک دنباله است. اگر تابع f(n) به صورت تحلیلی، یعنی با فرمول داده شود، آنگاه xn=f(n) فرمول عبارت دنباله نامیده می شود.

عدد a حد دنباله (xn) نامیده می شود اگر برای هر ε>0 عددی n=n(ε) وجود داشته باشد که از آن نابرابری |xn-a |

مثال 2. ثابت کنید که در شرایط مثال 1 عدد a=1 حد دنباله مثال قبلی نیست. راه حل. عبارت رایج دنباله را دوباره ساده کنید. ε=1 را در نظر بگیرید (این هر عددی است >

مشکلات محاسبه مستقیم حد یک دنباله کاملاً یکنواخت است. همه آنها شامل روابط چند جمله ای با توجه به n یا عبارات غیر منطقی با توجه به این چند جمله ای ها هستند. هنگام شروع حل، جزء را در بالاترین درجه خارج از براکت قرار دهید (علامت رادیکال). اجازه دهید این منجر به ظهور یک ضریب a^p برای صورت‌دهنده عبارت اصلی و b^q برای مخرج شود. بدیهی است که تمام عبارت‌های باقی‌مانده شکل C/(n-k) دارند و به صورت n به صفر تمایل دارند.

اولین راه برای محاسبه حد یک دنباله بر اساس تعریف آن است. با این حال، باید به خاطر داشت که راه‌هایی برای جستجوی مستقیم حد ارائه نمی‌کند، بلکه فقط به شما امکان می‌دهد ثابت کنید که هر عدد a یک حد است (یا نیست). ثابت کنید دنباله (xn)=(. (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) حد a=3 دارد. راه حل. اثبات را با اعمال تعریف به صورت معکوس انجام دهید. یعنی از راست به چپ. ابتدا بررسی کنید تا ببینید آیا امکان ساده کردن فرمول xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(( n+2) (n+1)=)=(3n+1)/(n+2) نابرابری |(3n+1)/(n+2)-3|0 را در نظر بگیرید. عدد nε بزرگتر از -2+ 5/ε.

مثال 2. ثابت کنید که در شرایط مثال 1 عدد a=1 حد دنباله مثال قبلی نیست. راه حل. عبارت رایج دنباله را دوباره ساده کنید. ε=1 را در نظر بگیرید (این هر عددی است > 0). تعریف کلی|(3n+1)/(n+2)-1|

مشکلات محاسبه مستقیم حد یک دنباله کاملاً یکنواخت است. همه آنها شامل روابط چند جمله ای با توجه به n یا عبارات غیر منطقی با توجه به این چند جمله ای ها هستند. هنگام شروع حل، جزء را در بالاترین درجه خارج از براکت قرار دهید (علامت رادیکال). اجازه دهید این منجر به ظهور یک ضریب a^p برای صورت‌دهنده عبارت اصلی و b^q برای مخرج شود. بدیهی است که تمام عبارت‌های باقی‌مانده شکل C/(n-k) دارند و به‌عنوان n>k به صفر تمایل دارند (n به بی‌نهایت تمایل دارد). پس از این، پاسخ را یادداشت کنید: 0 if pq.

اجازه دهید یک روش غیر سنتی برای یافتن حد یک دنباله و مجموع نامتناهی را نشان دهیم. ما از دنباله های تابعی استفاده خواهیم کرد (شرایط تابع آنها در بازه ای (a,b) تعریف شده است. مثال 3. مجموع شکل 1+1/2 را پیدا کنید! +1/3! +…+1/n! +…=s .راه حل. هر عدد a^0=1. 1=exp(0) را تنظیم کنید و دنباله تابعی را در نظر بگیرید (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}