مکانیک نسبیتی مکانیک نسبیتی دو میله با طول مساوی به سمت یکدیگر حرکت می کنند

م.: دانشکده تحصیلات تکمیلی، 2001. - 669 ص.
دانلود کنید(لینک مستقیم) : .djvu قبلی 1 .. 260 > .. >> بعدی
راه حل. طول میله در سیستم های مرجع "زمین" و "موشک" برابر است با
1o = ^(x2-x])2 + (y2-Y1)2"
/ = V(^-x,")2 + (v"-y;)2 به ترتیب (rns. 16.3).
از آنجایی که اثر کاهش دینا فقط در جهت ظاهر می شود
حرکات، سپس _________
X," = X، ^ 1 - U2/c2 *2 = X2 V 1 - U2/c2
У1=У(", Ур~Ур بنابراین،
K K
اوه ¦-اوه
U\ -U
اوه اوه"
X X"
برنج. 16.3
من =< (Xj-х,)2(1 -и2/с2) + (y2-yf.
از RNS. 16.3 واضح است که
x1-xi = l0cos a0، y2 ~y1 = /0 sin a0.
سپس
/ = /0 V (1 - u2/c2) cos2 a + sin2 a = /0 V 1 - u2/c2 cos2 a * 0.88 m، a
زاویه مورد نیاز
. . >2-^1. *8 اینچ o
a = arctg ------- = arctg ------- ¦**- y، = arctg
*2~x (*2 - Xj) \ 1 - و /s
2/s2
53.3 درجه
پاسخ: /= /0 V 1 - u2/c2 cos2 a * 0.88 m; a = arctg -y- ^ I y * 53.3°.
^1-uW
16.3. سفینه فضایی که از کنار ناظر عبور می کند دارای سرعت و = است
2.4 108 متر بر ثانیه. با توجه به اندازه گیری های ناظر، طول کشتی برابر / = 90 متر است.
طول کشتی در حالت استراحت چقدر است؟
16.4. طول پایه AB یک مثلث قائم الزاویه a = 5 متر و زاویه آن است
بین این پا و هیپوتنوز - a = 30 درجه. مقدار این زاویه را پیدا کنید،
طول هیپوتنوز و رابطه آن با طول خود در سیستم مرجع،
حرکت در امتداد پایه AB با سرعت و = 2.6-108 متر بر ثانیه.
16.5. چه مدت طول می کشد تا یک ناظر روی زمین و برای فضانوردان؟
سفر فضایی به یک ستاره و بازگشت با موشکی که از آن پرواز می کند
سرعت و = 2.9108 متر بر ثانیه؟ فاصله تا ستاره (برای یک ناظر زمینی)
برابر با 40 سال نوری است.
راه حل. فاصله S که فضاپیما در سیستم پرواز خواهد کرد
مرجع مرتبط با زمین 5= 40 3-108 m/s-365-24-3600 s * 3.8 است
1017 متر بنابراین، طبق ساعت یک ناظر زمینی، پرواز کشتی
دوام خواهد آورد
D/ = -*2.62-10(r) s* 83 سال، و
زمان اندازه گیری شده توسط ساعت روی فضاپیما، در
با توجه به اثر اتساع زمانی
A/0 = A/V 1-i2/s\
16.6. گل صد تومانی برای پرواز قبل از متلاشی شدن باید با چه سرعتی پرواز کند؟
فاصله / = 20 متر؟ میانگین طول عمر گل صد تومانی در حالت استراحت است
AtQ = 26 ns.
16.7. روشن سفینه فضاییقبل از پرواز ساعت‌هایی همگام‌سازی شده‌اند
با زمینی ها با توجه به اندازه گیری های روی زمین، ساعت کشتی چقدر کند خواهد بود؟
ناظر، در طول زمان D/0 = 0.5 سال، اگر سرعت کشتی o = 7.9 باشد.
کیلومتر بر ثانیه
16.8. در قاب مرجع K، دو میله موازی یکسان هستند
طول خود /0 = 1 متر و در جهت طولی به سمت حرکت کنید
یکدیگر با با سرعت مساوی o = 2-10* m/s در این سیستم اندازه گیری می شود
شمارش معکوس طول هر میله در چارچوب مرجع مربوط به چه مقدار است
میله دیگر؟
راه حل. برای یک ناظر ساکن در حین حرکت اجسام کشیده
در سرعت های بالا، ابعاد آنها در جهت حرکت قابل توجه است
در حال کاهش هستند. اجازه دهید سیستم مرجع K" را با یکی از میله ها وصل کنیم و یکی را هدایت کنیم
از محورهای امتداد میله (شکل 16.4). سپس در این سیستم میله 1 خواهد بود
در حالت سکون باشد و طول آن برابر با طول خودش /0 خواهد بود. طول /
میله 2 نسبی-شکل. 16.4 به خصوص سیستم مرجع K"
/=/oVi-i4/^
که در آن iotn سرعت میله 2 نسبت به سیستم K است.
سرعت یون را می توان با استفاده از فرمول اضافه کردن سرعت پیدا کرد
IV + و"
rel~،. 2
1 + l) 0 آنها،/s
از آنجایی که سیستم مرجع K" به یک NS از میله ها متصل است، سپس سرعت u0
حرکت سیستم مرجع K نسبت به قاب K" در قدر خواهد بود
برابر سرعت و میله
1 و در جهت مخالف هدایت می شود. سرعت و *. میله 2،
حرکت نسبت به قاب K، در قاب مرجع K نیز برابر با u است.
اگر محور O"X" در امتداد حرکت میله 1 هدایت شود، پیش بینی سرعت ها
u0 و \>x، در این محور منفی خواهد بود (rns. 16.4). بنابراین سرعت
حرکت میله نسبت به سیستم K برابر خواهد بود
- و - و iotn - ، . 2¦
1 + و i/s
از این رو،
,= / V7Tl^I-i
1 - "پ"
I s4 + 2 u2 s2 + u4 - 4 u2 s2
/2 2Ч2 - "о 2 2 -"0 2 2 * ^ SM"
(c + u) C+U C+U
s2-i2
پاسخ دهید." I = 10 ---x * 38 سانتی متر.
16.9. شتاب دهنده به هسته رادیواکتیو سرعت u = 0.4 s (که در آن c =
3-108 متر بر ثانیه). در لحظه خروج از پدال گاز، هسته در جهت پرتاب شد
از حرکت آن ذره با سرعت o2 = 0.75 ثانیه نسبت به شتاب دهنده.
سرعت ذره نسبت به هسته چقدر است؟
16.10. دو ذره در زوایای قائم با یکدیگر حرکت می کنند
سرعت u = 0.5 s و o2 = 0.75 s (که در آن c = 3108 m/s)، اندازه گیری شده است
نسبی
596
نسبت به همان سیستم مرجع K. نسبی چیست
سرعت ذرات؟
16.11. وقتی جسمی حرکت می کند، ابعاد طولی آن n=2 کاهش می یابد
بارها وزن بدن شما چند بار تغییر کرد؟
راه حل. وقتی یک ذره با سرعت و نسبیتی آن حرکت می کند
جرم m نسبت به جرم باقیمانده m0 به میزان V1 - u2/c2 برابر افزایش می یابد:
t0
""Vi-u2/c2"
مشخص است که با انتقال از یک چارچوب مرجع به چارچوب دیگر، ابعاد بدن
تغییر، در این صورت انقباض لورنتس فقط در جهت رخ می دهد
حرکات اگر در سیستم مرجع مرتبط با بدن، طولی آن است
ابعاد یک مقدار معین /0 دارند، سپس در سیستم مرجع، نسبتاً
که بدن با سرعت u حرکت می کند، V 1 - u2/s2 بار منقبض می شوند:

7. مکانیک نسبیتی

قانون اضافه کردن سرعت:

1 ولت c2

دو سرعته

سیستم های مختصات اینرسی که نسبت به یکدیگر با سرعت V حرکت می کنند.

انقباض طول لورنتس و کاهش سرعت یک ساعت متحرک:

								کجا		طول خود،

زمان مناسب یک ساعت متحرک

جرم نسبیتی و تکانه نسبیتی:

توده استراحت یک ذره

انرژی های کل و جنبشی یک ذره نسبیتی:

				T E E0
					جایی که E 0			انرژی استراحت یک ذره

7.1. حجم آب در اقیانوس V=1.37·109 کیلومتر مکعب است. اگر دمای اقیانوس یک درجه سانتیگراد افزایش یابد، جرم آب در اقیانوس چقدر تغییر می کند؟

7.2. نسبت بار یک الکترون متحرک به جرم آن، از آزمایش q/m=0.88·10 تعیین شد. 11 C/kg جرم نسبیتی الکترون و سرعت آن را تعیین کنید. پاسخ: m=2m0 ; v=0.87c.

7.3. در چارچوب مرجع آزمایشگاهی، یکی از دو یکسان است

ذرات با جرم m0 در حال سکون هستند، دیگری با سرعت v = 0.8c به سمت ذره ساکن حرکت می کند. جرم نسبیتی را تعریف کنید

یک ذره متحرک در چارچوب مرجع آزمایشگاهی و انرژی جنبشی آن. پاسخ: m=1.67 m0 ; E=0.67 m0 s2.

7.4. الکترون با سرعت v=0.6s حرکت می کند. آن را تعریف کنید

تکانه نسبیتی و انرژی جنبشی E. پاسخ:

р=2.05·10-22 kg·m/s; E=0.128 MeV.

7.5. تکانه p یک ذره نسبیتی برابر با m است 0 ثانیه (m0 - جرم استراحت). سرعت ذره v را بر حسب کسری از سرعت نور و

نسبت جرم یک ذره متحرک به جرم سکون آن m/m0. پاسخ: v=0.71s; m/m0 = 1.41.

7.6. انرژی کل ذره α در طول شتاب افزایش یافته است

حرکت ذرات؟

E=56.4 مگا ولت. چقدر و با چه سرعتی حرکت می کند؟

آیا جرم ذره تغییر می کند؟ توده استراحت α-

ذرات m0 = 4 صبح. پاسخ: m=1.5m0 ; v=0.917s.

7.7. فرض کنید می توانیم طول میله را با دقت l = 0.1 میکرومتر اندازه گیری کنیم. با چه سرعت نسبی u از دو قاب مرجع اینرسی می توان کاهش نسبیتی در طول میله ای را که طول آن l 0 = 1 متر است، تشخیص داد؟ وقتی با سرعت محاسبه شده u نسبت به قاب مرجع ثابت حرکت می کند، جرم میله چند بار تغییر می کند؟

پاسخ: u=134 کیلومتر بر ثانیه; m/m0 = 1.114.

7.8. طول عمر مناسب برخی از ذرات ناپایدار

20 ثانیه پاسخ: v = 0.87c; S = 5.2 متر

7.9. μ-مزون که در لایه های بالایی جو زمین متولد می شود، با سرعت V = 0.99 ثانیه نسبت به زمین حرکت می کند و از محل تولد خود تا نقطه فروپاشی به فاصله l = 3 کیلومتر پرواز می کند. طول عمر خود این مزون و مسافتی را که در این سیستم گزارش‌دهنده طی می‌کند، «از دیدگاه آن» تعیین کنید. پاسخ: τ0 = 1.4 µs; l 0 = 420 متر.

7.10. دو میله با طول یکسان l 0 در جهت طولی به سمت یکدیگر به موازات محور مشترک با سرعت یکسان v=0.8s نسبت به سیستم مرجع آزمایشگاهی حرکت می کنند. طول هر میله l در سیستم مرجع مرتبط با میله دیگر چند بار با طول خود متفاوت است؟ پاسخ: l 0 /l = 4.6.

7.11. این فضاپیما-ماهواره دارای ساعتی است که قبل از پرواز با زمین هماهنگ شده است. سرعت ماهواره v=7.9 کیلومتر بر ثانیه. با توجه به اندازه‌گیری‌های یک ناظر روی زمین در یک بازه زمانی 0.5 ساله، ساعت ماهواره چقدر عقب می‌افتد. اگر محاسبه طبق کلاسیک و انجام شود، مقادیر انرژی جنبشی ماهواره چگونه متفاوت است

فرمول های نسبیتی؟ مابقی جرم ماهواره 10 تن است. پاسخ: τ=5.4·10-3 s; متفاوت نیست

7.12. کدام خطای نسبیدر صورتی پذیرفته می شود که محاسبه تکانه یک ذره با سرعت: 1) 10 کیلومتر بر ثانیه، 2) 103 کیلومتر بر ثانیه، 3) 105 کیلومتر بر ثانیه، 4) 0.9 ثانیه انجام شود. در داخل تولید کنید مکانیک کلاسیک?

پاسخ: 1) rrel/rclass =1; 2) rrel /rclass = 1; 3) rrel/rclass = 1.06; 4) rrel /rclass =

7.13. چقدر باید کار کرد تا سرعت ذرات با جرم سکون m0 از 0.6 به 0.8s تغییر کند؟ نتیجه به دست آمده را با مقدار کار محاسبه شده با استفاده از فرمول کلاسیک مقایسه کنید. پاسخ: آرل =0.417m0 c2 ; یک کلاس = 0.14 m0 c2.

7.14. موشک فوتون نسبت به زمین با چنان سرعتی حرکت می کند که به گفته دیده بان یک ناظر روی زمین، گذر زمان در آن 1.25 برابر کاهش می یابد. سرعت موشک چند کسری از سرعت نور است؟ اگر طول اولیه موشک باشد، ابعاد خطی آن در جهت حرکت چقدر تغییر می کند؟

35 متر؟ پاسخ: v=0.6c ; l = 7 متر

7.15. ذره با جرم سکون m 0 در زمان t = 0 تحت تأثیر نیروی ثابت F شروع به حرکت می کند. وابستگی سرعت V ذره را به زمان t پیدا کنید. یک نمودار کیفی از V(t) بسازید.

7.18. انرژی جنبشی پروتون شتاب گرفته افزایش یافت 3·10-10 J. جرم پروتون چند بار تغییر کرد؟ سرعت پروتون چقدر است؟ پاسخ: m/m0 =3; v=2.8∙108 m/s.

7.19. دو ذره نسبیتی در آزمایشگاه حرکت می کنند

سیستم مرجع با سرعت v1 = 0.6s و v2 =0.9s در امتداد یک خط مستقیم. سرعت نسبی آنها را در دو حالت تعیین کنید: 1) ذرات در جهت مخالف حرکت می کنند، 2) ذرات در یک جهت حرکت می کنند. انرژی جنبشی اولین ذره در چارچوب مرجع مرتبط با ذره دوم چقدر است، اگر ذره اول یک پروتون باشد؟

پاسخ: 1) v=0.974s، E1.2 =510 pJ; 2) v=0.195s، E1.2 =300 pJ.

7.20. یک الکترون با چه سرعتی (بر حسب کسری از سرعت نور) باید حرکت کند تا جرم آن 6·10-31 کیلوگرم افزایش یابد؟ الکترون با این سرعت چه انرژی جنبشی دارد؟ پاسخ: v=0.8c ; E = 0.34 MeV.

7.21. انرژی جنبشی یک جسم متحرک 2 برابر انرژی سکون است. اندازه ظاهری چند برابر کاهش می یابد؟

اجسام در جهت حرکت؟ سرعت بدن چقدر است؟ پاسخ: l 0 /l =3; v=0.94c.

7.22. جرم ذره متحرک 1.5 برابر افزایش یافت. سرعت ذره چقدر است؟ اگر انرژی جنبشی یک ذره در این شرایط به روش کلاسیک محاسبه شود چه خطای نسبی خواهد داشت؟ پاسخ: v=0.75ج ; E/Erel = 0.44.

7.23. یک الکترون در میدان الکتریکی با اختلاف پتانسیل U=106 V شتاب می گیرد. سرعت الکترون و انرژی جنبشی آن را با استفاده از روش های زیر محاسبه کنید: 1) مکانیک کلاسیک، 2)

مکانیک نسبیتی داده های به دست آمده را ارزیابی کنید. پاسخ: 1) v=6·108 m/s; E=106 eV. 2) v=0.94c; E=106 eV.

7.24. یک الکترون در یک شتاب دهنده از یک اختلاف شتاب دهنده عبور کرده است

پتانسیل U=102 کیلو ولت. جرم ذره چند برابر شده است؟ انرژی جنبشی آن را محاسبه کنید. پاسخ: m/m0 =1.2; 1.6∙10-14 J.

7.25. در ابتدا انرژی جنبشی یک ذره نسبیتی برابر با انرژی سکون آن بود و سپس با حرکت شتابدار 4 برابر افزایش یافت. تکانه ذره چقدر افزایش می یابد؟ ذره در ابتدا با چه سرعتی (به کسری از سرعت نور) حرکت کرد؟ جواب: ر 2 /р1 = 2.84; v=0.87c.

1.5.1. موجود است مثلث قائم الزاویه، که یک پا دارد الف= 5.00 متر و زاویه بین این پا و هیپوتانوس α = 30 درجه. در سیستم مرجع پیدا کنید ک"حرکت نسبت به این مثلث با سرعت = 0.866· جدر امتداد ساق پا الف:

الف) مقدار مربوط به زاویه α"؛

ب) طول ل"هیپوتنوز و رابطه آن با طول خودش

1.5.2. طول مناسب میله را در صورت وجود پیدا کنید ک-سیستم مرجع سرعت آن = c/2، طول ل= 1.00 متر و زاویه بین آن و جهت حرکت = 45 درجه.

1.5.3. میله با سرعت ثابتی از نقطه ای که در آن ثابت است عبور می کند ک-سیستم مرجع زمان پرواز = 20 ثانیه ک-سیستم در سیستم مرجع مرتبط با میله، علامت به مدت "= 25 ns در طول آن حرکت می کند. طول مناسب میله را پیدا کنید.

1.5.4. دو ذره که در یک چارچوب آزمایشگاهی مرجع در امتداد یک خط مستقیم با سرعت یکسان حرکت می کنند، به یک هدف ثابت با فاصله زمانی = 50 ns برخورد می کنند. قبل از برخورد با هدف، فاصله خود را بین ذرات پیدا کنید.

1.5.5. دو میله با طول یکسان ل 0 به موازات یک محور افقی مشترک به سمت یکدیگر حرکت کنید. در سیستم مرجع مرتبط با یکی از میله ها، فاصله زمانی بین لحظه های همزمانی انتهای چپ و راست میله ها برابر بود. سرعت یک میله نسبت به دیگری چقدر است؟

1.5.6. هسته ABجهت گیری در امتداد محور xK x الف، نقطه عقب ب. طول مناسب میله را در حال حاضر پیدا کنید تیمختصات نقطه ای الفبرابر با x A، و در حال حاضر تیمختصات نقطه B ببرابر با Xب.

1.5.7. هسته ABجهت گیری در امتداد محور xK-سیستم مرجع، با سرعت ثابت در جهت مثبت محور حرکت می کند x. انتهای جلوی میله یک نقطه است الف، نقطه عقب ب. پس از چه مدت زمانی باید مختصات ابتدا و انتهای میله ثبت شود ک-سیستم به طوری که اختلاف مختصات برابر با طول خود میله باشد.

1.5.8. ک"-قاب مرجع در جهت مثبت محور حرکت می کند xK-سیستم های با سرعت Vنسبت به دومی اجازه دهید در لحظه انطباق مبدا مختصات O و O، قرائت ساعت هر دو سیستم در این نقاط برابر با صفر باشد. ک-سیستم، سرعت حرکت نقطه ای که در آن خوانش ساعت هر دو سیستم مرجع همیشه یکسان خواهد بود. مطمئن شوید که.

1.5.9. در دو نقطه ک-رویدادهای سیستم به تفکیک یک دوره زمانی رخ داده است. نشان دهید که اگر این رویدادها به طور علّی در ارتباط هستند ک-سیستم (به عنوان مثال، شلیک و اصابت به هدف)، سپس آنها در هر اینرسی دیگر به صورت علّی مرتبط هستند. ک"-سیستم مرجع

1.5.10. در هواپیما xy K- چارچوب مرجع، ذره ای حرکت می کند که برآمدگی های سرعت آن برابر و . سرعت را پیدا کنید " این ذره در ک-سیستمی که با سرعت حرکت می کند Vنسبتا ک-سیستم در جهت مثبت محور خود x.

1.5.11. دو ذره با سرعت 0.50 به سمت یکدیگر حرکت می کنند ج u = 0.75 جدر رابطه با چارچوب مرجع آزمایشگاهی. پیدا کردن:

الف) سرعتی که با آن فاصله بین ذرات در چارچوب مرجع آزمایشگاهی کاهش می یابد.

ب) سرعت نسبی ذرات.

1.5.12. دو ذره نسبیتی در یک چارچوب آزمایشگاهی مرجع با زاویه قائمه با یکدیگر حرکت می کنند، یکی با سرعت و دیگری با سرعت. سرعت نسبی آنها را پیدا کنید.

1.5.13. ذره به داخل حرکت می کند ک-سیستم با سرعت در زاویه نسبت به محور x. زاویه مربوطه را در پیدا کنید ک"-سیستمی که با سرعت حرکت می کند Vنسبتا ک-سیستم در جهت مثبت محور خود x، اگر محورها xو x"هر دو سیستم یکسان هستند

1.5.14. ک"- سیستم با سرعت ثابت حرکت می کند Vنسبتا ک-سیستم ها شتاب را پیدا کنید یک"ذرات در ک"-سیستم، اگر در ک-در سیستم با سرعت و شتاب حرکت می کند الفدر یک خط مستقیم:

الف) در جهت بردار V;

ب) عمود بر بردار V.

1.5.15. برای افزایش سرعت یک ذره با جرم چقدر کار باید انجام شود متراز 0.60 جتا 0.80 ج? نتیجه به دست آمده را با مقدار محاسبه شده با استفاده از فرمول غیر نسبیتی مقایسه کنید.

1.5.16. سرعت ذره ای را که انرژی جنبشی آن است را بیابید تی= 500 مگا ولت و تکانه ص= 865 مگا ولت/ ج، کجا ج- سرعت نور

1.5.17. ذره جرم متردر امتداد محور حرکت می کند xK- سیستم های مرجع طبق قانون ، کجا د- مقداری ثابت، ج- سرعت نور، تی- زمان نیروی وارد بر ذره را در این چارچوب مرجع پیدا کنید.

1.5.18. نوترون با انرژی جنبشی تی = 2mc 2 کجا متر- جرم آن با نوترون دیگر در حال استراحت برخورد می کند. مرکز جرم آنها را در سیستم پیدا کنید:

الف) انرژی جنبشی کل نوترون ها؛

ب) تکانه هر نوترون.

1.5.19. ذره جرم متردر حال حاضر تی= 0 تحت تأثیر یک نیروی ثابت شروع به حرکت می کند اف. سرعت ذره و مسافتی را که طی می کند بسته به زمان پیدا کنید تی.

1.5.20. یک موشک نسبیتی جریانی از گاز را با سرعتی غیر نسبیتی ساطع می کند تو، نسبت به موشک ثابت است. وابستگی سرعت موشک به جرم آن را پیدا کنید متر، اگر در لحظه اولیه جرم موشک برابر باشد متر 0 .