معادله یک دایره. معادله یک دایره و یک خط معادله یک دایره به مرکز و نقطه

کلاس: 8

هدف درس:معادله دایره را معرفی کنید، به دانش آموزان بیاموزید که با استفاده از یک نقاشی آماده، معادله دایره بسازند و با استفاده از یک معادله داده شده، یک دایره بسازند.

تجهیزات: تخته سفید تعاملی

طرح درس:

1. لحظه سازمانی - 3 دقیقه.
2. تکرار. سازمان فعالیت ذهنی– ۷ دقیقه
3. توضیح مطالب جدید استخراج معادله یک دایره - 10 دقیقه.
4. ادغام مطالب مورد مطالعه - 20 دقیقه.
5. خلاصه درس - 5 دقیقه

پیشرفت درس

2. تکرار:

− (پیوست 1 اسلاید 2فرمول یافتن مختصات وسط یک پاره را بنویسید.

− (اسلاید 3) Zفرمول فاصله بین نقاط (طول پاره) را بنویسید.

3. توضیح مطالب جدید.

(اسلایدهای 4 تا 6)معادله دایره را تعریف کنید. معادلات یک دایره با مرکز در نقطه ( الف;ب) و در مبدا متمرکز شده است.

(X – الف ) 2 + (در – ب ) 2 = آر 2- معادله دایره با مرکز با (الف;ب) , شعاع آر , X و در – مختصات یک نقطه دلخواه روی دایره .

X 2 + y 2 = آر 2- معادله دایره ای که مرکز آن در مبدا است.

(اسلاید 7)

برای ایجاد معادله دایره باید:

• مختصات مرکز را بدانید؛
• طول شعاع را بدانید؛
• مختصات مرکز و طول شعاع را با معادله دایره جایگزین کنید.

4. حل مسئله.

در کارهای شماره 1 – شماره 6 با استفاده از نقشه های آماده معادلات یک دایره بسازید.

(اسلاید 14)

№ 7. جدول را پر کنید.

(اسلاید 15)

№ 8. دایره هایی را در دفترچه یادداشت خود بسازید که با معادلات:

الف) ( X – 5) 2 + (در + 3) 2 = 36;
ب) (X + 1) 2 + (در– 7) 2 = 7 2 .

(اسلاید 16)

№ 9. مختصات مرکز و طول شعاع اگر را پیدا کنید AB- قطر دایره

داده شده:		راه حل:
		آر	مختصات مرکز
1	الف(0 ; -6) در(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	الف(0; -6) در(0 ; 2) با(0 ; – 2) – مرکز
2	الف(-2 ; 0) در(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	الف (-2;0) در (4 ;0) با(1 ; 0) – مرکز

(اسلاید 17)

№ 10. معادله ای برای دایره ای بنویسید که مرکز آن در مبدا و از نقطه عبور می کند به(-12;5).

راه حل.

R 2 = باشه 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

معادله یک دایره: x 2 + y 2 = 169 .

(اسلاید 18)

№ 11. معادله ای برای دایره ای بنویسید که از مبدا و مرکز آن می گذرد با(3; - 1).

راه حل.

R2= سیستم عامل 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

معادله دایره: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(اسلاید 19)

№ 12. برای دایره با مرکز آن معادله بنویسید الف(3; 2)، عبور از در(7;5).

راه حل.

1. مرکز دایره - الف(3;2);
2.آر = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. معادله دایره ( X – 3) 2 + (در − 2) 2 = 25.

(اسلاید 20)

№ 13. بررسی کنید که آیا نقاط دروغ است الف(1; -1), در(0;8), با(-3; -1) روی دایره تعریف شده توسط معادله ( X + 3) 2 + (در − 4) 2 = 25.

راه حل.

من. بیایید مختصات نقطه را جایگزین کنیم الف(1; -1) به معادله یک دایره:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - برابری نادرست است، به این معنی الف(1; -1) دروغ نمی گویدروی دایره ای که با معادله ( X + 3) 2 + (در − 4) 2 = 25.

II. بیایید مختصات نقطه را جایگزین کنیم در(0;8) به معادله یک دایره:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
در(0;8)دروغ می گوید X + 3) 2 + (در − 4) 2 = 25.

III.بیایید مختصات نقطه را جایگزین کنیم با(-3; -1) به معادله یک دایره:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - برابری درست است، به این معنی با(-3; -1) دروغ می گویدروی دایره ای که با معادله ( X + 3) 2 + (در − 4) 2 = 25.

خلاصه درس.

1. تکرار: معادله یک دایره، معادله یک دایره با مرکز آن در مبدا.
2. (اسلاید 21) مشق شب.

موضوع درس: معادله یک دایره

اهداف درس:

آموزشی: معادله دایره را با در نظر گرفتن حل این مسئله به عنوان یکی از احتمالات استفاده از روش مختصات، استخراج کنید.

بتواند:

– معادله دایره را با استفاده از معادله پیشنهادی تشخیص دهید، به دانش آموزان بیاموزید که با استفاده از یک نقاشی آماده، معادله دایره بسازند و با استفاده از یک معادله داده شده، یک دایره بسازند.

آموزشی : شکل گیری تفکر انتقادی.

رشدی : توسعه توانایی ترسیم دستورالعمل های الگوریتمی و توانایی عمل مطابق با الگوریتم پیشنهادی.

بتواند:

– مشکل را ببینید و راه های حل آن را مشخص کنید.

– به طور خلاصه افکار خود را به صورت شفاهی و کتبی بیان کنید.

نوع درس: تسلط بر دانش جدید

تجهیزات : کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش.

طرح درس:

1. سخنان افتتاحیه– 3 دقیقه

2. به روز رسانی دانش - 2 دقیقه.

3. بیان مسئله و راه حل آن - 10 دقیقه.

4. چسباندن جلوی مواد جدید - 7 دقیقه.

5. کار مستقلدر گروه - 15 دقیقه.

6. ارائه کار: بحث – 5 دقیقه.

7. خلاصه درس. تکالیف - 3 دقیقه

پیشرفت درس

هدف از این مرحله: خلق و خوی روانی دانش آموزان؛ مشارکت همه دانش آموزان در فرآیند آموزشی، ایجاد موقعیت موفقیت.

1. لحظه سازمانی

3 دقیقه

بچه ها! شما در کلاس پنجم و هشتم با حلقه آشنا شدید. در مورد او چه می دانید؟

شما چیزهای زیادی می دانید و از این داده ها می توان برای تصمیم گیری استفاده کرد مسائل هندسی. اما برای حل مسائلی که در آنها از روش مختصات استفاده می شود، این کافی نیست.چرا؟

کاملا درسته

بنابراین هدف اصلی درس امروز استخراج معادله دایره با توجه به آن است خواص هندسیخط داده شده و کاربرد آن برای حل مسائل هندسی

و اجازه دهیدشعار درس گفتار البیرونی دایره المعارف آسیای مرکزی خواهد بود: «دانش عالی ترین دارایی است. همه برای آن تلاش می کنند، اما به خودی خود به دست نمی آید.»

موضوع درس را در دفترچه یادداشت کنید.

تعریف دایره

شعاع.

قطر.

آکورد. و غیره

ما هنوز نمی دانیم نمای کلیمعادلات یک دایره

دانش آموزان هر آنچه را که در مورد یک دایره می دانند فهرست می کنند.

اسلاید 2

اسلاید 3

هدف از این مرحله دریافت ایده ای از کیفیت جذب مطالب توسط دانش آموزان و تعیین دانش پایه است.

2. به روز رسانی دانش.

2 دقیقه

هنگام استخراج معادله یک دایره شما قبلا نیاز خواهید داشت تعریف معروفدایره ها و فرمولی که به شما امکان می دهد فاصله بین دو نقطه را با استفاده از مختصات آنها پیدا کنید.بیایید این حقایق را به خاطر بسپاریم /صتکرار مطالب، قبلا مطالعه شده/:

– فرمول پیدا کردن مختصات نقطه میانی یک پاره را بنویسید.

– فرمول محاسبه طول بردار را بنویسید.

– فرمول پیدا کردن فاصله بین نقاط را بنویسید (طول بخش).

تصحیح ورودی ها...

گرم کردن هندسی

امتیاز داده می شودA (-1;7) ودر (7؛ 1).

مختصات نقطه وسط قطعه AB و طول آن را محاسبه کنید.

صحت اجرا را بررسی می کند، محاسبات را تصحیح می کند...

یک دانش آموز پشت تخته سیاه است و بقیه در حال نوشتن فرمول ها در دفترچه هستند.

دایره ای نامیده می شود شکل هندسی، شامل تمام نقاطی است که در یک فاصله معین از یک نقطه معین قرار دارند.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y)، A(x;y)

محاسبه: C (3; 4)

| AB|

با = 10

سرب 4

3. اسلاید 5

شکل گیری دانش جدید.

12 دقیقه

هدف: تشکیل مفهوم - معادله یک دایره.

مشکل را حل کنید:در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز A(x;y) ساخته می شود. M (x; y) - نقطه دلخواه دایره

. شعاع دایره را پیدا کنید.

آیا مختصات هر نقطه دیگری این برابری را برآورده می کند؟ چرا؟بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم.

در نتیجه داریم:

هدف: تشکیل مفهوم - معادله یک دایره.

r² =(x – x)²+(y – y)²-معادله یک دایره، که در آن (x;y) مختصات مرکز دایره است، (x;y) مختصات یک نقطه دلخواه است که قرار دارد. روی دایره، r شعاع دایره است.

معادله دایره ای که مرکز آن در مبدا باشد چگونه خواهد بود؟

بنابراین، برای ترسیم معادله یک دایره چه چیزی باید بدانید؟

الگوریتمی برای تشکیل معادله دایره پیشنهاد کنید.

نتیجه گیری: ... آن را در دفترچه یادداشت کنید.

شعاع قطعه ای است که مرکز دایره را با یک نقطه دلخواه که روی دایره قرار دارد متصل می کند. بنابراین r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

هر نقطه از یک دایره روی این دایره قرار دارد.

دانش آموزان در دفتر یادداشت برداری می کنند.

(0;0) - مختصات مرکز دایره.

x²+y²=r²، که r شعاع دایره است.

مختصات مرکز دایره، شعاع، هر نقطه از دایره...

آنها یک الگوریتم پیشنهاد می کنند ...

الگوریتم را در یک دفترچه یادداشت کنید.

اسلاید 6

اسلاید 7

اسلاید 8

معلم برابری را روی تخته ثبت می کند.

4. اسلاید 9

ادغام اولیه

23 دقیقههدف:. بازتولید مطالبی که به تازگی آموخته اند توسط دانش آموزان برای جلوگیری از از بین رفتن ایده ها و مفاهیم شکل گرفتهتلفیق دانش، ایده ها، مفاهیم جدید بر اساس آنها

برنامه های کاربردی

کنترل خورشید

بیایید دانش به دست آمده را برای حل مشکلات زیر به کار ببریم. وظیفه:

از معادلات پیشنهادی، اعداد آنهایی را که معادلات یک دایره هستند نام ببرید. و اگر معادله معادله یک دایره است، مختصات مرکز را نام ببرید و شعاع را نشان دهید.

هر معادله درجه دوم با دو متغیر یک دایره را تعریف نمی کند.4x²+y²=4-

معادله بیضیx²+y²=0-

نقطهاین معادله هیچ رقمی را تعریف نمی کند.

بچه ها! برای نوشتن معادله دایره چه چیزهایی باید بدانید؟

مشکل را حل کنید شماره 966 ص 245 (کتاب درسی).

معلم دانش آموز را به تخته می خواند.

آیا داده های داده شده در بیان مسئله برای ایجاد معادله یک دایره کافی است؟

بیایید دانش به دست آمده را برای حل مشکلات زیر به کار ببریم.

معادله دایره ای که مرکز آن در مبدا و قطر آن 8 است را بنویسید.

وظیفه : یک دایره بکشید.

آیا مرکز مختصاتی دارد؟

شعاع را تعیین کنید و بسازید

مشکل در صفحه 243 (کتاب درسی) به صورت شفاهی تحلیل می شود.

با استفاده از طرح حل مسئله از صفحه 243، مشکل را حل کنید:

اگر دایره از نقطه B (7;5) بگذرد، معادله ای برای دایره با مرکز در نقطه A(3;2) بنویسید.

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - معادله دایره (5;3)،r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - معادله یک دایره (1;0)،r=7.

3) x²+y²=7 - معادله یک دایره (0;0)،r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - معادله یک دایره. (-3;8)،r=√2.

5) 4x²+y²=4 معادله یک دایره نیست.

6) x²+y²=0- معادله دایره نیست.

7) x²+y²=-4- معادله دایره نیست.

مختصات مرکز دایره را بدانید.

طول شعاع.

مختصات مرکز و طول شعاع را با معادله کلی یک دایره جایگزین کنید.

حل مسئله شماره 966 ص 245 (کتاب درسی).

داده های کافی وجود دارد.

مشکل را حل می کنند.

از آنجایی که قطر یک دایره دو برابر شعاع آن است، پس r=8÷2=4. بنابراین x²+y²=16.

دایره ها بسازید

طبق کتاب درسی کار کنید. مشکل در صفحه 243.

داده شده: A(3;2) مرکز دایره است. В(7;5)є(А;r)

پیدا کنید: معادله یک دایره

راه حل: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB، r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² = 25

(x –3)²+(y –2)²=25

پاسخ: (x ​​–3)²+(y –2)²=25

اسلاید 10-13

حل مسائل معمولی، تلفظ راه حل در گفتار بلند.

معلم یک دانش آموز را فرا می خواند تا معادله حاصل را بنویسد.

به اسلاید 9 برگردید

بحث در مورد طرحی برای حل این مشکل.

اسلاید. 15. معلم یک دانش آموز را برای حل این مشکل به تخته می خواند.

اسلاید 16.

اسلاید 17.

5. خلاصه درس.

5 دقیقه

انعکاس فعالیت های درس.

تکلیف: بند 3، بند 91، سوالات تستی №16,17.

مسائل شماره 959(ب، د، د)، 967.

کار ارزیابی اضافی (وظیفه مشکل): یک دایره بسازید، توسط معادله داده شده است

x²+2x+y²-4y=4.

سر کلاس در مورد چی صحبت کردیم؟

چی میخواستی بدست بیاری؟

هدف از درس چه بود؟

"کشف" ما به ما اجازه حل چه مشکلاتی می دهد؟

چند نفر از شما فکر می کنید که به هدف تعیین شده توسط معلم در درس 100٪، 50٪ رسیده اید. به هدف نرسید...؟

درجه بندی.

تکالیف را یادداشت کنید.

دانش آموزان به سؤالات معلم پاسخ می دهند. خود تحلیلی از فعالیت های خود انجام دهند.

دانش آموزان باید نتیجه و روش های دستیابی به آن را با کلمات بیان کنند.

معادله یک خط در یک هواپیما

اجازه دهید ابتدا مفهوم معادله یک خط در یک سیستم مختصات دو بعدی را معرفی کنیم. اجازه دهید یک خط دلخواه $L$ در سیستم مختصات دکارتی ساخته شود (شکل 1).

شکل 1. خط دلخواه در سیستم مختصات

تعریف 1

معادله ای با دو متغیر $x$ و $y$ معادله خط $L$ نامیده می شود اگر این معادله با مختصات هر نقطه متعلق به خط $L$ برآورده شود و با هیچ نقطه غیر متعلق به خط $L برآورده نشود. $

معادله یک دایره

اجازه دهید معادله یک دایره را در سیستم مختصات دکارتی $xOy$ استخراج کنیم. بگذارید مرکز دایره $C$ دارای مختصات $(x_0,y_0)$ باشد و شعاع دایره برابر با $r$ باشد. بگذارید نقطه $M$ با مختصات $(x,y)$ یک نقطه دلخواه از این دایره باشد (شکل 2).

شکل 2. دایره در سیستم مختصات دکارتی

فاصله مرکز دایره تا نقطه $M$ به صورت زیر محاسبه می شود

اما، از آنجایی که $M$ روی دایره قرار دارد، $CM=r$ دریافت می کنیم. سپس موارد زیر را بدست می آوریم

معادله (1) معادله یک دایره با مرکز در نقطه $(x_0,y_0)$ و شعاع $r$ است.

به ویژه، اگر مرکز دایره با مبدا منطبق باشد. آن معادله یک دایره شکل دارد

معادله یک خط مستقیم.

اجازه دهید معادله خط مستقیم $l$ را در سیستم مختصات دکارتی $xOy$ استخراج کنیم. بگذارید نقاط $A$ و $B$ به ترتیب دارای مختصات $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ و $\(x_2,\ y_2\)$ باشند و نقاط $A$ و $B$ هستند طوری انتخاب می شود که خط $l$ عمود بر بخش $AB$ باشد. اجازه دهید یک نقطه دلخواه $M=\(x,y\)$ متعلق به خط مستقیم $l$ را انتخاب کنیم (شکل 3).

از آنجایی که خط $l$ عمود بر بخش $AB$ است، پس نقطه $M$ از انتهای این بخش به یک اندازه فاصله دارد، یعنی $AM=BM$.

بیایید طول این اضلاع را با استفاده از فرمول فاصله بین نقاط پیدا کنیم:

از این رو

اجازه دهید با $a=2\left(x_1-x_2\right)،\ b=2\left(y_1-y_2\right)،\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) نشان دهیم. ^2 -(y_1)^2$، متوجه می‌شویم که معادله یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات دکارتی به شکل زیر است:

مثالی از مسئله یافتن معادلات خطوط در سیستم مختصات دکارتی

مثال 1

معادله دایره با مرکز در نقطه $(2,\ 4)$ را پیدا کنید. عبور از مبدا مختصات و یک خط مستقیم موازی با محور $Ox,$ که از مرکز آن می گذرد.

راه حل.

اجازه دهید ابتدا معادله این دایره را پیدا کنیم. برای این کار از معادله کلی یک دایره (مشتق شده در بالا) استفاده می کنیم. از آنجایی که مرکز دایره در نقطه $(2,\ 4)$ قرار دارد، دریافت می کنیم

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

بیایید شعاع دایره را به عنوان فاصله از نقطه $(2,\ 4)$ تا نقطه $(0,0)$ پیدا کنیم.

می بینیم که معادله یک دایره به شکل زیر است:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

اجازه دهید اکنون معادله یک دایره را با استفاده از حالت خاص 1 پیدا کنیم

محیطمجموعه ای از نقاط در صفحه است که از یک نقطه معین به نام مرکز فاصله دارند.

اگر نقطه C مرکز دایره باشد، R شعاع آن است و M یک نقطه دلخواه روی دایره است، با تعریف دایره

برابری (1) است معادله یک دایرهشعاع R با مرکز در نقطه C.

اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل (شکل 104) و نقطه C( الف ب) مرکز دایره ای به شعاع R است. بگذارید M( X; در) نقطه دلخواه این دایره است.

از آنجایی که |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \)، سپس معادله (1) را می توان به صورت زیر نوشت:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - ب) 2 = R 2 (2)

معادله (2) نامیده می شود معادله کلیدایرهیا معادله دایره ای به شعاع R با مرکز در نقطه ( الف ب). مثلا معادله

(x - ل) 2 + ( y + 3) 2 = 25

معادله دایره ای با شعاع R = 5 با مرکز در نقطه (1؛ -3) است.

اگر مرکز دایره با مبدأ مختصات منطبق باشد، معادله (2) شکل می گیرد

x 2 + در 2 = R 2 . (3)

معادله (3) نامیده می شود معادله متعارف یک دایره .

وظیفه 1.معادله دایره ای به شعاع R=7 با مرکز آن در مبدا بنویسید.

با جایگزینی مستقیم مقدار شعاع به معادله (3) به دست می آوریم

x 2 + در 2 = 49.

وظیفه 2.معادله دایره ای به شعاع R = 9 با مرکز در نقطه C(3; -6) بنویسید.

با جایگزینی مقدار مختصات نقطه C و مقدار شعاع به فرمول (2)، به دست می آوریم

(X - 3) 2 + (در- (-6)) 2 = 81 یا ( X - 3) 2 + (در + 6) 2 = 81.

وظیفه 3.مرکز و شعاع دایره را پیدا کنید

(X + 3) 2 + (در-5) 2 =100.

مقایسه کردن معادله داده شدهبا معادله کلی دایره (2) می بینیم که الف = -3, ب= 5، R = 10. بنابراین، C(-3؛ 5)، R = 10.

وظیفه 4.ثابت کنید که معادله

x 2 + در 2 + 4X - 2y - 4 = 0

معادله یک دایره است. مرکز و شعاع آن را بیابید.

بیایید سمت چپ این معادله را تبدیل کنیم:

x 2 + 4X + 4- 4 + در 2 - 2در +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (در - 1) 2 = 9.

این معادله معادله یک دایره با مرکز (-2; 1) است. شعاع دایره 3 است.

وظیفه 5.معادله دایره ای را با مرکز در نقطه C(-1; -1) مماس بر خط AB بنویسید، اگر A (2; -1)، B(- 1; 3).

بیایید معادله خط AB را بنویسیم:

یا 4 X + 3y-5 = 0.

از آنجایی که دایره یک خط معین را لمس می کند، شعاع رسم شده به نقطه تماس عمود بر این خط است. برای پیدا کردن شعاع، باید فاصله از نقطه C(-1; -1) - مرکز دایره تا خط مستقیم 4 را پیدا کنید. X + 3y-5 = 0:

معادله دایره مورد نظر را بنویسیم

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

بگذارید یک دایره در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شود x 2 + در 2 = R 2 . نقطه دلخواه آن M( X; در) (شکل 105).

بردار شعاع را بگذارید OM> نقطه M یک زاویه قدر را تشکیل می دهد تیبا جهت مثبت محور O X، سپس ابسیسا و مختص نقطه M بسته به تغییر می کند تی

(0 تی x و y از طریق تی، پیدا می کنیم

x= Rcos تی ; y= ر گناه تی , 0 تی

معادلات (4) نامیده می شوند معادلات پارامتریکدایره با مرکز در مبدا.

وظیفه 6.دایره با معادلات به دست می آید

x= \(\sqrt(3)\)cos تی, y= \(\sqrt(3)\)sin تی, 0 تی

معادله متعارف این دایره را بنویسید.

از شرط ناشی می شود x 2 = 3 co 2 تی, در 2 = 3 گناه 2 تی. با اضافه کردن این برابری ها به صورت ترم، دریافت می کنیم

x 2 + در 2 = 3 (co 2 تی+ گناه 2 تی)

یا x 2 + در 2 = 3