ریشه تعریف عدد چیست؟ جذر حسابی (پایه هشتم). توانمندی

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشه، و با این همه چه می توان کرد.

فرمول های ریشه ها، خواص ریشه ها و قوانین کار با ریشه ها- این در اصل همان چیز است. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در این مقاله به معرفی خواهیم پرداخت مفهوم ریشه یک عدد. ما به ترتیب ادامه خواهیم داد: با ریشه دوم شروع می کنیم، از آنجا به توصیف ریشه مکعب می رویم، پس از آن مفهوم ریشه را تعمیم می دهیم و ریشه n را تعریف می کنیم. ضمناً به معرفی تعاریف، نمادها، مثال هایی از ریشه ها و توضیحات و نظرات لازم می پردازیم.

جذر، جذر حسابی

برای درک تعریف ریشه یک عدد، و به طور خاص جذر، باید . در این مرحله اغلب با توان دوم یک عدد – مربع یک عدد – مواجه می شویم.

بیایید با شروع کنیم تعاریف ریشه مربع.

تعریف

ریشه مربع aعددی است که مربع آن برابر با a است.

رهبری کردن نمونه هایی از ریشه های مربعاعدادی مانند 5، −0.3، 0.3، 0 را بگیرید و آنها را مربع کنید، به ترتیب اعداد 25، 0.09، 0.09 و 0 را دریافت می کنیم (5 2 =5·5=25، (-0.3) 2 =(-0.3)·(-0.3)=0.09، (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 و 0 2 =0·0=0). سپس با تعریفی که در بالا داده شد، عدد 5 جذر عدد 25، اعداد 0.3- و 0.3 ریشه های مربع 0.09 و 0 جذر صفر است.

لازم به ذکر است که برای هیچ عدد a وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. یعنی برای هر عدد منفی a هیچ عدد حقیقی b وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. در واقع، تساوی a=b 2 برای هر منفی a غیرممکن است، زیرا b 2 یک عدد غیرمنفی برای هر b است. بنابراین، بر روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی وجود ندارد. به عبارت دیگر، روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریف نشده و معنی ندارد.

این منجر به یک سؤال منطقی می شود: "آیا برای هر a غیر منفی یک جذر a وجود دارد؟" پاسخ مثبت است. این واقعیت را می توان با روش سازنده ای که برای یافتن مقدار جذر استفاده می شود توجیه کرد.

سپس سؤال منطقی بعدی مطرح می شود: "تعداد تمام ریشه های مربع یک عدد غیر منفی a - یک، دو، سه یا حتی بیشتر" چقدر است؟ پاسخ این است: اگر a صفر باشد، تنها جذر صفر صفر است. اگر a عددی مثبت باشد، تعداد ریشه‌های مربع عدد a دو است و ریشه‌ها . بیایید این را توجیه کنیم.

بیایید با حالت a=0 شروع کنیم. ابتدا، اجازه دهید نشان دهیم که صفر در واقع جذر صفر است. این از برابری آشکار 0 2 = 0·0=0 و تعریف ریشه دوم به دست می آید.

حالا بیایید ثابت کنیم که 0 تنها جذر صفر است. از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید مقداری غیرصفر b وجود دارد که جذر صفر است. سپس شرط b 2 = 0 باید برآورده شود، که غیرممکن است، زیرا برای هر b غیر صفر مقدار عبارت b 2 مثبت است. ما به یک تناقض رسیده ایم. این ثابت می کند که 0 تنها جذر صفر است.

بیایید به مواردی برویم که a یک عدد مثبت است. در بالا گفتیم که همیشه یک جذر از هر عدد غیر منفی وجود دارد، اجازه دهید جذر a عدد b باشد. فرض کنید یک عدد c وجود دارد که آن هم جذر a است. سپس، با تعریف یک جذر، تساوی b 2 =a و c 2 =a درست است، که از آن نتیجه می شود که b 2 −c 2 =a−a=0، اما چون b 2 −c 2 =( b−c)·(b+c)، سپس (b−c)·(b+c)=0. برابری حاصل معتبر است ویژگی های عملیات با اعداد واقعیتنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b+c=0 باشد. بنابراین، اعداد b و c برابر یا مخالف هستند.

اگر فرض کنیم که یک عدد d وجود داشته باشد که جذر دیگری از عدد a است، با استدلالی مشابه آنچه قبلا داده شد، ثابت می شود که d برابر با عدد b یا عدد c است. بنابراین، تعداد ریشه های مربع یک عدد مثبت دو است و ریشه های مربع اعداد متضاد هستند.

برای راحتی کار با ریشه های مربع، ریشه منفی از مثبت "جدا می شود". برای این منظور معرفی شده است تعریف جذر حسابی.

تعریف

جذر حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

نماد جذر حسابی a است. علامت را علامت جذر حسابی می نامند. به آن علامت رادیکال نیز می گویند. بنابراین، گاهی اوقات می توانید هم "ریشه" و هم "رادیکال" را بشنوید که به معنای یک شی است.

عدد زیر علامت جذر حسابی نامیده می شود عدد رادیکال، و عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال، در حالی که اصطلاح "عدد رادیکال" اغلب با "بیان رادیکال" جایگزین می شود. به عنوان مثال، در نماد، عدد 151 یک عدد رادیکال است، و در نماد عبارت a یک عبارت رادیکال است.

هنگام خواندن، اغلب کلمه "حساب" حذف می شود، برای مثال، مدخل به عنوان "ریشه دوم هفت نقطه بیست و نه" خوانده می شود. کلمه "حساب" فقط زمانی استفاده می شود که آنها بخواهند تأکید کنند که ما به طور خاص در مورد جذر مثبت یک عدد صحبت می کنیم.

با توجه به نماد معرفی شده، از تعریف یک جذر حسابی چنین بر می آید که برای هر عدد غیر منفی a .

جذر یک عدد مثبت a با استفاده از علامت جذر حسابی به صورت و نوشته می شود. برای مثال، جذرهای 13 عبارتند از و. جذر حسابی صفر صفر است یعنی . برای اعداد منفی a، تا زمانی که مطالعه نکنیم، معنی را به نماد متصل نمی کنیم اعداد مختلط. به عنوان مثال، عبارات و بی معنی هستند.

بر اساس تعریف جذر، خواص ریشه های مربع ثابت می شود که اغلب در عمل استفاده می شود.

در پایان این پاراگراف، متذکر می شویم که ریشه های مربع عدد a نسبت به متغیر x جواب هایی به شکل x 2 =a هستند.

ریشه مکعب یک عدد

تعریف ریشه مکعبیعدد a به طور مشابه به تعریف جذر داده می شود. فقط بر اساس مفهوم مکعب یک عدد است نه مربع.

تعریف

ریشه مکعبی aعددی است که مکعب آن برابر با a است.

بدهیم نمونه هایی از ریشه های مکعبی. برای انجام این کار، چندین عدد را بگیرید، به عنوان مثال، 7، 0، −2/3، و آنها را مکعب کنید: 7 3 =7·7·7=343، 0 3 =0·0·0=0، . سپس بر اساس تعریف ریشه مکعب می توان گفت که عدد 7 ریشه مکعبی 343، 0 ریشه مکعبی صفر و 2/3 ریشه مکعبی 27/8- است.

می توان نشان داد که ریشه مکعب یک عدد، برخلاف جذر، نه تنها برای غیر منفی a، بلکه برای هر عدد حقیقی a نیز همیشه وجود دارد. برای این کار می توانید از همان روشی که در مطالعه ریشه های مربع نام بردیم استفاده کنید.

علاوه بر این، تنها یک ریشه مکعبی از یک عدد معین a وجود دارد. اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. برای این کار سه حالت را جداگانه در نظر بگیرید: a یک عدد مثبت، a=0 و a یک عدد منفی است.

به راحتی می توان نشان داد که اگر a مثبت باشد، ریشه مکعب a می تواند نه عدد منفی باشد و نه صفر. در واقع، اجازه دهید b ریشه مکعب a باشد، سپس با تعریف می توانیم برابری b 3 =a را بنویسیم. واضح است که این برابری نمی تواند برای منفی b و b=0 صادق باشد، زیرا در این موارد b 3 =b·b·b به ترتیب یک عدد منفی یا صفر خواهد بود. بنابراین ریشه مکعب یک عدد مثبت a یک عدد مثبت است.

حال فرض کنید علاوه بر عدد b، ریشه مکعب دیگری از عدد a وجود داشته باشد، بیایید آن را به c نشان دهیم. سپس c 3 =a. بنابراین، b 3 −c 3 =a−a=0، اما b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(این فرمول ضرب اختصاری است تفاوت مکعب هااز آنجا (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. برابری حاصل تنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b 2 +b·c+c 2 =0 باشد. از تساوی اول b=c داریم و تساوی دوم هیچ جوابی ندارد، زیرا سمت چپ آن یک عدد مثبت برای هر عدد مثبت b و c به عنوان مجموع سه جمله مثبت b 2، b·c و c 2 است. این منحصر به فرد بودن ریشه مکعب یک عدد مثبت a را ثابت می کند.

وقتی a=0 باشد، ریشه مکعب عدد a فقط عدد صفر است. در واقع، اگر فرض کنیم که یک عدد b وجود دارد، که یک ریشه مکعبی غیر صفر صفر است، باید برابری b 3 = 0 برقرار باشد، که تنها زمانی ممکن است که b=0 باشد.

برای a منفی، آرگومان هایی مشابه مورد مثبت a را می توان ارائه داد. ابتدا نشان می دهیم که ریشه مکعب یک عدد منفی نمی تواند برابر با عدد مثبت یا صفر باشد. ثانیاً، فرض می کنیم که یک ریشه مکعب دوم از یک عدد منفی وجود دارد و نشان می دهیم که لزوماً با عدد اول منطبق خواهد شد.

بنابراین، همیشه یک ریشه مکعبی از هر عدد واقعی a، و یک عدد منحصر به فرد وجود دارد.

بدهیم تعریف ریشه مکعب حسابی.

تعریف

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مکعب آن برابر با a است.

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی a را به صورت نشان می دهند، علامت را علامت ریشه مکعب حسابی می نامند، عدد 3 در این نماد نامیده می شود. شاخص ریشه. عدد زیر علامت ریشه است عدد رادیکال، عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال.

اگرچه ریشه مکعب حسابی فقط برای اعداد غیر منفی a تعریف می شود، اما استفاده از نمادهایی که در آن اعداد منفی زیر علامت ریشه مکعب حسابی یافت می شوند نیز راحت است. ما آنها را به صورت زیر درک خواهیم کرد: ، که در آن a یک عدد مثبت است. به عنوان مثال، .

در مقاله کلی خواص ریشه در مورد خواص ریشه مکعبی صحبت خواهیم کرد.

محاسبه مقدار ریشه مکعب استخراج ریشه مکعب نامیده می شود.

برای جمع‌بندی این نکته، فرض می‌کنیم که ریشه مکعب عدد a حلی به شکل x 3 =a است.

ریشه n ام، ریشه حسابی درجه n

اجازه دهید مفهوم ریشه یک عدد را تعمیم دهیم - معرفی می کنیم تعریف ریشه n امبرای n.

تعریف

ریشه n ام aعددی است که توان n آن برابر با a است.

از این تعریف مشخص می شود که ریشه درجه اول عدد a خود عدد a است، زیرا هنگام مطالعه درجه با توان طبیعی 1 =a را در نظر گرفتیم.

در بالا به موارد خاصی از ریشه n برای n=2 و n=3 نگاه کردیم - ریشه مربع و ریشه مکعب. یعنی ریشه مربع یک ریشه درجه دوم و یک ریشه مکعب ریشه درجه سوم است. برای مطالعه ریشه های درجه n برای n=4، 5، 6، ...، راحت است که آنها را به دو گروه تقسیم کنیم: گروه اول - ریشه های درجات زوج (یعنی برای n = 4، 6، 8 ، ...)، گروه دوم - ریشه درجات فرد (یعنی با n=5، 7، 9، ...). این به این دلیل است که ریشه های توان های زوج شبیه به ریشه های مربع و ریشه های توان های فرد شبیه به ریشه های مکعب هستند. بیایید یک به یک با آنها برخورد کنیم.

بیایید با ریشه هایی شروع کنیم که توان آنها اعداد زوج 4، 6، 8، ... هستند همانطور که قبلاً گفتیم شبیه جذر عدد a هستند. یعنی ریشه هر درجه زوج از عدد a فقط برای غیر منفی a وجود دارد. علاوه بر این، اگر a=0 باشد، ریشه a یکتا و برابر با صفر است و اگر a>0 باشد، آنگاه دو ریشه از درجه زوج عدد a وجود دارد که اعداد متضاد هستند.

اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. فرض کنید b یک ریشه زوج باشد (آن را 2·m نشان می دهیم، جایی که m مقداری طبیعی است) عدد a. فرض کنید که یک عدد c وجود دارد - یک ریشه دیگر درجه 2·m از عدد a. سپس b 2·m −c 2·m =a−a=0 . اما شکل b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) را می دانیم. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)، سپس (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. از این تساوی نتیجه می شود که b−c=0 یا b+c=0 یا b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. دو برابر اول به این معنی است که اعداد b و c مساوی هستند یا b و c مقابل یکدیگر. و آخرین برابری فقط برای b=c=0 معتبر است، زیرا در سمت چپ آن عبارتی وجود دارد که برای هر b و c به عنوان مجموع اعداد غیر منفی غیر منفی است.

در مورد ریشه های درجه n برای n فرد، آنها شبیه به ریشه مکعب هستند. یعنی ریشه هر درجه فرد از عدد a برای هر عدد واقعی a وجود دارد و برای عدد معین a منحصر به فرد است.

یکتایی یک ریشه با درجه فرد 2·m+1 عدد a با قیاس با اثبات یکتایی ریشه مکعب a ثابت می شود. فقط اینجا به جای برابری a 3-b 3 =(a-b)·(a 2 +a·b+c 2)برابری از شکل b 2 m+1 -c 2 m+1 = استفاده می شود (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m). عبارت در براکت آخر را می توان به صورت بازنویسی کرد b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). مثلا با m=2 داریم b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 · c+b 2 · c 2 +b·c 3 + c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). وقتی a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی هستند، حاصل ضرب آنها یک عدد مثبت است، پس عبارت b 2 +c 2 +b·c در بالاترین پرانتز تو در تو به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت است. اکنون، با حرکت متوالی به عبارات داخل پرانتز درجات قبلی تودرتو، متقاعد می شویم که آنها نیز به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت هستند. در نتیجه، برابری b 2 m+1 -c 2 m+1 = را بدست می آوریم (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m)=0تنها زمانی ممکن است که b−c=0 باشد، یعنی زمانی که عدد b برابر با عدد c باشد.

زمان آن رسیده است که نشانه گذاری ریشه های nام را درک کنید. برای این منظور داده شده است تعریف ریشه حسابی درجه n.

تعریف

ریشه حسابی درجه n یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که توان n آن برابر با a است.

ریشه حسابی درجه n یک عدد غیر منفی a به صورت . عدد a را عدد رادیکال می نامند و عدد n توان ریشه است. به عنوان مثال، ورودی را در نظر بگیرید، در اینجا عدد رادیکال 125.36 و توان ریشه 5 است.

توجه داشته باشید که وقتی n=2 با جذر یک عدد سر و کار داریم، در این حالت مرسوم است که توان ریشه را یادداشت نکنید، یعنی ورودی ها به معنای یک عدد هستند.

علیرغم این واقعیت که تعریف ریشه حسابی درجه n و همچنین تعیین آن برای اعداد رادیکال غیر منفی معرفی شده است، برای راحتی کار، برای نماهای فرد ریشه و اعداد رادیکال منفی از نمادها استفاده می کنیم. از شکلی که به صورت . به عنوان مثال، و .

ما هیچ معنایی به ریشه های درجات زوج با رادیکال های منفی نمی دهیم (قبل از شروع مطالعه اعداد مختلط). مثلاً عبارات معنی ندارند.

بر اساس تعریف ارائه شده در بالا، خواص ریشه های n که کاربردهای عملی گسترده ای دارند، اثبات شده است.

در خاتمه، شایان ذکر است که ریشه های درجه n، ریشه معادلات به شکل x n =a هستند.

نتایج عملا مهم است

اولین نتیجه عملا مهم است: .

این نتیجه اساساً منعکس کننده تعریف یک ریشه زوج است. علامت ⇔ به معنای هم ارزی است. یعنی ورودی بالا را باید به صورت زیر فهمید: if , then , and if , then . و اکنون همان چیزی است، اما در کلمات: اگر b ریشه یک درجه زوج 2·k از عدد a باشد، آنگاه b یک عدد غیرمنفی است که برابری b 2·k =a را برآورده می کند، و بالعکس، اگر b یک عدد غیر منفی است که برابری b 2·k =a را برآورده می کند، سپس b یک ریشه زوج 2·k از عدد a است.

از تساوی اول سیستم مشخص می شود که عدد a غیر منفی است، زیرا برابر است با عدد غیر منفی b که به توان زوج 2·k افزایش یافته است.

بنابراین، در مدرسه آنها ریشه قدرت های زوج را فقط از اعداد غیر منفی در نظر می گیرند و آنها را به عنوان درک می کنند ، و به ریشه های توان های زوج اعداد منفی هیچ معنایی داده نمی شود.

دومین نتیجه عملی مهم: .

اساساً تعریف ریشه فرد را با تعریف ریشه فرد از یک عدد منفی ترکیب می کند. بیایید این را توضیح دهیم.

از تعاریفی که در پاراگراف های قبل ارائه شد، مشخص است که آنها به ریشه قدرت های فرد هر اعداد حقیقی، نه تنها غیر منفی، بلکه منفی نیز معنی می دهند. برای اعداد غیر منفی b در نظر گرفته می شود که . آخرین سیستم مستلزم شرط a≥0 است. برای اعداد منفی −a (که a یک عدد مثبت است) بگیرید . واضح است که با این تعریف عددی منفی است، زیرا برابر است و عددی مثبت است. همچنین واضح است که با بالا بردن ریشه به توان 2 k+1، رادیکاند –a می دهد. در واقع، با در نظر گرفتن این تعریف و ویژگی های قدرت ها، داریم

از این نتیجه می‌گیریم که ریشه یک درجه فرد 2 k+1 از یک عدد منفی -a یک عدد منفی b است که درجه 2 k+1 برابر با -a است، به شکل واقعی. . ترکیب نتایج برای a≥0 و برای –a<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

بنابراین، آنها در مدرسه ریشه های قدرت های فرد هر اعداد واقعی را در نظر می گیرند و آنها را به صورت زیر می فهمند: .

در خاتمه، اجازه دهید یک بار دیگر دو نتیجه را که برای ما جالب است، بنویسیم: و .

شوهر. ریشه، گردن، ریشه · تخریب می کند. ریشه تحقیرآمیز، ریشه بزرگ کننده، قسمت زیرزمینی هر گیاه. در درختان ریشه های اولیه و جانبی و همراه با آنها ریشه و لوب های کوچک وجود دارد. جذب رطوبت ریشه می تواند: پیازی، ...... فرهنگ توضیحی دال

ROOT، rn، جمع. rni، rni، شوهر. 1. قسمت زیرزمینی گیاه که به تقویت آن در خاک و جذب آب و مواد غذایی از آن کمک می کند. ریشه های اصلی، جانبی و جانبی (در لیانا و برخی دیگر از گیاهان بالای سطح زمین... فرهنگ توضیحی اوژگوف

- (رادیکس)، یکی از اندام های رویشی اصلی گیاهان برگدار، برای اتصال به بستر، جذب آب و تغذیه از آن. مواد از نظر فیلوژنتیکی، K. دیرتر از ساقه به وجود آمد و احتمالاً از ریشه مانند... ... فرهنگ لغت دایره المعارف زیستی

رجوع به آغاز، دلیل، مبدأ، ریشه کن، ریشه کن... فرهنگ مترادف روسی و عبارات مشابه. زیر ویرایش N. Abramova، M.: روسی دیکشنری ها، 1999. ریشه، آغاز، علت، منشاء. رادیکال ستون فقرات، هسته مرکزی، ...... فرهنگ لغت مترادف ها

ریشه- ROOT, rnya, m 1. دوست، رفیق. 2. اندام تناسلی مرد یک مرد کوچک به ریشه ریشه می رسد. 1. ممکن است آلودگی به کمک... فرهنگ لغت آرگوت روسی

در ریاضیات..1) ریشه درجه n یک عدد هر عدد x است (که با a نشان داده می شود عبارت رادیکال نامیده می شود) که درجه n آن برابر با a () است. عمل یافتن ریشه را استخراج ریشه می گویند2)] ریشه معادله عددی است که بعد از... ...

ریشه اولیه در بسیاری از مخروط‌ها برای زندگی باقی می‌ماند و به شکل یک ریشه قوی رشد می‌کند که ریشه‌های جانبی از آن بیرون می‌آیند. کمتر رایج است، مانند برخی از کاج ها، ریشه اولیه توسعه نیافته است و با ریشه های جانبی جایگزین می شود. علاوه بر طولانی ها...... دایره المعارف زیستی

- (ریاضی)، 1) ریشه درجه n عدد a عددی که درجه n آن برابر با عدد معین a است (نشان داده می شود؛ a را عبارت رادیکال می گویند). عمل یافتن ریشه را استخراج ریشه می نامند. 2) حل معادله ... ... دایره المعارف مدرن

در زیست شناسی، یکی از اندام های اصلی گیاهان است که برای تقویت خاک، جذب آب، مواد معدنی، سنتز ترکیبات آلی و همچنین انتشار برخی محصولات متابولیک عمل می کند. ریشه می تواند مکانی برای ذخیره یدکی باشد... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

در زبان‌شناسی، یک ریشه کلمه غیر مشتق (ساده) است که شامل هیچ پسوندی نمی‌شود. ریشه هسته واژگانی یک کلمه است، یعنی حامل معنای واقعی اصلی آن است... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

کتاب ها

• The Root of All Evil، ویلیامز آر. دونالد بیلی یک نوجوان سخت نیست، بلکه یک نوجوان ناراضی است. او که مرتکب عملی جبران ناپذیر شده بود، اعتماد دوستان، عشق مادر و آرامش خود را از دست داد. چه چیزی برای او باقی می ماند؟ فرار کن از...
• ریشه مشکل، هنری آر. برانت. نویسنده این کتاب یک حقیقت بسیار ساده از کتاب مقدس را برای رهایی از انواع اختلالات روانی ارائه می دهد: آگاهی از گناه به عنوان عامل اصلی همه مشکلات و توبه برای گناهان انجام شده. در…

دوباره به تابلو نگاه کردم... و بیا بریم!

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم:

فقط یک دقیقه این یعنی ما می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

متوجه شدید؟ این مورد بعدی برای شما است:

آیا ریشه اعداد به دست آمده دقیقاً استخراج نشده اند؟ مشکلی نیست - در اینجا چند نمونه وجود دارد:

اگر دو ضریب وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد چه؟ همینطور! فرمول ضرب ریشه با هر تعدادی از عوامل کار می کند:

حالا کاملا به تنهایی:

پاسخ ها:آفرین! موافقم، همه چیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که جدول ضرب را بدانید!

تقسیم ریشه

ما ضرب ریشه ها را مرتب کردیم، حالا بیایید به ویژگی تقسیم برویم.

به شما یادآوری می کنم که فرمول کلی به این صورت است:

به این معنی که ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.

خوب، بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

این همه علم است. در اینجا یک مثال است:

همه چیز مانند مثال اول صاف نیست، اما، همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

اگر با این عبارت برخورد کردید چه می شود:

شما فقط باید فرمول را در جهت مخالف اعمال کنید:

و این یک مثال است:

ممکن است به این عبارت نیز برخورد کنید:

همه چیز یکسان است، فقط در اینجا باید نحوه ترجمه کسرها را به خاطر بسپارید (اگر یادتان نیست، به موضوع نگاه کنید و برگردید!). یادت هست؟ حالا بیایید تصمیم بگیریم!

من مطمئن هستم که شما با همه چیز کنار آمدید، اکنون بیایید سعی کنیم ریشه ها را به درجه ارتقا دهیم.

توانمندی

چه اتفاقی می افتد اگر جذر جذر آن مجذور شود؟ ساده است، معنی جذر یک عدد را به خاطر بسپارید - این عددی است که ریشه دوم آن برابر است.

بنابراین، اگر عددی را که جذر آن مساوی است، مربع کنیم، چه چیزی به دست می آید؟

خب البته!

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

ساده است، درست است؟ اگر ریشه در درجه دیگری باشد چه؟ اشکالی ندارد!

همین منطق را دنبال کنید و خواص و اعمال ممکن را با درجه به خاطر بسپارید.

تئوری را در مورد موضوع "" بخوانید و همه چیز برای شما بسیار روشن خواهد شد.

به عنوان مثال، در اینجا یک عبارت است:

در این مثال، درجه زوج است، اما اگر فرد باشد چه؟ مجدداً ویژگی های قدرت ها را اعمال کنید و همه چیز را فاکتور بگیرید:

همه چیز با این به نظر واضح است، اما چگونه می توان ریشه یک عدد را به توان استخراج کرد؟ به عنوان مثال، در اینجا این است:

خیلی ساده، درست است؟ اگر مدرک بیش از دو باشد چه؟ ما با استفاده از ویژگی های درجه از همان منطق پیروی می کنیم:

خوب، همه چیز روشن است؟ سپس خودتان مثال ها را حل کنید:

و در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

وارد شدن زیر علامت ریشه

چه کارهایی را که یاد نگرفتیم با ریشه ها انجام دهیم! تنها چیزی که باقی می ماند تمرین وارد کردن عدد زیر علامت ریشه است!

واقعا آسان است!

فرض کنید یک عدد نوشته شده است

با آن چه کنیم؟ خوب، البته، این سه را زیر ریشه پنهان کنید، به یاد داشته باشید که سه جذر آن است!

چرا ما به این نیاز داریم؟ بله، فقط برای گسترش توانایی‌هایمان هنگام حل مثال‌ها:

این خاصیت ریشه را چگونه دوست دارید؟ آیا زندگی را بسیار آسان تر می کند؟ برای من دقیقا همینطوره! فقط باید به خاطر داشته باشیم که فقط می توانیم اعداد مثبت را زیر علامت جذر وارد کنیم.

این مثال را خودتان حل کنید -
موفق شدی؟ بیایید ببینیم چه چیزی باید دریافت کنید:

آفرین! شما موفق شدید شماره را زیر علامت ریشه وارد کنید! بیایید به چیزی به همان اندازه مهم برویم - بیایید نحوه مقایسه اعداد حاوی یک جذر را بررسی کنیم!

مقایسه ریشه ها

چرا باید یاد بگیریم اعدادی را که دارای جذر هستند مقایسه کنیم؟

خیلی ساده اغلب، در عبارات بزرگ و طولانی که در امتحان با آنها مواجه می شویم، پاسخ غیرمنطقی دریافت می کنیم (یادتان باشد این چیست؟ امروز قبلاً در مورد آن صحبت کردیم!)

باید پاسخ های دریافت شده را مثلاً روی خط مختصات قرار دهیم تا مشخص کنیم کدام بازه برای حل معادله مناسب است. و اینجا مشکل پیش می آید: هیچ ماشین حسابی در امتحان وجود ندارد و بدون آن چگونه می توانید تصور کنید کدام عدد بزرگتر و کدام کمتر است؟ همین!

برای مثال مشخص کنید کدام بزرگتر است: یا؟

شما نمی توانید بلافاصله بگویید. خوب، بیایید از خاصیت disassembled استفاده کنیم که یک عدد را زیر علامت ریشه وارد کنیم؟

سپس ادامه دهید:

خب، بدیهی است که هر چه عدد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است!

آن ها اگر، پس، .

از این به طور قاطع نتیجه می گیریم که. و هیچ کس ما را در غیر این صورت متقاعد نمی کند!

استخراج ریشه از اعداد زیاد

قبل از این یک ضریب زیر علامت ریشه وارد کردیم، اما چگونه آن را حذف کنیم؟ شما فقط باید آن را در فاکتورها قرار دهید و آنچه را استخراج می کنید استخراج کنید!

می شد مسیر متفاوتی را در پیش گرفت و به عوامل دیگر گسترش داد:

بد نیست، درست است؟ هر یک از این رویکردها صحیح است، هر طور که می خواهید تصمیم بگیرید.

فاکتورسازی هنگام حل مسائل غیر استاندارد مانند زیر بسیار مفید است:

نترسیم، بلکه عمل کن! بیایید هر عامل زیر ریشه را به عوامل جداگانه تجزیه کنیم:

حالا خودتان آن را امتحان کنید (بدون ماشین حساب! در امتحان نخواهد بود):

آیا این پایان است؟ در نیمه راه توقف نکنیم!

این همه چیز است، آنقدرها هم ترسناک نیست، درست است؟

کار کرد؟ آفرین، درست است!

حالا این مثال را امتحان کنید:

اما مثال، یک مهره سخت برای شکستن است، بنابراین شما نمی توانید فوراً بفهمید که چگونه به آن نزدیک شوید. اما، البته، ما می توانیم آن را مدیریت کنیم.

خب، فاکتورینگ را شروع کنیم؟ بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانید یک عدد را بر تقسیم کنید (علائم تقسیم پذیری را به خاطر بسپارید):

حالا خودتان آن را امتحان کنید (دوباره بدون ماشین حساب!):

خوب کار کرد؟ آفرین، درست است!

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. جذر (ریشه دوم حسابی) یک عدد غیر منفی عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر است.
   .
2. اگر به سادگی جذر چیزی را بگیریم، همیشه یک نتیجه غیر منفی می گیریم.
3. خواص یک ریشه حسابی:
4. هنگام مقایسه ریشه های مربع، لازم است به یاد داشته باشید که هر چه تعداد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است.

جذرش چطوره؟ همه چیز روشن است؟

ما سعی کردیم بدون سر و صدا هر آنچه را که در امتحان باید در مورد جذر بدانید برای شما توضیح دهیم.

حالا نوبت شماست. برای ما بنویسید که آیا این موضوع برای شما سخت است یا خیر.

آیا چیز جدیدی یاد گرفتید یا همه چیز از قبل روشن بود؟

در نظرات بنویسید و در امتحانات خود موفق باشید!