اقدامات با نظریه درجات. اقدامات با تک اسم ها. درجه با توان غیرمنطقی

قبلاً در مورد قدرت یک عدد صحبت کردیم. او دارد خواص خاصمفید در حل مسائل: ما در این مقاله به تجزیه و تحلیل آنها و همه توانای ممکن می پردازیم. ما همچنین با مثال هایی به وضوح نشان خواهیم داد که چگونه می توان آنها را در عمل اثبات کرد و به درستی به کار برد.

بیایید مفهوم قبلی فرمول بندی شده درجه با توان طبیعی را به یاد بیاوریم: این حاصل ضرب nامین تعداد عوامل است که هر کدام برابر با a است. همچنین باید به یاد داشته باشیم که چگونه اعداد واقعی را به درستی ضرب کنیم. همه اینها به ما کمک می کند تا ویژگی های زیر را برای یک درجه با توان طبیعی فرمول بندی کنیم:

تعریف 1

1. ویژگی اصلی درجه: a m · a n = a m + n

قابل تعمیم به: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. خاصیت ضریب درجه هایی که پایه های یکسان دارند: a m: a n = a m − n

3. ویژگی توان محصول: (a · b) n = a n · b n

برابری را می توان به موارد زیر گسترش داد: (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. خاصیت ضریب درجه طبیعی: (a: b) n = a n: b n

5. توان را به توان افزایش دهید: (a m) n = a m n ,

قابل تعمیم به: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. درجه را با صفر مقایسه کنید:

• اگر a > 0 باشد، برای هر عدد طبیعی n، a n بزرگتر از صفر خواهد بود.
• با مساوی 0، a n نیز برابر با صفر خواهد بود.
• در یک< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• در یک< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. برابری a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. نابرابری a m > a n درست خواهد بود مشروط بر اینکه m و n اعداد طبیعی باشند، m بزرگتر از n و a بزرگتر از صفر و کمتر از یک نباشد.

در نتیجه چندین برابری بدست آوردیم. اگر تمام شرایط ذکر شده در بالا برآورده شود، آنها یکسان خواهند بود. برای هر یک از تساوی ها، به عنوان مثال، برای ویژگی اصلی، می توانید سمت راست و چپ را عوض کنید: a m · a n = a m + n - همان m + n = a m · a n. در این شکل اغلب برای ساده کردن عبارات استفاده می شود.

1. بیایید با ویژگی اصلی درجه شروع کنیم: برابری a m · a n = a m + n برای هر m و n طبیعی و a واقعی صادق خواهد بود. چگونه این گفته را ثابت کنیم؟

تعریف اساسی قدرت ها با شارح های طبیعی به ما این امکان را می دهد که برابری را به محصولی از عوامل تبدیل کنیم. رکوردی به این شکل بدست خواهیم آورد:

این را می توان به کوتاه کرد (ویژگی های اساسی ضرب را به خاطر بسپارید). در نتیجه توان عدد a را با توان طبیعی m + n بدست آوردیم. بنابراین، m + n، که به معنی خاصیت اصلی درجه ثابت شده است.

بیایید آن را مرتب کنیم مثال ملموس، تایید این موضوع است.

مثال 1

پس با پایه 2 دو توان داریم. شاخص های طبیعی آنها به ترتیب 2 و 3 است. ما تساوی داریم: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 بیایید مقادیر را محاسبه کنیم تا اعتبار این برابری را بررسی کنیم.

ما اقدامات لازم را انجام خواهیم داد عملیات ریاضی: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

در نتیجه به دست آوردیم: 2 2 · 2 3 = 2 5. ملک ثابت شده است.

با توجه به خواص ضرب، می توان با فرمول بندی آن به صورت سه و، آن را تعمیم داد بیشترقدرت هایی که توان آنها اعداد طبیعی و پایه های آنها یکسان است. اگر تعداد اعداد طبیعی n 1، n 2 و غیره را با حرف k نشان دهیم، به دست می آید. برابری واقعی:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

مثال 2

2. در مرحله بعد، باید ویژگی زیر را ثابت کنیم که به آن خاصیت ضریب می گویند و ذاتی توان های با پایه های یکسان است: این برابری a m است: a n = a m − n که برای هر m و n طبیعی (و m) معتبر است. بزرگتر از n)) و هر غیر صفر واقعی a است.

برای شروع، اجازه دهید روشن کنیم که دقیقاً معنای شرایطی که در فرمول ذکر شده است چیست. اگر یک برابر با صفر بگیریم، در نهایت با تقسیم بر صفر می‌شویم که نمی‌توانیم انجام دهیم (در نهایت، 0 n = 0). شرط اینکه عدد m باید بزرگتر از n باشد لازم است تا بتوانیم در محدوده توانای طبیعی باقی بمانیم: با کم کردن n از m به دست می‌آید. عدد طبیعی. اگر شرط برآورده نشود، به عدد منفی یا صفر می رسیم و باز هم از مطالعه درجات با توان طبیعی فراتر می رویم.

اکنون می توانیم به سراغ اثبات برویم. با توجه به آنچه قبلاً مطالعه کردیم، اجازه دهید خصوصیات اساسی کسرها را یادآور شویم و تساوی را به صورت زیر فرموله کنیم:

a m - n · a n = a (m - n) + n = a m

از آن می توان نتیجه گرفت: a m − n · a n = a m

بیایید ارتباط بین تقسیم و ضرب را به یاد بیاوریم. از آن نتیجه می شود که a m − n ضریب توان های a m و a n است. این اثبات خاصیت دوم درجه است.

مثال 3

برای وضوح، بیایید اعداد خاصی را جایگزین توان ها کنیم و پایه درجه را به صورت π نشان دهیم: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. سپس ویژگی توان یک محصول را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: (a · b) n = a n · b n برای هر a و b واقعی و n طبیعی.

با توجه به تعریف اولیه یک توان با توان طبیعی، می‌توانیم برابری را به صورت زیر تنظیم کنیم:

با یادآوری خواص ضرب، می نویسیم: . این به معنای همان n · b n است.

مثال 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

اگر سه عامل یا بیشتر داشته باشیم، این خاصیت در این مورد نیز صدق می کند. بگذارید علامت k را برای تعداد فاکتورها معرفی کنیم و بنویسیم:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

مثال 5

با اعداد خاص برابری صحیح زیر را بدست می آوریم: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. پس از این، سعی می کنیم خاصیت ضریب را ثابت کنیم: (a: b) n = a n: b n برای هر a و b واقعی، اگر b برابر 0 نباشد و n یک عدد طبیعی است.

برای اثبات این موضوع می توانید از خاصیت قبلی درجه ها استفاده کنید. اگر (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n ، و (a: b) n · b n = a n ، پس نتیجه می شود که (a: b) n ضریب تقسیم a n است. توسط b n.

مثال 6

بیایید یک مثال را محاسبه کنیم: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

مثال 7

بیایید بلافاصله با یک مثال شروع کنیم: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

حال بیایید زنجیره ای از برابری ها را فرموله کنیم که به ما ثابت کند که برابری درست است:

اگر در مثال درجاتی از درجات داشته باشیم، این خاصیت برای آنها نیز صادق است. اگر هر عدد طبیعی p، q، r، s داشته باشیم، درست خواهد بود:

a p q y s = a p q y s

مثال 8

بیایید برخی مشخصات را اضافه کنیم: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. یکی دیگر از ویژگی های قدرت ها با توان طبیعی که باید آن را ثابت کنیم، خاصیت مقایسه است.

ابتدا درجه را با صفر مقایسه می کنیم. چرا a n > 0 است، مشروط بر اینکه a بزرگتر از 0 باشد؟

اگر یک عدد مثبت را در دیگری ضرب کنیم یک عدد مثبت نیز بدست می آید. با دانستن این واقعیت می توان گفت که به تعداد عوامل بستگی ندارد - نتیجه ضرب هر تعداد اعداد مثبت یک عدد مثبت است. اگر حاصل ضرب اعداد نباشد درجه چیست؟ سپس برای هر توان a n با پایه مثبت و توان طبیعی این درست خواهد بود.

مثال 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 و 34 9 13 51 > 0

همچنین بدیهی است که توانی با پایه برابر با صفر خود صفر است. مهم نیست که صفر را به چه قدرتی برسانیم، صفر خواهد ماند.

مثال 10

0 3 = 0 و 0 762 = 0

اگر پایه درجه یک عدد منفی باشد، پس اثبات کمی پیچیده‌تر است، زیرا مفهوم توان زوج/فرد اهمیت می‌یابد. اجازه دهید ابتدا حالتی را که توان زوج است در نظر بگیریم و آن را 2 · m نشان دهیم، جایی که m یک عدد طبیعی است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه به درستی ضرب کنیم اعداد منفی: حاصل ضرب a · a برابر حاصلضرب مدول است و بنابراین عددی مثبت خواهد بود. سپس و درجه a 2 m نیز مثبت هستند.

مثال 11

برای مثال، (− 6) 4 > 0، (− 2، 2) 12 > 0 و - 2 9 6 > 0

اگر توان با پایه منفی یک عدد فرد باشد چه؟ بیایید آن را 2 · m − 1 نشان دهیم.

سپس

همه حاصل ضرب a · a با توجه به خواص ضرب مثبت هستند و حاصلضرب آنها نیز مثبت است. اما اگر آن را در تنها عدد باقیمانده a ضرب کنیم، نتیجه نهایی منفی خواهد بود.

سپس دریافت می کنیم: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

چگونه این را ثابت کنیم؟

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

مثال 12

به عنوان مثال، نابرابری های زیر درست است: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. فقط باید آخرین خاصیت را ثابت کنیم: اگر دو توان داشته باشیم که پایه‌های آن‌ها یکسان و مثبت باشد و توان‌ها اعداد طبیعی باشند، آن که توان آن کوچک‌تر است بزرگ‌تر است. و از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، توانی که توان آن بزرگتر است بزرگتر است.

بگذارید این گفته ها را ثابت کنیم.

ابتدا باید مطمئن شویم که یک m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

بیایید یک n را از پرانتز خارج کنیم، پس از آن تفاوت ما به شکل a n · (a m - n - 1) خواهد بود. نتیجه آن منفی خواهد بود (زیرا حاصل ضرب یک عدد مثبت در عدد منفی منفی است). از این گذشته، با توجه به شرایط اولیه، m - n > 0، سپس a m - n - 1 منفی است و اولین عامل مثبت است، مانند هر توان طبیعی با پایه مثبت.

معلوم شد که a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

باقی مانده است که قسمت دوم عبارت فرموله شده در بالا را ثابت کنیم: a m > a برای m > n و a > 1 صادق است. اجازه دهید تفاوت را نشان دهیم و یک n خارج از پرانتز قرار دهیم: (a m − n − 1 قدرت a n برای بزرگتر از یک نتیجه مثبت می دهد). و خود تفاوت نیز به دلیل شرایط اولیه مثبت خواهد بود و برای a > 1 درجه a m − n بزرگتر از یک است. معلوم می شود که a m − a n > 0 و a m > a n، چیزی است که ما نیاز به اثبات آن داشتیم.

مثال 13

مثال با اعداد خاص: 3 7 > 3 2

ویژگی های پایه درجات با توان های عدد صحیح

برای توان هایی با توان های اعداد صحیح مثبت، خواص مشابه خواهند بود، زیرا اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، به این معنی که تمام برابری های اثبات شده در بالا برای آنها نیز صادق است. آنها همچنین برای مواردی مناسب هستند که توان ها منفی یا برابر با صفر باشند (به شرطی که پایه خود درجه غیر صفر باشد).

بنابراین، خواص توان ها برای هر پایه a و b (به شرطی که این اعداد واقعی باشند و برابر 0 نباشند) و هر توان m و n (به شرط اینکه اعداد صحیح باشند) یکسان است. اجازه دهید آنها را به طور خلاصه در قالب فرمول بنویسیم:

تعریف 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n تابع عدد صحیح مثبت n، مثبت a و b، a< b

ساعت 7 صبح< a n , при условии целых m и n , m >n و 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

اگر پایه درجه برابر با صفر باشد، ورودی های a m و a n فقط در مورد m و n طبیعی و مثبت معنا پیدا می کنند. در نتیجه، متوجه می‌شویم که فرمول‌های فوق برای مواردی با توان با پایه صفر نیز مناسب هستند، در صورتی که سایر شرایط رعایت شوند.

اثبات این خواص در این مورد ساده است. ما باید به یاد داشته باشیم که درجه با توان طبیعی و عدد صحیح چیست و همچنین ویژگی‌های عملیات با اعداد واقعی را به خاطر بسپاریم.

بیایید به ویژگی قدرت به توان نگاه کنیم و ثابت کنیم که برای هر دو اعداد صحیح مثبت و غیر مثبت صادق است. بیایید با اثبات برابری های (a p) q = a p q، (a − p) q = a (− p) q، (a p) − q = a p (− q) و (a − p) − q = a (−) شروع کنیم. p) · (− q)

شرایط: p = 0 یا عدد طبیعی. q – مشابه

اگر مقادیر p و q بزرگتر از 0 باشد، آنگاه (a p) q = a p · q به دست می آید. ما قبلاً یک برابری مشابه را ثابت کرده ایم. اگر p = 0، آنگاه:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

بنابراین، (a 0) q = a 0 q

برای q = 0 همه چیز دقیقاً یکسان است:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

نتیجه: (a p) 0 = a p · 0 .

اگر هر دو شاخص صفر باشند، آنگاه (a 0) 0 = 1 0 = 1 و a 0 · 0 = a 0 = 1، که به معنای (a 0) 0 = a 0 · 0 است.

بیایید خاصیت ضرایب را تا درجه ای که در بالا ثابت شد به یاد بیاوریم و بنویسیم:

1 a p q = 1 q a p q

اگر 1 p = 1 1 … 1 = 1 و a p q = a p q، آنگاه 1 q a p q = 1 a p q

ما می‌توانیم این نماد را بر اساس قوانین اساسی ضرب به a (-p) · q تبدیل کنیم.

همچنین: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

و (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

با تبدیل نابرابری های موجود می توان خواص باقی مانده درجه را به روشی مشابه اثبات کرد. ما به تفصیل به این موضوع نمی پردازیم و فقط به نکات دشوار اشاره می کنیم.

اثبات ویژگی ماقبل آخر: به یاد بیاورید که a − n > b − n برای هر عدد صحیح منفی n و هر مثبت a و b درست است، مشروط بر اینکه a کمتر از b باشد.

سپس نابرابری را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

1 a n > 1 b n

بیایید سمت راست و چپ را به عنوان تفاوت بنویسیم و تبدیل های لازم را انجام دهیم:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

به یاد بیاورید که در شرایط a کوچکتر از b است، پس طبق تعریف یک درجه با توان طبیعی: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n به یک عدد مثبت ختم می شود زیرا عوامل آن مثبت هستند. در نتیجه، ما کسری b n - a n a n · b n را داریم که در نهایت یک نتیجه مثبت نیز می دهد. از این رو 1 a n > 1 b n از این رو a − n > b − n است، این همان چیزی است که برای اثبات آن نیاز داشتیم.

آخرین ویژگی توان های دارای توان های اعداد صحیح به طور مشابه با ویژگی توان های دارای توان های طبیعی ثابت می شود.

ویژگی های اساسی توان ها با توان های گویا

در مقالات قبلی به این موضوع پرداختیم که درجه با توان گویا (کسری) چیست. خواص آنها مانند درجه هایی با توان اعداد صحیح است. بیایید بنویسیم:

تعریف 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 برای > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، آنگاه برای ≥ 0 (ویژگی محصول درجه با همان پایه ها).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2، اگر a > 0 (ویژگی ضریب).

3. a · b m n = a m n · b m n برای > 0 و b > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، آنگاه برای ≥ 0 و (یا) b ≥ 0 (ویژگی محصول در درجه کسری).

4. a: b m n = a m n: b m n برای a > 0 و b > 0، و اگر m n > 0، آنگاه برای a ≥ 0 و b > 0 (ویژگی یک ضریب به توان کسری).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 برای > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، آنگاه برای ≥ 0 (ویژگی درجه در درجه).

6.a ص< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; اگر ص< 0 - a p >b p (ویژگی مقایسه درجات با مساوی شاخص های منطقی).

7.a ص< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q در 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q

برای اثبات این مفاد، باید به خاطر داشته باشیم که توان با توان کسری چیست، ریشه حسابی n چه ویژگی هایی دارد. - درجهو خواص درجات با نماهای عدد صحیح چیست؟ بیایید به هر ملک نگاه کنیم.

با توجه به اینکه درجه ای با توان کسری چیست، به دست می آوریم:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 و a m 2 n 2 = a m 2 n 2، بنابراین، a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

ویژگی های ریشه به ما امکان می دهد تا برابری ها را استخراج کنیم:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

از این نتیجه می گیریم: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

بیایید تبدیل کنیم:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

توان را می توان به صورت زیر نوشت:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

این اثبات است. خاصیت دوم دقیقاً به همین صورت ثابت می شود. بیایید زنجیره ای از برابری ها را بنویسیم:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

شواهد برابری های باقی مانده:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

ویژگی بعدی: اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر مقدار a و b بزرگتر از 0، اگر a کوچکتر از b باشد، a p برآورده می شود.< b p , а для p больше 0 - a p >ب ص

بیایید عدد گویا p را m n نشان دهیم. در این مورد، m یک عدد صحیح است، n یک عدد طبیعی است. سپس شرایط p< 0 и p >0 به m گسترش می یابد< 0 и m >0 . برای m > 0 و a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

ما از ویژگی ریشه و خروجی استفاده می کنیم: a m n< b m n

با در نظر گرفتن مقادیر مثبت a و b، نابرابری را به صورت m n بازنویسی می کنیم.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

به همین ترتیب برای m< 0 имеем a a m >b m، m n > b m n به دست می آید که به معنی m n > b m n و a p > b p است.

باقی می ماند که مدرکی بر آخرین ملک ارائه کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p > q در 0 باشد< a < 1 a p < a q , а при a >0 a p > a q درست خواهد بود.

اعداد گویا p و q را می توان به یک مخرج مشترک تقلیل داد و کسرهای m 1 n و m 2 n را بدست آورد.

در اینجا m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. اگر p > q، پس m 1 > m 2 (با در نظر گرفتن قانون مقایسه کسرها). سپس در 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - نابرابری a 1 m > a 2 m.

آنها را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n

سپس می توانید تغییراتی ایجاد کنید و به این موارد ختم کنید:

m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n

به طور خلاصه: برای p > q و 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

ویژگی های پایه درجه ها با توان های غیر منطقی

می‌توان تمام ویژگی‌هایی که در بالا توضیح داده شد را تا حدی گسترش داد که یک درجه با توان‌های گویا دارد. این همان تعریف آن است که در یکی از مقالات قبلی ارائه کردیم. اجازه دهید به طور خلاصه این ویژگی ها را فرمول بندی کنیم (شرایط: a > 0، b > 0، توان p و q اعداد غیر منطقی هستند):

تعریف 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (الف: ب) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a ص< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >ب ص

7.a ص< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0، سپس a p > a q.

بنابراین، تمام توان هایی که توان آنها p و q اعداد واقعی هستند، به شرط 0>، ویژگی های یکسانی دارند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام قدرت ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب کنیم؟

در جبر، در دو حالت می توانید حاصل ضرب قوا را بیابید:

1) اگر درجات دارای پایه های یکسان باشند.

2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه باید یکسان باقی بماند و توان ها باید اضافه شوند:

هنگام ضرب توان با همین شاخص هاشاخص کلی را می توان از پرانتز خارج کرد:

بیایید نحوه ضرب توان ها را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم.

واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب توان ها، آنها را در نظر می گیرند:

هنگام ضرب، هر تعداد توان می تواند وجود داشته باشد. لازم به یادآوری است که علامت ضرب لازم نیست قبل از حرف نوشته شود:

در عبارات، قدرت اول انجام می شود.

اگر نیاز دارید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن ضرب را انجام دهید:

www.algebraclass.ru

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

تفریققدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با مقداردرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

به همین دلیل، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با همان مبنایشاخص های آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.

2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 = 1، دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

خواص مدرک

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان های گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک مدرک با شاخص طبیعی چندین دارد خواص مهم، که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با قدرت ساده کنید.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت درجات نیز برای محصول سهو درجات بیشتر

بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط در مورد ضرب توان با پایه های یکسان صحبت می کنیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

محاسبه کنید.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت

هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

(a n · b n) = (a · b) n

یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.

مثال. محاسبه کنید.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. محاسبه کنید.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

در بیشتر نمونه های پیچیدهممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

نمونه ای از افزایش اعشار به توان.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

خواص 5
توان یک ضریب (کسری)

برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

(a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b ≠ 0، n - هر عدد طبیعی.

مثال. عبارت را به عنوان ضریب توان ارائه کنید.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

قدرت ها و ریشه ها

عملیات با قدرت و ریشه. مدرک با منفی ,

صفر و کسری نشانگر در مورد عباراتی که معنی ندارند.

عملیات با درجه.

1. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها اضافه می شود:

یک متر · a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کسر می شوند .

3. درجه حاصلضرب دو یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل.

4. درجه یک نسبت (کسره) برابر است با نسبت درجات تقسیم کننده (حساب) و مقسوم علیه (مخرج):

(الف/ب) n = a n / b n .

5. هنگام افزایش توان به توان، توان آنها ضرب می شود:

تمامی فرمول های فوق در هر دو جهت از چپ به راست و بالعکس خوانده و اجرا می شوند.

مثال (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

عملیات با ریشه در تمام فرمول های زیر علامت به معنی است ریشه حسابی (بیان رادیکال مثبت است).

1. ریشه محصول چند عامل برابر با محصولریشه های این عوامل:

2. ریشه نگرش برابر با نسبتریشه های تقسیم و تقسیم کننده:

3. هنگام بالا بردن یک ریشه به یک قدرت کافی است که به این قدرت برسانید عدد رادیکال:

4. اگر درجه ریشه را m برابر کنید و همزمان عدد رادیکال را به توان mth برسانید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

5. اگر درجه ریشه را m برابر کاهش دهید و همزمان ریشه m ام عدد رادیکال را استخراج کنید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

گسترش مفهوم درجه. تا کنون درجاتی را فقط با شارحهای طبیعی در نظر گرفته ایم. اما عملیات با قدرت و ریشه نیز می تواند منجر شود منفی, صفرو کسریشاخص ها همه این نماها نیاز به تعریف بیشتری دارند.

درجه ای با ضریب منفی. توان یک عدد معین با یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق توان منفی تعریف می شود:

حالا فرمول یک متر : a n = m - nرا می توان نه تنها برای متر، بیش از n، بلکه با متر، کمتر از n .

مثال الف 4: الف 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

اگر فرمول را بخواهیم یک متر : a n = یک متر — nوقتی منصفانه بود m = n، به تعریف درجه صفر نیاز داریم.

مدرک با شاخص صفر. توان هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. به منظور ساختن عدد واقعیو به توان m / n، باید ریشه n ام توان m این عدد a را استخراج کنید:

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.

کجا الف ≠ 0 , وجود ندارد.

در واقع اگر فرض کنیم که xعدد معینی است، پس مطابق با تعریف عملیات تقسیم داریم: الف = 0· x، یعنی الف= 0، که با شرط تناقض دارد: الف ≠ 0

— هر عددی

در واقع اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با فلان عدد باشد x، سپس با توجه به تعریف عملیات تقسیم داریم: 0 = 0 · x. اما این برابری زمانی رخ می دهد که هر عدد x، چیزی بود که باید ثابت می شد.

0 0 — هر عددی

راه حل بیایید سه مورد اصلی را در نظر بگیریم:

1) x = 0 – این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

2) چه زمانی x> 0 دریافت می کنیم: x/x= 1، یعنی 1 = 1 که به این معنی است

چی x- هر تعداد؛ اما با در نظر گرفتن اینکه در

در مورد ما x> 0، پاسخ این است x > 0 ;

قوانین ضرب توان با پایه های مختلف

درجه با شاخص منطقی،

تابع قدرت IV

§ 69. ضرب و تقسیم قوا با پایه های یکسان

قضیه 1.برای ضرب توان ها با پایه های یکسان کافی است نماها را جمع کنید و پایه را ثابت بگذارید.

اثباتبا تعریف مدرک

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

ما به حاصل ضرب دو قدرت نگاه کردیم. در واقع، خاصیت اثبات شده برای هر تعداد قدرت با پایه های یکسان صادق است.

قضیه 2.برای تقسیم قدرت ها با مبانی یکسان، وقتی شاخص سود از شاخص تقسیم کننده بزرگتر است، کافی است شاخص تقسیم کننده را از شاخص سود کم کنید و پایه را ثابت بگذارید. در t > p

(الف =/= 0)

اثباتبه یاد بیاورید که ضریب تقسیم یک عدد بر عدد دیگر عددی است که وقتی در مقسوم علیه ضرب شود، سود حاصل می شود. بنابراین، فرمول کجا را ثابت کنید الف =/= 0، مانند اثبات فرمول است

اگر t > p ، سپس شماره t - p طبیعی خواهد بود؛ بنابراین، توسط قضیه 1

قضیه 2 ثابت شده است.

لازم به ذکر است که فرمول

ما فقط با این فرض ثابت کرده ایم که t > p . بنابراین، از آنچه ثابت شده است، هنوز نمی توان به عنوان مثال، به نتایج زیر دست یافت:

علاوه بر این، ما هنوز درجاتی را با توان منفی در نظر نگرفته ایم و هنوز نمی دانیم چه معنایی می توان به عبارت 3 داد. - 2 .

قضیه 3. برای بالا بردن درجه به توان کافی است که نماها را ضرب کنیم و پایه درجه را ثابت نگه داریم.، یعنی

اثباتبا استفاده از تعریف درجه و قضیه 1 این بخش به دست می آید:

Q.E.D.

به عنوان مثال، (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (شفاهی) تعیین کنید X از معادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (شماره تنظیم) ساده کنید:

520. (شماره تنظیم) ساده کنید:

521. این عبارات را به صورت درجه با همان مبناها ارائه دهید:

1) 32 و 64; 3) 8 5 و 16 3; 5) 4 100 و 32 50;

2) -1000 و 100; 4) -27 و -243; 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

شماره جاست n-ام قدرت یک عدد الفزمانی که:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

یک متر·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

به عنوان مثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان th یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه ای با ضریب منفی.توان یک عدد معین با یک نما غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق نمایی غیر مثبت تعریف می شود:

فرمول یک متر:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

به عنوان مثال. الف4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول یک متر:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که مساوی صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

به عنوان مثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی الفبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام از متر-ام قدرت این عدد الف.

اگر می‌خواهید عدد خاصی را به یک پاور افزایش دهید، می‌توانید از . اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت خواص درجه.

اعداد نماییاحتمالات بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع کردن بسیار آسان تر از ضرب است.

برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. یعنی 16 در 64 = 4x4x4x4x4 که آن هم برابر با 1024 است.

عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.

حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در همان زمان 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.

بنابراین، مشکل ما می تواند متفاوت نوشته شود: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.

ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان ها به کاهش می یابد افزودن نماها، یا البته نمایی به شرطی که مبانی عوامل برابر باشد.

بنابراین، بدون انجام ضرب، بلافاصله می توانیم بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8 = 4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:

a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که اینطور است ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 یعنی 2 3 و 2 4 به این شکل کار سختی نیست، اما چگونه با اعداد 7 و 17 این کار را انجام دهیم؟ یا در مواردی که یک عدد را می توان به صورت نمایی نمایش داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8x9 2 3 x 3 2 است، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 پاسخ هستند و نه پاسخ در فاصله بین این دو عدد قرار دارد.

بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.