تقسیم لگاریتم ها با پایه های یکسان. محاسبه لگاریتم ها، مثال ها، راه حل ها. محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

ما به مطالعه لگاریتم ادامه می دهیم. در این مقاله در مورد صحبت خواهیم کرد محاسبه لگاریتم، این فرآیند نامیده می شود لگاریتم. ابتدا محاسبه لگاریتم ها را با تعریف درک خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مقادیر لگاریتم ها با استفاده از ویژگی های آنها پیدا می شوند. پس از این، بر روی محاسبه لگاریتم ها از طریق مقادیر مشخص شده اولیه سایر لگاریتم ها تمرکز خواهیم کرد. در نهایت بیایید نحوه استفاده از جداول لگاریتمی را بیاموزیم. کل تئوری با مثال هایی همراه با راه حل های دقیق ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

در ساده ترین موارد می توان به سرعت و به راحتی انجام داد یافتن لگاریتم بر اساس تعریف. بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه انجام این فرآیند بیندازیم.

ماهیت آن نشان دادن عدد b به شکل a c است که با تعریف لگاریتم، عدد c مقدار لگاریتم است. یعنی طبق تعریف، زنجیره برابری های زیر با یافتن لگاریتم مطابقت دارد: log a b=log a a c=c.

بنابراین، محاسبه یک لگاریتم بر اساس تعریف به یافتن یک عدد c به گونه‌ای است که a c = b، و عدد c خود مقدار مورد نظر لگاریتم است.

با در نظر گرفتن اطلاعات پاراگراف های قبلی، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم با توان خاصی از پایه لگاریتم داده می شود، می توانید بلافاصله نشان دهید که لگاریتم برابر است - برابر با توان است. بیایید راه حل هایی را برای مثال ها نشان دهیم.

مثال.

log 2 2 −3 را پیدا کنید و لگاریتم طبیعی عدد e 5,3 را نیز محاسبه کنید.

راه حل.

تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که بلافاصله بگوییم که log 2 2 −3 =−3. در واقع، عدد زیر علامت لگاریتم برابر است با پایه 2 به توان -3.

به طور مشابه، لگاریتم دوم را پیدا می کنیم: lne 5.3 = 5.3.

پاسخ:

log 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

اگر عدد b در زیر علامت لگاریتم به‌عنوان توان پایه لگاریتم مشخص نشده باشد، باید به دقت بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان عدد b را به شکل a c ارائه داد. اغلب این نمایش کاملاً آشکار است، به خصوص زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم برابر با پایه به توان 1، یا 2، یا 3، ...

مثال.

لگاریتم log 5 25 و را محاسبه کنید.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که 25=5 2، این به شما امکان می دهد اولین لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25=log 5 5 2 =2.

بیایید به محاسبه لگاریتم دوم برویم. عدد را می توان به عنوان توان 7 نشان داد: (در صورت لزوم ببینید). از این رو، .

بیایید لگاریتم سوم را به شکل زیر بازنویسی کنیم. اکنون می توانید آن را ببینید ، که از آن نتیجه می گیریم که . بنابراین با تعریف لگاریتم .

به طور خلاصه، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

log 5 25=2 و .

هنگامی که در زیر علامت لگاریتم به اندازه کافی بزرگ وجود دارد عدد طبیعی، در این صورت فاکتورگیری آن در فاکتورهای اصلی ضرری ندارد. اغلب به نمایش عددی به عنوان مقداری توان پایه لگاریتم کمک می کند و بنابراین این لگاریتم را با تعریف محاسبه می کند.

مثال.

مقدار لگاریتم را بیابید.

راه حل.

برخی از ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم ها را مشخص کنید. این ویژگی ها شامل ویژگی لگاریتم یک و خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با پایه است: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a a 1 =1. یعنی وقتی زیر علامت لگاریتم عدد 1 یا عدد a برابر با پایه لگاریتم وجود دارد، در این موارد لگاریتم ها به ترتیب برابر با 0 و 1 هستند.

مثال.

لگاریتم و log10 برابر با چه چیزی هستند؟

راه حل.

از آنجایی که از تعریف لگاریتم بر می آید .

در مثال دوم، عدد 10 در زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است، بنابراین لگاریتم اعشاری ده برابر با یک، یعنی log10=lg10 1 =1.

پاسخ:

و lg10=1.

توجه داشته باشید که محاسبه لگاریتم ها بر اساس تعریف (که در پاراگراف قبل در مورد آن صحبت کردیم) مستلزم استفاده از log برابری a a p =p است که یکی از ویژگی های لگاریتم است.

در عمل، وقتی یک عدد زیر علامت لگاریتم و پایه لگاریتم به راحتی به عنوان توان یک عدد معین نشان داده شود، استفاده از فرمول بسیار راحت است. ، که با یکی از ویژگی های لگاریتم مطابقت دارد. بیایید مثالی از یافتن لگاریتم را در نظر بگیریم و استفاده از این فرمول را نشان دهیم.

مثال.

لگاریتم را محاسبه کنید.

راه حل.

پاسخ:

.

از خواص لگاریتمی که در بالا ذکر نشده است نیز در محاسبات استفاده می شود، اما در پاراگراف های بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

یافتن لگاریتم از طریق لگاریتم های شناخته شده دیگر

اطلاعات این پاراگراف در ادامه مبحث استفاده از خواص لگاریتم ها در هنگام محاسبه آنهاست. اما در اینجا تفاوت اصلی این است که از خواص لگاریتم ها برای بیان لگاریتم اصلی بر حسب لگاریتم دیگری استفاده می شود که مقدار آن مشخص است. برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم. فرض کنید که log 2 3≈1.584963 را می دانیم، سپس می توانیم برای مثال، log 2 6 را با انجام یک تبدیل کوچک با استفاده از خواص لگاریتم پیدا کنیم: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

در مثال بالا کافی بود که از خاصیت لگاریتم یک محصول استفاده کنیم. با این حال، بیشتر اوقات لازم است از زرادخانه وسیع تری از خواص لگاریتم ها استفاده شود تا بتوان لگاریتم اصلی را از طریق موارد داده شده محاسبه کرد.

مثال.

اگر می دانید که log 60 2=a و log 60 5=b می دانید لگاریتم 27 تا مبنای 60 را محاسبه کنید.

راه حل.

بنابراین باید log 60 27 را پیدا کنیم. به راحتی می توان فهمید که 27 = 3 3، و لگاریتم اصلی، به دلیل خاصیت لگاریتم توان، می تواند به صورت 3·log 60 3 بازنویسی شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه log 60 3 را بر حسب لگاریتم های شناخته شده بیان کنیم. خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با قاعده به ما اجازه می دهد تا log برابری 60 60=1 را بنویسیم. از طرف دیگر، log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . بنابراین، 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. از این رو، log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

در نهایت لگاریتم اصلی را محاسبه می کنیم: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

پاسخ:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

به طور جداگانه، لازم است به معنای فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم فرم اشاره شود. این به شما امکان می دهد از لگاریتم با هر پایه به لگاریتم با یک پایه خاص بروید که مقادیر آنها مشخص است یا امکان یافتن آنها وجود دارد. معمولاً از لگاریتم اصلی با استفاده از فرمول انتقال به لگاریتم در یکی از پایه های 2، e یا 10 حرکت می کنند، زیرا برای این پایه ها جداول لگاریتم وجود دارد که اجازه می دهد مقادیر آنها با درجه خاصی از محاسبه شود. دقت در پاراگراف بعدی نحوه انجام این کار را نشان خواهیم داد.

جداول لگاریتمی و کاربرد آنها

برای محاسبه تقریبی مقادیر لگاریتمی می توان از آن استفاده کرد جداول لگاریتمی. متداول ترین جدول لگاریتم پایه 2، جدول لگاریتم طبیعی و جدول لگاریتم اعشاری. هنگام کار در سیستم اعداد اعشاری، استفاده از جدول لگاریتم بر اساس پایه ده راحت است. با کمک آن ما یاد خواهیم گرفت که مقادیر لگاریتم ها را پیدا کنیم.

جدول ارائه شده به شما امکان می دهد مقادیر لگاریتم اعشاری اعداد از 1000 تا 9999 (با سه رقم اعشار) را با دقت یک ده هزارم پیدا کنید. ما اصل یافتن مقدار لگاریتم را با استفاده از جدول لگاریتم اعشاری به تجزیه و تحلیل خواهیم کرد مثال خاص- اینطور واضح تر است. بیایید log1.256 را پیدا کنیم.

در ستون سمت چپ جدول لگاریتم های اعشاری، دو رقم اول عدد 1.256 را پیدا می کنیم، یعنی 1.2 را پیدا می کنیم (این عدد برای وضوح به رنگ آبی دایره شده است). سومین رقم عدد 1.256 (رقم 5) در اولین یا آخرین سطر سمت چپ خط دوتایی یافت می شود (این عدد به رنگ قرمز دایره شده است). چهارمین رقم از شماره اصلی 1.256 (رقم 6) در اولین یا آخرین سطر سمت راست خط دوتایی یافت می شود (این عدد با یک خط سبز دایره شده است). اکنون اعداد را در خانه های جدول لگاریتم در تقاطع سطر مشخص شده و ستون های علامت گذاری شده پیدا می کنیم (این اعداد برجسته شده اند. نارنجی). مجموع اعداد علامت گذاری شده مقدار مورد نظر لگاریتم اعشاری را با دقت به رقم چهارم اعشار می دهد، یعنی: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

آیا می توان با استفاده از جدول بالا مقادیر لگاریتم اعشاری اعدادی که بیش از سه رقم بعد از نقطه اعشار دارند و همچنین آنهایی که از محدوده 1 تا 9.999 فراتر می روند را پیدا کرد؟ بله، شما می توانید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

بیایید lg102.76332 را محاسبه کنیم. ابتدا باید یادداشت کنید شماره در فرم استاندارد : 102.76332=1.0276332·10 2. پس از این، مانتیس باید به سومین رقم اعشار گرد شود 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، در حالی که لگاریتم اعشاری اصلی تقریباً برابر با لگاریتم عدد حاصل است، یعنی log102.76332≈lg1.028·10 2 را می گیریم. اکنون خواص لگاریتم را اعمال می کنیم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. در نهایت، مقدار لگاریتم lg1.028 را از جدول لگاریتم های اعشاری lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 پیدا می کنیم. در نتیجه، کل فرآیند محاسبه لگاریتم به صورت زیر است: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

در پایان، شایان ذکر است که با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری می توانید مقدار تقریبی هر لگاریتمی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، کافی است از فرمول انتقال برای رفتن به لگاریتم های اعشاری، یافتن مقادیر آنها در جدول و انجام محاسبات باقی مانده استفاده کنید.

برای مثال، بیایید log 2 3 را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم، داریم. از جدول لگاریتم های اعشاری log3≈0.4771 و log2≈0.3010 را پیدا می کنیم. بنابراین، .

مراجع

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

خواص اصلی.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اساسی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
الف). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.

3.

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اساسی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعا باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی حل نمی شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم را در نظر بگیرید بر همین اساس: logax و logay. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه مقدار عبارت: log3 135 − log3 5 را بیابید.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند تست ها. بله، عبارات تست مانند با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا زمانی که بسیار آخرین لحظهما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، اصلی هویت لگاریتمیگاهی اوقات این تنها راه حل ممکن است.

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. به عنوان مثال

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید این قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به شما در درک مطالب، من فقط چند مثال معمولی از آن را بیان می کنم برنامه درسی مدرسهو دانشگاه ها

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
الف). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح ورودی

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اساسی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعا باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی حل نمی شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

وظیفه مقدار عبارت log6 4 + log6 9 را بیابید.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه مقدار عبارت: log3 135 − log3 5 را بیابید.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایشات بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات تست مانند با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

از تعریف آن برمی‌آید. و به این ترتیب لگاریتم عدد ببر اساس الفبه عنوان توانی تعریف می شود که یک عدد باید به آن افزایش یابد الفبرای دریافت شماره ب(لگاریتم فقط برای اعداد مثبت وجود دارد).

از این فرمول نتیجه می شود که محاسبه x=log a b، معادل حل معادله است a x =b.به عنوان مثال، گزارش 2 8 = 3چون 8 = 2 3 . فرمول لگاریتم این امکان را فراهم می کند که اگر b=a c، سپس لگاریتم عدد ببر اساس الفبرابر است با. همچنین مشخص است که مبحث لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با مبحث توان های یک عدد دارد.

با لگاریتم، مانند هر اعداد، می توانید انجام دهید عملیات جمع، تفریقو به هر طریق ممکن متحول شود. اما با توجه به اینکه لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانین خاص خود را در اینجا اعمال می کنند که به آنها می گویند. خواص اصلی.

جمع و تفریق لگاریتم.

بیایید دو لگاریتم با پایه های یکسان بگیریم: یک x را ثبت کنیدو ورود به سیستم یک y. سپس می توان عملیات جمع و تفریق را انجام داد:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ورود به سیستم a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = یک x را ثبت کنید 1 + یک x را ثبت کنید 2 + یک x را ثبت کنید 3 + ... + ورود به سیستم x k.

از قضیه ضریب لگاریتمییک ویژگی دیگر از لگاریتم را می توان به دست آورد. این دانش عمومی است که ورود به سیستم الفبنابراین 1 = 0

ورود به سیستم الف 1 /ب= ثبت نام الف 1 - ورود به سیستم a ب= -log a ب.

این به این معنی است که یک برابری وجود دارد:

log a 1 / b = - log a b.

لگاریتم دو عدد متقابلبه همین دلیل صرفاً با علامت با یکدیگر متفاوت خواهند بود. بنابراین:

Log 3 9 = - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

لگاریتم عدد b (b > 0) به مبنای a (a > 0، a ≠ 1)- توانی که برای بدست آوردن b باید عدد a را به آن افزایش داد.

لگاریتم پایه 10 b را می توان به صورت زیر نوشت ورود به سیستم (ب)، و لگاریتم به پایه e (لگاریتم طبیعی) است ln(b).

اغلب برای حل مسائل با لگاریتم استفاده می شود:

خواص لگاریتم ها

چهار اصلی وجود دارد خواص لگاریتم ها.

بگذارید a > 0، a ≠ 1، x > 0 و y > 0.

خاصیت 1. لگاریتم محصول

لگاریتم محصولبرابر با مجموع لگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

خاصیت 2. لگاریتم ضریب

لگاریتم ضریب برابر با تفاوتلگاریتم ها:

log a (x / y) = log a x – log a y

خاصیت 3. لگاریتم توان

لگاریتم درجه برابر با محصولتوان در هر لگاریتم:

اگر پایه لگاریتم در درجه باشد، فرمول دیگری اعمال می شود:

خاصیت 4. لگاریتم ریشه

این ویژگی را می توان از خاصیت لگاریتم یک توان به دست آورد، زیرا ریشه n ام توان برابر با توان 1/n است:

فرمول تبدیل از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

این فرمول همچنین اغلب هنگام حل وظایف مختلف بر روی لگاریتم استفاده می شود:

مورد خاص:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری ها)

بگذارید 2 تابع f(x) و g(x) در لگاریتم هایی با پایه های یکسان داشته باشیم و بین آنها علامت نابرابری وجود دارد:

برای مقایسه آنها، ابتدا باید به پایه لگاریتم ها نگاه کنید:

• اگر a > 0، آنگاه f(x) > g(x) > 0
• اگر 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

نحوه حل مسائل با لگاریتم: مثال

مشکلات لگاریتمیگنجانده شده است ترکیب آزمون دولتی واحددر ریاضیات برای کلاس 11 در کار 5 و کار 7، می توانید وظایف با راه حل ها را در وب سایت ما در بخش های مربوطه پیدا کنید. همچنین، وظایف با لگاریتم در بانک وظایف ریاضی یافت می شود. با جستجو در سایت می توانید تمام نمونه ها را بیابید.

لگاریتم چیست

لگاریتم ها همیشه مورد توجه بوده اند موضوع پیچیده V دوره مدرسهریاضیات تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی بیشتر کتاب های درسی از پیچیده ترین و ناموفق ترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. برای انجام این کار، بیایید یک جدول ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم.

لگاریتم ها - خواص، فرمول ها، نحوه حل کردن

اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای به دست آوردن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه a آرگومان x توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a را به آن افزایش داد.

تعیین: log a x = b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b چیزی است که لگاریتم در واقع برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان موفقیت، log 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شود. بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بازه قرار می گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می کنند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزاردهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک قدرت است، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

نحوه شمارش لگاریتم ها

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیریم چگونه لگاریتم ها را بشماریم. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف مدرک به دست می آید شاخص منطقی، که تعریف لگاریتم به آن می رسد.
2. پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده مقادیر قابل قبول(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این شکل است: log a x = b ⇒x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم که در آن نیازی به دانستن VA لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان مشکلات در نظر گرفته شده است. اما زمانی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DL اجباری خواهند شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حال بیایید به طرح کلی محاسبه لگاریتم نگاه کنیم. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. شرط بزرگتر بودن پایه از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. همینطور اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با استفاده از مثال های خاص چگونه کار می کند:

وظیفه لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. جواب گرفتیم: 2.

وظیفه محاسبه لگاریتم:

وظیفه لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. جواب گرفتیم: 3.

وظیفه لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. جواب گرفتیم: 0.

وظیفه لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده است - فقط آن را در فاکتورهای اصلی قرار دهید. اگر انبساط حداقل دو عامل متفاوت داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

وظیفه دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - دوباره قدرت دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیقی از خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

از آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را به آن افزایش داد. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، هنگامی که عبارتی مانند "Find lg 0.01" در یک کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید: این اشتباه تایپی نیست. این یک لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. این در مورد استدر مورد لگاریتم طبیعی

از آرگومان x لگاریتم پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است. من فقط ارقام اول را می آورم:
e = 2.718281828459…

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. البته به جز وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

همچنین ببینید:

لگاریتم. خواص لگاریتم (قدرت لگاریتم).

چگونه یک عدد را به عنوان لگاریتم نشان دهیم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم توانی است که برای بدست آوردن عدد زیر علامت لگاریتم، پایه باید به آن افزایش یابد.

بنابراین، برای نشان دادن یک عدد خاص c به عنوان لگاریتم به پایه a، باید توانی با پایه همان پایه لگاریتم را زیر علامت لگاریتم قرار دهید و این عدد c را به عنوان توان بنویسید:

مطلقاً هر عددی را می توان به عنوان یک لگاریتم نشان داد - مثبت، منفی، صحیح، کسری، گویا، غیر منطقی:

برای اینکه الف و ج را در شرایط استرس زا آزمون یا امتحان اشتباه نگیرید، می توانید از قانون حفظ زیر استفاده کنید:

آنچه در پایین است پایین می آید، آنچه در بالا است بالا می رود.

به عنوان مثال، شما باید عدد 2 را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان دهید.

ما دو عدد داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و توان هستند که آنها را زیر علامت لگاریتم می نویسیم. باقی مانده است که مشخص شود کدام یک از این اعداد باید نوشته شود، به پایه توان، و کدام - به بالا، به توان.

پایه 3 در نماد لگاریتم در پایین است، به این معنی که وقتی دو را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان می دهیم، 3 را نیز به پایه می نویسیم.

2 بالاتر از سه است. و در علامت درجه دو بالای سه می نویسیم، یعنی به عنوان یک توان:

لگاریتم ها سطح ورودی

لگاریتم ها

لگاریتمعدد مثبت ببر اساس الف، کجا a > 0، a ≠ 1، به توانی گفته می شود که عدد باید به آن افزایش یابد الفبرای بدست آوردن ب.

تعریف لگاریتممی توان به طور خلاصه اینگونه نوشت:

این برابری برای b > 0، a > 0، a ≠ 1.معمولا نامیده می شود هویت لگاریتمی
عمل یافتن لگاریتم یک عدد نامیده می شود توسط لگاریتم

خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم ضریب:

جایگزینی پایه لگاریتمی:

لگاریتم درجه:

لگاریتم ریشه:

لگاریتم با پایه قدرت:

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

لگاریتم اعشاریاعداد لگاریتم این عدد را به پایه 10 فراخوانی کرده و   lg را بنویسند ب
لگاریتم طبیعیاعداد را لگاریتم آن عدد به مبنا می گویند ه، کجا ه- یک عدد غیر منطقی تقریباً برابر با 2.7 است. در همان زمان ln می نویسند ب.

یادداشت های دیگر در مورد جبر و هندسه

ویژگی های اساسی لگاریتم ها

ویژگی های اساسی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعا باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی حل نمی شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log a x و log a y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایشات بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات تست مانند با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل لگاریتمی است که مبنا و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی a x داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود.

در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - ما به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفتیم. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. log a a = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. log a 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.