یک دفترچه عمومی با حجم 96 برگ خریدم. تکالیف برای مرحله مدرسه المپیاد همه روسیه برای دانش آموزان مدرسه در ریاضیات. برای شما آرزوی موفقیت داریم

بخش ها: ریاضیات

شرکت کننده عزیز المپیاد!

المپیاد ریاضی مدارس در یک دوره برگزار می شود.
5 کار با سطوح دشواری مختلف وجود دارد.
در رابطه با اجرای کار هیچ الزام خاصی به شما ارائه نمی شود. شکل ارائه راه حل برای مشکلات، و همچنین روش های حل، می تواند هر باشد. اگر در مورد یک کار خاص افکار فردی دارید، اما نمی توانید راه حل را کامل کنید، در بیان همه افکار خود دریغ نکنید. حتی مسائل نیمه حل شده نیز به تعداد مناسب امتیاز تعلق می گیرد.
شروع به حل مشکلاتی کنید که فکر می کنید آسان تر هستند و سپس به سراغ بقیه بروید. به این ترتیب در زمان کار صرفه جویی خواهید کرد.

برای شما آرزوی موفقیت داریم!

مرحله مدرسه المپیاد تمام روسیهدانش آموزان در ریاضیات

کلاس پنجم.

وظیفه 1. در عبارت 1*2*3*4*5 علامت عمل را به جای "*" قرار دهید و براکت ها را به این صورت قرار دهید. برای به دست آوردن عبارتی که مقدار آن 100 است.

وظیفه 2. لازم است نماد یک برابری حسابی را رمزگشایی کنید که در آن اعداد با حروف جایگزین می شوند و اعداد مختلف جایگزین می شوند. با حروف مختلف، یکسان - یکسان.

پنج - سه = دومعلوم است که به جای نامه الفباید عدد 2 را جایگزین کنید.

وظیفه 3. چگونه می توان از ترازو فنجانی بدون وزنه برای تقسیم 80 کیلوگرم میخ به دو قسمت 15 کیلوگرمی و 65 کیلوگرمی استفاده کرد؟

وظیفه 4. شکل نشان داده شده در شکل را به دو قسمت مساوی برش دهید تا هر قسمت یک ستاره داشته باشد. شما فقط می توانید در امتداد خطوط شبکه برش دهید.

وظیفه 5. قیمت یک فنجان و نعلبکی با هم 25 روبل و 4 فنجان و 3 نعلبکی 88 روبل است. قیمت فنجان و قیمت نعلبکی را بیابید.

کلاس ششم.

وظیفه 1. کسرها را بدون تقلیل به مخرج مشترک مقایسه کنید.

وظیفه 2. رمزگشایی نماد یک تساوی حسابی است که در آن اعداد با حروف جایگزین می شوند و اعداد مختلف با حروف مختلف و اعداد یکسان با اعداد یکسان جایگزین می شوند. فرض بر این است که برابری اصلی درست است و طبق قوانین معمول حساب نوشته می شود.

کار کنید
+ اراده
شانس

وظیفه 3. سه دوست برای استراحت به کمپ تابستانی آمدند: میشا، ولودیا و پتیا. مشخص است که هر یک از آنها دارای یکی از نام های خانوادگی زیر است: ایوانف، سمنوف، گراسیموف. میشا گراسیموف نیست. پدر ولودیا یک مهندس است. ولودیا کلاس ششم است. گراسیموف در کلاس پنجم درس می خواند. پدر ایوانف معلم است. نام خانوادگی هر یک از سه دوست چیست؟

وظیفه 4. شکل را در امتداد خطوط شبکه به چهار قسمت مساوی تقسیم کنید تا هر قسمت دارای یک نقطه باشد.

وظیفه 5. سنجاقک جهنده نیمی از هر روز تابستان سرخ را می خوابید، یک سوم زمان هر روز را می رقصید و یک ششم زمان را آواز می خواند. او تصمیم گرفت بقیه زمان خود را به آماده شدن برای زمستان اختصاص دهد. چند ساعت در روز سنجاقک برای زمستان آماده می کرد؟

کلاس هفتم.

وظیفه 1. اگر می دانید که بزرگترین رقم در عدد STRONG 5 است، معما را حل کنید:

تصمیم بگیرید
اگر
قوی

وظیفه 2. معادله│7 - ​​x│ = 9.3 را حل کنید

وظیفه 3. پس از هفت بار شستشو، طول، عرض و ضخامت صابون به نصف کاهش یافت. صابون باقی مانده چند بار شستشو دوام می آورد؟

وظیفه 4 . یک مستطیل 4 × 9 در امتداد اضلاع سلول ها را به دو قسمت مساوی تقسیم کنید تا بتوانید از آنها مربع بسازید.

وظیفه 5. مکعب چوبی از همه طرف به رنگ سفید رنگ آمیزی شد و سپس به 64 مکعب یکسان اره شد. با چند مکعب رنگی شد سه طرف? در هر دو طرف؟
از یک طرف؟ چند مکعب رنگی نیست؟

کلاس هشتم.

وظیفه 1. عدد 13 با چه دو رقمی ختم می شود؟

وظیفه 2. کسر را کاهش دهید:

وظیفه 3. باشگاه نمایش مدرسه در حال آماده شدن برای روی صحنه بردن گزیده ای از افسانه A.S. پوشکین درباره تزار سالتان، تصمیم گرفت نقش ها را بین شرکت کنندگان توزیع کند.
یورا گفت: "من چرنومور خواهم بود."
کولیا گفت: "نه، من چرنومور خواهم بود."
یورا به او اعتراف کرد: "خوب، من می توانم گیدون را بازی کنم."
کولیا نیز نشان داد: "خب، من می توانم سلطان شوم."
- قبول دارم فقط گیدون باشم! - گفت میشا.
آرزوی پسرها برآورده شد. نقش ها چگونه توزیع شد؟

وظیفه 4. در مثلث متساوی الساقین ABC با پایه AB = 8m، میانه AD رسم می شود. محیط مثلث ACD 2 متر بزرگتر از محیط مثلث ABD است. AC را پیدا کنید.

وظیفه 5. نیکولای یک دفترچه عمومی 96 برگه خرید و صفحات را از 1 تا 192 شماره گذاری کرد. برادرزاده آرتور 35 برگه را از این دفتر پاره کرد و تمام 70 شماره نوشته شده روی آنها را جمع کرد. آیا او می توانست در سال 2010 موفق شود؟

کلاس نهم.

وظیفه 1. آخرین رقم 1989 1989 را بیابید.

وظیفه 2. مجموع ریشه برخی معادله درجه دوم 1 است و مجموع مربع های آنها 2 است. مجموع مکعب های آنها چقدر است؟

وظیفه 3. با استفاده از سه میانه m a، m b و m c ∆ ABC، طول ضلع AC = b را پیدا کنید.

وظیفه 4. کسر را کاهش دهید .

وظیفه 5. از چند طریق می توان مصوت و صامت در کلمه کامزل انتخاب کرد؟

کلاس دهم.

وظیفه 1. در حال حاضر سکه های 1، 2، 5، 10 روبل وجود دارد. تمام مبالغ پولی را که می توان با تعداد زوج و فرد سکه پرداخت کرد فهرست کنید.

وظیفه 2. ثابت کنید که 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 بر 6 بخش پذیر است.

وظیفه 3. در یک چهار گوش ABCDمورب ها در یک نقطه قطع می شوند م. معلوم است که AM = 1،
VM = 2، SM = 4. با چه ارزش هایی DMچهار ضلعی ABCDذوزنقه است؟

وظیفه 4. سیستم معادلات را حل کنید

وظیفه 5. سی دانش آموز - کلاس دهم و یازدهم - دست دادند. معلوم شد که هر دانش آموز دهم با هشت دانش آموز یازدهم و هر دانش آموز یازدهم با هفت دانش آموز دهم دست دادند. کلاس دهم چند نفر و کلاس یازدهم چند نفر بودند؟

این اثر پتیا یک دفترچه یادداشت عمومی با حجم 96 برگ خرید و تمام صفحات آن را به ترتیب با اعداد 1 تا 192 شماره گذاری کرد. واسیا (تست) در مورد موضوع (ACD و تجزیه و تحلیل مالی) را پاره کرد، به سفارش فردی تکمیل شد. توسط متخصصین شرکت ما و تصویب آن دفاع موفق. کار - پتیا یک دفترچه یادداشت عمومی با حجم 96 برگ خرید و تمام صفحات آن را به ترتیب با اعداد 1 تا 192 شماره گذاری کرد. واسیا ACD را در مورد موضوع پاره کرد و تجزیه و تحلیل مالی موضوع آن و مؤلفه منطقی افشای آن را منعکس می کند. ماهیت موضوع مورد مطالعه آشکار می شود، مفاد اصلی و ایده های پیشرو در این موضوع برجسته می شود.
کار - پتیا یک دفترچه یادداشت عمومی با حجم 96 برگ خرید و تمام صفحات آن را به ترتیب با اعداد از 1 تا 192 شماره گذاری کرد. واسیا آن را پاره کرد، شامل: جداول، نقاشی ها، جدیدترین ها منابع ادبی، سال ارسال و دفاع از اثر - 2017. پتیا در کار یک دفترچه عمومی با حجم 96 برگ خرید و تمام صفحات آن را به ترتیب با اعداد از 1 تا 192 شماره گذاری کرد واسیا بیرون کشید (AHD و تحلیل مالی) ارتباط موضوع تحقیق را نشان می دهد، میزان توسعه مسئله را منعکس می کند، بر اساس ارزیابی عمیق و تجزیه و تحلیل علمی و ادبیات روش شناختی، در کار با موضوع ACD و تحلیل مالی، موضوع تحلیل و مسائل آن به طور جامع مورد توجه قرار گرفته است، هم از جنبه نظری و هم از جنبه عملی، هدف و اهداف خاص موضوع مورد بررسی تدوین شده است، منطق وجود دارد. ارائه مطالب و ترتیب آن

مسئله 16:

آیا می توان 25 روبل را با استفاده از ده اسکناس در اسکناس های 1، 3 و 5 روبلی مبادله کرد؟ راه حل:

پاسخ: خیر

مسئله 17:

پتیا یک دفترچه عمومی با حجم 96 برگ خرید و تمام صفحات آن را به ترتیب با اعداد 1 تا 192 شماره گذاری کرد. واسیا 25 برگ از این دفتر را پاره کرد و تمام 50 شماره نوشته شده روی آنها را جمع کرد. آیا او می توانست در سال 1990 موفق شود؟ راه حل:

در هر برگه مجموع شماره صفحات فرد و مجموع 25 عدد فرد فرد است.

مسئله 18:

حاصل ضرب 22 عدد صحیح 1 است. ثابت کنید که مجموع آنها صفر نیست. راه حل:

از جمله این اعداد - عدد زوج"منهای یک"، و برای اینکه مجموع برابر با صفر باشد، باید دقیقا 11 عدد از آنها وجود داشته باشد.

مسئله 19:

آیا می توان از 36 عدد اول اول یک مربع جادویی تشکیل داد؟ راه حل:

در بین این اعداد یک (2) زوج و بقیه فرد هستند. بنابراین، در خطی که دو وجود دارد، مجموع اعداد فرد و در برخی دیگر زوج است.

مسئله 20:

اعداد از 1 تا 10 در یک ردیف نوشته می شوند آیا می توان علامت های "+" و "-" را بین آنها قرار داد تا مقدار عبارت حاصل برابر با صفر شود؟

توجه: لطفاً توجه داشته باشید اعداد منفیزوج و فرد نیز هستند. راه حل:

در واقع مجموع اعداد 1 تا 10 55 است و با تغییر علائم موجود در آن کل عبارت را به عدد زوج تبدیل می کنیم.

مسئله 21:

ملخ در یک خط مستقیم می پرد و بار اول 1 سانتی متر در جهتی پرید، بار دوم - 2 سانتی متر و غیره. ثابت کنید که پس از پرش های سال 1985 او نمی تواند به همان جایی که شروع کرده بود برسد. راه حل:

نکته: مجموع 1 + 2 + … + 1985 فرد است.

مسئله 22:

اعداد 1، 2، 3، ...، 1984، 1985 روی تابلو نوشته شده اند. در نهایت فقط یک عدد روی تابلو باقی خواهد ماند. آیا می تواند صفر باشد؟ راه حل:

بررسی کنید که عملیات فوق، برابری مجموع اعداد نوشته شده روی تابلو را تغییر ندهد.

مسئله 23:

آیا می توان یک صفحه شطرنج را با دومینوهای 1×2 پوشاند تا فقط مربع های a1 و h8 آزاد باقی بمانند؟ راه حل:

هر دومینو یک مربع سیاه و یک مربع سفید را پوشش می دهد و وقتی مربع های a1 و h8 را کنار می گذاریم، 2 مربع سیاه کمتر از مربع های سفید وجود دارد.

مسئله 24:

به عدد 17 رقمی عددی را اضافه کردیم که با همان ارقام نوشته شده بود اما به ترتیب معکوس. ثابت کنید که حداقل یک رقم از حاصل جمع زوج است. راه حل:

دو حالت را در نظر بگیرید: مجموع رقم اول و آخر یک عدد کمتر از 10 باشد و مجموع اولین و آخرین رقم یک عدد کمتر از 10 نباشد. سپس در مورد اول نباید یک انتقال واحد در ارقام وجود داشته باشد (که واضح است، منجر به تناقض می شود) و در حالت دوم، وجود حمل در هنگام حرکت از راست به چپ یا چپ به راست متناوب با عدم وجود دارد. از حمل، و در نتیجه دریافت می کنیم که رقم مجموع در رقم نهم لزوما زوج است.

مسئله 25:

100 نفر در گروه مردمی حضور دارند که هر روز عصر سه نفر از آنها به خدمت می روند. آیا ممکن است بعد از مدتی معلوم شود که همه دقیقا یک بار با همه در حال انجام وظیفه بوده اند؟ راه حل:

از آنجا که در هر وظیفه ای که در آن شرکت می کند این شخص، او با دو نفر دیگر در حال انجام وظیفه است ، سپس همه را می توان به جفت تقسیم کرد. با این حال، 99 یک عدد فرد است.

مسئله 26:

45 نقطه روی خط وجود دارد که خارج از قطعه AB قرار دارند. ثابت کنید که مجموع فواصل این نقاط تا نقطه A با مجموع فواصل این نقاط تا نقطه B برابر نیست. راه حل:

برای هر نقطه X که خارج از AB قرار دارد، AX - BX = ± AB داریم. اگر مجموع فواصل را مساوی فرض کنیم، به دست می‌آید که عبارت ± AB ± AB ± … ± AB که شامل 45 جمله است برابر با صفر است. اما این غیر ممکن است.

مسئله 27:

9 عدد در یک دایره مرتب شده اند - 4 یک و 5 صفر. در هر ثانیه عملیات زیر بر روی اعداد انجام می شود: اگر اعداد مجاور متفاوت باشند، یک صفر و اگر مساوی باشند یک واحد قرار می گیرد. پس از آن اعداد قدیمی پاک می شوند. آیا بعد از مدتی همه اعداد یکسان می شوند؟ راه حل:

واضح است که ترکیب نه یک را نمی توان قبل از نه صفر به دست آورد. اگر نه صفر وجود داشت، در حرکت قبلی، صفرها و یک ها باید متناوب می شدند، که غیرممکن است، زیرا فقط تعداد فرد از آنها وجود دارد.

مسئله 28:

25 پسر و 25 دختر پشت میز گرد نشسته اند. ثابت کنید که برخی از افرادی که پشت میز نشسته اند، هر دو پسر همسایه دارند. راه حل:

بیایید اثبات خود را با تناقض انجام دهیم. بیایید همه کسانی که پشت میز نشسته اند را به ترتیب شماره گذاری کنیم، از جایی شروع کنیم. اگر روشن است رتبه kthپسری نشسته است، پس مشخص است که دختران در مکان های (k - 2) و (k + 2)ام نشسته اند. اما از آنجایی که تعداد پسران و دختران برابر است، پس برای هر دختری که در جایگاه nام نشسته است، درست است که پسرانی در مکان های (n - 2) و (n + 2) هستند. اگر اکنون فقط آن 25 نفر را در نظر بگیریم که در صندلی‌های «هموار» می‌نشینند، متوجه می‌شویم که در میان آنها پسران و دختران به طور متناوب اگر به سمتی دور میز برویم. اما 25 یک عدد فرد است.

مسئله 29:

حلزون با سرعت ثابتی در امتداد هواپیما می خزد و هر 15 دقیقه یکبار با زاویه قائمه می چرخد. ثابت کنید که او فقط پس از تعداد صحیح ساعت می تواند به نقطه شروع بازگردد. راه حل:

واضح است که تعداد a مناطقی که حلزون در آنها به سمت بالا یا پایین خزیده است برابر است با تعداد مناطقی که در آنها به سمت راست یا چپ خزیده است. فقط باید توجه داشت که a زوج است.

مسئله 30:

سه ملخ در یک خط مستقیم جهشی بازی می کنند. هر بار یکی از آنها از روی دیگری می پرد (اما نه هر دو در یک زمان!). آیا آنها می توانند پس از پرش 1991 در همان مکان ها قرار گیرند؟ راه حل:

بیایید ملخ های A، B و C را نشان دهیم. ترتیب ملخ ها را ABC، BCA و CAB (از چپ به راست) صحیح و ACB، BAC و CBA را نادرست بنامیم. به راحتی می توان فهمید که با هر پرشی نوع چیدمان تغییر می کند.

مسئله 31:

101 سکه وجود دارد که 50 عدد از آنها تقلبی است و از نظر وزن 1 گرم با سکه های واقعی تفاوت دارد. پتیا یک سکه گرفت و در یک سکه که روی ترازو با فلشی که تفاوت وزن لیوان ها را نشان می دهد، می خواهد تشخیص دهد که تقلبی است یا خیر. آیا او قادر به انجام آن خواهد بود؟ راه حل:

باید این سکه را کنار بگذارید و سپس 100 سکه باقیمانده را به دو دسته 50 سکه ای تقسیم کنید و وزن این توده ها را با هم مقایسه کنید. اگر تعداد گرم آنها زوج باشد، سکه مورد نظر ما واقعی است. اگر اختلاف وزن فرد باشد، سکه تقلبی است.

مسئله 32:

آیا می توان اعداد 1 تا 9 را یک بار پشت سر هم یادداشت کرد تا عددهای فرد بین یک و دو، دو و سه، ...، هشت و نه باشد؟ راه حل:

در غیر این صورت، همه اعداد پشت سر هم در مکان‌های برابری یکسان خواهند بود.