پیام انتگرال معین و نامعین. انتگرال برای آدمک ها: نحوه حل، قوانین محاسبه، توضیح. ویژگی های اساسی انتگرال معین

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟

اگر تنها استفاده ای که از یک انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل یک نماد انتگرال برای به دست آوردن چیزی مفید از مکان های صعب العبور است، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه ساده ترین و سایر انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن در ریاضیات کار کنید.

ما مفهوم را مطالعه می کنیم « انتگرال »

ادغام در مصر باستان شناخته شده بود. البته نه در فرم مدرن، اما هنوز از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به ویژه متمایز شده است نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است.

چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع همچنان به درک اولیه از اصول نیاز دارید. تجزیه و تحلیل ریاضی. ما قبلاً اطلاعاتی درباره محدودیت ها و مشتقات لازم برای درک انتگرال ها در وبلاگ خود داریم.

انتگرال نامعین

اجازه دهید ما یک عملکرد داشته باشیم f(x) .

تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، مقاله ما را در مورد نحوه محاسبه مشتقات بخوانید.

یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه دائماً ضد مشتقات محاسبه نشود توابع ابتدایی، به راحتی می توان آنها را در یک جدول خلاصه کرد و از مقادیر آماده استفاده کرد.

جدول کامل انتگرال ها برای دانش آموزان

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت شکل، جرم جسم ناهمگن، مسافت طی شده کمک می کند. حرکت ناهموارمسیر و خیلی بیشتر باید به خاطر داشت که انتگرال یک مجموع نامحدود است مقدار زیادیاصطلاحات بی نهایت کوچک

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید.

چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ با استفاده از یک انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.

« انتگرال »

اتفاقا! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به بررسی خواص می پردازیم انتگرال معین، که در حل مثال مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. این در مورد تفاوت نیز صادق است:

ویژگی های یک انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:

• در هرامتیاز الف, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر انتگرال نامعین و مثال هایی را با حل در نظر خواهیم گرفت. ما به شما پیشنهاد می کنیم پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، سوالات خود را در نظرات بپرسید.

برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. با یک سرویس حرفه ای برای دانش آموزان تماس بگیرید، و هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.

در این مقاله ویژگی های اصلی انتگرال معین را فهرست می کنیم. اکثر این ویژگی ها بر اساس مفاهیم انتگرال معین ریمان و داربوکس اثبات شده اند.

محاسبه انتگرال معین اغلب با استفاده از پنج ویژگی اول انجام می شود، بنابراین در صورت لزوم به آنها اشاره خواهیم کرد. خواص باقی مانده از انتگرال معین عمدتاً برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شود.

قبل از حرکت ویژگی های اساسی انتگرال معین، اجازه دهید توافق کنیم که a از b تجاوز نمی کند.

برای تابع y = f(x) تعریف شده در x = a، برابری درست است.

یعنی مقدار یک انتگرال معین با همان حدود انتگرال برابر با صفر است. این ویژگی نتیجه تعریف انتگرال ریمان است، زیرا در این مورد هر مجموع انتگرال برای هر تقسیم بازه و هر انتخاب نقطه برابر با صفر است، زیرا، بنابراین، حد مجموع انتگرال صفر است.

برای یک تابع قابل ادغام در یک بازه، .

به عبارت دیگر، زمانی که حدود بالا و پایین ادغام جای خود را تغییر می دهد، مقدار انتگرال معین به عکس تغییر می کند. این ویژگی یک انتگرال معین نیز از مفهوم انتگرال ریمان ناشی می شود، فقط شماره گذاری پارتیشن قطعه باید از نقطه x = b شروع شود.

برای توابع قابل ادغام در بازه y = f(x) و y = g(x).

اثبات

بیایید مجموع انتگرال تابع را یادداشت کنیم برای یک پارتیشن معین از یک بخش و انتخاب معینی از نقاط:

که در آن و به ترتیب مجموع انتگرال توابع y = f(x) و y = g(x) برای یک پارتیشن معین از بخش هستند.

رفتن به حد در ما به دست می آوریم که، با تعریف انتگرال ریمان، معادل بیانیه خاصیت اثبات شده است.

عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد. یعنی برای یک تابع y = f(x) قابل انتگرال در یک بازه و یک عدد دلخواه k، تساوی زیر برقرار است: .

اثبات این خاصیت انتگرال معین کاملاً مشابه مورد قبلی است:


اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه X قابل انتگرال باشد و و سپس .

این ویژگی برای هر دو، و یا صادق است.

اثبات را می توان بر اساس ویژگی های قبلی انتگرال معین انجام داد.

اگر تابعی در یک بازه قابل ادغام باشد، در هر بازه داخلی قابل ادغام است.

اثبات بر اساس ویژگی مجموع Darboux است: اگر نقاط جدیدی به یک پارتیشن موجود از یک قطعه اضافه شود، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

اگر تابع y = f(x) در بازه و برای هر مقدار آرگومان انتگرال پذیر باشد، پس .

این ویژگی از طریق تعریف انتگرال ریمان اثبات می شود: هر مجموع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط تقسیم بخش و نقاط در غیر منفی (نه مثبت) خواهد بود.

نتیجه.

برای توابع y = f(x) و y = g(x) قابل انتگرال در یک بازه، نابرابری های زیر برقرار است:


این بیان به این معنی است که ادغام نابرابری ها مجاز است. ما از این نتیجه برای اثبات خواص زیر استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه انتگرال پذیر باشد، سپس نابرابری برقرار است .

اثبات

بدیهی است که . در ویژگی قبلی متوجه شدیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد، بنابراین درست است. . این نابرابری مضاعف را می توان به صورت زیر نوشت .

اجازه دهید توابع y = f(x) و y = g(x) در بازه و برای هر مقدار آرگومان انتگرال پذیر باشند، سپس ، کجا و .

اثبات به همین ترتیب انجام می شود. از آنجایی که m و M کوچکترین و بالاترین ارزشتابع y = f(x) در قطعه، سپس . ضرب نابرابری مضاعف در یک تابع غیر منفی y = g(x) ما را به نابرابری مضاعف زیر می رساند. با ادغام آن در بازه، به عبارت در حال اثبات می رسیم.

نتیجه.

اگر g(x) = 1 را بگیریم، آنگاه نابرابری شکل می گیرد .

فرمول میانگین اول

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه انتگرال پذیر باشد، و ، سپس یک عدد وجود دارد که .

نتیجه.

اگر تابع y = f(x) در بازه ممتد باشد، عددی وجود دارد که .

اولین فرمول مقدار میانگین به صورت تعمیم یافته.

اجازه دهید توابع y = f(x) و y = g(x) در بازه انتگرال پذیر باشند، و و g(x) > 0 برای هر مقدار آرگومان . سپس یک عدد وجود دارد به گونه ای که .

فرمول میانگین دوم

اگر در یک بازه تابع y = f(x) انتگرال پذیر باشد و y = g(x) یکنواخت باشد، عددی وجود دارد که برابری .

این ویژگی ها برای تبدیل انتگرال به منظور کاهش آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر، پس

8. اموال:

اگر، پس

در واقع این ملکیک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر را نشان می دهد که در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول آنتی مشتق ها استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و می تواند به راحتی پیدا کند راه حل دقیقبرای انتگرال شما

این ویژگی ها برای تبدیل انتگرال به منظور کاهش آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر، پس

8. اموال:

اگر، پس

در واقع این ویژگی یک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر است که در قسمت بعدی به طور مفصل به آن پرداخته می شود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول آنتی مشتق ها استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و به راحتی یک راه حل دقیق برای انتگرال شما پیدا می کند.

در حساب دیفرانسیل مشکل حل می شود: تحت این تابع ƒ(x) مشتق آن را پیدا کنید(یا دیفرانسیل). حساب انتگرال مسئله معکوس را حل می کند: تابع F(x) را پیدا کنید، با دانستن مشتق آن F "(x)=ƒ(x) (یا دیفرانسیل). تابع جستجو شده F(x) ضد مشتق تابع ƒ(x) نامیده می شود. ).

تابع F(x) فراخوانی می شود ضد مشتقتابع ƒ(x) در بازه (a; b)، اگر برای هر x є (a; b) برابری

F "(x)=ƒ(x) (یا dF(x)=ƒ(x)dx).

به عنوان مثال، ضد مشتق تابع y = x 2، x є R، تابع است، زیرا

بدیهی است که هر تابعی نیز ضد مشتق خواهد بود

که در آن C یک ثابت است، زیرا

قضیه 29. 1. اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع ƒ(x) روی (a;b) باشد، مجموعه تمام پاد مشتق ها برای ƒ(x) با فرمول F(x)+ به دست می آید. C، که در آن C یک عدد ثابت است.

▲ تابع F(x)+C پاد مشتق ƒ(x) است.

در واقع، (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

فرض کنید Ф(х) پاد مشتق دیگری از تابع ƒ(x)، متفاوت از F(x) باشد، یعنی Ф "(x)=ƒ(х). سپس برای هر x є (а; b) داریم.

و این بدان معنی است (به نتیجه 25.1 مراجعه کنید) که

که در آن C یک عدد ثابت است. بنابراین، Ф(x)=F(x)+С.▼

مجموعه تمام توابع ضد مشتق F(x)+С برای ƒ(x) نامیده می شود انتگرال نامعین تابع ƒ(x)و با نماد ∫ ƒ(x) dx نشان داده می شود.

بنابراین، طبق تعریف

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

در اینجا ƒ(x) فراخوانی می شود تابع انتگرال، ƒ(x)dx — بیان یکپارچه، X - متغیر ادغام, ∫ -علامت بزنید انتگرال نامعین .

عملیات یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی این تابع می گویند.

از نظر هندسی، انتگرال نامعین خانواده ای از منحنی های "موازی" y=F(x)+C است (هر مقدار عددی C مربوط به منحنی خاصی از خانواده است) (شکل 166 را ببینید). نمودار هر پاد مشتق (منحنی) نامیده می شود منحنی انتگرال.

آیا هر تابعی یک انتگرال نامعین دارد؟

قضیه ای وجود دارد که می گوید: «هر تابع پیوسته روی (a;b) یک پاد مشتق در این بازه دارد» و در نتیجه یک انتگرال نامعین.

اجازه دهید تعدادی از خصوصیات انتگرال نامعین را که از تعریف آن ناشی می شود، یادداشت کنیم.

1. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر با انتگرال و مشتق انتگرال نامعین برابر با انتگرال است:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

در واقع، d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

به لطف این ویژگی، صحت ادغام با تمایز بررسی می شود. مثلاً برابری

∫(3x 2 + 4) dx=х ز +4х+С

درست است، زیرا (x3 +4x+C)"=3x2 +4.

2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

∫dF(x)= F(x)+C.

واقعا،

3. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

α ≠ 0 یک ثابت است.

واقعا،

(C 1 / a = C را قرار دهید.)

4. انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع پیوسته برابر است با مجموع جبری انتگرال های مجموع توابع:

اجازه دهید F"(x)=ƒ(x) و G"(x)=g(x). سپس

که در آن C 1 ± C 2 = C.

5. (عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی).

اگر ، که در آن u=φ(x) یک تابع دلخواه با مشتق پیوسته است.

▲ اجازه دهید x یک متغیر مستقل باشد، ƒ(x) - عملکرد پیوستهو F(x) آنتی ژن آن است. سپس

اجازه دهید u=φ(x) را تنظیم کنیم، جایی که φ(x) تابعی است که به طور پیوسته قابل تمایز است. تابع مختلط F(u)=F(φ(x)) را در نظر بگیرید. با توجه به عدم تغییر شکل اولین دیفرانسیل تابع (نگاه کنید به ص 160)، ما داریم

از اینجا ▼

بنابراین، فرمول انتگرال نامعین صرف نظر از اینکه متغیر انتگرال، متغیر مستقل باشد یا هر تابعی از آن که مشتق پیوسته دارد، معتبر باقی می ماند.

بنابراین، از فرمول با جایگزینی x با u (u=φ(x)) دریافت می کنیم

به طور خاص،

مثال 29.1.انتگرال را پیدا کنید

که در آن C=C1+C2+C3+C4.

مثال 29.2.راه حل انتگرال را پیدا کنید:

• 29.3. جدول انتگرال های نامعین اساسی

با بهره گیری از این واقعیت که یکپارچگی عمل معکوس تمایز است، می توان با معکوس کردن فرمول های مربوط به حساب دیفرانسیل (جدول دیفرانسیل) و با استفاده از ویژگی های انتگرال نامعین، جدولی از انتگرال های پایه به دست آورد.

به عنوان مثال، زیرا

d(sin u)=cos u . du

هنگام در نظر گرفتن روشهای اساسی ادغام، استخراج تعدادی از فرمولها در جدول ارائه خواهد شد.

انتگرال های جدول زیر را جدولی می نامند. آنها را باید از قلب شناخت. در حساب انتگرال قوانین ساده و جهانی برای یافتن پاد مشتق توابع ابتدایی، مانند حساب دیفرانسیل وجود ندارد. روش‌های یافتن آنتی‌مشتق‌ها (یعنی ادغام یک تابع) به تکنیک‌هایی کاهش می‌یابد که یک انتگرال (جستجو) را به یک جدولی می‌آورند. بنابراین لازم است انتگرال های جدول را بشناسیم و بتوانیم آنها را تشخیص دهیم.

توجه داشته باشید که در جدول انتگرال های پایه، متغیر انتگرال می تواند هم متغیر مستقل و هم تابعی از متغیر مستقل را نشان دهد (با توجه به ویژگی عدم تغییر فرمول انتگرال گیری).

صحت فرمول های زیر را می توان با گرفتن دیفرانسیل سمت راست که برابر با انتگرال سمت چپ فرمول است، تأیید کرد.

اجازه دهید برای مثال اعتبار فرمول 2 را ثابت کنیم. تابع 1/u برای همه مقادیر و غیر از صفر تعریف شده و پیوسته است.

اگر u > 0، ln|u|=lnu، آنگاه به همین دلیل است

اگر شما<0, то ln|u|=ln(-u). Ноبه معنی

بنابراین، فرمول 2 صحیح است. به طور مشابه، بیایید فرمول 15 را بررسی کنیم:

جدول انتگرال های اصلی

دوستان! شما را به بحث دعوت می کنیم. اگر نظر خود را دارید در نظرات برای ما بنویسید.