در تئوری قابلیت اطمینان، قوانین زیر برای توزیع متغیرهای تصادفی بیشترین کاربرد را دارند: f(تی):

برای متغیرهای تصادفی گسسته - قانون دوجمله ای. قانون پواسون؛

برای متغیرهای تصادفی پیوسته - قانون نمایی. قانون عادی؛ توزیع گاما; قانون وایبل؛ x 2 - توزیع؛ توزیع log-normal.

قانون دوجمله ایتوزیع عدد n وقوع یک رویداد الف V مترآزمایشات مستقل (آزمون). اگر احتمال وقوع یک رویداد وجود داشته باشد الفدر یک آزمون برابر است با ص، احتمال عدم وقوع یک رویداد الفبرابر با q= 1– ص; تعداد آزمایش‌های مستقل m است، پس احتمال وقوع n رویداد در کارآزمایی‌ها خواهد بود:

کجا: - تعداد ترکیبات مترتوسط n.

1) تعداد رویدادها n- عدد صحیح مثبت؛

2) انتظار ریاضی از تعداد رویدادها است mp;

3) انحراف معیار تعداد رویدادها:

با افزایش تعداد آزمایش‌ها، توزیع دوجمله‌ای نزدیک می‌شود

به حالت عادی با مقدار متوسط n/mو واریانس ص(1– ص) / متر.

قانون پواسون- توزیع اعداد یک رویداد تصادفی n من در زمان τ . احتمال وقوع یک رویداد تصادفی nهر چند وقت یکبار τ :

که در آن: λ شدت یک رویداد تصادفی است.

خواص توزیع به شرح زیر است:

1) انتظار ریاضی از تعداد رویدادها در طول زمان τ برابر با λτ.

2) انحراف معیار تعداد رویدادها:

یک ویژگی مشخصه توزیع پواسون برابری انتظارات و واریانس ریاضی است. این ویژگی برای بررسی میزان مطابقت توزیع مورد مطالعه (تجربی) با توزیع پواسون استفاده می شود.

توزیع پواسون از توزیع دو جمله ای به دست می آید اگر تعداد آزمایش های m بدون محدودیت و تعداد رویدادهای مورد انتظار افزایش یابد. الف= λτ ثابت می ماند.

سپس احتمال توزیع دو جمله ای برای هر کدام n، برابر با 0، 1، 2، ...، به حد میل می کند:

قانون پواسون زمانی استفاده می شود که لازم باشد احتمال وقوع یک، دو، سه و غیره در یک محصول در یک زمان معین را تعیین کنیم.

قانون نمایی (نمایی).توزیع متغیر تصادفی X(شکل 4.3.3، a) در حالت کلی به صورت زیر نوشته شده است:

پ(x) = exp(–λ x),

کجا: پ(x) - احتمال اینکه متغیر تصادفی است Xاهمیت بیشتری دارد x; ارزش ها e–xدر پیوست 1 آورده شده است.

در حالت خاصی که زمان عملیات جسم به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می شود تی، احتمال اینکه محصول در طول زمان تیدر شرایط کاری برابر با exp(–λ تی):

پ(تی) = exp(–λ تی), (4.3.4)

جایی که: λ - نرخ شکست شی برای توزیع نمایی

(ثابت است)، یعنی λ= const.

عبارت (4.3.4) را می توان مستقیماً از (4.3.3) در صورت تعداد خرابی ها به دست آورد. nبرابر 0 بگیرید.

احتمال شکست در طول زمان تیاز (4.3.4):

س(تی) = 1– پ(تی) = 1– exp(–λ تی). (4.3.5)

میانگین زمان عملیات قبل از وقوع خرابی:

پراکندگی زمان عملیات قبل از وقوع خرابی:

زمان عملیات RMS:

σ( تی) =تی 1 . (4.3.9)

برابری انحراف استاندارد به میانگین زمان عملیاتی یکی از ویژگی های مشخصه توزیع نمایی است.

مواد آماری در مورد خرابی عناصر نشان می دهد که اساساً زمان کارکرد آنها از قانون توزیع نمایی تبعیت می کند. شرط ظهور یک قانون نمایی توزیع زمان تا خرابی، ثبات نرخ شکست است، که برای خرابی های ناگهانی در بازه زمانی که دوره کارکرد جسم به پایان رسیده است، و دوره سایش معمول است. و پیری هنوز شروع نشده است، یعنی برای شرایط عملیاتی عادی. نرخ خرابی اجسام پیچیده اگر ناشی از خرابی باشد ثابت می شود تعداد زیادیاجزاء

زمان وقوع خرابی های اولیه را می توان بر روی محور زمانی قرار داد به طوری که جریان شکست کل یک محصول پیچیده به ساده ترین، یعنی با نرخ شکست ثابت نزدیک شود.

این شرایط، و همچنین این واقعیت که فرض توزیع نمایی به طور قابل توجهی محاسبات قابلیت اطمینان را ساده می کند، استفاده گسترده از قانون نمایی در عمل مهندسی را توضیح می دهد.

توزیع گامامتغیر تصادفی (شکل 4.3.3، ب). اگر خرابی دستگاه زمانی رخ دهد که حداقل کخرابی عناصر آن و خرابی عناصر تابع یک قانون نمایی با پارامترهای λ 0، چگالی احتمال خرابی دستگاه است:

که در آن: λ 0 - میزان خرابی اولیه عناصر دستگاه که خرابی آن ناشی از خرابی است کعناصر

این توزیع منوط به زمان کارکرد دستگاه های اضافی است. برابری (4.3.9) از (4.3.3) به دست می آید.

احتمال کیا خرابی های بیشتر، یعنی احتمال خرابی یک دستگاه معین:

چگالی احتمال خرابی دستگاه در طول زمان تی:

میانگین زمان کارکرد دستگاه قبل از خرابی:

میزان خرابی دستگاه:

احتمال خرابی دستگاه:

در ک= 1- توزیع γ با توزیع نمایی منطبق است. با افزایش k، توزیع γ به یک توزیع متقارن نزدیک می‌شود، و نرخ شکست دارای ویژگی فزاینده‌ای از یک تابع فزاینده زمان خواهد بود.

توزیع وایبول. برای مواردی که جریان خرابی ثابت نیست، یعنی چگالی جریان در طول زمان تغییر می‌کند، تابع توزیع زمان تا خرابی به شکل نشان‌داده شده در شکل 1 است. 4.3.3، ج.

چگالی احتمال شکست این توزیع برابر است با:

تی:

میزان شکست:

در (4.3.15)-(4.3.17) α و λ 0 پارامترهای قانون توزیع هستند. پارامتر λ 0 مقیاس را تعیین می کند وقتی تغییر می کند، منحنی توزیع کوچک می شود یا کشیده می شود. برای α = 1، تابع توزیع Weibull با توزیع نمایی منطبق است. در α< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α >1- یکنواخت افزایش می یابد. این شرایط امکان انتخاب مناسب ترین پارامترهای α و λ 0 را برای داده های تجربی فراهم می کند، به طوری که معادله تابع توزیع به بهترین وجه با داده های تجربی مطابقت دارد. توزیع Weibull برای خرابی هایی که به دلیل خستگی بدنه قطعه یا لایه های سطحی (بلبرینگ ها، چرخ دنده ها) رخ می دهد، رخ می دهد. این مورد با ایجاد یک ترک خستگی در ناحیه ای با تمرکز تنش محلی، نقص فنی یا آسیب اولیه همراه است. دوره زمانی قبل از شروع ریزترک با علائم شکست ناگهانی مشخص می شود و فرآیند تخریب با علائم شکست سایش مشخص می شود.

این قانون در مورد خرابی دستگاه متشکل از عناصر تکراری متصل به صورت سری و سایر موارد مشابه قابل اعمال است.

این توزیع گاهی اوقات برای توصیف قابلیت اطمینان یاتاقان های نورد استفاده می شود (α = 1.4-1.7).

میانگین زمان تا اولین شکست از عبارت زیر تعیین می شود:

مقادیر Γ (تابع گاما) جدول بندی شده است (پیوست 2).

توزیع نرمال(شکل 4.3.3، د) متغیر تصادفی Xهر زمان رخ می دهد Xبستگی به تعداد زیادی از عوامل تصادفی همگن در تأثیر آنها دارد و تأثیر هر یک از این عوامل در مقایسه با مجموع عوامل دیگر ناچیز است. این شرایط برای زمان وقوع خرابی ناشی از افزایش سن معمول است، یعنی از این قانون برای ارزیابی قابلیت اطمینان محصولات در حضور خرابی های تدریجی (سایه شدن) استفاده می شود.

چگالی احتمال شکست:

کجا: تی- زمان متوسط ​​تا شکست؛

σ - میانگین انحراف مربع (استاندارد) زمان عملیات بدون خرابی.

احتمال شکست زمان تی:

مقدار تابع توزیع با فرمول تعیین می شود:

اف(تی) = 0.5 + Φ( تو) =س(تی); تو= (تی−تی) / σ.

(4.3.21) تی:

پ(تی) = 1 −س(تی) = 1 − = 0,5 −احتمال عدم شکست در طول زمان(تو). (4.3.22)

اف اف(تیارزش ها

) جدول بندی شده (پیوست 3). تینمودار λ( تی) در شکل نشان داده شده است. 4.3.3، نرخ شکست حتی پس از آن به طور یکنواخت افزایش می یابد

شروع به نزدیک شدن به مجانبی می کند:= (تی−تی y

) / σ. تی(4.3.23)

افزایش یکنواخت در نرخ شکست در طول زمان یکی از ویژگی های بارز توزیع نرمال است. توزیع نرمال به طور قابل توجهی با توزیع نمایی متفاوت است. آغاز شمارش معکوس در (4.3.20) شروع عملیات جسم است، یعنی لحظه ای که فرآیند سایش و پیری شروع می شود، و نقطه شروع در (4.3.4) لحظه ای از زمان است که مشخص می شود محصول در شرایط کار خوب است (این لحظه را می توان در هر نقطه از محور زمان قرار داد). کوتاه شده

توزیع نرمال (شکل 4.3.3، د). از آنجایی که با یک توزیع نرمال، یک متغیر تصادفی می‌تواند هر مقداری از -∞ تا +∞ داشته باشد، و زمان بدون شکست فقط می‌تواند مثبت باشد، یک توزیع نرمال کوتاه شده با چگالی احتمال خرابی باید در نظر گرفته شود:عامل عادی سازی

(شکل 4.3.3، د). از آنجایی که با یک توزیع نرمال، یک متغیر تصادفی می‌تواند هر مقداری از -∞ تا +∞ داشته باشد، و زمان بدون شکست فقط می‌تواند مثبت باشد، یک توزیع نرمال کوتاه شده با چگالی احتمال خرابی باید در نظر گرفته شود:= 1 / اف(تیج

از عبارت:

1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

تابع توزیع نرمال تجمعی جدول بندی شده (پیوست 4).

تابع لاپلاس نرمال شده تیسپس (4.3.24) به صورت زیر نوشته می شود:

در تیمیانگین زمان تا شکست در توزیع کوتاه و پارامتر (شکل 4.3.3، د). از آنجایی که با یک توزیع نرمال، یک متغیر تصادفی می‌تواند هر مقداری از -∞ تا +∞ داشته باشد، و زمان بدون شکست فقط می‌تواند مثبت باشد، یک توزیع نرمال کوتاه شده با چگالی احتمال خرابی باید در نظر گرفته شود: 1 توزیع نرمال غیرقطعی به وسیله:

/ σ ≥ 2، که در اکثر موارد هنگام ارزیابی قابلیت اطمینان دستگاه هایی با خرابی های توزیع شده معمولی، ضریب رخ می دهد.

تفاوت کمی با وحدت دارد و توزیع نرمال کوتاه شده کاملاً با دقت با قانون عادی معمولی تقریب می شود.احتمال عملکرد بدون خرابی از عبارت زیر تعیین می شود:

توزیع ریلی x(شکل 4.3.3، f) - توزیع احتمال پیوسته با چگالی:

بسته به پارامتر مقیاس σ > 0. توزیع دارای چولگی مثبت است، تنها حالت آن در نقطه قرار دارد.

= σ. تمام گشتاورهای توزیع ریلی متناهی هستند.

درست مانند توزیع Weibull یا γ، توزیع Rayleigh برای توصیف رفتار پوشیدن یا پیری محصولات مناسب است.

نرخ شکست (تابع چگالی احتمال شکست) توسط:

λ( تی) = تیاحتمال عملکرد بدون خرابی از عبارت زیر محاسبه می شود:

نرخ شکست از زیر بدست می آید:

/ σ 2. (4.3.35) تعیین قانون توزیع شکست در تحقیقات و ارزیابی قابلیت اطمینان از اهمیت بالایی برخوردار است. تعریف پ(تی) بر اساس همان اطلاعات اولیه در مورد تی، اما تحت مفروضات مختلف در مورد قانون توزیع می تواند به نتایج قابل توجهی متفاوت منجر شود.

قانون توزیع شکست را می توان از داده های تجربی تعیین کرد، اما این امر مستلزم انجام تعداد زیادی آزمایش در شرایط یکسان است. در عمل، دستیابی به این شرایط معمولاً دشوار است. علاوه بر این، چنین راه حلی حاوی ویژگی های ثبت رویداد غیرفعال است.

در عین حال، در بسیاری از موارد، در حین بهره برداری، تنها بخش کوچکی از امکانات اولیه از کار می افتند. داده های آماری به دست آمده مربوط به قسمت اولیه (چپ) توزیع تجربی است.

منطقی تر مطالعه شرایط و فرآیندهای فیزیکی است که تحت آن این یا آن توزیع رخ می دهد. در همان زمان، مدل‌هایی از وقوع خرابی‌ها و قوانین مربوط به توزیع زمان قبل از ظهور یک خرابی جمع‌آوری می‌شوند، که به فرد اجازه می‌دهد تا در مورد قانون توزیع مفروضات معقولی داشته باشد.

داده های تجربی باید به عنوان ابزاری برای بررسی اعتبار پیش بینی عمل کنند و نه به عنوان تنها منبع داده در مورد قانون توزیع. این رویکرد برای ارزیابی قابلیت اطمینان محصولات جدید، که مواد آماری برای آنها بسیار محدود است، ضروری است.

سوال 16. قانون توزیع وایبول

قانون توزیع وایبول یکی از رایج ترین قوانین در تئوری قابلیت اطمینان است. این قانون با عمر خستگی محصولات و زمان تا خرابی محصولات غیر قابل تعمیر دنبال می شود. با استفاده از توزیع Weibull، می توانید علل مختلف شکست را شرح دهید: خستگی، ناگهانی، تدریجی. خرابی گیربکس ها، وینچ ها، موتورهای پایین چاهی و تراکتورها مشمول قانون توزیع Weibull می باشد.

نرخ شکست محصول یا چگالی احتمال زمان عملیات بدون خرابی محصول

میزان شکست

MTBF

که در آن a، k پارامترهای قانون توزیع Weibull هستند.

Г(x) تابع گاما است که مقادیر آن در جداول آورده شده است.

در k = 1، توزیع Weibull نمایی می شود.

هنگامی که k = 2.5-3.5، توزیع Weibull نزدیک به نرمال است.

سوال 17. قانون توزیع نمایی (نمایی).

قانون توزیع نمایی یک مورد خاص از قانون توزیع وایبول است (k=1). قابل استفاده برای محصولاتی که در مرحله اجرا اولیه قرار گرفته اند. این توزیع همچنین در تجزیه و تحلیل خرابی های ناگهانی پمپ های گل و ماشین های معدن استفاده می شود.

احتمال عملکرد بدون خرابی محصول در بازه زمانی 0 تا t

احتمال خرابی محصول در بازه زمانی 0 تا t

تابع دیفرانسیل یا چگالی احتمال توزیع نمایی

میزان شکست

انتظار برای توزیع نمایی

این توزیع اغلب برای مطالعه میزان شکست برای دوره های شروع و پیری استفاده می شود.

قابلیت اطمینان رایج ترین عناصر شبکه های الکتریکی، مانند ترانسفورماتورهای قدرت، خطوط کابل، تا حد زیادی با قابلیت اطمینان عایق تعیین می شود که "قدرت" آن در حین کار تغییر می کند. استحکام عایق بسته به شرایط عملیاتی و نوع محصول، با استحکام مکانیکی، الاستیسیته تعیین می شود که امکان ایجاد تغییر شکل های باقیمانده، ترک ها، لایه لایه شدن را تحت تأثیر بارهای مکانیکی، به عنوان مثال، ناهمگونی ها حذف می کند.

یکنواختی و استحکام ساختار عایق و هدایت حرارتی بالای آن باعث از بین رفتن افزایش گرمایش موضعی می شود که به ناچار منجر به افزایش درجه ناهمگنی استحکام الکتریکی می شود. تخریب عایق در حین کار عنصر عمدتاً در نتیجه گرمایش توسط جریان های بار و اثرات دمای محیط خارجی رخ می دهد. بارهای مکانیکی (ارتعاشات، تغییر شکل ها، ضربه ها و ...) نیز منجر به از بین رفتن عایق می شود.

در میان عوامل ذکر شده که طول عمر عایق المان های مشخص شده شبکه های الکتریکی را تعیین می کند، یکی از عوامل اصلی می باشد. پیری حرارتیبر اساس تحقیق تجربیقانون معروف "هشت درجه" به دست آمد که بر اساس آن افزایش دمای عایق بر اساس ارگانیک به ازای هر هشت درجه به طور متوسط ​​باعث کاهش عمر مفید عایق به نصف می شود. در حال حاضر، بسته به کلاس عایق مورد استفاده، از قوانین شش، هشت، ده و دوازده درجه استفاده می شود.

طول عمر عایق بسته به دمای گرمایش:

تیو = الف e-γς، (5.43)

کجا الف -عمر مفید عایق در ς = 0 - مقداری مشروط.

γ- ضریب مشخص کننده درجه پیری عایق بسته به کلاس.

ς - دمای بیش از حد گرم شدن عایق.

عامل مهم دیگری که باعث پیری شدید عایق می شود، ناشی از فرآیندهای الکتریکی در طول آن است تغییرات ناگهانیجریان، برای مثال، در حین بارگذاری به شدت متغیر ترانسفورماتور قدرت، از طریق جریان های اتصال کوتاه، بار افزایش می یابد و افت می کند. مشخصات مکانیکیقدرت عایق نیز به دما بستگی دارد. استحکام مکانیکی عایق با گرم شدن به سرعت کاهش می یابد، اما در عین حال خاصیت ارتجاعی بیشتری پیدا می کند.

وقتی در معرض متغیرها قرار می گیرند شرایط نامطلوبناهمگنی مواد افزایش می یابد، به عنوان مثال، یک میکروترک در اعماق عایق پخش می شود و با افزایش تصادفی ولتاژ، می تواند باعث خرابی عایق شود. علت شکست ممکن است حتی ناهمگونی جزئی مواد باشد.

تعداد تأثیرات نامطلوب (حرارتی یا الکترومکانیکی) که باعث خرابی عایق می شود تابعی است که بسته به اندازه ناهمگنی کاهش می یابد. این عدد برای بزرگترین ناهمگنی (ترک، لایه لایه شدن و غیره) حداقل است. بنابراین، تعداد اثرات نامطلوب، یا طول عمر عایق، باید از قانون توزیع حداقل تعداد SV مستقل پیروی کند - تعداد اثرات نامطلوب مربوط به ناهمگونی‌های اندازه‌های مختلف، یعنی اگر Ti عملیات بدون خرابی باشد. زمان کل عایق، و Tii - زمان عملیات بدون خرابی بخش iام (i = 1، 2،...، n)، سپس:

تی u = دقیقه ( تی u1، تی u2،… تیو ن). (5.44)

بنابراین، برای تعیین قانون توزیع زمان عملکرد بدون خرابی چنین جسمی مانند عایق یک عنصر شبکه برق، یافتن احتمال توزیع حداقل زمان های عملیات بدون خرابی مجموعه تمام بخش ها ضروری است. علاوه بر این، بیشترین علاقه در موردی است که قوانین توزیع زمان به کار هر بخش دلخواه باشد، اما شکل قوانین توزیع یکسان است، یعنی هیچ بخش مختلف به وضوح تعریف شده ای وجود ندارد.

از نظر قابلیت اطمینان، بخش هایی از چنین سیستمی با یک اتصال سریال مطابقت دارد. بنابراین، تابع توزیع زمان عملیات بدون خرابی چنین سیستمی به صورت زیر است:

q c (t) = 1 - n. (5.45)

سپس، از تبدیل های ریاضی برای استخراج فرمولی استفاده می شود که در آن پارامتر اصلی "آستانه حساسیت" است، یعنی عنصر تضمین شده است که در بازه زمانی (0، t0) شکست نخورد (در حالت خاص t0 = 0). اگر توزیع آستانه حساسیت t0 نداشته باشد , سپس قانون توزیع فراخوانی می شود توزیع ویبول:

که در آن c > 0 مقداری ضریب ثابت است.

α – پارامتر توزیع.

این قانون توزیع اغلب برای تقریب توزیع زمان عملیات بدون خرابی سیستم‌ها با تعداد محدودی از عناصر متصل به سری (از نظر قابلیت اطمینان) (خطوط کابل طولانی با تعداد قابل توجهی کوپلینگ و غیره) استفاده می‌شود.

چگالی توزیع:

(5.47)

در α = 1 چگالی توزیع به نرمال تبدیل می شود تابع نمایی(شکل 5.12 را ببینید).

شکل 5.12 - تابع توزیع تفاضلی زمان عملیات بدون خرابی عایق طبق قانون

وایبول

شکل 5.13 - میزان شکست در

توزیع وایبول

نرخ شکست برای توزیع چگالی طبق قانون وایبول (شکل 5.13 را ببینید):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

نرخ شکست برای این قانون، بسته به پارامتر توزیع، می تواند افزایش یابد، ثابت بماند (قانون نمایی) و کاهش یابد.

همانطور که از شکل های 5.12 و 5.13 مشاهده می شود، قانون توزیع نمایی یک مورد خاص از قانون وایبول است. α = 1 (λ = Const). در α = 2 تابع توزیع زمان عملیات بدون خرابی با قانون ریلی منطبق خواهد شد، زمانی که α »1 به خوبی با قانون توزیع نرمال در مجاورت میانگین زمان عملیات بدون خرابی تقریب می یابد.

با انتخاب مناسب پارامتر α می توان با استفاده از قانون وایبول، قابلیت اطمینان هر دو عنصر پیری (دوره پیری و سایش) را که λ(t) افزایش می‌یابد، و قابلیت اطمینان عناصر با نقص پنهان (دوره اجرا) که برای آن λ است، توصیف کرد. (t) با گذشت زمان کاهش می یابد.

انتظارات ریاضی (متوسط ​​زمان) عملکرد و پراکندگی بدون شکست زمانی که طبق قانون وایبول توزیع می شود:

تی u.av = Г(1+1/α) c-1/α، (5.49)

D(Ti) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

کجا Г( X) - تابع گاما.

توزیع Weibull (مدل پیوند ضعیف)

نیاز عملی به در نظر گرفتن تغییرپذیری نرخ‌های خرابی به ما این امکان را می‌دهد که به این نتیجه برسیم که شرایط منتهی به توزیع‌های اصلی تئوری قابلیت اطمینان (نمایی، نرمال، لگاریتمی-نرمال و غیره) نشان‌دهنده عدم توجیه استفاده از آنها برای تجزیه و تحلیل قابلیت اطمینان است. لوله‌های ژنراتور پرقدرت، کلیسترون‌ها، مگنترون‌ها، لامپ‌های موج سفر و سایر عناصر سیستم‌های کنترل که به طور کلی با پیری با نرخ سایش متغیر مشخص می‌شوند، از نظر کیفیت اولیه ناهمگن هستند.

در سال 1939، ریاضیدان و مهندس سوئدی W. Weibull (1887-1979)، با تجزیه و تحلیل خرابی های ناشی از سایش یاتاقان های توپ، یک تابع توزیع مفید برای توصیف دوام مواد پیشنهاد کرد و خاطرنشان کرد: به نظر می رسد تنها راه عملی برای دستیابی به موفقیت در انتخاب یک تابع ساده، آزمایش تجربی آن و سپس انتخاب نهایی آن در صورت وجود هیچ چیز بهتر است.

بدون پرداختن به ارزیابی اعتبار این کلمات در حال حاضر، توجه می کنیم که وایبول یک تابع توزیع احتمال دو پارامتری را به عنوان یک تابع ساده انتخاب کرد:

کجا تی، س- پارامترهای مقیاس و شکل، به ترتیب.

از اواسط دهه 1950. علاقه به توزیع Weibull در حال افزایش است زیرا ثابت شده است که مدل خوبی برای توصیف قابلیت اطمینان دستگاه های پیچیده است. به نظر می رسد که این قانون برای تجزیه و تحلیل مدت زمان عملکرد بدون خرابی دستگاه های مایکروویو خلاء الکتریکی قدرتمند مناسب است.

B.V. گندنکو مشخص کرد که توزیع Weibull یک توزیع مجانبی از نوع سوم برای حداقل مقادیر یک دنباله از متغیرهای مستقل است. اثبات شده است خاصیت مشخصهقانون وایبول: اگر t| = دقیقه (X v X 2,X p)از توزیع Weibull و متغیرهای تصادفی تبعیت می کند X ( , X 2 ,...، Xn مستقل هستند و به طور مساوی توزیع می شوند، سپس آنها نیز از این قانون تبعیت می کنند. بسیاری از دستگاه ها دارای تعداد قابل توجهی از عناصر همگن تحت شرایط کاری یکسان هستند. اگر عناصر تکرار شونده در رابطه با زمان عملکرد بدون خرابی دستگاه تعیین کننده باشند، آنگاه مداری تشکیل می شود که منجر به توزیع Weibull می شود. خرابی دستگاه به عنوان خرابی هر یک از پارامترهای فراتر از تحمل تعیین شده در نظر گرفته می شود. می توان فرض کرد که تغییرات در این پارامترها فرآیندهای تصادفی ضعیفی هستند. سپس، اگر m با توجه به پارامتر iام دوام باشد، آنگاه منبع به عنوان یک کل به صورت m = min (t r t 2، ...، t l) تعریف می شود.

تابع قابلیت اطمینان برای توزیع Weibull به طور کلی با سه پارامتر تعیین می شود و به شکل زیر است:

که در آن - , / 0 - پارامترهای مقیاس، شکل، تغییر (پارامتر تغییر

همچنین "آستانه حساسیت" نامیده می شود) }