نمونه اعداد اعشاری کسرهای معمولی و اعشاری و عملیات روی آنها. تبدیل کسرهای اعشاری تناوبی به کسرهای معمولی

این مقاله در مورد اعشاری. در اینجا نماد اعشاری اعداد کسری را درک می کنیم، مفهوم کسر اعشاری را معرفی می کنیم و نمونه هایی از کسرهای اعشاری را ارائه می دهیم. در ادامه در مورد ارقام کسرهای اعشاری صحبت می کنیم و نام ارقام را می گوییم. پس از این، ما بر روی کسرهای اعشاری بی نهایت تمرکز خواهیم کرد، اجازه دهید در مورد کسرهای تناوبی و غیر تناوبی صحبت کنیم. در مرحله بعد عملیات اصلی را با کسرهای اعشاری فهرست می کنیم. در پایان، اجازه دهید موقعیت کسرهای اعشاری را روی پرتو مختصات تعیین کنیم.

پیمایش صفحه.

نماد اعشاری یک عدد کسری

خواندن اعشار

بیایید چند کلمه در مورد قوانین خواندن کسرهای اعشاری بگوییم.

کسرهای اعشاری، که مربوط به کسرهای معمولی مناسب هستند، به همان روشی خوانده می شوند که این کسرهای معمولی، ابتدا فقط «عدد صحیح صفر» اضافه می شود. به عنوان مثال، کسر اعشاری 0.12 مربوط به کسری مشترک 12/100 است (بخوانید "دوازده صدم")، بنابراین، 0.12 به عنوان "نقطه صفر دوازدهم" خوانده می شود.

کسرهای اعشاری که با اعداد مختلط مطابقت دارند دقیقاً مشابه این اعداد مختلط خوانده می شوند. به عنوان مثال، کسر اعشاری 56.002 مربوط به یک عدد مختلط است، بنابراین کسر اعشاری 56.002 به عنوان "پنجاه و شش نقطه دو هزارم" خوانده می شود.

مکان ها در اعشار

در نوشتن کسرهای اعشاری و همچنین در نوشتن اعداد طبیعی، معنای هر رقم به موقعیت آن بستگی دارد. در واقع، عدد 3 در کسر اعشاری 0.3 به معنای سه دهم، در کسری اعشاری 0.0003 - سه ده هزارم و در کسری اعشاری 30000.152 - سه ده هزار است. بنابراین می توانیم در مورد آن صحبت کنیم ارقام اعشاریو همچنین در مورد ارقام در اعداد طبیعی.

نام ارقام در کسر اعشاری تا اعشار کاملاً با نام ارقام در اعداد طبیعی منطبق است. و نام اعشار بعد از اعشار از جدول زیر قابل مشاهده است.

به عنوان مثال، در کسر اعشاری 37.051، رقم 3 در محل ده ها، 7 در مکان یک ها، 0 در مکان دهم، 5 در مکان صدم و 1 در مکان هزارم قرار دارد.

مکان ها در کسرهای اعشاری نیز از نظر تقدم متفاوت هستند. اگر در نوشتن کسر اعشاری از رقمی به رقمی دیگر از چپ به راست حرکت کنیم، از حرکت خواهیم کرد سالمندانبه رتبه های پایین تر. به عنوان مثال، مکان صدها از مکان دهم قدیمی تر است و مکان میلیون ها از مکان صدم پایین تر است. در یک کسر اعشاری نهایی، می توانیم در مورد ارقام اصلی و کوچک صحبت کنیم. به عنوان مثال، در کسر اعشاری 604.9387 ارشد (بالاترین)مکان صدها مکان است و جوان (پایین ترین)- رقم ده هزارم.

برای کسرهای اعشاری، بسط به ارقام صورت می گیرد. شبیه بسط دادن به ارقام اعداد طبیعی است. برای مثال، بسط به ارقام اعشاری 45.6072 به صورت زیر است: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. و ویژگی های جمع از تجزیه یک کسر اعشاری به ارقام به شما امکان می دهد تا به سایر نمایش های این کسر اعشاری بروید، برای مثال 45.6072=45+0.6072، یا 45.6072=40.6+5.007+0.0002، یا 45.6072+0.0002، یا 45.6072+. 0.6.

اعشار پایانی

تا اینجا ما فقط در مورد کسرهای اعشاری صحبت کرده ایم که در نمادگذاری آنها تعداد محدودی از ارقام بعد از نقطه اعشار وجود دارد. چنین کسری را اعشار محدود می نامند.

تعریف.

اعشار پایانی- اینها کسرهای اعشاری هستند که رکوردهای آنها شامل تعداد محدودی کاراکتر (رقم) است.

در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نهایی آورده شده است: 0.317، 3.5، 51.1020304958، 230،032.45.

با این حال، هر کسری را نمی توان به عنوان اعشار نهایی نشان داد. به عنوان مثال، کسر 5/13 را نمی توان با کسری مساوی با یکی از مخرج های 10، 100، ... جایگزین کرد، بنابراین نمی توان آن را به کسر اعشاری نهایی تبدیل کرد. در بخش تئوری، تبدیل کسرهای معمولی به اعشار بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اعشار نامتناهی: کسرهای تناوبی و کسرهای غیر تناوبی

در نوشتن کسر اعشاری بعد از نقطه اعشار، می توانید احتمال بی نهایت رقم را فرض کنید. در این صورت، به اصطلاح کسرهای اعشاری نامتناهی را در نظر خواهیم گرفت.

تعریف.

اعشار بی نهایت- این کسرهای اعشاری هستند که شامل بی نهایت رقم هستند.

واضح است که ما نمی‌توانیم کسرهای اعشاری نامتناهی را به صورت کامل بنویسیم، بنابراین در ضبط آنها فقط به تعداد محدود معینی از ارقام بعد از نقطه اعشار محدود می‌شویم و بیضی می‌گذاریم که نشان‌دهنده دنباله‌ای بی‌پایان از ارقام است. در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نامتناهی آورده شده است: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

اگر به دو کسر اعشاری نامتناهی آخر دقت کنید، در کسری 2.111111111... عدد 1 که بی انتها تکرار می شود به وضوح قابل مشاهده است و در کسری 69.74152152152...، با شروع از رقم سوم اعشار، یک گروه تکرار شونده از اعداد. 1، 5 و 2 به وضوح قابل مشاهده است. چنین کسرهای اعشاری نامتناهی دوره ای نامیده می شوند.

تعریف.

اعشار دوره ای(یا فقط کسرهای تناوبی ) کسرهای اعشاری بی پایانی هستند که در ثبت آنها با شروع از یک رقم اعشار معین، تعداد یا گروهی از اعداد بی پایان تکرار می شود که به آن می گویند. دوره کسری.

برای مثال دوره کسر تناوبی 2.111111111... رقم 1 است و دوره کسری 69.74152152152... گروهی از ارقام به شکل 152 است.

برای کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی، شکل خاصی از نشانه گذاری اتخاذ می شود. برای اختصار، توافق کردیم که دوره را یک بار بنویسیم و آن را داخل پرانتز قرار دهیم. برای مثال، کسر تناوبی 2.111111111... به صورت 2،(1) و کسر تناوبی 69.74152152152... به صورت 69.74(152) نوشته می شود.

شایان ذکر است که برای یک کسر اعشاری تناوبی می توانید دوره های مختلفی را مشخص کنید. به عنوان مثال، کسر اعشاری تناوبی 0.73333... را می توان به عنوان کسری 0.7(3) با دوره 3، و همچنین به عنوان کسری 0.7(33) با دوره 33، و به همین ترتیب 0.7(333) در نظر گرفت. 0.7 (3333)، ... همچنین می توانید به کسر تناوبی 0.73333 ... مانند این نگاه کنید: 0.733(3) یا مانند این 0.73(333) و غیره. در اینجا، برای جلوگیری از ابهام و مغایرت، ما موافقت می‌کنیم که کوتاه‌ترین توالی ممکن برای تکرار ارقام را به عنوان دوره کسری اعشاری در نظر بگیریم و از نزدیک‌ترین موقعیت به نقطه اعشار شروع کنیم. یعنی دوره کسر اعشاری 0.73333... دنباله ای یک رقمی 3 در نظر گرفته خواهد شد و تناوب از موقعیت دوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 0.73333...=0.7(3). مثال دیگر: کسر تناوبی 4.7412121212... دارای دوره 12 است، تناوب از رقم سوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 4.7412121212...=4.74(12).

کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی با تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای اعشاری که مخرج آنها شامل ضرایب اول غیر از 2 و 5 است به دست می آید.

در اینجا قابل ذکر است کسرهای تناوبی با دوره 9. اجازه دهید نمونه هایی از این کسرها را مثال بزنیم: 6.43(9) , 27، (9). این کسرها نماد دیگری برای کسرهای تناوبی با دوره 0 هستند و معمولاً با کسرهای تناوبی با دوره 0 جایگزین می شوند. برای انجام این کار، دوره 9 با دوره 0 جایگزین می شود و مقدار بالاترین رقم بعدی یک افزایش می یابد. به عنوان مثال، کسری با نقطه 9 از شکل 7.24(9) با کسری تناوبی با دوره 0 از شکل 7.25(0) یا کسری اعشاری نهایی برابر با 7.25 جایگزین می شود. مثال دیگر: 4,(9)=5,(0)=5. تساوی کسری با دوره 9 و کسر متناظر آن با دوره 0 به راحتی پس از جایگزینی این کسرهای اعشاری با کسرهای معمولی مساوی ایجاد می شود.

در نهایت، بیایید نگاهی دقیق‌تر به کسرهای اعشاری بینهایت بیندازیم، که شامل یک دنباله اعداد بی‌پایان تکرار شونده نیستند. به آنها غیر دوره ای می گویند.

تعریف.

اعشار غیر تکراری(یا فقط کسرهای غیر تناوبی) کسرهای اعشاری نامتناهی هستند که نقطه ندارند.

گاهی اوقات کسرهای غیر تناوبی شکلی شبیه کسرهای تناوبی دارند، مثلاً 8.02002000200002... یک کسر غیر تناوبی است. در این موارد، باید به ویژه مراقب باشید که تفاوت را متوجه شوید.

توجه داشته باشید که کسرهای غیر تناوبی به کسرهای معمولی تبدیل نمی شوند.

عملیات با اعشار

یکی از عملیات با کسرهای اعشاری مقایسه است و چهار تابع اصلی حسابی نیز تعریف شده است. عملیات با اعشار: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. بیایید هر یک از اعمال با کسرهای اعشاری را جداگانه در نظر بگیریم.

مقایسه اعداد اعشاریاساساً بر اساس مقایسه کسرهای معمولی مربوط به کسرهای اعشاری مورد مقایسه است. با این حال، تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی یک فرآیند نسبتاً کار فشرده است و کسرهای غیر تناوبی بی نهایت را نمی توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد، بنابراین استفاده از مقایسه مکان به رقم کسری اعشاری راحت است. مقایسه کسری اعشاری از نظر مکان مشابه مقایسه اعداد طبیعی است. برای اطلاعات دقیق تر، توصیه می کنیم مطالب را در مقاله مطالعه کنید: مقایسه کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

بیایید به مرحله بعدی برویم - ضرب اعشار. ضرب کسرهای اعشاری محدود به طور مشابه با تفریق کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل های ضرب در ستونی از اعداد طبیعی انجام می شود. در مورد کسرهای تناوبی، ضرب را می توان به ضرب کسرهای معمولی تقلیل داد. به نوبه خود، ضرب کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی پس از گرد کردن آنها به ضرب کسرهای اعشاری محدود کاهش می یابد. ما برای مطالعه بیشتر مطالب در مقاله توصیه می کنیم: ضرب کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

اعداد بر روی یک پرتو مختصات

بین نقاط و اعشار مطابقت یک به یک وجود دارد.

بیایید بفهمیم که چگونه نقاطی در پرتو مختصات ساخته می شوند که با کسر اعشاری داده شده مطابقت دارند.

می‌توانیم کسرهای اعشاری متناهی و کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی را با کسرهای معمولی مساوی جایگزین کنیم و سپس کسرهای معمولی مربوطه را روی پرتو مختصات بسازیم. به عنوان مثال، کسر اعشاری 1.4 مطابق با کسری مشترک 14/10 است، بنابراین نقطه با مختصات 1.4 از مبدأ در جهت مثبت توسط 14 بخش برابر با یک دهم قطعه واحد حذف می شود.

کسرهای اعشاری را می توان بر روی یک پرتو مختصات علامت گذاری کرد که از تجزیه یک کسر اعشاری معین به ارقام شروع می شود. برای مثال، اجازه دهید یک نقطه با مختصات 16.3007 بسازیم، زیرا 16.3007=16+0.3+0.0007، سپس در این نقطهشما می توانید با کنار گذاشتن متوالی از مبدا 16 قطعه واحد، 3 قطعه که طول آنها برابر با یک دهم قطعه واحد است و 7 قطعه که طول آنها برابر با ده هزارم قطعه واحد است، به آنجا برسید.

این روش ساختن اعداد اعشاریدر پرتو مختصات به شما این امکان را می دهد که تا جایی که دوست دارید به نقطه مربوط به یک کسر اعشاری بی نهایت نزدیک شوید.

گاهی اوقات می توان نقطه مربوط به کسر اعشاری نامتناهی را به دقت رسم کرد. به عنوان مثال، ، سپس این کسر اعشاری نامتناهی 1.41421... مربوط به نقطه ای از پرتو مختصات است که از مبدأ با طول قطر مربع با ضلع 1 حذف شده است. بخش واحد.

فرآیند معکوس بدست آوردن کسر اعشاری مربوط به یک نقطه معین در یک پرتو مختصات به اصطلاح اندازه گیری اعشاری یک قطعه. بیایید بفهمیم که چگونه انجام می شود.

بگذارید وظیفه ما این باشد که از مبدأ به نقطه معینی در خط مختصات برسیم (یا اگر نتوانیم به آن برسیم، بی نهایت به آن نزدیک شویم). با اندازه‌گیری اعشاری یک پاره، می‌توانیم هر تعداد قطعه واحد را به ترتیب از مبدأ حذف کنیم، سپس بخش‌هایی که طول آن‌ها برابر با یک دهم واحد است، سپس قطعاتی که طول آن‌ها برابر با یک صدم واحد است و غیره. با ثبت تعداد پاره های هر طول کنار گذاشته شده، کسر اعشاری مربوط به یک نقطه داده شده در پرتو مختصات را به دست می آوریم.

برای مثال برای رسیدن به نقطه M در شکل بالا باید 1 واحد و 4 پاره که طول آنها برابر با یک دهم واحد است را کنار بگذارید. بنابراین، نقطه M با کسر اعشاری 1.4 مطابقت دارد.

واضح است که نقاط پرتو مختصاتی که در فرآیند اندازه گیری اعشاری نمی توان به آنها رسید، با کسرهای اعشاری بی نهایت مطابقت دارد.

مراجع

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. ویلنکین و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

موضوع: کسرهای اعشاری. جمع و تفریق اعشار

درس: نماد اعشاری اعداد کسری

مخرج کسری را می توان به هر شکلی بیان کرد عدد طبیعی. اعداد کسری که در آنها مخرج 10 بیان می شود. 100; 1000;…، جایی که n، ما موافقت کردیم که آن را بدون مخرج بنویسیم. هر عدد کسری که مخرج آن 10 باشد. 100; 1000 و غیره (یعنی یک به دنبال چند صفر) را می توان به صورت اعشاری (به صورت اعشاری) نشان داد. ابتدا تمام قسمت را بنویسید سپس صورت بخش کسری را بنویسید و کل قسمت با کاما از کسری جدا می شود.

به عنوان مثال،

اگر کل بخشغایب، یعنی اگر کسر مناسب باشد، کل قسمت به صورت 0 نوشته می شود.

برای نوشتن صحیح اعشار، شمارنده کسر باید به تعداد صفرهای کسر باشد.

1. به صورت اعشاری بنویسید.

2. یک عدد اعشاری را به صورت کسری یا عدد مختلط نشان دهید.

3. اعداد اعشاری را بخوانید.

12.4 - 12 امتیاز 4;

0.3 - 0 امتیاز 3;

1.14 - 1 امتیاز 14 صدم؛

2.07 - 2 امتیاز 7 صدم;

0.06 - 0 امتیاز 6 صدم؛

0.25 - 0 امتیاز 25;

1.234 - 1 امتیاز 234 هزارم;

1.230 - 1 امتیاز 230 هزارم;

1.034 - 1 امتیاز 34 هزارم;

1.004 - 1 امتیاز 4 هزارم؛

1.030 - 1 امتیاز 30 هزارم؛

0.010101 - 0 امتیاز 10101 میلیونیم.

4. کاما را در هر رقم 1 مکان به سمت چپ ببرید و اعداد را بخوانید.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. کاما را در هر عدد 1 به سمت راست ببرید و عدد حاصل را بخوانید.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. بر حسب متر و سانتی متر بیان کنید.

3.28 متر = 3 متر + .

7. بیان به تن و کیلوگرم.

24.030 تن = 24 تن.

8. ضریب را به صورت کسری اعشاری بنویسید.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. بیان در dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 میلی متر =

دستورالعمل ها

آموزش تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی. شمارش کنید که چند کاراکتر با کاما از هم جدا شده اند. یک رقم در سمت راست اعشار یعنی مخرج 10، دو به معنای 100، سه به معنای 1000 و غیره است. به عنوان مثال، کسر اعشاری 6.8 مانند "شش نقطه هشت" است. هنگام تبدیل آن، ابتدا تعداد واحدهای کامل را بنویسید - 6. در مخرج عدد 8 ظاهر می شود. معلوم می شود که 6.8 = 8/10. قوانین مخفف را به خاطر بسپارید. اگر صورت و مخرج بر یک عدد تقسیم شوند، کسر را می توان با یک مقسوم علیه مشترک کاهش داد. در این صورت عدد 2. 6 8/10 = 6 2/5 است.

سعی کنید اعداد اعشاری را اضافه کنید. اگر این کار را در یک ستون انجام می دهید، پس مراقب باشید. ارقام همه اعداد باید کاملاً زیر یکدیگر قرار گیرند - زیر کاما. قوانین اضافه دقیقاً مشابه زمانی است که با . کسری اعشاری دیگر را به همان عدد 6.8 اضافه کنید - به عنوان مثال، 7.3. سه زیر هشت، کاما زیر کاما و هفت زیر شش بنویسید. از آخرین رقم شروع به اضافه کردن کنید. 3+8=11، یعنی 1 را یادداشت کنید، 1 را به خاطر بسپارید. بعد، 6+7 را اضافه کنید، 13 می گیرید. آنچه در ذهن شما مانده است را اضافه کنید و نتیجه را بنویسید - 14.1.

تفریق نیز از همین اصل پیروی می کند. ارقام را یکی زیر دیگری و کاما را زیر کاما بنویسید. همیشه از آن به عنوان یک راهنما استفاده کنید، به خصوص اگر تعداد ارقام بعد از آن در مینیوند کمتر از عدد فرعی باشد. از عدد داده شده کم کنید، به عنوان مثال، 2.139. دو رقم را زیر شش، یکی زیر هشت و دو رقم باقیمانده را زیر رقم های بعدی که می توان آنها را صفر تعیین کرد، بنویسید. معلوم می شود که مینیوند 6.8 نیست، بلکه 6.800 است. با انجام این عمل در مجموع 4.661 دریافت خواهید کرد.

عملیات با اعشار منفی مانند اعداد کامل انجام می شود. هنگام جمع کردن، منهای خارج از پرانتز قرار می گیرد و اعداد داده شده در داخل پرانتز نوشته می شود و بین آنها یک علامت مثبت قرار می گیرد. در پایان معلوم می شود عدد منفی. یعنی وقتی -6.8 و -7.3 را اضافه می کنید همان نتیجه 14.1 را می گیرید اما با علامت "-" جلوی آن. اگر فرعی بزرگتر از مینیوند باشد، منهای نیز از براکت خارج می شود، از بیشترکمتر کسر می شود. 7.3- را از 6.8 کم کنید. عبارت را به صورت زیر تبدیل کنید. 6.8 - 7.3 = -(7.3 - 6.8) = -0.5.

برای ضرب اعشار، یک لحظه اعشار را فراموش کنید. آنها را طوری ضرب کنید که انگار به اعداد کامل نگاه می کنید. پس از این، تعداد ارقام سمت راست پس از اعشار را در هر دو عامل بشمارید. همان تعداد کاراکتر کار را از هم جدا کنید. با ضرب 6.8 و 7.3 به 49.64 می رسید. یعنی در سمت راست نقطه اعشار 2 علامت خواهید داشت در حالی که در ضرب و ضریب هر کدام یک علامت وجود دارد.

کسر داده شده را بر مقداری صحیح تقسیم کنید. این عمل دقیقاً مانند اعداد صحیح انجام می شود. نکته اصلی این است که کاما را فراموش نکنید و 0 را در ابتدا قرار دهید اگر تعداد واحدهای کامل بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود. به عنوان مثال، سعی کنید همان 6.8 را بر 26 تقسیم کنید. ابتدا 0 را قرار دهید، زیرا 6 کمتر از 26 است. آن را با کاما از هم جدا کنید، سپس دهم و صدم به دنبال آن خواهد آمد. نتیجه تقریباً 0.26 خواهد بود. در واقع در این حالت یک کسر غیر تناوبی نامتناهی به دست می آید که می توان آن را به درجه دقت مطلوب گرد کرد.

هنگام تقسیم دو کسر اعشاری از این خاصیت استفاده کنید که وقتی تقسیم کننده و مقسوم علیه در یک عدد ضرب می شوند، ضریب تغییر نمی کند. یعنی هر دو کسر را بسته به تعداد اعشار به اعداد کامل تبدیل کنید. اگر می خواهید 6.8 را بر 7.3 تقسیم کنید، فقط هر دو عدد را در 10 ضرب کنید. معلوم می شود که باید 68 را بر 73 تقسیم کنید. اگر یکی از اعداد دارای اعشار بیشتری است، ابتدا آن را به یک عدد صحیح و سپس به عدد دوم تبدیل کنید. آن را در همان عدد ضرب کنید. یعنی هنگام تقسیم 6.8 بر 4.136، سود و تقسیم کننده را نه 10، بلکه 1000 برابر افزایش دهید. 6800 را بر 1436 تقسیم کنید تا به 4.735 برسید.

در قالب:

± d m … د 1 د 0 , د -1 د -2 …

که در آن ± علامت کسری است: یا +، یا -،

، یک نقطه اعشار است که به عنوان جداکننده بین اعداد صحیح و کسری یک عدد عمل می کند.

dk- اعداد اعشاری

در این حالت، ترتیب اعداد قبل از نقطه اعشار (در سمت چپ آن) یک پایان دارد (به صورت حداقل 1 در هر رقم)، و بعد از نقطه اعشار (سمت راست) می تواند هر دو متناهی باشد (به عنوان یک گزینه، ممکن است هیچ رقمی بعد از نقطه اعشار وجود نداشته باشد) و بی نهایت.

ارزش اعشاری ± d m … د 1 د 0 , د -1 د -2 … یک عدد واقعی است:

که برابر است با مجموع تعداد متناهی یا نامتناهی از جمله.

عملکرد اعداد واقعیاستفاده از کسرهای اعشاری تعمیم نوشتن اعداد صحیح در سیستم اعداد اعشاری است. نمایش اعشاری یک عدد صحیح بعد از نقطه اعشار هیچ رقمی ندارد، بنابراین نمایش به صورت زیر است:

± d m … د 1 د 0 ,

و این مصادف است با نوشتن عدد ما در سیستم اعداد اعشاری.

اعشاری- این نتیجه تقسیم 1 به 10، 100، 1000 و غیره است. این کسرها برای محاسبات بسیار راحت هستند، زیرا آنها بر اساس همان سیستم موقعیتی هستند که شمارش و ثبت اعداد صحیح بر اساس آن است. به همین دلیل، نماد و قوانین کار با کسرهای اعشاری تقریباً مشابه اعداد کامل است.

هنگام نوشتن کسرهای اعشاری، نیازی به علامت گذاری مخرج نیست که با محل اشغال شده توسط رقم مربوطه تعیین می شود. ابتدا تمام قسمت عدد را می نویسیم سپس یک اعشار در سمت راست قرار می دهیم. رقم اول بعد از اعشار نشان دهنده تعداد دهم، دومی تعداد صدم، سوم تعداد هزارم و غیره است. اعدادی که بعد از نقطه اعشار قرار دارند عبارتند از اعشاری.

به عنوان مثال:

یکی از مزایای کسرهای اعشاری این است که به راحتی می توان آنها را به کسرهای معمولی تقلیل داد: عدد بعد از نقطه اعشار (برای ما 5047 است) شمارشگر; مخرجبرابر است n-ام توان 10، که در آن n- تعداد ارقام اعشار (برای ما این است n=4):

هنگامی که در یک کسر اعشاری جزء صحیح وجود ندارد، قبل از نقطه اعشار یک صفر قرار می دهیم:

خواص کسرهای اعشاری

1. اعشار با اضافه شدن صفر به سمت راست تغییر نمی کند:

13.6 =13.6000.

2. با حذف صفرهای انتهای اعشار، اعشار تغییر نمی کند:

0.00123000 = 0.00123.

توجه!شما نمی توانید صفرهایی را که در انتهای کسر اعشاری قرار ندارند حذف کنید!

3. کسر اعشاری به ترتیب 10، 100، 1000 و غیره افزایش می‌یابد که اعشار را به ترتیب به 1، 2، 2 و به ترتیب به سمت راست می‌بریم:

3.675 → 367.5 (کسری صد برابر شد).

4. کسر اعشاری ده، صد، هزار و غیره می شود، وقتی اعشار را به ترتیب به موقعیت های 1، 2، 3 و به همین ترتیب به سمت چپ ببریم:

1536.78 → 1.53678 (کسری هزار بار کوچکتر شد).

انواع کسرهای اعشاری

کسرهای اعشاری به تقسیم می شوند نهایی, بی پایانو اعشار دوره ای.

کسر اعشاری نهایی استاین کسری است که شامل تعداد محدودی از ارقام بعد از نقطه اعشار است (یا اصلاً وجود ندارد)، یعنی. به نظر می رسد این است:

یک عدد واقعی را می توان به عنوان یک کسر اعشاری متناهی نشان داد تنها در صورتی که این عدد گویا باشد و به صورت کسری تقلیل ناپذیر نوشته شود. p/qمخرج qهیچ عامل اصلی دیگری جز 2 و 5 ندارد.

اعشار بی نهایت.

شامل یک گروه بی نهایت تکرار شونده از اعداد نامیده می شود دوره. نقطه در داخل پرانتز نوشته شده است. به عنوان مثال، 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

اعشاری دوره ای- این یک کسر اعشاری نامتناهی است که در آن دنباله ارقام بعد از نقطه اعشار، که از یک مکان خاص شروع می شود، یک گروه ارقام تکرار شونده دوره ای است. به عبارت دیگر، کسر دوره ای- یک کسر اعشاری که به شکل زیر است:

چنین کسری معمولاً به طور خلاصه به صورت زیر نوشته می شود:

گروه اعداد b 1 … b l، که تکرار می شود، است دوره کسری، تعداد ارقام این گروه است طول دوره.

وقتی در یک کسر تناوبی نقطه بلافاصله بعد از نقطه اعشار می آید، به این معنی است که کسری است دوره ای خالص. وقتی اعدادی بین نقطه اعشار و نقطه اول وجود دارد، آن کسری است دوره ای مخلوط، و گروه ارقام بعد از نقطه اعشار تا رقم 1 دوره است پیش دوره کسری.

به عنوان مثالکسری 1,(23) = 1.2323... تناوبی خالص است و کسری 0.1(23) = 0.12323... تناوبی مخلوط است.

ویژگی اصلی کسرهای تناوبی، که به دلیل آن از کل مجموعه کسرهای اعشاری متمایز می شوند ، در این واقعیت نهفته است که کسرهای تناوبی و فقط آنها نشان دهنده اعداد گویا هستند. به طور دقیق تر، موارد زیر رخ می دهد:

هر کسری اعشاری متناوب بی نهایت نشان دهنده یک عدد گویا است. برعکس، وقتی یک عدد گویا به یک کسر اعشاری نامتناهی بسط می یابد، به این معنی است که این کسری تناوبی خواهد بود.