فرمول پیدا کردن کمان بزرگتر یک دایره دایره. زاویه مرکزی و محاطی

فرمول برای یافتن طول یک قوس دایره ای بسیار ساده است و اغلب اوقات امتحانات مهممانند آزمون یکپارچه دولتی، مشکلاتی وجود دارد که بدون استفاده از آن قابل حل نیست. همچنین دانستن آن برای قبولی در آزمون های استاندارد بین المللی مانند SAT و غیره ضروری است.

طول کمان دایره چقدر است؟

فرمول به صورت زیر است:

l = πrα / 180 درجه

هر عنصر فرمول چیست:

• π - عدد پی ( ثابت، برابر با ≈ 3.14)؛
• r شعاع یک دایره معین است.
• α بزرگی زاویه ای است که قوس در آن قرار دارد (مرکزی، محاطی نیست).

همانطور که می بینید برای حل مسئله باید r و α در شرط وجود داشته باشند. بدون این دو کمیت، یافتن طول قوس غیرممکن است.

این فرمول چگونه به دست می آید و چرا به این شکل است؟

همه چیز فوق العاده آسان است. اگر 360 درجه را در مخرج قرار دهید و دو را در صورت جلو اضافه کنید بسیار واضح تر می شود. شما همچنین می توانید α آن را در کسر نگذارید، آن را بیرون بیاورید و با علامت ضرب بنویسید. این کاملاً ممکن است، زیرا این عنصر در شمارنده است. سپس نمای کلیبه این صورت خواهد شد:

l = (2πr / 360 درجه) × α

فقط برای راحتی ما 2 و 360 درجه را کوتاه کردیم. و اکنون، اگر از نزدیک نگاه کنید، می توانید یک فرمول بسیار آشنا برای طول کل دایره را ببینید، یعنی - 2πr.کل دایره از 360 درجه تشکیل شده است، بنابراین اندازه حاصل را به 360 قسمت تقسیم می کنیم. سپس در عدد ضرب می کنیم α, یعنی به تعداد «تکه های پای» که نیاز داریم. اما همه به طور قطع می دانند که یک عدد (یعنی طول کل دایره) را نمی توان بر یک درجه تقسیم کرد. در این صورت چه باید کرد؟ معمولاً، به عنوان یک قاعده، درجه با درجه زاویه مرکزی، یعنی با α. پس از آن فقط اعداد باقی می ماند و در نهایت پاسخ نهایی به دست می آید.

این می تواند توضیح دهد که چرا طول کمان یک دایره به این شکل پیدا می شود و این شکل را دارد.

مثالی از مسئله پیچیدگی متوسط ​​با استفاده از این فرمول

وضعیت: دایره ای به شعاع 10 سانتی متر وجود دارد. درجه یک زاویه مرکزی 90 درجه است. طول کمان دایره ای شکل گرفته از این زاویه را پیدا کنید.

راه حل: l = 10π × 90 درجه / 180 درجه = 10π × 1 / 2 = 5π

پاسخ: l = 5π

همچنین ممکن است به جای اندازه گیری درجه، اندازه گیری زاویه رادیان داده شود. تحت هیچ شرایطی نباید ترسید، زیرا این بار کار بسیار آسان تر شده است. برای تبدیل اندازه گیری رادیان به اندازه درجه، شما نیاز دارید شماره داده شدهضرب در 180 درجه / π. این بدان معنی است که اکنون می توانیم جایگزین کنیم α ترکیب زیر: m × 180 درجه / π. جایی که m مقدار رادیان است. و سپس 180 و عدد π کاهش می یابد و یک فرمول کاملاً ساده به دست می آید که به نظر می رسد:

• m - اندازه گیری زاویه رادیان؛
• r شعاع یک دایره معین است.

به قسمتی از شکل که دایره ای را تشکیل می دهد که نقاط آن با هم فاصله دارند کمان می گویند. اگر پرتوهایی را از مرکز دایره به نقاط منطبق با انتهای کمان بکشیم، زاویه مرکزی آن تشکیل می شود.

تعیین طول قوس

طبق فرمول زیر تولید می شود:

که در آن L طول قوس مورد نظر است، π = 3.14، r شعاع دایره، α زاویه مرکزی است.

L

3.14 x 10 x 85

14,82

پاسخ:

طول کمان دایره 14.82 سانتی متر است.

در هندسه ابتدایی، کمان به عنوان زیرمجموعه ای از یک دایره در بین دو نقطه واقع در آن درک می شود. در عمل، مشکلات را در تعریفاو طولمهندسان و معماران مجبورند این کار را اغلب انجام دهند، زیرا این عنصر هندسی در طرح‌های مختلف گسترده است.

شاید اولین کسانی که با این کار مواجه شدند معماران باستانی بودند که به هر طریقی مجبور بودند این پارامتر را برای ساخت طاق هایی که به طور گسترده برای پوشاندن شکاف بین تکیه گاه ها در ساختمان های گرد، چند ضلعی یا بیضوی استفاده می شد، تعیین می کردند. اگر به شاهکارهای معماری یونان باستان، روم باستان و به ویژه عرب که تا به امروز باقی مانده اند دقت کنید، متوجه خواهید شد که طاق ها و طاق ها در طرح های آنها بسیار رایج است. خلاقیت های معماران مدرن چندان غنی از آنها نیست، اما این عناصر هندسی البته در آنها وجود دارد.

طولمختلف قوسباید هنگام ساخت خودرو محاسبه شود و راه آهنو همچنین اتودروم ها و در بسیاری از موارد ایمنی ترافیک تا حد زیادی به صحت و دقت محاسبات بستگی دارد. واقعیت این است که بسیاری از پیچ‌های بزرگراه‌ها، از نظر هندسی، دقیقاً کمان هستند و با حرکت در امتداد آن‌ها، نیروهای فیزیکی مختلفی بر وسایل نقلیه وارد می‌شوند. پارامترهای حاصل از آنها تا حد زیادی با طول قوس و همچنین زاویه مرکزی و شعاع آن تعیین می شود.

طراحان ماشین ها و مکانیزم ها باید طول قوس های مختلف را برای چیدمان صحیح و دقیق محاسبه کنند اجزاءواحدهای مختلف در این مورد، اشتباهات در محاسبات مملو از این واقعیت است که بخش های مهم و حیاتی به طور نادرست با یکدیگر تعامل خواهند داشت و مکانیسم به سادگی قادر به عملکرد آن گونه که سازندگان آن برنامه ریزی می کنند، نخواهد بود. نمونه هایی از سازه هایی که مملو از عناصر هندسی مانند قوس هستند عبارتند از موتورهای احتراق داخلی، گیربکس ها، تجهیزات چوب و فلزکاری، قطعات بدنه خودروها و کامیون ها و غیره.

قوس هاآنها در پزشکی، به ویژه در دندانپزشکی بسیار رایج هستند. به عنوان مثال، از آنها برای اصلاح مال اکلوژن استفاده می شود. عناصر اصلاحی به نام بریس (یا سیستم های براکت) و دارای شکل مناسب از آلیاژهای مخصوص ساخته شده و به گونه ای نصب می شوند که موقعیت دندان ها را تغییر دهند. ناگفته نماند که برای موفقیت درمان باید این قوس ها بسیار دقیق محاسبه شوند. علاوه بر این، قوس ها در تروماتولوژی بسیار مورد استفاده قرار می گیرند و شاید بارزترین نمونه آن دستگاه معروف ایلیزاروف است که توسط یک پزشک روسی در سال 1951 اختراع شد و تا به امروز با موفقیت بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. اجزای جدایی ناپذیر آن قوس های فلزی هستند که مجهز به سوراخ هایی هستند که سوزن های بافندگی ویژه از طریق آنها رزوه می شوند و تکیه گاه های اصلی کل ساختار هستند.

دایره، قطعات آن، اندازه ها و روابط آنها چیزهایی هستند که یک جواهرساز دائماً با آنها روبرو می شود. حلقه ها، دستبندها، کاست ها، لوله ها، توپ ها، مارپیچ ها - چیزهای گرد زیادی باید ساخته شود. چگونه می توانید همه اینها را محاسبه کنید، به خصوص اگر به اندازه کافی خوش شانس باشید که از کلاس های هندسه در مدرسه صرف نظر کنید؟

بیایید ابتدا ببینیم یک دایره دارای چه قسمت هایی است و نام آنها چیست.

• دایره خطی است که دایره ای را در بر می گیرد.
• قوس بخشی از یک دایره است.
• شعاع قطعه ای است که مرکز یک دایره را به هر نقطه از دایره متصل می کند.
• وتر قطعه ای است که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند.
• پاره قسمتی از دایره است که توسط یک وتر و یک قوس محدود شده است.
• بخش بخشی از یک دایره است که توسط دو شعاع و یک قوس محدود شده است.

مقادیر مورد علاقه ما و نامگذاری آنها:

حال بیایید ببینیم که چه مسائلی مربوط به بخش هایی از یک دایره باید حل شود.

• طول توسعه هر قسمت از حلقه (دستبند) را بیابید. با توجه به قطر و وتر (گزینه: قطر و زاویه مرکزی)، طول کمان را پیدا کنید.
• یک نقاشی روی یک هواپیما وجود دارد، شما باید پس از خم شدن آن به یک قوس، اندازه آن را در طرح ریزی پیدا کنید. با توجه به طول و قطر قوس، طول وتر را پیدا کنید.
• ارتفاع قطعه به دست آمده را با خم کردن یک قطعه کار مسطح در یک قوس پیدا کنید. گزینه هایی برای داده های ورودی: طول و قطر قوس، طول قوس و وتر. ارتفاع قطعه را پیدا کنید

زندگی مثال‌های دیگری را برای شما ارائه می‌کند، اما من اینها را فقط برای نشان دادن نیاز به تنظیم دو پارامتر برای یافتن همه پارامترهای دیگر ارائه کردم. این کاری است که ما انجام خواهیم داد. یعنی پنج پارامتر از قطعه را می گیریم: D، L، X، φ و H. سپس با انتخاب تمام جفت های ممکن از بین آنها، آنها را به عنوان داده های اولیه در نظر می گیریم و توسط طوفان فکریبقیه را پیدا کن

برای اینکه بیهوده بار خواننده را سنگین نکنم، راه حل های مفصل نمی دهم، بلکه فقط نتایج را در قالب فرمول ارائه می کنم (در مواردی که راه حل رسمی وجود ندارد، در طول مسیر به آن خواهم پرداخت).

و یک نکته دیگر: در مورد واحدهای اندازه گیری. همه کمیت ها، به جز زاویه مرکزی، در واحدهای انتزاعی یکسان اندازه گیری می شوند. این بدان معنی است که اگر مثلاً یک مقدار را بر حسب میلی متر مشخص کنید، دیگر نیازی به تعیین سانتی متر نیست و مقادیر حاصل در همان میلی متر (و مساحت ها به میلی متر مربع) اندازه گیری می شود. همین را می توان در مورد اینچ، فوت و مایل دریایی نیز گفت.

و فقط زاویه مرکزی در همه موارد با درجه سنجیده می شود نه چیز دیگری. زیرا، به عنوان یک قاعده کلی، افرادی که چیزی گرد طراحی می کنند، تمایلی به اندازه گیری زاویه بر حسب رادیان ندارند. عبارت "زاویه پی در چهار" بسیاری را گیج می کند ، در حالی که "زاویه چهل و پنج درجه" برای همه قابل درک است ، زیرا فقط پنج درجه بالاتر از حد معمول است. با این حال، در همه فرمول ها یک زاویه دیگر - α - به عنوان یک مقدار میانی وجود خواهد داشت. از نظر معنایی، این نیمی از زاویه مرکزی است که بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، اما شما نمی توانید با خیال راحت به این معنا بپردازید.

1. با توجه به قطر D و طول قوس L

; طول وتر ;
ارتفاع قطعه ; زاویه مرکزی .

2. با توجه به قطر D و طول وتر X

; طول قوس؛
ارتفاع قطعه ; زاویه مرکزی .

از آنجایی که وتر دایره را به دو بخش تقسیم می کند، این مشکل نه یک، بلکه دو راه حل دارد. برای بدست آوردن دومی، باید زاویه α در فرمول های بالا را با زاویه جایگزین کنید.

3. با توجه به قطر D و زاویه مرکزی φ

; طول قوس؛
طول وتر ; ارتفاع قطعه .

4. با توجه به قطر D و ارتفاع قطعه H

; طول قوس؛
طول وتر ; زاویه مرکزی .

6. با توجه به طول قوس L و زاویه مرکزی φ

; قطر؛
طول وتر ; ارتفاع قطعه .

8. با توجه به طول وتر X و زاویه مرکزی φ

; طول قوس ;
قطر؛ ارتفاع قطعه .

9. با توجه به طول وتر X و ارتفاع قطعه H

; طول قوس ;
قطر؛ زاویه مرکزی .

10. با توجه به زاویه مرکزی φ و ارتفاع قطعه H

; قطر ;
طول قوس؛ طول وتر .

خواننده با دقت نمی تواند متوجه شود که من دو گزینه را از دست داده ام:

5. با توجه به طول قوس L و طول وتر X

7. با توجه به طول قوس L و ارتفاع قطعه H

این دو مورد ناخوشایند است که مشکل راه حلی ندارد که بتوان آن را به صورت فرمول نوشت. و این کار چندان نادر نیست. به عنوان مثال، شما یک قطعه صاف به طول L دارید و می خواهید آن را خم کنید تا طول آن X (یا ارتفاع آن H) شود. سنبه را چه قطری بگیرم؟

این مسئله به حل معادلات ختم می شود:
; - در گزینه 5
; - در گزینه 7
و اگرچه نمی توان آنها را به صورت تحلیلی حل کرد، اما می توان آنها را به راحتی به صورت برنامه ای حل کرد. و من حتی می دانم که چنین برنامه ای را از کجا تهیه کنم: در همین سایت، تحت نام . همه چیزهایی را که من در اینجا به طور طولانی به شما می گویم، او در میکروثانیه انجام می دهد.

برای تکمیل تصویر، اجازه دهید محیط و سه مقدار مساحت - دایره، بخش و بخش را به نتایج محاسبات خود اضافه کنیم. (مساحت ها در محاسبه جرم تمام قسمت های گرد و نیم دایره به ما کمک زیادی می کنند، اما در مقاله ای جداگانه در این مورد بیشتر توضیح خواهیم داد.) همه این مقادیر با استفاده از فرمول های مشابه محاسبه می شوند:

دور;
مساحت یک دایره ;
منطقه بخش ;
منطقه بخش ;

و در خاتمه، اجازه دهید یک بار دیگر وجود مطلق را یادآوری کنم برنامه رایگان، که تمام محاسبات بالا را انجام می دهد و شما را از اینکه مجبور باشید به یاد داشته باشید که یک آرکتانژانت چیست و کجا به دنبال آن بگردید آزاد می کند.

مشکلات در یافتن مساحت یک دایره - اجباری بخشی از آزمون یکپارچه دولتیدر ریاضیات به عنوان یک قاعده، چندین کار به این موضوع در آزمون گواهینامه اختصاص داده می شود. همه دانش آموزان دبیرستانی، صرف نظر از سطح آمادگی خود، باید الگوریتم یافتن محیط و مساحت دایره را بدانند.

اگر چنین کارهای پلان سنجی برای شما مشکل ایجاد می کند، توصیه می کنیم به پورتال آموزشی Shkolkovo مراجعه کنید. با ما می توانید شکاف های دانش را پر کنید.

بخش مربوطه از سایت مجموعه بزرگی از مشکلات را برای یافتن محیط و مساحت یک دایره، مشابه موارد موجود در آزمون دولتی واحد ارائه می دهد. فارغ التحصیل با آموختن اجرای صحیح آنها می تواند با موفقیت با امتحان کنار بیاید.

نکات برجسته

مسائلی که نیاز به استفاده از فرمول های مساحت دارند می توانند مستقیم یا معکوس باشند. در حالت اول، پارامترهای عناصر شکل مشخص است. در این حالت مقدار مورد نیاز مساحت است. در حالت دوم، برعکس، منطقه مشخص است و لازم است برخی از عناصر شکل را پیدا کنیم. الگوریتم محاسبه پاسخ صحیح در چنین کارهایی فقط به ترتیبی که فرمول های اساسی اعمال می شود متفاوت است. به همین دلیل است که هنگام شروع حل چنین مشکلاتی، لازم است مطالب نظری را تکرار کنید.

روشن پورتال آموزشی"Shkolkovo" تمام اطلاعات اولیه را در مورد موضوع "یافتن طول یک دایره یا قوس و مساحت یک دایره" و همچنین در مورد موضوعات دیگر ارائه می دهد ، به عنوان مثال ، متخصصان ما آن را تهیه کرده و آن را به بهترین شکل ارائه کردند. فرم قابل دسترس

با به خاطر سپردن فرمول های اساسی، دانش آموزان می توانند به صورت آنلاین شروع به تکمیل مشکلات برای یافتن مساحت یک دایره کنند، مشابه موارد موجود در آزمون یکپارچه ایالت. برای هر تمرین در سایت ارائه شده است راه حل دقیقو پاسخ صحیح داده می شود. در صورت لزوم، هر کار را می توان در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کرد تا بعداً به آن بازگردید و با معلم صحبت کنید.

مسئله 10 (OGE - 2015)

در دایره ای با مرکز O، نقاط A و B به گونه ای مشخص شده اند که ∠ AOB = 18 درجه باشد. طول کمان کوچکتر AB 5 است. طول کمان بزرگتر دایره را پیدا کنید.

راه حل

∠ AOB = 18 درجه. کل دایره 360 درجه است. بنابراین ∠ AOB 18/360 = 1/20 یک دایره است.

این بدان معنی است که قوس کوچکتر AB 1/20 کل دایره است، بنابراین قوس بزرگتر بقیه است، یعنی. دور 19/20.

1/20 دایره مربوط به طول قوس 5 است. سپس طول قوس بزرگتر 5 * 19 = 95 است.

مسئله 10 (OGE - 2015)

روی دایره ای با مرکز O، نقاط A و B به گونه ای مشخص شده اند که ∠ AOB = 40 درجه باشد. طول کمان کوچکتر AB 50 است. طول کمان بزرگتر دایره را پیدا کنید.

راه حل

∠ AOB = 40 درجه. کل دایره 360 درجه است. بنابراین ∠ AOB 40/360 = 1/9 دایره است.

این بدان معنی است که قوس کوچکتر AB 1/9 کل ​​دایره است، بنابراین قوس بزرگتر بقیه است، یعنی. دایره 8/9.

1/9 دایره مربوط به طول قوس 50 است. سپس طول قوس بزرگتر 50*8 = 400 است.

جواب: 400.

وظیفه 10 (GIA - 2014)

طول وتر یک دایره 72 و فاصله مرکز دایره تا این وتر 27 است. قطر دایره را پیدا کنید.

راه حل

با توجه به قضیه فیثاغورث از مثلث قائم الزاویه AOB دریافت می کنیم:

AO 2 = OB 2 + AB 2،

AO 2 = 27 2 + 36 2 = 729 + 1296 = 2025،

سپس قطر 2R = 2*45 = 90 است.

وظیفه 10 (GIA - 2014)

نقطه O مرکز دایره ای است که نقاط A، B و C روی آن قرار دارند. زاویه BCO را پیدا کنید.پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.