ادغام تابع منطقی صحیح ادغام توابع گویا کسری - تابع گویا ساده ترین

یکی از مهم‌ترین دسته‌های توابع که انتگرال‌های آن از طریق توابع ابتدایی بیان می‌شوند، کلاس توابع گویا هستند.

تعریف 1. تابع فرم Where
- چند جمله ای های درجهnومترعقلانی نامیده می شود. یک تابع عقلی کامل، یعنی. چند جمله ای، مستقیماً ادغام می شود. انتگرال یک تابع کسری - گویا را می توان با تجزیه به عبارات یافت که به روشی استاندارد به انتگرال های جدولی اصلی تبدیل می شوند.

تعریف 2. کسر
اگر درجه صورتگر باشد صحیح نامیده می شودnکمتر از قدرت مخرجمتر.

کسری که در آن درجه صورت بزرگتر یا مساوی با درجه مخرج باشد نامناسب نامیده می شود.

هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای و یک کسر مناسب نشان داد. این کار با تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای مانند تقسیم اعداد انجام می شود.

مثال.
بیایید کسری را تصور کنیم

به عنوان مجموع یک چند جمله ای و یک کسر مناسب:

3

3

3

x - 1
ترم اول
در ضریب در نتیجه تقسیم عبارت پیشرو به دست می آید ، تقسیم بر عبارت اصلی X
تقسیم کننده سپس ضرب می کنیم در هر مقسوم علیه x-1

و نتیجه حاصل از سود سهام کسر می شود. عبارات باقیمانده از ضریب ناقص به طور مشابه یافت می شوند.

پس از تقسیم چند جمله ای ها، به دست می آوریم:

این عمل انتخاب یک قسمت کامل نامیده می شود.

تعریف 3. ساده ترین کسرها کسرهای گویا مناسب از انواع زیر هستند:

من
II.

(K=2، 3، …).
III.

مثلث مربع کجاست
IV.
که در آن K=2، 3، …; سه جمله ای درجه دوم

ریشه واقعی ندارد
الف) مخرج را بسط دهید
به ساده ترین عوامل واقعی (طبق قضیه اساسی جبر، این بسط می تواند شامل دوجمله ای های خطی شکل باشد.
و سه جمله ای درجه دوم

بدون ریشه)؛
ب) نموداری از تجزیه یک کسر معین به مجموع کسرهای ساده بنویسید. علاوه بر این، هر عامل از فرم مطابقت داردک

اجزای انواع I و II:
به هر یک از عوامل فرم

هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای و یک کسر مناسب نشان داد. این کار با تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای مانند تقسیم اعداد انجام می شود.

مطابق با اصطلاحات انواع III و IV است:
طرح بسط کسری را بنویسید

به مجموع ساده ترین ها

ج) جمع ساده ترین کسرهای به دست آمده را انجام دهید.
تساوی اعداد کسرهای حاصل و اصلی را بنویسید.

د) ضرایب بسط مربوطه را بیابید:

ادغام هر کسر گویا مناسب پس از تجزیه به ساده ترین شرایط آن به یافتن انتگرال یکی از انواع زیر کاهش می یابد:

(مطابقت داردو ه =2, 3, …).

محاسبه انتگرال به فرمول III کاهش می یابد:

انتگرال - به فرمول II:

انتگرال را می توان با قاعده مشخص شده در نظریه ادغام توابع حاوی یک مثلث درجه دوم یافت. - از طریق تبدیل های نشان داده شده در زیر در مثال 4.

مثال 1.

الف) مخرج را فاکتور بگیرید:

ب) نموداری برای تجزیه انتگرال به عبارت بنویسید:

ج) جمع کسرهای ساده را انجام دهید:

اجازه دهید تساوی اعداد کسرها را بنویسیم:

د) دو روش برای یافتن ضرایب مجهول A، B، C وجود دارد.

دو چند جمله ای مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها برای توان های یکسان برابر باشد ، تقسیم بر عبارت اصلی، بنابراین می توانید سیستم معادلات مربوطه را ایجاد کنید. این یکی از روش های حل است.

ضرایب در

اعضای آزاد (ضریب در ):4A=8.

پس از حل سیستم، دریافت می کنیم A=2, B=1, C= - 10.

روش دیگر - مقادیر خصوصی - در مثال زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ه) مقادیر یافت شده را در طرح تجزیه جایگزین کنید:

با جایگزین کردن مجموع حاصل در زیر علامت انتگرال و ادغام هر عبارت به طور جداگانه، متوجه می شویم:

مثال 2.

هویت برابری است که برای هر مقدار از مجهولات موجود در آن معتبر است. بر این اساسروش ارزش خصوصی ، تقسیم بر عبارت اصلیمی توان داد

هر ارزشی برای محاسبات راحت تر است که مقادیری را در نظر بگیرند که هر عبارتی را در سمت راست برابری ناپدید می کند. اجازه دهید x = 0 . سپس 1 = A 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1) + С به طور مشابه برای x = - 2 ما داریم 1= - 2V*(-3 )، در x = 1 ما داریم.

1 = 3A

از این رو،

مثال 3.

هر ارزشی برای محاسبات راحت تر است که مقادیری را در نظر بگیرند که هر عبارتی را در سمت راست برابری ناپدید می کند. اجازه دهیدد) ابتدا از روش مقدار جزئی استفاده می کنیم. . سپس ، سپس.

1، A = 1 در x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) یا, 6 = - 3 ولت.

B = - 2 ، تقسیم بر عبارت اصلیبرای یافتن ضرایب C و D باید دو معادله دیگر ایجاد کنید. برای انجام این کار، می توانید هر مقدار دیگری را بگیرید ، به عنوان مثال x = 1 و x = 2 ، تقسیم بر عبارت اصلی. می توانید از روش اول استفاده کنید، یعنی. ضرایب را در هر توان یکسان برابر کنید برای مثال زمانی که

و.می گیریم

1 = A+B+C و 4 = C + D, - در.دانستن A = 1, . = 0 .

B = -2

، پیدا خواهیم کرد C = 2

بنابراین، هر دو روش را می توان در هنگام محاسبه ضرایب ترکیب کرد.
آخرین انتگرال
طبق قاعده مشخص شده در روش تعیین متغیر جدید به طور جداگانه پیدا می کنیم.

=

بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم:

بیایید بگوییم

سپس

دریافت می کنیم:

با جایگزینی برابری قبلی، متوجه می شویم

مثال 4.

پیدا کنید

ب)

در انتگرال سوم متغیر را جایگزین می کنیم:

(هنگام انجام تبدیل ها از فرمول مثلثاتی استفاده کردیم

انتگرال ها را بیابید:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

سوالات خودآزمایی

کدام یک از این کسرهای گویا صحیح است:

2. آیا نمودار تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده به درستی نوشته شده است؟

تابع گویا کسری از شکل است که صورت و مخرج آن چند جمله‌ای یا حاصل چند جمله‌ای است.

مثال 1. مرحله 2.

.

ضرایب نامشخص را در چندجمله‌ای ضرب می‌کنیم که در این کسر منفرد نیستند، اما در سایر کسرهای حاصل هستند:

براکت ها را باز می کنیم و عدد انتگرال اصلی را با عبارت حاصل برابر می کنیم:

در هر دو طرف تساوی، ما به دنبال عبارت هایی با توان های یکسان x می گردیم و از آنها یک سیستم معادلات می سازیم:

.

تمام x ها را لغو می کنیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:

.

بنابراین، بسط نهایی انتگرال به مجموع کسرهای ساده به صورت زیر است:

.

مثال 2. مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

اکنون ما شروع به جستجوی ضرایب نامشخص می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:

اکنون باید یک سیستم معادلات ایجاد و حل کنید. برای انجام این کار، ضرایب متغیر را به درجه متناظر در صورت‌دهنده عبارت اصلی تابع و ضرایب مشابه را در عبارت به‌دست‌آمده در مرحله قبل برابر می‌کنیم:

ما سیستم حاصل را حل می کنیم:

بنابراین، از اینجا

.

از این رو، مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

ما شروع به جستجوی ضرایب نامطمئن می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:

مانند مثال های قبلی، سیستمی از معادلات را می سازیم:

x ها را کاهش می دهیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

بیایید بگوییم مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

قبلاً از مثال‌های قبلی می‌دانیم که چگونه می‌توان صورت کسر اصلی را با عبارتی که پس از تجزیه کسر به مجموع کسرهای ساده و رساندن این مجموع به مخرج مشترک به‌دست می‌آید، برابر کرد. بنابراین، فقط برای اهداف کنترل، ما سیستم معادلات حاصل را ارائه می کنیم:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

مثال 5. مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

ما به طور مستقل این مجموع را به یک مخرج مشترک تقلیل می دهیم و صورت این عبارت را با عدد کسر اصلی برابر می کنیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

.

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 6. مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

ما با این مقدار همان اعمال را مانند نمونه های قبلی انجام می دهیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

.

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 7. مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

پس از انجام اقدامات معین با مقدار حاصل، سیستم معادلات زیر باید به دست آید:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 8. مرحله 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

بیایید تغییراتی را در اقداماتی که قبلاً به حالت خودکار آورده شده اند، ایجاد کنیم تا یک سیستم معادلات به دست آوریم. یک تکنیک مصنوعی وجود دارد که در برخی موارد به جلوگیری از محاسبات غیر ضروری کمک می کند. با آوردن مجموع کسرها به یک مخرج مشترک، به دست می آوریم و با برابر کردن صورت این عبارت به صورت کسر اصلی، به دست می آوریم.

ادغام توابع گویا کسری - تابع گویا ساده ترین کسرهای گویا تجزیه یک کسر گویا به کسرهای ساده ادغام کسرهای ساده قانون کلی برای ادغام کسرهای گویا

چند جمله ای درجه n. تابع کسری - گویا تابع کسری - گویا تابعی است برابر با نسبت دو چند جمله ای: کسری گویا را در صورتی مناسب می نامند که درجه صورت از درجه مخرج یعنی m کمتر باشد.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

کسری - تابع گویا کسر نامناسب را به شکل صحیح کاهش دهید: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 15 2 95 4 xx 342 23 xxx 2 15 x

ساده ترین کسرهای گویا کسرهای گویا مناسب شکل: به آنها ساده ترین کسرهای گویا از انواع می گویند. تبر A)؛ 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V،

تجزیه یک کسر گویا به کسرهای ساده قضیه: هر کسر گویا مناسبی که مخرج آن فاکتور گرفته شده است: می‌توان آن را به شکلی منحصربفرد به شکل مجموع کسرهای ساده نشان داد: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

تجزیه کسر گویا به کسرهای ساده اجازه دهید فرمول قضیه را با استفاده از مثال‌های زیر توضیح دهیم: برای یافتن ضرایب نامشخص A, B, C, D... از دو روش استفاده می‌شود: روش مقایسه ضرایب و روش. مقادیر جزئی یک متغیر بیایید با استفاده از یک مثال به روش اول نگاه کنیم. 3 2)3)(2(4 xx 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

تجزیه یک کسر گویا به کسرهای ساده کسر را به صورت مجموع کسرهای ساده ارائه کنید: ساده ترین کسرها را به مخرج مشترک بیاوریم اعداد کسرهای حاصل و اصلی را برابر کنید ضرایب را با توان های یکسان برابر کنید x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

انتگرال ساده ترین کسرها بیایید انتگرال های ساده ترین کسرهای گویا را بیابیم: بیایید با استفاده از یک مثال به انتگرال کسرهای نوع 3 نگاه کنیم. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

ادغام کسرهای سادهdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 td 9 2 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

انتگرال کسرهای ساده انتگرالی از این نوع با استفاده از جانشینی: به مجموع دو انتگرال کاهش می یابد: انتگرال اول با وارد کردن t در زیر علامت دیفرانسیل محاسبه می شود. انتگرال دوم با استفاده از فرمول بازگشتی محاسبه می شود: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk در dt N در dtt M 22122 1221222)) (1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

ادغام کسرهای ساده a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tarctg t dt 21)1 (4)1(

قانون کلی برای ادغام کسرهای گویا اگر کسر نامناسب است، آن را به صورت مجموع یک چند جمله ای و یک کسر مناسب نشان دهید. پس از فاکتورگیری مخرج یک کسر گویا، آن را به صورت مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص با روش مقایسه ضرایب یا با روش مقادیر جزئی یک متغیر نشان دهید. چند جمله ای و حاصل جمع کسرهای ساده را ادغام کنید.

مثال بیایید کسر را به شکل صحیح قرار دهیم. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 2 x 2 105 23 48 2 x x

مثال بیایید مخرج یک کسر مناسب را فاکتورسازی کنیم بیایید کسر را به صورت مجموع کسرهای ساده نشان دهیم بیایید ضرایب نامشخص را با استفاده از روش مقادیر جزئی متغیر xxx xx 23 2 2 48 2 2)1 (48 xx xx 2) پیدا کنیم. )1 (1 x C x B x A 2 2)1 ()1 (xx Cxx. Bxx. A 48)1 ()1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

مثال dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

یک ریاضیدان، درست مانند یک هنرمند یا شاعر، الگوها را خلق می کند. و اگر الگوهای او پایدارتر است، فقط به این دلیل است که از ایده‌ها تشکیل شده‌اند... الگوهای یک ریاضیدان، درست مانند الگوهای یک هنرمند یا شاعر، باید زیبا باشد. ایده ها، درست مانند رنگ ها یا کلمات، باید با یکدیگر مطابقت داشته باشند. زیبایی اولین شرط است: هیچ جایی در دنیا برای ریاضیات زشت وجود ندارد».

جی اچ هاردی

در فصل اول اشاره شد که ضد مشتق‌هایی از توابع نسبتاً ساده وجود دارد که دیگر نمی‌توان آنها را از طریق توابع ابتدایی بیان کرد. در این راستا، آن دسته از توابع که به طور دقیق می توان گفت که ضد مشتقات آنها توابع ابتدایی هستند، اهمیت عملی زیادی پیدا می کنند. این دسته از توابع شامل توابع منطقی، نشان دهنده نسبت دو چند جمله ای جبری است. بسیاری از مشکلات منجر به ادغام کسرهای گویا می شود. بنابراین، بسیار مهم است که بتوان چنین توابعی را یکپارچه کرد.

2.1.1. توابع گویا کسری

کسر گویا(یا تابع گویا کسری) رابطه دو چند جمله ای جبری است:

کجا و چند جمله ای هستند.

این را به شما یادآوری کنیم چند جمله ای (چند جمله ای, کل عملکرد عقلانی) nدرجه امتابع فرم نامیده می شود

کجا - اعداد واقعی به عنوان مثال،

- چند جمله ای درجه اول؛

- چند جمله ای درجه چهارم و غیره

کسر گویا (2.1.1) نامیده می شود درست است, اگر درجه کمتر از درجه باشد , i.e. n<متر، در غیر این صورت کسر نامیده می شود اشتباه.

هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای (قسمت صحیح) و یک کسر مناسب (قسمت کسری) نشان داد.جداسازی اجزای کل و کسری یک کسر نامناسب را می توان طبق قانون تقسیم چندجمله ای ها با "گوشه" انجام داد.

مثال 2.1.1.کسرهای گویا نامناسب زیر را اجزای کل و کسری مشخص کنید:

الف) ، ب) .

راه حل . الف) با استفاده از الگوریتم تقسیم "گوشه" به دست می آوریم

بنابراین، ما دریافت می کنیم

.

ب) در اینجا از الگوریتم تقسیم "گوشه" نیز استفاده می کنیم:

در نتیجه می گیریم

.

بیایید خلاصه کنیم. در حالت کلی، انتگرال نامعین یک کسر گویا را می توان به صورت مجموع انتگرال های چند جمله ای و کسر گویا مناسب نشان داد. یافتن پاد مشتق چند جمله ای ها کار سختی نیست. بنابراین، در موارد زیر عمدتاً کسرهای گویا مناسب را در نظر خواهیم گرفت.

2.1.2. ساده ترین کسرهای گویا و ادغام آنها

در میان کسرهای گویا، چهار نوع وجود دارد که به عنوان دسته بندی می شوند ساده ترین کسرهای گویا (بنیادی):

3) ,

4) ,

یک عدد صحیح کجاست، ، یعنی سه جمله ای درجه دوم ریشه واقعی ندارد

ادغام کسرهای ساده از نوع 1 و نوع 2 مشکل زیادی ایجاد نمی کند:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

اجازه دهید اکنون ادغام کسرهای ساده نوع 3 را در نظر بگیریم، اما کسری از نوع 4 را در نظر نخواهیم گرفت.

بیایید با انتگرال های فرم شروع کنیم

.

این انتگرال معمولاً با جداسازی مجذور کامل مخرج محاسبه می شود. نتیجه یک انتگرال جدول از فرم زیر است

1+4+2+1 = - B(1+1+1) .

مثال 2.1.2.انتگرال ها را بیابید:

الف) ، ب) .

راه حل . الف) یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم انتخاب کنید:

از اینجا پیدا می کنیم

ب) با جدا کردن یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم، به دست می آوریم:

بنابراین،

.

برای یافتن انتگرال

می توانید مشتق مخرج را در صورت جدا کنید و انتگرال را به مجموع دو انتگرال بسط دهید: اولی آنها با جایگزینی به ظاهر می رسد

,

و دوم - به موردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت.

مثال 2.1.3.انتگرال ها را بیابید:

.

راه حل . توجه داشته باشید که . بیایید مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم:

انتگرال اول با استفاده از جایگزینی محاسبه می شود :

در انتگرال دوم، مربع کامل را در مخرج انتخاب می کنیم

بالاخره می رسیم

2.1.3. بسط کسر گویا مناسب
برای مجموع کسرهای ساده

هر کسر منطقی مناسب را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان مجموع کسرهای ساده نشان داد. برای این کار باید مخرج را فاکتور گرفت. از جبر بالاتر مشخص می شود که هر چند جمله ای دارای ضرایب واقعی است

در اینجا ما راه‌حل‌های مفصلی را برای سه مثال از ادغام کسرهای گویا زیر ارائه می‌کنیم:
, , .

مثال 1

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

در اینجا علامت انتگرال یک تابع گویا است، زیرا انتگرال کسری از چندجمله ای ها است. درجه چند جمله ای مخرج ( 3 ) کمتر از درجه چند جمله ای عددی است ( 4 ). بنابراین، ابتدا باید کل قسمت کسری را انتخاب کنید.

1. بیایید کل قسمت کسر را انتخاب کنیم. x را تقسیم کنید 4 توسط x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

از اینجا
.

2. بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله مکعب را حل کنید:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 :
.

1 . 1 :

از اینجا
.
تقسیم بر x -
.
حل معادله درجه دوم.
ریشه های معادله عبارتند از: , .
.

3. سپس

.

بیایید کسر را به ساده ترین شکل آن تجزیه کنیم.
.
بنابراین یافتیم:

بیایید ادغام کنیم.

پاسخ دهید

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

مثال 2 در اینجا صورت کسر یک چند جمله ای درجه صفر است ( 1 = x 0 0 < 3 ). مخرج چند جمله ای درجه سوم است. از آنجایی که

1. ، پس کسر صحیح است. بیایید آن را به کسرهای ساده تقسیم کنیم.
.
بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه سوم را حل کنید: 3 بیایید فرض کنیم که حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است
1, 3, -1, -3 .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 :
.

(عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد: 1 بنابراین، ما یک ریشه x = پیدا کرده ایم . x را تقسیم کنید 1 :

3 + 2 x - 3
.

در x -
بنابراین، حل معادله درجه دوم:.
متمایز را پیدا کنید: D = 1 2 - 4 3 = -11.< 0 از آنجایی که D
.

2.
.
، پس معادله ریشه واقعی ندارد. بنابراین، فاکتورگیری مخرج را به دست آوردیم::
(2.1) .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 (x - 1) (x 2 + x + 3) 1 = 0 ,
.

. (2.1) سپس x - 0 :
بیایید جایگزین کنیم;
.

x = (2.1) 1 = 3 A - C 2 :
;
مساوی کنیم;
.

.

3. بنابراین یافتیم:
(2.2) .
ضرایب برای x

;
;
.

0 = A + B 2 .


.
برای محاسبه انتگرال دوم، مشتق مخرج را در صورت انتخاب می کنیم و مخرج را به مجموع مربع ها کاهش می دهیم. حل معادله درجه دوم:من را محاسبه کنید از آنجایی که معادله xریشه واقعی ندارد، پس x

2 + x + 3 > 0 (2.2) :
.

بیایید ادغام کنیم.

.

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

بنابراین، علامت مدول را می توان حذف کرد. 3 تحویل می دهیم به 4 مثال 3 3 < 4 در اینجا زیر علامت انتگرال کسری از چندجمله ای ها وجود دارد. بنابراین، انتگرال یک تابع عقلی است. درجه چند جمله ای در صورتگر برابر است با

1. .
.
بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه سوم را حل کنید: 2 بیایید فرض کنیم که حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

(عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد: -1 . درجه چند جمله ای مخرج کسر برابر است با:


3 + 2 x - 3
.

.
.
از آنجایی که 2 بیایید فرض کنیم که حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

، پس کسر صحیح است. بنابراین، می توان آن را به کسرهای ساده تجزیه کرد. اما برای این کار باید مخرج را فاکتورسازی کنید. -1 بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه چهارم را حل کنید:
.

(-1) = x + 1 2 + 2 = 0 حال باید معادله درجه سوم را حل کنیم:
.

2. اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است
.
بنابراین، ما یک ریشه دیگر x = پیدا کردیم .:
(3.1) .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم: 1 = 0 ,
.

از آنجایی که معادله x (3.1) :

;

.
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 هیچ ریشه واقعی ندارد، سپس فاکتورگیری مخرج را بدست می آوریم: 1 = 0 :
;
; .

. (3.1) سپس x - 0 :
بیایید کسر را به ساده ترین شکل آن تجزیه کنیم. ما به دنبال گسترش در فرم هستیم:;
.

x = (3.1) 1 = 3 A - C 3 :
;
ما از مخرج کسر خلاص می شویم، ضرب در;
.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)
.

3. بنابراین یافتیم:


.