نحوه پیدا کردن فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات نحوه پیدا کردن فاصله در هواپیما مختصات پیدا کردن فاصله از نقطه به نقطه، مثال ها و راه حل ها

طرح درس.

فاصله بین دو نقطه روی یک خط.

سیستم مختصات مستطیلی (دکارتی).

فاصله بین دو نقطه روی یک خط.

قضیه 3.اگر A(x) و B(y) هر دو نقطه باشند، d - فاصله بین آنها با فرمول محاسبه می شود: d = lу - xl.

اثباتطبق قضیه 2، AB = y - x داریم. اما فاصله بین نقاط A و B برابر است با طول قطعه AB، یعنی. طول بردار AB. بنابراین، d = lАВl = lu-хl.

از آنجایی که اعداد y-x و x-y به صورت مدول گرفته می شوند، می توانیم d =lx-уl را بنویسیم. بنابراین، برای یافتن فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات، باید مدول تفاوت بین مختصات آنها را پیدا کنید.

مثال 4. با توجه به نقاط A(2) و B(-6)، فاصله بین آنها را پیدا کنید.

راه حل.بیایید x=2 و y=-6 را در فرمول جایگزین کنیم. دریافت می کنیم، AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

مثال 5.یک نقطه متقارن با نقطه M(4) نسبت به مبدا بسازید.

راه حل.چون از نقطه M تا نقطه O 4 قطعه واحد به سمت راست رها شده است، سپس برای ایجاد یک نقطه متقارن با آن، 4 قطعه واحد را از نقطه O به سمت چپ قرار می دهیم، نقطه M" (-4) را به دست می آوریم.

مثال 6.نقطه C(x) را به صورت متقارن با نقطه A(-4) نسبت به نقطه B(2) بسازید.

راه حل.بیایید نقاط A(-4) و B(2) را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. بیایید فاصله بین نقاط را طبق قضیه 3 پیدا کنیم، 6 بدست می آوریم. سپس فاصله بین نقاط B و C نیز باید برابر با 6 باشد. از نقطه B به سمت راست 6 قطعه واحد می گذاریم، نقطه C را می گیریم (8).

تمرینات 1) فاصله بین نقاط A و B را پیدا کنید: الف) A(3) و B(11)، ب) A(5) و B(2)، ج) A(-1) و B(3)، د) الف (-5) و ب(-3)، ه) الف(-1) و ب(3)، (پاسخ: الف) 8، ب) 3، ج)4، د)2، ه)2).

2) نقطه C(x)، متقارن با نقطه A(-5) نسبت به نقطه B(-1) بسازید. (جواب: ج(3)).

سیستم مختصات مستطیلی (دکارتی).

دو محور متقابل عمود بر Ox و Oy با مبدا مشترک O و واحد مقیاس یکسان، تشکیل می‌دهند. مستطیل شکل(یا دکارتی) سیستم مختصات هواپیما.

محور Ox نامیده می شود محور xو محور Oy - محور y. نقطه O تقاطع محورها نامیده می شود منشاء. صفحه ای که محورهای Ox و Oy در آن قرار دارند، صفحه مختصات نامیده می شود و Oxy نامیده می شود.

بگذارید M یک نقطه دلخواه در صفحه باشد. اجازه دهید از آن عمودهای MA و MB را به ترتیب بر محورهای Ox و Oy رها کنیم. نقاط تلاقی A و B این عمودها با محورها نامیده می شود پیش بینی هانقاط M روی محور مختصات

نقاط A و B مربوط به اعداد خاصی x و y هستند - مختصات آنها در محورهای Ox و Oy. عدد x نامیده می شود آبسیسانقطه M، شماره y - آن است ترتیب.

این واقعیت که نقطه M دارای مختصات x و y است به صورت نمادین به صورت زیر نشان داده می شود: M(x,y). در این حالت، ابسیسا ابتدا در پرانتز، و ترتیب در مرحله دوم نشان داده می شود. مبدا دارای مختصات (0,0) است.

بنابراین، با سیستم مختصات انتخاب شده، هر نقطه M از صفحه با یک جفت اعداد (x، y) - مختصات مستطیلی آن و برعکس، هر جفت اعداد (x، y) مطابقت دارد، و علاوه بر این، به یک نقطه مربوط می شود. M در صفحه Oxy به طوری که آبسیسا آن x و مختص y باشد.

بنابراین، یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، یک تناظر یک به یک بین مجموعه تمام نقاط صفحه و مجموعه جفت‌های اعداد برقرار می‌کند، که حل کردن را ممکن می‌سازد. مسائل هندسیاستفاده از روش های جبری

محورهای مختصات هواپیما را به چهار قسمت تقسیم می کنند که به آنها می گویند ربع، ربعیا مختصات زوایاو با اعداد رومی I, II, III, IV همانطور که در شکل نشان داده شده است (هایپرلینک) شماره گذاری شده است.

در شکل نیز علائم مختصات نقاط بسته به موقعیت آنها نشان داده شده است. (مثلاً در سه ماهه اول هر دو مختصات مثبت هستند).

مثال 7.نقاط را بسازید: A(3;5)، B(-3;2)، C(2;-4)، D (-5;-1).

راه حل.بیایید نقطه A (3;5) را بسازیم. ابتدا یک سیستم مختصات مستطیلی را معرفی می کنیم. سپس در امتداد محور آبسیسا 3 واحد مقیاس به سمت راست و در امتداد محور رده بندی 5 واحد مقیاس به سمت بالا قرار می دهیم و از طریق نقاط تقسیم نهایی خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات ترسیم می کنیم. نقطه تلاقی این خطوط نقطه مورد نظر A(3;5) است. نقاط باقیمانده به همین ترتیب ساخته می شوند (شکل هایپرلینک را ببینید).

تمرینات

بدون ترسیم نقطه A(2;-4)، متوجه شوید که متعلق به کدام یک است.

اگر یک نقطه مثبت باشد در کدام ربع می توان قرار داد؟

نقطه ای با مختصات -5 در محور Oy گرفته می شود. مختصات آن در هواپیما چیست؟ (پاسخ: از آنجایی که نقطه روی محور Oy قرار دارد، آبسیس آن برابر با 0 است، مجال مطابق شرط داده می شود، بنابراین مختصات نقطه (0;-5) است).

امتیاز داده شده: الف) A(2;3)، ب) B(-3;2)، ج) C(-1;-1)، د) D(x;y). مختصات نقاط متقارن با آنها را نسبت به محور Ox بیابید. تمام این نکات را ترسیم کنید. (پاسخ: الف) (2;-3)، ب) (-3;-2)، ج) (-1;1)، د) (x;-y)).

نقاط داده شده: الف) A(-1;2)، ب) B(3;-1)، ج) C(-2;-2)، د) D(x;y). مختصات نقاطی را که با آنها متقارن هستند نسبت به محور Oy پیدا کنید. تمام این نکات را ترسیم کنید. (پاسخ: a) (1;2)، ب) (-3;-1)، ج) (2;-2)، د) (-x;y)).

نقاط داده شده: الف) A(3;3)، ب) B(2;-4)، ج) C(-2;1)، د) D(x;y). مختصات نقاط متقارن با آنها را نسبت به مبدا پیدا کنید. تمام این نکات را ترسیم کنید. (پاسخ: a) (-3;-3)، b) (-2;4)، ج) (2;-1)، د) (-x;-y)).

نقطه M(3;-1) داده شده است. مختصات نقاط متقارن با آن را نسبت به محور Ox، محور Oy و مبدا پیدا کنید. تمام نقاط را ترسیم کنید. (پاسخ: (3;1)، (-3;-1)، (-3;1)).

مشخص کنید که نقطه M(x;y) در کدام چهارمین می تواند قرار گیرد اگر: a) xy>0، ب) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

مختصات رئوس را مشخص کنید مثلث متساوی الاضلاعبا ضلع برابر با 10، در ربع اول قرار دارد، اگر یکی از رئوس آن با مبدا مختصات O منطبق باشد، و قاعده مثلث روی محور Ox قرار گیرد. یک نقاشی بکشید. (پاسخ: (0;0)، (10;0)، (5;5v3)).

با استفاده از روش مختصات، مختصات تمام رئوس یک شش ضلعی منظم ABCDEF را تعیین کنید.

(پاسخ: A (0;0)، B (1;0)، C (1.5;v3/2)، D (1;v3)، E (0;v3)، F (-0.5;v3/2). دستورالعمل: نقطه A را به عنوان مبدأ مختصات در نظر بگیرید، محور آبسیسا را ​​از A به B هدایت کنید، طول ضلع AB را به عنوان واحد مقیاس در نظر بگیرید. رسم قطرهای بزرگ شش ضلعی راحت است.

فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات درجه 6 است.

فرمول برای یافتن فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات

الگوریتم یافتن مختصات یک نقطه - وسط یک قطعه

با تشکر از همکاران اینترنتی خود که از مطالب آنها در این ارائه استفاده کردم!

دانلود کنید:

پیش نمایش: برای استفادهپیش نمایش

ارائه ها، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

فاصله بین نقاط روی خط مختصات x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

فاصله بین نقاط یک خط مختصات هدف درس: - روشی (فرمول، قانون) برای یافتن فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات پیدا کنید. - بیاموزید که فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات را با استفاده از قانون یافت شده پیدا کنید.

1. شفاهی 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. به صورت شفاهی با استفاده از یک خط مختصات مسئله را حل کنید: چند عدد صحیح بین اعداد وجود دارد: الف) – 8.9 و 2 ب) – 10.4 و – 3.7 ج) – 1.2 و 4.6؟ الف) 10 ب) 8 ج) 6

0 1 2 7 اعداد مثبت -1 -5 اعداد منفی فاصله خانه تا استادیوم 6 فاصله خانه تا مدرسه 6 خط مختصات

0 1 2 7 -1 -5 فاصله ورزشگاه تا خانه 6 فاصله مدرسه تا خانه 6 یافتن فاصله بین نقاط روی خط مختصات ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) = ? | a-b |

فاصله بین نقاط a و b برابر است با مدول اختلاف مختصات این نقاط. ρ (a; b)= | a-b | فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات

معنی هندسی مدول یک عدد واقعی a b a a=b b x x x فاصله بین دو نقطه

0 1 2 7 -1 -5 فواصل بین نقاط روی خط مختصات را بیابید - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1؛ -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 فواصل بین نقاط روی خط مختصات را بیابید - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6) = ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ؛ 1) = 8 3 7 5

خروجی: مقادیر عبارت | a – b | و | b–a | برای هر مقدار a و b = برابر است

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. فاصله بین نقاط خط مختصات

ρ(x; y) را پیدا کنید اگر: 1) x = – 14، y = – 23; ρ(x;y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5.9، y = -6.8; ρ(x; y)=|5.9 –(– 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12.7 |=12.7

ادامه جمله 1. خط مختصات یک خط مستقیم است که ... روی آن نشان داده شده است 2. فاصله بین دو نقطه ... 3. اعداد مقابل اعداد هستند ... 4. مدول عدد X است. 5. - مقایسه معانی عبارات a – b V b – a نتیجه گیری ... - مقایسه معانی عبارات | الف – ب | V | b–a | ج نتیجه گیری کنید...

Vintik و Shpuntik در امتداد پرتو مختصات قدم می زنند. Vintik در نقطه B (236) قرار دارد، Shpuntik در نقطه W (193) در چه فاصله ای از یکدیگر قرار دارند؟ ρ (B، W) = 43

فاصله بین نقاط A(0)، B(1) A(2)، B(5) A(0)، B (- 3) A(- 10)، B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

فاصله بین نقاط A(- 3.5)، B(1.4) K(1.8)، B(4.3) A(- 10)، C(3) را بیابید.

AB = KB = AC = را بررسی کنید

С(– 5) С(– 3) مختصات نقطه - وسط قطعه BA را پیدا کنید

نقاط A (-3.25) و B (2.65) روی خط مختصات مشخص شده اند. مختصات نقطه O - وسط قطعه AB را پیدا کنید. راه حل: 1) ρ(A;B)= |–3.25 – 2.65| = |–5.9| = 5.9 2) 5.9: 2 = 2.95 3) –3.25 + 2.95 = – 0.3 یا 2.65 – 2.95 = – 0.3 پاسخ: O(–0, 3)

نقاط C(-5.17) و D(2.33) روی خط مختصات مشخص شده اند. مختصات نقطه A - وسط قطعه CD را پیدا کنید. راه حل: 1) ρ(C; D)= |– 5، 17 – 2، 33 | = |– 7، 5 | = 7، 5 2) 7، 5: 2 = 3، 7 5 3) – 5، 17 + 3، 7 5 = – 1، 42 یا 2، 33 – 3، 7 5 = – 1، 42 پاسخ: A ( - 1، 42)

نتیجه گیری: الگوریتم یافتن مختصات یک نقطه - وسط یک قطعه داده شده: 1. فاصله بین نقاط - انتهای یک قطعه معین را بیابید = 2. نتیجه-1 را بر 2 تقسیم کنید (نصف مقدار) = c 3 نتیجه-2 را به مختصات a اضافه کنید یا نتیجه-2 را از مختصات a + c یا - c کم کنید. نتیجه-3 مختصات نقطه - وسط این بخش است.

کار با کتاب درسی: §19، ص112، الف شماره 573، 575 و. شماره 578، 580 تکلیف: §19، ص112، الف. برای سی دی آماده شوید " جمع و تفریق اعداد گویا. فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات"

امروز فهمیدم ... جالب بود ... فهمیدم که ... حالا می توانم ... یاد گرفتم ... انجام دادم ... سعی می کنم ... تعجب کردم ... من خواسته...

درس شماره /3

موضوع: فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات

هدف از فعالیت معلم: شرایطی را برای تسلط بر مهارت های یافتن فاصله بین نقاط روی یک خط مختصات، محاسبه مدول تفاوت، مختصات وسط بخش ایجاد کنید.

نتایج برنامه ریزی شده مطالعه موضوع:

شخصی: علاقه شناختی به مطالعه موضوع نشان می دهد.

موضوع: بدانید که چگونه فاصله بین نقاط را در یک خط مختصات، محاسبه مدول اختلاف، مختصات وسط قطعه، پیدا کنید.

نتایج فرا موضوعی مطالعه موضوع (جهانی فعالیت های یادگیری):

آموزشی: تمرکز بر روش های مختلف برای حل مشکلات؛ قادر به خلاصه کردن و نظام مند کردن اطلاعات هستند.

نظارتی: در برنامه ریزی و کنترل روش حل، قاعده را در نظر بگیرید.

ارتباطی: آنها نظرات مختلف را در نظر می گیرند و برای هماهنگ کردن مواضع مختلف در همکاری تلاش می کنند.

فیلمنامه درس.

من .لحظه سازمان.
سلام بچه ها امروز مهمان داریم بیایید به آنها سلام کنیم!

بشین

درس ما یک درس کاملاً معمولی نیست. درس تعمیم دانش. ما باید آنچه را که آموخته ایم، آموخته ایم نشان دهیم.

اخیراً روی چه موضوعی کار کرده ایم (مقایسه، جمع اعداد گویا)؟

من کلمات زیر را به عنوان خلاصه درس در نظر گرفتم: : امروز برای علم به سفر می رویم

بیایید از فانتزی برای کمک استفاده کنیم،

ما از جاده مستقیم منحرف نمی شویم

و بتوانیم سریعتر به اهدافمان برسیم

باید از پله ها بالا برویم!

2. به روز رسانی دانش .

وظیفه "پله".

روی گزینه ها، تأیید و ارزیابی خود کار کنید

3 آفرین، ما همچنان برای کسب دانش به سمت بالا حرکت می کنیم.بیایید تکالیف شما را بررسی کنیم.

1. فاصله بین نقاط خط مختصات را پیدا کنید: D/Z

الف) A(-4) و B(-6)؛ ب) الف(5) و ب(-7)؛ ج) A(3) و B(-18).

راه حل:الف) AB= |-6-(-4) |= |-2|=2

ب) AB =|-7-5|=12

ج) AB = |-18-3 |= 21

2. مختصات نقاط دور از نقطه را پیدا کنید:

الف) A(-8) در 5; ب) B(6) توسط -2.7; ج) C(4) در -3.2

راه حل: الف) -8+5=-3 الف 1 (-3) و -8-5=-13 الف 2 (-13)

ب) 6+(-2.7) =3.3 در 1 (3,3) و 6-(-2.7) =8.7 در 2 (8,7)

ج) 4+(-3.2) =0.8 با 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 با 2 (7,2)

3) مختصات نقطه C وسط پاره را بیابید اگر:

الف) A(-12) B (1) ب) A(-7) و B(9) ج) A(16) و B (8-)

راه حل:

12+1=-11 ب) 7+9 =2 ب) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5.5) с(1) С(4)

روی میزهای شما یک استاندارد وجود دارد مشق شب. برگه خودارزیابی را بررسی و علامت گذاری کنید.

4 . نظرسنجی بلیتز :

1. خط مختصات چیست؟

2. چه قوانینی را برای مقایسه اعداد گویا می دانید؟

3. مدول یک عدد چیست؟

4-چگونه دو عدد با علائم یکسان را جمع کنیم؟

5. چگونه دو عدد با علامت های مختلف را جمع کنیم؟

6. چگونه فاصله بین نقاط یک خط مختصات را تعیین کنیم؟

خوب، اکنون به شما نشان خواهیم داد که چگونه می توانیم دانش خود را در عمل به کار ببریم.

5. اشتباهات را تصحیح کنید

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

خودآزمایی انجام دهید.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. فاصله بین نقاط را تعیین کنید و وسط قسمت را پیدا کنید (طبق گزینه ها)

(تعویض دفترچه و چک متقابل.)

7. خب، حالا استراحت می کنیم. چشمان ما نیاز به استراحت دارند

8. کار مستقل (در یک دفترچه) درجه بندی.

گزینه 1 گزینه 2

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (اسلاید 9)

هدف: آزمایش توانایی اعمال قوانین جمع برای تبدیل عبارات؛ توسعه علاقه و استقلال شناختی؛ استقامت و پشتکار را در دستیابی به اهداف پرورش دهید.




معنی عبارت را بیابید و گنوم را با توجه به نتیجه به دست آمده مطابق با جدول رنگ آمیزی کنید. (کارت با گنوم به عنوان طلسم نزد دانش آموزان باقی می ماند)

آفرین بچه ها!

شما وظایف را انجام دادید

و آنها دانش خود را چشمک زدند.

و کلید جادویی یادگیری این است

استقامت و صبر شما!

در این مقاله به بررسی راه هایی برای تعیین فاصله نقطه به نقطه به صورت نظری و با استفاده از مثال مسائل خاص می پردازیم. برای شروع، چند تعاریف را معرفی می کنیم.

تعریف 1

فاصله بین نقاططول بخش اتصال آنها در مقیاس موجود است. برای داشتن یک واحد طول برای اندازه گیری لازم است یک مقیاس تنظیم کنید. بنابراین، اساساً مشکل یافتن فاصله بین نقاط با استفاده از مختصات آنها در یک خط مختصات، در یک صفحه مختصات یا فضای سه بعدی حل می شود.

داده های اولیه: خط مختصات O x و یک نقطه دلخواه A که روی آن قرار دارد هر نقطه روی آن یک چیز دارد عدد واقعی: برای نقطه A این عدد معینی باشد x A,همچنین مختصات نقطه A است.

به طور کلی می توان گفت که طول یک قطعه معین در مقایسه با قطعه ای که به عنوان واحد طول در یک مقیاس معین گرفته می شود، ارزیابی می شود.

اگر نقطه A با یک عدد واقعی مطابقت دارد، با کنار گذاشتن متوالی از نقطه O به نقطه در امتداد خط مستقیم O A قطعات - واحدهای طول، می توانیم طول قطعه O A را از تعداد کل قطعات واحد کنار گذاشته شده تعیین کنیم.

به عنوان مثال، نقطه A مربوط به عدد 3 است - برای رسیدن به آن از نقطه O، باید سه بخش واحد را کنار بگذارید. اگر نقطه A دارای مختصات - 4 باشد - تک بخش هابه روشی مشابه اما در جهتی متفاوت و منفی رسوب می‌کنند. بنابراین، در حالت اول، فاصله O A برابر با 3 است. در حالت دوم O A = 4.

اگر نقطه A یک عدد گویا به عنوان مختصات داشته باشد، از مبدا (نقطه O) یک عدد صحیح از بخش های واحد و سپس قسمت ضروری آن را رسم می کنیم. اما از نظر هندسی همیشه نمی توان اندازه گیری کرد. برای مثال، رسم کسری 4 111 روی خط مختصات دشوار به نظر می رسد.

با استفاده از روش فوق، رسم یک عدد غیر منطقی روی یک خط مستقیم کاملاً غیرممکن است. مثلاً وقتی مختصات نقطه A 11 باشد. در این مورد، می توان به انتزاع روی آورد: اگر مختصات داده شده نقطه A بزرگتر از صفر باشد، O A = x A (عدد به عنوان فاصله در نظر گرفته می شود). اگر مختصات کمتر از صفر باشد، O A = - x A . به طور کلی، این عبارات برای هر عدد واقعی x A صادق است.

به طور خلاصه: فاصله از مبدا تا نقطه ای که مطابق با یک عدد واقعی در خط مختصات است برابر است با:

• 0 اگر نقطه با مبدا منطبق باشد.

• x A، اگر x A > 0;

• - x A اگر x A< 0 .

در این صورت بدیهی است که طول قطعه به خودی خود نمی تواند منفی باشد، بنابراین با استفاده از علامت مدول فاصله نقطه O تا نقطه A را با مختصات می نویسیم. xA: O A = x A

جمله زیر درست خواهد بود: فاصله یک نقطه تا نقطه دیگر برابر مدول اختلاف مختصات خواهد بود.آن ها برای نقاط A و B که روی یک خط مختصات برای هر مکان قرار دارند و مختصات مربوطه دارند xAو x B: A B = x B - x A.

داده های اولیه: نقاط A و B که روی صفحه ای در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با مختصات داده شده قرار دارند: A (x A, y A) و B (x B, y B).

اجازه دهید از طریق نقاط A و B عمود بر محورهای مختصات O x و O y رسم کنیم و در نتیجه نقاط طرح را بدست آوریم: A x، A y، B x، B y. بر اساس مکان نقاط A و B، گزینه های زیر ممکن است:

اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، فاصله بین آنها صفر است.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور Ox (محور آبسیسا) قرار بگیرند، آنگاه نقاط بر هم منطبق هستند و | A B | = | A y B y | . از آنجایی که فاصله بین نقاط برابر با مدول اختلاف مختصات آنها است، A y B y = y B - y A و بنابراین A B = A y B y = y B - y A.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور O y (محور مختصات) قرار بگیرند - بر اساس قیاس با پاراگراف قبلی: A B = A x B x = x B - x A

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات قرار نگیرند، با استخراج فرمول محاسبه فاصله بین آنها را خواهیم یافت:

می بینیم که مثلث A B C از نظر ساخت مستطیل شکل است. در این مورد، A C = A x B x و B C = A y B y. با استفاده از قضیه فیثاغورث، تساوی را ایجاد می کنیم: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 و سپس آن را تبدیل می کنیم: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

بیایید از نتیجه به دست آمده نتیجه بگیریم: فاصله از نقطه A تا نقطه B در صفحه با محاسبه با استفاده از فرمول با استفاده از مختصات این نقاط تعیین می شود.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

فرمول به دست آمده همچنین اظهارات قبلی را برای موارد تصادف نقاط یا موقعیت هایی که نقاط روی خطوط مستقیم عمود بر محورها قرار دارند تأیید می کند. بنابراین، اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، برابری درست خواهد بود: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

برای موقعیتی که نقاط A و B روی یک خط مستقیم عمود بر محور x قرار دارند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

برای حالتی که نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور قرار می گیرند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با نقاط دلخواه که روی آن قرار گرفته اند با مختصات داده شده A (x A, y A, z A) و B (x B, y B, z B). تعیین فاصله بین این نقاط ضروری است.

بیایید حالت کلی را در نظر بگیریم که نقاط A و B در صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات قرار نگیرند. اجازه دهید صفحات عمود بر محورهای مختصات را از طریق نقاط A و B رسم کنیم و نقاط طرح مربوطه را بدست آوریم: A x , A y , A z , B x , B y , B z

فاصله بین نقاط A و B قطر متوازی الاضلاع است. با توجه به ساخت و ساز اندازه گیری های این متوازی الاضلاع: A x B x، A y B y و A z B z

از درس هندسه می دانیم که مربع قطر یک متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مجذورات ابعاد آن. بر اساس این عبارت، برابری را بدست می آوریم: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

با استفاده از نتیجه گیری های قبلی، موارد زیر را می نویسیم:

A x B x = x B - x A، A y B y = y B - y A، A z B z = z B - z A

بیایید عبارت را تبدیل کنیم:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

نهایی فرمول تعیین فاصله بین نقاط در فضابه این صورت خواهد بود:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

فرمول به دست آمده برای موارد زیر نیز معتبر است:

نقاط منطبق هستند.

دراز کشیدن روی یکی محور مختصاتیا یک خط مستقیم موازی با یکی از محورهای مختصات.

نمونه هایی از حل مسائل در یافتن فاصله بین نقاط

مثال 1

داده های اولیه: یک خط مختصات و نقاطی که روی آن قرار دارند با مختصات A (1 - 2) و B (11 + 2) داده شده است. باید فاصله نقطه مبدا O تا نقطه A و بین نقاط A و B را پیدا کرد.

راه حل

1. فاصله نقطه مرجع تا نقطه برابر مدول مختصات این نقطه است، به ترتیب O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. ما فاصله بین نقاط A و B را به عنوان مدول اختلاف بین مختصات این نقاط تعریف می کنیم: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

پاسخ: O A = 2 - 1، A B = 10 + 2 2

مثال 2

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی و دو نقطه روی آن A (1، - 1) و B (λ + 1، 3) داده شده است. λ مقداری واقعی است. لازم است تمام مقادیر این عدد را پیدا کنید که در آن فاصله A B برابر با 5 باشد.

راه حل

برای یافتن فاصله بین نقاط A و B باید از فرمول A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 استفاده کنید.

با جایگزینی مقادیر مختصات واقعی، به دست می آوریم: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

ما همچنین از شرط موجود استفاده می کنیم که A B = 5 و سپس برابری درست خواهد بود:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = 3 ±

پاسخ: اگر λ = 3 ± B = 5.

مثال 3

داده های اولیه: مشخص شده است فضای سه بعدیدر یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z و نقاط A (1، 2، 3) و B - 7، - 2، 4 در آن قرار دارند.

راه حل

برای حل مسئله از فرمول A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 استفاده می کنیم.

با جایگزینی مقادیر واقعی، دریافت می کنیم: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

پاسخ: | A B | = 9

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید