ارائه نحوه رسم سهمی. ارائه در مورد ریاضیات با موضوع "پارابولا. بستگان سهمی، نزدیک و دور." مدار سهموی و حرکت ماهواره در طول آن

هدف پروژه: مطالعه یکی از منحنی های مرتبه دوم (پارابولا) و دامنه کاربرد آن. اهداف پروژه: 1. یک تعریف دقیق ریاضی از سهمی ارائه دهید. 2. خواص سهمی را مطالعه کنید. 3. دریابید که چرا سهمی را مقطع مخروطی می نامند. 4. مناطق کاربرد سهمی را مشخص کنید.

پارابولا (ضمیمه یونانی παραβολή) منحنی است که نقاط آن از نقطه ای به نام کانون و از یک خط مستقیم به نام جهت سهمی به یک اندازه فاصله دارند. همراه با بیضی و هذلولی، سهمی یک مقطع مخروطی است. تصویری از مقطع مخروطی که سهمی است. ساخت سهمی به صورت مقطع مخروطی.

ساخت سهمی روش اول. سهمی را می توان نقطه به نقطه با استفاده از قطب نما و خط کش، بدون دانستن معادله و فقط تمرکز و جهت ساخت. راس نقطه وسط قسمت بین کانون و جهت است. یک سیستم مرجع دلخواه با موارد مورد نیاز تک بخش. هر نقطه بعدی محل تقاطع عمود بر بخش بین کانون و نقطه جهت است که در فاصله ای از مبدا که مضربی از قطعه واحد است و خط مستقیمی که از این نقطه می گذرد و به موازات محور قرار دارد. سهمی

ساخت سهمی روش دوم. برای رسم سهمی به خط کش، مربع، نخی به طول ساق بزرگتر مربع و دکمه نیاز دارید. یک سر نخ را به کانون و سر دیگر را به بالای گوشه کوچکتر مربع وصل کنید. بیایید یک خط کش را روی دایرکتوریکس اعمال کنیم و با ساق کوچکتر یک مربع روی آن قرار دهیم. از یک مداد برای کشیدن نخ استفاده کنید تا نقطه آن کاغذ را لمس کند و به ساق بزرگتر فشار دهد. مربع را حرکت می دهیم و مداد را به سمت آن فشار می دهیم تا نخ محکم بماند. در این حالت، مداد یک سهمی روی کاغذ می کشد.

خواص سهمی 1. سهمی منحنی مرتبه دوم است. 2. دارای یک محور تقارن به نام محور سهمی است. محور از کانون و راس عمود بر جهت عبور می کند. 3. خاصیت نوری. پرتویی از پرتوهای موازی با محور سهمی که در سهمی منعکس شده است، در کانون آن جمع شده است. و بالعکس، نور از منبعی که در کانون قرار دارد، توسط یک سهمی به پرتویی از پرتوهای موازی با محور آن منعکس می‌شود. 4. برای سهمی، تمرکز در نقطه (0؛ 0.25) است. برای سهمی، تمرکز در نقطه (0; f) است. 5. همه سهمی ها شبیه هم هستند. فاصله بین فوکوس و مستقیم، مقیاس را تعیین می کند. 6. هنگامی که یک سهمی حول محور تقارن می چرخد، یک سهمی بیضوی به دست می آید.

خصوصیات سهمی فاصله Pn تا کانون F همان فاصله Pn تا Qn است. تصویری از اثبات قضیه پاسکال با استفاده از قضیه 9 نقطه ای. طول خطوط F-Pn-Qn یکسان است. می توان گفت که برخلاف بیضی، کانون دوم سهمی در بی نهایت است (همچنین به توپ های قاصدک مراجعه کنید).

استفاده از پارابولوئیدها در تکنیک پارابولوئید چرخشی پرتوی از پرتوهای موازی با محور اصلی را در یک نقطه متمرکز می کند. خاصیت پارابولوئید چرخشی اغلب برای جمع آوری پرتوی از پرتوهای موازی با محور اصلی در یک نقطه کانونی یا برعکس برای تشکیل یک پرتو موازی تابش از منبعی که در کانون قرار دارد استفاده می شود. آنتن های سهموی، تلسکوپ های بازتابنده، نورافکن ها و چراغ های جلوی خودرو بر اساس این اصل هستند. آنتن تلسکوپ رادیویی

فندک خورشیدی روشی اصلی برای استفاده از انرژی خورشید. فندک خورشیدی یک آینه سهموی از جنس فولاد ضد زنگ است که بسیار شبیه آینه ای است که برای روشن کردن شعله المپیک در آتن استفاده می شود. یک آینه سهموی این امکان را فراهم می کند که تمام انرژی را در یک نقطه کانونی جمع آوری کرده و آتش را مشتعل کند. دما در این نقطه می تواند به 537 درجه سانتیگراد برسد. چنین وسیله ای در پیاده روی و سایر شرایط صحرایی ضروری خواهد بود.

سهمی ها در فضای فیزیکی مسیرهای برخی اجرام کیهانی (ستاره های دنباله دار، سیارک ها و غیره) که از نزدیک یک ستاره یا دیگر جرم های عظیم عبور می کنند (ستاره، سیاه چالهیا به سادگی سیارات) با سرعت کافی بالا شکل یک سهمی (یا هذلولی) دارند. این اجساد به دلیل سرعت زیاد و جرم کم آنها اسیر نمی شوند میدان گرانشیستاره ها به پرواز رایگان خود ادامه می دهند. این پدیده برای مانورهای گرانشی فضاپیماها استفاده می شود.

کاربرد سهمی ها در بالستیک بالستیک (از یونانی βάλλειν به پرتاب) علم حرکت اجسامی است که در فضا پرتاب می شوند، بر اساس ریاضیات و فیزیک. او در درجه اول حرکت پرتابه های شلیک شده از سلاح گرم، راکت و موشک های بالستیک را مطالعه می کند. بین بالستیک داخلی که حرکت پرتابه را در کانال تفنگ مطالعه می کند، در مقابل بالستیک خارجی که حرکت پرتابه را هنگام خروج از تفنگ مطالعه می کند، تفاوت قائل می شود. بالستیک خارجی، به عنوان یک قاعده، به عنوان علم حرکت اجسام در هوا و فضای بدون هوا تحت تأثیر تنها نیروهای خارجی درک می شود.

ساختار ساختار پل معلق. تنش های اصلی در یک پل معلق تنش های کششی در کابل های اصلی و تنش های فشاری در تکیه گاه ها هستند. تقریباً تمام نیروها در تکیه گاه ها به صورت عمودی به سمت پایین هدایت می شوند و توسط کابل ها تثبیت می شوند، بنابراین تکیه گاه ها می توانند بسیار نازک باشند. توزیع نسبتاً ساده بارها بر روی عناصر ساختاری مختلف، محاسبه پل های معلق را ساده می کند. تحت تأثیر وزن خود و وزن دهانه پل، کابل ها آویزان شده و قوس نزدیک به سهمی را تشکیل می دهند. یک کابل بدون بار معلق بین دو تکیه گاه به شکل یک به اصطلاح به خود می گیرد. یک "خط چرخشی" که در یک بخش تقریباً افقی به سهمی نزدیک است. اگر بتوان وزن کابل ها را نادیده گرفت و وزن دهانه به طور یکنواخت در طول پل توزیع شد، کابل ها شکل سهمی به خود می گیرند. اگر وزن کابل با وزن سطح جاده قابل مقایسه باشد، شکل آن حدواسط بین یک خط کاتناری و یک سهمی خواهد بود.

نتایج در طول کار بر روی این پروژه: 1. یک تعریف دقیق ریاضی از سهمی فرموله شد. 2. روشی برای ساخت سهمی در نظر گرفته شده است. 3. برخی از خواص سهمی بررسی شد. 4. ارتباط بین مفاهیم «پارابولا» و «قطعات مخروطی» آشکار شده است. 5. زمینه های کاربرد سهمی تعیین می شود (فیزیک، فناوری، بالستیک، نجوم، معماری، ساخت پل). 6. اهمیت ریاضیات در دنیای اطراف ما تایید شده است.

منابع اینترنتی Parabola بخش مخروطی آنتن انعکاس دهنده _ (تلسکوپ) کانون توجه _ (فیزیک) پل معلق پارابولوئید بیضی

عقب به جلو

توجه! پیش نمایشاسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی هستند و ممکن است تمام ویژگی های ارائه را نشان ندهند. اگر علاقه مند هستید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف درس:بازتولید و اصلاح دانش و مهارت های لازم در این زمینه؛

تجزیه و تحلیل وظایف و روش های اجرای آنها؛

توسعه دهد تفکر منطقی;

ادغام توانایی ساخت و "خواندن" نمودارها؛

القای علاقه به تاریخ ریاضیات

نوع درس: درس تثبیت و آزمایش دانش، مهارت و توانایی دانش آموزان.

تجهیزات:

• ارائه پاورپوینت؛
• ابزار طراحی

من پیشینه تاریخی. (اسلاید 2)

آپولونیوس پرگا (Perge، 262 قبل از میلاد - 190 قبل از میلاد) - ریاضیدان یونان باستان، یکی از سه هندسه (به همراه اقلیدس و ارشمیدس) بزرگ هندسه باستان که در قرن 3 قبل از میلاد زندگی می کردند.

آپولونیوس در درجه اول به خاطر تک نگاری اش مشهور شد "قطعات مخروطی"(8 کتاب) که در آن معنا بخشید نظریه عمومیبیضی، سهمی و هذلولی. این آپولونیوس بود که نام های رایج این منحنی ها را پیشنهاد کرد. قبل از او آنها را به سادگی "قطعات مخروطی" می نامیدند. او اصطلاحات ریاضی دیگری را معرفی کرد که مشابه لاتین آنها برای همیشه وارد علم شده است، به ویژه: مجانبی، ابسیسا، ترتیب، کاربرد.

«مَثَل» به معنای کاربرد یا مثل است. برای مدت طولانی، این نام به خط برش یک مخروط بود، تا زمانی که تابع درجه دوم ظاهر شد.

کاربرد خواص سهمی در زندگی

به نظر می رسد که نمودار سهمی تابع درجه دوم- این خاصیت جالب را دارد: چنین نقطه و چنین خطی وجود دارد که هر نقطه سهمی از این نقطه و از این خط به یک اندازه فاصله دارد (نقطه را کانون سهمی می نامند و خط جهت آن است). این خاصیت سهمی از قبل برای ریاضیدانان یونان باستان شناخته شده بود.

سنگی که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود، یا پرتابه ای که از یک توپ شلیک می شود، در امتداد مسیری به شکل سهمی پرواز می کند.

اگر سهمی را حول محور تقارن آن بچرخانید، سطحی به نام پارابولوئید چرخش بدست می آید. اگر آب را در لیوان با قاشق به شدت هم بزنید و سپس قاشق را بردارید، سطح آب به شکل یک پارابولوئید در می آید.

و در اینجا یک ویژگی جالب دیگر وجود دارد: اگر یک پارابولوئید چرخشی حول محور خود با سرعت مناسب بچرخد، آنگاه نیروی گریز از مرکز و گرانش حاصل در هر نقطه از پارابولوئید عمود بر سطح آن هدایت می شود.

یک جاذبه خنده دار بر اساس این ویژگی است: اگر یک پارابولوئید بزرگ را بچرخانید، به هر یک از افرادی که در داخل آن قرار دارند، به نظر می رسد که خودش محکم روی زمین ایستاده است و همه افراد دیگر به نحوی معجزه آسا به آن چسبیده اند. دیوارها

II. تعمیم دانش در مورد مکان نمودار سهمی. (اسلاید 3-5)

نگاه کردن به یک سهمی...

در این بخش نشان خواهیم داد که چگونه می توانید اطلاعات زیادی در مورد ضرایب یک مثلث درجه دوم بدست آورید. y = تبر 2 + bx + c،نگاه کردن به نمودار او - یک سهمی.

اول، اجازه دهید حقایق شناخته شده را به یاد بیاوریم.

1) علامت ضریب الف(در x 2)جهت شاخه های سهمی را نشان می دهد:

a > O - شاخه به بالا؛

الف< 0 - ветви вниз.

مدول ضریب، الفمسئول "خنکی"

سهمی: هر چه بیشتر سهمی "تندتر".

تصمیم بگیرید تمرین 1. (اسلاید 6، 7)

برای هر یک از سه جمله های درجه دوم:

2) ضریب ب(همراه با الف)آبسیسا راس سهمی را تعیین می کند:

به ویژه، زمانی که الف= 1 آبسیسه رأس سه جمله ای درجه دوم y = x 2 + bx + cبرابر با .

در ب>راس 0 در سمت چپ محور قرار دارد اوه،در ب< 0 - به سمت راست، در b = 0- روی محور اوه.

تصمیم بگیرید تمرین 2. (اسلاید 8، 9)

برای هر یک از سه جمله های درجه دوم آنها:

نمودار آن را روی نقاشی پیدا کنید.

3) حفظ شانس a و b وتغییر می کند با، سهمی را "بالا" و "پایین می آوریم". نحوه "خواندن" مقدار در نقاشی با?

واضح است که c = y (0)-مرتب نقطه تقاطع سهمی با محور اوه

تصمیم بگیرید تمرین 3. (اسلاید 11 و 12)

الف) کدام نمودار کجاست؟

ب) چه چیزی بیشتر: بایا 1 ?

ج) علامت را مشخص کنید ب.

تصمیم بگیرید تمرین 4. (اسلاید 13، 14)

نقشه نمودار توابع را نشان می دهد:

و محور اوه، مانند همیشه "از پایین به بالا" عمود بر محور حرکت می کند اوه، پاک شد.

الف) کدام تابع دارای نمودار 1 و کدام تابع دارای نمودار 2 است؟

ب) علائم c و d را مشخص کنید.

ج) علامت b را مشخص کنید.

تصمیم بگیرید تمرین 5. (اسلاید 15، 16)

نقشه نمودار توابع را نشان می دهد:

y = x 2 + 4x + c،

y = x 2 + bx + d و y = x 2 + 1،

و محور اوه، مانند همیشه "از چپ به راست" عمود بر محور اوه، پاک شد.

الف) کدام تابع دارای گراف 1 و کدام دارای نمودار 2 و کدام تابع دارای نمودار 3 است؟

ب) علامت را مشخص کنید ب.

ج) چه چیزی بیشتر: بایا د?

د) علائم را مشخص کنید باو د.

تصمیم بگیرید تمرین 6. (اسلاید 17–19)

نقشه نمودار توابع را نشان می دهد:

y = تبر 2 + x + c،

y = –x 2 + bx + 2

و محورها اوهو اوه،به صورت استاندارد (موازی با لبه های ورق، اوه- به صورت افقی "از چپ به راست"، اوه- به صورت عمودی ("پایین به بالا")، پاک شده است.

الف) علامت را مشخص کنید ب.

ب) علامت را مشخص کنید با.

ج) ثابت کنید که:

• راه حل تمرین ها بر اساس حقایقی است که ما در مورد ضرایب سه جمله ای درجه دوم می دانیم.
• خواص سهمی بسیار غنی و متنوع است، از آنها برای حل مشکل استفاده کنید.

وظیفه (اسلاید 20، 21).

مشخص است که سهمی، که نمودار یک مثلث درجه دوم است y = تبر 2 + 10x + c،در کوارتر سوم امتیازی ندارد.

کدام یک از عبارات زیر ممکن است درست نباشد؟

(الف) a>0

(ب) راس سهمی در ربع دوم قرار دارد.

(ج) با > 0

(E) 1OO - 4 ac < 0.

از آنجایی که سهمی در کوارتر سوم هیچ امتیازی ندارد، نمی تواند منفی باشد. بنابراین، الف> 0، بنابراین، آبسیسا رأس x 0< 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие با> 0.1 از چیزی نتیجه نمی گیرد.

در واقع، می توان آن را نقض کرد، به عنوان مثال، برای یک سهمی در= x 2 + 10x + 0.01، شرایط مشکل را برآورده می کند.

پاسخ: (د).

این اصطلاح معانی دیگری دارد . (ادبیات)

سهمی - "مقایسه، کنار هم قرار دادن، شباهت، تقریب".

داستان کوتاهی با ماهیت تمثیلی، دارای معنای آموزنده و شکلی خاص از روایت، که گویی در امتداد یک منحنی (پارابولا) حرکت می کند: با شروع از موضوعات انتزاعی، داستان به تدریج به موضوع اصلی نزدیک می شود و دوباره باز می گردد.

پارابولا.

بستگان پارابولا -

دور و نزدیک

سیلچنکو اولگا، ایزوتووا آنا

دانش آموزان کلاس نهم مدرسه راهنمایی MBOU Strashevichi

معلم: سامولیسووا تاتیانا واسیلیونا

هدف پروژه:

یکی از منحنی های مرتبه دوم (پارابولا) و دامنه کاربرد آن را مطالعه کنید.

اهداف پروژه:

1. یک تعریف ریاضی از سهمی ارائه دهید.

2. خواص سهمی را مطالعه کنید.

3. دریابید که چرا سهمی را مقطع مخروطی می نامند.

4. اطلاعاتی در مورد "بستگان" سهمی بیابید

5. مناطق کاربرد سهمی را مشخص کنید

همه ما با مثلث مربع آشنا هستیم که در مورد آن به نظر می رسد که همه ما می دانیم: چگونه ریشه ها را پیدا کنیم، و چگونه یک نمودار بسازیم، و چگونه نابرابری های درجه دوم را حل کنیم... اما این یک قضاوت عجولانه است - دوست قدیمی ما اسرار و شگفتی های زیادی دارد!

سهمی (به یونانی παραβολή - ضمیمه) - منحنی که نقاط آن از نقطه ای به نام کانون و از یک خط مستقیم به نام جهت سهمی به یک اندازه فاصله دارند.

سهمی- این یک بخش است مخروطصفحه موازی با ژنراتیکس آن.

راه دیگری برای ساخت

معلوم می شود که یک سهمی - نمودار یک تابع درجه دوم - یک خاصیت جالب دارد: چنین نقطه و چنین خطی وجود دارد که هر نقطه از سهمی به یک اندازه از این نقطه و از این خط فاصله دارد (نقطه را می نامند فوکوس سهمی، و خط مستقیم نامیده می شود). این خاصیت سهمی برای ریاضیدانان یونان باستان شناخته شده بود. برای نمودار تابع y = x 2، کانون نقطه با مختصات (0; 0.25) است، و جهت خط مستقیم y = -0.25 است.

سعی کنید دریابید که چگونه می توانید با استفاده از این ویژگی یک سهمی بسازید.

خواص سهمی

1. سهمی منحنی مرتبه دوم است.

2. دارای یک محور تقارن به نام محور سهمی است. محور از کانون و راس عمود بر جهت عبور می کند.

3. خاصیت نوری. پرتویی از پرتوهای موازی با محور سهمی که در سهمی منعکس شده است، در کانون آن جمع شده است. و بالعکس، نور از منبعی که در کانون قرار دارد، توسط یک سهمی به پرتویی از پرتوهای موازی با محور آن منعکس می‌شود.

4. برای سهمی، تمرکز در نقطه (0؛ 0.25) است.

برای سهمی، تمرکز در نقطه (0; f) است.

5. همه سهمی ها شبیه هم هستند. فاصله بین فوکوس و مستقیم، مقیاس را تعیین می کند.

نزدیکترین بستگان سهمی- این دایره , هذلولیو بیضی

و وجه اشتراک همه این منحنی ها یک مخروط معمولی است:

صفحه ای موازی با محور مخروط رسم کنید

سپس خط تقاطع یک هذلولی خواهد بود

• اگر صفحه عمود بر محور باشد، محل تقاطع دایره است ,

• اگر هواپیما بین دو مورد آخر قرار گیرد،

سپس تقاطع منجر به بیضی می شود.

اگر صفحه موازی با ژنراتیکس مخروط باشد، سپس تقاطع منجر به یک سهمی می شود ,

بنابراین به همه این منحنی ها با هم مقاطع مخروطی می گویند.

در حال حاضردر سال 340 قبل از میلاد، ریاضیدان یونانی مناخموس از این خاصیت این منحنی ها اطلاع داشت و در قرن دوم قبل از میلاد آپولونیوس پرگا رساله مشابهی با عنوان "قطعات مخروطی" نوشت.

سیکلوئید.

یکی دیگر از خویشاوندان معروف سهمی سیکلوئید است. این مسیر یک نقطه روی لبه چرخ است که بدون لغزش در یک خط مستقیم می غلتد. این نام توسط گالیله به منحنی داده شد. اگر از تپه ای که به شکل سیکلوئید ساخته شده است روی سورتمه پایین می روید ، زمان فرود به مکانی که سورتمه از آنجا شروع به غلتیدن کرده است بستگی ندارد. اما فرود آمدن از همان ارتفاع روی سرسره ای با هر شکل دیگری زمان بیشتری می برد. به دلیل این خاصیت، سیکلوئید "براکیستوکرون" نیز نامیده می شود. (از کلمات یونانی به معنی "کوتاه ترین" و "زمان").

پارابولوئید چرخش

اگر سهمی را حول محور چرخش آن بچرخانید، سطحی به نام پارابولوئید چرخش بدست می آید.

اگر آب را در لیوان با قاشق به شدت هم بزنید و سپس قاشق را بردارید، سطح آب به شکل یک پارابولوئید در می آید.

استفاده از پارابولوئیدها در تکنولوژی

یک پارابولوئید چرخشی پرتوی از پرتوهای موازی با محور اصلی را در یک نقطه متمرکز می کند.

خاصیت یک پارابولوئید چرخش اغلب برای جمع آوری پرتوی از پرتوهای موازی با محور اصلی در یک نقطه - کانون، یا برعکس، برای تشکیل یک پرتو موازی تابش از منبع واقع در کانون استفاده می شود.

آنتن های سهموی، تلسکوپ های بازتابی، نورافکن ها و چراغ های جلوی خودرو بر اساس این اصل هستند.

استفاده از پارابولوئیدها در تکنولوژی

تلسکوپ های بازتابی

کانون توجه

چراغ جلو اتومبیل

فندک خورشیدی

روشی بدیع برای استفاده از انرژی خورشیدی. فندک خورشیدی یک آینه سهموی از جنس فولاد ضد زنگ است که بسیار شبیه آینه ای است که برای روشن کردن شعله المپیک در آتن استفاده می شود.

یک آینه سهموی این امکان را فراهم می کند که تمام انرژی را در یک نقطه کانونی جمع آوری کرده و آتش را مشتعل کند. دما در این نقطه می تواند به 537 درجه سانتیگراد برسد. چنین وسیله ای در پیاده روی و سایر شرایط صحرایی ضروری خواهد بود.

سهمی ها در فضای فیزیکی

مدار سهموی و حرکت ماهواره در طول آن

پاییز بسکتبالتوپ

نیروگاه خورشیدی سهموی در کالیفرنیا، ایالات متحده آمریکا.

سهمی در طبیعت

سهمی. شکل آن و ارتفاع آن باورنکردنی است. برخی از مردم

آنها هنوز وجود این سنگ عجیب را باور ندارند. این چیزی است که می گویند:

«نه خدا وجود دارد و نه سهمی. و چیزی که نشان می دهند فتوشاپ است.»

سهمی در طبیعت

هر کس معتقد است که سهمی را فقط در صفحات کتاب درسی می توان یافت، بدون شک در اشتباه است. به تصاویر با دقت نگاه کنید و سهمی ها را در آنها بیابید.

خودتان چند نقاشی از برگ ها، گل ها، حیوانات بسازید و سهمی ها را در آنها پیدا کنید.

سهمی ها در دنیای حیوانات

مسیرهای پرش حیوانات به سهمی نزدیک است

نتایج

در حین کار روی این پروژه :

1. یک تعریف دقیق ریاضی از سهمی فرموله شده است.

2. روشی برای ساخت سهمی در نظر گرفته شده است.

3. برخی از خواص سهمی بررسی شد.

4. ارتباط بین مفاهیم "پارابولا" و "قطعات مخروطی" آشکار شد و خویشاوندان سهمی پیدا شدند.

5. زمینه های کاربرد سهمی مشخص شده است (فیزیک، فناوری، نجوم، معماری و ...).

6. اهمیت ریاضیات در دنیای اطراف ما تایید شده است.

فهرست منابع مورد استفاده:

1. فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان گردآوری شده توسط A.P. Savin, M, Pedagogy, 1982.

2. دایره المعارف برای کودکان، جلد 11، «ریاضیات»، م، «آوانتا+»، 1377.

3. باشگاه ریاضی "کانگورو"، "در اطراف سه جمله ای مربع" سن پترزبورگ، 2002.

4. وب سایت http://www/uvlekat- matem.narod.ru/

5.وب سایت www.bigpi.biysk.ru

6.وب سایت en.wikipedia.org › مخروطی بخش