مقدمه

هر برابری فرم

انتگرال حرکت نامیده می شود. برای یک سیستم بسته با nدرجات آزادی هر چیزی انتگرال های حرکت مستقل وجود دارد. اگر متغیرهای جدیدی را در معادلات حرکت در نظر بگیریم که به آن وابسته نیستند، مجموعه کامل معادلات حرکت به شکل نوشته می شود , (1)

علاوه بر این، برای یک سیستم بسته، زمان در اینجا فقط به صورت دیفرانسیل نوشته شده به صراحت وارد می شود. بنابراین از این معادلات مستثنی می شود dt، خواهیم گرفت

معادلاتی که شامل زمان نیستند. ادغام آنها منجر به انتگرال حرکت می شود.

1. افزایش مجانبی انتگرال های حرکت. فرمول بندی قضیه نوتر.

در بین تمام انتگرال های حرکت، انتگرال های افزایشی یا مجانبی حرکت از اهمیت ویژه ای برخوردار است که نام خاصی برای آنها وجود دارد - قوانین حفاظت. اگر دو سیستم را در نظر بگیریم که بسیار دور از یکدیگر قرار دارند، از نظر فیزیکی واضح است که فرآیندهای یک سیستم به هیچ وجه نباید بر حرکت سیستم دیگر تأثیر بگذارد. از طرف دیگر، هیچ چیز ما را از در نظر گرفتن دو سیستم به عنوان دو بخش باز نمی دارد. منو II، متحد سیستم مشترک، سپس به شرط افزایش مجانبی می رسیم که به شرح زیر است: اگر فلان سیستم ( من + II)به دو زیر سیستم تقسیم می شود به گونه ای که حداقل فاصله بین نقاط مادی زیر سیستم های مختلف باشد

، سپس تابع لاگرانژ آن به مجموع توابع لاگرانژ هر دو زیر سیستم تجزیه می شود: . (2)

قوانین حفاظت منشأ عمیقی دارند که با تغییر ناپذیری توصیف یک سیستم مکانیکی با توجه به گروه خاصی از دگرگونی‌های زمان و مختصات مرتبط است. قضیه نوتر وجود دارد که بیان می کند که برای یک سیستم معادلات دیفرانسیل، که می توان آن را به عنوان معادلات اویلر از برخی از اصول تغییرات به دست آورد، تغییر ناپذیری تابع تغییرات با توجه به یک گروه یک پارامتری پیوسته از تبدیل ها دلالت بر وجود یک قانون بقا دارد. اگر گروه شامل لپارامترها، آنگاه تغییر ناپذیری تابعی دلالت بر وجود خواهد داشت لقوانین حفاظت

وجود گروه تبدیل‌های تقارن موجود در گروه تبدیل‌های تقارن مورد نیاز قضیه نوتر به ماهیت سیستم فیزیکی بستگی دارد. برای سیستم های بسته مورد بررسی، عمل باید با توجه به گروه هفت پارامتری تبدیل ها ثابت باشد - بسته به یک جابجایی زمانی، بسته به سه پارامتر جابجایی فضایی و بسته به سه پارامتر چرخش فضا. مطابق با این، هر سیستم بسته باید 7 کمیت حفظ شده مربوط به تبدیل های نشان داده شده داشته باشد. اگر سیستم به گونه‌ای باشد که امکان تبدیل‌های تقارن دیگر را نیز فراهم کند، ممکن است کمیت‌های حفظ شده بیشتری وجود داشته باشد.

2. اثبات قضیه نوتر

اجازه دهید قضیه نوتر را دقیقاً فرموله و اثبات کنیم.

اجازه دهید سیستمی را که توسط تابع لاگرانژ توصیف شده است در نظر بگیریم

. (3)

شکل معادلات لاگرانژ-اویلر به دست آمده از اصل تغییرات با چنین تابع لاگرانژی تحت تبدیل شکل ثابت است.

و همچنین در مورد تحولات کلی تر (4)

شامل جایگزینی متغیر مستقل است. با این حال، فرم خاص برای عبارت جدید برای عمل، به عنوان تابعی از مختصات جدید بسته به زمان جدید، می تواند با چنین تغییری دستخوش هر تغییری شود.

قضیه نوتر تنها زمانی مورد توجه است که چنین تغییراتی رخ ندهد.

مختصات و زمان تعمیم یافته

با استفاده از (4) دریافت می کنیم:

(5)

اجازه دهید تحول

به طوری که (6)

آن ها تشکیل یک گروه تک پارامتری اجازه دهید یک تبدیل بی نهایت کوچک مربوط به پارامتر را در نظر بگیریم

. (7)

در واقع، تغییرات مختصات تعمیم یافته که در طول تبدیل مورد بررسی رخ می دهد، تفاوت در مقادیر است

مختصات جدید در نقطه ای از زمان جدید و مقادیر مختصات قدیمی در نقطه مربوطه در زمان قدیم، یعنی. . (8)

همراه با آنها، به راحتی می توان تغییرات فرم را در نظر گرفت

(9)

وابستگی مختصات به زمان که غیر صفر هستند، حتی اگر تبدیل ما فقط بر زمان و نه مختصات تأثیر بگذارد.

برای هر تابعی رابطه زیر معتبر است:

.

سپس یک رابطه بین دو نوع تغییر معرفی شده وجود دارد که می توان به صورت زیر بدست آورد: با تفریق معادله (9) از (8)، به دست می آوریم:

,

بیایید آن را در نظر بگیریم

,

سپس داریم:

(10)

تغییرات بدون ستاره مربوط به همان مقدار آرگومان با تمایز در زمان قابل تعویض هستند

,

در حالی که برای تغییرات با ستاره این، به طور کلی، درست نیست.

در این بخش، از رویکرد تغییرات به مسئله مکانیک و به‌ویژه، فرمول کلی برای تغییر تابع به‌دست‌آمده در § 4 استفاده می‌شود تا ارتباطی بین قوانین حفاظتی که در فصل‌های قبل به دست آمد، ایجاد شود. و خواص عمومیفضا و زمان که بیان خود را در تغییر ناپذیری قوانین مکانیک نسبت به دگرگونی های سیستم های مرجع می یابند. ایجاد این ارتباط به ما امکان می دهد تا ماهیت ذاتی قوانین حفاظت و دلایل وجود این قوانین را درک کنیم. این درک به ویژه مهم است، زیرا گاهی اوقات به فرد اجازه می دهد تا اولین انتگرال ها را پیش بینی کند و در نتیجه مطالعه معادلاتی را که حرکت را توصیف می کنند، تسهیل می کند.

با شروع به تهیه مطالب مورد نیاز برای فرمول بندی قضیه اما نوتر که این ارتباط را برقرار می کند، برخی از خانواده های یک پارامتری از تبدیل های سیستم مرجع، یعنی مختصات و زمان را در نظر می گیریم:

که در آن شاخص به مختصات "جدید" و زمان "جدید" اختصاص داده می شود و یک پارامتر مشخص است. فرض می کنیم که تبدیل (66) دو شرط زیر را برآورده می کند:

1° این تبدیل برای یکسان است، یعنی.

2 درجه برای این تبدیل یک معکوس وجود دارد:

اکنون می توانیم قضیه اما نوتر را فرموله کنیم. قضیه نوتر اجازه دهید سیستمی از نقاط مادی که در یک میدان پتانسیل حرکت می‌کنند، با لاگرانژی ارائه شود، و اجازه دهید یک خانواده یک پارامتری از تبدیل‌ها (66) وجود داشته باشد که شرایط 1 درجه و 2 درجه را برآورده کند. علاوه بر این، اجازه دهید L لاگرانژی نسبت به چنین تبدیل‌هایی تغییرناپذیر باشد، یعنی لاگرانژی «جدید» (که با استفاده از فرمول محاسبه می‌شود) به آن بستگی ندارد و به عنوان یک تابع دقیقاً همان شکل L «قدیم» را دارد. یک تابع سپس تابعی است که در حین حرکت این سیستم تغییر نمی کند، یعنی اولین انتگرال حرکت است. این تابع به نظر می رسد

که در آن H همیلتونی سیستم مورد بررسی است.

اثبات بیایید دو فضای مختصات توسعه یافته را در نظر بگیریم. یکی از آنها مربوط به "قدیم" و دیگری با مختصات "جدید" و زمان به دست آمده در نتیجه دگرگونی است (66). در اولین از این فاصله ها (در فضای q, t) دو نقطه دلخواه را انتخاب می کنیم و مقداری منحنی بین این نقاط رسم می کنیم. سپس خانواده یک پارامتری تبدیل ها (66) در فضای مختصات توسعه یافته دوم، یک خانواده یک پارامتری از منحنی ها را ایجاد می کند (شکل VII.5). در صورتی به دست می آید که از برابری ها (66)

مستثنی کردن .

با توجه به شرط اول، یعنی به دلیل فرمول (67)، پارامتر مطابق با منحنی اصلی است، یعنی زمانی که

ابتدا و انتهای منحنی، یعنی نقاطی از فضا، با منحنی هایی که به صورت پارامتریک (پارامتر) توسط فرمول ها مشخص شده اند، مطابقت دارند.

این فرمول ها از فرمول (70) به دست می آیند که بر این اساس t را جایگزین کنیم.

اجازه دهید بخش از به را به عنوان یک منحنی در نظر بگیریم مسیر مستقیمسیستم هایی با L لاگرانژی. عمل همیلتونی را در این مسیر در نظر بگیرید:

با جایگزینی متغیر t در انتگرال (72) به دست می آوریم (صفحه 281 را ببینید)

که در آن تابع طبق فرمول (64) ساخته شده است. با در نظر گرفتن نماد جدید (شرط را ببینید):

با توجه به شرایط قضیه، E. Noether به این بستگی ندارد که تابع استدلال های آن با L چگونه مطابقت داشته باشد:

بنابراین، اگر شرایط قضیه نوتر برآورده شود، انتگرال (72) را می توان به صورت زیر نوشت:

اکنون اجازه دهید انتگرال (74) را به عنوان تابعی که روی یک خانواده یک پارامتری از منحنی ها تعریف شده است در نظر بگیریم. در برابری (74) سمت چپ به a وابسته نیست. این بدیهی است، زیرا هنگام جایگزینی متغیر ادغام، مقدار انتگرال معینتغییر نمی کند بنابراین، در مورد مورد بررسی، انتگرال (74) در تمام منحنی‌های خانواده و بنابراین، برای همه یکسان است.

انتگرال (74) شکل یک عمل همیلتونی دارد که بر روی یک خانواده یک پارامتری از منحنی ها تعریف شده است، و بنابراین می توانیم از فرمول کلی (60) برای تغییر عمل استفاده کنیم. به موجب (60) داریم

(75)

برابری (75) برای هر یک صادق است، اما ما از آن فقط برای استفاده خواهیم کرد. به موجب شرط 1 درجه، برابری‌ها (66) به هویت تبدیل می‌شوند، یعنی دقیقاً به همان شکلی که به t بستگی دارد. اما یک راه مستقیم و در آن وجود دارد

در نتیجه، در و تمام عبارات داخل پرانتز زیر علامت انتگرال در فرمول (75) نیز ناپدید می شوند.

به شما یادآوری می کنیم که ابتدا باید محدودیت ها را جایگزین کنید و سپس عملیات را انجام دهید، یعنی تمایز با توجه به پارامتر. اما وقتی

و مطابق با فرمول های تبدیل (66)

با در نظر گرفتن این برابری ها هنگام جایگزینی حدود و این واقعیت که پس از کاهش با افزایش مستقل، از برابری (76) به دست می آید.

که در آن بالانویس نشان می دهد که آیا تابع مربوطه در یا گرفته شده است یا خیر

به یاد داشته باشیم که مسیر مستقیم و نقاط روی آن خودسرانه انتخاب شده اند. نتیجه این است که تابع (69) در طول منحنی، یعنی در هیچ مسیر مستقیمی تغییر نمی کند.

قضیه اما نوتر ثابت شده است.

اکنون اجازه دهید نشان دهیم که چگونه با استفاده از قضیه نوتر، می‌توانیم تمام قوانین بقای (انتگرال‌های اول) را که در بالا از ملاحظات دیگر ایجاد شده‌اند به دست آوریم.

قانون حفاظت انرژی مکانیکیبرای یک سیستم محافظه کار بیایید یک سیستم محافظه کار (یا به طور کلی محافظه کار) را در نظر بگیریم. به عنوان یک خانواده از تحولات (66)، ما "تغییر زمان" را در نظر می گیریم:

بلافاصله مشخص می شود که تبدیل (78) شرایط 1 درجه و 2 درجه را برآورده می کند. لاگرانژی (و همچنین هامیلتونی) یک سیستم محافظه کار به صراحت به زمان بستگی ندارد، اما، یعنی، تابع در این مورد برابر با وحدت است. بنابراین، تبدیل (66) قطعاً شکل لاگرانژی (البته همیلتونی) را تغییر نمی‌دهد و از قضیه نوتر چنین برمی‌آید که یک سیستم محافظه‌کار باید اولین انتگرال شکل (69) را داشته باشد. اما در این حالت، تمام توابع، به دلیل تبدیل (78)، یکسان برابر هستند، یعنی به آن وابسته نیستند، و بنابراین، مشتقات آنها نسبت به پارامتر a برابر با صفر و فرمول (69) است. ) شکل می گیرد

بنابراین، از قضیه نوتر نتیجه می گیرد که وقتی یک سیستم محافظه کار تعمیم یافته حرکت می کند، انرژی تعمیم یافته آن H تغییر نمی کند. هنگامی که یک سیستم محافظه کار حرکت می کند، کل انرژی مکانیکی آن تغییر نمی کند.

قانون بقای تکانه مختصات چرخه ای اجازه دهید اکنون سیستمی را با مختصات چرخه ای در نظر بگیریم

بلافاصله مشخص می شود که این تبدیل شرایط 1 درجه و 2 درجه را برآورده می کند. لاگرانژی (و از این رو همیلتونی) سیستم به مختصات چرخه ای بستگی ندارد و بنابراین، شکل این توابع تحت تبدیل تغییر نمی کند (79). در نتیجه، به موجب قضیه نوتر، اولین انتگرال شکل (69) برقرار است. اما پس از تبدیل، بقیه. در نتیجه، در این مورد فرمول (69) شکل می گیرد

در ادامه ما دو قانون حفاظتی را بدست خواهیم آورد که هنگام در نظر گرفتن سیستم های بسته اعمال می شوند. در این راستا تذکر کلی زیر را بیان می کنیم. شرط بسته بودن سیستم به این معنی است که تمام نیروهایی که بر روی آنها عمل می کنند نقاط مادیسیستم ها فقط به موقعیت نسبی نقاط و فاصله بین آنها بستگی دارند. در این راستا، هر تبدیل مختصاتی که موقعیت نسبی نقاط و فواصل بین آنها را حفظ کند، معادلات حرکت را تغییر نمی دهد، یعنی شکل لاگرانژ را تغییر نمی دهد.

قانون بقای تکانه برای سیستم های بسته اجازه دهید اکنون یک سیستم بسته را در نظر بگیریم که در یک میدان بالقوه حرکت می کند. ما به عنوان مختصات تعمیم یافته می گیریم مختصات دکارتینقاط را نشان دهید و یک "تغییر در امتداد یکی از محورهای مختصات" را اعمال کنید، به عنوان مثال در امتداد محور:

(در اینجا N تعداد نقاط سیستم است).

با توجه به اینکه وقتی مبدا مختصات در امتداد هر محوری جابه‌جا می‌شود، فاصله بین نقاط سیستم تغییر نمی‌کند، انرژی پتانسیل سیستم و در نتیجه تابع لاگرانژ نیز تغییر نمی‌کند. بدیهی است که تبدیل (80) شرایط 1 درجه و 2 درجه را برآورده می کند. بنابراین، تمام شرایطی که قضیه نوتر بر یک خانواده یک پارامتری از تبدیل ها تحمیل می کند، برآورده می شوند. به موجب این قضیه، انتگرال اول (69) برقرار است. در این حالت، همه مختصات، و همچنین، برابر با صفر هستند، و توابع مختصات به گونه ای هستند که .

بنابراین در فرمول (69) عبارت حاوی همیلتون ناپدید می شود و مجموع باقی مانده در سمت راست برابر است با

اما بنابراین انتگرال اول (69) شکل دارد

(81)

تساوی (81) چیزی نیست جز قانون بقای تکانه در برآمدگی بر روی محور.

دقیقاً به همین ترتیب، با استفاده از تبدیل‌هایی مانند (80) برای جابجایی نه در امتداد محور x، بلکه در امتداد محورهای y و z، بقای پیش‌بینی‌های تکانه روی محورهای y و z را به ترتیب برقرار می‌کنیم. بنابراین، قانون بقای تکانه هنگامی که یک سیستم بسته در یک میدان پتانسیل حرکت می کند، کاملاً ثابت شده است.

قانون بقای تکانه زاویه ای برای یک سیستم بسته اجازه دهید دوباره یک سیستم بسته را در نظر بگیریم که در یک میدان بالقوه حرکت می کند که در نتیجه تعامل نقاط سیستم به دست می آید. مانند قبل، مختصات دکارتی نقاط را به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر می گیریم و تبدیل چرخش سیستم مختصات را حول، به عنوان مثال، محور z در نظر می گیریم:

بلافاصله واضح است که تبدیل (82) شرط 1 درجه را برآورده می کند، یعنی در چرخش به یک تبدیل یکسان. به راحتی می توان بررسی کرد که شرط 2 درجه را نیز برآورده می کند، یعنی سیستم معادلات (82) با توجه به مختصات "قدیمی" قابل حل است، زیرا تعیین کننده این سیستم برابر است با . هنگامی که سیستم مختصات می چرخد، موقعیت نسبی و فاصله بین نقاط سیستم تغییر نمی کند، و بنابراین، میدان پتانسیل تغییر نمی کند، به این معنی که L نیز تغییر نمی کند، بنابراین، در این مورد، به موجب قضیه نوتر انتگرال اول (69) برقرار است. در مورد تبدیل (82) برای مختصات تمام نقاط سیستم، رابطه برقرار است

به همین ترتیب برای همه مختصات

از سوی دیگر، و بنابراین در این مورد

به عنوان مثال، پیش بینی گشتاور جنبشی بر روی محور z حفظ می شود.

دقیقاً به همین ترتیب، با در نظر گرفتن چرخش سیستم مختصات حول محورهای x و y، در حین حرکت، بقای برجستگی حرکت جنبشی را به ترتیب روی محورهای x و y برقرار می کنیم، یعنی قانون را کاملاً اثبات می کنیم. بقای حرکت جنبشی برای یک سیستم بسته که در یک میدان پتانسیل حرکت می کند.

بنابراین، برای مورد حرکت در زمینه های بالقوهما از قضیه نوتر تمام قوانین حفاظتی را که در بالا مورد بحث قرار گرفت به دست آوردیم. قضیه نوتر ماهیت وقوع آنها را نشان داد که با تغییر ناپذیری معادلات حرکت تحت تغییرات مختلف مختصات و زمان مرتبط است. قانون بقای انرژی نتیجه تغییرناپذیری معادلات یک سیستم محافظه کار با جابجایی در امتداد محور زمان است، قانون بقای تکانه نتیجه تغییرناپذیری معادلات یک سیستم حلقه بسته نسبت به آن است. به جابجایی در امتداد محورهای مختصات، و قانون بقای تکانه زاویه ای نتیجه تغییرناپذیری معادلات یک سیستم حلقه بسته نسبت به چرخش حول مختصات محور است.

قضیه نوتر را می توان در آن موارد خاص که امکان یافتن تبدیل های دیگری که لاگرانژ را حفظ می کنند نیز به کار برد.

هر فردی به یک درجه یا دیگری ایده ای از تقارن دارد. این خاصیت در اختیار اشیاء مختلفی است که نقش مهمی در آن دارند زندگی روزمره. به بسیاری از ساخته های دست انسان به دلایل زیبایی شناختی و عملی شکل متقارن داده شده است. شاید متقارن ترین محصول انسان، توپ باشد که بدون توجه به چرخش آن، همیشه یکسان به نظر می رسد. تقارن در طبیعت گسترده است - شکل شش ضلعی دانه های برف، مختلف اشکال هندسیکریستال، تقارن تقریبا آینه ای بدن انسانو غیره

بده تعریف کلیمفهوم "تقارن" بسیار دشوار است. تقارن اغلب با زیبایی همراه است. «متقارن به معنای چیزی است که تناسبات خوبی دارد و تقارن آن نوع سازگاری است قطعات جداگانه، که آنها را در یک کل متحد می کند. G. Weil نوشت: زیبایی با تقارن ارتباط نزدیکی دارد. فرهنگ لغت مختصر آکسفورد تقارن را به این صورت تعریف می‌کند: «زیبایی ناشی از تناسب اجزای بدن یا هر کل، تعادل، شباهت، هماهنگی، سازگاری».

شکل 5 - نمونه هایی از تقارن در طبیعت

تقارن نقش مهمی در علوم طبیعی، منجر به ساده سازی های متعدد تصویر جهان و ایجاد شباهت هایی بین حوزه های مختلف آن شده است.

تقارن(در فیزیک) -خاصیت کمیت های فیزیکی بدون تغییر (نامغیر) تحت تغییرات معین. این دگرگونی ها نامیده می شوند عملیات تقارن .

عملیات تقارن شامل، برای مثال، عمل بازتاب در آینه، تغییر و چرخش است. بلورها دارای تقارن برشی هستند که با آرایش منظم ذرات با تکرار دوره ای در سه بعد مشخص می شود. موارد صحیح دارای تقارن محوری هستند اشکال هندسی. بنابراین، چرخش یک مربع به اندازه 90 درجه نسبت به محوری که از مرکز آن عمود بر صفحه آن می گذرد، مربع را با خودش هم تراز می کند.

تقارن ها به فضا-زمان (خارجی) و درونی تقسیم می شوند که ویژگی ها را توصیف می کنند ذرات بنیادی.

مکان و زمان همگن هستند، یعنی. دارای تقارن برشی: انتقال موازی سیستم مختصات و تغییر در مبدأ زمان، قوانین طبیعت را تغییر نمی دهد. همسانگردی فضا به این معنی است که دارای تقارن محوری است: چرخش محورهای مختصات با یک زاویه دلخواه قوانین طبیعت را تغییر نمی دهد.

در فیزیک مدرن سلسله مراتب خاصی از تقارن کشف شده است. تقارن های فوق برای هر تعاملی رخ می دهد. تقارن هایی وجود دارد که فقط در هنگام برهمکنش های قوی و الکترومغناطیسی این تقارن ها شکسته می شود. این گونه تقارن ها شامل تقارن آینه ای، عمل مزدوج بار، تغییر ناپذیری ایزوتوپی و غیره است که به این تقارن ها داخلی می گویند. تقارن آینه ای (وارونگی فضا، که شامل جایگزینی مختصات است x، y، zدر - x,-y,-z) به این معنی است که انعکاس در آینه قوانین فیزیکی را تغییر نمی دهد. جایگزینی همه ذرات با پادذرات، عملیات مزدوج بار نامیده می شود، همچنین چنین عملیات تقارنی، فرآیندهای برهمکنش های قوی و الکترومغناطیسی را که در طبیعت رخ می دهد، تغییر نمی دهد. تغییر ناپذیری ایزوتوپی با شباهت پروتون و نوترون همراه است (آنها فقط در حضور بار الکتریکی روی پروتون متفاوت هستند که بر فرآیندهای هسته ای تأثیر نمی گذارد).

در سال 1918 آمالی امی نوتراین قضیه اساسی را اثبات کرد که بر اساس آن وجود هر تقارن خاص - در فضا-زمان، درجات آزادی ذرات بنیادی و میدان های فیزیکی - منجر به قانون بقای مربوطه می شود و از این قضیه ساختار خاص کمیت حفظ شده ناشی می شود. از تغییر ناپذیری با توجه به جابجایی زمانی، قانون بقای انرژی به شرح زیر است. از تقارن با توجه به جابجایی های فضایی قانون بقای تکانه به شرح زیر است. از تغییر ناپذیری با توجه به چرخش فضایی، قانون بقای تکانه زاویه ای دنبال می شود. قوانین فیزیکی تحت تبدیل های لورنتس که مقادیر مختصات و زمان را در سیستم های مرجع اینرسی مختلف به هم متصل می کند (اصل نسبیت) تغییر نمی کند. از اصل نسبیت، قانون بقای سرعت حرکت مرکز جرم یک سیستم جدا شده را دنبال می کند.

وجود تقارن های درونی نیز با قوانین حفاظتی خاصی همراه است. تقارن آینه ای منجر به حفظ یک خاص می شود عدد کوانتومی- برابری که باید به هر ذره نسبت داده شود. حفظ برابری به معنای تغییر ناپذیری طبیعت نسبت به جایگزینی راست به چپ و بالعکس است. همانطور که قبلا ذکر شد، برابری فضایی در تعاملات ضعیف حفظ نمی شود. تبدیل پیچیده ای متشکل از وارونگی همزمان فضا و جایگزینی ذرات با پادذرات را وارونگی ترکیبی می گویند. قانون بقای توازن ترکیبی در همه برهمکنش ها رعایت می شود. تغییر ناپذیری ایزوتوپی منجر به حفظ اسپین ایزوتوپی در طول برهمکنش های قوی می شود (برهم کنش های ضعیف، به عنوان یک قاعده، با تغییر در اسپین ایزوتوپی رخ می دهد). قوانین بقای بارهای الکتریکی، باریون و لپتون وجود دارد که تقارن خاصی از تابع موج و غیره را بیان می کند. بر اساس مفاهیم مدرن، بار الکتریکی باید همیشه در طول تمام تبدیل ذرات بنیادی حفظ شود. بارهای باریون و لپتون ممکن است به شدت حفظ نشوند، اگرچه نقض آزمایشی قانون بقای این بارها هنوز کشف نشده است. عدم رعایت یکی از قوانین حفاظت به معنای نقض نوع تقارن مربوطه در این تعامل است.

قوانین حفاظت یک ابزار تحقیقاتی قدرتمند است. اغلب اتفاق می افتد که حل دقیق معادلات حرکت بسیار پیچیده است یا نیروهای عامل ناشناخته هستند. از آنجایی که قوانین حفاظت به شخصیت بستگی ندارد نیروهای فعال، سپس با کمک آنها می توانید تعدادی اطلاعات مهم در مورد رفتار به دست آورید سیستم های مکانیکیحتی در مواردی که معلوم شود نیروها ناشناخته هستند. با کمک قوانین حفاظت، تعدادی ذرات بنیادی کشف شد. بنابراین، برای اینکه قوانین بقای انرژی و تکانه زاویه ای در فرآیند واپاشی β برآورده شوند، W. Pauli (1932) وجود ذره ای ناشناخته در آن زمان را پیشنهاد کرد.

آمالیا (امی) نوتر، ملکه بدون تاج

به گفته برجسته ترین ریاضیدانان زنده، امی نوتراز زمانی که آموزش عالی به روی زنان باز شد، بزرگترین نابغه خلاق ریاضی بود که در جهان ظاهر شد.

آلبرت اینشتین

حق با انیشتین بود و امی نوتر (1882–1935) ، که او هرگز فرصت همکاری با یکدیگر در موسسه را نداشت تحقیقات پیشرفتهدر پرینستون (اگرچه او بیش از هر کسی سزاوار آن بود)، یک ریاضیدان شگفت انگیز بود - شاید بزرگترین ریاضیدان زن تمام دوران. و اینشتین تنها کسی نبود که این دیدگاه را داشت: نوربرت وینر نوتر را با برنده دو مسابقه همتراز کرد. جوایز نوبلماری کوری که یک ریاضیدان عالی نیز بود.

همچنین، امی نوتر موضوع تعدادی شوخی بد شد - اجازه دهید حداقل عبارت جاودانه ادموند لاندو را به یاد بیاوریم: "من می توانم به نبوغ ریاضی او اعتقاد داشته باشم، اما نمی توانم قسم بخورم که این یک زن است." امی واقعاً به دلیل ظاهر مردانه اش متمایز بود و علاوه بر این، او اصلاً به ظاهرش فکر نمی کرد، به خصوص در کلاس ها یا بحث های علمی.

به گفته شاهدان عینی، او فراموش کرده بود موهایش را مرتب کند، لباسش را تمیز کند، غذا را به طور کامل بجود، و با بسیاری از ویژگی های دیگر که او را از نظر هموطنان شایسته آلمانی اش خیلی زنانه نمی کرد، متمایز بود. امی همچنین از نزدیک بینی شدید رنج می برد و به همین دلیل عینک زشت با لنزهای ضخیم به چشم می زد و شبیه جغد به نظر می رسید. در اینجا باید عادت پوشیدن کلاه مردانه و یک چمدان چرمی پر از کاغذ، مانند یک نماینده بیمه (به دلایل راحتی) را نیز اضافه کنیم. خود هرمان ویل، شاگرد امی و تحسین کننده استعداد ریاضی او، کاملاً متعادل نظر کلی خود را در مورد مربی خود با این جمله بیان کرد: "گریس در گهواره او ایستاده نبود."

پرتره امی نوتردر جوانی

تبدیل شدن به یک قو زیبا

امی نوتر در جامعه ای متولد شد که در آن زنان، شاید بتوان گفت، دست و پا بسته بودند. در آن زمان آلمان توسط قیصر قدرتمند ویلهلم دوم که عاشق مراسم و پذیرایی بود اداره می شد. او وارد شهر شد، به طور تشریفاتی از قطار پیاده شد و سپس شهردار محل سخنرانی کرد. صدراعظم آهنین بیسمارک همه کارهای کثیف را انجام داد. او رئیس واقعی دولت و جامعه بود و الهام بخش ساختار محافظه کارانه آن بود که از آموزش زنان جلوگیری می کرد (آموزش جهانی نشانه سوسیالیسم منفور تلقی می شد). الگوی یک زن، همسر قیصر، ملکه آگوستا ویکتوریا بود. باور زندگی او چهار K بود: قیصر، مهربان تر(کودکان) کرچه(کلیسا)، ک"اوچه(آشپزخانه) - نسخه توسعه یافته سه K از سه گانه عامیانه " Kinder، Kirche، K"uche" در چنین محیطی، زنان نقش مشخصی داشتند: در نردبان اجتماعی از مردان پایین تر و یک پله بالاتر از حیوانات اهلی بودند. بنابراین زنان نتوانستند تحصیل کنند. در واقع، آموزش زنان به طور کامل ممنوع نبود - برای میهن گوته و بتهوون این خیلی زیاد بود. پس از غلبه بر موانع بسیاری، زنان می توانستند تحصیل کنند، اما حق تصدی مناصب را نداشتند. نتیجه یکسان بود، اما بازی ظریف تر بود. برخی از معلمان، با نشان دادن غیرت ایدئولوژیک خاص، از شروع کلاس ها در صورت حضور حداقل یک زن در حضار خودداری کردند. شرایط کاملاً متفاوت بود، مثلاً در فرانسه، جایی که آزادی و لیبرالیسم حاکم بود.

امی در شهر کوچک ارلانگن در یک خانواده معلم از طبقه متوسط ​​به دنیا آمد. ارلانگن در تاریخ ریاضیات مکان غیرمعمولی را اشغال کرد - این زادگاه کوچک خالق به اصطلاح هندسه مصنوعی بود. کریستین فون استادت (1798–1867) علاوه بر این، در ارلانگن بود که نابغه جوان فلیکس کلاین (1849-1925) برنامه معروف ارلانگن خود را منتشر کرد که در آن هندسه ها را از دیدگاه نظریه گروه طبقه بندی کرد.

پدر امی، مکس نوتر، ریاضیات را در دانشگاه ارلانگن تدریس می کرد. عقل او توسط پسرش فریتز به ارث رسید که زندگی خود را وقف کرد ریاضیات کاربردیو دختر امی، که شبیه جوجه اردک زشت از افسانه اندرسن بود - هیچ کس نمی توانست تصور کند که او به چه ارتفاعات علمی می رسد. در دوران کودکی و نوجوانی، امی هیچ تفاوتی با همسالان خود نداشت: او واقعاً دوست داشت رقصد، بنابراین با کمال میل در تمام جشن ها شرکت می کرد. در همان زمان، این دختر علاقه زیادی به موسیقی نشان نداد، که او را از دیگر ریاضیدانانی که اغلب عاشق موسیقی هستند و حتی سازهای مختلف می نوازند متمایز می کند. امی ادعای یهودیت کرد - در آن زمان این شرایط بی اهمیت بود، اما بر او تأثیر گذاشت سرنوشت آینده. به استثنای درخشش‌های نادری از نبوغ، تحصیلات امی با همسالانش تفاوتی نداشت: او می‌دانست چگونه آشپزی کند و خانه‌ای را اداره کند، در یادگیری فرانسه و انگلیسی موفق بود و پیش‌بینی می‌شد که معلم زبان شود. در کمال تعجب، امی ریاضیات را انتخاب کرد.

نمای Kollegienhaus - یکی از قدیمی ترین ساختمان های دانشگاه ارلانگن.

مسابقه بی پایان

امی همه چیز لازم را داشت تا خودش را وقف شغل انتخابی اش کند: او ریاضیات می دانست، خانواده اش می توانستند بودجه زندگی او را تامین کنند (البته بسیار ناچیز)، و آشنایی شخصی با همکاران پدرش به او اجازه داد روی این واقعیت حساب کند که تحصیل در دانشگاه دانشگاه غیر قابل تحمل نمی شد برای ادامه تحصیل، امی باید دانشجو می شد - او از شرکت در کلاس ها به عنوان یک دانش آموز کامل منع شد. او تحصیلات خود را با موفقیت به پایان رساند و امتحانی را سپری کرد که به او حق دریافت مدرک دکترا را داد. امی مبتکرهای جبری اشکال درجه دوم سه تایی را به عنوان موضوع پایان نامه خود انتخاب کرد. معلم این رشته بود پل گوردان (1837–1912) ، که معاصران او را پادشاه تئوری تغییر ناپذیر می نامیدند; او دوست دیرینه پدر نوتر و حامی ریاضیات سازنده بود. در جستجوی متغیرهای جبری، گوردان به یک بولداگ واقعی تبدیل شد: او به یک بولداگ ثابت چسبید و آرواره هایش را باز نکرد تا اینکه آن را از پیچیدگی محاسبات متمایز کرد، که گاهی اوقات بی پایان به نظر می رسید. توضیح اینکه یک تغییرناپذیر جبری و شکل چیست خیلی دشوار نیست، اما این مفاهیم برای جبر مدرن جالب نیستند، بنابراین ما با جزئیات بیشتر در مورد آنها صحبت نمی کنیم.

در پایان نامه دکتریبا عنوان "در مورد تعریف سیستم های رسمی اشکال دوگانه سه گانه"، 331 تغییر ناپذیر از فرم های دوگانه سه گانه یافت شده توسط امی ارائه شده است. این کار برای او مدرک دکترا را به ارمغان آورد و به او فرصتی داد تا ژیمناستیک ریاضی را تمرین کند. خود امی بعداً در یک انتقاد از خود، این کار سخت را مزخرف خواند. او پس از سوفیا کووالوسکایا دومین زن دکترای علوم در آلمان شد.

امی یک موقعیت تدریس در ارلانگن دریافت کرد، جایی که او هشت سال طولانی بدون دریافت حقوق کار کرد. گاهی اوقات او افتخار جایگزینی پدر خود را داشت - سلامتی او در آن زمان ضعیف شده بود. پل گوردان بازنشسته شد و ارنست فیشر جایگزین او شد که دیدگاه های مدرن تری داشت و با امی به خوبی کنار می آمد. این فیشر بود که او را با آثار هیلبرت آشنا کرد.

خوشبختانه، بینش، هوش و دانش نوتر مورد توجه دو تن از سرشناسان دانشگاه گوتینگن، "ریاضی ترین دانشگاه جهان" قرار گرفت. این مشاهیر فلیکس کلاین و دیوید گیلبرت (1862–1943) . اولین بار در سال 1915 بود جنگ جهانیدر جریان بود هم کلاین و هم هیلبرت در زمینه آموزش زنان (و مشارکت آنها در آن) بسیار آزاد بودند کار تحقیقاتی) و متخصص بودند بالاترین سطح. آنها امی را متقاعد کردند که ارلانگن را ترک کند و به آنها در گوتینگن بپیوندد همکاری. در آن زمان، ایده‌های فیزیکی انقلابی آلبرت انیشتین غوغا می‌کرد و امی متخصص جبری و غیرمتغیرهای دیگر بود، که دستگاه ریاضی بسیار مفید نظریه انیشتین را تشکیل می‌داد (کمی بعد به گفتگو در مورد متغیرها باز خواهیم گشت).

اگر خیلی غم انگیز نبود همه اینها خنده دار بود - حتی حمایت چنین مقاماتی به امی کمک نکرد تا بر مقاومت شورای دانشگاهی دانشگاه گوتینگن غلبه کند که از اعضای آن می توان اظهاراتی را در روح شنید: "چه خواهد شد؟ سربازان قهرمان ما می گویند وقتی به وطن برمی گردند و در کلاس های درس باید در مقابل زنی بنشینند که از بالای منبر آنها را خطاب قرار دهد؟ گیلبرت که در چنین مکالمه ای حضور داشت، با عصبانیت مخالفت کرد: "من نمی فهمم که چگونه جنسیت نامزد مانع از انتخاب او به عنوان استادیار خصوصی می شود. بالاخره اینجا دانشگاه است نه حمام مردانه!»

اما امی هرگز به عنوان استادیار خصوصی انتخاب نشد. شورای دانشگاهی به او اعلام جنگ واقعی کرد. درگیری به زودی به پایان رسید، جمهوری وایمار اعلام شد و وضعیت زنان بهبود یافت: آنها حق رای گرفتند، امی توانست کرسی استادی بگیرد (اما بدون حقوق)، اما تنها در سال 1922 بود، پس از تلاش های فراوان. ، که او در نهایت شروع به دریافت پول برای کار خود کرد. امی از اینکه کار وقت گیر او به عنوان ویراستار Annals of Mathematics مورد قدردانی قرار نگرفت، آزرده شد.

در سال 1918، قضیه هیجان انگیز نوتر منتشر شد. بسیاری او را به این ترتیب صدا می کردند، اگرچه امی بسیاری از قضایای دیگر، از جمله موارد بسیار مهم را ثابت کرد. نوتر حتی اگر یک روز پس از انتشار قضیه در سال 1918 مرده بود، جاودانگی به دست می آورد، اگرچه او در واقع سه سال قبل از آن اثبات کرده بود. این قضیه به جبر انتزاعی مربوط نمی شود و در محل اتصال بین فیزیک و ریاضیات قرار دارد، به طور دقیق تر، متعلق به مکانیک است. متأسفانه، برای توضیح آن به زبانی قابل فهم برای خواننده، حتی به شکل ساده شده، نمی توانیم بدون ریاضیات و فیزیک عالی کار کنیم.

به بیان ساده، بدون نمادها و معادلات، قضیه نوتر در کلی‌ترین فرمول‌بندی خود می‌گوید: «اگر یک سیستم فیزیکی دارای تقارن پیوسته باشد، آنگاه حاوی مقادیر متناظری خواهد بود که مقادیر خود را در طول زمان حفظ می‌کنند.»

مفهوم تقارن پیوسته در فیزیک بالاتربا استفاده از گروه های دروغ توضیح داد. ما وارد جزئیات نمی شویم و می گوییم که در فیزیک، تقارن به هر تغییری در یک سیستم فیزیکی گفته می شود که نسبت به آن مقادیر فیزیکیدر سیستم ثابت هستند. این تغییر، از طریق یک تبدیل ریاضی پیوسته، باید مختصات سیستم را تحت تأثیر قرار دهد و مقدار مورد نظر باید قبل و بعد از تبدیل بدون تغییر باقی بماند.

اصطلاح "تقارن" از کجا آمده است؟ این زبان به یک زبان کاملاً فیزیکی تعلق دارد و به این دلیل استفاده می شود که معنای آن مشابه اصطلاح "تقارن" در ریاضیات است. تصور کنید که چرخش های فضا گروهی از تقارن را تشکیل می دهند. اگر یکی از این چرخش ها را روی یک سیستم مختصات اعمال کنیم، یک سیستم مختصات متفاوتی خواهیم داشت. تغییر مختصات با معادلات پیوسته توصیف خواهد شد. طبق قضیه نوتر، اگر یک سیستم نسبت به چنین تقارن پیوسته (در این مورد، چرخش) ثابت باشد، آنگاه قانون بقای یک یا آن کمیت فیزیکی به طور خودکار در آن وجود دارد. در مورد ما، پس از انجام محاسبات لازم، می توانیم بررسی کنیم که این مقدار تکانه زاویه ای خواهد بود.

ما به این موضوع نمی پردازیم و برخی از انواع تقارن، گروه های تقارن و مقادیر فیزیکی مربوطه را که حفظ خواهند شد، ارائه می کنیم.

این قضیه بسیار مورد تحسین قرار گرفت، از جمله انیشتین، که به هیلبرت نوشت:

« دیروز یک مقاله بسیار جالب از خانم نوتر در مورد ساخت ناواریانت دریافت کردم. من متاثر شدم که چنین چیزهایی را می توان با چنین نگاه کرد نقطه مشترکبینایی اگر گارد قدیمی گوتینگن برای مطالعه با خانم نوتر فرستاده شوند، هیچ آسیبی به گارد قدیمی نمی‌رساند. به نظر می رسد او حرفه خود را به خوبی بلد است».

این ستایش شایسته بود: قضیه نوتر نقشی بی اهمیت در حل مسائل داشت. نظریه عمومینسبیت این قضیه، به گفته بسیاری از کارشناسان، اساسی است و حتی برخی آن را با قضیه معروف فیثاغورث هم تراز می کنند.

بیایید به دنیای ساده و قابل درک آزمایشات شرح داده شده برویم کارل پوپر (1902–1994) ، و فرض کنید ما ایجاد کرده ایم نظریه جدید، توصیف یک پدیده فیزیکی خاص است. طبق قضیه نوتر، اگر در چارچوب نظریه ما نوع خاصی از تقارن وجود داشته باشد (کاملاً معقول است که چنین چیزی را فرض کنیم)، کمیت معینی که قابل اندازه گیری باشد در سیستم حفظ می شود. به این ترتیب می توانیم تشخیص دهیم که آیا نظریه ما درست است یا خیر.

قضیه توجه داشته باشید

یک سیستم فیزیکی در مکانیک با استفاده از اصطلاحات نسبتاً پیچیده تعریف می شود، از جمله مفهومی مانند عمل، که می تواند به عنوان محصول انرژی آزاد شده و زمان صرف شده برای جذب آن در نظر گرفته شود. رفتار یک سیستم فیزیکی در زبان ریاضیات توسط لاگرانژی آن توصیف شده است L، که تابعی (تابع توابع) فرم است

کجا q- موقعیت، q- سرعت (نقطه در بالا در نماد نیوتن نشان دهنده مشتق است q), تی- زمان توجه داشته باشید که q- موقعیت در سیستم مختصات نمای کلی، که لزوماً دکارتی نیست.

اقدام الفدر زبان ریاضیات با یک انتگرال در مسیر انتخاب شده توسط سیستم بیان می شود:

اجازه دهید قضیه نوتر را دقیقاً فرموله و اثبات کنیم.

اجازه دهید سیستمی را که توسط تابع لاگرانژ توصیف شده است در نظر بگیریم

شکل معادلات لاگرانژ - اویلر به دست آمده از اصل تغییرات با چنین تابع لاگرانژی تحت تبدیل شکل و همچنین تحت تبدیل های کلی تر تغییر نمی کند.

شامل جایگزینی متغیر مستقل است. با این حال، فرم خاص برای عبارت جدید برای عمل، به عنوان تابعی از مختصات جدید بسته به زمان جدید، می تواند با چنین تغییری دستخوش هر تغییری شود.

قضیه نوتر تنها زمانی مورد توجه است که چنین تغییراتی رخ ندهد.

با استفاده از (4) دریافت می کنیم:

اجازه دهید تحولات به گونه ای باشد که

آن ها تشکیل یک گروه تک پارامتری اجازه دهید یک تبدیل بینهایت کوچک مربوط به پارامتر را در نظر بگیریم.

در واقع، تغییرات مختصات تعمیم یافته که در طول تبدیل مورد بررسی رخ می دهد، تفاوت بین مقادیر مختصات جدید در یک لحظه از زمان جدید و مقادیر مختصات قدیمی در لحظه متناظر زمان قدیم است. ، یعنی

همراه با آنها، به راحتی می توان تغییرات فرم را در نظر گرفت

وابستگی مختصات به زمان که غیر صفر هستند، حتی اگر تبدیل ما فقط بر زمان و نه مختصات تأثیر بگذارد.

برای هر تابعی رابطه زیر معتبر است:

سپس یک رابطه بین دو نوع تغییر معرفی شده وجود دارد که می توان به صورت زیر بدست آورد: با تفریق معادله (9) از (8)، به دست می آوریم:

بیایید آن را در نظر بگیریم

سپس داریم:

تغییرات بدون ستاره مربوط به همان مقدار آرگومان با تمایز در زمان قابل تعویض هستند

در حالی که برای تغییرات با ستاره این، به طور کلی، درست نیست.

دو نوع تغییرات مربوطه را می توان برای هر متغیر پویا معرفی کرد. مثلا برای تابع لاگرانژ

که شامل تمایز هم با زمان به طور صریح و هم توسط زمان به طور ضمنی، از طریق مختصات و سرعت می شود.

اکنون ما نیاز داریم که انتگرال عمل تحت تبدیل ما تغییر نکند - این مورد استثنایی است که شرایط قضیه لازم است - یعنی. به طوری که وجود دارد

کجا تی"- همان دامنه ادغام تیدر انتگرال دوم، اما بر حسب متغیرهای جدید بیان می شود. سپس با جایگزینی (11) به (13)، دریافت می کنیم

ما در (15) تا (11) بیان می کنیم و با در نظر گرفتن رابطه، به ادغام می رویم تیبه جای تی"، دریافت می کنیم:

با توجه به اینکه

دریافت می کنیم: (15)

بیایید دیفرانسیل را پیدا کنیم

با جایگزینی (17) به (16)، دریافت می کنیم:

زیر علامت مجموع اول معادله لاگرانژ است، یعنی.