تابع y x نام. توابع و نمودارهای آنها نحوه درست ساختن محورهای مختصات

1. تابع خطی کسری و نمودار آن

تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.

احتمالاً از قبل با مفهوم اعداد گویا آشنا هستید. به همین ترتیب توابع منطقی توابعی هستند که می توان آنها را به عنوان ضریب دو چند جمله ای نشان داد.

اگر یک تابع گویا کسری ضریب دو تابع خطی باشد - چند جمله ای درجه اول، یعنی. عملکرد فرم

y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد واقعی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی کسری از نظر شکل با نمودار y = 1/x که می دانید تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هایپربولی. با افزایش نامحدود x در مقدار مطلق، تابع y = 1/x نامحدود در مقدار مطلق کاهش می یابد و هر دو شاخه نمودار به ابسیسا نزدیک می شوند: سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های یک رویکرد هذلولی به آنها نامیده می شود مجانبی.

مثال 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

راه حل.

بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر بدست می آید: shift by 3 بخش واحدبه سمت راست، 7 بار در امتداد محور Oy کشیده شده و 2 قطعه واحد را به سمت بالا تغییر می دهد.

هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به روشی مشابه نوشت و "قسمت صحیح" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای تمام توابع خطی کسری هذلولی هستند، به طرق مختلفدر امتداد محورهای مختصات جابجا شد و در امتداد محور Oy کشیده شد.

برای ساختن یک نمودار از هر کسری دلخواه تابع خطیتغییر کسری که این تابع را تعریف می کند اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم که نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوط مستقیمی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.

مثال 2.

مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.

راه حل.

تابع در x = -1 تعریف نشده است. این بدان معنی است که خط مستقیم x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.

برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم کنید:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل خواهد داشت. این بدان معنی است که مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.

مثال 3.

ساخت نمودار یک تابع y = (2x + 1)/(x + 1).

راه حل.

بیایید "قسمت کامل" کسری را انتخاب کنیم:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox و جابجایی با 2 واحد در امتداد محور Oy به سمت بالا تقسیم می شود.

دامنه D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر بازه دامنه تعریف افزایش می یابد.

پاسخ: شکل 1.

2. تابع گویا کسری

یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اول هستند.

نمونه هایی از این توابع منطقی:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

اگر تابع y = P(x) / Q(x) نشان دهنده ضریب دو چندجمله ای با درجه بالاتر از اولین باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده تر است و گاهی اوقات ساختن دقیق آن دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک های مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا معرفی کردیم، کافی است.

بگذارید کسر یک کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую کسر گویارا می توان به شکلی منحصر به فرد به صورت مجموع تعداد محدودی از کسرهای ابتدایی نشان داد که شکل آنها با تجزیه مخرج کسر Q(x) به حاصل ضرب عوامل واقعی تعیین می شود:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.

رسم نمودارهای توابع گویا کسری

بیایید چندین روش برای ساختن نمودارهای یک تابع گویا کسری در نظر بگیریم.

مثال 4.

تابع y = 1/x 2 را رسم کنید.

راه حل.

ما از نمودار تابع y = x 2 برای ساختن نمودار y = 1/x 2 استفاده می کنیم و از تکنیک "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.

دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).

هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.

پاسخ: شکل 2.

مثال 5.

تابع y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = -(x - 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

در اینجا از تکنیک فاکتورسازی، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.

پاسخ: شکل 3.

مثال 6.

تابع y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار متقارن نسبت به مختصات است. قبل از ساختن یک نمودار، بیایید دوباره عبارت را تغییر دهیم و کل قسمت را برجسته کنیم:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

توجه داشته باشید که جداسازی قسمت صحیح در فرمول یک تابع گویا کسری یکی از اصلی‌ترین موارد هنگام ساخت نمودار است.

اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی. خط مستقیم y = 1 مجانبی افقی است.

پاسخ: شکل 4.

مثال 7.

بیایید تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیریم و سعی کنیم به دقت بزرگترین مقدار آن را پیدا کنیم. بیشترین نقطه اوجنیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "بالا" شود، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای انجام این کار، باید معادله x 2 + 1 = x، x 2 – x + 1 = 0 را حل کنیم. این معادله ندارد. ریشه های واقعی. این بدان معناست که فرض ما نادرست است. برای یافتن بیشترین ارزش عالیتابع، باید دریابید که معادله A = x/(x 2 + 1) در کدام بزرگ ترین A راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با معادله درجه دوم جایگزین کنیم: Аx 2 – x + А = 0. این معادله زمانی جواب دارد که 1 – 4A 2 ≥ 0 باشد. بالاترین ارزش A = 1/2.

پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه توابع را نمودار کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

توابع و نمودارهای آنها یکی از جذاب ترین موضوعات در ریاضیات مدرسه است. تنها حیف این است که او درس ها را پشت سر می گذارد و دانش آموزان را پشت سر می گذارد. هیچ وقت در دبیرستان وقت کافی برای او وجود ندارد. و آن توابعی که در کلاس هفتم آموزش داده می شوند - یک تابع خطی و یک سهمی - بسیار ساده و بدون پیچیدگی هستند که نمی توانند تمام مسائل جالب را نشان دهند.

توانایی ساخت نمودار توابع برای حل مسائل با پارامترها در آزمون دولتی واحد در ریاضیات ضروری است. این یکی از اولین مباحث دوره است تجزیه و تحلیل ریاضیدر دانشگاه این موضوع بسیار مهمی است که در استودیوی آزمون یکپارچه دولتی دوره های فشرده ویژه ای را برای دانش آموزان و معلمان دبیرستانی در مسکو و آنلاین برگزار می کنیم. و اغلب شرکت کنندگان می گویند: "حیف است که ما قبلاً این را نمی دانستیم."

اما این همه ماجرا نیست. با مفهوم تابع است که ریاضیات واقعی و "بزرگسال" آغاز می شود. به هر حال جمع و تفریق، ضرب و تقسیم، کسرها و نسبت ها هنوز حسابی هستند. تبدیل عبارات جبر است. و ریاضیات نه تنها علم اعداد، بلکه در مورد روابط بین مقادیر است. زبان توابع و نمودارها برای فیزیکدانان، زیست شناسان و اقتصاددانان قابل درک است. و همانطور که گالیله گالیله گفت: کتاب طبیعت به زبان ریاضیات نوشته شده است.

به طور دقیق تر، گالیله گالیله این را گفت: "ریاضیات الفبای است که خداوند با آن جهان را نوشته است."

موضوعات مورد بررسی:

1. بیایید یک نمودار از تابع بسازیم

یک کار آشنا! اینها در پیدا شدند گزینه های OGEدر ریاضیات در آنجا آنها را دشوار می دانستند. اما هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد.

بیایید فرمول تابع را ساده کنیم:

نمودار یک تابع یک خط مستقیم با یک نقطه سوراخ است.

2. بیایید تابع را رسم کنیم

بیایید کل بخش را در فرمول تابع برجسته کنیم:

نمودار تابع یک هذلولی است که در x 3 به راست و در y 2 به بالا جابجا شده و در مقایسه با نمودار تابع 10 برابر کشیده شده است.

انتخاب یک قسمت کامل - ترفند مفید، در حل نابرابری ها، ساختن نمودارها و تخمین مقادیر صحیح در مسائل مربوط به اعداد و ویژگی های آنها استفاده می شود. همچنین در سال اول، زمانی که باید انتگرال بگیرید، با آن مواجه خواهید شد.

3. بیایید تابع را رسم کنیم

از نمودار تابع با کشش 2 برابر، انعکاس عمودی آن و جابجایی آن به صورت عمودی 1 به دست می آید.

4. بیایید تابع را رسم کنیم

نکته اصلی توالی صحیح اقدامات است. بیایید فرمول تابع را به شکلی راحت تر بنویسیم:

به ترتیب ادامه می دهیم:

1) نمودار تابع y=sinx را به چپ منتقل کنید.

2) آن را 2 بار به صورت افقی فشرده کنید،

3) آن را 3 بار به صورت عمودی بکشید،

4) یک حرکت به سمت بالا

اکنون چندین نمودار از توابع گویا کسری می سازیم. برای درک بهتر این که چگونه این کار را انجام می دهیم، مقاله «رفتار یک تابع در بی نهایت» را بخوانید. مجانب."

5. بیایید تابع را رسم کنیم

محدوده عملکرد:

تابع صفر: و

خط مستقیم x = 0 (محور Y) مجانب عمودی تابع است. مجانب- یک خط مستقیم که نمودار یک تابع بی نهایت به آن نزدیک می شود، اما آن را قطع نمی کند یا با آن ادغام نمی شود (به مبحث "رفتار یک تابع در بی نهایت. مجانب" مراجعه کنید)

آیا مجانب دیگری برای عملکرد ما وجود دارد؟ برای فهمیدن این موضوع، بیایید نگاه کنیم که تابع با نزدیک شدن x به بی نهایت چگونه رفتار می کند.

بیایید براکت ها را در فرمول تابع باز کنیم:

اگر x به بی نهایت برود آنگاه به صفر می رسد. خط مستقیم یک مجانب مایل نسبت به نمودار تابع است.

6. بیایید تابع را رسم کنیم

این یک تابع منطقی کسری است.

دامنه تابع

صفرهای تابع: نقاط - 3، 2، 6.

فواصل علامت ثابت یک تابع را با استفاده از روش بازه تعیین می کنیم.

مجانب عمودی:

اگر x به بی نهایت میل کند، y به 1 میل می کند. این بدان معنی است که مجانب افقی است.

در اینجا طرحی از نمودار آمده است:

یکی دیگر از تکنیک های جالب اضافه کردن نمودار است.

7. بیایید تابع را رسم کنیم

اگر x به بی نهایت تمایل داشته باشد، نمودار تابع بی نهایت به مجانب مایل نزدیک می شود.

اگر x تمایل به صفر داشته باشد، عملکرد اینگونه است که در نمودار می بینیم:

بنابراین ما یک نمودار از مجموع توابع ساخته ایم. حالا نمودار قطعه!

8. بیایید تابع را رسم کنیم

دامنه این تابع اعداد مثبت است، زیرا فقط برای x مثبت تعریف شده است

مقادیر تابع برابر با صفر در (زمانی که لگاریتم صفر است)، و همچنین در نقاطی که در آن است، در

وقتی مقدار (cos x) برابر با یک باشد. مقدار تابع در این نقاط برابر خواهد بود

9. بیایید تابع را رسم کنیم

تابع به دلیل اینکه حاصل ضرب دو تابع فرد است و نمودار متقارن نسبت به مختصات است، در زوج تعریف می شود.

صفرهای تابع در نقاطی هستند که در آن قرار دارند

اگر x به بی نهایت برود به صفر می رسد. اما اگر x تمایل به صفر داشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ به هر حال، هم x و هم sin x کوچکتر و کوچکتر می شوند. خصوصی چگونه رفتار خواهد کرد؟

معلوم می شود که اگر x به صفر میل کند، آنگاه به یک میل می کند. در ریاضیات، این عبارت "اولین حد قابل توجه" نامیده می شود.

در مورد مشتق چطور؟ بله بالاخره رسیدیم مشتق به ترسیم دقیق تر توابع کمک می کند. حداکثر و حداقل نقاط و همچنین مقادیر تابع را در این نقاط پیدا کنید.

10. بیایید تابع را رسم کنیم

دامنه عملکرد - همه اعداد واقعی، زیرا

تابع فرد است. نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.

در x=0 مقدار تابع صفر است. هنگامی که مقادیر تابع مثبت هستند، زمانی که آنها منفی هستند.

اگر x به بی نهایت برود آنگاه به صفر می رسد.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم
با توجه به فرمول مشتق ضریب،

اگر یا

در یک نقطه، مشتق علامت "منهای" را به "بعلاوه" تغییر می دهد - حداقل نقطه تابع.

در یک نقطه، مشتق علامت "به علاوه" را به "منفی" تغییر می دهد - نقطه حداکثر تابع.

بیایید مقادیر تابع را در x=2 و در x=-2 پیدا کنیم.

ساخت نمودارهای تابع با استفاده از یک الگوریتم یا طرح خاص راحت است. یادت هست تو مدرسه درس خوندی؟

طرح کلی برای ساخت نمودار یک تابع:

1. دامنه تابع

2. محدوده عملکرد

3. زوج - فرد (در صورت وجود)

4. فرکانس (در صورت وجود)

5. تابع صفر (نقاطی که نمودار محورهای مختصات را قطع می کند)

6. فواصل علامت ثابت یک تابع (یعنی فواصلی که در آنها کاملاً مثبت یا شدیداً منفی است).

7. مجانب (در صورت وجود).

8. رفتار عملکرد در بی نهایت

9. مشتق تابع

10. فواصل افزایش و کاهش. حداکثر و حداقل امتیاز و مقادیر در این نقاط.

اساسی توابع ابتدایی، خصوصیات ذاتی و نمودارهای متناظر آنها یکی از اصول اولیه است دانش ریاضی، از نظر اهمیت مشابه جدول ضرب است. توابع ابتدایی اساس، پشتیبان مطالعه همه مسائل نظری هستند.

مقاله زیر مطالب کلیدی را در مورد موضوع توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد. ما اصطلاحات را معرفی می کنیم، آنها را تعاریف می کنیم. بیایید هر نوع توابع ابتدایی را با جزئیات مطالعه کنیم و خواص آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

انواع زیر از توابع ابتدایی اساسی متمایز می شوند:

تعریف 1

• تابع ثابت (ثابت)؛
• ریشه n ام؛
• تابع قدرت؛
• تابع نمایی؛
• تابع لگاریتمی؛
• توابع مثلثاتی;
• توابع مثلثاتی برادرانه

یک تابع ثابت با فرمول: y = C (C یک عدد واقعی معین است) تعریف می شود و همچنین یک نام دارد: ثابت. این تابع مطابقت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر y - مقدار C تعیین می کند.

نمودار یک ثابت خط مستقیمی است که موازی با محور آبسیسا است و از نقطه ای با مختصات (0, C) می گذرد. برای وضوح، نمودارهایی از توابع ثابت y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (به ترتیب با رنگ های سیاه، قرمز و آبی در نقاشی نشان داده شده است) ارائه می دهیم.

تعریف 2

این تابع ابتدایی با فرمول y = x n تعریف می شود (n- عدد طبیعیبزرگتر از یک).

بیایید دو تغییر تابع را در نظر بگیریم.

1. ریشه n ام، n - عدد زوج

برای وضوح، نقاشی را نشان می دهیم که نمودارهایی از این توابع را نشان می دهد: y = x، y = x 4 و y = x8. این ویژگی ها به ترتیب رنگ بندی شده اند: مشکی، قرمز و آبی.

نمودارهای یک تابع با درجه زوج برای سایر مقادیر توان ظاهری مشابه دارند.

تعریف 3

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد زوج است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد حقیقی غیر منفی [ 0 , + ∞) ;
• وقتی x = 0، تابع y = x n مقداری برابر با صفر دارد.
• داده شده است تابع-عملکرد نمای کلی(نه زوج است و نه فرد)؛
• محدوده: [ 0 , + ∞) ;
• این تابع y = x n با نماهای ریشه زوج در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای یک تحدب با جهت رو به بالا در کل دامنه تعریف است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n زوج از نقاط (0; 0) و (1; 1) عبور می کند.

1. ریشه n ام، n - عدد فرد

چنین تابعی بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. برای وضوح، نمودار توابع را در نظر بگیرید y = x 3، y = x 5 و x 9 . در نقاشی آنها با رنگ ها نشان داده شده اند: سیاه، قرمز و آبیو به ترتیب منحنی ها.

سایر مقادیر فرد از توان ریشه تابع y = x n نموداری از نوع مشابه به دست می دهد.

تعریف 4

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد فرد است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد واقعی.
• این تابع فرد است.
• محدوده مقادیر - مجموعه تمام اعداد واقعی؛
• تابع y = x n برای نماهای ریشه فرد در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای تقعر در بازه (-∞ ; 0 ] و تحدب در بازه [0, + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n فرد از نقاط (- 1 ; - 1)، (0 ; 0) و (1 ; 1) عبور می کند.

عملکرد قدرت

تعریف 5

تابع توان با فرمول y = x a تعریف می شود.

ظاهر نمودارها و خصوصیات تابع به مقدار توان بستگی دارد.

• هنگامی که یک تابع توان دارای یک توان عدد صحیح a باشد، نمودار به نظر می رسد تابع قدرتو خصوصیات آن به زوج یا فرد بودن توان و همچنین اینکه نما دارای چه علامتی است بستگی دارد. بیایید همه این موارد خاص را با جزئیات بیشتر در زیر در نظر بگیریم.
• توان می تواند کسری یا غیر منطقی باشد - بسته به این، نوع نمودارها و ویژگی های تابع نیز متفاوت است. ما موارد خاص را با تعیین چندین شرط تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• یک تابع توان می تواند یک توان صفر داشته باشد، ما همچنین این مورد را با جزئیات بیشتری در زیر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت فرد باشد، به عنوان مثال، a = 1، 3، 5...

برای وضوح، نمودارهای این توابع توان را نشان می دهیم: y = x (رنگ گرافیکی سیاه) y = x 3 (رنگ آبی نمودار)، y = x 5 (رنگ قرمز نمودار)، y = x 7 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = 1 باشد، تابع خطی y = x را دریافت می کنیم.

تعریف 6

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد مثبت باشد

• تابع برای x ∈ در حال افزایش است (- ∞ ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است (به استثنای تابع خطی).
• نقطه عطف دارای مختصات (0 ; 0) است (به استثنای تابع خطی).
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت زوج باشد، به عنوان مثال، a = 2، 4، 6...

برای وضوح، نمودارهای این توابع قدرت را نشان می دهیم: y = x 2 (رنگ گرافیکی سیاه)، y = x 4 (رنگ آبی نمودار)، y = x 8 (رنگ قرمز نمودار). وقتی a = 2 باشد، یک تابع درجه دوم به دست می آوریم که نمودار آن یک سهمی درجه دوم است.

تعریف 7

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی مثبت باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• کاهش برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تابع دارای تقعر برای x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان را نشان می دهد y = x a وقتی a فرد باشد عدد منفی: y = x - 9 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 5 (رنگ آبی نمودار). y = x - 3 (رنگ قرمز نمودار). y = x - 1 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = - 1 باشد، نسبت معکوس را بدست می آوریم که نمودار آن هذلولی است.

تعریف 8

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد منفی باشد:

وقتی x = 0، ناپیوستگی از نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = - ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 1، - 3، - 5، .... بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• محدوده: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع فرد است زیرا y (- x) = - y (x);
• تابع برای x ∈ - ∞ در حال کاهش است. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0) و تقعر برای x ∈ (0 ; + ∞) است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

k = lim x → ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، زمانی که a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان y = x a را در زمانی که a یک عدد منفی زوج است نشان می دهد: y = x - 8 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 4 (رنگ آبی نمودار). y = x - 2 (رنگ قرمز نمودار).

تعریف 9

ویژگی های یک تابع توان زمانی که توان آن حتی منفی است:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

وقتی x = 0، ناپیوستگی نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = + ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 2، - 4، - 6، …. بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• تابع زوج است زیرا y(-x) = y(x);
• تابع برای x ∈ (- ∞ ; 0) افزایش و برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع در x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0، زیرا:

k = lim x ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 وقتی a = - 2، - 4، - 6، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

از همان ابتدا، به جنبه زیر توجه کنید: در موردی که a یک کسر مثبت با مخرج فرد است، برخی از نویسندگان بازه - ∞ را به عنوان دامنه تعریف این تابع توان در نظر می گیرند. + ∞، با این شرط که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. روشن در حال حاضرنویسندگان بسیاری انتشارات آموزشیدر جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را تعیین نمی کنند، جایی که توان کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان است. علاوه بر این، دقیقاً به این موقعیت پایبند خواهیم بود: مجموعه [ 0 ; + ∞). توصیه به دانش آموزان: برای جلوگیری از اختلاف نظر، نظر معلم را در این مورد بیابید.

بنابراین، اجازه دهید به تابع قدرت نگاه کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی باشد، مشروط بر اینکه 0 باشد< a < 1 .

اجازه دهید توابع قدرت را با نمودارها نشان دهیم y = x a وقتی a = 11 12 (رنگ گرافیکی سیاه). a = 5 7 (رنگ قرمز نمودار)؛ a = 1 3 (رنگ آبی نمودار)؛ a = 2 5 (رنگ سبز نمودار).

سایر مقادیر توان a (0 ارائه شده است< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

تعریف 10

ویژگی های تابع توان در 0< a < 1:

• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ محدب است (0 ; + ∞);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیر منطقی غیر صحیح باشد، مشروط بر اینکه a > 1 باشد.

اجازه دهید تابع توان را با نمودارها نشان دهیم y = x a تحت شرایط داده شده با استفاده از توابع زیر به عنوان مثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (به ترتیب نمودارهای سیاه، قرمز، آبی، سبز).

سایر مقادیر توان a، با داشتن یک > 1، نمودار مشابهی را نشان می دهد.

تعریف 11

ویژگی های تابع توان برای > 1:

• دامنه تعریف: x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ (0 ; + ∞) تقعر دارد (وقتی 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

لطفاً توجه داشته باشید هنگامی که a یک کسر منفی با مخرج فرد است، در آثار برخی از نویسندگان این دیدگاه وجود دارد که دامنه تعریف در این مورد فاصله - ∞ است. 0 ∪ (0 ; + ∞) با این هشدار که توان a یک کسری تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر نویسندگان مواد آموزشیدر جبر و اصول تحلیل، توابع توان با یک توان به صورت کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان تعیین نمی شود. علاوه بر این، ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند هستیم: مجموعه (0 ; + ∞) را به عنوان دامنه تعریف توابع توان با توان های منفی کسری در نظر می گیریم. توصیه برای دانش آموزان: دیدگاه معلم خود را در این مرحله برای جلوگیری از اختلاف نظر روشن کنید.

بیایید موضوع را ادامه دهیم و تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a ارائه شده است: - 1< a < 0 .

اجازه دهید رسم نمودارهای توابع زیر را ارائه کنیم: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (سیاه، قرمز، آبی، سبز رنگ خطوط، به ترتیب).

تعریف 12

ویژگی های تابع توان در - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

رسم زیر نمودارهایی از توابع توان y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (سیاه، قرمز، آبی، رنگ های سبزبه ترتیب منحنی ها).

تعریف 13

ویژگی های تابع توان برای a< - 1:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0.
• نقطه عبور تابع: (1; 1) .

وقتی a = 0 و x ≠ 0، تابع y = x 0 = 1 را به دست می آوریم، که خطی را که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود را مشخص می کند (توافق شد که به عبارت 0 0 هیچ معنایی داده نشود. ).

تابع نمایی شکل دارد y = a x، که در آن a > 0 و a ≠ 1، و نمودار این تابع بر اساس مقدار پایه a متفاوت به نظر می رسد. بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم.

اول، بیایید به وضعیت زمانی که پایگاه نگاه کنید تابع نماییدارای مقدار از صفر تا یک (0< a < 1) . یک مثال خوب، نمودارهای توابع برای a = 1 2 (رنگ آبی منحنی) و a = 5 6 (رنگ قرمز منحنی) است.

نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه در شرایط 0 ظاهری مشابه خواهند داشت.< a < 1 .

تعریف 14

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن کمتر از یک است در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به + ∞.

حال حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد (a > 1).

اجازه دهید این مورد خاص را با نموداری از توابع نمایی y = 3 2 x (رنگ آبی منحنی) و y = e x (رنگ قرمز نمودار) نشان دهیم.

سایر مقادیر پایه، واحدهای بزرگتر، ظاهری مشابه به نمودار تابع نمایی می دهد.

تعریف 15

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف - کل مجموعه اعداد واقعی.
• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن بزرگتر از یک است به صورت x ∈ - ∞ افزایش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر در x ∈ - ∞ است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به - ∞.
• نقطه عبور تابع: (0; 1) .

تابع لگاریتمی به شکل y = log a (x)، که در آن a > 0، a ≠ 1 است.

چنین تابعی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود: برای x ∈ 0; + ∞ .

برنامه ریزی کنید تابع لگاریتمیدارد نوع متفاوت، بر اساس مقدار پایه a.

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

سایر مقادیر پایه، نه واحدهای بزرگتر، نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 16

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . همانطور که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به +∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• لگاریتمی
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

حال بیایید به حالت خاصی که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک است نگاه کنیم: a > 1 . رسم زیر نمودارهای توابع لگاریتمی y = log 3 2 x و y = ln x (به ترتیب رنگ های آبی و قرمز نمودارها) را نشان می دهد.

مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 17

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . از آنجایی که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به - ∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ (کل مجموعه اعداد واقعی)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع لگاریتمی برای x ∈ 0 در حال افزایش است. + ∞ ;
• تابع برای x ∈ 0 محدب است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقطه عبور تابع: (1; 0) .

توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. بیایید به ویژگی های هر یک از آنها و گرافیک مربوطه نگاه کنیم.

به طور کلی، تمام توابع مثلثاتی با خاصیت تناوب مشخص می شوند، یعنی. هنگامی که مقادیر توابع برای مقادیر مختلف آرگومان تکرار می شوند، با دوره f (x + T) = f (x) (T دوره است). بنابراین، مورد "کوچکترین دوره مثبت" به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه می شود. علاوه بر این، مقادیر آرگومان را نشان خواهیم داد که در آن تابع مربوطه صفر می شود.

1. تابع سینوس: y = sin(x)

نمودار این تابع را موج سینوسی می نامند.

تعریف 18

ویژگی های تابع سینوس:

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• تابع زمانی که x = π · k ناپدید می شود، جایی که k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• تابع برای x ∈ - π 2 + 2 π · k در حال افزایش است. π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ π 2 + 2 π · k. 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• تابع سینوس دارای ماکزیمم های محلی در نقاط π2 + 2 π · k است. 1 و حداقل های محلی در نقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، k ∈ Z;
• تابع سینوس مقعر است وقتی x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ 2 π · k; π + 2 π k، k ∈ Z;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس: y = cos(x)

نمودار این تابع را موج کسینوس می نامند.

تعریف 19

ویژگی های تابع کسینوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• کوچکترین دوره مثبت: T = 2 π.
• محدوده مقادیر: y ∈ - 1 ; 1 ;
• این تابع زوج است، زیرا y (- x) = y (x);
• تابع برای x ∈ - π + 2 π · k در حال افزایش است. 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ 2 π · k. π + 2 π k، k ∈ Z;
• تابع کسینوس دارای حداکثرهای محلی در نقاط 2 π · k است. 1، k ∈ Z و حداقل های محلی در نقاط π + 2 π · k. - 1، k ∈ z;
• تابع کسینوس مقعر است وقتی x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0، k∈ Z
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس: y = t g (x)

نمودار این تابع نامیده می شود مماس

تعریف 20

ویژگی های تابع مماس:

• دامنه تعریف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• رفتار تابع مماس در مرز دامنه تعریف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ ، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π 2 + π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.
• تابع زمانی که x = π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع با افزایش - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، k ∈ Z;
• تابع مماس برای x ∈ مقعر است [π · k; π 2 + π · k ) ، k ∈ Z و محدب برای x ∈ (- π 2 + π · k ؛ π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط عطف دارای مختصات π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;

1. تابع کوتانژانت: y = c t g (x)

نمودار این تابع کوتانژانتوئید نامیده می شود. .

تعریف 21

ویژگی های تابع کوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ (π · k ؛ π + π · k) ، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).

رفتار تابع کتانژانت در مرز دامنه تعریف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.

• کوچکترین دوره مثبت: T = π.
• تابع زمانی که x = π 2 + π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع برای x ∈ π · k در حال کاهش است. π + π k، k ∈ Z;
• تابع کوتانژانت برای x∈ مقعر است (π · k؛ π 2 + π · k ]، k ∈ Z و محدب برای x ∈ [ - π 2 + π · k ؛ π · k)، k ∈ Z .
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;
• مجانب مایل یا افقی وجود ندارد.

توابع مثلثاتی معکوس عبارتند از: آرکسین، آرکوزین، تانژانت و قوس. اغلب، به دلیل وجود پیشوند "قوس" در نام، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. .

1. تابع سینوس قوس: y = a rc sin (x)

تعریف 22

ویژگی های تابع آرکسین:

• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع آرکسین دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. 1 و تحدب برای x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط عطف دارای مختصات (0; 0) هستند که همچنین صفر تابع است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس قوس: y = a r c cos (x)

تعریف 23

ویژگی های تابع کسینوس قوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - 1 ; 1 ;
• محدوده: y ∈ 0 ; π;
• این تابع یک شکل کلی است (نه زوج و نه فرد).
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کسینوس قوس دارای یک تقعر در x ∈ - 1 است. 0 و تحدب برای x ∈ 0. 1 ;
• نقاط عطف دارای مختصات 0 هستند. π 2;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس قوس: y = a r c t g (x)

تعریف 24

ویژگی های تابع قطبی:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده مقادیر: y ∈ - π 2 ; π 2;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش است.
• تابع متقاطع دارای تقعر برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تحدب برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصاتی است (0; 0) که صفر تابع نیز می باشد.
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = - π 2 به عنوان x → - ∞ و y = π 2 به عنوان x → + ∞ هستند (در شکل، مجانب خطوط سبز هستند).

1. تابع مماس قوس: y = a r c c t g (x)

تعریف 25

ویژگی های تابع آرکوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده: y ∈ (0; π) ;
• این تابع یک شکل کلی است.
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کتانژانت قوس دارای یک تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) و تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطه عطف دارای مختصات 0 است. π 2;
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = π در x → - ∞ (خط سبز در نقاشی) و y = 0 در x → + ∞ هستند.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ابتدا سعی کنید دامنه تابع را پیدا کنید:

موفق شدی؟ بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم:

آیا همه چیز درست است؟ آفرین!

حالا بیایید سعی کنیم محدوده مقادیر تابع را پیدا کنیم:

پیداش کردی؟ بیایید مقایسه کنیم:

متوجه شدید؟ آفرین!

بیایید دوباره با نمودارها کار کنیم، فقط اکنون کمی پیچیده تر خواهد شد - هم دامنه تعریف تابع و هم محدوده مقادیر تابع را پیدا کنید.

نحوه پیدا کردن دامنه و محدوده یک تابع (پیشرفته)

این چیزی است که اتفاق افتاد:

من فکر می کنم شما نمودارها را فهمیده اید. حالا بیایید سعی کنیم دامنه تعریف یک تابع را مطابق با فرمول ها پیدا کنیم (اگر نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید، بخش مربوط به آن را بخوانید):

موفق شدی؟ بیایید بررسی کنیم پاسخ می دهد:

1. ، از آنجایی که عبارت رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد.
2. ، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید و عبارت رادیکال نمی تواند منفی باشد.
3. ، از آنجا که، به ترتیب، برای همه.
4. ، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

با این حال هنوز یک نکته بی پاسخ دیگر داریم...

من یک بار دیگر تعریف را تکرار می کنم و بر آن تأکید می کنم:

متوجه شدید؟ کلمه "مجرد" یک عنصر بسیار بسیار مهم در تعریف ما است. سعی می کنم با انگشتانم آن را برای شما توضیح دهم.

فرض کنید تابعی داریم که با یک خط مستقیم تعریف شده است. . در، ما این مقدار را با "قاعده" خود جایگزین می کنیم و آن را دریافت می کنیم. یک مقدار با یک مقدار مطابقت دارد. حتی می‌توانیم جدولی از مقادیر مختلف بسازیم و این تابع را نمودار کنیم تا خودمان ببینیم.

"نگاه کن! - شما می گویید "دوبار اتفاق می افتد!" پس شاید سهمی تابع نباشد؟ نه، این است!

دو بار ظاهر شدن " " دلیلی برای متهم کردن سهمی به ابهام نیست!

واقعیت این است که هنگام محاسبه برای، ما یک بازی دریافت کردیم. و هنگام محاسبه با، یک بازی دریافت کردیم. پس درست است، سهمی یک تابع است. به نمودار نگاه کنید:

متوجه شدید؟ اگر نه، اینم یک مثال زندگی که خیلی با ریاضیات فاصله دارد!

فرض کنید ما گروهی از متقاضیان داریم که هنگام ارائه مدارک با یکدیگر ملاقات کردند و هر یک از آنها در گفتگویی به محل زندگی خود گفتند:

موافقم، این امکان وجود دارد که چندین پسر در یک شهر زندگی کنند، اما غیرممکن است که یک نفر همزمان در چندین شهر زندگی کند. این مانند یک نمایش منطقی از "پارابولا" ما است - چندین X مختلف مربوط به یک بازی است.

حالا بیایید مثالی بیاوریم که در آن وابستگی یک تابع نیست. فرض کنید همین بچه ها به ما گفتند برای چه تخصص هایی درخواست داده اند:

در اینجا ما یک وضعیت کاملا متفاوت داریم: یک نفر می تواند به راحتی اسناد را برای یک یا چند جهت ارسال کند. یعنی یک عنصرمجموعه ها در مکاتبات قرار می گیرند چندین عنصرانبوهی به ترتیب، این یک تابع نیست.

بیایید دانش خود را در عمل آزمایش کنیم.

از روی تصاویر مشخص کنید که چه چیزی یک تابع است و چه چیزی نیست:

متوجه شدید؟ و اینجاست پاسخ می دهد:

• تابع - B، E است.
• تابع نیست - A، B، D، D.

می پرسی چرا؟ بله، این دلیل است:

در تمام تصاویر به جز IN)و E)چندین برای یک وجود دارد!

من مطمئن هستم که اکنون می توانید به راحتی یک تابع را از یک غیر تابع تشخیص دهید، بگویید یک آرگومان چیست و یک متغیر وابسته چیست و همچنین محدوده مقادیر مجاز یک آرگومان و محدوده تعریف یک تابع را تعیین کنید. . بیایید به بخش بعدی برویم - چگونه یک تابع را تنظیم کنیم؟

روش های تعیین یک تابع

به نظر شما معنی کلمات چیست؟ "تنظیم تابع"? درست است، این به معنای توضیح دادن به همه در این مورد است. ما در مورد. علاوه بر این، آن را به گونه ای توضیح دهید که همه شما را به درستی درک کنند و نمودارهای تابعی که توسط افراد بر اساس توضیحات شما ترسیم شده است، یکسان باشد.

چگونه می توان این کار را انجام داد؟ چگونه یک تابع تنظیم کنیم؟ساده ترین روشی که قبلاً بیش از یک بار در این مقاله استفاده شده است با استفاده از فرمولیک فرمول می نویسیم و با جایگزین کردن یک مقدار در آن مقدار را محاسبه می کنیم. و همانطور که به یاد دارید، یک فرمول یک قانون است، قاعده ای که توسط آن برای ما و شخص دیگری روشن می شود که چگونه X به Y تبدیل می شود.

معمولاً این دقیقاً همان کاری است که آنها انجام می دهند - در وظایف ما توابع آماده را می بینیم که توسط فرمول ها مشخص شده اند ، با این حال ، راه های دیگری برای تنظیم یک تابع وجود دارد که همه آن را فراموش می کنند و بنابراین سؤال "چگونه می توانید یک تابع را تنظیم کنید؟" بافل ها بیایید همه چیز را به ترتیب درک کنیم و با روش تحلیلی شروع کنیم.

روش تحلیلی تعیین یک تابع

روش تحلیلی تعیین یک تابع با استفاده از فرمول است. این جهانی ترین، جامع ترین و بدون ابهام ترین روش است. اگر یک فرمول دارید، پس کاملاً همه چیز را در مورد یک تابع می دانید - می توانید جدولی از مقادیر را از آن بسازید، می توانید یک نمودار بسازید، تعیین کنید که کجا افزایش می یابد و کجا کاهش می یابد، به طور کلی، آن را مطالعه کنید. به طور کامل

بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. چه فرقی دارد؟

"یعنی چی؟" - شما بپرسید الان توضیح میدم

یادآوری می کنم که در علامت گذاری به عبارت داخل پرانتز آرگومان گفته می شود. و این استدلال می تواند هر بیانی باشد، نه لزوما ساده. بر این اساس، آرگومان هر چه باشد (عبارت داخل پرانتز) به جای آن در عبارت می نویسیم.

در مثال ما به این صورت خواهد بود:

بیایید کار دیگری مربوط به روش تحلیلی تعیین یک تابع را در نظر بگیریم که در امتحان خواهید داشت.

مقدار عبارت را در پیدا کنید.

مطمئنم که در ابتدا با دیدن چنین تعبیری ترسیدید، اما مطلقاً هیچ چیز ترسناکی در آن وجود ندارد!

همه چیز مانند مثال قبلی است: هر استدلالی (عبارت داخل پرانتز) باشد، به جای آن در عبارت می نویسیم. به عنوان مثال، برای یک تابع.

در مثال ما چه باید کرد؟ در عوض باید بنویسید و در عوض -:

عبارت حاصل را کوتاه کنید:

همین!

کار مستقل

حال سعی کنید معنی عبارات زیر را خودتان پیدا کنید:

1. ، اگر
2. ، اگر

موفق شدی؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم: ما به این واقعیت عادت کرده ایم که تابع دارای فرم باشد

حتی در مثال های خود ما تابع را دقیقاً به این صورت تعریف می کنیم، اما از نظر تحلیلی می توان به عنوان مثال تابع را به صورت ضمنی مشخص کرد.

سعی کنید خودتان این تابع را بسازید.

موفق شدی؟

اینجوری ساختمش

بالاخره چه معادله ای به دست آوردیم؟

درسته! خطی، به این معنی که نمودار یک خط مستقیم خواهد بود. بیایید جدولی بسازیم تا مشخص کنیم کدام نقاط متعلق به خط ما هستند:

این دقیقاً همان چیزی است که ما در مورد آن صحبت می کردیم ... یکی مربوط به چندین است.

بیایید سعی کنیم آنچه را که اتفاق افتاد ترسیم کنیم:

آیا چیزی که ما دریافت کردیم یک تابع است؟

درست است، نه! چرا؟ سعی کنید با کمک نقاشی به این سوال پاسخ دهید. چه چیزی به دست آوردی؟

"زیرا یک مقدار با چندین مقدار مطابقت دارد!"

از این چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟

درست است، یک تابع همیشه نمی تواند به طور صریح بیان شود، و آنچه به عنوان یک تابع "مستدل" می شود همیشه یک تابع نیست!

روش جدولی برای تعیین یک تابع

همانطور که از نام آن پیداست، این روش یک علامت ساده است. بله، بله. مثل همان چیزی که من و شما قبلا ساخته ایم. به عنوان مثال:

در اینجا شما بلافاصله متوجه یک الگو شدید - Y سه برابر بزرگتر از X است. و اکنون وظیفه "با دقت فکر کردن": آیا فکر می کنید تابعی که به شکل جدول داده می شود معادل یک تابع است؟

بیایید زیاد حرف نزنیم، اما بکشیم!

بنابراین. تابع مشخص شده توسط والپیپر را به روش های زیر ترسیم می کنیم:

آیا تفاوت را می بینید؟ همه چیز در مورد نقاط مشخص شده نیست! از نزدیک نگاه کنید:

الان دیدی؟ وقتی تابعی را تعریف می کنیم روش جدولی، فقط نقاطی را که در جدول داریم روی نمودار منعکس می کنیم و خط (مانند مورد ما) فقط از آنها می گذرد. وقتی تابعی را به صورت تحلیلی تعریف می کنیم، می توانیم هر نقطه ای را بگیریم و عملکرد ما محدود به آنها نیست. این ویژگی خاص است. به خاطر بسپار!

روش گرافیکی ساخت تابع

روش گرافیکی ساخت یک تابع کمتر راحت نیست. ما تابع خود را رسم می کنیم، و شخص دیگری که علاقه مند است می تواند پیدا کند که y در یک x معین با چه چیزی برابر است و غیره. روش های گرافیکی و تحلیلی از رایج ترین آنها هستند.

با این حال، در اینجا باید آنچه را که در همان ابتدا در مورد آن صحبت کردیم را به خاطر بسپارید - هر "squiggle" ترسیم شده در سیستم مختصات یک تابع نیست! یادت هست؟ در هر صورت، من تعریف تابع چیست را در اینجا کپی می کنم:

به عنوان یک قاعده، مردم معمولاً دقیقاً سه روش را برای تعیین یک تابع که مورد بحث قرار دادیم نام می‌برند - تحلیلی (با استفاده از فرمول)، جدولی و گرافیکی، کاملاً فراموش می‌کنند که یک تابع را می‌توان به صورت شفاهی توصیف کرد. این چطوره؟ بله خیلی ساده!

توصیف شفاهی عملکرد

چگونه یک تابع را به صورت شفاهی توصیف کنیم؟ بیایید مثال اخیر خود را در نظر بگیریم - . این تابعرا می توان اینگونه توصیف کرد: "برای هر مقدار واقعی x مقدار سه گانه آن مطابقت دارد." همین است. هیچ چیز پیچیده ای نیست. شما، البته، اعتراض خواهید کرد - "اینطور وجود دارد توابع پیچیده، که به سادگی نمی توان شفاهی آنها را پرسید!» بله، چنین هستند، اما توابعی وجود دارند که توصیف شفاهی آنها آسان تر از تعریف کردن با یک فرمول است. به عنوان مثال: "هر مقدار طبیعی x مربوط به تفاوت بین ارقامی است که از آن تشکیل شده است، در حالی که minuend به عنوان بزرگترین رقم موجود در نماد عدد در نظر گرفته می شود." حال بیایید ببینیم که چگونه توصیف شفاهی ما از تابع در عمل پیاده سازی می شود:

بالاترین رقم در شماره داده شده-، به ترتیب، یک نتیجه کوچک است، پس:

انواع اصلی توابع

حالا بیایید به جالب ترین بخش برویم - بیایید به انواع اصلی توابعی که با آنها کار کرده اید/در حال کار هستید و در درس ریاضیات مدرسه و دانشگاه کار خواهید کرد نگاهی بیندازیم، یعنی بیایید به اصطلاح با آنها آشنا شویم. ، و به آنها بدهید شرح مختصر. در مورد هر تابع در بخش مربوطه بیشتر بخوانید.

تابع خطی

تابعی از فرم Where، اعداد واقعی هستند.

نمودار این تابع یک خط مستقیم است، بنابراین ساخت یک تابع خطی به یافتن مختصات دو نقطه ختم می شود.

موقعیت خط روشن است هواپیمای مختصاتبستگی به شیب دارد

دامنه یک تابع (معروف به دامنه مقادیر آرگومان معتبر) است.

محدوده مقادیر - .

تابع درجه دوم

تابع فرم، جایی که

نمودار تابع یک سهمی است که شاخه های سهمی به سمت پایین و وقتی شاخه ها به سمت بالا هستند.

بسیاری از ویژگی های یک تابع درجه دوم به مقدار تفکیک کننده بستگی دارد. تفکیک کننده با استفاده از فرمول محاسبه می شود

موقعیت سهمی در صفحه مختصات نسبت به مقدار و ضریب در شکل نشان داده شده است:

حوزه تعریف

محدوده مقادیر به حداکثر تابع داده شده (نقطه راس سهمی) و ضریب (جهت شاخه های سهمی) بستگی دارد.

نسبت معکوس

تابعی که با فرمول، Where

عدد را ضریب تناسب معکوس می گویند. بسته به مقدار، شاخه های هذلولی در مربع های مختلفی قرار دارند:

محدوده تعریف - .

محدوده مقادیر - .

خلاصه و فرمول های اساسی

1. تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از یک مجموعه با یک عنصر از مجموعه مرتبط است.

• - این فرمولی است که یک تابع را نشان می دهد، یعنی وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر.
• - مقدار متغیر یا آرگومان؛
• - کمیت وابسته - زمانی تغییر می کند که آرگومان تغییر کند، یعنی طبق هر فرمول خاصی که وابستگی یک کمیت به کمیت دیگر را منعکس می کند.

2. مقادیر آرگومان معتبر، یا دامنه یک تابع، چیزی است که با امکاناتی که تابع در آن معنا پیدا می کند، مرتبط است.

3. محدوده عملکرد- با توجه به مقادیر قابل قبول، این همان ارزش هایی است که می گیرد.

4. 4 راه برای تنظیم یک تابع وجود دارد:

• تحلیلی (با استفاده از فرمول)؛
• جدولی
• گرافیکی
• توصیف شفاهی

5. انواع اصلی توابع:

• : ، جایی که، اعداد واقعی هستند.
• : , کجا;
• : , کجا

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،ما به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و از آنها برای محاسبه مقادیر y مربوطه استفاده کنید.

برای مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را در نظر بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نموداری از تابع y= x+2 بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b جابجایی نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به سمت بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودار توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½ x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمام این توابع ضریب k بزرگتر از صفرو توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که تمام نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در همه توابع ضریب k کمتر از صفرو توابع در حال کاهش هستند.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

نمودارهای توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

اکنون در تمام معادلات تابع ضرایب k برابر با 2 است. و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) محور OY را در نقطه (0;0) - مبدا قطع می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) محور OY را در نقطه (0;-3) قطع می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر با b است اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. اجازه دهید به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، بنابراین یک مقدار آرگومان مطابقت دارد معانی مختلفتوابع، که با تعریف یک تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY. آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0; b) دارد.

با محور OX: اردین هر نقطه متعلق به محور OX صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصات (-b/k;0) است: