چگونه می توان ماژول جابجایی را در فیزیک پیدا کرد (شاید فرمول جهانی وجود داشته باشد؟). بردارها و عملیات روی بردارها بردار یک بردار چیست؟

بردار واحد- این بردار، قدر مطلق (ماژول) آن برابر با یک. برای نشان دادن یک بردار، از زیرنویس e استفاده می کنیم بنابراین، اگر یک بردار داده شود الف، سپس بردار واحد آن بردار خواهد بود الف e این بردار واحد در همان جهت هدایت می شود که خود بردار الفو ماژول آن برابر با یک است، یعنی a e = 1.

بدیهی است، الف= a الف e (الف - ماژول برداری الف). این از قاعده ای که عمل ضرب یک اسکالر در یک بردار را انجام می دهد نتیجه می گیرد.

بردارهای واحداغلب با محورهای مختصات یک سیستم مختصات (به ویژه، با محورهای یک سیستم مختصات دکارتی) مرتبط است. جهت اینها بردارهامنطبق با جهت محورهای مربوطه است، و مبدا آنها اغلب با مبدا سیستم مختصات ترکیب می شود.

بگذارید این را به شما یادآوری کنم سیستم مختصات دکارتیدر فضا، به طور سنتی به سه محور عمود بر هم متقاطع در نقطه ای به نام مبدأ مختصات گفته می شود. محورهای مختصاتمعمولاً با حروف X، Y، Z نشان داده می شوند و به ترتیب محور آبسیسا، محور ارتین و محور کاربردی نامیده می شوند. خود دکارت فقط از یک محور استفاده کرد که بر روی آن آبسیساها ترسیم شد. شایستگی استفاده سیستم هاتبر متعلق به شاگردانش است. بنابراین عبارت سیستم مختصات دکارتیاشتباه تاریخی صحبت کردن بهتر است مستطیل شکل سیستم مختصاتیا سیستم مختصات متعامد. با این حال، ما سنت ها را تغییر نخواهیم داد و در آینده فرض خواهیم کرد که سیستم مختصات دکارتی و مستطیلی (متعامد) یکی و یکی هستند.

بردار واحد، در امتداد محور X نشان داده می شود من, بردار واحد، در امتداد محور Y نشان داده می شود j، A بردار واحد، که در امتداد محور Z هدایت می شود، نشان داده می شود ک. بردارها من, j, کنامیده می شوند orts(شکل 12، سمت چپ)، آنها تک ماژول دارند، یعنی
i = 1، j = 1، k = 1.

تبر و بردارهای واحد سیستم مختصات مستطیلیدر برخی موارد نام ها و نام های متفاوتی دارند. بنابراین، محور آبسیسا X را می توان محور مماس نامید و بردار واحد آن را نشان داد. τ (یونانی حرف کوچک tau)، محور ارتین، محور عادی است، واحد واحد آن نشان داده می شود n، محور کاربردی محور باینرمال است که بردار واحد آن مشخص شده است ب. چرا اگر ماهیت یکسان است، نام ها را تغییر دهید؟

واقعیت این است که به عنوان مثال، در مکانیک، هنگام مطالعه حرکت اجسام، اغلب از سیستم مختصات مستطیلی استفاده می شود. بنابراین، اگر خود سیستم مختصات ساکن باشد و تغییر مختصات یک جسم متحرک در این سیستم ثابت ردیابی شود، معمولاً محورها X، Y، Z و آنها تعیین می‌شوند. بردارهای واحدبه ترتیب من, j, ک.

اما اغلب، هنگامی که یک جسم در امتداد نوعی مسیر منحنی (مثلاً در یک دایره) حرکت می کند، در نظر گرفتن فرآیندهای مکانیکی در سیستم مختصات که با این جسم حرکت می کنند راحت تر است. برای چنین سیستم مختصات متحرکی است که از نام های دیگر محورها و بردارهای واحد آنها استفاده می شود. همین طور است. در این حالت، محور X به صورت مماس به مسیری که در آن نقطه است هدایت می شود در حال حاضراین شی واقع شده است. و سپس این محور دیگر محور X نامیده نمی شود، بلکه محور مماس نامیده می شود و بردار واحد آن دیگر تعیین نمی شود. من، A τ . محور Y در امتداد شعاع انحنای مسیر (در مورد حرکت در یک دایره - به مرکز دایره) هدایت می شود. و از آنجایی که شعاع بر مماس عمود است، محور را محور معمولی می گویند (عمود و عادی یکی هستند). بردار واحد این محور دیگر نشان داده نمی شود j، A n. محور سوم (Z سابق) بر دو محور قبلی عمود است. این یک بی طبیعی با ارث است ب(شکل 12، سمت راست). به هر حال، در این مورد چنین است سیستم مختصات مستطیلیاغلب به عنوان "طبیعی" یا طبیعی شناخته می شود.

در هندسه، بردار یک قطعه جهت یا یک جفت مرتب از نقاط در فضای اقلیدسی است. اورتوم برداربردار واحد یک فضای برداری نرمال شده یا برداری است که هنجار (طول) آن برابر با یک است.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش هندسه.

دستورالعمل ها

ابتدا باید طول را محاسبه کنید بردار. همانطور که مشخص است، طول (مدول) برداربرابر با جذر مجذور مجذور مختصات. اجازه دهید بردار با مختصات: a(3, 4) داده شود. سپس طول آن |a| است = (9 + 16)^1/2 یا |a|=5.

برای پیدا کردن ort بردارالف، باید هر کدام را بر طولش تقسیم کنید. نتیجه یک بردار به نام بردار عمودی یا واحد خواهد بود. برای بردار a(3, 4) ort بردار a (3/5, 4/5) خواهد بود. بردار a` واحدی برای بردارالف

برای بررسی اینکه آیا ort به درستی پیدا شده است، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: اگر برابر با یک باشد، همه چیز به درستی پیدا شده است، پس یک خطا در محاسبات رخ داده است. بیایید بررسی کنیم که آیا ort a به درستی پیدا شده است یا خیر. طول بردار a` برابر است با: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. بنابراین، طول بردار a` برابر با یک است، یعنی بردار واحد به درستی پیدا شده است.

بالاخره به موضوعی وسیع و مورد انتظار رسیدم هندسه تحلیلی. ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی ... مطمئناً اکنون یک دوره هندسه مدرسه با قضایای متعدد، اثبات‌ها، نقاشی‌ها و غیره را به خاطر دارید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش قابل توجهی از دانش آموزان. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و قابل دسترس تر به نظر برسد. صفت "تحلیلی" به چه معناست؟ دو عبارت کلیشه ای ریاضی بلافاصله به ذهن می رسد: "روش حل گرافیکی" و " روش تحلیلیراه حل ها." روش گرافیکیالبته با ساخت نمودارها و نقشه ها همراه است. تحلیلییا روششامل حل مشکلات است عمدتااز طریق عملیات جبری در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است، اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است. خیر، البته، ما به هیچ وجه نمی توانیم بدون طراحی این کار را انجام دهیم، و علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره جدید دروس هندسه وانمود نمی کند که از نظر تئوری کامل است، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز شده است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است، در سخنرانی های خود خواهم گنجاند. اگر در مورد هر زیربخش به کمک کامل تری نیاز دارید، من ادبیات کاملاً در دسترس زیر را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت. این رختکن مدرسه تاکنون 20 (!) تجدید چاپ را پشت سر گذاشته است که البته محدودیتی برای آن وجود ندارد.

2) هندسه در 2 جلد. نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.. این ادبیات برای دبیرستان، نیاز خواهید داشت جلد اول. کارهایی که به ندرت با آنها روبرو می شوم ممکن است از دید من خارج شوند، و راهنمای آموزشیکمک های ارزشمندی ارائه خواهد کرد.

هر دو کتاب را می توان به صورت آنلاین به صورت رایگان دانلود کرد. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من با راه حل های آماده استفاده کنید که در صفحه موجود است دانلود مثال در ریاضی بالاتر .

در بین ابزارها، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاری در هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان بسیار صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با مفاهیم و اشکال هندسی اساسی آشنا است: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار. خواندن ادامه مطلب را توصیه می کنم مهمترین مقاله حاصل ضرب نقطه ای بردارها ، و همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها . یک کار محلی اضافی نخواهد بود - تقسیم بندی از این نظر. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط در یک صفحه با ساده ترین نمونه های راه حل ، که اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید . مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا , معادلات یک خط در فضا , مشکلات اساسی در خطوط مستقیم و سطوح، شاخه های دیگر هندسه تحلیلی. طبیعتاً در این مسیر وظایف استاندارد در نظر گرفته خواهد شد.

مفهوم برداری. وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت کارگردانی کردقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

در این حالت، ابتدای قطعه نقطه است، انتهای قطعه نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش منتقل کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلاً وجود دارد وکتور کاملا متفاوت. تشخیص مفهوم بردار با حرکت یک جسم فیزیکی راحت است: باید موافق باشید، ورود به درهای یک موسسه یا خروج از درهای یک موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

راحت است که نقاط جداگانه یک هواپیما یا فضا را به اصطلاح در نظر بگیرید بردار صفر. برای چنین بردار، پایان و آغاز بر هم منطبق است.

!!! توجه: در اینجا و بیشتر، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده برای هواپیما و فضا معتبر است.

نامگذاری ها:بسیاری بلافاصله متوجه چوب بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش نیز در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید آن را با یک فلش بنویسید: ، اما این امکان نیز وجود دارد ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد. چرا؟ ظاهراً این عادت به دلایل عملی شکل گرفت. در ادبیات آموزشیگاهی اوقات آنها اصلاً از نوشتن خط میخی خسته نمی شوند، اما حروف را به صورت پررنگ برجسته می کنند: ، در نتیجه به این معنی است که این یک بردار است.

این سبک شناسی بود و اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره در این مورد، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نقطه پایان بردار را نشان می دهد.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به طور خاص، برای اختصار، بردار ما را می توان به عنوان کوچک دوباره طراحی کرد حرف لاتین.

طولیا ماژولیک بردار غیر صفر طول قطعه نامیده می شود. طول بردار صفر صفر است. منطقی.

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما یاد خواهیم گرفت که چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم (یا بسته به اینکه چه کسی آن را تکرار می کنیم) کمی بعد.

این اطلاعات اولیه در مورد بردارها بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

به بیان ساده - بردار را می توان از هر نقطه ترسیم کرد:

ما عادت داریم که چنین بردارهایی را برابر بنامیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نقطه نظر ریاضی محض، آنها همان بردار یا همان بردار هستند. وکتور رایگان. چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار مدرسه را به هر نقطه از صفحه یا فضایی که نیاز دارید، "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. چنین دانشجویی وجود دارد که می گوید: هر استادی یک لعنتی در مورد بردار می دهد. از این گذشته ، این فقط یک قافیه شوخ نیست ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده را نیز می توان به آنجا اضافه کرد. اما برای شادی عجله نکنید، این خود دانش آموزان هستند که اغلب رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این بسیاری بخش های هدایت شده یکسان تعریف مدرسه از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "به یک بخش جهت دار، یک بردار می گویند..."، دلالت بر آن دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به نقطه خاصی در صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد به طور کلی نادرست است و نکته کاربرد مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی، که برای بیان مثال احمقانه من کافی است، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، غیر رایگانبردارها ملاقات کنیدو شما از ویشمت آگاه هستید (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها خطی بودن بردارها

در دوره مدرسههندسه، تعدادی عمل و قوانین با بردارها در نظر گرفته می شود: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون تفاوت بردار، ضرب یک بردار در عدد، حاصل ضرب اسکالر بردارها و غیره.به عنوان نقطه شروع، اجازه دهید دو قانون را که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند، تکرار کنیم.

قانون اضافه کردن بردارها با استفاده از قانون مثلث

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و :

باید مجموع این بردارها را پیدا کنید. با توجه به اینکه همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار از را کنار می گذاریم پایانبردار:

مجموع بردارها بردار است. برای درک بهتر این قاعده، توصیه می شود که آن را نیز درج کنید معنای فیزیکی: اجازه دهید جسمی در امتداد یک بردار و سپس در امتداد یک بردار حرکت کند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه رسیدن است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که آنها می گویند، بدن می تواند مسیر خود را بسیار باریک در امتداد یک زیگزاگ، یا شاید در خلبان خودکار - در امتداد بردار حاصل از مجموع طی کند.

به هر حال، اگر بردار به تعویق افتاد از آغاز شدبردار، سپس معادل را بدست می آوریم قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد هم خطی بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک. اگر فلش ها در جهت های مختلف باشند، بردارها خواهند بود جهت های مخالف.

نامگذاری ها:هم خطی بردارها با نماد موازی معمول نوشته می شود: , در حالی که جزئیات ممکن است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها خلاف جهت هستند).

کاربردار غیر صفر روی یک بردار برداری است که طول آن برابر است و بردارها و هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک یک تصویر ساده تر است:

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم:

1) جهت. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر ضریب در داخل یا وجود داشته باشد، پس طول بردار کاهش می یابد. بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر مدول ضریب بزرگتر از یک باشد، طول بردار افزایش می یابددر مواقعی

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار از طریق دیگری بیان می شود، برای مثال، . عکس آن نیز صادق است: اگر بتوان یک بردار را از طریق دیگری بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها به طور مشترک هدایت می شوند. بردارها و همچنین کارگردانی مشترک هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر در یک جهت باشند و داشته باشند مساوی هستند همان طول . توجه داشته باشید که هم جهتی به معنای هم خطی بودن بردارها است. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خط و هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از نقطه نظر مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند، همانطور که در پاراگراف قبل بحث شد.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در صفحه است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را به تصویر بکشیم و آن را از مبدأ مختصات رسم کنیم مجردبردارها و:

بردارها و قائم. متعامد = عمود بر. توصیه می کنم کم کم به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین نام:متعامد بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال: .

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts. این بردارها تشکیل می شوند اساسدر یک هواپیما من فکر می‌کنم که مبنای چیست برای خیلی‌ها و بیشتر به طور شهودی روشن است اطلاعات دقیقرا می توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها به عبارت ساده، اساس و منشأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که یک زندگی هندسی کامل و غنی بر آن می جوشد.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین نام:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه ذکر شده اند، به عنوان مثال: . بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد

هربردار هواپیما تنها راهبیان شده به صورت:
، کجا - اعدادکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداریبر اساس .

شام سرو شده:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم: . ترسیم به وضوح نشان می دهد که هنگام تجزیه یک بردار به یک پایه، مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت استفاده می شود:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و ;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث: .

اکنون به صورت ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری از صفحه رسم کنید. کاملاً آشکار است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد." اینجا آزادی بردار است - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای پایه (رایگان) نباید از مبدا رسم شوند، مثلاً در پایین سمت چپ، و دیگری در بالا سمت راست، و هیچ چیز تغییر نمی کند. درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و در یک مکان غیرمنتظره به شما "اعتبار" می دهد.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. برای این بردارها، یکی از مختصات برابر با صفر است.


و بردارهای پایه، به هر حال، اینگونه هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت: , . به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجا، اشاره کردم که تفریق یک مورد خاص از جمع است. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به راحتی به صورت مجموع نوشته می شوند: . نقشه را دنبال کنید تا ببینید که جمع خوب قدیمی بردارها طبق قانون مثلث چقدر در این موقعیت ها کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستمی از بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن یک بردار نیست.

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در مسائل عملی از هر سه گزینه علامت گذاری استفاده می شود.

شک داشتم که صحبت کنم، اما به هر حال می گویم: مختصات برداری را نمی توان دوباره مرتب کرد. به شدت در وهله اولمختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما فهمیدیم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا تقریبا همه چیز یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه می کند. ایجاد نقشه های سه بعدی دشوار است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا کنار می گذارم:

هربردار فضای سه بعدیمی تواند تنها راهگسترش بر اساس متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در این مبنا کجاست.

نمونه ای از تصویر: . بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش تمشک). ثانیاً، در اینجا مثالی از جمع چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است: . بردار مجموع از نقطه شروع اولیه (ابتدای بردار) شروع می شود و در نقطه پایانی رسیدن (انتهای بردار) به پایان می رسد.

همه بردارهای فضای سه بعدی، به طور طبیعی، نیز آزاد هستند، سعی کنید از نظر ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری کنار بگذارید، و خواهید فهمید که تجزیه آن "با آن باقی خواهد ماند".

مشابه مورد تخت، علاوه بر نوشتن نسخه های دارای براکت به طور گسترده استفاده می شوند: یا .

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، صفرها به جای آنها قرار می گیرند. مثال ها:
بردار (با دقت ) – بنویسیم
بردار (با دقت) - یادداشت کنید.
بردار (با دقت ) – بیایید بنویسیم.

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

این احتمالاً همه حداقل است دانش نظری، برای حل مسائل هندسه تحلیلی ضروری است. ممکن است اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین توصیه می‌کنم قوری‌ها این اطلاعات را دوباره بخوانند و دوباره درک کنند. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای هر خواننده ای مفید خواهد بود تا مطالب را بهتر جذب کند. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این مفاهیم و مفاهیم دیگر اغلب در آینده استفاده خواهند شد. می خواهم توجه داشته باشم که مطالب سایت برای گذراندن یک آزمون نظری یا یک کنفرانس در مورد هندسه کافی نیست، زیرا من با دقت تمام قضایا (و بدون اثبات) را رمزگذاری می کنم - به ضرر سبک علمیارائه، اما یک نکته مثبت برای درک شما از موضوع. برای دریافت اطلاعات دقیق تئوری، لطفاً به پروفسور آتاناسیان تعظیم کنید.

و به قسمت عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار توصیه می شود که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که کاملاً خودکار در نظر گرفته می شوند و فرمول ها را حل کنید حفظ کردن، حتی لازم نیست عمداً آن را به خاطر بسپارید، آنها خودشان آن را به خاطر خواهند آورد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف زمان اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. . نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست.

ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه از دو نقطه بردار پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار دارای مختصات زیر است:

اگر دو نقطه در فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

یعنی از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را بنویسید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

با توجه به دو نقطه از هواپیما و . مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مناسب:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان در این مورد تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرط، نیازی به ساخت یک نقشه (که برای مسائل هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای روشن شدن برخی نکات برای آدمک ها، تنبل نخواهم بود:

حتما باید بفهمی تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطه- اینها مختصات معمولی در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. امتیاز قرار دهید هواپیمای مختصاتمن فکر می کنم همه می توانند از کلاس پنجم تا ششم این کار را انجام دهند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و نمی توان آنها را به جایی منتقل کرد.

مختصات بردار- این گسترش آن بر اساس اساس، در این مورد است. هر بردار آزاد است، بنابراین در صورت تمایل یا نیاز، می توانیم به راحتی آن را از نقطه دیگری در هواپیما دور کنیم. جالب است که برای بردارها اصلاً نیازی به ساخت محورها یا سیستم مختصات مستطیلی ندارید، در این مورد به یک پایه متعارف صفحه نیاز دارید.

به نظر می رسد رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها مشابه باشد: و معنی مختصاتمطلقا متفاوت است، و شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صدق می کند.

خانم ها و آقایان بیایید دستمان را پر کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها و .
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها و .
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها و .
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی برای تصمیم مستقل، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه می دهد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی مهم است؟مهم است که بسیار مراقب باشید تا از اشتباه استادانه «دو به علاوه دو برابر با صفر» اجتناب کنید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک قطعه را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه داده شود و سپس طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

توجه: اگر مختصات مربوطه با هم عوض شوند، فرمول‌ها صحیح می‌مانند، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مناسب:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر به مقیاس ترسیم کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند راه حل دیگر در آن وجود دارد نکات مهمکه من می خواهم توضیح دهم:

اولاً در پاسخ، بعد «واحدها» را قرار می دهیم. این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی درست، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

ثانیا، اجازه دهید مطالب مدرسه را تکرار کنیم، که نه تنها برای کار در نظر گرفته شده مفید است:

لطفا توجه داشته باشید مهم است تکنیک فنی – حذف ضریب از زیر ریشه. در نتیجه محاسبات، یک نتیجه داریم و سبک ریاضی خوب شامل حذف عامل از زیر ریشه (در صورت امکان) است. با جزئیات بیشتر، این روند به این صورت است: . بدیهی است که باقی گذاشتن پاسخ به همان شکلی که هست اشتباه نخواهد بود - اما مسلماً نقص و استدلالی سنگین برای سخن گفتن از جانب معلم خواهد بود.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

اغلب در ریشه به اندازه کافی وجود دارد تعداد زیادیبه عنوان مثال. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ با استفاده از ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم شد، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم بدیهی است که کار نخواهد کرد. بیایید سعی کنیم بر 9 تقسیم کنیم: . در نتیجه:
آماده است.

نتیجه گیری:اگر در زیر ریشه عددی بدست آوریم که نمی توان آن را به عنوان یک کل استخراج کرد ، سپس سعی می کنیم عامل را از زیر ریشه حذف کنیم - در ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره

در طول تصمیم گیری وظایف مختلفریشه ها رایج هستند، همیشه سعی کنید عوامل را از زیر ریشه استخراج کنید تا از نمره پایین تر و مشکلات غیرضروری در نهایی کردن راه حل های خود بر اساس نظرات معلم جلوگیری کنید.

بیایید ریشه های مربع و سایر قدرت ها را نیز تکرار کنیم:

قوانین اعمال با درجه در نمای کلیرا می توان در یافت کتاب درسی مدرسهدر جبر، اما من فکر می کنم از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل روشن است.

کار برای راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضایی داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .

یا بردار واحد (بردار واحد فضای برداری نرمال شده) برداری است که هنجار (طول) آن برابر با یک است. بردار واحد ... ویکی پدیا

- بردار (ort) که طول آن برابر با واحد مقیاس انتخابی ... بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفی

- (ort)، برداری که طول آن برابر با واحد مقیاس انتخاب شده است. * * * بردار واحد بردار واحد (ort)، برداري كه طول آن برابر با واحد مقياس انتخاب شده است... فرهنگ لغت دایره المعارفی

Ort، برداری که طول آن برابر با واحد مقیاس انتخاب شده است. هر بردار a را می توان از مقداری E.v به صورت خطی به دست آورد. e با ضرب در عدد (اسکالر) λ، یعنی a = λe. محاسبات برداری را نیز ببینید... بزرگ دایره المعارف شوروی

- (ort)، برداری که طول آن برابر با واحد مقیاس انتخابی ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

اورث: ویکی‌واژه دارای یک مقاله «اورث» یا اورث سگ دو سر، فرزند تایفون و اکیدنا، برادر سربروس است. Ort ... ویکی پدیا

الف متر [آلمانی] اورت] 1. شاخ. دهانه معدن زیرزمینی افقی که دسترسی مستقیم به سطح ندارد. 2. ریاضی. برداری که طول آن برابر با یک است. * * * بردار واحد I (از یونانی orthós straight)، همان بردار واحد. II (آلمانی... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی