حجم توپ بر حسب لیتر نحوه پیدا کردن حجم یک کره: فرمول های اساسی و نمونه ای از کاربرد آنها. چگونه جرم یک توپ را تعیین کنیم

بسیاری از بدن هایی که در زندگی با آنها ملاقات می کنیم یا درباره آنها شنیده ایم شکل کروی دارند، به عنوان مثال یک توپ فوتبال، یک قطره آب در هنگام باران یا سیاره ما. در این رابطه، بررسی این سوال که چگونه می توان حجم یک کره را پیدا کرد، مرتبط است.

شکل توپ در هندسه

قبل از پاسخ به سوال در مورد توپ، بیایید نگاهی دقیق تر به این بدن بیندازیم. برخی آن را با یک کره اشتباه می گیرند. از نظر ظاهری، آنها واقعاً شبیه هستند، اما یک توپ جسمی است که درون آن پر شده است، در حالی که یک کره فقط پوسته بیرونی یک توپ با ضخامت بی نهایت کوچک است.

از نقطه نظر هندسه، یک توپ را می توان با مجموعه ای از نقاط نشان داد و آنهایی از آنها که روی سطح آن قرار دارند (یک کره را تشکیل می دهند) در فاصله یکسانی از مرکز شکل هستند. به این فاصله شعاع می گویند. در واقع، شعاع تنها پارامتری است که می تواند برای توصیف هر ویژگی توپ، مانند مساحت سطح یا حجم آن استفاده شود.

تصویر زیر نمونه ای از توپ را نشان می دهد.

اگر به این جسم گرد کامل نگاه کنید، می توانید حدس بزنید که چگونه آن را از یک دایره معمولی بدست آورید. برای انجام این کار، فقط این را بچرخانید شکل تختحول محوری که با قطر آن منطبق است.

یکی از معروف های باستانی منابع ادبی، که ویژگی های این شکل سه بعدی را با جزئیات کافی مورد بحث قرار می دهد، کار فیلسوف یونانی اقلیدس - "عناصر" است.

مساحت و حجم

هنگام بررسی این سوال که چگونه حجم یک توپ را پیدا کنیم، علاوه بر این مقدار، فرمولی برای مساحت آن نیز باید ارائه شود، زیرا هر دو عبارت می توانند به یکدیگر مرتبط باشند، همانطور که در زیر نشان داده شده است.

بنابراین، برای محاسبه حجم یک توپ، باید یکی از دو فرمول زیر را اعمال کنید:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

در اینجا R شعاع شکل است. اولین فرمول ارائه شده دقیق است، اما برای استفاده از این مزیت، باید از تعداد اعشار مناسب برای pi استفاده کنید. عبارت دوم یک نتیجه کاملاً خوب به دست می دهد که با اولی فقط 0.03٪ متفاوت است. برای تعدادی از کارهای عملی، این دقت بیش از حد کافی است.

برابر این مقدار برای یک کره است، یعنی با فرمول S = 4 * pi * R2 بیان می شود. اگر شعاع را از اینجا بیان کنیم، و سپس آن را به فرمول اول برای حجم جایگزین کنیم، دریافت می کنیم: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * پی)).

بنابراین، ما سؤالات چگونگی یافتن حجم یک توپ را از طریق شعاع و از طریق مساحت سطح آن بررسی کردیم. این عبارات را می توان با موفقیت در عمل به کار برد. در ادامه مقاله مثالی از کاربرد آنها خواهیم داد.

مشکل قطرات باران

آب در حالت بی وزنی به شکل یک قطره کروی شکل می گیرد. این به دلیل وجود نیروهای کشش سطحی است که تمایل دارند سطح سطح را به حداقل برسانند. توپ به نوبه خود کمترین مقدار را در بین تمام اشکال هندسی با جرم یکسان دارد.

در هنگام باران، سقوط یک قطره آب در حالت بی وزنی است، بنابراین شکل آن یک کره است (در اینجا از نیروی مقاومت هوا غافل می شویم). در صورتی که جرم این قطره 05/0 گرم باشد باید حجم، سطح و شعاع آن را تعیین کرد.

تعیین حجم آسان است، برای انجام این کار، باید تقسیم کنید توده شناخته شدهبر روی چگالی H 2 O (ρ = 1 گرم / سانتی متر 3). سپس V = 0.05 / 1 = 0.05 cm 3.

با دانستن اینکه چگونه حجم یک توپ را پیدا کنیم، باید شعاع را از فرمول بیان کنیم و مقدار حاصل را جایگزین کنیم، داریم: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) * 3.1416)) = 0.2285 سانتی متر.

اکنون مقدار شعاع را در عبارت برای سطح شکل جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 cm 2.

بنابراین، با دانستن اینکه چگونه حجم یک توپ را پیدا کنیم، پاسخ تمام سوالات مسئله را دریافت کردیم: R = 2.285 mm، S = 0.6561 cm 2 و V = 0.05 cm 3.

WikiHow به دقت بر کار ویراستاران خود نظارت می کند تا اطمینان حاصل کند که هر مقاله با استانداردهای ما مطابقت دارد. استانداردهای بالاکیفیت

شعاع توپ (که با r یا R مشخص می شود) قطعه ای است که مرکز توپ را به هر نقطه از سطح آن متصل می کند. همانند دایره، شعاع توپ مقدار مهمی است که برای یافتن قطر، محیط، سطح و/یا حجم توپ لازم است. اما شعاع توپ را می توان از مقدار معینی از قطر، محیط و سایر کمیت ها نیز یافت. از فرمولی استفاده کنید که بتوانید این مقادیر را جایگزین کنید.

مراحل

فرمول های محاسبه شعاع

شعاع را از قطر حساب کنید.شعاع برابر با نصف قطر است، بنابراین از فرمول استفاده کنید g = D/2. این همان فرمولی است که برای محاسبه شعاع و قطر یک دایره استفاده می شود.

• به عنوان مثال، یک توپ با قطر 16 سانتی متر داده می شود، شعاع این توپ: r = 16/2 = 8 سانتی متر. اگر قطر 42 سانتی متر باشد، شعاع آن است 21 سانتی متر (42/2=21).

1. شعاع را از محیط محاسبه کنید.از فرمول استفاده کنید: r = C/2π. از آنجایی که محیط یک دایره C = πD = 2πr است، فرمول محاسبه دور دایره را بر 2π تقسیم کرده و فرمول را برای یافتن شعاع بدست آورید.

   • به عنوان مثال، با توجه به یک توپ با محیط 20 سانتی متر شعاع این توپ: r = 20/2π = 3.183 سانتی متر.
   • از همین فرمول برای محاسبه شعاع و محیط دایره استفاده می شود.

2. شعاع از حجم کره را محاسبه کنید.از فرمول استفاده کنید: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. حجم توپ با فرمول V = (4/3)πr 3 محاسبه می شود. با جداسازی r در یک طرف معادله، فرمول ((V/π)(3/4)) 3 = r به دست می آید، یعنی برای محاسبه شعاع، حجم توپ را بر π تقسیم کنید، نتیجه را در ضرب کنید. 3/4، و نتیجه حاصل را به توان 1/3 برسانید (یا ریشه مکعب را بگیرید).

   • به عنوان مثال، یک توپ با حجم 100 سانتی متر مکعب داده می شود. شعاع این توپ به صورت زیر محاسبه می شود:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2.88 سانتی متر= r

3. شعاع را از روی سطح محاسبه کنید.از فرمول استفاده کنید: g = √(A/(4 π)). مساحت سطح توپ با فرمول A = 4πr 2 محاسبه می شود. با جداسازی r در یک طرف معادله، فرمول √(A/(4π)) = r را دریافت می کنید، یعنی برای محاسبه شعاع، باید استخراج کنید. ریشه مربعاز سطح تقسیم بر 4π. به جای ریشه گرفتن، عبارت (A/(4π)) را می توان به توان 1/2 رساند.

   • به عنوان مثال، کره ای با مساحت 1200 سانتی متر مکعب در نظر گرفته می شود. شعاع این توپ به صورت زیر محاسبه می شود:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9.77 سانتی متر= r

   تعیین مقادیر اساسی

   1. مقادیر اساسی مربوط به محاسبه شعاع توپ را به خاطر بسپارید.شعاع توپ قسمتی است که مرکز توپ را به هر نقطه از سطح آن متصل می کند. شعاع یک توپ را می توان از مقادیر داده شده قطر، محیط، حجم یا سطح محاسبه کرد.

      از مقادیر این کمیت ها برای یافتن شعاع استفاده کنید.شعاع را می توان از مقادیر داده شده قطر، محیط، حجم و سطح محاسبه کرد. علاوه بر این، مقادیر مشخص شده را می توان از یک مقدار شعاع داده شده پیدا کرد. برای محاسبه شعاع، به سادگی فرمول ها را تبدیل کنید تا مقادیر نشان داده شده را بیابید. در زیر فرمول هایی (شامل شعاع) برای محاسبه قطر، محیط، حجم و مساحت وجود دارد.

   یافتن شعاع از فاصله بین دو نقطه

   1. مختصات (x,y,z) مرکز توپ را پیدا کنید.شعاع یک توپ برابر است با فاصله بین مرکز آن و هر نقطه ای که روی سطح توپ قرار دارد. اگر مختصات مرکز توپ و هر نقطه ای که روی سطح آن قرار دارد مشخص باشد، می توانید شعاع توپ را با استفاده از یک فرمول خاص با محاسبه فاصله بین دو نقطه پیدا کنید. ابتدا مختصات مرکز توپ را پیدا کنید. به خاطر داشته باشید که از آنجایی که یک توپ یک شکل سه بعدی است، نقطه دارای سه مختصات (x، y، z)، به جای دو (x، y) خواهد بود.

      • بیایید به یک مثال نگاه کنیم. یک توپ با مختصات مرکزی داده می شود (4,-1,12) . از این مختصات برای پیدا کردن شعاع توپ استفاده کنید.

   2. مختصات نقطه ای که روی سطح توپ قرار دارد را پیدا کنید.اکنون باید مختصات (x,y,z) را پیدا کنیم. هرنقطه خوابیده روی سطح توپ. از آنجایی که تمام نقاط روی سطح توپ در فاصله یکسانی از مرکز توپ قرار دارند، می توانید هر نقطه ای را برای محاسبه شعاع توپ انتخاب کنید.

      • در مثال ما، فرض می کنیم نقطه ای که روی سطح توپ قرار دارد دارای مختصات است (3,3,0) . با محاسبه فاصله بین این نقطه و مرکز توپ، شعاع آن را خواهید یافت.

   3. شعاع را با استفاده از فرمول d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 محاسبه کنید.با پیدا کردن مختصات مرکز توپ و نقطه ای که روی سطح آن قرار دارد، می توانید فاصله بین آنها را که برابر با شعاع توپ است، پیدا کنید. فاصله بین دو نقطه با فرمول d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 محاسبه می شود، که d فاصله بین نقاط است. , (x 1, y 1 ,z 1) – مختصات مرکز توپ، (x 2 , y 2 , z 2) – مختصات نقطه ای که روی سطح توپ قرار دارد.

      • در مثال مورد بررسی، به جای (x 1,y 1,z 1) جایگزین (4,-1,12) و به جای (x 2,y 2,z 2) جایگزین (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12.69. این شعاع مورد نظر توپ است.

   4. به خاطر داشته باشید که در موارد کلی r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).تمام نقاطی که روی سطح توپ قرار دارند در یک فاصله از مرکز توپ قرار دارند. اگر در فرمول یافتن فاصله بین دو نقطه "d" با "r" جایگزین شود، فرمولی برای محاسبه شعاع توپ از مختصات شناخته شده (x 1,y 1,z 1) مرکز بدست می آید. توپ و مختصات (x 2, y 2, z 2 ) هر نقطه ای که روی سطح توپ قرار دارد.

      • دو طرف این معادله را مربع کنید و r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 بدست می آورید. توجه داشته باشید که این معادله مطابق با معادله یک کره r 2 = x 2 + y 2 + z 2 با مرکز آن در مختصات (0,0,0) است.
   • ترتیب انجام عملیات ریاضی را فراموش نکنید. اگر این ترتیب را به خاطر نمی آورید و ماشین حساب شما می تواند با پرانتز کار کند، از آنها استفاده کنید.
   • این مقاله در مورد محاسبه شعاع توپ صحبت می کند. اما اگر در یادگیری هندسه مشکل دارید، بهتر است با محاسبه مقادیر مرتبط با یک توپ با استفاده از یک مقدار شعاع شناخته شده شروع کنید.
   • π (Pi) حرف است الفبای یونانی، که نشان دهنده یک ثابت است، برابر با نسبتقطر دایره به محیط آن پی یک عدد غیر منطقی است که به صورت نسبت نوشته نمی شود اعداد واقعی. تقریب های زیادی وجود دارد، به عنوان مثال، نسبت 333/106 به شما این امکان را می دهد که پی را در چهار رقم اعشار پیدا کنید. به عنوان یک قاعده، آنها از مقدار تقریبی Pi استفاده می کنند که 3.14 است.

توپ یک جسم چرخشی هندسی است که از چرخش یک دایره یا نیم دایره به دور قطر آن تشکیل می شود. همچنین توپ فضایی است که توسط یک سطح کروی محدود شده است. بسیاری از اجسام کروی واقعی و مشکلات مربوط به آن وجود دارند که نیاز به تعیین حجم یک کره دارند.

توپ و کره

دایره کهن ترین شکل هندسی است و دانشمندان باستان به آن معنای مقدسی می دادند. دایره نماد زمان و مکان بی پایان، نماد جهان و هستی است. به گفته فیثاغورث، دایره زیباترین شکل است. در فضای سه بعدیدایره تبدیل به کره ای می شود که مانند دایره ایده آل، کیهانی و زیباست.

Sphere در یونانی باستان به معنای توپ است. کره سطحی است که از تعداد بی نهایت نقطه در فاصله مساوی از مرکز شکل تشکیل شده است. فضای محدود شده توسط یک کره یک توپ است. توپ یک شکل هندسی ایده آل است که بسیاری از اشیاء واقعی شکل آن را می گیرند. به عنوان مثال، در زندگی واقعیگلوله های توپ، یاتاقان ها یا توپ ها شکل یک توپ دارند، در طبیعت - قطره های آب، تاج درختان یا توت ها، در فضا - ستاره ها، شهاب ها یا سیارات.

حجم توپ

تعیین حجم یک شکل کروی - کار دشوار، زیرا چنین جسم هندسی را نمی توان به مکعب یا منشور مثلثی تقسیم کرد که فرمول حجم آنها قبلاً مشخص است. علم مدرنبه شما امکان می دهد حجم یک کره را با استفاده از آن محاسبه کنید انتگرال معین، اما فرمول حجم در چگونه بود یونان باستانوقتی کسی تا به حال در مورد انتگرال ها نشنیده بود؟ ارشمیدس حجم یک کره را با استفاده از یک مخروط و یک استوانه محاسبه کرد، زیرا فرمول های حجم این ارقام قبلاً تعیین شده بود. فیلسوف یونان باستانو دموکریتوس ریاضیدان.

ارشمیدس نیم کره را با استفاده از مخروط ها و استوانه های یکسان نشان داد که شعاع هر شکل برابر با ارتفاع آن R = h است. دانشمند باستانی مخروط و استوانه را به تعداد بی نهایت استوانه کوچک تقسیم می کرد. ارشمیدس متوجه شد که اگر حجم مخروط Vk را از حجم استوانه Vc کم کند، حجم یک نیمکره Vsh را به دست می آورد:

0.5 Vsh = Vc - Vk

حجم مخروط با استفاده از یک فرمول ساده محاسبه می شود:

Vk = 1/3 × بنابراین × h،

اما با دانستن اینکه بنابراین در این مورد مساحت دایره و h = R است، فرمول به شکل زیر تبدیل می شود:

Vk = 1/3 × پی × R × R 2 = 1/3 پی × R 3

حجم سیلندر با فرمول محاسبه می شود:

Vc = pi × R 2 × h،

اما با فرض اینکه ارتفاع استوانه برابر با شعاع آن باشد، به دست می آید:

Vc = پی × R 3 .

ارشمیدس با استفاده از این فرمول ها به دست آورد:

0.5 Vsh = پی × R 3 - 1/3 پی × R 3 یا Vsh = 4/3 پی × R 3

تعریف مدرن فرمول حجم یک توپ از انتگرال مساحت سطح کروی گرفته شده است، اما نتیجه یکسان است.

Vsh = 4/3 پی × R 3

محاسبه حجم یک توپ ممکن است هم در زندگی واقعی و هم هنگام حل مسائل انتزاعی مورد نیاز باشد. برای محاسبه حجم یک کره با استفاده از یک ماشین حساب آنلاین، فقط باید یک پارامتر را بدانید: قطر یا شعاع کره. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

نمونه هایی از زندگی

گلوله های توپ

فرض کنید می خواهید بدانید برای ریختن گلوله توپ با کالیبر شش فوت چقدر چدن لازم است. می دانید که قطر چنین هسته ای 9.6 سانتی متر است. این عدد را در سلول "Diameter" ماشین حساب وارد کنید و پاسخ را به صورت دریافت خواهید کرد

بنابراین، برای ذوب یک گلوله توپ با کالیبر معین به 463 سانتی متر مکعب یا 0.463 لیتر چدن نیاز دارید.

بالن

اجازه دهید در مورد میزان هوای مورد نیاز برای پمپاژ کنجکاو باشید بالون هوای گرمشکل کروی ایده آل می دانید که شعاع توپ انتخاب شده 10 سانتی متر است این مقدار را در سلول ماشین حساب "Radius" وارد کنید و نتیجه را دریافت خواهید کرد

این بدان معناست که برای باد کردن یکی از این بالون ها به 4188 سانتی متر مکعب یا 4.18 لیتر هوا نیاز دارید.

نتیجه گیری

نیاز به تعیین حجم یک توپ ممکن است در بیشتر موارد ایجاد شود موقعیت های مختلف: از چکیده وظایف مدرسهبه مسائل تحقیقات علمی و تولید. برای حل سوالات با هر پیچیدگی، از ماشین حساب آنلاین ما استفاده کنید، که فوراً نتیجه دقیق و محاسبات ریاضی لازم را به شما ارائه می دهد.

توپاین یک جسم هندسی است که در نتیجه چرخش یک نیم دایره بر روی محور قطر آن شکل گرفته است.

حجم یک کره را محاسبه کنید

حجم توپرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

R - شعاع توپ

V – حجم توپ

حجم کره ای با شعاع سانتی متر را بیابید.

برای محاسبه حجم یک توپ از فرمول زیر استفاده می شود:

حجم مورد نیاز توپ کجاست، – , شعاع است.

بنابراین، با شعاع سانتی متر، حجم توپ برابر است با:

V

3.14×103

= 4186,7

سانتی متر مکعب

در هندسه توپبه عنوان یک جسم معین تعریف می شود که مجموعه ای از تمام نقاط در فضا است که از مرکز در فاصله ای بیش از یک معین قرار دارند که شعاع توپ نامیده می شود.

سطح توپ را کره می نامند و خود توپ با چرخش نیم دایره ای به دور قطر خود و بدون حرکت آن به وجود می آید.

این بدنه هندسی اغلب توسط مهندسان طراح و معماران مواجه می شود که اغلب مجبورند حجم یک کره را محاسبه کنید. به عنوان مثال، در طراحی سیستم تعلیق جلو اکثر قریب به اتفاق خودروهای مدرن، به اصطلاح از اتصالات توپی استفاده می شود که همانطور که از نام خود به راحتی می توانید حدس بزنید، توپ ها یکی از عناصر اصلی هستند.

با کمک آنها، توپی های چرخ های فرمان و اهرم ها به هم متصل می شوند. در مورد اینکه چقدر درست خواهد بود محاسبه شده استحجم آنها نه تنها به دوام این واحدها و صحت عملکرد آنها بستگی دارد، بلکه به ایمنی ترافیک نیز بستگی دارد.

در فناوری از قطعاتی مانند بلبرینگ استفاده می شود که به کمک آن محورها در قسمت های ثابت اجزا و مجموعه های مختلف بسته شده و چرخش آنها تضمین می شود.

لازم به ذکر است که هنگام محاسبه آنها، طراحان باید حجم توپ (یا بهتر است بگوییم، توپ های قرار داده شده در قفس) را با درجه بالادقت در مورد ساخت توپ های فلزی برای یاتاقان ها، آنها از سیم فلزی با استفاده از یک مجتمع ساخته می شوند فرآیند تکنولوژیکی، که شامل مراحل شکل دهی، سفت شدن، آسیاب خشن، سنگ زنی و تمیز کردن می باشد.

به هر حال، آن دسته از توپ هایی که در طراحی تمام خودکارهای توپی گنجانده شده اند، دقیقاً با استفاده از فناوری مشابه ساخته شده اند.

غالباً از توپ ها در معماری استفاده می شود و اغلب آنها در آنجا هستند عناصر تزئینیساختمان ها و سایر سازه ها

در بیشتر موارد، آنها از گرانیت ساخته می شوند که اغلب به کار دستی زیادی نیاز دارد. البته لازم نیست در ساخت این توپ ها دقت بالایی مانند مواردی که در واحدها و مکانیزم های مختلف استفاده می شود، حفظ شود.

چنین بازی جالب و محبوبی مانند بیلیارد بدون توپ غیرقابل تصور است. برای تولید آنها از مواد مختلفی (استخوان، سنگ، فلز، پلاستیک) استفاده می شود و از فرآیندهای تکنولوژیکی مختلف استفاده می شود.

یکی از ملزومات اصلی توپ های بیلیارد استحکام و توانایی بالای آنها در تحمل بارهای مکانیکی بالا (در درجه اول شوک) است. علاوه بر این، سطح آنها باید یک کره دقیق باشد تا از چرخش صاف و یکنواخت روی سطح میزهای بیلیارد اطمینان حاصل شود.

در نهایت، هیچ سال نو یا درخت کریسمس نمی تواند بدون بدن های هندسی مانند توپ کار کند. این تزیینات در اکثر موارد از شیشه و به روش دمیدن ساخته می شوند و در تولید آن ها نه به دقت ابعاد، بلکه به زیبایی شناسی محصولات توجه می شود.

فرآیند فناوری تقریباً کاملاً خودکار است و توپ‌های کریسمس فقط به صورت دستی بسته‌بندی می‌شوند.

کره یکی از ساده ترین اجسام هندسی است که در آن تمام نقاط سطح آن در فاصله یکسانی از مرکز تصویر قرار دارند. فاصله مرکز کره تا هر نقطه از سطح آن را شعاع می گویند.

حجم توپ

قطر توپ را دو برابر شعاع می گویند.

چگونه حجم یک کره را در اطراف شعاع آن پیدا کنیم

اگر شعاع یک کره را بدانیم، به راحتی می توانیم قدر آن را محاسبه کنیم. برای این کار، مکعب را در شعاع و عدد چهارگانه Pi ضرب کنید، پس از آن، نتیجه بر سه تقسیم می شود. فرمول تعیین حجم یک توپ بر اساس شعاع آن به شرح زیر است: .
برای کسانی که فراموش کرده اند، به یاد داریم که Pi یک مقدار ثابت است و برابر با 3.14 است.

چگونه حجم یک کره را بر اساس قطر پیدا کنیم

اگر قطر کره از شرایط مسئله مشخص شود، حجم آن با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود: ، یعنی.

عدد Pi باید در قطر قطر ضرب شود، سپس نتیجه بر 6 تقسیم می شود.

چگونه جرم یک توپ را تعیین کنیم

وزن بدن است کمیت فیزیکی، نشان دهنده درجه اینرسی آن است. جرم یک جسم فیزیکی به حجم فضای اشغال شده و چگالی ماده ای که از آن جمع شده است بستگی دارد. حجم بدن فرم صحیح(بگذریم ضرب و شتم) محاسبه آن دشوار نیست و اگر ماده ای که از آن ساخته شده نیز مشخص باشد، به صورت عمدهمجاز است بسیار ابتدایی باشد.

دستورالعمل ها

اولمقدار را وارد کنید ضرب و شتم .

نحوه محاسبه حجم یک توپ

برای انجام این کار کافی است یکی از پارامترهای خود را بدانید - شعاع، قطر، سطح و غیره. اگر قطر را می دانید به من بگویید ضرب و شتم(د)، حجم آن (V) مجاز است به عنوان یک ششم محصول با قطر افزایش یافته در یک مکعب با عدد Pi تعیین شود: V = π * d؟ / 6. از طریق شعاع ضرب و شتم(r) حجم به عنوان یک سوم حاصلضرب پی بیان می شود که با شعاع قرار داده شده در مکعب چهار برابر می شود: V = 4 * π * r؟ / 3.

دومشمارش به صورت عمدهضرب و شتم(m)، حجم آن را با چگالی عالی ماده (p) ضرب کنید: m = p * V.

اگر این ماده است ضرب و شتمهمگن نیست، پس باید چگالی متوسط ​​را بگیریم. در این فرمول حجم را جایگزین می کنیم ضرب و شتماز طریق پارامترهای شناخته شده خود، مجاز به گرفتن قطر شناخته شده است ضرب و شتمفرمول m = p * π * d؟ / 6 و برای شعاع اصلی m = p * 4 * π * r؟ / 3.

سومبرای محاسبات استفاده کنید، به عنوان مثال، از ماشین حساب نرم افزاری معمولی که با سیستم عامل اصلی ویندوز ارائه می شود، هر نسخه قوی که امروزه استفاده می شود.

ساده ترین راه برای شروع این است که کلیدهای win + r را فشار دهید تا گفتگوی معمولی برای اجرای برنامه باز شود، سپس دستور calc را تایپ کرده و روی OK کلیک کنید.

در منوی "Calculator"، بخش "View" را گسترش دهید و خط "Engineer" یا "Scientist" را انتخاب کنید (بسته به نسخه سیستم عاملی که استفاده می کنید) - رابط این حالت دارای دکمه ای برای وارد کردن عدد Pi با یک است. کلیک کنید. عملیات ضرب و تقسیم در این ماشین حساب نیازی به ایجاد سؤال ندارد، اما هنگام محاسبه جرم مشخص می شود. ضرب و شتمچندین دکمه با نمادهای x^2 و x^3 وجود خواهد داشت.

طراحی آب و فاضلاب

ایمیل: [ایمیل محافظت شده]

ساعات کاری: دوشنبه تا جمعه از 9:00 تا 18:00 (بدون ناهار)

محاسبه حجم یک کره با استفاده از شعاع یا قطر

کره جسمی هندسی است که مجموعه ای از تمام نقاط فضا است که در فاصله معینی از مرکز قرار دارند.

نحوه محاسبه حجم یک توپ

ویژگی اصلی ریاضی یک توپ شعاع آن است.

شماره توپ است مشخصه کمیاین عدد در کیهان

فرمول محاسبه حجم یک توپ:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r شعاع کره است.
d قطر کره است.

همچنین مقاله مربوط به همه را ببینید اشکال هندسی(خطی 1 بعدی، مسطح 2 بعدی و 3 بعدی 3 بعدی).

این صفحه ساده ترین ماشین حساب وب برای محاسبه حجم یک کره بر اساس شعاع یا قطر است.

قبل از شروع مطالعه مفهوم توپ، حجم توپ و در نظر گرفتن فرمول های محاسبه پارامترهای آن، باید مفهوم دایره را که قبلاً در دوره هندسه مطالعه شده بود، به خاطر بسپارید. از این گذشته، بیشتر اعمال در فضای سه بعدی مشابه یا از هندسه دو بعدی است که برای ظاهر مختصات سوم و درجه سوم تنظیم شده است.

دایره چیست؟

یک دایره یک شکل است هواپیمای دکارتی(نشان داده شده در شکل 1)؛ اغلب این تعریف به نظر می رسد "موقعیت هندسی همه نقاط روی صفحه، فاصله ای که از آن تا نقطه داده شده(مرکز) از عدد غیر منفی معینی به نام شعاع تجاوز نمی کند.»

همانطور که از شکل می بینیم، نقطه O مرکز شکل است، و مجموعه کاملاً تمام نقاطی که دایره را پر می کنند، به عنوان مثال، A، B، C، K، E، بیش از یک شعاع معین قرار ندارند. (از دایره نشان داده شده در شکل 2 فراتر نروید).

اگر شعاع صفر باشد، دایره به یک نقطه تبدیل می شود.

مشکلات در درک

دانش آموزان اغلب این مفاهیم را اشتباه می گیرند. با تشبیه به یاد آوردن آن آسان است. حلقه ای که بچه ها در کلاس می چرخند فرهنگ بدنی، - دایره. با درک این موضوع یا به خاطر سپردن این نکته که حروف اول هر دو کلمه "O" است، کودکان تفاوت را به صورت یادمانی درک خواهند کرد.

معرفی مفهوم "توپ"

توپ جسمی است (شکل 3) که توسط یک سطح کروی مشخص محدود شده است. اینکه یک "سطح کروی" چیست از تعریف آن مشخص می شود: این مکان هندسی تمام نقاط روی سطح است که فاصله آن تا یک نقطه (مرکز) معین از یک عدد غیر منفی معینی به نام شعاع تجاوز نمی کند. همانطور که می بینید، مفاهیم یک دایره و یک سطح کروی مشابه هستند، فقط فضاهایی که در آن قرار دارند متفاوت است. اگر توپی را در فضای دو بعدی ترسیم کنیم، دایره ای به دست می آید که مرز آن دایره است (مرز توپ یک سطح کروی است). در شکل یک سطح کروی با شعاع OA = OB را می بینیم.

توپ بسته و باز

در فضاهای برداری و متریک دو مفهوم مربوط به سطح کروی نیز در نظر گرفته می شود. اگر توپ شامل این کره باشد، به آن بسته می گویند، اما اگر نه، پس توپ باز است. اینها مفاهیم "پیشرفته" تری هستند که در موسسات به عنوان بخشی از مقدمه آنها برای تجزیه و تحلیل مورد مطالعه قرار می گیرند. برای استفاده ساده و حتی روزمره، فرمول هایی که در درس استریومتری برای پایه های 10-11 مطالعه می شود، کافی خواهد بود. اینها مواردی هستند که تقریباً برای هر فرد معمولی قابل دسترسی است. فرد تحصیل کردهمفاهیم بیشتر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

مفاهیمی که برای محاسبات زیر باید بدانید

شعاع و قطر.

شعاع یک توپ و قطر آن به همان روشی که برای یک دایره تعیین می شود.

شعاع قطعه ای است که هر نقطه از مرز توپ و نقطه ای که مرکز توپ است را به هم متصل می کند.

قطر قطعه ای است که دو نقطه از مرز یک توپ را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد. شکل 5a به وضوح نشان می دهد که کدام بخش ها شعاع توپ هستند و شکل 5b قطر کره (قطعه هایی که از نقطه O عبور می کنند) را نشان می دهد.

مقاطع در یک کره (توپ)

هر بخش از یک کره یک دایره است. اگر از مرکز توپ عبور کند، دایره بزرگ (دایره با قطر AB) نامیده می شود، بخش های باقی مانده را دایره های کوچک (دایره با قطر DC) می نامند.

مساحت این دایره ها با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

در اینجا S تعیین مساحت، R برای شعاع، D برای قطر است. همچنین یک ثابت برابر با 3.14 وجود دارد. اما اشتباه نگیرید که برای محاسبه مساحت یک دایره بزرگ، از شعاع یا قطر خود توپ (کره) استفاده می شود و برای تعیین مساحت، ابعاد شعاع دایره کوچک مورد نیاز است.

تعداد نامتناهی از این بخش ها که از دو نقطه با قطر یکسان در مرز توپ می گذرند را می توان ترسیم کرد. به عنوان مثال، سیاره ما: دو نقطه در شمال و قطب های جنوبی، که انتهای محور زمین هستند و در حس هندسی- انتهای قطر و نصف النهارهایی که از این دو نقطه عبور می کنند (شکل 7). یعنی تعداد دایره های بزرگ روی یک کره به بی نهایت میل می کند.

قطعات توپ

اگر یک "قطعه" را با استفاده از یک صفحه خاص از کره جدا کنید (شکل 8)، آن را یک بخش کروی یا کروی می نامند. این یک ارتفاع خواهد داشت - عمود از مرکز صفحه برش به سطح کروی O 1 K. نقطه K در سطح کروی که ارتفاع در آن قرار می گیرد راس قطعه کروی نامیده می شود. و یک دایره کوچک با شعاع O 1 T (در این حالت طبق شکل، صفحه از مرکز کره عبور نکرده است، اما اگر مقطع از مرکز عبور کند، دایره مقطع خواهد بود. بزرگ)، که با بریدن بخش کروی شکل می گیرد، پایه توپ قطعه ما - بخش کروی نامیده می شود.

اگر هر نقطه پایه یک قطعه کروی را به مرکز کره متصل کنیم، شکلی به نام "قطعه کروی" به دست می آید.

اگر دو صفحه از یک کره عبور کنند و موازی یکدیگر باشند، آن قسمت از کره که بین آنها محصور شده است، لایه کروی نامیده می شود (شکل 9 که کره ای را با دو صفحه و یک لایه کروی مجزا نشان می دهد).

سطح (قسمت برجسته شده در شکل 9 در سمت راست) این قسمت از کره را کمربند می نامند (دوباره برای درک بهتر می توان قیاسی با کره زمین، یعنی با مناطق آب و هوایی آن - قطب شمال، گرمسیری، معتدل و غیره)، و دایره های مقطعی پایه های لایه کروی خواهند بود. ارتفاع لایه بخشی از قطر است که عمود بر صفحات برش از مرکز پایه ها کشیده شده است. مفهوم کره کروی نیز وجود دارد. زمانی تشکیل می شود که صفحات موازی با یکدیگر کره را قطع نمی کنند، اما هر کدام آن را در یک نقطه لمس می کنند.

فرمول های محاسبه حجم یک توپ و مساحت سطح آن

توپ با چرخش به دور قطر ثابت یک نیم دایره یا دایره تشکیل می شود. برای محاسبات پارامترهای مختلف از این شیداده های زیادی مورد نیاز نیست.

حجم یک کره، فرمول محاسبه که در بالا آورده شده است، از طریق یکپارچه سازی به دست می آید. بیایید نقطه به نقطه آن را مشخص کنیم.

ما یک دایره را در یک صفحه دو بعدی در نظر می گیریم، زیرا همانطور که در بالا ذکر شد، این دایره است که زیر بنای توپ را تشکیل می دهد. ما فقط از قسمت چهارم آن استفاده می کنیم (شکل 10).

دایره ای با شعاع واحد و مرکز در مبدا می گیریم. معادله چنین دایره ای به شرح زیر است: X 2 + Y 2 = R 2. Y را از اینجا بیان می کنیم: Y 2 = R 2 - X 2.

حتما توجه داشته باشید که تابع به دست آمده غیر منفی، پیوسته و در قسمت X (0؛ R) کاهشی است، زیرا مقدار X در حالتی که یک چهارم دایره را در نظر می گیریم از صفر تا مقدار آن قرار دارد. شعاع، یعنی به وحدت.

کار بعدی که انجام می دهیم این است که یک چهارم دایره خود را حول محور x می چرخانیم. در نتیجه یک نیمکره به دست می آید. برای تعیین حجم آن، به روش های یکپارچه سازی متوسل می شویم.

از آنجایی که این حجم فقط یک نیمکره است، نتیجه را دوبرابر می کنیم، که از آن نتیجه می یابیم که حجم توپ برابر است با:

تفاوت های ظریف کوچک

اگر می خواهید حجم یک توپ را از طریق قطر آن محاسبه کنید، به یاد داشته باشید که شعاع آن نصف قطر است و این مقدار را با فرمول بالا جایگزین کنید.

شما همچنین می توانید از طریق ناحیه سطح مرزی آن - کره به فرمول حجم یک توپ برسید. به یاد بیاوریم که مساحت یک کره با فرمول S = 4πr 2 محاسبه می شود که با ادغام آن به فرمول بالا برای حجم یک کره نیز می رسیم. از همان فرمول ها می توانید شعاع را بیان کنید اگر عبارت مشکل حاوی مقدار حجم باشد.