لبه ها موازی با چهره ها هستند. متوازی الاضلاع مستطیلی - هایپر مارکت دانش. موضوع: موازی خطوط و صفحات

متوازی الاضلاع یک منشور چهار گوش با متوازی الاضلاع در قاعده آن است. ارتفاع یک متوازی الاضلاع فاصله بین صفحات پایه های آن است. در شکل ارتفاع با قطعه نشان داده شده است . دو نوع متوازی الاضلاع وجود دارد: مستقیم و مایل. به عنوان یک قاعده، یک معلم ریاضی ابتدا تعاریف مناسب را برای یک منشور ارائه می دهد و سپس آنها را به یک موازی شکل منتقل می کند. ما هم همین کار را خواهیم کرد.

به شما یادآوری می کنم که اگر لبه های کناری آن بر پایه ها عمود باشند، منشور را مایل می گویند. این اصطلاح نیز توسط متوازی الاضلاع به ارث می رسد. یک متوازی الاضلاع راست چیزی نیست جز یک نوع منشور مستقیم که لبه کناری آن با ارتفاع منطبق است. تعاریف مفاهیمی مانند صورت، لبه و رأس که در کل خانواده چند وجهی مشترک است حفظ شده است. مفهوم چهره های متضاد ظاهر می شود. متوازی الاضلاع دارای 3 جفت وجه متضاد، 8 رأس و 12 لبه است.

مورب متوازی الاضلاع (قطر یک منشور) قطعه ای است که دو راس یک چند وجهی را به هم متصل می کند و روی هیچ یک از وجوه آن قرار ندارد.

بخش مورب - بخشی از یک متوازی الاضلاع که از قطر آن و مورب قاعده آن عبور می کند.

ویژگی های یک متوازی الاضلاع مایل:
1) تمام وجوه آن متوازی الاضلاع و وجه های مقابل متوازی الاضلاع هستند.
2)قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و در این نقطه به دو نیم می شوند.
3)هر موازی از شش هرم مثلثی با حجم مساوی تشکیل شده است. برای نشان دادن آنها به دانش آموز، معلم ریاضی باید نیمی از موازی را با قسمت مورب آن قطع کند و آن را جداگانه به 3 هرم تقسیم کند. پایه های آنها باید روی وجوه مختلف موازی پایه اصلی قرار گیرد. یک معلم ریاضی کاربرد این ویژگی را در هندسه تحلیلی پیدا خواهد کرد. برای نمایش حجم هرم از طریق آن استفاده می شود کار مختلطبردارها

فرمول های حجم یک متوازی الاضلاع:
1) ، جایی که مساحت پایه است ، h ارتفاع است.
2) حجم یک متوازی الاضلاع برابر با محصولسطح مقطع در هر دنده جانبی.
معلم خصوصی ریاضی: همانطور که می دانید فرمول در همه منشورها مشترک است و اگر استاد راهنما قبلاً آن را ثابت کرده باشد، تکرار همان کار برای متوازی الاضلاع فایده ای ندارد. با این حال، هنگام کار با یک دانش آموز سطح متوسط ​​(فرمول برای دانش آموز ضعیف مفید نیست)، توصیه می شود معلم دقیقاً برعکس عمل کند. منشور را به حال خود رها کنید و یک اثبات دقیق برای متوازی الاضلاع انجام دهید.
3) ، حجم یکی از شش هرم مثلثی تشکیل دهنده متوازی الاضلاع کجاست.
4) اگر، پس

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است:
سطح کل یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است، یعنی مساحت + دو ناحیه قاعده: .

درباره کار یک معلم خصوصی با متوازی الاضلاع مایل:
یک معلم ریاضی اغلب روی مسائل مربوط به متوازی الاضلاع مایل کار نمی کند. احتمال حضور آنها در آزمون یکپارچه دولتی بسیار کم است و آموزش های آموزشی به طرز نامناسبی ضعیف است. یک مشکل کم و بیش مناسب در مورد حجم یک موازی پایه شیبدار مشکلات جدی مرتبط با تعیین محل نقطه H - پایه ارتفاع آن را ایجاد می کند. در این مورد، می توان به معلم ریاضی توصیه کرد که موازی را به یکی از شش اهرام آن (در مورد آن) برش دهد. ما در مورددر خاصیت شماره 3) حجم آن را پیدا کرده و در 6 ضرب کنید.

اگر لبه کناری یک متوازی الاضلاع دارای زوایای برابر با اضلاع قاعده باشد، H روی نیمساز زاویه A قاعده ABCD قرار دارد. و اگر، برای مثال، ABCD یک لوزی است، پس

وظایف معلم خصوصی ریاضی:
1) وجه های یک متوازی الاضلاع با ضلع 2 سانتی متر و زاویه تند با یکدیگر برابر هستند. حجم متوازی الاضلاع را بیابید.
2) در یک متوازی الاضلاع مایل، لبه کناری 5 سانتی متر است. مقطع عمود بر آن چهار ضلعی با قطرهای متقابل عمود بر هم با طول 6 سانتی متر و 8 سانتی متر است.
3) در متوازی الاضلاع مایل مشخص می شود که و در ABCD قاعده لوزی با ضلع 2 سانتی متر و زاویه است. حجم متوازی الاضلاع را تعیین کنید.

معلم ریاضیات، الکساندر کولپاکوف

اهداف درس:

1. آموزشی:

مفهوم متوازی الاضلاع و انواع آن را معرفی کنید.
- فرمول بندی (با استفاده از قیاس متوازی الاضلاع و مستطیل) و اثبات خواص متوازی الاضلاع و مکعب.
- سوالات مربوط به موازی و عمود در فضا را تکرار کنید.

2. رشدی:

به پرورش چنین مهارت هایی در دانش آموزان ادامه دهید فرآیندهای شناختیبه عنوان ادراک، درک، تفکر، توجه، حافظه.
- ترویج رشد عناصر در دانش آموزان فعالیت خلاقبه عنوان ویژگی های تفکر (شهود، تفکر فضایی);
- ایجاد توانایی در دانش آموزان برای نتیجه گیری، از جمله با قیاس، که به درک ارتباطات درون موضوعی در هندسه کمک می کند.

3. آموزشی:

کمک به توسعه سازمان و عادات کار سیستماتیک؛
- به شکل گیری مهارت های زیبایی شناسی هنگام یادداشت برداری و ساختن نقاشی کمک می کند.

نوع درس: مطالب جدید درسی (2 ساعت).

ساختار درس:

1. لحظه سازمانی.
2. به روز رسانی دانش.
3. مطالعه مطالب جدید.
4. جمع بندی و تنظیم تکالیف.

تجهیزات: پوستر (اسلاید) با شواهد، مدل های اجسام هندسی مختلف از جمله انواع موازی پا، گراف پروژکتور.

پیشرفت درس.

1. لحظه سازمانی.

2. به روز رسانی دانش.

برقراری ارتباط با موضوع درس، تدوین اهداف و مقاصد همراه با دانش آموزان، نشان دادن اهمیت عملی مطالعه موضوع، تکرار موضوعات قبلاً مطالعه شده مرتبط با این موضوع.

3. مطالعه مطالب جدید.

3.1. موازی و انواع آن

مدل‌های متوازی الاضلاع نشان داده شده‌اند و ویژگی‌های آن‌ها را شناسایی می‌کنند، که به فرمول‌بندی تعریف متوازی الاضلاع با استفاده از مفهوم منشور کمک می‌کند.

تعریف:

موازی شکلمنشوری که قاعده آن متوازی الاضلاع است نامیده می شود.

رسم یک متوازی الاضلاع ساخته شده است (شکل 1)، عناصر یک متوازی الاضلاع به عنوان یک مورد خاص از یک منشور فهرست شده است. اسلاید 1 نشان داده شده است.

نماد شماتیک تعریف:

نتیجه گیری از تعریف به شرح زیر است:

1) اگر ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 یک منشور و ABCD متوازی الاضلاع باشد، ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - موازی شکل.

2) اگر ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - موازی شکل، سپس ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 یک منشور و ABCD متوازی الاضلاع است.

3) اگر ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 منشور یا ABCD متوازی الاضلاع نباشد،
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - نه موازی شکل.

4). اگر ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - نه موازی شکل، سپس ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 منشور نیست یا ABCD متوازی الاضلاع نیست.

در مرحله بعد، موارد خاص یک متوازی الاضلاع با ساخت یک طرح طبقه بندی در نظر گرفته می شود (نگاه کنید به شکل 3)، مدل ها نشان داده می شوند، ویژگی های مشخصه متوازی الاضلاع مستقیم و مستطیلی برجسته می شوند، و تعاریف آنها فرموله می شوند.

تعریف:

متوازی الاضلاع اگر لبه های جانبی آن عمود بر قاعده باشد مستقیم نامیده می شود.

تعریف:

متوازی الاضلاع نامیده می شود مستطیل شکل، اگر لبه های کناری آن عمود بر پایه باشد و پایه مستطیل باشد (شکل 2 را ببینید).

پس از ثبت تعاریف به صورت شماتیک، نتیجه گیری از آنها تدوین می شود.

3.2. ویژگی های متوازی الاضلاع

جست‌وجوی شکل‌های پلان‌متری که آنالوگ‌های فضایی آن‌ها متوازی الاضلاع و مکعب (متوازی الاضلاع و مستطیل) هستند. در این صورت با شباهت بصری فیگورها سروکار داریم. با استفاده از قاعده استنتاج به روش قیاس، جداول پر می شوند.

قاعده استنتاج با قیاس:

1. از بین مطالعه قبلی انتخاب کنید ارقام شکل، مشابه این یکی
2. خاصیت شکل انتخابی را فرموله کنید.
3. یک ویژگی مشابه شکل اصلی را فرموله کنید.
4. گزاره فرموله شده را اثبات یا رد کنید.

پس از فرمول بندی خواص، اثبات هر یک از آنها طبق طرح زیر انجام می شود:

• بحث در مورد طرح اثبات؛
• نمایش یک اسلاید با شواهد (اسلایدهای 2-6)؛
• دانش آموزان مدارک را در دفترچه خود تکمیل می کنند.

3.3 مکعب و خواص آن.

تعریف: مکعب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است که هر سه بعد آن برابر است.

با قیاس با متوازی الاضلاع، دانش آموزان به طور مستقل یک نماد شماتیک از تعریف ایجاد می کنند، نتایج را از آن استخراج می کنند و ویژگی های مکعب را فرموله می کنند.

4. جمع بندی و تنظیم تکالیف.

تکالیف:

1. با استفاده از نکات درس از کتاب هندسه برای پایه های 10-11، L.S. آتاناسیان و دیگران، فصل 1، بند 4، بند 13، فصل 2، بند 3، بند 24 را مطالعه کنید.
2. اثبات یا رد ویژگی متوازی الاضلاع، مورد 2 جدول.
3. به سوالات امنیتی پاسخ دهید

سوالات تستی

1. مشخص است که فقط دو وجه جانبی متوازی الاضلاع بر پایه عمود هستند. چه نوع متوازی الاضلاع؟

2. یک متوازی الاضلاع چند وجه به شکل مستطیل می تواند داشته باشد؟

3. آیا می توان یک متوازی الاضلاع تنها با یک وجه جانبی داشت:

1) عمود بر پایه؛
2) شکل مستطیل دارد.

4. در یک متوازی الاضلاع راست، همه قطرها با هم برابرند. مستطیل است؟

5. آیا این درست است که در یک متوازی الاضلاع راست، مقاطع مورب بر صفحات قاعده عمود هستند؟

6- قضیه را بیان کنید برعکس قضیهدر مورد مربع مورب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل.

7. چه ویژگی های اضافی یک مکعب را از یک متوازی الاضلاع مستطیلی متمایز می کند؟

8. آیا متوازی الاضلاع مکعبی خواهد بود که تمام یال های یکی از رئوس آن با هم برابر باشند؟

9- قضیه مکعب را بر مربع قطر مکعب بیان کنید.

در این درس ما یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنیم، ساختار و عناصر آن (مورب های متوازی الاضلاع، اضلاع متوازی الاضلاع و خواص آنها) را مورد بحث قرار می دهیم. همچنین ویژگی های وجه ها و مورب های متوازی الاضلاع را در نظر خواهیم گرفت. در مرحله بعد، ما یک مسئله معمولی ساخت یک مقطع در موازی را حل خواهیم کرد.

موضوع: موازی خطوط و صفحات

درس : موازی شکل. ویژگی های صورت ها و مورب های متوازی الاضلاع

در این درس ما یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنیم، ساختار، ویژگی ها و عناصر آن (اضلاع، مورب ها) را مورد بحث قرار می دهیم.

متوازی الاضلاع با استفاده از دو متوازی الاضلاع مساوی ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 که در صفحات موازی قرار دارند تشکیل می شود. نامگذاری: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 یا AD 1 (شکل 1.).

2. جشنواره ایده های آموزشی "درس باز" ()

1. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی(اساسی و سطوح پروفایل) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، تصحیح و بسط - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

وظایف 10، 11، 12 ص 50

2. یک مقطع از یک متوازی الاضلاع مستطیلی بسازید ABCDA1B1C1D1عبور هواپیما از نقاط:

الف) A، C، B1

ب) B1، D1و وسط دنده AA1.

3. لبه مکعب برابر با a است. قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از وسط سه یال خارج شده از یک راس می گذرد و محیط و مساحت آن را محاسبه کنید.

4- در اثر تقاطع متوازی الاضلاع با صفحه چه اشکالی به دست می آید؟

در این درس، همه می توانند موضوع " را مطالعه کنند. متوازی الاضلاع مستطیل شکل" در ابتدای درس، ما تکرار می کنیم که متوازی الاضلاع دلخواه و مستقیم چیست، ویژگی های وجه های متضاد آنها و مورب های متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم. سپس به این می پردازیم که مکعب چیست و ویژگی های اساسی آن را مورد بحث قرار می دهیم.

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحات

درس: مکعب

سطحی متشکل از دو متوازی الاضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 و چهار متوازی الاضلاع ABV 1 A 1، BCC 1 B 1، CDD 1 C 1، DAA 1 D 1 نامیده می شود. موازی شکل(شکل 1).

برنج. 1 موازی

یعنی: دو متوازی الاضلاع مساوی ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (پایه ها) داریم، آنها در صفحات موازی قرار دارند به طوری که لبه های جانبی AA 1، BB 1، DD 1، CC 1 موازی هستند. بنابراین، سطحی که از متوازی الاضلاع تشکیل شده باشد نامیده می شود موازی شکل.

بنابراین، سطح متوازی الاضلاع مجموع تمام متوازی الاضلاع تشکیل دهنده متوازی الاضلاع است.

1. وجوه متضاد یک متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

(اشکال برابر هستند، یعنی می توان آنها را با همپوشانی ترکیب کرد)

به عنوان مثال:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازی الاضلاع برابر تعریف)

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (از آنجایی که AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند)

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (زیرا AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند).

2. قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و از این نقطه نصف می شوند.

مورب های متوازی الاضلاع AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B در یک نقطه O قطع می شوند و هر مورب با این نقطه به نصف تقسیم می شود (شکل 2).

برنج. 2 قطرهای یک متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

3. سه چهار ضلعی لبه های مساوی و موازی یک متوازی الاضلاع وجود دارد: 1 - AB، A 1 B 1، D 1 C 1، DC، 2 - AD، A 1 D 1، B 1 C 1، BC، 3 - AA 1، BB 1، CC 1، DD 1.

تعریف. متوازی الاضلاع در صورتی مستقیم نامیده می شود که لبه های جانبی آن بر پایه ها عمود باشند.

اجازه دهید لبه جانبی AA 1 عمود بر پایه باشد (شکل 3). این بدان معنی است که خط مستقیم AA 1 عمود بر خطوط مستقیم AD و AB است که در صفحه قاعده قرار دارند. این بدان معنی است که وجه های جانبی شامل مستطیل هستند. و پایه ها حاوی متوازی الاضلاع دلخواه هستند. اجازه دهید ∠BAD = φ را نشان دهیم، زاویه φ می تواند هر باشد.

برنج. 3 متوازی الاضلاع سمت راست

بنابراین، متوازی الاضلاع راست، متوازی الاضلاع است که در آن لبه های جانبی عمود بر پایه های متوازی الاضلاع باشد.

تعریف. متوازی الاضلاع مستطیل شکل نامیده می شود،اگر لبه های جانبی آن عمود بر قاعده باشد. پایه ها مستطیل هستند.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 موازی شکل مستطیلی است (شکل 4)، اگر:

1. AA 1 ⊥ ABCD (لبه جانبی عمود بر صفحه قاعده، یعنی یک متوازی الاضلاع مستقیم).

2. ∠BAD = 90 درجه، یعنی پایه یک مستطیل است.

برنج. 4 متوازی الاضلاع مستطیل شکل

یک متوازی الاضلاع مستطیلی تمام خصوصیات یک متوازی الاضلاع دلخواه را دارد.اما ویژگی های اضافی وجود دارد که از تعریف مکعب به دست می آید.

بنابراین، مکعبیمتوازی الاضلاع است که لبه های کناری آن عمود بر قاعده است. قاعده مکعب مستطیل است.

1. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، هر شش وجه مستطیل هستند.

ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 طبق تعریف مستطیل هستند.

2. دنده های جانبی عمود بر پایه هستند. این بدان معنی است که تمام وجوه جانبی یک متوازی الاضلاع مستطیلی مستطیل هستند.

3. تمام زوایای دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی راست هستند.

برای مثال، زاویه دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی با لبه AB را در نظر می گیریم، یعنی زاویه دو وجهی بین صفحات ABC 1 و ABC.

AB یک یال است، نقطه A 1 در یک صفحه - در صفحه ABB 1 و نقطه D در صفحه دیگر - در صفحه A 1 B 1 C 1 D 1 قرار دارد. سپس زاویه دو وجهی مورد بررسی را نیز می توان به صورت زیر نشان داد: ∠A 1 ABD.

نقطه A را روی لبه AB می گیریم. AA 1 بر لبه AB در صفحه АВВ-1 عمود است، AD بر لبه AB در صفحه ABC عمود است. این بدان معنی است که ∠A 1 AD زاویه خطی یک زاویه دو وجهی معین است. ∠A 1 AD = 90 درجه، به این معنی که زاویه دو وجهی در لبه AB 90 درجه است.

∠(ABB 1، ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90 درجه.

به طور مشابه، ثابت شده است که هر زاویه دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی راست است.

مربع مورب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن.

توجه داشته باشید. طول سه لبه ای که از یک راس مکعب خارج می شود اندازه های مکعب است. آنها گاهی اوقات طول، عرض، ارتفاع نامیده می شوند.

داده شده: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - متوازی الاضلاع مستطیل شکل (شکل 5).

ثابت کنید: .

برنج. 5 متوازی الاضلاع مستطیل شکل

اثبات:

خط مستقیم CC 1 بر صفحه ABC و در نتیجه بر خط مستقیم AC عمود است. این بدان معنی است که مثلث CC 1 A قائم الزاویه است. طبق قضیه فیثاغورث:

در نظر بگیریم مثلث قائم الزاویه ABC. طبق قضیه فیثاغورث:

اما BC و AD اضلاع مخالف مستطیل هستند. پس قبل از میلاد = پس از میلاد. سپس:

چون ، A ، آن از آنجایی که CC 1 = AA 1، این چیزی است که باید ثابت شود.

قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است.

اجازه دهید ابعاد ABC متوازی الاضلاع را به صورت a، b، c نشان دهیم (شکل 6 را ببینید)، سپس AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

چند نوع موازی پایه وجود دارد:

· متوازی الاضلاع مستطیل شکل- یک متوازی الاضلاع است که همه چهره های آن هستند - مستطیل ها;

· متوازی الاضلاع راست متوازی الاضلاع است که دارای 4 وجه جانبی - متوازی الاضلاع است.

· متوازی الاضلاع مایل، متوازی الاضلاع است که وجوه جانبی آن عمود بر پایه ها نباشد.

عناصر اساسی

دو وجهی از متوازی الاضلاع که لبه مشترک ندارند روبه‌رو و آنهایی که دارای یال مشترک هستند مجاور نامیده می‌شوند. دو رأس متوازی الاضلاع که به یک وجه تعلق ندارند مخالف نامیده می شوند. بخش،اتصال رئوس مخالف نامیده می شود موربموازی شکل طول سه یال یک متوازی الاضلاع مستطیلی که دارای یک راس مشترک است نامیده می شود اندازه گیری ها

خواص

· متوازی الاضلاع حدود وسط قطر خود متقارن است.

· هر قطعه ای که انتهای آن متعلق به سطح متوازی الاضلاع باشد و از وسط مورب آن عبور کند توسط آن به نصف تقسیم می شود. به طور خاص، تمام قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و توسط آن نصف می شوند.

· وجوه متضاد یک متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

· مربع طول مورب یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر مجموع مربع های سه بعدی آن است.

فرمول های پایه

موازی پای راست

· سطح جانبی S b = P o *h، جایی که P o محیط پایه است، h ارتفاع است

· سطح کل S p = S b + 2S o، که در آن S o مساحت پایه است

· حجم V=S o *h

متوازی الاضلاع مستطیل شکل

· سطح جانبی S b = 2c(a+b)، که در آن a، b اضلاع پایه هستند، c لبه جانبی متوازی الاضلاع مستطیلی است.

· سطح کل S p = 2 (ab+bc+ac)

· حجم V=abc، که در آن a، b، c ابعاد یک متوازی الاضلاع مستطیلی هستند.

· سطح جانبی S=6*h 2 که h ارتفاع لبه مکعب است

34. چهار وجهی - چند وجهی منظم، دارد 4 صورت هایی که مثلث های منظم هستند. رئوس یک چهار وجهی 4 ، به هر رأس همگرا می شود 3 دنده ها و کل دنده ها 6 . همچنین چهار وجهی یک هرم است.

مثلث هایی که یک چهار وجهی را تشکیل می دهند نامیده می شوند چهره ها (AOS، OSV، ACB، AOB)، طرف آنها --- دنده ها (AO، OC، OB)و رئوس --- رئوس (A, B, C, O)چهار وجهی دو یال چهار وجهی که رئوس مشترکی ندارند نامیده می شوند مقابل... گاهی یکی از وجوه چهار وجهی جدا شده و نامیده می شود اساسو سه نفر دیگر --- صورت های جانبی.

چهار وجهی نامیده می شود درست است، اگر تمام صورت های آن باشد مثلث های متساوی الاضلاع. در این مورد، یک چهار وجهی منظم و یک منظم هرم مثلثی- این یک چیز نیست.

U چهار وجهی منظمتمام زوایای دو وجهی در لبه ها و تمام زوایای سه وجهی در رئوس برابر هستند.

35. منشور صحیح

منشور چند وجهی است که دو وجه (پایه) آن در صفحات موازی قرار دارند و تمام لبه های خارج از این وجوه با یکدیگر موازی هستند. وجه های غیر از پایه ها را وجه های جانبی و لبه های آنها را لبه های جانبی می نامند. تمام لبه های جانبی به عنوان بخش های موازی که با دو محدود شده اند با یکدیگر برابر هستند صفحات موازی. تمام وجوه جانبی منشور متوازی الاضلاع هستند. اضلاع متناظر پایه های منشور برابر و موازی هستند. منشوری که لبه کناری آن عمود بر صفحه قاعده باشد، منشورهای دیگر مایل نامیده می شوند. اساس یک منشور منظم است چند ضلعی منظم. تمام وجوه چنین منشوری مستطیل های مساوی هستند.

سطح منشور از دو پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است. ارتفاع منشور قطعه ای است که عمود مشترک بر صفحاتی است که پایه های منشور در آن قرار دارند. ارتفاع منشور فاصله است اچبین صفحات پایگاه ها

سطح جانبی اس b منشور مجموع مساحت وجوه جانبی آن است. سطح کل اس n یک منشور مجموع مساحت تمام وجوه آن است. اس n = اس b + 2 اس، کجا اس- مساحت پایه منشور، اسب - سطح جانبی.

36. چندوجهی که یک وجه دارد به نام اساس، - چند ضلعی،
و وجه های دیگر مثلث هایی هستند با راس مشترک به نام هرم .

چهره هایی غیر از پایه نامیده می شود جانبی
راس مشترک وجوه جانبی نامیده می شود بالای هرم
لبه های اتصال بالای هرم به رئوس قاعده نامیده می شود جانبی
ارتفاع هرم به عمودی گفته می شود که از بالای هرم به قاعده آن کشیده شده است.

هرم نامیده می شود درست، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و ارتفاع آن از مرکز قاعده عبور کند.

آپوتم لبه جانبی هرم منظمارتفاع این صورت کشیده شده از بالای هرم نامیده می شود.

صفحه ای موازی با قاعده هرم آن را به یک هرم مشابه قطع می کند و هرم کوتاه شده

خواص اهرام منظم

• لبه های جانبی هرم منظم برابر است.
• وجوه جانبی هرم منتظم مثلث هایی متساوی الساقین هستند که برابر یکدیگرند.

اگر تمام لبه های جانبی برابر باشند، پس

· ارتفاع به مرکز دایره محصور شده است.

دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.

اگر وجوه جانبی با همان زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، پس

· ارتفاع به مرکز دایره محاطی پیش بینی می شود.

· ارتفاع وجه های جانبی برابر است.

مساحت سطح جانبی برابر با نصف حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

37. تابع y=f(x)، که در آن x به مجموعه تعلق دارد اعداد طبیعی، تابع آرگومان طبیعی یا نامیده می شود دنباله عددی. با y=f(n) یا (y n) نشان داده می شود.

توالی ها را می توان مشخص کرد به طرق مختلف، به صورت شفاهی، ترتیب این ترتیب است اعداد اول:

2، 3، 5، 7، 11 و غیره

یک دنباله به صورت تحلیلی داده شده در نظر گرفته می شود اگر فرمول n ام آن داده شود:

1، 4، 9، 16، …، n 2، …

2) y n = C. چنین دنباله ای ثابت یا ثابت نامیده می شود. به عنوان مثال:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n = 2 n . به عنوان مثال،

2، 2 2، 2 3، 2 4، …، 2 n، …

به دنباله ای گفته می شود که در بالا محدود می شود اگر تمام عبارات آن حداکثر یک عدد معین باشد. به عبارت دیگر، اگر یک عدد M وجود داشته باشد که نابرابری y n کمتر یا مساوی با M باشد، یک دنباله را می توان محدود نامید. عدد M را کران بالای دنباله می نامند. به عنوان مثال، دنباله: -1، -4، -9، -16، ...، - n 2 ; محدود از بالا

به همین ترتیب، اگر تمام عبارات آن از یک عدد معین بزرگتر باشند، می توان دنباله ای را به صورت محدود در زیر نامید. اگر دنباله ای هم از بالا و هم در پایین محدود شود، محدود نامیده می شود.

اگر هر جمله بعدی از جمله قبلی بزرگتر باشد، دنباله ای افزایش نامیده می شود.

اگر هر عضو بعدی کمتر از عضو قبلی باشد، دنباله ای نزولی نامیده می شود. توالی های افزایشی و کاهشی با یک اصطلاح تعریف می شوند - توالی های یکنواخت.

دو دنباله را در نظر بگیرید:

1) y n: 1، 3، 5، 7، 9، …، 2n-1، …

2) x n: 1، ½، 1/3، 1/4، …، 1/n، …

اگر اصطلاحات این دنباله را روی خط اعداد ترسیم کنیم، متوجه می شویم که در حالت دوم، عبارت های دنباله حول یک نقطه متراکم شده اند، اما در مورد اول اینطور نیست. در چنین مواردی گفته می شود که دنباله y n واگرا و دنباله x n همگرا می شود.

عدد b حد دنباله y n نامیده می شود اگر هر همسایگی از پیش انتخاب شده نقطه b شامل تمام اعضای دنباله باشد که از یک عدد معین شروع می شود.

در این صورت می توانیم بنویسیم:

اگر ضریب یک پیشروی کمتر از یک مدول باشد، حد این دنباله، از آنجایی که x به بی نهایت میل می کند، برابر با صفر است.

اگر دنباله همگرا شود، فقط به یک حد

اگر دنباله همگرا شود، آنگاه محدود است.

قضیه وایرشتراس: اگر دنباله ای به صورت یکنواخت همگرا شود، آنگاه محدود است.

حد یک دنباله ساکن برابر هر جمله از دنباله است.

خواص:

1) حد مبلغ برابر است با مجموع حدود

2) حد یک محصول برابر است با حاصل ضرب حدود

3) حد نصاب برابر است با نصاب حد

4) فاکتور ثابت را می توان فراتر از علامت حد گرفت

سوال 38
مجموع پیشرفت هندسی بی نهایت

پیشرفت هندسی- دنباله ای از اعداد b 1, b 2, b 3,.. (اعضای پیشرفت) که در آن هر عدد بعدی که از عدد دوم شروع می شود از عدد قبلی با ضرب آن در عدد معین q (مخرج) بدست می آید. از پیشرفت)، که در آن b 1 ≠0، q ≠0.

مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایتعدد محدودی است که دنباله پیشرفت به آن همگرا می شود.

به عبارت دیگر، مهم نیست چقدر طولانی است پیشرفت هندسی، مجموع اعضای آن از عدد معینی بیشتر نیست و عملاً برابر این عدد است. این را مجموع یک پیشرفت هندسی می نامند.

هر پیشرفت هندسی چنین مجموع محدودی ندارد. فقط می تواند برای پیشرفتی باشد که مخرج آن عدد کسری کمتر از 1 باشد.