حل یک سیستم پیچیده تر از نابرابری ها. نابرابری ها انواع نابرابری ها II. تکرار و تثبیت مطالب تحت پوشش

آنچه باید در مورد نمادهای نابرابری بدانید؟ نابرابری با نماد بیشتر (> ) یا کمتر (< ) نامیده می شوند سختگیربا آیکون ها بزرگتر یا مساوی (≥ ), کمتر یا مساوی (≤ ) نامیده می شوند سختگیر نیستنماد برابر نیست (≠ ) از هم جدا می‌ماند، اما باید همیشه نمونه‌هایی را با این نماد حل کنید. و ما تصمیم خواهیم گرفت.)

آیکون به خودی خود تأثیر زیادی بر روند حل ندارد. اما در پایان تصمیم، هنگام انتخاب پاسخ نهایی، معنای نماد ظاهر می شود نیروی کامل! این همان چیزی است که در زیر در نمونه هایی خواهیم دید. اونجا جوک هست...

نابرابری ها نیز مانند برابری ها وجود دارند وفادار و بی وفاهمه چیز در اینجا ساده است، بدون ترفند. فرض کنید 5 > 2 یک نابرابری واقعی است. 5 < 2- نادرست

این آمادگی برای نابرابری ها کار می کند هر نوعو ساده تا حد وحشت.) شما فقط باید دو (فقط دو) عمل ابتدایی را به درستی انجام دهید. این اقدامات برای همه آشناست. اما مشخصاً اشتباه در این اقدامات، اشتباه اصلی در حل نابرابری ها است، بله... بنابراین، این اقدامات باید تکرار شود. این اقدامات به شرح زیر نامیده می شوند:

تبدیل های یکسان نابرابری ها.

تبدیل های یکسان نابرابری ها بسیار شبیه به تبدیل های یکسان معادلات است. در واقع این مشکل اصلی است. اختلافات از سر شما می گذرد و ... اینجا هستید.) بنابراین، من به ویژه این تفاوت ها را برجسته می کنم. بنابراین، اولین تبدیل یکسان نابرابری ها:

1. یک عدد یا عبارت یکسان را می توان به دو طرف نامساوی اضافه (کم کرد). هر این علامت نابرابری را تغییر نخواهد داد.

در عمل، این قانون به عنوان انتقال اصطلاحات از سمت چپ نابرابری به راست (و بالعکس) با تغییر علامت استفاده می شود. با تغییر علامت اصطلاح، نه نابرابری! قانون یک به یک همان قانون معادلات است. اما تبدیل‌های یکسان زیر در نابرابری‌ها به طور قابل‌توجهی با تبدیل‌های معادلات متفاوت است. بنابراین من آنها را با رنگ قرمز برجسته می کنم:

2. هر دو طرف نابرابری را می توان در یک چیز ضرب (تقسیم) کردمثبتشماره برای هرمثبت تغییر نخواهد کرد.

3. هر دو طرف نابرابری را می توان در یک چیز ضرب (تقسیم) کردمنفیشماره برای هرمنفیشماره علامت نابرابری از اینبرعکس تغییر خواهد کرد.

شما به یاد دارید (امیدوارم...) که معادله را می توان در هر چیزی ضرب/تقسیم کرد. و برای هر عدد و برای عبارتی با X. اگر فقط صفر نبود این باعث می شود او، معادله، نه گرم باشد و نه سرد.) تغییر نمی کند. اما نابرابری ها نسبت به ضرب/تقسیم حساس ترند.

یک مثال روشن برای حافظه طولانی. بیایید یک نابرابری بنویسیم که شک و شبهه ایجاد نکند:

5 > 2

هر دو طرف را در ضرب کنید +3, دریافت می کنیم:

15 > 6

اعتراضی دارید؟ هیچ ایرادی وجود ندارد.) و اگر هر دو طرف نابرابری اصلی را در ضرب کنیم -3, دریافت می کنیم:

15 > -6

و این یک دروغ محض است.) دروغ کامل! فریب مردم! اما به محض اینکه علامت نابرابری را به علامت مخالف تغییر دهید، همه چیز در جای خود قرار می گیرد:

15 < -6

من فقط به دروغ و فریب سوگند نمی خورم.) "فراموش کردم علامت مساوی را تغییر دهم..."- این خانهخطا در حل نابرابری ها این قانون پیش پا افتاده و ساده خیلی ها را آزار داده است! که فراموش کردند...) پس قسم می خورم. شاید یادم بیاد...)

مخصوصاً افراد با دقت متوجه خواهند شد که نابرابری را نمی توان با یک عبارت با X ضرب کرد. احترام به کسانی که حواسشون هست!) چرا که نه؟ پاسخ ساده است. ما علامت این عبارت را با X نمی دانیم. می تواند مثبت باشد، منفی... بنابراین نمی دانیم بعد از ضرب کدام علامت نامساوی را بگذاریم. عوضش کنم یا نه؟ ناشناس. البته این محدودیت (ممنوعیت ضرب/تقسیم نابرابری در عبارتی با x) قابل دور زدن است. اگر واقعا به آن نیاز دارید. اما این موضوع برای دروس دیگر است.

این همه دگرگونی های یکسان نابرابری هاست. اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که آنها برای آنها کار می کنند هرنابرابری ها اکنون می توانید به سراغ انواع خاصی بروید.

نابرابری های خطی راه حل، مثال

نابرابری های خطی نابرابری هایی هستند که x در توان اول است و تقسیم بر x وجود ندارد. نوع:

x+3 > 5x-5

چگونه چنین نابرابری هایی حل می شود؟ حل آنها بسیار آسان است! یعنی: با کمک ما گیج کننده ترین نابرابری خطی را کاهش می دهیم مستقیم به پاسخراه حل همین است. من نکات اصلی تصمیم را برجسته می کنم. برای جلوگیری از اشتباهات احمقانه.)

بیایید این نابرابری را حل کنیم:

x+3 > 5x-5

ما دقیقاً به همان روش حل می کنیم معادله خطی. با تنها تفاوت:

علامت نابرابری را به دقت رصد می کنیم!

اولین مرحله رایج ترین است. با X - به چپ، بدون X - به راست... این اولین تبدیل یکسان، ساده و بدون دردسر است.) فقط فراموش نکنید که علائم عبارت های منتقل شده را تغییر دهید.

علامت نابرابری باقی می ماند:

x-5x > -5-3

در اینجا موارد مشابه وجود دارد.

علامت نابرابری باقی می ماند:

4 برابر > -8

باقی مانده است که آخرین تبدیل یکسان را اعمال کنیم: هر دو طرف را بر -4 تقسیم کنید.

تقسیم بر منفیشماره

علامت نابرابری به عکس تغییر خواهد کرد:

X < 2

این پاسخ است.

به این ترتیب تمام نابرابری های خطی حل می شوند.

توجه! نقطه 2 سفید کشیده شده است، یعنی. بدون رنگ داخلش خالیه یعنی او در پاسخ گنجانده نشده است! من او را خیلی سالم از عمد کشیدم. به چنین نقطه ای (خالی، نه سالم!)) در ریاضیات گفته می شود نقطه سوراخ شده

اعداد باقیمانده روی محور را می توان علامت گذاری کرد، اما ضروری نیست. اعداد اضافی که به نابرابری ما مربوط نمی شوند می توانند گیج کننده باشند، بله... فقط باید به یاد داشته باشید که اعداد در جهت فلش افزایش می یابند. اعداد 3، 4، 5 و غیره هستند به سمت راستدو تا هستند و اعداد 1، 0، -1 و غیره هستند. - به سمت چپ

نابرابری x < 2 - سختگیر X به شدت کمتر از دو است. اگر شک دارید، بررسی ساده است. عدد مشکوک را جایگزین نابرابری می کنیم و فکر می کنیم: "البته دو کمتر از دو است!" درست است. نابرابری 2 < 2 نادرستدو در ازای آن مناسب نیست.

یکی خوبه؟ قطعا. کمتر... و صفر خوب است و 17- و 0.34... بله همه اعدادی که کمتر از دو هستند خوب هستند! و حتی 1.9999 .... حداقل کمی، اما کمتر!

پس بیایید همه این اعداد را روی محور اعداد علامت گذاری کنیم. چگونه؟ در اینجا گزینه هایی وجود دارد. گزینه یک - سایه زدن. ماوس را روی تصویر می‌بریم (یا تصویر را روی تبلت لمس می‌کنیم) و می‌بینیم که ناحیه تمام xهایی که شرط x را دارند سایه‌دار است. < 2 . همین است.

بیایید با استفاده از مثال دوم به گزینه دوم نگاه کنیم:

X ≥ -0,5

یک محور بکشید و عدد -0.5 را علامت بزنید. مثل این:

به تفاوت توجه کنید؟) خوب، بله، سخت است که متوجه نشوید... این نقطه سیاه است! رنگ شده این به معنای -0.5 است در پاسخ گنجانده شده است.در اینجا، به هر حال، تأیید ممکن است کسی را گیج کند. بیایید جایگزین کنیم:

-0,5 ≥ -0,5

چطور؟ -0.5 بیشتر از -0.5 نیست! و نمادهای بیشتری وجود دارد ...

اشکالی ندارد. در یک نابرابری غیر دقیق، هر چیزی که با نماد مطابقت دارد مناسب است. و برابر استخوب، و بیشترخوب بنابراین 0.5- در پاسخ گنجانده شده است.

بنابراین، ما -0.5 را در محور علامت گذاری کردیم، باقی می ماند که تمام اعداد بزرگتر از -0.5 را علامت گذاری کنیم. این بار ناحیه مقادیر x مناسب را مشخص می کنم تعظیم(از کلمه قوس) به جای سایه زدن. ماوسور را روی نقاشی می کشیم و این کمان را می بینیم.

تفاوت خاصی بین سایه و بازوها وجود ندارد. همانطور که معلم می گوید عمل کنید. اگر معلمی وجود ندارد، قوس ها را بکشید. در بیشتر کارهای دشوارسایه کمتر آشکار است. ممکن است گیج شوید.

اینگونه است که نابرابری های خطی روی یک محور رسم می شوند. اجازه دهید به ویژگی بعدی نابرابری ها برویم.

نوشتن پاسخ برای نابرابری ها.

معادلات خوب بود.) x را پیدا کردیم و جواب را یادداشت کردیم، برای مثال: x=3. دو شکل برای نوشتن پاسخ در نابرابری ها وجود دارد. یکی به شکل نابرابری نهایی است. برای موارد ساده خوبه به عنوان مثال:

X< 2.

این یک پاسخ کامل است.

گاهی اوقات لازم است یک چیز را بنویسید، اما به شکلی متفاوت، در فواصل زمانی عددی. سپس ضبط بسیار علمی به نظر می رسد):

x ∈ (-∞؛ 2)

زیر نماد ∈ کلمه پنهان است "متعلق"

ورودی به این صورت است: x متعلق به بازه منهای بی نهایت تا دو است شامل نمی شود. کاملا منطقی X می تواند هر عددی از تمام اعداد ممکن از منهای بی نهایت تا دو باشد. نمی تواند یک X دوتایی وجود داشته باشد، چیزی که کلمه به ما می گوید "غیر شامل".

و در کجای پاسخ مشخص است که "غیر شامل"? این حقیقت در پاسخ آمده است گردبراکت بلافاصله بعد از این دو. اگر این دو گنجانده می شد، براکت می شد مربعاینجاست:]. مثال زیر از چنین پرانتزی استفاده می کند.

بیایید پاسخ را یادداشت کنیم: x ≥ -0,5 در فواصل زمانی:

x ∈ [-0.5; +∞)

می خواند: x متعلق به بازه منهای 0.5 است، از جمله،به اضافه بی نهایت

بی نهایت هرگز نمی تواند روشن شود. این یک عدد نیست، یک نماد است. بنابراین، در چنین نمادهایی، بی نهایت همیشه در مجاورت یک پرانتز است.

این شکل از ضبط برای پاسخ های پیچیده متشکل از چندین فضا مناسب است. اما - فقط برای پاسخ های نهایی. در نتایج میانی، جایی که راه حل بیشتری انتظار می رود، بهتر است از شکل معمول، به شکل یک نابرابری ساده استفاده شود. در تاپیک های مربوطه به این موضوع خواهیم پرداخت.

کارهای محبوب با نابرابری.

خود نابرابری های خطی ساده هستند. بنابراین، وظایف اغلب دشوارتر می شوند. پس باید فکر کرد. این، اگر به آن عادت ندارید، خیلی خوشایند نیست.) اما مفید است. من نمونه هایی از چنین وظایفی را نشان خواهم داد. نه برای شما که آنها را یاد بگیرید، غیر ضروری است. و برای اینکه هنگام ملاقات با چنین نمونه هایی نترسید. فقط کمی فکر کنید - و این ساده است!)

1. هر دو راه حل برای نابرابری 3x - 3 پیدا کنید< 0

اگر خیلی واضح نیست که چه کاری باید انجام دهید، قانون اصلی ریاضیات را به خاطر بسپارید:

اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه را که می توانید انجام دهید!)

X < 1

و چی؟ چیز خاصی نیست از ما چه می پرسند؟ از ما خواسته می شود دو عدد خاص را که راه حل یک نابرابری هستند، پیدا کنیم. آن ها متناسب با پاسخ دو هراعداد در واقع، این گیج کننده است.) یک زوج 0 و 0.5 مناسب هستند. یک زوج -3 و -8. تعداد این زوج ها بی نهایت است! کدام پاسخ صحیح است؟!

پاسخ می دهم: همه چیز! هر جفت عددی که هر کدام کوچکتر از یک باشد، پاسخ صحیح خواهد بود.بنویس که کدام را میخواهی بیایید ادامه دهیم.

2- نابرابری را حل کنید:

4x - 3 ≠ 0

وظایف در این شکل نادر است. اما، به عنوان نابرابری های کمکی، برای مثال، هنگام یافتن ODZ، یا هنگام یافتن دامنه تعریف یک تابع، همیشه رخ می دهند. چنین نابرابری خطی را می توان به عنوان یک معادله خطی معمولی حل کرد. فقط همه جا به جز علامت "=" ( برابر است) علامت بگذار " ≠ " (برابر نیست). به این صورت با علامت نابرابری به پاسخ نزدیک می شوید:

X ≠ 0,75

در بیشتر نمونه های پیچیده، بهتر است کارها را متفاوت انجام دهید. از برابری نابرابری بسازید. مثل این:

4x - 3 = 0

همانطور که آموزش داده شده با آرامش حل کنید و جواب بگیرید:

x = 0.75

نکته اصلی این است که در پایان، هنگام نوشتن پاسخ نهایی، فراموش نکنید که ما x را پیدا کردیم، که نشان می دهد برابریو ما نیاز داریم - نابرابریبنابراین، ما واقعاً به این X نیاز نداریم.) و باید آن را با نماد صحیح یادداشت کنیم:

X ≠ 0,75

این رویکرد منجر به خطاهای کمتری می شود. کسانی که معادلات را به صورت خودکار حل می کنند. و برای کسانی که معادلات را حل نمی کنند، نابرابری ها در واقع هیچ فایده ای ندارند...) مثال دیگری از یک کار رایج:

3. کوچکترین راه حل عدد صحیح نابرابری را پیدا کنید:

3 (x - 1) < 5x + 9

ابتدا به سادگی نابرابری را حل می کنیم. براکت ها را باز می کنیم، آنها را جابجا می کنیم، موارد مشابه را می آوریم ... دریافت می کنیم:

X > - 6

اینطوری نشد!؟ آیا علائم را رعایت کردید!؟ و پشت نشانه های اعضا و پشت نشانه نابرابری...

بیایید دوباره فکر کنیم. باید عدد خاصی را پیدا کنیم که هم با پاسخ و هم با شرط مطابقت داشته باشد "کوچکترین عدد صحیح".اگر فوراً برای شما روشن نشد، می توانید هر عددی را بردارید و آن را بفهمید. دو روی منهای شش؟ حتما! آیا عدد کوچکتر مناسبی وجود دارد؟ البته. به عنوان مثال، صفر بزرگتر از -6 است. و حتی کمتر؟ ما به کوچکترین چیز ممکن نیاز داریم! منهای سه بیشتر از منهای شش است! شما از قبل می توانید الگو را بگیرید و از مرور احمقانه اعداد دست بردارید، درست است؟)

بیایید عددی را به -6 نزدیکتر کنیم. به عنوان مثال، -5. پاسخ برآورده شد، -5 > - 6. آیا می توان عدد دیگری را کوچکتر از -5 اما بزرگتر از -6 پیدا کرد؟ میتونی مثلا -5.5... بس کن! به ما گفته می شود کلراه حل! رول نمی شود -5.5! منهای شش چطور؟ اوه اوه! نابرابری سخت است، منهای 6 به هیچ وجه کمتر از منهای 6 نیست!

بنابراین، پاسخ صحیح -5 است.

امیدوارم با انتخابی از مقادیر از راه حل کلیهمه چیز روشن است مثال دیگر:

4. حل نابرابری:

7 < 3x+1 < 13

عجب! این عبارت نامیده می شود نابرابری سه گانهبه بیان دقیق، این یک شکل کوتاه شده از یک سیستم نابرابری است. اما چنین نابرابری های سه گانه هنوز باید در برخی از کارها حل شوند ... بدون هیچ سیستمی قابل حل است. با توجه به همان تحولات یکسان.

ما باید ساده کنیم، این نابرابری را به X خالص برسانیم. اما... چه چیزی باید به کجا منتقل شود؟! این جایی است که زمان آن است که به یاد داشته باشید که حرکت به چپ و راست است فرم کوتاهاولین تحول هویت

الف فرم کاملبه نظر می رسد این است: هر عدد یا عبارتی را می توان به دو طرف معادله اضافه یا کم کرد (نابرابری).

در اینجا سه ​​بخش وجود دارد. بنابراین ما تبدیل های یکسان را برای هر سه قسمت اعمال خواهیم کرد!

بنابراین، بیایید از شر آنی که در قسمت میانی نابرابری قرار دارد خلاص شویم. بیایید یک را از کل قسمت وسط کم کنیم. برای اینکه نابرابری تغییر نکند از دو قسمت باقیمانده یکی کم می کنیم. مثل این:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3 برابر < 12

این بهتر است، درست است؟) تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر سه قسمت را به سه قسمت تقسیم کنیم:

2 < X < 4

همین است. این پاسخ است. X می تواند هر عددی از دو (غیر شامل) تا چهار (غیر شامل) باشد. این پاسخ نیز در فواصل زمانی نوشته شده است. در آنجا آنها رایج ترین چیز هستند.

در پایان درس مهمترین چیز را تکرار می کنم. موفقیت در حل نابرابری های خطی به توانایی تبدیل و ساده سازی معادلات خطی بستگی دارد. اگر در همان زمان مراقب علامت نابرابری باشید،هیچ مشکلی وجود نخواهد داشت این چیزی است که من برای شما آرزو می کنم. بدون مشکل.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

برای مثال، نابرابری عبارت \(x>5\) است.

انواع نابرابری ها:

اگر \(a\) و \(b\) اعداد یا اعداد باشند، نابرابری فراخوانی می شود عددی. این در واقع فقط مقایسه دو عدد است. این گونه نابرابری ها به دو دسته تقسیم می شوند وفادارو بی وفا.

به عنوان مثال:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) یک نابرابری عددی نادرست است، زیرا \(17+3=20\)، و \(20\) کمتر از \(115\) است (و بزرگتر یا مساوی نیست) .

اگر \(a\) و \(b\) عباراتی هستند که دارای یک متغیر هستند، آنگاه داریم نابرابری با متغیر. این نابرابری ها بسته به محتوا به انواع زیر تقسیم می شوند:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				فقط به توان اول متغیر است
\(3x^2-x+5>0\)				یک متغیر در توان دوم (مربع) وجود دارد، اما هیچ قدرت بالاتر (سوم، چهارم و غیره) وجود ندارد.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... و غیره.

راه حل یک نابرابری چیست؟

اگر عددی را به جای متغیر با نامساوی جایگزین کنید، به عددی تبدیل می شود.

اگر مقدار داده شده برای x، نابرابری اصلی را به یک عدد واقعی تبدیل کند، آنگاه نامساوی می شود راه حل برای نابرابری. اگر نه، پس این مقدار راه حل نیست. و به این ترتیب حل نابرابری- باید تمام راه حل های آن را پیدا کنید (یا نشان دهید که هیچ کدام وجود ندارد).

به عنوان مثال،اگر عدد \(7\) را با نامساوی خطی \(x+6>10\) جایگزین کنیم، نابرابری عددی صحیح را بدست می آوریم: \(13>10\). و اگر \(2\) را جایگزین کنیم، یک نابرابری عددی نادرست \(8>10\) وجود خواهد داشت. یعنی \(7\) راه حلی برای نابرابری اصلی است، اما \(2\) نیست.

با این حال، نابرابری \(x+6>10\) راه حل های دیگری نیز دارد. در واقع، با جایگزین کردن \(5\) و \(12\) و \(138\) به نابرابری های عددی صحیح خواهیم رسید... و چگونه می توانیم همه راه حل های ممکن را پیدا کنیم؟ برای این کار آنها برای مورد ما استفاده می کنند:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

یعنی هر عددی بزرگتر از چهار برای ما مناسب است. اکنون باید پاسخ را یادداشت کنید. راه‌حل‌های نابرابری‌ها معمولاً به صورت عددی نوشته می‌شوند، علاوه بر این، آنها را روی محور اعداد با سایه‌زنی علامت‌گذاری می‌کنند. برای مورد ما داریم:

پاسخ: \(x\in(4;+\infty)\)

چه زمانی علامت نابرابری تغییر می کند؟

یک تله بزرگ در نابرابری‌ها وجود دارد که دانش‌آموزان واقعاً دوست دارند در آن بیفتند:

هنگام ضرب (یا تقسیم) یک نابرابری در یک عدد منفی، آن را برعکس می کنیم ("بیشتر" با "کمتر"، "بیشتر یا مساوی" با "کمتر یا مساوی" و غیره)

چرا این اتفاق می افتد؟ برای درک این موضوع، اجازه دهید به تبدیل نابرابری عددی \(3>1\) نگاه کنیم. درست است، سه در واقع بزرگتر از یک است. ابتدا بیایید سعی کنیم آن را در هر عدد مثبت ضرب کنیم، به عنوان مثال، دو:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

همانطور که می بینیم، پس از ضرب، نابرابری درست باقی می ماند. و مهم نیست که در چه عدد مثبتی ضرب کنیم، همیشه نابرابری صحیح را بدست خواهیم آورد. حالا بیایید سعی کنیم در آن ضرب کنیم عدد منفیمثلا منهای سه:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

نتیجه یک نابرابری نادرست است، زیرا منهای نه کمتر از منهای سه است! یعنی، برای اینکه نابرابری درست شود (و بنابراین، تبدیل ضرب در منفی "قانونی" بود)، باید علامت مقایسه را معکوس کنید، مانند این: \(-9<− 3\).
با تقسیم کار به همین صورت انجام می شود، می توانید خودتان آن را بررسی کنید.

قاعده نوشته شده در بالا برای همه انواع نابرابری ها اعمال می شود، نه فقط عددی.

مثال: نابرابری \(2(x+1)-1 را حل کنید<7+8x\)
راه حل:

\(2x+2-1<7+8x\)	بیایید \(8x\) را به سمت چپ و \(2\) و \(-1\) را به سمت راست حرکت دهیم و فراموش نکنیم که علائم را تغییر دهیم.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	بیایید هر دو طرف نابرابری را بر \(-6\) تقسیم کنیم، فراموش نکنیم که از "کمتر" به "بیشتر" تغییر کنیم.
	بیایید یک فاصله عددی روی محور مشخص کنیم. نابرابری، بنابراین ما خود مقدار \(-1\) را "خارج" می کنیم و آن را به عنوان پاسخ در نظر نمی گیریم.
	جواب را به صورت فاصله ای بنویسیم

پاسخ: \(x\in(-1;\infty)\)

نابرابری و ناتوانی

نابرابری ها، درست مانند معادلات، می توانند محدودیت هایی روی مقادیر x داشته باشند. بر این اساس، مقادیری که طبق DZ غیرقابل قبول هستند باید از محدوده راه حل ها حذف شوند.

مثال: حل نابرابری \(\sqrt(x+1)<3\)

راه حل: واضح است که برای اینکه سمت چپ کمتر از \(3\) باشد، عبارت رادیکال باید کمتر از \(9\) باشد (بالاخره از \(9\) فقط \(3\)). دریافت می کنیم:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

همه؟ هر مقدار x کوچکتر از \(8\) برای ما مناسب است؟ نه! زیرا اگر مثلاً مقدار \(-5\) را بگیریم که به نظر می رسد با شرط مطابقت دارد، راه حلی برای نابرابری اصلی نخواهد بود، زیرا ما را به محاسبه ریشه یک عدد منفی سوق می دهد.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

بنابراین، ما باید محدودیت های مقدار X را نیز در نظر بگیریم - نمی تواند به گونه ای باشد که یک عدد منفی در زیر ریشه وجود داشته باشد. بنابراین، ما شرط دوم را برای x داریم:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

و برای اینکه x راه حل نهایی باشد، باید هر دو شرط را به طور همزمان برآورده کند: باید کمتر از \(8\) (برای حل بودن) و بزرگتر از \(-1\) (در اصل قابل قبول باشد). با رسم آن بر روی خط اعداد، پاسخ نهایی را داریم:

پاسخ: \(\چپ[-1;8\راست)\)

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها با استفاده از فرمول خاصی حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه آموزش داده می شود:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

به جای چک باکس "∨"، می توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: بیشتر یا کمتر. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است.

به این ترتیب از لگاریتم خلاص می شویم و مسئله را به یک نابرابری منطقی تقلیل می دهیم. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را بیابید. اگر ODZ یک لگاریتم را فراموش کرده اید، من قویاً توصیه می کنم آن را تکرار کنید - به "لگاریتم چیست" مراجعه کنید.

همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را با حل نابرابری منطقی قطع کنیم - و پاسخ آماده است.

وظیفه حل نابرابری:

ابتدا بیایید ODZ لگاریتم را بنویسیم:

دو نابرابری اول به طور خودکار برآورده می شوند، اما آخرین نابرابری باید نوشته شود. از آنجایی که مربع یک عدد صفر است اگر و فقط اگر خود عدد صفر باشد، داریم:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

معلوم می شود که ODZ لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم:

ما از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی گذر می کنیم. نابرابری اصلی دارای علامت "کمتر از" است، به این معنی که نابرابری حاصل باید علامت "کمتر از" نیز داشته باشد. ما داریم:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

صفرهای این عبارت عبارتند از: x = 3; x = -3; x = 0. علاوه بر این، x = 0 یک ریشه از کثرت دوم است، به این معنی که هنگام عبور از آن، علامت تابع تغییر نمی کند. ما داریم:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) را دریافت می کنیم. این مجموعه به طور کامل در ODZ لگاریتم موجود است، به این معنی که این پاسخ است.

تبدیل نابرابری های لگاریتمی

اغلب نابرابری اصلی با نابرابری بالا متفاوت است. این را می توان به راحتی با استفاده از قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم اصلاح کرد - به "ویژگی های اساسی لگاریتم ها" مراجعه کنید. یعنی:

1. هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد.
2. مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه های یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد.

به طور جداگانه، من می خواهم به شما در مورد محدوده مقادیر قابل قبول یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است VA هر یک از آنها را پیدا کنید. بنابراین، طرح کلی برای حل نابرابری های لگاریتمی به شرح زیر است:

1. VA هر لگاریتم موجود در نابرابری را بیابید.
2. با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به یک استاندارد کاهش دهید.
3. نابرابری حاصل را با استفاده از طرح بالا حل کنید.

وظیفه حل نابرابری:

بیایید دامنه تعریف (DO) لگاریتم اول را پیدا کنیم:

با استفاده از روش فاصله حل می کنیم. پیدا کردن صفرهای صورتگر:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

سپس - صفرهای مخرج:

x − 1 = 0;
x = 1.

روی فلش مختصات صفرها و علائم را علامت گذاری می کنیم:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) را بدست می آوریم. لگاریتم دوم VA یکسان خواهد داشت. اگر باور ندارید، می توانید آن را بررسی کنید. حالا لگاریتم دوم را طوری تبدیل می کنیم که پایه دو شود:

همانطور که می بینید، سه گانه در پایه و جلوی لگاریتم کاهش یافته است. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آوردیم. بیایید آنها را جمع کنیم:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ما نابرابری لگاریتمی استاندارد را به دست آوردیم. با استفاده از فرمول از شر لگاریتم خلاص می شویم. از آنجایی که نابرابری اصلی حاوی علامت "کمتر از" است، عبارت منطقی حاصل نیز باید کمتر از صفر باشد. ما داریم:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1؛ 3).

ما دو ست گرفتیم:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. پاسخ داوطلب: x ∈ (-1; 3).

باقی مانده است که این مجموعه ها را قطع کنیم - پاسخ واقعی را می گیریم:

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مندیم، بنابراین بازه هایی را انتخاب می کنیم که روی هر دو فلش سایه زده می شوند. x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) را دریافت می کنیم - همه نقاط سوراخ می شوند.

هدف درس: حل نابرابری های پیچیده تر را در نظر بگیرید.

پیشرفت درس

I. بیان موضوع و هدف درس.

II. تکرار و تثبیت مطالب تحت پوشش.

1. پاسخ به سوالات مربوط به تکالیف (تحلیل مسائل حل نشده).

2. نظارت بر جذب مواد (آزمون).

III. یادگیری مطالب جدید.

حل نابرابری های پیچیده با ماژول ها یا پارامترهای موجود در آنها.

اجازه دهید نابرابری |x – 1| را حل کنیم < 3.

ابتدا بیایید این نابرابری را با در نظر گرفتن دو مورد به صورت تحلیلی حل کنیم:

الف) اگر x – 1 > 0، یعنی x > 1، آنگاه |x – 1| = x – 1 و نابرابری شبیه x – 1 است< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1، در این حالت راه حل 1 را به دست می آوریم< х < 4 или х [ 1; 4).

ب) اگر x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

ما اتحاد راه حل های به دست آمده را پیدا می کنیم.

از آنجایی که نوشتن پاسخ در مسائل مربوط به پارامترها بسیار مهم است (پاسخ به ترتیب صعودی پارامتر نوشته می شود)، پاسخ کامل را می دهیم:

وقتی یک< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-؛ a + 1].

حال بیایید به نابرابری های خطی در دو متغیر نگاه کنیم. به عنوان یک قاعده، چنین مشکلاتی به نمایش مجموعه ای از نقاط کاهش می یابد که مختصات آنها نابرابری را در صفحه مختصات برآورده می کند.

روشن هواپیمای مختصاتاجازه دهید مجموعه ای از نقاط را به تصویر بکشیم که مختصات آنها نابرابری y-2 > x-3 را برآورده می کند.

بیایید این نابرابری را به شکل y > x-1 بنویسیم. ابتدا تابع خطی y = x-1 را رسم می کنیم (خط مستقیم). این خط تمام نقاط صفحه مختصات را به نقاط واقع در این خط و نقاط واقع در زیر این خط تقسیم می کند. بیایید بررسی کنیم که کدام نقاط این نابرابری را برآورده می کنند.

از ناحیه اول، برای مثال، نقطه کنترل A (0؛ 0) - مبدا مختصات را در نظر بگیرید. به راحتی می توان بررسی کرد که در این صورت نابرابری y > -1 برقرار است. از ناحیه دوم، برای مثال، نقطه کنترل B (1; -1) را انتخاب می کنیم. برای چنین نقطه ای نابرابری y > x-1 برقرار نیست. در نتیجه، این نابرابری توسط نقاط واقع در بالا و روی خط مستقیم y = x-1 (یعنی نقاطی شبیه به نقطه A) برآورده می شود. این نقاط سایه دار هستند.

برای چه مقادیری از پارامتر a معادله ax 2 + x – 1 = 0 هیچ راه حلی ندارد؟

از آنجایی که ضریب پیشرو معادله به پارامتر a بستگی دارد، در نظر گرفتن دو حالت ضروری است.

الف) اگر a 0 باشد، معادله ax 2 + x – 1 = 0 درجه دوم است. چنین معادله ای راه حلی ندارد اگر ممیز آن D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

ب) اگر a = 0 باشد، معادله ax 2 + x – 1 = 0 خطی است و به شکل x – 1 = 0 است. بدیهی است که معادله یک جواب منحصر به فرد x = 1 دارد.

بنابراین، برای یک (-;-) معادله داده شدههیچ راه حلی ندارد

اجازه دهید نابرابری |x – 1| را حل کنیم + x 2 + 2 x + 1< 0.

اجازه دهید نامساوی را به شکل |x – 1| بنویسیم + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 و a 2 > 0 برای همه مقادیر a، سپس مجموع

|a| + a 2 > 0 برای همه a. بنابراین نابرابری، |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

انواع مشابهی از نابرابری با دو متغیر وجود دارد.

در صفحه مختصات مجموعه ای از نقاط را نشان می دهیم که مختصات آنها نابرابری y-1 را برآورده می کند.< х 2 .

اجازه دهید نامساوی را به شکل y بنویسیم< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. تکلیف در کلاس و در منزل.

1- نابرابری را به صورت تحلیلی حل کنید:

2. برای همه مقادیر a، نابرابری را حل کنید:

3. معادله در چه مقادیری از پارامتر a انجام می شود

الف) 3x 2 – 2x + a = 0 بدون ریشه است.
ب) 2x 2 – 3x + 5a = 0 دارای دو ریشه متفاوت است.
ج) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 دارای دو ریشه متفاوت است.
د) ax 2 – 3x + 2 = 0 حداقل یک ریشه دارد.

4. نابرابری ها را به صورت تحلیلی (و در صورت امکان، گرافیکی) حل کنید:

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. ما به شما به وضوح در مورد چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از اینکه به حل نابرابری ها با استفاده از مثال نگاه کنیم، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریعبارتی است که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حرفی باشند.
نابرابری های دارای دو علامت نسبت را دو، سه - سه و غیره می نامند. به عنوان مثال:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا - سختگیر نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق خواهد بود.
"حل نابرابری" به این معنی است که ما باید مجموعه ای از همه راه حل های آن را پیدا کنیم روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریآنها از خط عددی استفاده می کنند که بی نهایت است. به عنوان مثال، راه حل برای نابرابری x > 3 بازه 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری سخت است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با پرانتز مشخص می شود. علامت به معنای "تعلق" است.
بیایید نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از مثال دیگری با علامت بررسی کنیم:
x 2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x)