درس عملی با موضوع توابع مثلثاتی معکوس. "توابع مثلثاتی معکوس" - سند. اشکال فعالیت های آموزشی

آژانس فدرال آموزش فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه دولتی ماری"

گروه ریاضی و MPM

کار درسی

توابع مثلثاتی معکوس

تکمیل شد:

دانشجو

33 گروه JNF

یشمتوا L. N.

سرپرست علمی:

دکتری دانشیار

بورودینا M.V.

یوشکار اولا

مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

فصل اول. تعریف توابع مثلثاتی معکوس.

1.1. تابع y =آرکسین x……………………………………………………........4

1.2. تابع y =آرکوس x…………………………………………………….......5

1.3. تابع y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. تابع y =arcctg x…………………………………………………….......7

فصل دوم. حل معادلات با توابع مثلثاتی معکوس.

روابط پایه برای توابع مثلثاتی معکوس....8

حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس……………………………………………………………………………………..11

محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی معکوس............21

نتیجه………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

فهرست مراجع………………………………………………………………………………………………………………………………

مقدمه

در بسیاری از مسائل، نه تنها مقادیر توابع مثلثاتی از یک زاویه معین، بلکه برعکس، یک زاویه یا قوس از یک مقدار معین از یک تابع مثلثاتی نیز نیاز است.

مشکلات مربوط به توابع مثلثاتی معکوس در تکالیف آزمون یکپارچه ایالت (به ویژه در بخش های B و C بسیاری) وجود دارد. به عنوان مثال، در بخش B آزمون یکپارچه دولت، لازم بود از مقدار سینوس (کسینوس) برای یافتن مقدار متناظر مماس یا محاسبه مقدار یک عبارت حاوی مقادیر جدول بندی شده توابع مثلثاتی معکوس استفاده شود. در مورد این نوع وظایف، متذکر می شویم که چنین وظایفی در کتاب های درسی مدرسه برای ایجاد مهارت قوی در اجرای آنها کافی نیست.

که هدف از این درس، در نظر گرفتن توابع مثلثاتی معکوس و خواص آنها و یادگیری نحوه حل مسائل با توابع مثلثاتی معکوس است.

برای رسیدن به هدف، باید وظایف زیر را حل کنیم:

مطالعه مبانی نظری توابع مثلثاتی معکوس،

کاربرد دانش نظری را در عمل نشان دهید.

فصلمن. تعریف توابع مثلثاتی معکوس

1.1. تابع y =آرکسینx

تابع را در نظر بگیرید،
. (1)

در این بازه تابع یکنواخت است (از 1- به 1 افزایش می یابد) بنابراین یک تابع معکوس وجود دارد.

,
. (2)

هر مقدار داده شده در(مقدار سینوسی) از بازه [-1،1] با یک مقدار کاملاً تعریف شده مطابقت دارد X(قدر قوس) از بازه
. با حرکت به نماد پذیرفته شده کلی، دریافت می کنیم

کجا
. (3)

این مشخصات تحلیلی تابع معکوس تابع (1) است. تابع (3) نامیده می شود آرکسیناستدلال . نمودار این تابع یک منحنی متقارن با نمودار تابع است که در آن نسبت به نیمساز زوایای مختصات I و III است.

اجازه دهید ویژگی های تابع را ارائه دهیم، جایی که .

ملک 1.ناحیه تغییر مقدار تابع: .

ملک 2.تابع فرد است، یعنی

ملک 3.تابع، جایی که، یک ریشه دارد
.

ملک 4.اگر، پس
; اگر ، آن

ملک 5.تابع یکنواخت است: با افزایش آرگومان از -1 به 1، مقدار تابع از افزایش می یابد
به
.

1.2. تابعy = arباcosx

تابع را در نظر بگیرید
, . (4)

در این بازه تابع یکنواخت است (از 1+ به 1- کاهش می یابد) یعنی تابع معکوس برای آن وجود دارد.

, , (5)

آن ها هر مقدار (مقادیر کسینوس) از بازه [-1،1] مربوط به یک مقدار کاملاً تعریف شده (مقادیر قوس) از بازه است. با حرکت به نماد پذیرفته شده کلی، دریافت می کنیم

, . (6)

این مشخصات تحلیلی تابع معکوس تابع (4) است. تابع (6) نامیده می شود کسینوس قوسیاستدلال X. نمودار این تابع را می توان بر اساس ویژگی های نمودارهای توابع معکوس متقابل ساخت.

تابع، Where، دارای ویژگی های زیر است.

ملک 1.ناحیه تغییر مقدار تابع:
.

ملک 2.مقادیر
و
مرتبط با رابطه

ملک 3.تابع یک ریشه دارد
.

ملک 4.تابع مقادیر منفی را نمی پذیرد.

ملک 5.تابع یکنواخت است: با افزایش آرگومان از -1 به +1، مقادیر تابع از 0 کاهش می یابد.

1.3. تابعy = arctgx

تابع را در نظر بگیرید
,
. (7)

توجه داشته باشید که این تابع برای تمام مقادیری که دقیقاً در بازه از تا قرار دارند تعریف شده است. در انتهای این فاصله وجود ندارد، زیرا مقادیر

- نقاط شکست مماس

در بین
تابع یکنواخت است (افزایش می یابد از -
به
بنابراین، برای تابع (1) یک تابع معکوس وجود دارد:

,
, (8)

آن ها هر مقدار داده شده (مقدار مماس) از بازه
مربوط به یک مقدار بسیار خاص (اندازه قوس) از فاصله است.

با حرکت به نماد پذیرفته شده کلی، دریافت می کنیم

,
. (9)

این مشخصات تحلیلی تابع معکوس (7) است. تابع (9) نامیده می شود متقاطعاستدلال X. توجه داشته باشید که وقتی
مقدار تابع
، و چه زمانی

، یعنی نمودار تابع دو مجانب دارد:
و.

تابع، دارای ویژگی های زیر است.

ملک 1.محدوده تغییر مقادیر تابع
.

ملک 2.تابع فرد است، یعنی .

ملک 3.تابع یک ریشه دارد.

ملک 4.اگر
، آن

; اگر ، آن
.

ملک 5.تابع یکنواخت است: با افزایش آرگومان از به، مقدار تابع از + افزایش می یابد.

1.4. تابعy = arcctgx

تابع را در نظر بگیرید
,
. (10)

این تابع برای تمام مقادیر در محدوده 0 تا ; در انتهای این بازه وجود ندارد، زیرا مقادیر و نقاط شکست کوتانژانت هستند. در بازه (0)، تابع یکنواخت است (از به کاهش می یابد)، بنابراین، برای تابع (1) یک تابع معکوس وجود دارد.

, (11)

آن ها به هر مقدار داده شده (مقدار کتانژانت) از بازه (
) مربوط به یک مقدار خوب تعریف شده (اندازه قوس) از بازه (0،) است. با حرکت به نمادهای پذیرفته شده عمومی، رابطه زیر را به دست می آوریم: چکیده >> ریاضیات مثلثاتی توابع. به معکوس مثلثاتی توابعمعمولا به عنوان شش نامیده می شود توابع: آرکسین...

دیالکتیک توسعه مفهوم توابعدر یک دوره ریاضی مدرسه

پایان نامه >> آموزش و پرورش

... . معکوس مثلثاتی توابع. هدف اصلی مطالعه خواص است مثلثاتی توابع، به دانش آموزان یاد می دهد که چگونه نمودارهای خود را بسازند. اول مثلثاتی تابع ...

چگونه این مفهوم بوجود آمد و توسعه یافت توابع

چکیده >> ریاضیات

این معادله چگونه مطابقت دارد؟ معکوس مثلثاتی تابع، سیکلوئید جبری نیست ... و همچنین نماد مثلثاتی) معکوس مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی توابع. چنین است توابعابتدایی نامیده می شود. به زودی...

هدف:

تکلیف: ایجاد یک آزمون "توابع مثلثاتی معکوس"

منابع اینترنتی

تاریخ تحویل - با توجه به مشخصات فنی

کار مستقل شماره 14 (2 ساعت)

با موضوع: "کشش و فشرده سازی در امتداد محورهای مختصات"

هدف:نظام‌بندی و تثبیت دانش نظری و مهارت‌های عملی دانش‌آموزان.

تکلیف: چکیده با موضوع: "بسط و فشرده سازی در امتداد محورهای مختصات"

ادبیات: A.G. Mordkovich "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی" کلاس دهم

منابع اینترنتی

تاریخ تحویل - با توجه به مشخصات فنی

کار مستقل شماره 15 (1 ساعت)

با موضوع: "کشش و فشرده سازی در امتداد محورهای مختصات"

هدف:شکل گیری تفکر مستقل، توانایی خودسازی، خودسازی و خودسازی

تکلیف: ارائه: "بسط و فشرده سازی در امتداد محورهای مختصات"

ادبیات: A.G. Mordkovich "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی" کلاس دهم

منابع اینترنتی

تاریخ تحویل - با توجه به مشخصات فنی

کار مستقل شماره 16 (2 ساعت)

با موضوع: "توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها"

هدف:نظام‌بندی و تثبیت دانش نظری و مهارت‌های عملی دانش‌آموزان

فرم تکمیل کار: کار تحقیقاتی

ادبیات: A.G. Mordkovich "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی" کلاس دهم

منابع اینترنتی

تاریخ تحویل - با توجه به مشخصات فنی

کار مستقل شماره 18 (6 ساعت)

با موضوع: "فرمول های نیم آرگومان"

هدف: تعمیق و گسترش دانش نظری

تکلیف: یک پیام با موضوع "فرمول های نیم استدلال" بنویسید. یک جدول مرجع برای فرمول های مثلثاتی ایجاد کنید

ادبیات: A.G. Mordkovich "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی" کلاس دهم

منابع اینترنتی

تاریخ تحویل - با توجه به مشخصات فنی

صفحه اول.

برنامه کاری با عنوان "فهرست مطالب" تهیه شده است. مکان - در مرکز

فهرست منابع کتابشناختی تحت عنوان «ادبیات» ارائه شده است. کتابشناسی باید شامل تمام منابع مورد استفاده باشد: اطلاعات مربوط به کتاب ها (تک نگاری ها، کتاب های درسی، راهنماها، کتاب های مرجع و غیره) باید شامل: نام خانوادگی و حروف اول نویسنده، عنوان کتاب، محل انتشار، ناشر، سال انتشار باشد. در صورت وجود سه یا بیشتر نویسنده، مجاز است نام خانوادگی و حروف اول آنها را فقط با عبارت «و غیره» قید شود. نام محل انتشار باید به طور کامل در مورد اسمی ذکر شود: مخفف نام تنها دو شهر مجاز است: مسکو (M.) و سنت پترزبورگ (SPb.). منابع کتابشناختی ذکر شده باید به ترتیب حروف الفبا و به ترتیب صعودی مرتب شوند. فهرست باید حداقل از سه منبع تشکیل شده باشد.

هر قسمت جدید کار، فصل جدید، پاراگراف جدید از صفحه بعد شروع می شود.

برنامه در برگه های جداگانه تنظیم شده است، هر برنامه دارای شماره سریال و عنوان موضوعی است. کتیبه "پیوست" 1 (2.3...) در گوشه سمت راست بالا قرار داده شده است. عنوان برنامه به عنوان عنوان پاراگراف قالب بندی شده است.

حجم کار حداقل 10 برگ صفحه چاپ شده در رایانه (ماشین تحریر) است. فهرست مطالب، کتابشناسی و ضمائم در تعداد صفحات مشخص شده گنجانده نشده است.

متن نسخه خطی با فونت شماره 14 با فاصله 1.5 چاپ شده است.

حاشیه: چپ - 3 سانتی متر، راست - 1 سانتی متر، بالا و پایین - 2 سانتی متر.

خط قرمز - 1.5 سانتی متر فاصله پاراگراف - 1.8.

پس از نقل قول در متن اثر از علائم زیر استفاده می شود: "..." که شماره منبع کتابشناختی از فهرست منابع گرفته شده است.

فرمت درخواست تجدیدنظر به متن برنامه به شرح زیر است: (به پیوست 1 مراجعه کنید).

طراحی نمودارها، جداول و فرمول های الگوریتم. تصاویر (نمودارها، نمودارها، نمودارها) می توانند در متن اصلی چکیده و در قسمت ضمائم باشند. به تمام تصاویر نقاشی می گویند. تمامی شکل ها، جداول و فرمول ها با اعداد عربی شماره گذاری شده و دارای شماره گذاری پیوسته در داخل اپلیکیشن هستند. هر نقاشی باید دارای امضا باشد. به عنوان مثال:

شکل 12. فرم پنجره اصلی برنامه.

تمام شکل‌ها، جداول و فرمول‌های کار باید دارای پیوندهایی به این شکل باشند: «فرم پنجره اصلی برنامه در شکل نشان داده شده است. 12."

شکل ها و جداول باید بلافاصله بعد از صفحه ای که برای اولین بار در متن یادداشت ذکر شده است قرار گیرد. اگر فضا اجازه می دهد، شکل (جدول) را می توان در متن همان صفحه ای که اولین پیوند به آن داده شده است قرار داد.

اگر نقاشی بیش از یک صفحه را اشغال کند، همه صفحات به جز صفحه اول با شماره طراحی و کلمه "ادامه" مشخص می شوند. به عنوان مثال:

برنج. 12. ادامه دارد

نقشه ها باید طوری قرار داده شوند که بدون چرخش یادداشت قابل مشاهده باشند. اگر چنین قرارگیری امکان پذیر نیست، نقشه ها باید طوری قرار گیرند که برای مشاهده آنها باید کار را در جهت عقربه های ساعت بچرخانید.

نمودارهای الگوریتم باید مطابق با استاندارد ESPD ساخته شوند. ضخامت خط جامد هنگام ترسیم نمودارهای الگوریتم باید در محدوده 0.6 تا 1.5 میلی متر باشد. نوشته های روی نمودارها باید با فونت طراحی ساخته شوند. ارتفاع حروف و اعداد باید حداقل 3.5 میلی متر باشد.

شماره جدول در گوشه سمت راست بالای عنوان جدول، در صورت وجود، قرار می گیرد. عنوان به جز حرف اول با حروف کوچک نوشته می شود. در اختصارات فقط از حروف بزرگ استفاده می شود. به عنوان مثال: PC.

شماره فرمول در سمت راست صفحه در داخل پرانتز در سطح فرمول قرار می گیرد. به عنوان مثال: z:=sin(x)+cos(y); (12).

به عنوان مثال: مقادیر با استفاده از فرمول (12) محاسبه می شوند.

صفحات اثر را مطابق نسخه کتاب شماره گذاری کنید: به شماره های چاپی، در گوشه سمت راست پایین صفحه، با متن «مقدمه» شروع کنید (ص 3). کار به صورت متوالی تا صفحه آخر شماره گذاری می شود.

کلمه "فصل" نوشته شده است، فصل ها با اعداد رومی شماره گذاری شده اند، پاراگراف ها به عربی شماره گذاری شده اند، علامت. نوشته نشده؛ بخشی از کار "مقدمه". "نتیجه گیری" و "ادبیات" شماره گذاری نمی شوند.

عنوان فصل ها و پاراگراف ها با خط قرمز نوشته شده است.

عناوین "مقدمه"، "نتیجه گیری"، "ادبیات" در وسط، بالای برگه، بدون علامت نقل قول، بدون نقطه نوشته شده است.

حجم مقدمه و خاتمه کار 1.5-2 صفحه متن چاپی می باشد.

کار باید دوخته شود.

از سه نوع فونت در کار استفاده شده است: 1 - برای برجسته کردن عناوین فصل ها، عناوین "فهرست مطالب"، "ادبیات"، "مقدمه"، "نتیجه گیری". 2 - برای برجسته کردن عنوان پاراگراف. 3 - برای متن

الزامات ارائه

اسلاید اول شامل:

ü عنوان ارائه؛

اسلاید دوم محتوای کار را نشان می دهد که به بهترین وجه در قالب هایپرلینک (برای تعاملی بودن ارائه) ارائه می شود.

اسلاید آخر حاوی فهرستی از ادبیات مورد استفاده مطابق با الزامات است، منابع اینترنتی در آخر فهرست شده اند.

طراحی اسلاید
سبک	8 حفظ یک سبک طراحی یکنواخت ضروری است.
8 باید از سبک هایی که حواس خود را از ارائه منحرف می کند اجتناب کنید.	8 تن سردتر (آبی یا سبز) برای پس زمینه انتخاب شده است
استفاده از رنگ	8 در یک اسلاید توصیه می شود بیش از سه رنگ استفاده نکنید: یکی برای پس زمینه، یکی برای عنوان، یکی برای متن.
8 رنگ متضاد برای پس زمینه و متن استفاده می شود.	8 باید به رنگ هایپرلینک ها توجه ویژه ای شود (قبل و بعد از استفاده)
جلوه های انیمیشن
8 شما باید از قابلیت های انیمیشن کامپیوتری برای ارائه اطلاعات در یک اسلاید استفاده کنید.	8 نباید در استفاده از افکت های مختلف انیمیشن زیاده روی کنید. جلوه های انیمیشن نباید توجه را از محتوای اطلاعات روی اسلاید منحرف کند
ارائه اطلاعات	محتویات اطلاعات
8 کلمه و جمله کوتاه باید استفاده شود.	8 زمان فعل باید در همه جا یکسان باشد.
8 باید از حداقل حروف اضافه، قید، صفت استفاده کنید.	8 عنوان باید توجه مخاطب را جلب کند
مکان اطلاعات در صفحه	8 ترجیحاً چیدمان افقی اطلاعات.
8 مهمترین اطلاعات باید در مرکز صفحه نمایش قرار گیرد.	8 اگر تصویری روی اسلاید وجود دارد، کتیبه باید در زیر آن قرار گیرد.

فونت ها

8 برای عنوان حداقل 24;

8 برای سایر اطلاعات حداقل 18؛

8 فونت های Sans Serif از راه دور راحت تر خوانده می شوند.

8 نمی توانید انواع مختلف فونت ها را در یک ارائه ترکیب کنید.

8 برای برجسته کردن اطلاعات باید از خط برجسته، مورب یا زیر خط یکسان استفاده شود.

8 نباید بیش از حد از حروف بزرگ استفاده کنید (خوانایی آنها کمتر از حروف کوچک است).

وجود "جاهای خالی" (سلول های پر نشده) در جدول جدول کلمات متقاطع مجاز نیست.

ترکیب حروف تصادفی و تقاطع مجاز نیست.

کلمات پنهان باید در حالت اسمی مفرد اسم باشند.

کلمات دو حرفی باید دارای دو تقاطع باشند.

کلمات سه حرفی باید حداقل دو تقاطع داشته باشند.

اختصارات (ZiL و غیره)، مخففات (یتیم خانه و غیره) مجاز نیستند.

همه متون باید خوانا نوشته شوند و ترجیحا چاپ شوند.

الزامات طراحی:

طراحی جدول کلمات متقاطع باید واضح باشد.

همه جدول کلمات متقاطع باید در دو نسخه تکمیل شوند:

نسخه 1 - با کلمات پر.

نسخه دوم - فقط با شماره موقعیت.

پاسخ ها جداگانه منتشر می شود. پاسخ ها برای بررسی صحت راه حل جدول کلمات متقاطع و فرصتی برای آشنایی با پاسخ های صحیح به موقعیت های حل نشده شرایط است که به حل یکی از وظایف اصلی حل جدول کلمات متقاطع - افزایش دانش و افزایش دانش واژگان کمک می کند. .

معیارهای ارزیابی جدول کلمات متقاطع تکمیل شده:

1. وضوح ارائه مطالب، کامل بودن موضوع تحقیق.

2. اصالت جدول کلمات متقاطع.

3. اهمیت عملی کار.

4. سطح ارائه سبکی مطالب، عدم وجود خطاهای سبک.

5. سطح طراحی کار، وجود یا عدم وجود اشتباهات دستوری و نقطه گذاری.

6. تعداد سؤالات جدول کلمات متقاطع، ارائه صحیح آنها.

برای اینکه کلاس های عملی حداکثر سود را به همراه داشته باشد، لازم به یادآوری است که تمرین و حل مشکلات موقعیتی بر اساس مطالب خوانده شده در سخنرانی ها انجام می شود و معمولاً با تجزیه و تحلیل دقیق مسائل فردی مرتبط است. دوره سخنرانی لازم به تاکید است که تنها پس از تسلط بر مطالب سخنرانی از منظری خاص (یعنی از دیدگاهی که از آن در سخنرانی ها ارائه می شود) در کلاس های عملی، هم در نتیجه بحث و هم در نتیجه تجزیه و تحلیل مطالب، تقویت می شود. مطالب سخنرانی، و با حل مسائل موقعیتی. در این شرایط، دانش آموز نه تنها به خوبی بر مطالب تسلط پیدا می کند، بلکه استفاده از آن را در عمل نیز یاد می گیرد و همچنین انگیزه اضافی (و این بسیار مهم است) برای مطالعه فعال سخنرانی دریافت می کند.

هنگام حل مسائل تعیین شده به طور مستقل، باید هر مرحله از عمل را بر اساس اصول نظری دوره توجیه کنید. اگر دانش آموزی چندین راه برای حل یک مسئله (تکلیف) می بیند، باید آنها را با هم مقایسه کند و منطقی ترین راه را انتخاب کند. قبل از شروع به حل مشکلات، طرح مختصری برای حل مسئله (وظیفه) مفید است. راه‌حل مسائل یا مثال‌های مشکل‌ساز باید با جزئیات، همراه با نظرات، نمودارها، نقشه‌ها و نقشه‌ها و دستورالعمل‌های اجرا ارائه شود.

لازم به یادآوری است که راه حل هر یک از مسائل آموزشی باید به پاسخ منطقی نهایی مورد نیاز شرط و در صورت امکان با نتیجه گیری برسد. نتیجه به‌دست‌آمده باید به روش‌های برخاسته از ماهیت کار داده شده تأیید شود.

· اصطلاحات اصلی تکلیف آزمون باید به وضوح و صریح تعریف شود.

· تکالیف آزمون باید از نظر عملی صحیح و برای ارزیابی سطح دستاوردهای آموزشی دانش آموزان در یک حوزه خاص از دانش طراحی شوند.

· تکالیف آزمون باید در قالب قضاوت های کوتاه فشرده تدوین شوند.

· باید از موارد آزمونی که آزمون شونده را ملزم به نتیجه گیری دقیق در مورد الزامات موارد آزمون می کند اجتناب کنید.

· هنگام ساخت موقعیت های آزمون می توانید از اشکال مختلف ارائه آنها و همچنین اجزای گرافیکی و چند رسانه ای برای ارائه منطقی محتوای مطالب آموزشی استفاده کنید.

تعداد کلمات در یک تکلیف آزمون نباید از 10-12 تجاوز کند، مگر اینکه این امر ساختار مفهومی وضعیت آزمون را مخدوش کند. نکته اصلی انعکاس واضح و صریح محتوای بخشی از منطقه موضوع است.

میانگین زمانی که یک دانش آموز برای یک تکلیف امتحانی صرف می کند نباید از 1.5 دقیقه تجاوز کند.

آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی

آزمایش کنید

درس 9. توابع مثلثاتی معکوس

تمرین کنید

خلاصه درس

ما عمدتاً به توانایی کار با توابع قوس هنگام حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی نیاز خواهیم داشت.

وظایفی که اکنون در نظر خواهیم گرفت به دو نوع تقسیم می شوند: محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی معکوس و تبدیل آنها با استفاده از ویژگی های اساسی.

محاسبه مقادیر توابع قوس

بیایید با محاسبه مقادیر توابع قوس شروع کنیم.

وظیفه شماره 1. محاسبه کنید.

همانطور که می بینیم، همه آرگومان های توابع قوس مثبت و جدولی هستند، به این معنی که می توانیم مقدار زوایا را از قسمت اول جدول مقادیر توابع مثلثاتی برای زوایای از تا بازیابی کنیم. این محدوده زوایا در محدوده مقادیر هر یک از توابع قوس گنجانده شده است، بنابراین ما به سادگی از جدول استفاده می کنیم، مقدار تابع مثلثاتی را در آن پیدا می کنیم و بازیابی می کنیم که با کدام زاویه مطابقت دارد.

الف)

ب)

V)

ز)

پاسخ دهید. .

وظیفه شماره 2. محاسبه کنید

.

در این مثال ما قبلاً شاهد استدلال های منفی هستیم. یک اشتباه معمولی در این مورد این است که به سادگی منهای را از زیر تابع حذف کنید و به سادگی کار را به قبلی کاهش دهید. با این حال، در همه موارد نمی توان این کار را انجام داد. بیایید به یاد بیاوریم که چگونه در بخش نظری درس درباره برابری همه توابع قوس بحث کردیم. موارد فرد عبارتند از آرکسین و قوس، یعنی منهای از آنها خارج می شود، و آرکوزین و آرکوتانژانت توابعی هستند که برای ساده سازی منهای در استدلال، فرمول های خاصی دارند. پس از محاسبه، برای جلوگیری از خطا، بررسی می کنیم که نتیجه در محدوده مقادیر باشد.

وقتی آرگومان های تابع به شکل مثبت ساده می شوند، مقادیر زاویه مربوطه را از جدول می نویسیم.

ممکن است این سوال پیش بیاید: چرا مقدار زاویه مربوطه را مثلاً مستقیماً از جدول نمی نویسید؟ اول اینکه به خاطر سپردن جدول قبل سخت تر از قبل است و دوم اینکه مقادیر منفی سینوس در آن وجود ندارد و مقادیر منفی مماس زاویه اشتباهی را مطابق جدول نشان می دهد. بهتر است یک رویکرد جهانی برای راه حل داشته باشیم تا اینکه با رویکردهای مختلف گیج شویم.

وظیفه شماره 3. محاسبه کنید.

الف) یک اشتباه معمولی در این مورد این است که شروع به برداشتن منهای و ساده کردن چیزی کنید. اولین چیزی که باید به آن توجه کرد این است که آرگومان آرکسین در محدوده ی آن نیست

بنابراین این مدخل معنی ندارد و آرکسین قابل محاسبه نیست.

ب) اشتباه استاندارد در این مورد این است که مقادیر آرگومان و تابع را با هم اشتباه می گیرند و جواب می دهند. این درست نیست! البته این فکر پیش می‌آید که در جدول مقدار مربوط به کسینوس است، اما در این مورد، آنچه گیج می‌شود این است که توابع قوس نه از زاویه، بلکه از مقادیر توابع مثلثاتی محاسبه می‌شوند. یعنی نه.

علاوه بر این، از آنجایی که متوجه شدیم که آرگومان کسینوس قوس دقیقاً چیست، لازم است بررسی کنیم که آیا در حوزه تعریف گنجانده شده است. برای انجام این کار، اجازه دهید آن را به خاطر بسپاریم یعنی آرکوزین معنی ندارد و قابل محاسبه نیست.

به هر حال، برای مثال، عبارت منطقی است زیرا، اما از آنجایی که مقدار کسینوس مساوی جدولی نیست، محاسبه کسینوس قوس با استفاده از جدول غیرممکن است.

پاسخ دهید. عبارات معنی ندارند

در این مثال، arctangent و arccotangent را در نظر نمی گیریم، زیرا دامنه تعریف آنها محدود نیست و مقادیر تابع برای هر آرگومان خواهد بود.

وظیفه شماره 4. محاسبه کنید .

در اصل، کار به اولین مورد می رسد، فقط باید مقادیر دو تابع را جداگانه محاسبه کنیم و سپس آنها را در عبارت اصلی جایگزین کنیم.

آرگومان آرکتانژانت جدولی است و نتیجه به محدوده مقادیر تعلق دارد.

استدلال آرکوزین جدولی نیست، اما این نباید ما را بترساند، زیرا مهم نیست که آرکوزین با چه چیزی برابر باشد، مقدار آن وقتی در صفر ضرب شود، به صفر می رسد. یک نکته مهم باقی مانده است: باید بررسی شود که آیا آرکوزین به حوزه تعریف تعلق دارد یا خیر، زیرا اگر اینطور نباشد، کل عبارت معنی نخواهد داشت، صرف نظر از اینکه حاوی ضرب در صفر باشد. . اما، بنابراین، می توان گفت که منطقی است و در پاسخ صفر می گیریم.

اجازه دهید مثال دیگری بیاوریم که در آن لازم است بتوانیم یک تابع قوس را با دانستن مقدار دیگری محاسبه کنیم.

مشکل شماره 5. محاسبه کنید اگر معلوم است که .

ممکن است به نظر برسد که لازم است ابتدا مقدار x را از معادله نشان داده شده محاسبه کنیم و سپس آن را به عبارت مورد نظر، یعنی مماس معکوس جایگزین کنیم، اما این ضروری نیست.

بیایید فرمول مربوط به این توابع را به یاد بیاوریم:

و بیایید آنچه را که نیاز داریم از آن بیان کنیم:

برای اطمینان، می توانید بررسی کنید که نتیجه در محدوده کوتانژانس قوس است.

تبدیل توابع قوس با استفاده از ویژگی های اصلی آنها

حالا بیایید به یک سری کارها برویم که در آنها باید از تبدیل توابع قوس با استفاده از ویژگی های اصلی آنها استفاده کنیم.

مشکل شماره 6. محاسبه کنید .

برای حل، ما از ویژگی های اصلی توابع قوس نشان داده شده استفاده می کنیم، فقط اطمینان حاصل کنیم که محدودیت های مربوطه را بررسی می کنیم.

الف)

ب) .

پاسخ دهید. الف)؛ ب) .

مشکل شماره 7. محاسبه کنید.

یک اشتباه معمولی در این مورد این است که فوراً 4 را در پاسخ بنویسیم. همانطور که در مثال قبلی اشاره کردیم، برای استفاده از ویژگی های اساسی توابع قوس، لازم است محدودیت های مربوط به آرگومان آنها بررسی شود. ما با ملک سروکار داریم:

در

اما . نکته اصلی در این مرحله از تصمیم گیری این است که فکر نکنید که عبارت مشخص شده معنی ندارد و قابل محاسبه نیست. از این گذشته، ما می توانیم چهار را که برهان مماس است، با کم کردن دوره مماس کاهش دهیم و این تأثیری در مقدار عبارت نخواهد داشت. با انجام این مراحل، فرصتی خواهیم داشت که آرگومان را به گونه ای کاهش دهیم که در محدوده مشخص شده قرار گیرد.

زیرا از آنجا که، بنابراین، ، زیرا .

مشکل شماره 8. محاسبه کنید.

در مثال بالا، ما با عبارتی روبرو هستیم که شبیه به خاصیت پایه آرکسین است، اما فقط شامل توابع مشترک است. باید به شکل سینوس از آرکسین یا کسینوس از آرکوزین کاهش یابد. از آنجایی که تبدیل توابع مثلثاتی مستقیم آسان تر از توابع معکوس است، بیایید با استفاده از فرمول "واحد مثلثاتی" از سینوس به کسینوس حرکت کنیم.

همانطور که قبلاً می دانیم:

در مورد ما، در نقش. اجازه دهید ابتدا برای راحتی محاسبه کنیم .

قبل از جایگزین کردن آن به فرمول، اجازه دهید علامت آن، یعنی علامت سینوس اصلی را دریابیم. ما باید سینوس را از مقدار آرکوزین محاسبه کنیم، این مقدار هر چه باشد، می دانیم که در محدوده قرار دارد. این محدوده مربوط به زوایای ربع اول و دوم است که در آن سینوس مثبت است (این را خودتان با استفاده از یک دایره مثلثاتی بررسی کنید).

در درس عملی امروز به محاسبه و تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس پرداختیم.

مواد را با وسایل ورزشی تقویت کنید

ترینر 1 ترینر 2 ترینر 3 ترینر 4 ترینر 5

سالن ورزشی شماره 2 موسسه آموزشی شهرداری

معلم ریاضی

گابریلیان ژاسمنا آرتوشوونا

یادداشت توضیحی.

برنامه پیشنهادی موضوع انتخابی برای دانش آموزان کلاس های تخصصی (10-11) فیزیک و ریاضیات و به مدت 17 ساعت طراحی شده است. که 9 ساعت آن به مطالعه مطالب تئوری و 8 ساعت به کلاس های عملی اختصاص دارد. در پایان مطالعه این موضوع دانشگاهی، دانش آموزان یک کار تستی شامل بخش های نظری و عملی را تکمیل می کنند. این برنامه برای دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که تخصصی را انتخاب کرده اند که در آن ریاضیات نقش دستگاه اصلی را ایفا می کند، وسیله ای خاص برای مطالعه قوانین دنیای اطراف و مسائل مربوط به فعالیت های اقتصادی.

هدف مورد: تعمیم و نظام‌بندی، گسترش و تعمیق دانش برنامه آموزش عمومی در ریاضیات با موضوع «توابع مثلثاتی معکوس»، کسب مهارت‌های عملی در انجام وظایف با توابع مثلثاتی معکوس، افزایش سطح آموزش ریاضی دانش‌آموزان.

اهداف موضوعی:

توسعه تفکر و توانایی های خلاق دانش آموزان؛

آشنایی دانش آموزان با کاربرد دانش نظری در حل مسائل رقابتی و المپیادی.

مشارکت دادن دانش آموزان در کار مستقل؛

آموزش کار با مرجع و ادبیات علمی به دانش آموزان؛

آموزش تهیه مقاله تست با استفاده از فناوری کامپیوتر

ترویج توسعه تفکر الگوریتمی دانش آموزان؛

برای ترویج شکل گیری علاقه شناختی به ریاضیات.

الزامات سطح تسلط بر مطالب آموزشی.

در نتیجه مطالعه برنامه موضوع انتخابی "توابع مثلثاتی معکوس" دانش آموزان:

باید بداند : تعاریف توابع مثلثاتی معکوس; خواص اساسی و فرمول های توابع مثلثاتی معکوس. روشهای حل معادلات و نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس.

باید بتواند : اعمال تعاریف، ویژگی های توابع مثلثاتی معکوس هنگام حل مسائل رقابتی و المپیاد. خواندن و ساختن نمودارهای توابعی که بیان تحلیلی آنها حاوی مفاهیم آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت است. حل معادلات، نابرابری ها، سیستم های معادلات و نابرابری های حاوی آرکسین، آرکوزین، تانژانت.

تابع معکوس نمودار تابع معکوس. تعاریف توابع مثلثاتی معکوس: y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx، y=arcctgx.

مقادیر توابع y=arcsinx و y=arccosx در نقاط

مقادیر تابع y=arctgx در نقاط یافتن مقادیر عددی y=arctgx، y=arcsinx، y=arccosx با استفاده از فناوری کامپیوتر.

دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، یکنواختی توابع y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx، پیوستگی، مرزبندی، مقادیر ماکزیمم و حداقل، اکسترم.

نمودارهای توابع y=arcsinx، y=arсosх، y=arctgх و توابع مربوط به آنها برای توابع مثلثاتی معکوس. تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس از معکوس آنها. معادلات و نامساوی ها، سیستم های معادلات و سیستم های نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس. مشتقات و ضد مشتقات توابع مثلثاتی معکوس. بررسی توابع حاوی توابع مثلثاتی معکوس و ساخت نمودار آنها.

برنامه ریزی موضوعی دروس دوره

توابع مثلثاتی معکوس

	موضوع درس	تعداد ساعت
	تابع معکوس نمودار یک تابع معکوس
	تعریف توابع معکوس نسبت به توابع مثلثاتی پایه: y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx، y=arcctgx
	مقادیر توابع y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx، y=arcctgx در نقاط داده شده
	یافتن مقادیر عددی آرکسین، آرکوزین و آرکتانژانت با استفاده از فناوری کامپیوتر
	ویژگی های توابع y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx
	نمودار توابع y=arcsinx، y=arccosx، y=arctgx
	روابط اساسی بین توابع مثلثاتی معکوس
	محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی از مقادیر توابع مثلثاتی معکوس
	اثبات هویت در مجموعه ای حاوی توابع مثلثاتی معکوس
	تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس
	حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس
	حل سیستم های معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس
	حل نابرابری های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس
	حل سیستم های نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس
	مشتقات و ضد مشتقات توابع مثلثاتی معکوس
	مطالعه توابع حاوی توابع مثلثاتی معکوس و رسم نمودار آنها
	کار تست

ادبیات

1. Veresova E.E.، Denisova N.S.، Polyakova T.P. کارگاه حل مسائل ریاضی - مسکو "روشنگری"، 1979.

2. ایشخانوویچ یو.آ. مقدمه ای بر ریاضیات مدرن. مسکو "علم"، 1965

3. کوشنکو وی.اس. مجموعه مسائل مسابقه در ریاضیات. مسکو "روشنگری"، 1979

4. نیکولسکی اس.ام. عناصر تجزیه و تحلیل ریاضی. مسکو "علم"، 1989

5. Pontryagin L.S. تجزیه و تحلیل ریاضی برای دانش آموزان. مسکو "علم"، 1983

6. Tsypkin A.G. کتاب راهنمای ریاضیات. مسکو "علم"، 1983

7. Tsypkin A.G., Pinsky A.I. راهنمای مرجع در مورد روش های حل مسائل در ریاضیات. مسکو "علم"، 1984

معکوس توابعاستدلال جدول 3 تابع sin  cos ... ، سپس باید از خواص مربوطه استفاده کنید معکوسمثلثاتیتوابع، سپس: وقتی a = 1; ...

بخش ها: ریاضیات

توابع مثلثاتی معکوس به طور گسترده در تجزیه و تحلیل ریاضی استفاده می شود.

مسائل مربوط به توابع مثلثاتی معکوس اغلب مشکلات قابل توجهی را برای دانش آموزان دبیرستانی ایجاد می کند. این پیش از هر چیز به این دلیل است که کتاب‌های درسی و وسایل کمک آموزشی فعلی توجه زیادی به چنین مسائلی ندارند و اگر دانش‌آموزان هنوز به نحوی با مشکلات محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی معکوس کنار بیایند، معادلات و نابرابری‌های حاوی این توابع اغلب آنها را درهم می‌گذارند. مورد دوم تعجب آور نیست، زیرا عملاً هیچ کتاب درسی (از جمله کتاب های درسی برای کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات) روشی را برای حل حتی ساده ترین معادلات و نابرابری های این نوع ارائه نمی دهد. برنامه پیشنهادی به روش‌هایی برای حل معادلات و نابرابری‌ها و تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس اختصاص دارد.

برای معلمانی که در دبیرستان ها کار می کنند - هم آموزش عمومی و هم ریاضیات، و هم برای دانش آموزان علاقه مند به ریاضی مفید خواهد بود.

این دوره درس ریاضی پایه را گسترش می دهد و فرصتی را برای آشنایی با سوالات جالب ریاضی فراهم می کند. موضوعاتی که در درس مطرح می شود فراتر از درس ریاضی اجباری است. در عین حال، آنها ارتباط نزدیکی با دوره اصلی دارند. بنابراین، این درس انتخابی به بهبود و توسعه دانش و مهارت های ریاضی دانش آموزان کمک می کند.

هنگام برگزاری کلاس ها باید از فرم های سنتی مانند سخنرانی ها و سمینارها استفاده شود، اما در وهله اول باید فرم های سازمانی مانند بحث، مناظره، ارائه و نوشتن چکیده آورده شود.

گزینه های صدور گواهینامه نهایی ممکن است به شرح زیر باشد: تست، تست، نوشتن مقاله در مورد موضوعات پیشنهاد شده توسط معلم. تکالیف فردی که در آنها انجام تحقیقات مستقل، آزمون های موضوعی ضروری است.

اهداف دوره ایجاد شرایط برای اجرای آموزش های تخصصی است. شکل گیری یک سیستم یکپارچه از دانش ریاضی و مبنایی برای ادامه تحصیل ریاضی در دانشگاه های مختلف.

اهداف دوره:

• گسترش دامنه دانش ریاضی دانش آموزان؛
• گسترش درک دانش آموزان از توابع مثلثاتی معکوس.
• تعمیم روش های اساسی برای حل معادلات و نابرابری های حاوی توابع مثلثاتی معکوس.
• روش هایی را برای ساخت نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس در نظر بگیرید.

الزامات سطح آمادگی دانش آموزان.

• دانش آموزان باید بدانند:
  - تعریف توابع مثلثاتی معکوس، خواص آنها.
  - فرمول های اساسی؛
  - روش هایی برای حل معادلات و نامساوی های حاوی توابع مثلثاتی معکوس.
  - روش های ساخت نمودارهای تابع: y=arcsinx، y= arccosx، y=arctgx، y=arcctgx.
• دانش آموزان باید بتوانند:
  - اعمال خواص و فرمول های اساسی توابع مثلثاتی معکوس؛
  - حل معادلات و نابرابری های ساده
  - انجام تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس.
  - استفاده از روش های مختلف برای حل معادلات و نابرابری ها.
  - حل معادلات و نابرابری ها با پارامترهای حاوی توابع مثلثاتی معکوس.
  - ساخت نمودار از توابع مثلثاتی معکوس.

برنامه ریزی درس موضوعی ارائه شده تقریبی است. معلم می تواند تعداد ساعات اختصاص داده شده به مطالعه موضوعات فردی را با در نظر گرفتن سطح آمادگی دانش آموزان تغییر دهد.

برنامه ریزی موضوعی

	موضوع	تعداد ساعت	اشکال فعالیت های آموزشی
	توابع مثلثاتی معکوس و خواص آنها مقادیر توابع مثلثاتی معکوس.		کار مستقل با ادبیات آموزشی درس سمینار.
	نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس.		کار عملی.
	تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس.		تجزیه و تحلیل و تجزیه و تحلیل راه حل ها. تست کردن
	حل معادلات ساده مثلثاتی و نامساوی.		درس سمینار.
	روش های حل معادلات و نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس.		تجزیه و تحلیل و تجزیه و تحلیل راه حل ها. اختلاف. تست کنید.
	حل معادلات و نابرابری های حاوی پارامترها.		تجزیه و تحلیل و تجزیه و تحلیل راه حل ها. بحث.
	تعمیم تکرار		توسعه و حفاظت از پروژه.
	کنترل نهایی دوره		تست کنید. دفاع از چکیده

توابع مثلثاتی معکوس، نمودارهای آنها. مقادیر توابع مثلثاتی معکوس."

تعریف توابع مثلثاتی معکوس، خواص آنها. یافتن مقادیر توابع مثلثاتی معکوس

"نمودار توابع مثلثاتی معکوس."

توابعy= arcsinx, y= الفrccosx, y= arctgx, y= arcctgx، نمودارهای آنها

"تبدیل عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس."

محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی از مقادیر توابع مثلثاتی معکوس. بررسی اعتبار تساوی های حاوی توابع مثلثاتی معکوس. ساده سازی عبارات حاوی تصاویرتوابع مثلثاتی پیچیده» .

"حل ساده ترین معادلات مثلثاتی و نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس."

معادلات:arcsinx=a،arccosx=a،arctgx=a،arcctgx=a.
نابرابری ها:arcsinx>آه،arccosx>آه،arctgx>آه،arcctgx>آه،arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"روش های حل معادلات و نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس."

معادلات و نامساوی هایی که سمت چپ و راست آن ها تابع مثلثاتی معکوس یکسان هستند. معادلات و نابرابری هایی که سمت چپ و راست آنها با توابع مثلثاتی معکوس روبرو هستند. جایگزینی متغیر استفاده از یکنواختی و مرزبندی توابع مثلثاتی معکوس.

"حل معادلات و نابرابری های حاوی پارامتر."

روشهای حل معادلات و نابرابریهای حاوی پارامترها.

"تکرار تعمیم."

حل معادلات و نابرابری های سطوح مختلف.

کنترل نهایی دوره (2 ساعت).

کار کنترل را می توان در فرم ارائه کردتست در چندین نسخه و سطوح مختلف دشواری. دفاع از چکیده در موضوعات داده شده.

ادبیات برای دانش آموزان:

1. Kramor V.S., Mikhailov P.A. توابع مثلثاتی - م.: آموزش و پرورش، 1983.
2. Litvinenko V. N., Mordkovich A. G. کارگاه آموزشی حل مسائل ریاضی. - م.: آموزش و پرورش، 1984.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. راهنمای مرجع در مورد روش های حل مسائل برای دبیرستان. - M.: Nauka، 1983.
4. سی دی دیسک 1C: معلم خصوصی. ریاضیات. قسمت 1.
5. منابع اینترنتی: مجموعه چکیده ها.

ادبیات برای معلمان:

1. Ershov V., Raichmist R.B. رسم نمودارهای تابع - م.: آموزش و پرورش، 1984.
2. Vasilyeva V. A.، Kudrina T. D.، Molodozhnikova R. N. کتابچه راهنمای روش شناختی ریاضیات برای متقاضیان دانشگاه. - M.: MAI، 1992.
3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. شروع تحلیل – م.: ایلکسا، 2003.
4. مجموعه مسائل ریاضی برای امتحانات رقابتی در کالج ها و دانشگاه ها / ویرایش. م.ای.اسکاناوی. - م.: مدرسه عالی، 2003.
5. مجلات "ریاضیات در مدرسه".