مثال هایی با اصطلاح ناشناخته خلاصه درس ریاضی حل معادلات (پایه سوم). اجرای مداوم قوانین

اهداف یادگیری- حل معادلات با استفاده از روش انتخاب و بر اساس ارتباط بین جمع و تفریق.

اهداف درس

همه دانش آموزان قادر خواهند بود:
ریشه یک معادله را با استفاده از روش انتخاب پیدا کنید

اکثر دانش آموزان قادر خواهند بود:
قادر به نوشتن و حل معادلات ساده برای یافتن یک جمله مجهول باشد

برخی از دانش آموزان قادر خواهند بود:
بر اساس رسم، معادلات را به طور مستقل بنویسید و حل کنید.

دانش قبلی:درک سیستم اعداد درون 100؛ توانایی مقایسه و استفاده از زبان مقایسه ای

پیشرفت درس

ایجاد یک محیط مشارکتی
(صورتجلسه روانشناسی)

زنگ شاد به صدا درآمد.
آیا برای شروع درس آماده اید؟
بیا گوش کنیم، صحبت کنیم،
و به یکدیگر کمک کنید!

گروه بندی

هدف:اتحاد دانش آموزان در گروه ها باعث افزایش علاقه شناختی به درس و انسجام در کار گروهی می شود.
بررسی قوانین کار گروهی

به روز رسانی تجربه زندگی

استراتژی " طوفان فکری«استفاده از ضخیم و نازک یک سؤال است.
- معادله چیست؟ (مساوی با مجهول را معادله می گویند)
- مجهول چگونه در معادله نشان داده شده است؟
- حل معادله به چه معناست؟ (یعنی یافتن مجهولات)
- مولفه های جمع چیست؟

رتبه: سه کف زدن
شروع کننده "تماشا ویدئو" (کارتون آموزشی)
روش "فریز فریم".

هدف گذاری برای درس
- آیا حدس زده اید که امروز در کلاس چه خواهیم کرد؟
- چه چیزی به ما در رسیدن به اهداف درس کمک می کند (یادگیری چیزهای جدید، یادگیری حل چنین نمادهای ریاضی) (تجربه ما، معلم، کتاب درسی)
بچه ها هدف درس را تدوین می کنند، من تعمیم می دهم.
- امروز در درس یاد خواهید گرفت که چگونه معادلات را با اصطلاحات مجهول حل کنید

مطالعه کنید. طبق کتاب درسی کار کنید.
هدف:تحقیق در مورد مطالب کتاب درسی ص. 46

وظیفه 1. بازی بر اساس کتاب درسی "ماشین ها در تونل"
کار گروهی. استراتژی «فکر کنید، بحث کنید، به اشتراک بگذارید». ارتباط بین رشته ای آموزش سواد (گوش دادن و صحبت کردن)

بازی "ماشین ها در تونل"

چند ماشین در تونل وجود دارد؟
6 + x = 18 و 2 + x = 14.
جواب: 12 واگن.

توصیف کننده:
- یک معادله را بر اساس نقاشی می سازد
- با استفاده از روش انتخاب معنای یک حرف را پیدا می کند.
- نتیجه گیری می کند (قاعده ای را تدوین می کند)

بازخورد "چراغ راهنمایی"
در اینجا من از مدل سازی معادله با هدف استفاده می کنم
تشکیل توانایی حل معادلات با اصطلاح ناشناخته.

وظیفه 2. دوتایی کار کنید. "به قهرمان کمک کن"

بازی "کمک به قهرمان"

برای کار دو نفره، از یادگیری مشارکتی استفاده می کنم که دانش و مهارت را بین دانش آموزان منتقل می کند.
خودارزیابی توسط توصیفگر: "شست"

مکث پویا تمرین بدنی موسیقیایی.

وظیفه 3. کار گروهی. "فکر کنید، یک جفت پیدا کنید، به اشتراک بگذارید!"

توصیف کننده ها:
- کل گروه کار می کند.
- معادلات را به طور مستقل بر اساس ترسیم می سازد و حل می کند.
- نتیجه گیری می کند (قاعده ای را تدوین می کند).

بازخورد "چرخ"
کاربرد (معلم - مشاهده می کند، کمک می کند، بررسی می کند، دانش آموز - سوالات را حل می کند، دانش را نشان می دهد)

بررسی همتایان در اسلایدها
در اینجا من از کار گروهی برای بهبود فرآیند یادگیری استفاده می کنم.

وظیفه 4. بازی به صورت جفت "مکعب" (آن را امتحان کنید)

کار گروهی: "فکر کنید، یک جفت پیدا کنید، به اشتراک بگذارید!"

توصیف کننده:
- جایگزین عدد ترسیم شده می شود
- معادله را به طور مستقل حل می کند.

اینجا استفاده میکنم روش فعال V فرم بازیکه منجر به بیشتر می شود درک عمیقحل معادله با جمله مجهول
ارزیابی بر اساس توصیفگرهای چراغ راهنمایی

وظیفه 5. کار فردی
وظایف متمایز
وظایف برای دانش آموزان با سطوح مختلف دانش انتخاب شده است.

توصیف کننده:

1. ریشه یک معادله را با استفاده از یک خط عددی پیدا می کند.
2. ریشه یک معادله را با استفاده از اعداد و نشانه های ریاضی پیدا می کند.
3. معادله ای از تصویر می سازد.

خود ارزیابی "چراغ راهنمایی و رانندگی" (تست در برابر استاندارد).
- آفرین، این کار را انجام دادی!
در اینجا من از یک رویکرد متمایز استفاده می کنم نیازهای فردیدر یادگیری برای هر دانش آموز

خلاصه درس. بازتاب "روش مصاحبه"
- امروز سر کلاس چه کار کردیم؟
- چگونه یک اصطلاح ناشناخته را پیدا کنیم؟
- اصطلاح مجهول چیست؟ (قسمت)
- به هدفت رسیدی؟
- آن بچه هایی که در کار با معادلات مشکل داشتند، چه خواهند کرد؟ (اظهارات دانشجو)

هدف:معلم متوجه می شود که آیا دانش آموزان موضوع درس و اشتباهات خود را درک کرده اند تا در درس بعدی اصلاح شود. (بیانات دانش آموزان) (در اینجا من از نیازهای دانش آموزان به طور رضایت بخشی استفاده می کنم)
ارزیابی همتایان "2 ستاره، 1 آرزو"

بازتاب "نردبان موفقیت" (کودکان شکلک پست می کنند)
- می توانم معادله ای را با جمله مجهول حل کنم.
-میتونم به یکی دیگه یاد بدم...
- برام سخته که...
-چیزی نفهمیدم...

هدف:خود ارزیابی دستاوردهای خود در طول درس.

مدیر

برای دانلود مطالب یا!

برنامه ریزی کوتاه مدت درسی

موضوع: ریاضی

کلاس: 2 "D"

تاریخ : 12/5/14

معلم: Agitaeva G.K.

منابع: تخته سفید تعاملی، ارائه، کارت نمودار، پوستر، نشانگر رنگی،

موضوع:

حل معادله با عبارات مجهول.

اهداف هدف یادگیری

توانایی حل معادلات با اصطلاحات مجهول را بر اساس تفریق یک عدد از هر دو طرف ایجاد کنید.

تجزیه و تحلیل و توضیح معنای مفهوم معادله؛

توسعه توجه و تفکر منطقی;

ایجاد انگیزه مثبت برای موضوع، احساس دوستی و کمک متقابل.

نتیجه مورد انتظار

حل معادلات با اصطلاحات مجهول: تجزیه و تحلیل و توضیح معنای مفهوم معادله، تشکیل و حل مسائل مرکب.

ایده های کلیدی

معادله تساوی است که شامل یک عدد مجهول است.

مراحل درس

لحظه سازمانی. خلق و خوی روانی.

چشمان خود را ببندید، لبخند بزنید و از نظر ذهنی برای یکدیگر در کلاس آرزوی موفقیت کنید.

بچه ها امروز دوستمون دوباره اومد پیشمون. اسمش چیه؟(Znayka)

او یک مهمان را به درس ما دعوت کرد

(ویدئو نمی دانم)

نمی دانم و می خواهد به او کمک کند و شما درس بخوانید موضوع جدید، اما آن را مخفی نگه می دارد و پس از تکمیل وظایف او نام آن را می گذارد.

دری مخفی به سرزمین دانش جدید وجود دارد و برای باز کردن آن، Dunno باید وظایف Znayka را تکمیل کند و کلید را جمع آوری کند.

شمارش شفاهی

9+3 8+7 6+7

15-8 12-3 14-7

8+6 9+5 12-5

16-7 8+4 13-7

7+4 11-4 7+7

11-3 6+7

پازل های منطقی

2 درخت توس، 4 درخت سیب، 5 گیلاس در باغ می رویید. چند درخت میوه در باغ وجود داشت؟ (9 درخت میوه)

خواهرم 9 ساله، برادرم 3 ساله است. خواهرت پنج سال دیگر چقدر از برادرش بزرگتر می شود؟ (به مدت 6 سال)

3. طراحی یک دفترچه یادداشت. "یک دقیقه" قلمزنی.

زنایکا می پرسد:

امروز چه تاریخی است؟(5)

چه ماهی است؟

چگونه می توان عدد 12 را با مجموع عبارت های آن جایگزین کرد؟

در مورد او چه می توانید بگویید؟(دو رقمی 1 دسامبر و 2 واحدی است.

عدد بعدی چیست؟ قبلی؟

اگر ده ها و یک ها را عوض کنید چه عددی به دست خواهید آورد؟

بیایید عدد 12 را یادداشت کنیم.

اما فراموش نکنید که Znayka تمیزی و آراستگی را دوست دارد.

4 . دیکته ریاضی.

گروه 1

42- 22=20

38-25=13

(84-4)+10=90

گروه 1

50+ (10-2)=58

14-6=8

5+9=14

گروه 3

58-43= 15

(25-20)+ 10=15

6+6=12

حروف را به ترتیب در جدول قرار دهید. هم کلید و هم کد باز کردن در را دریافت می کنیم.

58- و

20

8 - سال

14 - در

13-الف

15 - n

8

12

13

14

15

20

15

58

20

در

r

الف

V

n

ه

n

و

ه

5. مقدمه ای بر موضوع

آیا با این نماد آشنا هستید: □+ 4=12؟

(بله، این یک مثال با "پنجره" است)

برای اطمینان از صحت ورودی چه باید کرد؟(یک شماره بردارید.)

چه کسی شماره صحیح را انتخاب می کند؟

بررسی کنیم؟

ب) معرفی مفهوم.

بچه ها به این مطلب نگاه کنید: x+4=12.(یادداشت روی تابلو ظاهر می شود)

چه تفاوتی با قبلی دارد؟

(به جای پنجره درج شده است حرف لاتین X)

کسی از شما میدونه اسم این ضبط چیه؟

به چنین عبارتی معادله می گویند.

6. طوفان فکری. ترسیم تعریف از یک خوشه.

بچه ها، جمله را چگونه تمام می کنید؟ بیایید دوتایی کار کنیم. بیایید یک تعریف کنیم

7 . FISMINUTKA با Dunno و دوستانش.

8. تحقیق تکوینی.

معادلات را از میان ورودی های زیر بیابید:

همه معادلات با کدام علامت عمل نوشته می شوند؟

به معنای اضافه شدن است.

بیایید اجزای جمع را به خاطر بسپاریم.

برای یافتن اصطلاح ناشناخته چه باید کرد؟

- حل معادله به چه معناست؟ (عددی مجهول پیدا کنید تا برابری درست باشد)

ریشه معادله را پیدا کنید. (اسلاید)

گروه 1 - a+10=18

گروه 2 - y+30=38

گروه 3 - 8+x=38

9. حل مشکل.

قبل از اجرا کار بعدیشما باید پازل را حل کنید و بفهمید چه کاری را آماده کرده ایدZnayka به شما.

وظیفه

کتاب های درسی را در صفحه باز کنید.

وظیفه شماره 4.

جمع آوری یک مسئله بر اساس تصویر

1) 40 + 20 = 60 (tg.) مداد

2) 40+60=100 (گرم.)

B: 40+(40+20)=100 (tg.)

پاسخ: رنگ و مداد فقط 100 تنگه قیمت دارد

10. کار مستقل. (گروهی)

معادله بنویسید و ریشه آن را پیدا کنید.

1 گروه؟+؟=15

گروه 2؟+?=16

گروه 3?+?=14

اگر درس موفقیت آمیز بود، میوه ها را به درخت بچسبانید

جالب - گل

بی حوصله - برگ

S. 102 شماره 3

اقدامات معلم

اقدامات دانشجویی

نظرات

مرحله چالش

مرحله لقاح

مرحله انعکاس

مشق شب

معلم به دانش آموزان سلام می کند.

معلم ارائه ای را نشان می دهد

معلم مسائل منطقی را می خواند.

معلم سوالاتی می پرسد و یادآوری می کند که هر عدد در یک سلول جداگانه نوشته شده است.

معلم وظایف روی کارت ها را بین گروه ها توزیع می کند.

معلم کلید حل کلمه رمزگذاری شده را می دهد

معلم از دانش آموزان می خواهد که یادداشت ها را با هم مقایسه کنند.

معلم از بچه ها دعوت می کند تا با دوستان انیمیشن دونو تمریناتی را انجام دهند.

معلم سوالات اصلی می پرسد.

معلم کارت ها را توزیع می کند.

معلم پوسترها را پخش می کند.

بچه ها به معلم سلام می کنند.

دانش آموزان اسلاید را مشاهده می کنند و متوجه می شوند که Znayka چه کسی را به درس دعوت کرده است

دانش آموزان مثال ها را به صورت شفاهی حل می کنند

دانش آموزان تصمیم می گیرند و به صورت شفاهی پاسخ می دهند.

بچه ها به سوالات پاسخ می دهند و عدد را به زیبایی در دفترشان می نویسند.

دانش آموزان دیکته را می خوانند و یادداشت می کنند. معانی عبارات نوشته شده را بیابید. هر گروه اجرا می کند و گروه های دیگر کار خود را ارزیابی می کنند.

دانش آموزان اعداد و حروف را در جدول قرار می دهند و کلمه رمزگذاری شده را نام می برند.

بچه ها دوتایی پشت میزشان تعاریف می سازند.

کودکان تمرینات بدنی انجام می دهند.

بچه ها معادلات را پیدا می کنند.

کودکان به سوالات مطرح شده پاسخ می دهند.

کودکان به طور جمعی شرایط کار را تدوین می کنند.

1 دانش آموز در تخته حل می کند.

بچه ها در یک گروه بحث می کنند و پوسترها را پر می کنند.

بچه ها روی درخت برچسب می زنند.

تکنیک های ارزیابی تکوینی

"چراغ راهنمایی و رانندگی" (بازخورد شفاهی). معلم از فناوری استفاده می کند تا ببیند دانش آموزان چگونه می توانند به طور مستقل

با دقت با کار کنار بیایید و در صورت امکان به آنها کمک کنید.

تکنیک انگشت شست.

"ارزیابی شفاهی"

(بازخورد شفاهی).

معلم تمجید می کند

دانش آموزان برای انجام کار درست

اقدامات انجام شده

پس معلم

بازخورد شفاهی انجام داد

ارتباطات و دانش آموزان

متوجه شد که حق با آنهاست

به درستی اجرا شده است

تکالیف

راه طولانی برای توسعه مهارت ها حل معادلاتبا تصمیم اولین و نسبتاً شروع می شود معادلات ساده. منظور ما از این گونه معادلات معادلاتی است که در سمت چپ آن مجموع، تفاضل، حاصل ضرب یا ضریب دو عدد وجود دارد که یکی از آنها مجهول است و سمت راست دارای یک عدد است. یعنی این معادلات شامل مجموع مجهول، مینیوند، فرعی، ضرب، تقسیم یا مقسوم است. در حل این گونه معادلات و ما صحبت خواهیم کرددر این مقاله

در اینجا قوانینی را ارائه می دهیم که به شما امکان می دهد یک اصطلاح ناشناخته، عامل و غیره را پیدا کنید. علاوه بر این، ما بلافاصله کاربرد این قوانین را در عمل، حل معادلات مشخصه در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

بنابراین، عدد 5 را به جای x در معادله اصلی 3+x=8 جایگزین می کنیم، 3+5=8 به دست می آید - این برابری صحیح است، بنابراین، عبارت مجهول را به درستی پیدا کرده ایم. اگر هنگام بررسی، تساوی عددی نادرستی دریافت کردیم، این به ما نشان می دهد که معادله را اشتباه حل کرده ایم. دلایل اصلی این امر می تواند یا اعمال قانون اشتباه یا خطاهای محاسباتی باشد.

چگونه می توان یک مینیوند یا زیره ناشناخته پیدا کرد؟

ارتباط بین جمع و تفریق اعداد، که قبلاً در پاراگراف قبل ذکر کردیم، به ما امکان می دهد تا یک قاعده برای یافتن یک خرده مجهول از طریق یک فرعی شناخته شده و یک تفاوت، و همچنین یک قانون برای یافتن یک فرعی مجهول از طریق یک معلوم به دست آوریم. کوچک و یک تفاوت آنها را یکی یکی فرموله می کنیم و بلافاصله جواب را به معادلات مربوطه ارائه می کنیم.

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

برای مثال، معادله x−2=5 را در نظر بگیرید. حاوی یک نکته ناشناخته است. قانون بالا به ما می گوید که برای یافتن آن باید زیرتره شناخته شده 2 را به تفاوت شناخته شده 5 اضافه کنیم، 5+2=7 داریم. بنابراین، مینیوند مورد نیاز برابر با هفت است.

اگر توضیحات را حذف کنیم، راه حل به صورت زیر نوشته می شود:
x−2=5،
x=5+2،
x=7.

برای کنترل خود، بیایید یک بررسی انجام دهیم. ما مینیوند پیدا شده را جایگزین معادله اصلی می کنیم و برابری عددی 7-2=5 را به دست می آوریم. درست است، بنابراین، می‌توانیم مطمئن باشیم که مقدار مینیوند مجهول را به درستی تعیین کرده‌ایم.

شما می توانید به پیدا کردن زیره ناشناخته ادامه دهید. با استفاده از جمع طبق قانون زیر یافت می شود: برای یافتن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از مینیوند کم کنید.

بیایید با استفاده از قانون نوشته شده معادله ای از فرم 9−x=4 را حل کنیم. در این معادله، مجهول زیرآب است. برای پیدا کردن آن، باید تفاوت شناخته شده 4 را از مینیوند شناخته شده 9 کم کنیم، 9-4=5 داریم. بنابراین، زیرآب مورد نیاز برابر با پنج است.

در اینجا یک نسخه کوتاه از راه حل این معادله است:
9−x=4،
x=9-4،
x=5.

تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که صحت زیرمجموعه یافت شده را بررسی کنید. بیایید با جایگزین کردن مقدار یافت شده 5 در معادله اصلی به جای x، بررسی کنیم و برابری عددی 9-5=4 را بدست آوریم. درست است، بنابراین مقدار زیرمجموعه ای که پیدا کردیم صحیح است.

و قبل از رفتن به قانون بعدی، توجه می کنیم که در کلاس ششم قانون حل معادلات در نظر گرفته شده است که به شما امکان می دهد هر عبارت را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منتقل کنید. بنابراین، تمام قوانینی که در بالا برای یافتن جمع مجهول، minuend و subtrahend مورد بحث قرار گرفت، کاملاً با آن سازگار است.

برای یافتن یک عامل ناشناخته، باید ...

اجازه دهید نگاهی به معادلات x·3=12 و 2·y=6 بیاندازیم. در آنها عدد مجهول عامل سمت چپ است و حاصلضرب و عامل دوم مشخص است. برای پیدا کردن یک ضریب مجهول، می توانید از قانون زیر استفاده کنید: برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید محصول را بر فاکتور شناخته شده تقسیم کنید.

اساس این قاعده این است که ما تقسیم اعداد را مخالف معنی ضرب کردیم. یعنی بین ضرب و تقسیم ارتباط وجود دارد: از تساوی a·b=c که در آن a≠0 و b≠0 نتیجه می شود که c:a=b و c:b=c و بالعکس.

مثلاً عامل مجهول معادله x·3=12 را پیدا کنیم. طبق قانون باید تقسیم کنیم کار معروف 12 توسط عامل شناخته شده 3. بیایید انجام دهیم: 12:3 = 4. بنابراین، عامل مجهول 4 است.

به طور خلاصه، حل معادله به صورت دنباله ای از برابری ها نوشته می شود:
x·3=12،
x=12:3،
x=4.

همچنین توصیه می شود نتیجه را بررسی کنید: به جای حرف، مقدار یافت شده را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، 4 3 = 12 به دست می آوریم - یک برابری عددی صحیح، بنابراین مقدار عامل مجهول را به درستی پیدا کرده ایم.

و یک نکته دیگر: عمل بر اساس قانون آموخته شده، در واقع هر دو طرف معادله را بر یک عامل شناخته شده غیر از صفر تقسیم می کنیم. در کلاس ششم گفته می شود که هر دو طرف یک معادله را می توان در یک عدد غیر صفر ضرب و تقسیم کرد، این روی ریشه های معادله تأثیری ندارد.

چگونه یک سود سهام یا تقسیم کننده مجهول پیدا کنیم؟

در چارچوب موضوع ما، این باقی مانده است که چگونه یک تقسیم سود مجهول را با یک تقسیم کننده و ضریب معلوم پیدا کنیم، و همچنین چگونه یک تقسیم کننده مجهول را با سود و ضریب معلوم پیدا کنیم. ارتباط بین ضرب و تقسیم که قبلاً در پاراگراف قبل ذکر شد به ما امکان می دهد به این سؤالات پاسخ دهیم.

برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.

بیایید با استفاده از یک مثال به کاربرد آن نگاه کنیم. بیایید معادله x:5=9 را حل کنیم. برای یافتن سود مجهول این معادله، طبق قانون باید ضریب شناخته شده 9 را در مقسوم علیه شناخته شده 5 ضرب کنیم، یعنی ضرب را انجام می دهیم. اعداد طبیعی: 9·5=45. بنابراین سود سهام مورد نیاز 45 است.

بیایید یک نسخه کوتاه از راه حل را نشان دهیم:
x:5=9،
x=9·5،
x=45.

چک تأیید می کند که ارزش سود سهام مجهول به درستی پیدا شده است. در واقع، هنگام جایگزینی عدد 45 به معادله اصلی به جای متغیر x، به برابری عددی صحیح 45:5=9 تبدیل می‌شود.

توجه داشته باشید که قانون تجزیه و تحلیل شده را می توان به عنوان ضرب هر دو طرف معادله در یک مقسوم علیه شناخته شده تفسیر کرد. این تبدیل بر ریشه های معادله تأثیر نمی گذارد.

بیایید به قانون پیدا کردن مقسوم علیه مجهول برویم: برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید مقسوم علیه مجهول را از معادله 18:x=3 پیدا کنیم. برای این کار باید سود شناخته شده 18 را بر ضریب معلوم 3 تقسیم کنیم، 18:3=6 داریم. بنابراین مقسوم علیه مورد نیاز شش است.

راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:
18:x=3،
x=18:3،
x=6.

بیایید این نتیجه را برای پایایی بررسی کنیم: 18:6=3 یک برابری عددی صحیح است، بنابراین، ریشه معادله به درستی پیدا شد.

واضح است که این قانون فقط زمانی قابل اعمال است که ضریب غیر صفر باشد تا با تقسیم بر صفر مواجه نشویم. وقتی ضریب برابر با صفر باشد، دو حالت ممکن است. اگر سود تقسیمی برابر با صفر باشد، یعنی معادله به شکل 0:x=0 باشد، هر مقدار غیر صفر مقسوم علیه این معادله را برآورده می کند. به عبارت دیگر، ریشه چنین معادله ای هر عددی است که برابر با صفر نباشد. اگر زمانی که ضریب برابر با صفر باشد، سود تقسیمی با صفر متفاوت باشد، برای هیچ مقدار مقسوم‌کننده، معادله اصلی به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، یعنی معادله ریشه ندارد. برای مثال، معادله 5:x=0 را ارائه می کنیم، این معادله هیچ راه حلی ندارد.

قوانین اشتراک گذاری

استفاده مداوم از قواعد برای یافتن مجموع مجهول، مینیوند، فرعی، ضریب، تقسیم و مقسوم به شما این امکان را می دهد که معادلات را با یک متغیر واحد بیشتر حل کنید. نوع پیچیده. بیایید با یک مثال این را بفهمیم.

معادله 3 x+1=7 را در نظر بگیرید. ابتدا می توانیم عبارت مجهول 3 x را پیدا کنیم، برای این کار باید عبارت شناخته شده 1 را از مجموع 7 کم کنیم، 3 x = 7−1 و سپس 3 x = 6 به دست می آوریم. اکنون باقی مانده است که با تقسیم حاصلضرب 6 بر ضریب شناخته شده 3، عامل مجهول را پیدا کنیم، x=6:3 داریم، از آنجا x=2 است. به این ترتیب ریشه معادله اصلی پیدا می شود.

برای ادغام مواد، یک راه حل مختصر برای معادله دیگر ارائه می کنیم (2·x-7):3-5=2.
(2 x-7):3-5=2،
(2 x−7):3=2+5،
(2 x−7): 3=7،
2 x−7=7 3،
2 x−7=21،
2 x=21+7،
2 x = 28،
x=28:2،
x=14.

مراجع

• ریاضیات.. کلاس چهارم. کتاب درسی برای آموزش عمومی نهادها در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1 / [M. I. Moro، M. A. Bantova، G. V. Beltyukova، و غیره] - ویرایش 8. - م.: آموزش و پرورش، 1390. - 112 ص: بیمار. - (مدرسه روسیه). - شابک 978-5-09-023769-7.
• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.

تسلط بر معادلات مبحثی دشوار است، اما ابزار قدرتمندی برای حل اکثر مسائل است.

با استفاده از معادلات، فرآیندهای مختلفی که در طبیعت رخ می دهند، توصیف می شوند. معادلات به طور گسترده در علوم دیگر استفاده می شود: اقتصاد، فیزیک، زیست شناسی و شیمی.

در این درس سعی خواهیم کرد ماهیت ساده ترین معادلات را درک کنیم، بیان مجهولات را بیاموزیم و چندین معادله را حل کنیم. با یادگیری مطالب جدید، معادلات پیچیده تر می شوند، بنابراین درک اصول اولیه بسیار مهم است.

مهارت های اولیه محتوای درس

معادله چیست؟

معادله برابری است که حاوی متغیری است که می خواهید مقدار آن را پیدا کنید. این مقدار باید به گونه ای باشد که با جایگزینی معادله اصلی، برابری عددی صحیح به دست آید.

به عنوان مثال، عبارت 3 + 2 = 5 یک برابری است. هنگام محاسبه سمت چپ، برابری عددی صحیح 5 = 5 به دست می آید.

اما برابری 3 + است x= 5 یک معادله است زیرا حاوی یک متغیر است x، که ارزش آن را می توان یافت. مقدار باید به گونه ای باشد که هنگام جایگزینی این مقدار به معادله اصلی، برابری عددی صحیح به دست آید.

به عبارت دیگر، ما باید مقداری را پیدا کنیم که علامت مساوی مکان آن را توجیه کند - سمت چپ باید با سمت راست برابر باشد.

معادله 3 + x= 5 ابتدایی است. مقدار متغیر xبرابر عدد 2 است. برای هر مقدار دیگری برابری رعایت نخواهد شد

می گویند عدد 2 است ریشهیا حل معادله 3 + x = 5

ریشهیا حل معادله- این مقدار متغیری است که در آن معادله به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود.

ممکن است چندین ریشه داشته باشد یا اصلاً وجود نداشته باشد. معادله را حل کنیدیعنی ریشه های آن را بیابید یا ثابت کنید که ریشه ای وجود ندارد.

متغیر موجود در معادله در غیر این صورت نامیده می شود ناشناخته. شما این حق را دارید که آن را آنچه که ترجیح می دهید بنامید. اینها مترادف هستند.

توجه داشته باشید. همایند "حل معادله"برای خودش صحبت می کند حل یک معادله به معنای "برابر کردن" معادله است - متعادل کردن آن به طوری که سمت چپ با سمت راست برابر شود.

یک چیز را از طریق دیگری بیان کنید

مطالعه معادلات به طور سنتی با یادگیری بیان یک عدد موجود در یک برابری از طریق تعدادی دیگر آغاز می شود. این سنت را زیر پا نگذاریم و همین کار را انجام دهیم.

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

8 + 2

این عبارت مجموع اعداد 8 و 2 است.مقدار این عبارت 10 است

8 + 2 = 10

برابری کردیم اکنون می توانید هر عددی را از این برابری از طریق اعداد دیگری که در همان تساوی گنجانده شده است بیان کنید. برای مثال عدد 2 را بیان می کنیم.

برای بیان عدد 2 باید این سوال را بپرسید: "برای بدست آوردن عدد 2 با اعداد 10 و 8 چه باید کرد." واضح است که برای به دست آوردن عدد 2 باید عدد 8 را از عدد 10 کم کنید.

این کاری است که ما انجام می دهیم. عدد 2 را یادداشت می کنیم و از طریق علامت مساوی می گوییم برای به دست آوردن این عدد 2 عدد 8 را از عدد 10 کم می کنیم:

2 = 10 − 8

عدد 2 را از برابری 8 + 2 = 10 بیان کردیم. همانطور که از مثال می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد.

هنگام حل معادلات، به ویژه هنگام بیان یک عدد بر حسب دیگران، راحت است که علامت مساوی را با کلمه " جایگزین کنید. وجود دارد" . این باید به صورت ذهنی انجام شود و نه در خود بیان.

بنابراین، با بیان عدد 2 از برابری 8 + 2 = 10، برابری 2 = 10-8 را به دست می آوریم. این برابری را می توان به صورت زیر خواند:

2 وجود دارد 10 − 8

این یک نشانه است = به جای کلمه "است". علاوه بر این، برابری 2 = 10-8 را می توان از زبان ریاضی به زبان انسانی کامل ترجمه کرد. سپس می توان آن را به صورت زیر خواند:

شماره 2 وجود داردتفاوت بین عدد 10 و عدد 8

شماره 2 وجود داردتفاوت بین عدد 10 و عدد 8

اما ما خود را به جایگزین کردن علامت مساوی با کلمه "است" محدود می کنیم و همیشه این کار را نمی کنیم. عبارات ابتدایی را می توان بدون ترجمه زبان ریاضی به زبان انسانی درک کرد.

اجازه دهید برابری حاصل 2 = 10-8 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 + 2 = 10

بیایید این بار عدد 8 را بیان کنیم با اعداد باقیمانده چه باید کرد تا عدد 8 را بدست آوریم؟ درست است، شما باید 2 را از عدد 10 کم کنید

8 = 10 − 2

اجازه دهید برابری حاصل 8 = 10-2 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 + 2 = 10

این بار عدد 10 را بیان می کنیم. اما معلوم می شود که نیازی به بیان ده نیست، زیرا قبلاً بیان شده است. کافی است قسمت چپ و راست را تعویض کنیم، سپس آنچه را که نیاز داریم به دست می آوریم:

10 = 8 + 2

مثال 2. برابری 8 − 2 = 6 را در نظر بگیرید

اجازه دهید عدد 8 را از این تساوی بیان کنیم، برای بیان عدد 8، باید دو عدد باقی مانده را اضافه کنیم.

8 = 6 + 2

اجازه دهید برابری حاصل 8 = 6 + 2 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 − 2 = 6

بیایید عدد 2 را از این تساوی بیان کنیم برای بیان عدد 2 باید 6 را از 8 کم کنید

2 = 8 − 6

مثال 3. تساوی 3 × 2 = 6 را در نظر بگیرید

بیایید عدد 3 را بیان کنیم برای بیان عدد 3 به 6 تقسیم بر 2 نیاز دارید

بیایید برابری حاصل را به حالت اولیه برگردانیم:

3 × 2 = 6

اجازه دهید عدد 2 را از این تساوی بیان کنیم برای بیان عدد 2 باید 6 تقسیم بر 3 شود

مثال 4. برابری را در نظر بگیرید

اجازه دهید عدد 15 را از این تساوی بیان کنیم برای بیان عدد 15 باید اعداد 3 و 5 را ضرب کنیم

15 = 3 × 5

اجازه دهید برابری حاصل 15 = 3 × 5 را به حالت اولیه برگردانیم:

اجازه دهید عدد 5 را از این تساوی بیان کنیم برای بیان عدد 5، به 15 تقسیم بر 3 نیاز دارید

قوانینی برای یافتن مجهولات

بیایید چندین قانون برای یافتن مجهولات در نظر بگیریم. ممکن است برای شما آشنا باشند، اما تکرار دوباره آنها ضرری ندارد. در آینده، آنها را می توان فراموش کرد، زیرا ما یاد می گیریم که معادلات را بدون اعمال این قوانین حل کنیم.

برگردیم به مثال اول که در مبحث قبل به آن نگاه کردیم که در برابری 8 + 2 = 10 باید عدد 2 را بیان کنیم.

در برابری 8 + 2 = 10، اعداد 8 و 2 عبارت هستند و عدد 10 حاصل جمع است.

برای بیان عدد 2 موارد زیر را انجام دادیم:

2 = 10 − 8

یعنی از مجموع 10 عدد 8 را کم کردیم.

حال تصور کنید که در برابری 8 + 2 = 10 به جای عدد 2 یک متغیر وجود دارد. x

8 + x = 10

در این حالت تساوی 8 + 2 = 10 به معادله 8 + تبدیل می شود x= 10 و متغیر x اصطلاح ناشناخته

وظیفه ما این است که این عبارت مجهول را پیدا کنیم، یعنی معادله 8 + را حل کنیم x= 10. برای یافتن یک عبارت ناشناخته، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع آن کم کنید.

که اساساً همان کاری است که وقتی دو را در برابری 8 + 2 = 10 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عبارت ۲، عبارت ۸ دیگر را از مجموع ۱۰ کم کردیم

2 = 10 − 8

حال، برای یافتن اصطلاح ناشناخته x، باید عبارت شناخته شده 8 را از مجموع 10 کم کنیم:

x = 10 − 8

اگر سمت راست برابری حاصل را محاسبه کنید، می توانید بفهمید که متغیر با چه چیزی برابر است x

x = 2

معادله را حل کرده ایم. مقدار متغیر xبرابر 2. برای بررسی مقدار یک متغیر xبه معادله اصلی 8 + ارسال شد x= 10 و جایگزین xتوصیه می شود این کار را با هر معادله حل شده انجام دهید، زیرا نمی توانید کاملاً مطمئن باشید که معادله به درستی حل شده است:

در نتیجه

اگر عبارت مجهول اولین عدد 8 باشد، همین قانون اعمال می شود.

x + 2 = 10

در این معادله xعبارت مجهول است، 2 عبارت شناخته شده است، 10 مجموع است. برای پیدا کردن یک اصطلاح ناشناخته x، باید عبارت شناخته شده 2 را از مجموع 10 کم کنید

x = 10 − 2

x = 8

بیایید به مثال دوم مبحث قبل برگردیم که در برابری 8 − 2 = 6 باید عدد 8 را بیان کنیم.

در تساوی 8 − 2 = 6، عدد 8 مینیوند، عدد 2 فرعی و عدد 6 تفاوت است.

برای بیان عدد 8 موارد زیر را انجام دادیم:

8 = 6 + 2

یعنی تفاضل 6 را جمع کردیم و 2 را کم کردیم.

حال تصور کنید که در برابری 8 − 2 = 6، به جای عدد 8، یک متغیر وجود دارد. x

x − 2 = 6

در این مورد متغیر xنقش به اصطلاح را بر عهده می گیرد اتفاق ناشناخته

برای یافتن یک مینیوند ناشناخته، قانون زیر ارائه شده است:

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

این همان کاری است که وقتی عدد 8 را در برابری 8 − 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان مینیوند 8، زیرترهند 2 را به تفاضل 6 اضافه کردیم.

اکنون، برای یافتن نتیجه ناشناخته x، باید زیرتراژ 2 را به تفاوت 6 اضافه کنیم

x = 6 + 2

اگر سمت راست را محاسبه کنید، می توانید بفهمید که این متغیر با چه چیزی برابر است x

x = 8

حال تصور کنید که در برابری 8 − 2 = 6، به جای عدد 2، یک متغیر وجود دارد. x

8 − x = 6

در این مورد متغیر xنقش را بر عهده می گیرد زیره ناشناخته

برای پیدا کردن یک زیرمجموعه ناشناخته، قانون زیر ارائه شده است:

برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.

این همان کاری است که وقتی عدد 2 را در برابری 8 − 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عدد 2، تفاوت 6 را از مینیوند 8 کم کردیم.

حالا برای پیدا کردن زیره ناشناخته x، مجدداً باید تفاوت 6 را از minuend 8 کم کنید

x = 8 − 6

سمت راست را محاسبه کرده و مقدار را پیدا می کنیم x

x = 2

برگردیم به مثال سوم از مبحث قبل که در برابری 3 × 2 = 6 سعی کردیم عدد 3 را بیان کنیم.

در برابری 3 × 2 = 6، عدد 3 ضریب، عدد 2 ضریب، عدد 6 حاصلضرب است.

برای بیان عدد 3 موارد زیر را انجام دادیم:

یعنی حاصل ضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کردیم.

حال تصور کنید که در برابری 3 × 2 = 6، به جای عدد 3 یک متغیر وجود دارد. x

x× 2 = 6

در این مورد متغیر xنقش را بر عهده می گیرد ضرب ناشناخته.

برای یافتن یک ضریب مجهول، قانون زیر ارائه می شود:

برای پیدا کردن یک ضرب ناشناخته، باید حاصل ضرب را بر ضریب تقسیم کنید.

این همان کاری است که وقتی عدد 3 را از برابری 3 × 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. حاصلضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کردیم.

حال برای پیدا کردن ضرب مجهول x، باید حاصل ضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کنید.

محاسبه سمت راست به ما امکان می دهد مقدار یک متغیر را پیدا کنیم x

x = 3

همین قانون در مورد متغیر اعمال می شود xبه جای ضریب قرار دارد، نه ضریب. بیایید تصور کنیم که در برابری 3 × 2 = 6، به جای عدد 2 یک متغیر وجود دارد. x

در این مورد متغیر xنقش را بر عهده می گیرد ضریب ناشناخته. برای یافتن یک عامل مجهول، روش مشابهی برای یافتن یک ضریب مجهول ارائه می شود، یعنی تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده:

برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید.

این همان کاری است که وقتی عدد 2 را از برابری 3 × 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. سپس برای به دست آوردن عدد 2، حاصل ضرب 6 را بر ضرب آن 3 تقسیم می کنیم.

حال برای یافتن عامل ناشناخته xحاصل ضرب 6 را بر ضرب 3 تقسیم می کنیم.

محاسبه سمت راست تساوی به شما امکان می دهد بفهمید x برابر است

x = 2

ضریب و ضریب با هم عامل نامیده می شوند. از آنجایی که قوانین یافتن ضریب و ضریب یکسان است، می توانیم فرمول بندی کنیم قانون کلییافتن یک عامل ناشناخته:

برای یافتن یک عامل ناشناخته، باید محصول را بر فاکتور شناخته شده تقسیم کنید.

به عنوان مثال، معادله 9 × را حل می کنیم x= 18. متغیر xیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصلضرب 18 را بر ضریب شناخته شده 9 تقسیم کنید

بیایید معادله را حل کنیم x× 3 = 27. متغیر xیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصلضرب 27 را بر ضریب شناخته شده 3 تقسیم کنید

برگردیم به مثال چهارم از مبحث قبل که در یک تساوی باید عدد 15 را بیان کنیم. در این تساوی عدد 15 تقسیم کننده، عدد 5 مقسوم علیه و عدد 3 ضریب است.

برای بیان عدد 15 موارد زیر را انجام دادیم:

15 = 3 × 5

یعنی ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب کردیم.

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 15، یک متغیر وجود دارد x

در این مورد متغیر xنقش را بر عهده می گیرد سود نامشخص.

برای یافتن سود سهام مجهول، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.

وقتی عدد 15 را از تساوی بیان کردیم این کار را انجام دادیم. برای بیان عدد 15، ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب می کنیم.

اکنون، برای یافتن سود سهام ناشناخته x، باید ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب کنید

x= 3 × 5

x .

x = 15

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 5، یک متغیر وجود دارد x .

در این مورد متغیر xنقش را بر عهده می گیرد مقسوم علیه ناشناخته.

برای یافتن مقسوم علیه مجهول، قانون زیر ارائه می شود:

وقتی عدد 5 را از تساوی بیان کردیم این کار را انجام دادیم. برای بیان عدد 5، سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم.

حال برای یافتن مقسوم علیه مجهول x، باید سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم کنید

بیایید سمت راست برابری حاصل را محاسبه کنیم. به این ترتیب متوجه می شویم که این متغیر با چه چیزی برابر است x .

x = 5

بنابراین، برای یافتن مجهولات، قوانین زیر را مطالعه کردیم:

• برای پیدا کردن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید.
• برای یافتن نتیجه ناشناخته، باید زیرآب را به تفاوت اضافه کنید.
• برای یافتن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از مینیوند کم کنید.
• برای پیدا کردن یک ضرب ناشناخته، باید حاصل را بر ضریب تقسیم کنید.
• برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید.
• برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.
• برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید.

اجزاء

ما اجزاء را اعداد و متغیرهای موجود در برابری می نامیم

بنابراین، اجزای جمع هستند شرایطو مجموع

مولفه های تفریق هستند مینیوند, زیر اندازو تفاوت

مولفه های ضرب هستند ضرب, عاملو کار کردن

اجزای تقسیم عبارتند از سود تقسیمی، مقسوم علیه و نصاب.

بسته به اینکه با کدام مؤلفه ها سر و کار داریم، قوانین مربوطه برای یافتن مجهولات اعمال می شود. این قوانین را در مبحث قبل بررسی کردیم. هنگام حل معادلات، توصیه می شود این قوانین را از روی قلب بدانید.

مثال 1. ریشه معادله 45 + را پیدا کنید x = 60

45 - ترم، x- اصطلاح مجهول، 60 - جمع. ما با اجزای جمع سروکار داریم. یادآوری می کنیم که برای یافتن یک جمله مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

x = 60 − 45

بیایید سمت راست را محاسبه کنیم و مقدار را بدست آوریم xبرابر با 15

x = 15

بنابراین ریشه معادله 45 + است x= 60 برابر با 15 است.

اغلب، یک اصطلاح ناشناخته باید به شکلی کاهش یابد که بتوان آن را بیان کرد.

مثال 2. معادله را حل کنید

در اینجا، برخلاف مثال قبلی، عبارت مجهول را نمی توان بلافاصله بیان کرد، زیرا حاوی ضریب 2 است. وظیفه ما این است که این معادله را به شکلی برسانیم که بتوان آن را بیان کرد. x

در این مثال، ما با اجزای جمع – اصطلاحات و جمع سر و کار داریم. 2 xجمله اول، 4 جمله دوم، 8 جمع است.

در این مورد، ترم 2 xشامل یک متغیر است x. پس از یافتن مقدار متغیر xترم 2 xنگاهی متفاوت خواهد داشت بنابراین، ترم 2 xرا می توان به طور کامل به عنوان یک اصطلاح ناشناخته در نظر گرفت:

اکنون قانون را برای یافتن عبارت مجهول اعمال می کنیم. عبارت شناخته شده را از جمع کم کنید:

بیایید سمت راست معادله حاصل را محاسبه کنیم:

ما یک معادله جدید داریم. اکنون با مولفه های ضرب سروکار داریم: ضرب، ضریب و حاصل ضرب. 2 - ضرب، x- ضریب، 4 - حاصلضرب

در این حالت متغیر xفقط یک ضریب نیست، بلکه یک ضریب مجهول است

برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصل ضرب را بر ضریب تقسیم کنید:

بیایید سمت راست را محاسبه کنیم و مقدار متغیر را بدست آوریم x

برای بررسی، ریشه یافت شده را به معادله اصلی ارسال کرده و جایگزین کنید x

مثال 3. معادله را حل کنید 3x+ 9x+ 16x= 56

ناشناخته را بلافاصله بیان کنید xممنوع است ابتدا باید این معادله را به شکلی بیاورید که بتوان آن را بیان کرد.

ما در سمت چپ ارائه می دهیم معادله داده شده:

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. 28 - ضرب، x- ضریب، 56 - حاصلضرب. در عین حال xیک عامل ناشناخته است برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید:

از اینجا xبرابر 2

معادلات معادل

در مثال قبل هنگام حل معادله 3x + 9x + 16x = 56 ، عبارت های مشابهی را در سمت چپ معادله آورده ایم. در نتیجه معادله 28 جدیدی به دست آوردیم x= 56. معادله قدیمی 3x + 9x + 16x = 56 و معادله جدید 28 حاصل می شود x= 56 نامیده می شود معادلات معادل، از آنجایی که ریشه آنها منطبق است.

معادلات در صورتی معادل نامیده می شوند که ریشه آنها بر هم منطبق باشد.

بیایید آن را بررسی کنیم. برای معادله 3x+ 9x+ 16x= 56 ما ریشه را برابر با 2 یافتیم. بیایید ابتدا این ریشه را جایگزین معادله کنیم 3x+ 9x+ 16x= 56 و سپس وارد معادله 28 شوید x= 56 که با آوردن عبارت های مشابه در سمت چپ معادله قبلی به دست آمد. باید برابری های عددی صحیح را بدست آوریم

با توجه به ترتیب عملیات، ابتدا ضرب انجام می شود:

بیایید ریشه 2 را جایگزین معادله دوم 28 کنیم x= 56

می بینیم که هر دو معادله ریشه های یکسانی دارند. بنابراین معادلات 3x+ 9x+ 16x= 56 و 28 x= 56 در واقع معادل هستند.

برای حل معادله 3x+ 9x+ 16x= 56 ما از یکی از آنها استفاده کردیم - کاهش اصطلاحات مشابه. تبدیل هویت صحیح معادله به ما امکان داد معادله 28 را بدست آوریم x= 56، که حل آن راحت تر است.

از تحولات یکسان به در حال حاضرما فقط می دانیم که چگونه کسرها را کاهش دهیم، اصطلاحات مشابه را اضافه کنیم، خارج کنیم ضریب مشترکفراتر از براکت ها، و همچنین براکت ها را باز کنید. تبدیل های دیگری نیز وجود دارد که باید از آنها آگاه باشید. اما برای یک ایده کلی از تبدیل های یکسان معادلات، موضوعاتی که ما مطالعه کردیم کاملاً کافی است.

بیایید چند تبدیل را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد معادله معادل را به دست آوریم

اگر یک عدد را به دو طرف معادله اضافه کنید، معادله ای معادل معادله به دست می آورید.

و به همین ترتیب:

اگر یک عدد را از دو طرف یک معادله کم کنید، معادله ای معادل معادله بدست می آورید.

به عبارت دیگر، اگر همان عدد به همان عدد اضافه شود (یا از هر دو طرف کم شود)، ریشه معادله تغییر نخواهد کرد.

مثال 1. معادله را حل کنید

از دو طرف معادله 10 کم کنید

معادله 5 را به دست آوردیم x= 10. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای یافتن یک عامل ناشناخته x، باید حاصلضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 5 تقسیم کنید.

و جایگزین xمقدار پیدا شده 2

برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. یعنی معادله به درستی حل شده است.

حل معادله عدد 10 را از دو طرف معادله کم کردیم. در نتیجه یک معادله معادل به دست آوردیم. ریشه این معادله مانند معادله نیز برابر با 2 است

مثال 2. حل معادله 4( x+ 3) = 16

عدد 12 را از دو طرف معادله کم کنید

در سمت چپ 4 عدد باقی خواهد ماند xو در سمت راست عدد 4

معادله 4 را به دست آوردیم x= 4. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای یافتن یک عامل ناشناخته x، باید حاصل ضرب 4 را بر ضریب شناخته شده 4 تقسیم کنید

بیایید به معادله اصلی 4 برگردیم ( x+ 3) = 16 و جایگزین xمقدار پیدا شده 1

برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. یعنی معادله به درستی حل شده است.

حل معادله 4( x+ 3) = 16 عدد 12 را از دو طرف معادله کم کردیم. در نتیجه معادله 4 را به دست آوردیم x= 4. ریشه این معادله مانند معادله 4( x+ 3) = 16 نیز برابر با 1 است

مثال 3. معادله را حل کنید

بیایید براکت های سمت چپ برابری را گسترش دهیم:

عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کنید

اجازه دهید عبارات مشابهی را در هر دو طرف معادله ارائه کنیم:

در سمت چپ 2 عدد باقی خواهد ماند xو در سمت راست عدد 9

در معادله 2 حاصل x= 9 عبارت مجهول را بیان می کنیم x

بیایید به معادله اصلی برگردیم و جایگزین xمقدار یافت شده 4.5

برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. یعنی معادله به درستی حل شده است.

حل معادله ما عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کردیم و در نتیجه معادله ای معادل به دست آوردیم. ریشه این معادله مانند معادله همچنین برابر با 4.5 است

قانون بعدی که به ما امکان می دهد معادله ای معادل بدست آوریم به شرح زیر است

اگر یک عبارت در یک معادله را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنید و علامت آن را تغییر دهید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست خواهید آورد.

یعنی اگر یک عبارت را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم، ریشه معادله تغییر نمی کند. این ویژگی یکی از مهم ترین و یکی از مواردی است که اغلب در حل معادلات استفاده می شود.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

ریشه این معادله برابر با 2 است. اجازه دهید جایگزین کنیم xاین را ریشه کنید و بررسی کنید که آیا برابری عددی صحیح است یا خیر

نتیجه یک برابری صحیح است. این بدان معنی است که عدد 2 در واقع ریشه معادله است.

حالا بیایید سعی کنیم شرایط این معادله را آزمایش کنیم، آنها را از یک قسمت به قسمت دیگر منتقل کنیم، علائم را تغییر دهیم.

به عنوان مثال، ترم 3 xدر سمت چپ معادله قرار دارد. بیایید آن را به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به سمت مخالف تغییر دهیم:

نتیجه یک معادله است 12 = 9x − 3x . در سمت راست این معادله:

xیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

از اینجا x= 2. همانطور که می بینید، ریشه معادله تغییر نکرده است. بنابراین معادلات 12 + 3 هستند x = 9xو 12 = 9x − 3x معادل هستند.

در واقع، این تبدیل یک روش ساده شده از تبدیل قبلی است که در آن همان عدد به دو طرف معادله اضافه (یا کم) شده است.

گفتیم که در معادله 12 + 3 x = 9xترم 3 xبا تغییر علامت به سمت راست منتقل شد. در واقع، این اتفاق افتاد: عبارت 3 از هر دو طرف معادله کم شد x

سپس عبارت های مشابهی در سمت چپ آورده شد و معادله به دست آمد 12 = 9x − 3x سپس دوباره عبارات مشابه اما در سمت راست آورده شد و معادله 12 = 6 به دست آمد x

اما به اصطلاح "انتقال" برای چنین معادلاتی راحت تر است، به همین دلیل است که بسیار گسترده شده است. هنگام حل معادلات، اغلب از این تبدیل خاص استفاده می کنیم.

معادلات 12 + 3 نیز معادل هستند x= 9xو 3x− 9x= −12 . این بار معادله 12 + 3 است x= 9xترم 12 به سمت راست و ترم 9 منتقل شد xبه سمت چپ نباید فراموش کرد که نشانه های این شرایط در حین انتقال تغییر کرد

قانون بعدی که به ما امکان می دهد معادله ای معادل بدست آوریم به شرح زیر است:

اگر هر دو طرف معادله در یک عدد ضرب یا تقسیم بر یک عدد شوند، معادل صفر، معادله ای معادل عدد داده شده بدست می آورید.

به عبارت دیگر، اگر هر دو طرف در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، ریشه یک معادله تغییر نخواهد کرد. این عمل اغلب زمانی استفاده می شود که شما نیاز به حل معادله ای حاوی عبارات کسری دارید.

ابتدا به مثال هایی نگاه می کنیم که در آنها هر دو طرف معادله در یک عدد ضرب می شوند.

مثال 1. معادله را حل کنید

هنگام حل معادلات حاوی عبارات کسری، مرسوم است که ابتدا معادله را ساده کنید.

در این حالت دقیقاً با چنین معادله ای روبرو هستیم. برای ساده کردن این معادله، هر دو طرف را می توان در 8 ضرب کرد:

به یاد می آوریم که برای , باید عدد کسر معین را در این عدد ضرب کنیم. ما دو کسر داریم و هر کدام در عدد 8 ضرب می شود. وظیفه ما این است که اعداد کسرها را در این عدد 8 ضرب کنیم.

حالا قسمت جالب اتفاق می افتد. صورت‌ها و مخرج‌های هر دو کسر حاوی ضریب 8 هستند که می‌توان آن را 8 کاهش داد. این به ما امکان می‌دهد از عبارت کسری خلاص شویم:

در نتیجه ساده ترین معادله باقی می ماند

خوب، حدس زدن اینکه ریشه این معادله 4 است، سخت نیست

xمقدار پیدا شده 4

نتیجه یک برابری عددی صحیح است. یعنی معادله به درستی حل شده است.

هنگام حل این معادله، هر دو طرف را در 8 ضرب کردیم. در نتیجه، معادله را به دست آوردیم. ریشه این معادله نیز مانند معادله 4 است. یعنی این معادلات معادل هستند.

عاملی که در آن دو طرف معادله ضرب می شود معمولاً قبل از قسمت معادله نوشته می شود و نه بعد از آن. بنابراین، با حل معادله، هر دو طرف را در ضریب 8 ضرب کردیم و ورودی زیر به دست آمد:

این امر ریشه معادله را تغییر نداد، اما اگر در مدرسه این کار را انجام می دادیم، مورد توبیخ قرار می گرفتیم، زیرا در جبر مرسوم است که یک عامل را قبل از عبارتی که با آن ضرب می شود، بنویسند. بنابراین، توصیه می شود ضرب دو طرف معادله در ضریب 8 را به صورت زیر بازنویسی کنید:

مثال 2. معادله را حل کنید

در سمت چپ، ضریب های 15 را می توان 15 کاهش داد، و در سمت راست، ضریب های 15 و 5 را می توان 5 کاهش داد.

بیایید پرانتزهای سمت راست معادله را باز کنیم:

بیایید اصطلاح را جابجا کنیم xاز سمت چپ معادله به سمت راست، تغییر علامت. و ترم 15 را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم و دوباره علامت را تغییر می دهیم:

اجازه دهید اصطلاحات مشابه را در هر دو طرف ارائه کنیم، دریافت می کنیم

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. متغیر x

بیایید به معادله اصلی برگردیم و جایگزین xمقدار پیدا شده 5

نتیجه یک برابری عددی صحیح است. یعنی معادله به درستی حل شده است. هنگام حل این معادله، هر دو طرف را در 15 ضرب کردیم. با انجام تبدیل های یکسان، معادله 10 = 2 را به دست آوردیم x. ریشه این معادله مانند معادله برابر با 5 یعنی این معادلات معادل هستند.

مثال 3. معادله را حل کنید

در سمت چپ شما می توانید دو سه برابر کاهش دهید، و سمت راستبرابر 18 خواهد بود

ساده ترین معادله باقی می ماند. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. متغیر xیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و جایگزین کنیم xمقدار پیدا شده 9

نتیجه یک برابری عددی صحیح است. یعنی معادله به درستی حل شده است.

مثال 4. معادله را حل کنید

دو طرف معادله را در 6 ضرب کنید

بیایید براکت های سمت چپ معادله را باز کنیم. در سمت راست، ضریب 6 را می توان به صورت شمارنده افزایش داد:

بیایید آنچه را می توان در هر دو طرف معادلات کاهش داد:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. اصطلاحات حاوی ناشناخته x، در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم و عبارت های عاری از مجهولات - در سمت راست:

اجازه دهید اصطلاحات مشابه را در هر دو بخش ارائه کنیم:

حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم x. برای انجام این کار، حاصلضرب 28 را بر ضریب شناخته شده 7 تقسیم کنید

از اینجا x= 4.

بیایید به معادله اصلی برگردیم و جایگزین xمقدار پیدا شده 4

نتیجه یک معادله عددی صحیح است. یعنی معادله به درستی حل شده است.

مثال 5. معادله را حل کنید

در صورت امکان، پرانتزهای دو طرف معادله را باز می کنیم:

دو طرف معادله را در 15 ضرب کنید

بیایید پرانتزهای دو طرف معادله را باز کنیم:

بیایید آنچه را می توان در هر دو طرف معادله کاهش داد:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

بیایید پرانتزها را تا جایی که ممکن است گسترش دهیم:

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. عبارات حاوی مجهول را در سمت چپ معادله و عبارات فاقد مجهولات را در سمت راست گروه بندی می کنیم. فراموش نکنید که در حین انتقال، شرایط علائم خود را برعکس تغییر می دهد:

اجازه دهید عبارات مشابهی را در هر دو طرف معادله ارائه کنیم:

بیایید ارزش را پیدا کنیم x

پاسخ حاصل شامل یک بخش کامل است:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و جایگزین کنیم xارزش پیدا کرد

به نظر می رسد که این یک عبارت نسبتاً دست و پا گیر است. بیایید از متغیرها استفاده کنیم. بیایید سمت چپ تساوی را در یک متغیر قرار دهیم الف، و سمت راست برابری را به یک متغیر تبدیل کنید ب

وظیفه ما این است که مطمئن شویم سمت چپ با سمت راست برابر است یا خیر. به عبارت دیگر برابری A = B را ثابت کنید

بیایید مقدار عبارت را در متغیر A پیدا کنیم.

مقدار متغیر الفبرابر است . حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم ب. یعنی ارزش سمت راست برابری ماست. اگر آن نیز برابر باشد، معادله به درستی حل می شود

می بینیم که مقدار متغیر ب، مانند مقدار متغیر الفبرابر است . این بدان معناست که سمت چپ با سمت راست برابر است. از اینجا نتیجه می گیریم که معادله به درستی حل شده است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در یک عدد ضرب نکنیم، بلکه تقسیم کنیم.

معادله را در نظر بگیرید 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . بیایید آن را با استفاده از روش معمول حل کنیم: عبارات حاوی مجهولات را در سمت چپ معادله و عبارات بدون مجهول - در سمت راست گروه بندی می کنیم. در مرحله بعد، با انجام تبدیل های هویت شناخته شده، مقدار را پیدا می کنیم x

بیایید به جای آن مقدار پیدا شده 2 را جایگزین کنیم xبه معادله اصلی:

حالا بیایید سعی کنیم تمام عبارات معادله را از هم جدا کنیم 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 با مقداری توجه می کنیم که همه عبارت های این معادله دارای ضریب مشترک 2 هستند. هر جمله را بر آن تقسیم می کنیم.

بیایید یک کاهش در هر ترم انجام دهیم:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

بیایید این معادله را با استفاده از تبدیل های شناخته شده هویت حل کنیم:

ما روت 2 گرفتیم. بنابراین معادلات 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 و 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 معادل هستند.

تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عدد به شما امکان می دهد مجهول را از ضریب حذف کنید. در مثال قبلی وقتی معادله 7 را بدست آوردیم x= 14، ما باید حاصلضرب 14 را بر ضریب شناخته شده 7 تقسیم کنیم. اما اگر مجهول را از عامل 7 در سمت چپ آزاد می کردیم، ریشه بلافاصله پیدا می شد. برای این کار کافی بود هر دو طرف را بر 7 تقسیم کنید

ما نیز اغلب از این روش استفاده خواهیم کرد.

ضرب در منهای یک

اگر هر دو طرف معادله در منهای یک ضرب شود، معادله ای معادل این یکی بدست می آید.

این قانون از این واقعیت ناشی می شود که ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف یک معادله در یک عدد، ریشه معادله داده شده را تغییر نمی دهد. این بدان معنی است که اگر هر دو قسمت آن در -1 ضرب شوند، ریشه تغییر نخواهد کرد.

این قانون به شما اجازه می دهد تا علائم تمام اجزای موجود در معادله را تغییر دهید. این برای چیست؟ باز هم برای بدست آوردن معادله ای که حل آن راحت تر باشد.

معادله را در نظر بگیرید. ریشه این معادله چیست؟

عدد 5 را به دو طرف معادله اضافه کنید

بیایید به اصطلاحات مشابه نگاه کنیم:

حالا به یاد بیاوریم سمت چپ معادله چیست؟ این حاصل ضرب منهای یک و یک متغیر است x

یعنی علامت منفی جلوی متغیر x،به خود متغیر اشاره نمی کند x، اما به یک، که ما نمی بینیم، زیرا ضریب 1 معمولاً نوشته نمی شود. این به این معنی است که معادله در واقع به این صورت است:

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای پیدا کردن X، باید حاصل ضرب -5 را بر ضریب شناخته شده -1 تقسیم کنید.

یا هر دو طرف معادله را بر 1- تقسیم کنید که حتی ساده تر است

پس ریشه معادله 5 است. برای بررسی، بیایید آن را با معادله اصلی جایگزین کنیم. فراموش نکنید که در معادله اصلی منهای جلوی متغیر است xبه یک واحد نامرئی اشاره دارد

نتیجه یک معادله عددی صحیح است. یعنی معادله به درستی حل شده است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در منهای یک ضرب کنیم:

پس از باز کردن براکت ها، عبارت در سمت چپ تشکیل می شود و سمت راست برابر با 10 خواهد بود.

ریشه این معادله نیز مانند معادله 5 است

این بدان معنی است که معادلات معادل هستند.

مثال 2. معادله را حل کنید

در این معادله همه مولفه ها منفی هستند. کار با مولفه های مثبت راحت تر از مولفه های منفی است، بنابراین بیایید علائم همه اجزای موجود در معادله را تغییر دهیم. برای انجام این کار، هر دو طرف این معادله را در -1 ضرب کنید.

واضح است که وقتی در 1- ضرب شود، هر عددی علامت خود را به مخالف تغییر می دهد. بنابراین، روش ضرب در -1 و باز کردن براکت ها به طور دقیق توضیح داده نشده است، اما اجزای معادله با علائم مخالف بلافاصله یادداشت می شوند.

بنابراین، ضرب یک معادله در 1- را می توان به طور مفصل به صورت زیر نوشت:

یا به سادگی می توانید علائم همه اجزا را تغییر دهید:

نتیجه یکسان خواهد بود، اما تفاوت در این خواهد بود که در زمان خود صرفه جویی می کنیم.

بنابراین، با ضرب هر دو طرف معادله در -1، معادله را بدست می آوریم. بیایید این معادله را حل کنیم. 4 را از دو طرف کم کنید و هر دو طرف را بر 3 تقسیم کنید

وقتی ریشه پیدا می شود، متغیر معمولاً در سمت چپ و مقدار آن در سمت راست نوشته می شود، کاری که ما انجام دادیم.

مثال 3. معادله را حل کنید

بیایید هر دو طرف معادله را در -1 ضرب کنیم. سپس همه اجزاء علائم خود را به نشانه های مخالف تغییر می دهند:

از دو طرف معادله حاصل 2 کم کنید xو اصطلاحات مشابه را بیان کنید:

بیایید یکی را به هر دو طرف معادله اضافه کنیم و عبارات مشابه را بیاوریم:

برابر با صفر

اخیراً متوجه شدیم که اگر یک عبارت را در یک معادله از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم، معادله ای معادل معادله به دست خواهیم آورد.

چه اتفاقی می افتد اگر از یک قسمت به قسمت دیگر نه فقط یک ترم، بلکه همه اصطلاحات را منتقل کنید؟ درست است، در قسمتی که تمام اصطلاحات برداشته شده است، صفر باقی خواهد ماند. به عبارت دیگر چیزی باقی نخواهد ماند.

به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید. بیایید این معادله را طبق معمول حل کنیم - عبارت های حاوی مجهولات را در یک قسمت گروه بندی می کنیم و در قسمت دیگر عبارت های عددی را عاری از مجهولات می گذاریم. در مرحله بعد، با انجام تبدیل های هویت شناخته شده، مقدار متغیر را پیدا می کنیم x

حال بیایید سعی کنیم همان معادله را با مساوی کردن تمام اجزای آن به صفر حل کنیم. برای انجام این کار، همه عبارت ها را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و علائم را تغییر می دهیم:

اجازه دهید اصطلاحات مشابه را در سمت چپ ارائه کنیم:

77 را به هر دو طرف اضافه کنید و هر دو طرف را بر 7 تقسیم کنید

جایگزینی برای قوانین برای یافتن مجهولات

بدیهی است که با دانستن تبدیل‌های یکسان معادلات، لازم نیست قوانین را برای یافتن مجهولات به خاطر بسپارید.

به عنوان مثال، برای یافتن مجهول در معادله، حاصلضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 2 تقسیم می کنیم

اما اگر هر دو طرف معادله را بر 2 تقسیم کنید، ریشه بلافاصله پیدا می شود. در سمت چپ معادله در صورت ضریب 2 و در مخرج ضریب 2 به 2 کاهش می یابد و سمت راست برابر با 5 خواهد بود.

معادلات فرم را با بیان عبارت مجهول حل کردیم:

اما شما می توانید از تحولات یکسانی که امروز مطالعه کردیم استفاده کنید. در معادله، عبارت 4 را می توان با تغییر علامت به سمت راست منتقل کرد:

در سمت چپ معادله، دو دو باطل می شوند. سمت راست برابر با 2 خواهد بود. از این رو .

یا می توانید 4 را از هر دو طرف معادله کم کنید، سپس به شکل زیر می رسید.

در مورد معادلات فرم، تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده راحت تر است. بیایید هر دو راه حل را با هم مقایسه کنیم:

راه حل اول بسیار کوتاه تر و منظم تر است. راه حل دوم را می توان به طور قابل توجهی کوتاه کرد اگر تقسیم را در سر خود انجام دهید.

با این حال، لازم است هر دو روش را بدانید و تنها پس از آن از روشی که ترجیح می دهید استفاده کنید.

وقتی چندین ریشه وجود دارد

یک معادله می تواند چندین ریشه داشته باشد. مثلا معادله x(x+ 9) = 0 دارای دو ریشه است: 0 و −9.

در معادله x(x+ 9) = 0 برای یافتن چنین مقداری ضروری بود xکه در آن سمت چپ برابر با صفر خواهد بود. سمت چپ این معادله شامل عبارات است xو (x+9)، که از عوامل هستند. از قوانین ضرب می دانیم که اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد (اعم از عامل اول یا دوم) یک محصول برابر با صفر است.

یعنی در معادله x(x+ 9) = 0 برابری حاصل می شود اگر xبرابر با صفر یا خواهد بود (x+9)برابر صفر خواهد بود.

x= 0 یا x + 9 = 0

با صفر کردن هر دوی این عبارات، می‌توانیم ریشه‌های معادله را پیدا کنیم x(x+ 9) = 0. ریشه اول، همانطور که از مثال مشخص است، بلافاصله پیدا شد. برای پیدا کردن ریشه دوم باید معادله ابتدایی را حل کنید x+ 9 = 0. به راحتی می توان حدس زد که ریشه این معادله 9- باشد. بررسی نشان می دهد که ریشه صحیح است:

−9 + 9 = 0

مثال 2. معادله را حل کنید

این معادله دو ریشه دارد: 1 و 2. سمت چپ معادله حاصل ضرب عبارات ( x− 1) و ( x- 2) . و اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر (یا ضریب ( x− 1) یا عامل ( x − 2) ).

بیایید چیزی شبیه به این پیدا کنیم xکه تحت آن عبارات ( x− 1) یا ( x− 2) صفر شود:

مقادیر یافت شده را یکی یکی در معادله اصلی جایگزین می کنیم و مطمئن می شویم که برای این مقادیر سمت چپ برابر با صفر باشد:

وقتی ریشه های بی نهایت زیاد باشد

یک معادله می تواند بی نهایت ریشه داشته باشد. یعنی با جایگزین کردن هر عددی در چنین معادله ای، برابری عددی صحیح را بدست می آوریم.

مثال 1. معادله را حل کنید

ریشه این معادله هر عددی است. اگر پرانتزهای سمت چپ معادله را باز کنید و عبارت های مشابه را اضافه کنید، برابری 14 = 14 به دست می آید. این برابری برای هر کدام حاصل خواهد شد x

مثال 2. معادله را حل کنید

ریشه این معادله هر عددی است. اگر براکت های سمت چپ معادله را باز کنید، برابری بدست می آید 10x + 12 = 10x + 12. این برابری برای هر کدام حاصل خواهد شد x

وقتی هیچ ریشه ای وجود ندارد

همچنین اتفاق می افتد که معادله اصلاً راه حلی ندارد، یعنی ریشه ندارد. به عنوان مثال، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا برای هر مقداری x، سمت چپ معادله با سمت راست برابر نخواهد بود. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس معادله به شکل زیر در می آید

مثال 2. معادله را حل کنید

بیایید براکت های سمت چپ برابری را گسترش دهیم:

بیایید به اصطلاحات مشابه نگاه کنیم:

می بینیم که سمت چپ با سمت راست برابر نیست. و این مورد برای هر ارزشی خواهد بود. y. به عنوان مثال، اجازه دهید y = 3 .

معادلات حروف

یک معادله می تواند نه تنها شامل اعداد با متغیرها، بلکه حروف نیز باشد.

به عنوان مثال، فرمول برای یافتن سرعت یک معادله تحت اللفظی است:

این معادله سرعت یک جسم را در حین حرکت با شتاب یکنواخت توصیف می کند.

یک مهارت مفید، توانایی بیان هر جزء موجود در یک معادله حرفی است. به عنوان مثال، برای تعیین فاصله از یک معادله، باید متغیر را بیان کنید س .

بیایید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم تی

متغیرهای سمت راست تیبیایید آن را کاهش دهیم تی

در معادله به دست آمده، سمت چپ و راست را با هم عوض می کنیم:

ما یک فرمول برای یافتن فاصله داریم که قبلاً آن را مطالعه کردیم.

بیایید سعی کنیم زمان را از معادله تعیین کنیم. برای این کار باید متغیر را بیان کنید تی .

بیایید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم تی

متغیرهای سمت راست تیبیایید آن را کاهش دهیم تیو آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

در معادله به دست آمده v×t = sهر دو قسمت را تقسیم کنید v

متغیرهای سمت چپ vبیایید آن را کاهش دهیم vو آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

ما فرمول تعیین زمان را داریم که قبلاً آن را مطالعه کردیم.

فرض کنید سرعت قطار 50 کیلومتر در ساعت است

v= 50 کیلومتر در ساعت

و مسافت 100 کیلومتر است

س= 100 کیلومتر

سپس معادله تحت اللفظی به شکل زیر در می آید

زمان را می توان از این معادله بدست آورد. برای این کار باید بتوانید متغیر را بیان کنید تی. شما می توانید از قانون برای یافتن مقسوم علیه مجهول با تقسیم سود بر ضریب و در نتیجه تعیین مقدار متغیر استفاده کنید. تی

یا می توانید از تبدیل های یکسان استفاده کنید. ابتدا هر دو طرف معادله را در ضرب کنید تی

سپس هر دو طرف را بر 50 تقسیم کنید

مثال 2 x

از دو طرف معادله کم کنید الف

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم ب

a + bx = c، سپس یک راه حل آماده خواهیم داشت. جایگزین کردن آن کافی خواهد بود مقادیر مورد نیاز. مقادیری که جایگزین حروف می شوند الف، ب، جمعمولا نامیده می شود پارامترها. و معادلات فرم a + bx = cتماس گرفت معادله با پارامترها. بسته به پارامترها، ریشه تغییر می کند.

بیایید معادله 2 + 4 را حل کنیم x= 10. شبیه یک معادله حرفی است a + bx = c. به جای انجام تبدیل های یکسان، می توانیم از یک راه حل آماده استفاده کنیم. بیایید هر دو راه حل را با هم مقایسه کنیم:

می بینیم که راه حل دوم بسیار ساده تر و کوتاه تر است.

برای یک راه حل آماده باید انجام دهید یادداشت کوچک. پارامتر بنباید صفر باشد (b ≠ 0)، از آنجایی که تقسیم بر صفر بر مجاز است.

مثال 3. یک معادله تحت اللفظی داده شده است. از این معادله بیان کنید x

بیایید پرانتزهای دو طرف معادله را باز کنیم

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. پارامترهای حاوی یک متغیر x، در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم و پارامترهای خالی از این متغیر - در سمت راست.

در سمت چپ فاکتور را از براکت خارج می کنیم x

بیایید هر دو طرف را به عبارت تقسیم کنیم a - b

در سمت چپ، صورت و مخرج را می توان کاهش داد a - b. در نهایت این متغیر بیان می شود x

حال اگر به معادله ای از شکل برسیم a(x − c) = b(x + d)، سپس یک راه حل آماده خواهیم داشت. جایگزین کردن مقادیر مورد نیاز در آن کافی خواهد بود.

فرض کنید معادله به ما داده شده است 4(x− 3) = 2(x+ 4) . مثل یک معادله است a(x − c) = b(x + d). بیایید آن را به دو روش حل کنیم: با استفاده از تبدیل های یکسان و استفاده از یک راه حل آماده:

برای راحتی، اجازه دهید آن را از معادله خارج کنیم 4(x− 3) = 2(x+ 4) مقادیر پارامتر الف, ب, ج, د . این به ما امکان می دهد هنگام تعویض اشتباه نکنیم:

مانند مثال قبل، مخرج در اینجا نباید برابر با صفر باشد ( a − b ≠ 0) . اگر با معادله ای از فرم مواجه شویم a(x − c) = b(x + d)که در آن پارامترها الفو بیکسان خواهد بود، می توان بدون حل آن گفت که این معادله ریشه ندارد، زیرا تفاوت دارد اعداد یکسانبرابر با صفر

مثلا معادله 2 (x − 3) = 2 (x + 4)معادله ای از فرم است a(x − c) = b(x + d). در معادله 2 (x − 3) = 2 (x + 4)پارامترها الفو بیکسان اگر شروع به حل کنیم به این نتیجه می رسیم که سمت چپ با سمت راست برابر نمی شود:

مثال 4. یک معادله تحت اللفظی داده شده است. از این معادله بیان کنید x

بیایید سمت چپ معادله را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

بیایید هر دو طرف را در ضرب کنیم الف

در سمت چپ xبیایید آن را خارج از پرانتز قرار دهیم

بیایید هر دو طرف را با عبارت (1 −) تقسیم کنیم الف)

معادلات خطی با یک مجهول

معادلات مورد بحث در این درس نامیده می شوند معادلات خطی درجه یک با یک مجهول.

اگر معادله در درجه اول داده شود، شامل تقسیم بر مجهول نباشد، و همچنین شامل ریشه مجهول نباشد، می توان آن را خطی نامید. ما هنوز قدرت ها و ریشه ها را مطالعه نکرده ایم، بنابراین برای اینکه زندگی خود را پیچیده نکنیم، کلمه "خطی" را به عنوان "ساده" درک خواهیم کرد.

اکثر معادلات حل شده در این درس در نهایت به یک معادله ساده تبدیل شد که در آن باید حاصلضرب را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید. به عنوان مثال، این معادله 2 است ( x+ 3) = 16. حلش کنیم

بیایید براکت های سمت چپ معادله را باز کنیم، 2 به دست می آید x+ 6 = 16. با تغییر علامت، ترم 6 را به سمت راست منتقل می کنیم. سپس 2 می گیریم x= 16 − 6. سمت راست را محاسبه کنید، 2 می گیریم x= 10. برای یافتن x، حاصلضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 2 تقسیم کنید. از این رو x = 5.

معادله 2( x+ 3) = 16 خطی است. به معادله 2 می رسد x= 10، برای یافتن ریشه آن باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کرد. این ساده ترین معادله نامیده می شود معادله خطی درجه یک با یک مجهول به صورت متعارف. کلمه "متعارف" مترادف با کلمات "ساده" یا "عادی" است.

معادله خطی درجه اول با یک مجهول در شکل متعارف را معادله شکل می گویند تبر = ب.

معادله 2 حاصل ما x= 10 یک معادله خطی درجه اول با یک مجهول به شکل متعارف است. این معادله دارای درجه اول، یک مجهول است، شامل تقسیم بر مجهول نیست و ریشه ای از مجهول ندارد و به صورت متعارف ارائه شده است، یعنی به ساده ترین شکل که می توان مقدار را به راحتی تعیین کرد. x. به جای پارامترها الفو بمعادله ما شامل اعداد 2 و 10 است. اما چنین معادله ای می تواند اعداد دیگری نیز داشته باشد: مثبت، منفی یا مساوی صفر.

اگر در یک معادله خطی الف= 0 و ب= 0، پس معادله بی نهایت ریشه دارد. در واقع، اگر الفبرابر با صفر و ببرابر با صفر و سپس معادله خطی است تبر= ببه شکل 0 خواهد بود x= 0. برای هر ارزشی xسمت چپ برابر با سمت راست خواهد بود.

اگر در یک معادله خطی الف= 0 و ب≠ 0، پس معادله ریشه ندارد. در واقع، اگر الفبرابر با صفر و ببرابر با عددی است که برابر با صفر نیست، عدد 5 را بگوییم، سپس معادله را تبر = ببه شکل 0 خواهد بود x= 5. سمت چپ صفر و سمت راست پنج خواهد بود. و صفر برابر با پنج نیست.

اگر در یک معادله خطی الف≠ 0 و ببرابر هر عددی است، پس معادله یک ریشه دارد. با تقسیم پارامتر مشخص می شود بدر هر پارامتر الف

در واقع، اگر الفبرابر با عددی که صفر نیست عدد 3 را بگویید و ببرابر یک عدد، عدد 6 را بگویید، سپس معادله به شکل .
از اینجا.

شکل دیگری از ضبط وجود دارد معادله خطیدرجه اول با یک ناشناخته به نظر می رسد این است: ax-b= 0. این همان معادله است تبر = ب

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید