هیچ تغییری در آزمون دولتی واحد در ریاضیات در سطح پروفایل در سال 2019 وجود ندارد - برنامه امتحانی، مانند سال های گذشته، از موادی از رشته های اصلی ریاضی تشکیل شده است. بلیط ها شامل مسائل ریاضی، هندسی و جبری خواهد بود.

هیچ تغییری در KIM Unified State Exam 2019 در ریاضیات در سطح پروفایل وجود ندارد.

ویژگی های وظایف آزمون یکپارچه دولتی در ریاضیات 2019

• هنگام آماده شدن برای آزمون دولتی واحد در ریاضیات (نمایه)، به الزامات اساسی برنامه امتحان توجه کنید. این برنامه برای آزمایش دانش یک برنامه عمیق طراحی شده است: مدل های برداری و ریاضی، توابع و لگاریتم ها، معادلات جبری و نابرابری ها.
• به طور جداگانه حل مسائل را در .
• نشان دادن تفکر نوآورانه مهم است.

ساختار امتحان

تکالیف آزمون دولتی واحدریاضیات تخصصیبه دو بلوک تقسیم شده است.

1. بخش - پاسخ های کوتاه، شامل 8 مسئله است که آمادگی ریاضی پایه و توانایی به کارگیری دانش ریاضی را در زندگی روزمره آزمایش می کند.
2. قسمت -کوتاه و پاسخ های دقیق. این شامل 11 کار است که 4 مورد از آنها به پاسخ کوتاه نیاز دارد و 7 - یک کار مفصل با استدلال برای اقدامات انجام شده.

• سختی پیشرفته- وظایف 9-17 قسمت دوم KIM.
• سطح دشواری بالا- مسائل 18-19 –. این بخش از وظایف امتحانی نه تنها سطح دانش ریاضی، بلکه وجود یا عدم وجود یک رویکرد خلاقانه برای حل وظایف خشک "عددی" و همچنین اثربخشی توانایی استفاده از دانش و مهارت را به عنوان یک ابزار حرفه ای آزمایش می کند. .

مهم!بنابراین، در آمادگی برای تئوری آزمون دولتی واحددر ریاضیات همیشه با حل مسائل عملی از آنها حمایت کنید.

امتیاز چگونه توزیع خواهد شد؟

وظایف قسمت اول KIM در ریاضیات نزدیک به تست های آزمون یکپارچه دولتی سطح پایه، بنابراین گرفتن امتیاز بالا در آنها غیرممکن است.

امتیازات برای هر کار در ریاضیات در سطح پروفایل به شرح زیر توزیع شد:

• برای پاسخ صحیح به مسائل شماره 1-12 - 1 امتیاز.
• شماره 13-15 – هر کدام 2 عدد;
• شماره 16-17 – هر کدام 3 عدد;
• شماره 18-19 – هر کدام 4 عدد.

مدت زمان آزمون و قوانین رفتاری برای آزمون یکپارچه دولتی

برای تکمیل برگه امتحانی -2019 دانش آموز تعیین می شود 3 ساعت 55 دقیقه(235 دقیقه).

در این مدت دانش آموز نباید:

• پر سر و صدا رفتار کنید؛
• استفاده از ابزارها و سایر وسایل فنی؛
• رد کردن
• سعی کنید به دیگران کمک کنید یا برای خودتان کمک بخواهید.

برای چنین اقداماتی ممکن است آزمون شونده از کلاس اخراج شود.

روشن آزمون دولتیدر ریاضیات مجاز به آوردنفقط یک خط کش به همراه داشته باشید. در محل صادر می شوند.

آماده سازی موثر- این راه حل است تست های آنلایندر ریاضیات 2019. انتخاب کنید و حداکثر امتیاز را بگیرید!

میانگین آموزش عمومی

خط UMK G. K. Muravina. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی(10-11) (عمیق)

خط UMK Merzlyak. جبر و آغاز تحلیل (10-11) (U)

ریاضیات

آمادگی برای آزمون دولتی واحد در ریاضیات (سطح مشخصات): تکالیف، راه حل ها و توضیحات

ما تکالیف را تجزیه و تحلیل می کنیم و مثال هایی را با معلم حل می کنیم

معاینه سطح پروفایل 3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه) به طول می انجامد.

حداقل آستانه- 27 امتیاز

برگه امتحانی شامل دو بخش است که از نظر محتوا، پیچیدگی و تعداد وظایف متفاوت است.

ویژگی تعیین کننده هر قسمت از کار، شکل وظایف است:

• قسمت 1 شامل 8 کار (وظایف 1-8) با یک پاسخ کوتاه به صورت یک عدد صحیح یا محدود است. اعشاری;
• قسمت 2 شامل 4 کار (وظایف 9-12) با یک پاسخ کوتاه به صورت یک عدد صحیح یا یک کسر اعشاری نهایی و 7 کار (وظایف 13-19) با یک پاسخ دقیق (یک رکورد کامل از راه حل با توجیه اقدامات انجام شده).

پانوا سوتلانا آناتولونا، معلم ریاضی بالاترین رده مدرسه، سابقه کار 20 سال:

"برای بدست آوردن گواهی مدرسه، فارغ التحصیل باید دو را بگذراند امتحان اجباریدر قالب آزمون یکپارچه دولتی که یکی از آنها ریاضیات است. مطابق با مفهوم توسعه آموزش ریاضی V فدراسیون روسیهآزمون دولتی واحد ریاضی به دو سطح پایه و تخصصی تقسیم می شود. امروز به گزینه‌های سطح نمایه نگاه خواهیم کرد."

وظیفه شماره 1- توانایی شرکت کنندگان در آزمون دولتی واحد را برای به کارگیری مهارت های کسب شده در دوره کلاس های 5 تا 9 در ریاضیات ابتدایی، در فعالیت های عملی. شرکت کننده باید مهارت های محاسباتی داشته باشد، بتواند با اعداد گویا کار کند، بتواند اعشار را گرد کند و بتواند یک واحد اندازه گیری را به واحد دیگر تبدیل کند.

مثال 1.یک فلومتر در آپارتمانی که پیتر زندگی می کند نصب شد آب سرد(پیشخوان). در اول اردیبهشت ماه، کنتور مصرفی 172 متر مکعب را نشان داد. متر آب، و در اول ژوئن - 177 متر مکعب. متر اگر قیمت 1 متر مکعب است، چه مقدار باید برای آب سرد پرداخت کند؟ متر آب سرد 34 روبل 17 کوپک است؟ پاسخ خود را به روبل بدهید.

راه حل:

1) مقدار آب مصرف شده در ماه را بیابید:

177 - 172 = 5 (متر مکعب)

2) بیایید دریابیم که چقدر پول برای آب هدر رفته پرداخت خواهند کرد:

34.17 5 = 170.85 (مالش)

پاسخ: 170,85.

وظیفه شماره 2- یکی از ساده ترین کارهای امتحانی است. اکثر فارغ التحصیلان با موفقیت با آن کنار می آیند، که نشان دهنده آگاهی از تعریف مفهوم عملکرد است. نوع تکلیف شماره 2 با توجه به کد الزامات، وظیفه ای است در مورد استفاده از دانش و مهارت های کسب شده در فعالیت های عملی و زندگی روزمره. وظیفه شماره 2 شامل توصیف، استفاده از توابع، روابط واقعی مختلف بین کمیت ها و تفسیر نمودارهای آنها است. وظیفه شماره 2 توانایی استخراج اطلاعات ارائه شده در جداول، نمودارها و نمودارها را آزمایش می کند. فارغ التحصیلان باید بتوانند مقدار یک تابع را با مقدار آرگومان آن تعیین کنند به طرق مختلفتعیین یک تابع و توصیف رفتار و ویژگی های تابع بر اساس نمودار آن. شما همچنین باید بتوانید بهترین یا را پیدا کنید کوچکترین ارزشو نمودارهایی از توابع مورد مطالعه بسازید. خطاهای ایجاد شده در خواندن شرایط مسئله، خواندن نمودار تصادفی هستند.

#ADVERTISING_INSERT#

مثال 2.شکل نشان دهنده تغییر ارزش مبادله ای یک سهم یک شرکت معدنی در نیمه اول فروردین ماه ۱۳۹۶ است. این تاجر در 7 آوریل 1000 سهم از این شرکت را خریداری کرد. در 10 آوریل سه چهارم سهام خریداری شده را فروخت و در 13 آوریل تمام سهام باقی مانده را فروخت. تاجر در نتیجه این عملیات چقدر ضرر کرد؟

راه حل:

2) 1000 · 3/4 = 750 (سهم) - 3/4 از کل سهام خریداری شده را تشکیل می دهد.

6) 247500 + 77500 = 325000 (روبل) - تاجر پس از فروش 1000 سهم دریافت کرد.

7) 340000 - 325000 = 15000 (روبل) - تاجر در نتیجه همه عملیات ضرر کرد.

پاسخ: 15000.

وظیفه شماره 3- یک کار در سطح پایه از بخش اول است، توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسیدر مورد محتوای درس "Planimetry". وظیفه 3 توانایی محاسبه مساحت یک شکل روی کاغذ شطرنجی، توانایی محاسبه درجه اندازه گیری زاویه ها، محاسبه محیط ها و غیره را آزمایش می کند.

مثال 3.مساحت یک مستطیل را که روی کاغذ شطرنجی با اندازه سلول 1 سانتی متر در 1 سانتی متر نشان داده شده است، پیدا کنید (شکل را ببینید). پاسخ خود را بر حسب سانتی متر مربع بگویید.

راه حل:برای محاسبه مساحت یک شکل داده شده، می توانید از فرمول Peak استفاده کنید:

برای محاسبه مساحت یک مستطیل از فرمول Peak استفاده می کنیم:

اس= B +	جی
	2

که در آن B = 10، G = 6، بنابراین

اس = 18 +	6
	2

پاسخ: 20.

همچنین بخوانید: آزمون دولتی واحد در فیزیک: حل مسائل مربوط به نوسانات

وظیفه شماره 4- هدف از درس "نظریه احتمالات و آمار". توانایی محاسبه احتمال یک رویداد در ساده ترین موقعیت آزمایش می شود.

مثال 4.روی دایره 5 نقطه قرمز و 1 نقطه آبی مشخص شده است. مشخص کنید کدام چند ضلعی بزرگتر است: آنهایی که همه رئوس آنها قرمز است یا آنهایی که یکی از رئوس آنها آبی است. در پاسخ خود مشخص کنید که تعداد برخی از آنها بیشتر از سایرین است.

راه حل: 1) بیایید از فرمول تعداد ترکیبات استفاده کنیم nعناصر توسط ک:

که رئوس آن همه قرمز است.

3) یک پنج ضلعی با تمام رئوس قرمز.

4) 10 + 5 + 1 = 16 چند ضلعی با تمام رئوس قرمز.

که دارای تاپ قرمز یا با یک تاپ آبی هستند.

که دارای تاپ قرمز یا با یک تاپ آبی هستند.

8) یک شش ضلعی با رئوس قرمز و یک راس آبی.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 چند ضلعی با تمام رئوس قرمز یا یک راس آبی.

10) 42 – 16 = 26 چند ضلعی با استفاده از نقطه آبی.

11) 26 - 16 = 10 چند ضلعی - چند ضلعی بیشتر که در آنها یکی از رئوس نقطه آبی است نسبت به چند ضلعی هایی که همه رئوس آنها فقط قرمز هستند وجود دارد.

پاسخ: 10.

وظیفه شماره 5- سطح پایه قسمت اول توانایی حل معادلات ساده (غیر منطقی، نمایی، مثلثاتی، لگاریتمی) را آزمایش می کند.

مثال 5.حل معادله 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

راه حل.بیایید هر دو قسمت را از هم جدا کنیم معادله داده شدهتوسط 5 3 + X≠ 0، دریافت می کنیم

2 3 + x	= 0.4 یا		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

از این رو نتیجه می شود که 3 + x = 1, x = –2.

پاسخ: –2.

وظیفه شماره 6در پلان سنجی برای یافتن کمیت های هندسی (طول، زاویه، مساحت)، مدل سازی موقعیت های واقعی به زبان هندسه. بررسی مدل های ساخته شده با استفاده از مفاهیم و قضایای هندسی. منشأ مشکلات معمولاً ناآگاهی یا به کارگیری نادرست قضایای لازم صفحه‌سنجی است.

مساحت یک مثلث ABCبرابر با 129 DE- خط وسط موازی با پهلو AB. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید ابد.

راه حل.مثلث CDEشبیه مثلث CABدر دو زاویه، از زاویه در راس سیکلی، زاویه СDEبرابر زاویه CABبه عنوان زوایای مربوطه در DE || ABجدا کردن A.C.. چون DEخط وسط یک مثلث بر اساس شرط است، سپس با ویژگی خط وسط | DE = (1/2)AB. یعنی ضریب شباهت 0.5 است. بنابراین، مساحت ارقام مشابه با مجذور ضریب تشابه مرتبط هستند

از این رو، S ABED = اس Δ ABC – اس Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

وظیفه شماره 7- کاربرد مشتق را برای مطالعه یک تابع بررسی می کند. اجرای موفق مستلزم دانش معنی دار و غیر رسمی مفهوم مشتق است.

مثال 7.به نمودار تابع y = f(x) در نقطه آبسیس x 0 مماس عمود بر خطی که از نقاط (4; 3) و (3; -1) این نمودار می گذرد رسم می شود. پیدا کنید f′( x 0).

راه حل. 1) از معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد استفاده می کنیم و معادله خطی را که از نقاط (4؛ 3) و (3؛ -1) می گذرد، پیدا می کنیم.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13، جایی که ک 1 = 4.

2) شیب مماس را پیدا کنید ک 2 که عمود بر خط است y = 4x- 13، جایی که ک 1 = 4، طبق فرمول:

3) زاویه مماس مشتق تابع در نقطه مماس است. به معنی، f′( x 0) = ک 2 = –0,25.

پاسخ: –0,25.

وظیفه شماره 8- دانش شرکت کنندگان در آزمون را از استریومتری ابتدایی، توانایی استفاده از فرمول ها برای یافتن مساحت و حجم شکل ها، زوایای دو وجهی، مقایسه حجم اشکال مشابه، توانایی انجام اعمال با اشکال هندسی، مختصات و بردارها و غیره آزمایش می کند.

حجم مکعبی که دور یک کره احاطه شده است 216 است. شعاع کره را پیدا کنید.

راه حل. 1) Vمکعب = الف 3 (کجا الف- طول لبه مکعب)، بنابراین

الف 3 = 216

الف = 3 √216

2) از آنجایی که کره در یک مکعب حک شده است، به این معنی است که طول قطر کره برابر با طول لبه مکعب است، بنابراین د = الف, د = 6, د = 2آر, آر = 6: 2 = 3.

وظیفه شماره 9- مستلزم داشتن دانش آموخته مهارت های تحول و ساده سازی است عبارات جبری. کار شماره 9 سطح دشواری افزایش یافته با یک پاسخ کوتاه. وظایف بخش "محاسبات و تحولات" در آزمون دولتی واحد به چند نوع تقسیم می شود:

تبدیل های عددی عبارات منطقی;

تبدیل عبارات جبری و کسری؛

تبدیل عبارات غیر منطقی عددی/حروفی.

اقدامات با درجه;

تبدیل عبارات لگاریتمی؛

1. تبدیل عبارات مثلثاتی عددی/حروفی.

مثال 9.اگر معلوم است که cos2α = 0.6 و tanα را محاسبه کنید

3π	< α < π.
4

راه حل. 1) بیایید از فرمول آرگومان دوگانه استفاده کنیم: cos2α = 2 cos 2 α – 1 و پیدا کنیم

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

این به معنای tan 2 α = 0.5 ± است.

3) با شرط

3π	< α < π,
4

یعنی α زاویه ربع دوم و tgα است< 0, поэтому tgα = –0,5.

پاسخ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# وظیفه شماره 10- توانایی دانش آموزان را برای استفاده از دانش و مهارت های اولیه در فعالیت های عملی و زندگی روزمره آزمایش می کند. می توان گفت که اینها مسائلی در فیزیک هستند و نه در ریاضیات، اما تمام فرمول ها و کمیت های لازم در شرط آورده شده است. مسائل به حل خطی یا معادله درجه دوم، خطی یا نابرابری درجه دوم. بنابراین لازم است بتوانیم این گونه معادلات و نابرابری ها را حل کرده و پاسخ آن را مشخص کنیم. پاسخ باید به صورت یک عدد کامل یا یک کسر اعشاری محدود داده شود.

دو جسم جرم متر= هر کدام 2 کیلوگرم، با سرعت یکسان حرکت می کنند v= 10 متر بر ثانیه در زاویه 2α نسبت به یکدیگر. انرژی (بر حسب ژول) آزاد شده در طول برخورد کاملا غیر کشسان آنها با بیان تعیین می شود س = mv 2 گناه 2 α. اجسام باید در کدام زاویه 2α (بر حسب درجه) حرکت کنند تا حداقل 50 ژول در اثر برخورد آزاد شود؟
راه حل.برای حل مسئله، باید نابرابری Q ≥ 50 را در بازه 2α ∈ (0°؛ 180°) حل کنیم.

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 گناه 2 α ≥ 50

200 سین 2 α ≥ 50

از آنجایی که α ∈ (0°؛ 90°)، ما فقط حل خواهیم کرد

اجازه دهید راه حل نابرابری را به صورت گرافیکی نشان دهیم:

از آنجایی که با شرط α ∈ (0°؛ 90 درجه)، به معنای 30 درجه ≤ α است.< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

کار شماره 11- معمولی است، اما برای دانش آموزان دشوار است. منبع اصلی دشواری ساخت یک مدل ریاضی (ترسیم معادله) است. کار شماره 11 توانایی حل مسائل کلمه را آزمایش می کند.

مثال 11.در تعطیلات بهار، دانش آموز کلاس یازدهم واسیا مجبور شد 560 مسئله تمرینی را حل کند تا برای امتحان دولتی واحد آماده شود. در 18 مارس، در آخرین روز مدرسه، واسیا 5 مشکل را حل کرد. سپس هر روز همان تعداد مشکل را بیشتر از روز قبل حل می کرد. تعیین کنید که واسیا در 2 آوریل، آخرین روز تعطیلات، چند مشکل را حل کرد.

راه حل:بیایید نشان دهیم الف 1 = 5 - تعداد مشکلاتی که واسیا در 18 مارس حل کرد. د- تعداد کارهای روزانه حل شده توسط واسیا، n= 16 - تعداد روزهای از 18 مارس تا 2 آوریل شامل، اس 16 = 560 - تعداد کل کارها، الف 16 - تعداد مشکلاتی که واسیا در 2 آوریل حل کرد. با علم به اینکه واسیا هر روز به همان تعداد مسایل را بیشتر از روز قبل حل می کرد، می توانیم از فرمول هایی برای یافتن مجموع استفاده کنیم. پیشرفت حسابی:

560 = (5 + الف 16) 8،

5 + الف 16 = 560: 8,

5 + الف 16 = 70,

الف 16 = 70 – 5

الف 16 = 65.

پاسخ: 65.

کار شماره 12- آنها توانایی دانش آموزان را برای انجام عملیات با توابع و توانایی به کار بردن مشتق برای مطالعه یک تابع آزمایش می کنند.

حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

راه حل: 1) دامنه تعریف تابع را پیدا کنید: x + 9 > 0, x> -9، یعنی x ∈ (-9; ∞).

2) مشتق تابع را بیابید:

4) نقطه یافت شده متعلق به بازه (-9؛ ∞) است. بیایید علائم مشتق تابع را تعیین کنیم و رفتار تابع را در شکل نشان دهیم:

حداکثر امتیاز مورد نظر x = –8.

دانلود رایگان برنامه کار در ریاضیات برای خط مواد آموزشی G.K. موراوینا، ک.اس. موراوینا، O.V. موراوینا 10-11 دانلود رایگان وسایل کمک آموزشی جبر

وظیفه شماره 13-افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق، آزمایش توانایی حل معادلات، موفقیت آمیزترین حل در میان وظایف با پاسخ دقیق با افزایش سطح پیچیدگی.

الف) معادله 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

ب) تمام ریشه های این معادله را که به قطعه تعلق دارند بیابید.

راه حل:الف) اجازه دهید log 3 (2cos x) = تی، سپس 2 تی 2 – 5تی + 2 = 0,

	log 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ چون | cos x| ≤ 1,
	log 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

سپس cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π ک
		6
	x = –	π	+ 2π ک, ک ∈ ز
		6

ب) ریشه های نهفته در قطعه را پیدا کنید.

از شکل مشخص است که بخش داده شدهریشه ها تعلق دارند

11π	و	13π	.
6		6

پاسخ:الف)	π	+ 2π ک; –	π	+ 2π ک, ک ∈ ز; ب)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

کار شماره 14-سطح پیشرفته به وظایف قسمت دوم با پاسخ دقیق اشاره دارد. این کار توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسی را آزمایش می کند. وظیفه شامل دو نکته است. در نکته اول باید تکلیف ثابت شود و در نکته دوم محاسبه شود.

قطر دایره پایه استوانه 20، ژنراتیکس استوانه 28 است. صفحه پایه خود را در امتداد وترهایی به طول 12 و 16 قطع می کند. فاصله بین وترها 2√197 است.

الف) ثابت کنید که مرکز پایه های استوانه در یک طرف این صفحه قرار دارد.

ب) زاویه بین این صفحه و صفحه قاعده استوانه را بیابید.

راه حل:الف) یک وتر به طول 12 در فاصله 8 = از مرکز دایره پایه قرار دارد و یک وتر به طول 16 نیز به طور مشابه در فاصله 6 قرار دارد. بنابراین، فاصله بین برجستگی آنها بر روی صفحه برابر است. به موازات پایه هاسیلندرها یا 8 + 6 = 14 یا 8 − 6 = 2 است.

سپس فاصله بین آکوردها یکی است

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

طبق شرط مورد دوم محقق شد که در آن برجستگی آکوردها در یک طرف محور استوانه قرار می گیرد. این بدان معنی است که محور این صفحه را در داخل استوانه قطع نمی کند، یعنی پایه ها در یک طرف آن قرار دارند. آنچه نیاز به اثبات داشت.

ب) مرکز پایه ها را به صورت O 1 و O 2 نشان می دهیم. اجازه دهید از مرکز پایه با وتر به طول 12 یک نیمساز عمود بر این وتر (طول آن 8 است، همانطور که قبلا ذکر شد) و از مرکز پایه دیگر به وتر دیگر بکشیم. آنها در همان صفحه β، عمود بر این وترها قرار دارند. بیایید نقطه وسط وتر کوچکتر B، وتر بزرگتر A و برآمدگی A را بر روی پایه دوم - H (H∈ β) بنامیم. سپس AB,AH ∈ β و بنابراین AB,AH بر وتر عمود هستند، یعنی خط مستقیم تقاطع پایه با صفحه داده شده.

این بدان معنی است که زاویه مورد نیاز برابر است

∠ABH = آرکتان	ا.ح.	= آرکتان	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

کار شماره 15- افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق، توانایی حل نابرابری ها را آزمایش می کند که با موفقیت در میان وظایف با پاسخ دقیق با سطح پیچیدگی افزایش یافته حل می شود.

مثال 15.حل نابرابری | x 2 – 3x| لاگ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

راه حل:دامنه تعریف این نابرابری بازه (-1؛ +∞) است. سه مورد را جداگانه در نظر بگیرید:

1) اجازه دهید x 2 – 3x= 0، یعنی X= 0 یا X= 3. در این صورت، این نابرابری درست می شود، بنابراین، این مقادیر در راه حل قرار می گیرند.

2) اکنون اجازه دهید x 2 – 3x> 0، یعنی x∈ (–1؛ 0) ∪ (3؛ +∞). علاوه بر این، این نابرابری را می توان به صورت ( x 2 – 3x) لاگ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 و بر یک عبارت مثبت تقسیم کنید x 2 – 3x. ما log 2 را دریافت می کنیم ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 -1 یا x≤ -0.5. با در نظر گرفتن دامنه تعریف، داریم x ∈ (–1; –0,5].

3) در نهایت، در نظر بگیرید x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0؛ 3). در این صورت، نابرابری اصلی به شکل (3) بازنویسی می شود x – x 2) لاگ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. پس از تقسیم بر مثبت 3 x – x 2، ما log 2 را دریافت می کنیم ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. با در نظر گرفتن منطقه، داریم x ∈ (0; 1].

با ترکیب راه حل های به دست آمده، به دست می آوریم x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

پاسخ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

وظیفه شماره 16- سطح پیشرفته به وظایف قسمت دوم با پاسخ دقیق اشاره دارد. این کار توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسی، مختصات و بردارها را آزمایش می کند. وظیفه شامل دو نکته است. در نکته اول باید تکلیف ثابت شود و در نکته دوم محاسبه شود.

در مثلث متساوی الساقین ABC با زاویه 120 درجه در راس A، نیمساز BD رسم می شود. مستطیل DEFH در مثلث ABC محاط شده است به طوری که ضلع FH روی قطعه BC و راس E روی قطعه AB قرار دارد. الف) ثابت کنید که FH = 2DH. ب) مساحت مستطیل DEFH را در صورت AB = 4 بیابید.

راه حل:الف)

1) ΔBEF - مستطیل شکل، EF⊥BC، ∠B = (180° - 120°): 2 = 30 درجه، سپس EF = BE با خاصیت پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد.

2) اجازه دهید EF = DH = x، سپس BE = 2 x، BF = x√3 طبق قضیه فیثاغورث.

3) از آنجایی که ΔABC متساوی الساقین است، به معنای ∠B = ∠C = 30˚ است.

BD نیمساز ∠B است که به معنای ∠ABD = ∠DBC = 15˚ است.

4) ΔDBH را در نظر بگیرید - مستطیل، زیرا DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) اس DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2 (3 - √3 )

اس DEFH = 24 - 12√3.

پاسخ: 24 – 12√3.

وظیفه شماره 17- یک کار با پاسخ دقیق، این کار کاربرد دانش و مهارت در فعالیت های عملی و زندگی روزمره، توانایی ساخت و کشف مدل های ریاضی را آزمایش می کند. این وظیفه یک مشکل متنی با محتوای اقتصادی است.

مثال 17.سپرده ای به مبلغ 20 میلیون روبل برای چهار سال برنامه ریزی شده است. بانک در پایان هر سال نسبت به حجم خود در ابتدای سال 10 درصد سپرده را افزایش می دهد. علاوه بر این، در آغاز سال سوم و چهارم، سرمایه گذار سالانه سپرده را دوباره پر می کند Xمیلیون روبل، کجا X - کلشماره پیدا کنید بالاترین ارزش X، که در آن بانک در طی چهار سال کمتر از 17 میلیون روبل به سپرده اضافه می کند.

راه حل:در پایان سال اول، سهم 20 + 20 · 0.1 = 22 میلیون روبل و در پایان سال دوم - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 میلیون روبل خواهد بود. در آغاز سال سوم، سهم (به میلیون روبل) (24.2 +) خواهد بود X، و در پایان - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). در آغاز سال چهارم سهم (26.62 + 2.1) خواهد بود X)، و در پایان - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). بر اساس شرط، باید بزرگترین عدد صحیح x را که نابرابری برای آن وجود دارد، پیدا کنید

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

بزرگترین راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 24 است.

پاسخ: 24.

کار شماره 18- وظیفه ای با افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق. این وظیفه برای انتخاب رقابتی در دانشگاه هایی با نیازهای افزایش یافته برای آمادگی ریاضی متقاضیان در نظر گرفته شده است. ورزش کنید سطح بالاپیچیدگی - این کار در مورد استفاده از یک روش راه حل نیست، بلکه در مورد یک ترکیب است روش های مختلف. برای انجام موفقیت آمیز کار 18، علاوه بر دانش ریاضی جامد، به سطح بالایی از فرهنگ ریاضی نیز نیاز دارید.

در چه الفسیستم نابرابری

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – الف 2 + 1
	y + الف ≤ |x| – الف

دقیقا دو راه حل دارد؟

راه حل:این سیستم را می توان در قالب بازنویسی کرد

	x 2 + (y– الف) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – الف

اگر مجموعه راه حل های نابرابری اول را روی صفحه رسم کنیم، داخل دایره ای (با مرز) به شعاع 1 با مرکز در نقطه (0، الف). مجموعه راه حل های نابرابری دوم بخشی از صفحه است که در زیر نمودار تابع قرار دارد. y = | x| – الف, و دومی نمودار تابع است
y = | x| ، به پایین منتقل شد الف. راه حل این سیستم تلاقی مجموعه راه حل ها برای هر یک از نابرابری ها است.

در نتیجه، این سیستم تنها در موردی که در شکل نشان داده شده است دو راه حل خواهد داشت. 1.

نقاط تماس دایره با خطوط دو راه حل سیستم خواهند بود. هر یک از خطوط مستقیم با زاویه 45 درجه به محورها تمایل دارند. بنابراین یک مثلث است PQR- متساوی الساقین مستطیلی نقطه سدارای مختصات (0، الف) و نکته آر– مختصات (0, – الف). علاوه بر این، بخش های روابط عمومیو پی کیوبرابر شعاع دایره برابر با 1. این یعنی

قرون= 2الف = √2, الف =	√2	.
	2

پاسخ: الف =	√2	.
	2

کار شماره 19- وظیفه ای با افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق. این وظیفه برای انتخاب رقابتی در دانشگاه هایی با نیازهای افزایش یافته برای آمادگی ریاضی متقاضیان در نظر گرفته شده است. یک کار با سطح بالایی از پیچیدگی، وظیفه ای است نه استفاده از یک روش راه حل، بلکه در ترکیبی از روش های مختلف. برای انجام موفقیت آمیز کار 19، باید بتوانید راه حلی را جستجو کنید، رویکردهای مختلف را از بین روش های شناخته شده انتخاب کنید و روش های مورد مطالعه را اصلاح کنید.

اجازه دهید Snمجموع nشرایط یک پیشرفت حسابی ( یک صفحه). معلوم است که S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

الف) فرمول را ارائه دهید nترم این پیشرفت.

ب) کوچکترین مجموع مطلق را پیدا کنید S n.

ج) کوچکترین را پیدا کنید n، که در آن S nمربع یک عدد صحیح خواهد بود.

راه حل: الف) بدیهی است که a n = S n – S n– 1. با استفاده از این فرمول، دریافت می کنیم:

S n = اس (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = اس (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

به معنی، a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

ب) از آنجایی که S n = 2n 2 – 25n، سپس تابع را در نظر بگیرید اس(x) = | 2x 2 – 25x|. نمودار آن در شکل قابل مشاهده است.

بدیهی است که کوچکترین مقدار در نقاط صحیح نزدیک به صفرهای تابع به دست می آید. بدیهی است که اینها نکاتی هستند X= 1, X= 12 و X= 13. از آنجا که، اس(1) = |اس 1 | = |2 – 25| = 23, اس(12) = |اس 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12، اس(13) = |اس 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13، سپس کوچکترین مقدار 12 است.

ج) از بند قبل چنین بر می آید که Snمثبت، شروع از n= 13. از آنجایی که S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25)، آنگاه حالت آشکار، هنگامی که این عبارت مربع کامل باشد، زمانی تحقق می یابد n = 2n- 25، یعنی در n= 25.

باقی مانده است که مقادیر 13 تا 25 را بررسی کنید:

اس 13 = 13 1، اس 14 = 14 3، اس 15 = 15 5، اس 16 = 16 7، اس 17 = 17 9، اس 18 = 18 11، اس 19 = 19 13، اس 20 = 20 13، اس 21 = 21 17، اس 22 = 22 19، اس 23 = 23 21، اس 24 = 24 23.

معلوم می شود که برای مقادیر کوچکتر nمربع کامل به دست نمی آید.

پاسخ:الف) a n = 4n– 27; ب) 12; ج) 25.

________________

* از ماه مه 2017، گروه انتشارات متحد "DROFA-VENTANA" بخشی از شرکت کتاب درسی روسیه است. این شرکت همچنین شامل انتشارات Astrel و پلت فرم آموزشی دیجیتال LECTA است. الکساندر بریچکین، فارغ التحصیل، به عنوان مدیر کل منصوب شد آکادمی مالیتحت دولت فدراسیون روسیه، کاندیدای علوم اقتصادی، رئیس پروژه های نوآورانهانتشارات دروفا در زمینه آموزش دیجیتال ( فرم های الکترونیکیکتاب های درسی، "روسی مدرسه الکترونیکی"، پلت فرم آموزشی دیجیتال LECTA). وی قبل از پیوستن به انتشارات DROFA سمت معاونت توسعه استراتژیک و سرمایه گذاری هلدینگ انتشاراتی EKSMO-AST را بر عهده داشت. امروزه، شرکت انتشارات کتاب های درسی روسیه دارای بزرگترین مجموعه کتاب های درسی موجود در فهرست فدرال است - 485 عنوان (تقریباً 40٪) به استثنای کتاب های درسی برای مدرسه اصلاح و تربیت). مؤسسات انتشاراتی این شرکت دارای محبوب ترین مجموعه کتاب های درسی در مدارس روسیه در فیزیک، طراحی، زیست شناسی، شیمی، فناوری، جغرافیا، نجوم هستند - زمینه هایی از دانش که برای توسعه پتانسیل تولیدی کشور مورد نیاز است. مجموعه این شرکت شامل کتاب های درسی و وسایل کمک آموزشیبرای دبستان، جایزه ریاست جمهوری را در حوزه آموزشی اهدا کرد. اینها کتابهای درسی و کتابهای راهنما در زمینه های موضوعی هستند که برای توسعه پتانسیل علمی، فنی و تولید روسیه ضروری هستند.

ارزیابی

دو قسمت، از جمله 19 کار. قسمت 1 قسمت 2

3 ساعت 55 دقیقه(235 دقیقه).

پاسخ ها

اما شما می توانید قطب نما بسازید ماشین حساب هادر امتحان استفاده نشده است.

پاسپورت), عبور کندو مویرگی یا! مجاز به گرفتنبا شما آب(در یک بطری شفاف) و من دارم میرم

برگه امتحانی شامل دو قسمت، از جمله 19 کار. قسمت 1شامل 8 کار سطح دشواری اولیه با یک پاسخ کوتاه است. قسمت 2شامل 4 کار با سطح پیچیدگی افزایش یافته با پاسخ کوتاه و 7 کار با سطح پیچیدگی بالا با پاسخ دقیق.

زمان در نظر گرفته شده برای انجام کار امتحانی در رشته ریاضی می باشد 3 ساعت 55 دقیقه(235 دقیقه).

پاسخ هابرای وظایف 1-12 نوشته شده است به عنوان یک عدد کامل یا کسری اعشاری محدود. اعداد را در قسمت پاسخنامه در متن اثر بنویسید و سپس به پاسخنامه شماره 1 صادره در زمان آزمون منتقل کنید!

هنگام انجام کار می توانید از موارد صادر شده در کنار کار استفاده کنید. فقط خط کش مجاز است، اما ممکن است قطب نما بسازیدبا دستان خودت از ابزارهایی که روی آنها علامت گذاری شده است استفاده نکنید. مواد مرجع. ماشین حساب هادر امتحان استفاده نشده است.

در طول امتحان باید مدرک شناسایی همراه داشته باشید ( پاسپورت), عبور کندو مویرگی یا قلم ژل با جوهر مشکی! مجاز به گرفتنبا شما آب(در یک بطری شفاف) و من دارم میرم(میوه، شکلات، نان، ساندویچ)، اما ممکن است از شما بخواهند که آنها را در راهرو بگذارید.