حل سیستم معادلات نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی: روش حل با استفاده از جایگزینی معادله حل می شود

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. روش جایگزینی به شما امکان می دهد به راحتی سیستم های معادلات خطی با هر پیچیدگی را حل کنید. ماهیت روش این است که با استفاده از عبارت اول سیستم، "y" را بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را به جای "y" در معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم. از آنجایی که معادله قبلاً شامل دو مجهول نیست، بلکه فقط یک مجهول دارد، می‌توانیم به راحتی مقدار این متغیر را پیدا کنیم و سپس از آن برای تعیین مقدار دوم استفاده کنیم.

فرض کنید به ما یک سیستم معادلات خطی به شکل زیر داده شده است:

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

بیان کنیم \

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

اجازه دهید عبارت به دست آمده را با معادله 2 جایگزین کنیم:

\[\left\(\begin(ماتریس) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

بیایید مقدار \ را پیدا کنیم

بیایید با باز کردن پرانتز و در نظر گرفتن قوانین انتقال عبارت، معادله را ساده و حل کنیم:

اکنون مقدار را می دانیم \ بیایید از این برای پیدا کردن مقدار استفاده کنیم \

پاسخ: \[(4;2).\]

کجا می توانم یک سیستم معادلات را به روش جایگزینی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیابید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید.

حل سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی

بیایید به یاد بیاوریم که سیستم معادلات چیست.

سیستمی متشکل از دو معادله با دو متغیر، دو معادله است که در زیر یکدیگر نوشته شده اند که توسط یک مهاربند به هم وصل شده اند. حل یک سیستم یعنی پیدا کردن یک جفت اعداد که معادله اول و دوم را همزمان حل کنند.

در این درس با روشی از حل سیستم ها مانند روش جایگزینی آشنا می شویم.

بیایید به سیستم معادلات نگاه کنیم:

شما می توانید این سیستم را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، باید نمودارهای هر یک از معادلات را در یک سیستم مختصات بسازیم و آنها را به شکل زیر تبدیل کنیم:

سپس مختصات نقطه تقاطع نمودارها را پیدا کنید که راه حل سیستم خواهد بود. اما روش گرافیکی همیشه راحت نیست، زیرا در دقت کم یا حتی عدم دسترسی متفاوت است. بیایید سعی کنیم نگاه دقیق تری به سیستم خود بیندازیم. حالا به نظر می رسد:

می توانید متوجه شوید که اضلاع سمت چپ معادلات برابر هستند، به این معنی که اضلاع سمت راست نیز باید برابر باشند. سپس معادله را بدست می آوریم:

این یک معادله آشنا با یک متغیر است که می توانیم آن را حل کنیم. بیایید عبارات مجهول را به سمت چپ و موارد شناخته شده را به سمت راست منتقل کنیم، فراموش نکنیم که علائم + و - را هنگام انتقال تغییر دهیم. دریافت می کنیم:

حالا بیایید مقدار پیدا شده x را با هر معادله ای از سیستم جایگزین کرده و مقدار y را پیدا کنیم. در سیستم ما، استفاده از معادله دوم y = 3 - x پس از جایگزینی، راحت تر است. اکنون بیایید کار انجام شده را تجزیه و تحلیل کنیم. ابتدا در معادله اول، متغیر y را بر حسب متغیر x بیان کردیم. سپس عبارت حاصل - 2x + 4 به جای متغیر y در معادله دوم جایگزین شد. سپس معادله حاصل را با یک متغیر x حل کرده و مقدار آن را پیدا کردیم. و در نهایت از مقدار یافت شده x برای یافتن متغیر دیگری y استفاده کردیم. در اینجا این سوال مطرح می شود: آیا لازم بود متغیر y را به طور همزمان از هر دو معادله بیان کنیم؟ البته نه. ما می‌توانیم یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر فقط در یک معادله سیستم بیان کنیم و به جای متغیر مربوطه در معادله دوم از آن استفاده کنیم. علاوه بر این، می توانید هر متغیری را از هر معادله ای بیان کنید. در اینجا انتخاب فقط به راحتی حساب بستگی دارد. ریاضیدانان این روش را الگوریتمی برای حل سیستم های دو معادله با دو متغیر با استفاده از روش جایگزینی می نامند.

1. یکی از متغیرها را بر حسب دیگری در یکی از معادلات سیستم بیان کنید.

2. عبارت حاصل را به جای متغیر مربوطه در معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید.

4. مقدار یافت شده متغیر را با عبارت بدست آمده در مرحله اول جایگزین کنید و مقدار متغیر دیگری را بیابید.

5. جواب را به صورت جفت اعدادی که در مرحله سوم و چهارم پیدا شده اند بنویسید.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. حل سیستم معادلات:

در اینجا بیان متغیر y از معادله اول راحت تر است. ما y = 8 - 2x را دریافت می کنیم. عبارت حاصل باید جایگزین y در معادله دوم شود. دریافت می کنیم:

بیایید این معادله را جداگانه بنویسیم و حل کنیم. ابتدا براکت ها را باز می کنیم. معادله 3x - 16 + 4x = 5 را بدست می آوریم. بیایید عبارت های مجهول را در سمت چپ معادله و موارد شناخته شده را در سمت راست جمع آوری کنیم و عبارت های مشابه را ارائه کنیم. معادله 7x = 21 را بدست می آوریم، بنابراین x = 3.

اکنون، با استفاده از مقدار یافت شده x، می توانید پیدا کنید:

جواب: یک جفت عدد (3؛ 2).

بنابراین، در این درس یاد گرفتیم که سیستم های معادلات با دو مجهول را به روشی تحلیلی و دقیق و بدون توسل به روش های گرافیکی مشکوک حل کنیم.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. موردکوویچ A.G.، جبر کلاس هفتم در 2 قسمت، قسمت 1، کتاب درسی موسسات آموزش عمومی / A.G. موردکوویچ. - ویرایش دهم، تجدید نظر شده - مسکو، "Mnemosyne"، 2007.
2. موردکوویچ A.G.، جبر کلاس هفتم در 2 قسمت، قسمت 2، کتاب مسئله برای مؤسسات آموزشی / [A.G. موردکوویچ و دیگران]؛ ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ - ویرایش دهم، تجدید نظر شده - مسکو، "Mnemosyne"، 2007.
3. او تولچینسایا، جبر کلاس هفتم. نظرسنجی Blitz: کتابچه راهنمای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی، ویرایش چهارم، تجدید نظر شده و گسترش یافته، مسکو، Mnemosyne، 2008.
4. الکساندروا لس آنجلس، جبر کلاس هفتم. مقالات آزمون موضوعی به شکل جدید برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی، ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ، مسکو، "Mnemosyne"، 2011.
5. الکساندروا L.A. جبر پایه هفتم. آثار مستقل برای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی، ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ - ویرایش ششم، کلیشه ای، مسکو، "Mnemosyne"، 2010.

در این مورد، راحت است که x را بر حسب y از معادله دوم سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را به جای x در معادله اول جایگزین کنیم:

اولین رابطه معادله ای با یک متغیر y است. حلش کنیم:

5 (7-3y)-2y = -16

مقدار y حاصل را با عبارت x جایگزین می کنیم:

پاسخ: (-2؛ 3).

در این سیستم، بیان y بر حسب x از معادله اول آسان تر است و عبارت حاصل به جای y در معادله دوم جایگزین می شود:

معادله دوم معادله ای با یک متغیر x است. حلش کنیم:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

در عبارت y به جای x، x=1 را جایگزین می کنیم و y را پیدا می کنیم:

پاسخ: (1؛ -5).

در اینجا راحت تر است که y را بر حسب x از معادله دوم بیان کنیم (زیرا تقسیم بر 10 ساده تر از تقسیم بر 4، -9 یا 3 است):

بیایید معادله اول را حل کنیم:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 را جایگزین کنید و y را پیدا کنید:

جواب: (2؛ 1).

قبل از اعمال روش جایگزینی، این سیستم باید ساده شود. هر دو طرف معادله اول را می توان در کمترین مخرج مشترک ضرب کرد، در معادله دوم پرانتزها را باز می کنیم و عبارت های مشابه را ارائه می دهیم:

ما یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر به دست آوردیم. حالا بیایید جایگزینی را اعمال کنیم. بیان a تا b از معادله دوم راحت است:

معادله اول سیستم را حل می کنیم:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

باقی مانده است که مقدار a را پیدا کنیم:

با توجه به قوانین قالب بندی، پاسخ را در پرانتز که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند، به ترتیب حروف الفبا می نویسیم.

جواب: (14؛ -3).

هنگام بیان یک متغیر از طریق متغیر دیگر، گاهی اوقات راحت تر است که آن را با یک ضریب خاص رها کنیم.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

مکان درس در سیستم درس:درس سوم با موضوع "سیستم های دو معادله خطی با دو متغیر"

نوع درس:یادگیری دانش جدید

تکنولوژی آموزشی:توسعه تفکر انتقادی از طریق خواندن و نوشتن

روش تدریس:مطالعه کنید

اهداف درس:به روش دیگری برای حل سیستم معادلات خطی با دو متغیر مسلط شوید - روش جمع

وظایف:

• موضوع: شکل گیری مهارت های عملی در حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی.
• فرا موضوع: توسعه تفکر، درک آگاهانه از مواد آموزشی.
• شخصی: پرورش فعالیت های شناختی، فرهنگ ارتباط و القای علاقه به موضوع.

در نتیجه دانش آموز:

• تعریف سیستم معادلات خطی با دو متغیر را می داند.
• می داند که حل یک سیستم معادلات خطی در دو متغیر به چه معناست.
• قادر به نوشتن یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر.
• درک می کند که یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر چند راه حل می تواند داشته باشد.
• قادر به تعیین اینکه آیا یک سیستم راه حل دارد یا خیر، و اگر دارد، چه تعداد.
• الگوریتم حل سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش های جایگزینی، جمع جبری و گرافیکی می داند.

سوال مشکل ساز:چگونه یک سیستم معادلات خطی را در دو متغیر حل کنیم؟

سوالات کلیدی:چگونه و چرا از معادلات در زندگی استفاده می کنیم؟

تجهیزات:ارائه؛ پروژکتور چند رسانه ای؛ صفحه نمایش؛ کامپیوتر، کتاب کار جبر: پایه هفتم: به کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ و همکاران "جبر - 7" 2012

منابع (جایی که اطلاعات مربوط به موضوع از آن می آید: کتاب، کتاب درسی، اینترنت و غیره):کتاب درسی "جبر - 7" 2012، A.G. موردکوویچ

اشکال سازماندهی فعالیت های آموزشی دانش آموزان (گروهی، زوجی، پیشانی و غیره):انفرادی، بخشی از جلو، تا حدی بخار

معیارهای ارزیابی:

• الف – دانش و درک +
• ب- کاربرد و استدلال
• ج – پیام +
• د - تأمل و ارزیابی

زمینه های تعامل:

• ATL - بتوانید از زمان به طور موثر استفاده کنید، فعالیت های خود را مطابق با اهداف و اهداف خود برنامه ریزی کنید و منطقی ترین توالی فعالیت ها را تعیین کنید. توانایی پاسخگویی به سوالات، ارائه دلیل، استدلال. بتوانید فعالیت های آموزشی و شناختی خود را تجزیه و تحلیل و ارزیابی کنید، راه هایی برای حل مشکلات بیابید.
• دانشجویان HI پیامدهای فعالیت های انسانی را بررسی می کنند

پیشرفت درس

I. سازماندهی درس

II. بررسی خودآمادگی

الف) شماره 12.2 (ب، ج).

پاسخ: (5؛ 3). پاسخ: (2؛ 3).

پاسخ: (4;2)

یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید:

• p = p / (g * h) - چگالی مایع
• p = g * p * h - فشار مایع در پایین ظرف
• h = p / (g * p) - ارتفاع
• p = m / V - چگالی
• m = V * p - جرم
• p = m / V - چگالی

الگوریتم حل یک سیستم دو معادله با دو متغیر به روش جایگزینی:

1. y را بر حسب x از معادله اول (یا دوم) سیستم بیان کنید.
2. عبارت بدست آمده در مرحله اول را به جای y در معادله دوم (اول) سیستم جایگزین کنید.
3. معادله بدست آمده در مرحله دوم را برای x حل کنید.
4. مقدار x یافت شده در مرحله سوم را با عبارت y بر حسب x بدست آمده در مرحله اول جایگزین کنید.
5. پاسخ را به صورت یک جفت مقدار (x; y) بنویسید که به ترتیب در مرحله سوم و چهارم یافت شد.

کار مستقل:

در کتاب کار ص 46 – 47.

• به "3" شماره 6 (a);
• به "4" شماره 6 (b);
• به "5" شماره 7.

III. به روز رسانی دانش مرجع

سیستم معادلات خطی در دو متغیر چیست؟

سیستم معادلات دو یا چند معادله است که برای آنها لازم است همه راه حل های مشترک آنها پیدا شود.

راه حل یک سیستم معادلات در دو متغیر چیست؟

راه حل یک سیستم دو معادله با دو مجهول یک جفت اعداد (x,y) است به طوری که اگر این اعداد را جایگزین معادلات سیستم کنیم، آنگاه هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

یک سیستم معادلات خطی در دو متغیر چند راه حل می تواند داشته باشد؟

اگر شیب ها برابر باشند، خطوط موازی هستند و هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اگر ضرایب زاویه ای مساوی نباشند، خطوط قطع می شوند، یک ریشه (مختصات نقطه تقاطع).

اگر شیب ها برابر باشند، خطوط بر هم منطبق هستند و ریشه بی نهایت بزرگ است.

IV. یادگیری مطالب جدید

جاهای خالی را پر کنید: پیوست 1 (به دنبال خودآزمایی در اسلایدها)

V. روی موضوع درس کار کنید

در کلاس: شماره 13.2 (a, d), 13.3 (a, d).

VI. مشق شب

بند 13 - کتاب درسی; فرهنگ لغت؛ شماره 13.2 (b، c)، 13.3 (b، c).

VII. خلاصه درس

• هورا!!! همه چیز برای من روشن است!
• چیزهایی هست که باید روی آنها کار کنم!
• شکست هایی وجود داشت، اما من بر همه چیز غلبه خواهم کرد!

هشتم. حل مشکلات با مولفه نظامی

تانک اصلی جنگ T-80.

در سال 1976 وارد خدمت شد. اولین مخزن تولیدی جهان با نیروگاه اصلی مبتنی بر موتور توربین گاز.

داده های تاکتیکی و فنی پایه (TTD):

وزن، t - 46

سرعت، کیلومتر در ساعت - 70

محدوده کروز، کیلومتر – 335-370

تسلیحات: تفنگ صاف 125 میلی متری (40 قطعه مهمات)؛

مسلسل 12.7 میلی متری (300 قطعه مهمات)؛

مسلسل PKT 7.62 میلی متری (مهمات 2000 عدد)

تانک T-80 چقدر می تواند بدون سوخت گیری در حرکت بماند؟

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.